T-Shirts mit Ornamenten

T-Shirts mit Ornamenten
(Christian Liedl)
Ziel ist es möglichst schicke T-Shirts durch ein eigenes Ornament zu verzieren. Dazu
benötigen wir ein T-Shirt, eine T-Shirt Transferfolie zum Bedrucken und Aufbügeln, ein
Ornamentezeichenprogramm und viele kreative Ideen. Natürlich wollen wir nicht nur wissen,
wie man es macht, sondern auch ein bisschen verstehen, was ein Ornamentezeichenprogramm
ist und macht.
1 Symmetrie
Symmetrisch ist nach Hermann Weyl „ein Gebilde dann, wenn man es irgendwie verändern
kann und im Ergebnis dasselbe erhält womit man begonnen hat.“ [4] Es gibt in der
alltäglichen euklidischen Geometrie der Ebene drei Grundsymmetrien. Spiegelung,
Verschiebung und Drehung. Oft wird auch noch die Gleitspiegelung genannt.
Die Spiegelung benutzen wir alltäglich mit Spiegeln. Ein Spiegel erzeugt Bilder von vor ihm
stehenden Gegenständen. Aus dem Reflexionsgesetz folgt, dass ein Lichtbündel, das von
einem Gegenstand abgestrahlt wird, nach der Reflexion so verläuft, als ob es von einem
Gegenstand hinter dem Spiegel herkäme, die vom Spiegel den gleichen Abstand hat wie die
abstrahlende Gegenstand vor dem Spiegel.
Mathematisch findet man das Spiegelbild in der
Ebene, indem man von jedem Punkt des
Ursprungsobjektes ausgehend eine Normale zur
Spiegelachse fällt. Der neue Punkt wird im gleichen
Abstand wie der Ursprungspunkt zur Spiegelachse
auf der Normalen angetragen. Ein Beispiel ist in
Abbildung 1 mit dem Buchstaben F zu sehen. Bei der
Verschiebung wird ein Objekt in eine bestimmte
Richtung um eine Distanz verschoben (Abb. 2).
Durch eine Drehung wird das Objekt um einen
bestimmten Punkt, das Drehzentrum, um einen
gegebenen Winkel gedreht. Vorstellen kann man sich
dies einfach, wenn man die Augen schließt und das
Objekt vor dem geistigen Auge dreht (Abb. 3). Bei
der Drehung sind in Bezug auf Symmetrie vor allem
die Drehungen um die Winkel n
° 360
von Bedeutung,
wobei n eine ganze Zahl ist. Das Ausgangsobjekt
kann somit durch n-maliges Drehen wieder erreicht
werden. Man spricht von einem n-zähligem
Drehzentrum. Beispielsweise kann durch 4-maliges
Drehen um 90° das Ausgangsobjekt wieder erreicht
Abbildung 1:
Spiegelung
Abbildung 3:
Drehung
Abbildung 2:
Verschiebung
Abbildung 4:
Gleitspiegelung
werden. Zu guter letzt ist die Gleitspiegelung zu nennen. Sie ist eine Kombination aus
Verschiebung und Spiegelung. Zuerst wird das Objekt an einer Spiegelachse, die parallel zur
Verschiebungsrichtung liegt, gespiegelt. Dieses gespiegelte Objekt stellt jedoch noch nicht die
endgültige Gleitspiegelung dar, sondern ist lediglich ein Zwischenschritt, denn es wird noch
durch eine Verschiebung um eine bestimmte Distanz auf ihre endgültige Position in der
Ebene gebracht. Man kann es sich wie Fußstapfen im Sand oder Schnee vorstellen, die man
hinterlässt (Abb. 4).
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2 Ornamente
Alle vorher genannten Grundsymmetrien können beliebig miteinander kombiniert werden.
Die Zusammenfassung aller, auf ein Objekt angewandten Symmetrien, die das Objekt selbst
unverändert lassen, nennt man dabei Symmetriegruppe. Ein Beispiel für eine
Symmetriegruppe ist ein 4-zähliges Drehzentrum verkettet mit einer Spiegelung an einer
horizontalen und mit einer an einer vertikalen Spiegelachse. Je mehr Symmetrien in einer
Gruppe sind, desto komplexer ist das entstehende Muster.
Ornamente können dabei in verschiedene Untergruppen klassifiziert werden. So gibt es die
Rosettengruppe, die Friesgruppe und die kristallographische Gruppe. Bei den Rosettengruppe
werden durch Symmetrien symmetrische Rosetten erstellt (Abb. 5) und Friesgruppen erstellen
symmetrische Friese für beispielsweise Deckenverzierungen oder Bordüren (Abb. 6). Für
Abbildung 5: Beispiele für Ornamente der Rosettengruppen
Abbildung 6: Beispiele für Ornamente der Friesgruppen
unsere Ornamente interessieren uns jedoch die kristallographischen Gruppen. Die
Bezeichnung kommt aus der Kristallographie, in der reale Kristallstrukturen untersucht
werden. Kristalle sind sehr symmetrische Gebilde. In einer kristallographischen Gruppe sind
immer zwei Verschiebungen in unterschiedlichen Richtungen enthalten. Als Folge davon
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wird die Ebene in allen Richtungen unendlich mit dem Ausgangsmuster ausgefüllt. Unter der
Bedingung, dass zwei Verschiebungen vorhanden sind, gibt es nur 17 verschiedene
kristallographische Ornamenttypen (Symmetriegruppen). Die Einfachste ist die, bei der nur
die beiden Verschiebungen enthalten sind. Diese 17 verschiedenen kristallographischen
Gruppen verwenden wir nun in einem Programm, um unser Ornament für das T-Shirt zu
erhalten.
Abbildung 7: Die 17 kristallographischen Symmetriegruppen
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3 Ornamentezeichenprogramm
Das eingesetzte Ornamentezeichenprogramm entstand im Rahmen der Diplomarbeit von
Martin von Gagern. Es ist in der Programmiersprache Java verfasst und auf jedem Rechner
mit installiertem Java Runtime Environment (JRE) [5] lauffähig. Das
Ornamentezeichenprogramm kopiert vom Benutzer gezeichnete Linien und ergänzt sie je
nach eingestellter Symmetriegruppe durch beispielsweise Spiegelung, Verschiebung,
Drehung oder Gleitspiegelung zum Ornament.
Abbildung 8: Oberfläche des Ornamentezeichenprogramms
In der großen linken Hälfte der Programmoberfläche wird nicht nur das Ornament angezeigt,
sondern kann durch Zeichnen mit der Maus beliebig verändert werden. Dazu kann rechts die
Farbe und Dicke des Zeichenstiftes im Computer ausgewählt werden. Rechts unten wird ein
Kachelausschnitt angezeigt, der durch Kopieren und Verschieben das ganze Muster erzeugt.
Auch in die Kachel selbst kann man mit der Maus zeichnen wenn man möchte. Durch die
etwas kryptisch bezeichneten Buttons in der rechten oberen Programmseite kann jeweils eine
der 17 verschiedenen Symmetriegruppen ausgewählt werden. ‚p’ gefolgt von einer Zahl
bedeutet dabei ein Drehzentrum entsprechender Zähligkeit. Ein vorhandenes ‚m’ steht für
eine Spiegelachse (horizontal/vertikal), das vorhandene ‚c’ für eine diagonale (45°)
Spiegelachse. ‚g’ für eine vorhandene Gleitspiegelung.
Einige Beispiele:
p3: 3-zähliges Drehzentrum
p4: 4-zähliges Drehzentrum
pg: Gleitspiegelung (Fußabdrücke)
p4gm: Straßenpflaster
p6m: Schneekristallgruppe
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Das Programm stellt uns eine sehr nützliche Funktion bereit, um die gezeichneten Ornamente
auszudrucken. Man kann unter dem Menü Datei die Funktion Exportieren wählen. Es stehen
sehr viele Graphikformate zur Verfügung, im Moment speichert aber nur das PDF-Format die
komplette Zeichenfläche. Bei den anderen Dateiformaten erhält man nur eine Kachel des
Ornamentes, die man in einem anderen Programm durch Kopieren und Verschieben zu einem
beliebig großen Bild zusammenfügen kann. Da der Hintergrund bei unseren ausgedruckten
Ornamenten weiß sein soll, müssen wir diesen noch umstellen. Er ist standardmäßig auf
schwarz eingestellt. Unter dem Menü Optionen und Farben -> Hintergrund finden wir die
Möglichkeit, die Hintergrundfarbe weiß zu wählen.
4 Aufdruck
Das selbst gezeichnete und als PDF exportierte Ornament können wir in einem
Bildbearbeitungsprogramm weiter bearbeiten. Beispielsweise wurde es rund ausgeschnitten
und das Mädchen machen Technik Logo darüber hinzugefügt. Das so endgültig fertige
Ornament für die T-Shirts kann mit einem Tintenstrahl- oder Laserdrucker auf eine für den
Druckertyp passende Transferfolie ausgedruckt werden. Überschüssige Folie nach dem Druck
einfach wegschneiden und die Folie auf das gewünschte Kleidungsstück und die gewünschte
Stelle wie in der Anleitung der Transferfolie angegeben aufbügeln. (Meist 1-2 Minuten bei
voller Bügeleisentemperatur und ein Stück Backpapier dazwischen)
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5 Die Ornamente der Mädchen
Ornamente, die im Rahmen von Mädchen machen Technik und diesem Kurs 2008 entstanden
sind und jetzt einige T-Shirts verzieren.
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Literatur
[1] Gagern, Martin von: Computergestütztes Zeichnen in den Symmetriegruppen der
euklidischen Ebene. Diplomarbeit. TU München, 2008.
[2] Gagern, Martin von: Ornamentezeichenprogramm. URL: http://martin.vongagern.net/projects/morenaments/euc/
[Stand: 18.08.2008]
[3] Richter-Gebert, Jürgen ; Krummeck, Vanessa: Ausstellungsunterlagen zum
Mathematikmuseum ix-quadrat der TU München.
[4] Rehm, Klaus: Im Spiegel der Symmetrie. BerliNews, 13.11.2002. URL:
http://www.berlinews.de/artikel.php?14701 [Stand: 18.08.2008]
[5] Sun Microsystems GmbH: Java. URL: http://de.sun.com/ [Stand: 18.08.2008]
Abbildungsverzeichnis
1: Spiegelung
2: Verschiebung
3: Drehung
4: Gleitspiegelung
5: Beispiele für Ornamente der Rosettengruppen
6: Beispiele für Ornamente der Friesgruppen
7: Die 17 kristallographischen Symmetriegruppen
8: Oberfläche des Ornamentezeichenprogramms
Bildnachweis
Abbildungen 1 bis 7:
Martin von Gagern
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Anhang
MMT - Rallye
Tag 3: Symmetrie - Teil 1
1.Symmetrie
Was versteht man unter Symmetrie?
2.Grundsymmetrien
Nenne alle Grundsymmetrien:
3.Beispiel Grundsymmetrien
Zeichne jeweils ein Beispiel für eine Grundsymmetrie:
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MMT - Rallye
Tag 3: Symmetrie - Teil 2
4.Ornamentezeichenprogramm
Beschäftige dich mit dem Ornamentezeichenprogramm. Was passiert beim
drücken auf die unterschiedlichen Knöpfe, wenn du beispielsweise ein „F“
gezeichnet hast? Welche Grundsymmetrien stecken hinter den Knöpfen p1, p2,
p3, p4, pm, pg, cm, p4g?
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