Seminar über Numerische Mathematik - Universität Kassel

Andreas Meister
Seminar über Numerische Mathematik
Seminar im Wintersemester 2008/2009
Universität Kassel
Fachbereich Mathematik

Inhaltsverzeichnis
Bezier-Kurven 1
1 Einleitung 1
2 Der Algorithmus von de-Casteljau 2
2.1 Parabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Der de-Casteljau-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Die Bernsteinform einer Bezier-Kurve 4
3.1 Bernsteinpolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 Eigenschaften von Bezier-Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 Ableitungen von Bezier-Kurven 8
4.1 Die Ableitung einer Bezier-Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2 Ableitungen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Ableitungen und der de-Casteljau-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . 11

iv
Inhaltsverzeichnis

Seminar über Numerische Mathematik
Wintersemester 2008/2009, S. 1–13
Bezier-Kurven
Hamid Fetouaki, Emma Skopin
Zusammenfassung: Diese Ausarbeitung beschreibt die Vorgehensweisen zur Bestimmung
von Bezier-Kurven. Diese werden mit dem von de-Casteljau entwickelten Algorithmus und mit
der von Bezier erfundenen Rekursionsformel mittels Bernsteinpolynomen bestimmt. Hinzu
kommen die wichtigen Eigenschaften dieser Kurven. Schließlich führen wir deren Ableitungen
ein.
1 Einleitung
Die geschichtliche Entwicklung der Bezier-Kurven beginnt in den späten 50er Jahren
in der Autoindustrie. Vor der Entwicklung der Bezier-Kurven zeichneten die Designer
Kurven am Papier durch Kurvenlineale. Ausgehend von den Skizzen wurden in zeitaufwendigen
Prozessen maßstäbliche Modelle aus Holz und Ton gefertigt. Ein finales
Master-Modell aus Gips wurde schließlich für die Kopiermaschinen eingesetzt. Seit 1955
wurden die ersten sog. NC(Numerical Control)-Maschinen entwickelt und eingesetzt.
Diese konnten geometrische Daten aus einem Rechner interpretieren und auf Werkzeuge
übertragen.
Paul de-Casteljau, der bei Citroën tätig war, entwickelte 1959 ein einfaches und
schnell berechenbares Konstruktionsprinzip für Kurven und gekrümmte Oberflächen.
Parallel entdeckte Pierre Bezier, der für Renault arbeitete, 1962 unabhängig von de-
Casteljau dieselbe Formel. Es folgte ein Rechtsstreit, der durch einen Vergleich beigelegt
wurde: Die allgemeine Formel und damit die Kurven wird folglich nach Pierre Bezier
benannt (Bernstein-Bezier-Polynom, Bezier-Kurve/Fläche) und das zugrunde liegende
Konstruktionsprinzip wird nach de-Casteljau (de-Casteljau-Algorithmus) benannt.
Die Entwicklungen von Bezier und de-Casteljau werden als Grundlage für ein CAD-
Programm benutzt. Bereits wenige Jahre später konnten die Bezier-Kurven unmittelbar
zur Steuerung von NC-Fräsen herangezogen werden.
Die Entwicklung von Bezier und de-Casteljau gaben Anstoß zu parallelen Weiterentwicklungen
in anderen Industriebereichen wie Schiffsbau und Luftfahrt.

2 Hamid Fetouaki, Emma Skopin
2 Der Algorithmus von de-Casteljau
Der de-Casteljau-Algorithmus ist die Grundlage vieler Algorithmen im Gebiet von
Kurven- und Flächendesign. Seine Bedeutung liegt insbesondere im Zusammenspiel
zwischen Geometrie und Algebra.
2.1 Parabeln
Wir beschreiben eine einfache Konstruktion zum Erzeugen einer Parabel, die dann
durch Verallgemeinerung zu den Bezier-Kurven führen wird. Seien nun b 0 , b 1 , b 2 drei
beliebige Punkte im E 3 , und sei t ∈ R. Wir bilden nun:
Durch einsetzen von (1) und (2) in (3) erhalten wir:
b 1 0 (t) = (1 − t) b 0 + tb 1 , (1)
b 1 1 (t) = (1 − t) b 1 + tb 2 , (2)
b 2 0 (t) = (1 − t) b 1 0 (t) + tb 1 1 (t) . (3)
b 2 0 (t) = (1 − t) b 1 0 (t) + tb 1 1 (t)
= (1 − t) [(1 − t) b 0 + tb 1 ] + t[(1 − t) b 1 + tb 2 ]
= (1 − t) 2 b 0 + 2t (1 − t) b 1 + t 2 b 2 .
b 2 0(t) ist ein quadratischer Ausdruck in t (der hochgestellte Index gibt den Grad an),
und für t ∈ (−∞, ∞) erzeugt er somit eine Parabel, die wir mit b 2 bezeichnen. Diese
Konstruktion ist nichts weiter als wiederholte lineare Interpolation. Des weiteren stellen
wir fest, dass Parabeln immer ebene Kurven sind, da b 2 (t) immer eine baryzentrische
Kombination dreier Punkte ist. Diese ist als gewichtete Summe von Punkten definiert,
wobei die Gewichte sich zu Eins aufaddieren müssen.
Abbildung 1: Konstruktion einer Parabel durch wiederholte lineare Interpolation.

2.2 Der de-Casteljau-Algorithmus
Bezier-Kurven 3
Die Verallgemeinerung des oben genannten Verfahrens führt uns auf die Konstruktion
beliebiger polynomialer Kurven mit beliebigem Grad n.
de-Casteljau-Algorithmus:
Gegeben:
Setze:
b 0 , b 1 , b 2 , . . . , b n ∈ E 3 , t ∈ R,
{
b r i (t) = (1 − t) b r−1
i (t) + tb r−1
i+1 (t) für r ∈ {1, . . . , n} und
i ∈ {0, . . . , n − r}
(4)
b 0 i (t) = b i . (5)
Ausgabe:
b n 0(t) ist der Punkt auf der Bezier-Kurve b n , der dem Parameterwert t entspricht.
Das Polygon P , das durch die Punkte b 0 , b 1 , . . . , b n dargestellt wird, wird Bezierpolygon
oder Kontrollpolygon der Kurve b n genannt. Die Polygonecken b i werden Kontrollpunkte
oder Bezierpunkte genannt. Die Zwischenpunkte b r i (t) können wir in
einer Dreiecksform anordnen, dem sogenannten de-Casteljau-Schema. Als Beispiel
betrachten wir den Fall für eine planare kubische Kurve an der Stelle t = 1 2 :
[ 0
b 0 =
0
[ 0
b 1 =
2
[ 8
b 2 =
2
[ 4
b 3 =
0
]
]
]
]
[ 0
b 1 0 =
1
[ 4
b 1 1 =
2
[ 6
b 1 2 =
1
]
]
]
b 2 0 =
b 2 1 =
[ 2
3
2
[ 5
3
2
]
]
b 3 0 =
[ 7
2
3
2
]
Abbildung 2: Das Berechnen eines Punktes auf einer Bezier-Kurve mit dem de-
Casteljau-Algorithmus.

4 Hamid Fetouaki, Emma Skopin
3 Die Bernsteinform einer Bezier-Kurve
3.1 Bernsteinpolynome
Definition 3.1 Das i-te Bernsteinpolynom vom Grad n ist definiert durch:
( ) n
Bi n (t) := t i (1 − t) n−i . (6)
i
Satz 3.2
1. Bernsteinpolynome genügen folgender Rekursionsformel:
mit
B n i (t) = (1 − t)B n−1
i
(t) + tB n−1
i−1 (t) (7)
B 0 0(t) ≡ 1 und (8)
B n j (t) ≡ 0 für j /∈ {0, . . . , n}. (9)
2. Die Bernsteinpolynome bilden eine Teilung der Eins, d.h. es gilt:
Beweis:
n∑
Bj n (t) ≡ 1. (10)
j=0
1. Es gilt: ( ) (
n
i = n−1
) (
i + n−1
( ) n
Bi n (t) = t i (1 − t) n−i
( i ) n − 1
= t i (1 − t) n−i +
( i ) n − 1
= t i (1 − t) n−i−1
i
} {{ }
i−1)
. Für die Bernsteinpolynome gilt somit:
=B n−1
i (t)
= (1 − t)B n−1
i
(t) + tB n−1
i−1 (t).
( ) n − 1
i − 1
t i (1 − t) n−i
( ) n − 1
(1 − t) + t i−1 (1 − t) n−i t
i − 1
} {{ }
=B n−1
i−1 (t)
• B 0 0(t) = ( 0
0)
t 0 (1 − t) 0 = 1
• B n j (t) = 0 für j /∈ {0, . . . , n} nach Definition der Binomialkoeffizienten.
2. Mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes folgt:
n∑
Bj n (t) =
j=0
n∑
j=0
( n
j)
t j (1 − t) n−j = (t + 1 − t) n = 1.

Bezier-Kurven 5
Abbildung 3: Die quartischen Bernsteinpolynome.
Beispiel: Die Bernsteinpolynome vom Grad 4
□
Satz 3.3 Für die Zwischenpunkte b r i , die beim de-Casteljau-Algorithmus auftreten, gilt:
{
r∑
b r i (t) = b i+j Bj r r ∈ {0, . . . , n} und
(t), für
(11)
i ∈ {0, . . . , n − r}.
j=0
Für r = n, ist der de-Casteljau-Punkt gerade der Punkt auf der Kurve, und ist gegeben
durch:
n∑
b n (t) = b n 0 (t) = b j Bj n (t). (12)
Beweis: Induktion über r
IA: r = 0
j=0
b 0 i (t) (5)
= b i
(8)
= b i B 0 0(t) =
IV: Die Behauptung gelte für r − 1
IS: r − 1 → r
Für r = 1, . . . , n und i = 0, . . . , n − r gilt:
0∑
b i+j Bj 0 (t).
j=0
b r i (t)
(4)
= (1 − t) b r−1
i
(IV )
= (1 − t) r−1 ∑
j=0
j=i
(t) + tb r−1
i+1 (t)
b i+j B r−1
j
(t) + t r−1 ∑
j=0
= (1 − t) i+r−1 ∑
b j B r−1
i+r ∑
j−i (t) + t
(9)
= (1 − t) i+r−1 ∑
j=i
= (1 − t) i+r ∑
j=i
b j B r−1
j−i
b j B r−1
j−i
j=i+1
(t) + (1 − t)Br−1 r
i+r ∑
(t) + t
j=i
b i+1+j B r−1
j (t)
b j B r−1
j−i−1 (t)
b j B r−1
j−i−1 (t)
= i+r ∑ [
]
b j (1 − t)B r−1
j−i (t) + tBr−1 j−i−1 (t)
j=i
∑
= r [
]
b j+i (1 − t)B r−1
j (t) + tB r−1
j−1 (t)
j=0
(7) ∑
= r
j=0
b j+i B r j (t).
(t) + t i+r ∑
j=i+1
b j B r−1
j−i−1 (t) + tBr−1
(t)
Die Formel (12) ergibt sich durch direktes Einsetzen von r = n in (11).
□
Bemerkung 3.4 Bezier-Kurven sind baryzentrische Kombinationen der Kontrollpunkte.

6 Hamid Fetouaki, Emma Skopin
Beweis:
Folgt aus Satz 3.3, Definition von baryzentrischen Kombinationen und (10).
□
Satz 3.5 Bezier-Kurven lassen sich mittels der Zwischenpunkte b r i wie folgt darstellen:
r∑
b n (t) = b n−r
i (t)Bi r (t), wobei r ∈ {0, . . . , n}. (13)
i=0
D.h. berechne zuerst n − r Stufen des de-Casteljau-Algorithmus in Abhängigkeit von t,
betrachte die resultierenden Punkte b n−r
i (t) als Kontrollpunkte einer Bezier-Kurve vom
Grad r, und werte diese an der Stelle t aus.
Beweis: Induktion über r
IA: r = 0
b n (t) = b n 0(t) (8)
= b n 0(t)B 0 0 (t) =
0∑
i=0
b n−0
i (t)Bi 0 (t).
IV: Die Behauptung gelte für ein beliebiges aber festes r ∈ {0, . . . , n − 2}, sonst ist (4)
nicht anwendbar.
IS: r → r + 1
Somit:
∑
b n (t) = r (t)Bi r (t)
∑
= r [
i=0
(4)
i=0
b n−r
i
= (1 − t) r ∑
(1 − t)b n−r−1
i
i=0
(9)
= (1 − t) r+1 ∑
= r+1 ∑
i=0
= r+1 ∑
]
(t) + tb n−r−1
i+1 (t) Bi r (t)
∑
b n−r−1
i (t)Bi r (t) + t r
b n−r−1
i=0
b n−(r+1)
i (t)
b n−(r+1)
i (t)B r+1
i
i=0
i=0
b n−r−1
i+1 (t)B r i (t)
i (t)Bi r (t) + t r+1 ∑
b n−r−1
i (t)Bi−1(t)
r
i=0
[
]
(1 − t)Bi r (t) + tBi−1(t)
r
} {{ }
(t).
=B r+1
i (t)
Somit ist die Behauptung für r ∈ {0, . . . , n−1} gezeigt. Für r = n folgt die Behauptung
direkt aus (12) unter Anwendung von (5).
□
3.2 Eigenschaften von Bezier-Kurven
Affine Invarianz:
Definition 3.6 Eine Abbildung Φ : E 3 → E 3 heißt affine Abbildung, wenn sie baryzentrische
Kombinationen invariant lässt. Sei also x = ∑ α j a j ; x, a j ∈ E 3 eine baryzentrische
Kombination und Φ eine affine Abbildung, dann ist Φ(x) = ∑ α j Φ(a j ), Φ(x),
Φ(a j ) ∈ E 3 .

Bezier-Kurven 7
Die affine Invarianz folgt daraus, dass die Bezier-Kurven baryzentrische Kombinationen
der Kontrollpunkte sind. Das heißt, dass die beiden folgenden Vorgehensweisen dasselbe
Resultat liefern: (1) Berechne erst den Punkt b n (t) und wende anschließend eine affine
Abbildung darauf an; (2) Wende zuerst die affine Abbildung auf das Kontrollpolygon
an und werte das transformierte Kontrollpolygon am Parameterwert t aus.
Invarianz unter affinen Parametertransformationen:
Es ist bequemer ein Parameter t aus dem Intervall [0, 1] zu nehmen. Aber natürlich kann
man auch ein Parameter u ∈ [a, b] nehmen und lokale Koordinaten t = u−a einführen
b−a
und darauf den Algorithmus anwenden.
b n (t) =
n∑
b i Bi n (t) =
i=0
n∑
b i Bi
n
i=0
( u − a
)
.
b − a
Der Übergang vom Intervall [a, b] zum Intervall [0, 1] stellt eine affine Abbildung dar.
Wir können deshalb sagen, dass Bezier-Kurven invariant unter affinen Parametertransformationen
sind.
Konvexe-Hüllen-Eigenschaft:
Diese folgt aus der Tatsache, dass die Bernsteinpolynome für t ∈ [0, 1] nicht-negativ
sind und sich zu Eins aufsummieren.
Endpunkte-Interpolation:
Die Bezier-Kurve verläuft durch die Punkte b 0 und b n . Dies sieht man, indem man t = 0
und t = 1 in (4) oder in (12) einsetzt.
Symmetrie:
Es spielt keine Rolle, ob wir die Bezier-Punkte mit b 0 , b 1 , . . . , b n oder b n , . . . , b 1 , b 0 bezeichnen.
Die entsprechenden Kurven stimmen überein, sie unterscheiden sich nur in
der Richtung, in der sie durchlaufen werden. D.h.
n∑
b j Bj n (t) =
j=0
n∑
b n−j Bj n (1 − t).
j=0
Dies folgt aus der Identität B n j (t) = B n n−j(1 − t). Wir nennen deshalb Bernsteinpolynome
symmetrisch in bezug auf t und 1 − t.
Invarianz unter baryzentrischen Kombinationen:
Gegeben sind zwei Bezier-Kurven b n , c n . Dann gilt für α + β = 1:
n∑
n∑
α b j Bj n (t) + β c j Bj n (t) =
j=0
j=0
n∑
(αb j + βc j )Bj n (t)
j=0
Mit anderen Worten: Wir können das gewichtete Mittel zweier Bezier-Kurven entweder
dadurch berechnen, dass wir das gewichtete Mittel der Kurvenpunkte nehmen, oder

8 Hamid Fetouaki, Emma Skopin
aber indem wir erst das gewichtete Mittel der entsprechenden Kontrollpunkte bilden
und dann die Kurve berechnen.
Lineare Präzision:
Wir nutzen folgende Identität:
n∑
j=0
j
n Bn j (t) = t.
Wir nehmen für die Kontrollpunkte b j gleichmäßig verteilte Punkte auf der Geraden,
welche die Punkte p und q verbindet, d.h.
b j =
(
1 − j )
p + j n n q,
j = 0, . . . , n
Dann gilt:
b n (t)
∑
= n ]
[(1 − j )p + j q B n n n j (t)
= p
j=0
n∑
Bj n (t) −p
j=0
} {{ }
=1
= p + t(q − p)
n∑ j
n Bn j (t) +q
j=0
} {{ }
=t
n∑
j=0
j
n Bn j (t)
} {{ }
=t
In Worten ausgedrückt heißt das: Die Kurve, die durch dieses Polygon erzeugt wird, ist
genau die Gerade zwischen p und q, d.h. die Originalgerade wird reproduziert. Diese
Eigenschaft wird lineare Präzision genannt.
Pseudo-lokale-Kontrolle:
Das Bernsteinpolynom Bi n (t) besitzt nur ein Maximum und nimmt dieses an der Stelle
t = i an. Dies hat Einfluß auf das Design von Kurven: Wenn wir nur eine der
n
Polygonecken b i verändern, dann ist die Änderung der Kurve im Bereich um den Parameterwert
i am stärksten.
n
4 Ableitungen von Bezier-Kurven
4.1 Die Ableitung einer Bezier-Kurve
Satz 4.1 Die Ableitung eines Bernsteinpolynoms B n i (t) ist gegeben durch:
d
dt Bn i (t) = n [ B n−1
i−1 (t) − Bn−1 i (t) ] , wobei i ∈ {0, . . . , n}. (14)

Bezier-Kurven 9
Beweis:
d
dt Bn i (t) =
dt( d ) n
t i (1 − t) n−i
i
( )
( )
n n
= i t i−1 (1 − t) n−i + (−1) t i (n − i)(1 − t) n−i−1
i i
= i · n!
i!(n − i)! ti−1 (1 − t) n−i (n − i)n!
−
i!(n − i)! ti (1 − t) n−i−1
i · n(n − 1)!
=
i(i − 1)!(n − i)! ti−1 (1 − t) n−i (n − i)n(n − 1)!
−
i!(n − i)(n − i − 1)! ti (1 − t) n−i−1
[ ( )
(
n − 1
n − 1
]
= n t i−1 (1 − t) n−i −
)t i (1 − t) n−i−1
i − 1
i
= n [ B n−1
i−1 (t) − Bn−1 i (t) ] .
Satz 4.2 Für eine Bezier-Kurve b n (t) gilt folgendes:
d ∑n−1
dt bn (t) = n [b j+1 − b j ]B n−1
j (t). (15)
j=0
□
Beweis:
d
dt bn (t)
n∑
(12)
= d b j Bj n (t)
dt j=0
∑
= n d
b j
dt Bn j (t)
j=0
(14)
= n ∑
j=0
= n n ∑
j=0
(9) ∑
= n n
= n n−1 ∑
b j
(
n[B n−1
j−1
B n−1
j−1 (t)b j − n n ∑
B n−1
j=1
j=0
j=0
)
(t) − Bn−1 j (t)]
j=0
j−1 (t)b j − n n−1 ∑
B n−1
j
j=0
(t)b j+1 − n n−1 ∑
B n−1
j (t)b j
B n−1
j (t)b j
j=0
= n n−1 ∑ [ ]
bj+1 − b j B
n−1
j (t).
B n−1
j (t)b j
□
Definition 4.3 Der Vorwärtsdifferenzenoperator △ r ist definiert durch:
{
△ r △ r−1 b j+1 − △ r−1 b j , für r ∈ N
b j :=
b j , für r = 0.
(16)

10 Hamid Fetouaki, Emma Skopin
Mit der obigen Definition erhalten wir für die Ableitung einer Bezier-Kurve:
d ∑n−1
dt bn (t) = n △ 1 b j B n−1
j (t); △ 1 b j ∈ R 3 . (17)
j=0
Die Ableitung einer Bezier-Kurve ist somit selbst wieder eine Bezier-Kurve, deren Bezierpolygon
(Kontrolpolygon) durch Differenzieren des ursprünglichen Polygons gegeben
ist. Man beachte jedoch, dass die Ableitungs-Bezier-Kurve nicht mehr in E 3 lebt!
Denn Ihre Koeffizienten sind Differenzen von Punkten, also Vektoren. Diese sind Elemente
des R 3 . Um die Ableitungskurve mit ihrem Polygon in E 3 darzustellen, konstruieren
wir ein Polygon in E 3 , welches aus den Punkten a + △b 0 , . . . , a + △b n besteht,
wobei a ∈ E 3 beliebig. Eine mögliche Wahl wäre a = 0, für dieses a wird manchmal die
Bezier-Kurve Hodograph genannt.
Abbildung 4: Eine Bezier-Kurve und ihre erste Ableitung als Kurve (verkleinert um
Faktor drei).
4.2 Ableitungen höherer Ordnung
Beispiel: Berechnung der ersten Vorwärtsdifferenzen:
△ 0 b i
△ 1 b i
△ 2 b i
△ 3 b i
= b i
= b i+1 − b i
= △ 1 b i+1 − △ 1 b i = b i+2 − 2b i+1 + b i
= △ 2 b i+1 − △ 2 b i = b i+3 − 3b i+2 + 3b i+1 − b i
Satz 4.4 Die Vorwärtsdifferenzen lassen sich berechnen durch:
△ r b i =
r∑
j=0
( r
j)
(−1) r−j b i+j . (18)
Beweis: Induktion über r
IA: r = 0
△ 0 b i = b i =
( 0
0)
(−1) 0 b i =
0∑
j=0
( 0
j)
(−1) 0−j b i+j .

IV: Die Behauptung gelte für ein beliebiges aber festes r
IS: r → r + 1
Bezier-Kurven 11
△ r+1 (16)
b i = △ r b
( i+1 )
− △ r b i
( )
(IV ) ∑
= r r ∑
(−1) r−j b i+1+j − r r
(−1) r−j b i+j
j=0
(
j
)
j=0 j
( )
= r+1 ∑ r
∑
(−1) r−(j−1) b i+j + r r
(−1) r−j+1 b i+j
j=1
(
j − 1
)
(
j=0 j
)
∑
= r r
(−1) r−j+1 r
b i+j +
(−1) r−(r+1−1) b i+r+1
j=1 j − 1
r + 1 − 1
} {{ }
= b i+r+1
( ( )
r ∑
+ (−1)
0)
r+1−0 b i + r r
(−1) r−j+1 b i+j
j=1 j
} {{ }
= (−1) r+1 b i
(
∑
= (−1) r+1 b i + (−1) (r+1)−(r+1) b i+r+1 + r r + 1
( )
j=1 j
= r+1 ∑ r + 1
(−1) r+1−j b i+j .
j=0
j
Satz 4.5 Für die r − te Ableitung einer Bezier-Kurve gilt:
d r
dt r bn (t) =
n! ∑n−r
(n − r)!
j=0
)
(−1) r+1−j b i+j
△ r b j B n−r
j (t). (19)
□
Beweis: Durch wiederholte Anwendung von (17).
□
4.3 Ableitungen und der de-Casteljau-Algorithmus
Satz 4.6 Die Ableitungen einer Bezier-Kurve können durch die Zwischenpunkte, die
beim de-Casteljau-Algorithmus auftreten, folgendermaßen ausgedrückt werden:
Beweis:
d r
dt r b n(t) =
n!
(n − r)! △r b n−r
0 (t). (20)
Zuerst zeigen wir, dass Summation und Differenzenbildung kommutieren:
∑n−1
∑n−1
△b j = [b j+1 − b j ] =
j=0
j=0
n∑ ∑n−1
∑n−1
b j − b j = △ b j .
j=1 j=0
j=0

12 Hamid Fetouaki, Emma Skopin
Somit erhalten wir:
d r
dt r bn (t) =
=
=
n! ∑n−r
(n − r)!
j=0
△ r b j B n−r
j (t)
n! ∑n−r
(n − r)! △r b j B n−r
j (t)
j=0
n!
(n − r)! △r b n−r
0 (t).
(19) und (20) liefern uns zwei verschiedene Methoden, die r-te Ableitung einer Bezier-
Kurve zu berechnen. Die Methode (19) besteht darin, alle r-ten Vorwärtsdifferenzen
der Kontrollpunkte zu bilden, diese als ein neues Bezierpolygon vom Grad n − r zu
interpretieren und dies an der Stelle t auszuwerten. Die Methode (20) besteht aus der
Berechnung der r-ten Ableitung als ein Nebenprodukt des de-Casteljau-Algorithmus.
Beispiel: Zwei Methoden, Ableitungen zu berechnen:
Um die Ableitung der Bezier-Kurve aus dem ersten Beispiel zu berechnen, bilden wir
zuerst die ersten Differenzen der Kontrollpunkte:
□
[ 0
△b 0 = b 1 − b 0 =
2
[ 8
△b 1 = b 2 − b 1 =
2
[ 4
△b 2 = b 3 − b 2 =
0
] [ 0
−
0
] [ 0
−
2
] [ 8
−
2
] [ 0
=
2
] [ 8
=
0
]
=
]
,
]
,
[ −4
−2
]
.
Dann werten wir die entstehende quadratische Kurve an der Stelle t = 1 2 aus:
B 2 0
( 1
=
2)
1 ( 1
4 , B2 1 =
2)
1 ( 1
2 , B2 2 =
2)
1 4 .
Somit erhalten wir:
d
( 1
)
dt b3 = 3! 1 0
]
+
2 2!(
4[ 1 [ 8
2 2 2
]
+ 1 4
[ −4
−2
]) [ 9
=
0
]
.
Als Alternative berechnen wir △b 2 0( 1 2 ):
△b 2 0
( 1
( 1
( 1
= b
2)
2 1 − b
2)
2 0 =
2)
[ 5
3
2
]
−
[ 2
3
2
] [ 3
=
0
]
.
Multiplikation mit 3 liefert das Ergebnis.

Bezier-Kurven 13
Literatur
[1] G. Farin. Curves and surfaces for computer aided geometric design. Academ.
Press, Boston, 1988.
[2] G. Farin. Kurven und Flächen im Computer Aided Geometric Design. Vieweg.,
Braunschweig/Wiesbaden, 1994.