Beispiele für Klausuraufgaben

Beispiele für Klausuraufgaben
Aufgabe 1
Sei A M55, . Das charakteristische Polynom von A sei ΧAX 5 X 5 2 X 4 X 2 X 1.
Berechne A 1 als polynomiellen Ausdruck von A.
Benutze den Satz von Cayley-Hamilton.
zu Aufgabe 1
Gegeben: ΧAX 5 X 5 2 X 4 X 2 X 1
Gesucht: A 1 als polynomieller Ausdruck von A
Nach dem Satz von Cayley-Hamilton gilt:
0 5 A 5 2 A 4 A 2 A E5
Damit lässt sich A 1 als polynomieller Ausdruck von A wie folgt ermitteln.
E5 5 A 5 2 A 4 A 2 A
E5 A5 A 4 2 A 3 A E5
A 1 E5 A 1 A5 A 4 2 A 3 A E5
A 1 E55 A 4 2 A 3 A E5
A 1 5 A 4 2 A 3 A E5
Aufgabe 2
Sei V eine K-Vektorraum und F EndKV. Zeigen Sie:
a) hat F den Eigenwert -2, so ist F 2 2 F nicht bijektiv.
b) hat F 2 F den Eigenwert -1, so hat F 3 den Eigenwert 1.
zu Aufgabe 2 a)
Behauptung: Eigenwert von F ist 2 F 2 2 F nicht bijektiv.
Sei v V \0 der Eigenvektor zum Eigenwert 2.
Damit gilt F v 2 v und F 2 v FFv F2 v 2 2 v 4 v.
Also ist F 2 2 F v 4 v 2 2 v 0.
Somit ist F 2 2 F nicht injektiv, folglich auch nicht bijektiv.

2 KlausurAufg.nb
zu Aufgabe 2 b)
Behauptung: Eigenwert von F 2 F ist 1 F 3 hat den Eigenwert 1.
Sei v V \0 der Eigenvektor zum Eigenwert 1.
Dann gilt: F 2 v Fv v
F 2 v Fv v
F 3 v FF 2 v FFv v F 2 v Fv Fv v Fv v.
Also hat F 3 den Eigenwert 1.
Aufgabe 3
Es sei die Matrix A
2 1 1
6 1 6
7 1 6
M33, gegeben.
a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A, sowie Basen der zugehörigen Eigenräume.
b) Welche Polynome kommen als Minimalpolynom von A in Frage?

zu Aufgabe 3 a)
Gegeben: Matrix A
Gesucht: Eigenwerte von A, Basen der Eigenräume
Berechnung Eigenwerte von A
ΧAX detA X E3 det
2 X 1 1
6 1 X 6
7 1 6 X
Mit Entwicklung nach der zweiten Spalte folgt
ΧAX 2 X det
1 X 6
1 6 X
1det 6 6
7 6 X
1det 6 1 X
7 1
2 X 1 X 6 X 1 6 6 6 X 42 6 1 7 1 X
2 X 5 X X 2 6 6 X 1 7 X
10 X 2 X 2 5 X 2 X 3 5 X
X 3 3 X 2 9 X 5
Probieren liefert Λ1 1.
X 3 3 X 2 9 X 5 : X 1 X 2 4 X 5
X 3 X 2
4 X 2 9 X
4 X 2 4 X
5 X 5
5 X 5
0
Probieren liefert Λ2 1.
X 2 4 X 5 : X 1 X 5
X 2 X
5 X 5
5 X 5
0
Damit ist Λ3 5. Die Eigenwerte von A sind demnach Λ3 5 mit Vielfachheit 1 und Λ12 1 mit Vielfachheit 2.
Berechnung der Eigenräume von A
V A, 1 KernA E3 Kern
1 1 1
6 0 6
7 1 7
Anwendung des Gauss-Algorithmus liefert:
1 1 1
6 0 6
7 1 7
1 1 1
0 6 0
0 6 0
1 0 1
0 1 0
0 0 0
Man erhält x3 als freien Parameter. Wähle Μ x3 als Freiheitsgrad.
Setze Μ 1. So erhält man
KlausurAufg.nb 3

5 X 5
5 X 5
0
4 KlausurAufg.nb
Damit ist Λ3 5. Die Eigenwerte von A sind demnach Λ3 5 mit Vielfachheit 1 und Λ12 1 mit Vielfachheit 2.
Berechnung der Eigenräume von A
V A, 1 KernA E3 Kern
1 1 1
6 0 6
7 1 7
Anwendung des Gauss-Algorithmus liefert:
1 1 1
6 0 6
7 1 7
1 1 1
0 6 0
0 6 0
1 0 1
0 1 0
0 0 0
Man erhält x3 als freien Parameter. Wähle Μ x3 als Freiheitsgrad.
Setze Μ 1. So erhält man
V A, 1 Lin
1
0
1
V A, 5 KernA 5 E3 Kern
.
7 1 1
6 6 6
7 1 1
Anwendung des Gauss-Algorithmus liefert:
7 1 1
6 6 6
7 1 1
7 1 1
0 36
7
36
7
0 0 0
1 0 0
0 1 1
0 0 0
Man erhält x3 als freien Parameter. Wähle Μ x3 als Freiheitsgrad.
Setze Μ 1. So erhält man
V A, 5 Lin
0
1
1
zu Aufgabe 3 b)
.
Mit den Eigenwerten aus Aufgabenteil a) bzw. den entsprechenden Linearfaktoren aus der Polynomdivision lässt sich das
charakteristische Polynom ΧAX zu A auch wie folgt schreiben:
ΧAX 1 X 2 5 X .
Als Minimalpolynom kommt nur p X 1 X 2 5 X oder p X 1 X 5 X in Frage.

Aufgabe 4
Die Abbildung F : 2 2 sei definiert durch F x
y
a) Die Familie A 1
i
, 1
1
2 x 1 i y
x i y
.
ist eine Basis des 2 . Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix M A A F von F bezüglich der
Basis A.
b) Zeigen Sie, dass 2 ein -Vektorraum der Dimension 4 ist.
c) Wählen Sie eine Basis B des 2 als -Vektorraum. Fassen Sie F als Element von End 2 auf und bestimmen Sie die
Darstellungsmatrix M B B F von F bezüglich dieser Basis B.
KlausurAufg.nb 5

6 KlausurAufg.nb
Aufgabe 4 a)
Gegeben: F x
y
A 1
i
2 x 1 i y
x i y
, 1
1
Gesucht: Bestimme M A A F
F 1
i
F 1
1
2 1 1 i i
1 ii
2 1 1 i 1
1 i1
Basis des 2
2 i i2
1 i2
2 i 1
1 1
2 1 i
1 i
3 i
1 i
Es folgt die Ermittlung der eindeutigen Darstellung der Bilder von F bzgl. der Basiselemente von A als Linearkombination
der Basiselemente von A.
Erstes Basiselement
3 i
2
a 1
i
b 1
1
Man erhält folgendes lineares Gleichungssystem:
I : 3 i a b
II : 2 i a b
Addition beider Gleichungen
1 i a i a 1 i 1 i a
a 1i
1i
1i
1i
1i
1i
Einsetzen in die erste Gleichung
3 i i b b i 3 i 3
1iii2 12 i1
2 1iii 11
2 i
i
i
3 i
2
Folglich lässt sich das Bild von F des ersten Basiselements von A als Linearkombination mit Elementen aus A wie folgt
darstellen:
3 i
2
i 1
i
Zweites Basiselement
3 i
1 i
c 1
i
3 1
1 .
d 1
1
Man erhält folgendes LGS:
I : 3 i c d
II : 1 i i c d
Addition beider Gleichungen
2 c i c 2 1 i c
c 2 2 1i 22 i 1 i

3 i i b b i 3 i 3
Folglich lässt sich das Bild von F des ersten Basiselements von A als Linearkombination mit Elementen aus A wie folgt
darstellen:
3 i
2
i 1
i
Zweites Basiselement
3 i
1 i
c 1
i
3 1
1 .
d 1
1
Man erhält folgendes LGS:
I : 3 i c d
II : 1 i i c d
Addition beider Gleichungen
2 c i c 2 1 i c
c 2 2 1i 22 i
1 i
1i 1i 1i 2
Einsetzen in die erste Gleichung
3 i 1 i d d 2 2 i
Die Darstellung des zweiten Basiselements von A als Linearkombination der Basiselemente von A lautet also wie folgt:
3 i
1 i
1 i 1
i
2 2 i 1
1
Übertragung der Koeffizienten a,b,c und d zur Darstellungsmatrix M A A F
M A A F a c
b d
zu Aufgabe 4 b)
i 1 i
3 2 2 i
Zu zeigen: 2 ist ein Vektorraum der Dimension 4
Offensichtlich ist B 1
0 ,
Jeder Vektor v
darstellen: v a 1
0
i
0
, 0
1
, 0
i ein Erzeugendensystem von 2 .
a i b
c i d 2 mit a, b, c, d und lässt sich als Linearkombination der Elemente aus B wie folgt
b i
0
c 0
1
d 0
i
Nun ist zu zeigen, dass B linear unabhängig ist.
Angenommen x1
1
0
Dann ist x1 x2 i
x3 x4 i
x2
0
0
i
0
, also
x3
0
1
x4
.
0
i
x1 x2 i 0
x3 x3 i 0 .
0
0 .
Folglich sind x1 0, x2 0, x3 0, x4 0 und damit ist B linear unabhängig.
KlausurAufg.nb 7

Zu zeigen: ist ein Vektorraum der Dimension 4
Offensichtlich ist B 1
0 ,
8 KlausurAufg.nb
Jeder Vektor v
darstellen: v a 1
0
i
0
, 0
1
, 0
i ein Erzeugendensystem von 2 .
a i b
c i d 2 mit a, b, c, d und lässt sich als Linearkombination der Elemente aus B wie folgt
b i
0
c 0
1
d 0
i
Nun ist zu zeigen, dass B linear unabhängig ist.
Angenommen x1
1
0
Dann ist x1 x2 i
x3 x4 i
x2
0
0
i
0
, also
x3
0
1
x4
.
0
i
x1 x2 i 0
x3 x3 i 0 .
0
0 .
Folglich sind x1 0, x2 0, x3 0, x4 0 und damit ist B linear unabhängig.
zu Aufgabe 4 c)
Gegeben: F End 2
Gesucht: Wähle Basis B von 2
Sei B 1
0 ,
und bestimme M B B F
i
0
, 0
1
, 0
i , wie in Aufgabenteil b) gezeigt, die gewählte Basis von 2 .
Ermittlung der Bilder von F bzgl. der Basiselemente von B
F 1
0
F i
0
F 0
1
F 0
i
2 1 1 i 0
1 i0
2 i 1 i 0
i i0
2 0 1 i 1
0 i1
2 0 1 i i
0 ii
2
1
2 i
i
1 i
i
i i2 i 1
2 i 1
i 1
1
Darstellung der Bilder von F bzgl. Basiselemente von B zur Basis B
2
1
2 i
i
1 i
i
i 1
1
2 1
0
0 1
0
1 1
0
1 1
0
0 i
0
2 i
0
1 i
0
1 i
0
1 0
1
0 0
1
0 0
1
1 0
1
0 0
i
1 0
i
1 0
i
0 0
i
Übertragung der Koeffizienten zur Darstellungsmatrix M B B F
M B B F
2 0 1 1
0 2 1 1
1 0 0 1
0 1 1 0
.

Darstellung der Bilder von F bzgl. Basiselemente von B zur Basis B
2
1
2 i
i
1 i
i
i 1
1
2 1
0
0 1
0
1 1
0
1 1
0
0 i
0
2 i
0
1 i
0
1 i
0
1 0
1
0 0
1
0 0
1
1 0
1
0 0
i
1 0
i
1 0
i
0 0
i
Übertragung der Koeffizienten zur Darstellungsmatrix M B B F
M B B F
2 0 1 1
0 2 1 1
1 0 0 1
0 1 1 0
.
KlausurAufg.nb 9