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Beispiele für Klausuraufgaben

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6 KlausurAufg.nb

Aufgabe 4 a)

Gegeben: F x

y

A 1

i

2 x 1 i y

x i y

, 1

1

Gesucht: Bestimme M A A F

F 1

i

F 1

1

2 1 1 i i

1 ii

2 1 1 i 1

1 i1

Basis des 2

2 i i2

1 i2

2 i 1

1 1

2 1 i

1 i

3 i

1 i

Es folgt die Ermittlung der eindeutigen Darstellung der Bilder von F bzgl. der Basiselemente von A als Linearkombination

der Basiselemente von A.

Erstes Basiselement

3 i

2

a 1

i

b 1

1

Man erhält folgendes lineares Gleichungssystem:

I : 3 i a b

II : 2 i a b

Addition beider Gleichungen

1 i a i a 1 i 1 i a

a 1i

1i

1i

Einsetzen in die erste Gleichung

3 i i b b i 3 i 3

1iii2 12 i1

2 1iii 11

2 i

i

3 i

2

Folglich lässt sich das Bild von F des ersten Basiselements von A als Linearkombination mit Elementen aus A wie folgt

darstellen:

3 i

2

i 1

i

Zweites Basiselement

3 i

1 i

c 1

i

3 1

1 .

d 1

1

Man erhält folgendes LGS:

I : 3 i c d

II : 1 i i c d

Addition beider Gleichungen

2 c i c 2 1 i c

c 2 2 1i 22 i 1 i

Seminar über Numerische Mathematik - Universität Kassel

6 KlausurAufg.nb Aufgabe 4 a) Gegeben: F x y A 1 i 2 x 1 i y x i y , 1 1 Gesucht: Bestimme M A A F F 1 i F 1 1 2 1 1 i i 1 ii 2 1 1 i 1 1 i1 Basis des 2 2 i i2 1 i2 2 i 1 1 1 2 1 i 1 i 3 i 1 i Es folgt die Ermittlung der eindeutigen Darstellung der Bilder von F bzgl. der Basiselemente von A als Linearkombination der Basiselemente von A. Erstes Basiselement 3 i 2 a 1 i b 1 1 Man erhält folgendes lineares Gleichungssystem: I : 3 i a b II : 2 i a b Addition beider Gleichungen 1 i a i a 1 i 1 i a a 1i 1i 1i 1i 1i 1i Einsetzen in die erste Gleichung 3 i i b b i 3 i 3 1iii2 12 i1 2 1iii 11 2 i i i 3 i 2 Folglich lässt sich das Bild von F des ersten Basiselements von A als Linearkombination mit Elementen aus A wie folgt darstellen: 3 i 2 i 1 i Zweites Basiselement 3 i 1 i c 1 i 3 1 1 . d 1 1 Man erhält folgendes LGS: I : 3 i c d II : 1 i i c d Addition beider Gleichungen 2 c i c 2 1 i c c 2 2 1i 22 i 1 i

3 i i b b i 3 i 3 Folglich lässt sich das Bild von F des ersten Basiselements von A als Linearkombination mit Elementen aus A wie folgt darstellen: 3 i 2 i 1 i Zweites Basiselement 3 i 1 i c 1 i 3 1 1 . d 1 1 Man erhält folgendes LGS: I : 3 i c d II : 1 i i c d Addition beider Gleichungen 2 c i c 2 1 i c c 2 2 1i 22 i 1 i 1i 1i 1i 2 Einsetzen in die erste Gleichung 3 i 1 i d d 2 2 i Die Darstellung des zweiten Basiselements von A als Linearkombination der Basiselemente von A lautet also wie folgt: 3 i 1 i 1 i 1 i 2 2 i 1 1 Übertragung der Koeffizienten a,b,c und d zur Darstellungsmatrix M A A F M A A F a c b d zu Aufgabe 4 b) i 1 i 3 2 2 i Zu zeigen: 2 ist ein Vektorraum der Dimension 4 Offensichtlich ist B 1 0 , Jeder Vektor v darstellen: v a 1 0 i 0 , 0 1 , 0 i ein Erzeugendensystem von 2 . a i b c i d 2 mit a, b, c, d und lässt sich als Linearkombination der Elemente aus B wie folgt b i 0 c 0 1 d 0 i Nun ist zu zeigen, dass B linear unabhängig ist. Angenommen x1 1 0 Dann ist x1 x2 i x3 x4 i x2 0 0 i 0 , also x3 0 1 x4 . 0 i x1 x2 i 0 x3 x3 i 0 . 0 0 . Folglich sind x1 0, x2 0, x3 0, x4 0 und damit ist B linear unabhängig. KlausurAufg.nb 7

Seite 1 und 2: Beispiele für Klausuraufgaben Aufg
Seite 3 und 4: zu Aufgabe 3 a) Gegeben: Matrix A G
Seite 5: Aufgabe 4 Die Abbildung F : 2 2
Seite 9: Darstellung der Bilder von F bzgl.

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