Beispiele für Klausuraufgaben

Zu zeigen: ist ein Vektorraum der Dimension 4
Offensichtlich ist B 1
0 ,
8 KlausurAufg.nb
Jeder Vektor v
darstellen: v a 1
0
i
0
, 0
1
, 0
i ein Erzeugendensystem von 2 .
a i b
c i d 2 mit a, b, c, d und lässt sich als Linearkombination der Elemente aus B wie folgt
b i
0
c 0
1
d 0
i
Nun ist zu zeigen, dass B linear unabhängig ist.
Angenommen x1
1
0
Dann ist x1 x2 i
x3 x4 i
x2
0
0
i
0
, also
x3
0
1
x4
.
0
i
x1 x2 i 0
x3 x3 i 0 .
0
0 .
Folglich sind x1 0, x2 0, x3 0, x4 0 und damit ist B linear unabhängig.
zu Aufgabe 4 c)
Gegeben: F End 2
Gesucht: Wähle Basis B von 2
Sei B 1
0 ,
und bestimme M B B F
i
0
, 0
1
, 0
i , wie in Aufgabenteil b) gezeigt, die gewählte Basis von 2 .
Ermittlung der Bilder von F bzgl. der Basiselemente von B
F 1
0
F i
0
F 0
1
F 0
i
2 1 1 i 0
1 i0
2 i 1 i 0
i i0
2 0 1 i 1
0 i1
2 0 1 i i
0 ii
2
1
2 i
i
1 i
i
i i2 i 1
2 i 1
i 1
1
Darstellung der Bilder von F bzgl. Basiselemente von B zur Basis B
2
1
2 i
i
1 i
i
i 1
1
2 1
0
0 1
0
1 1
0
1 1
0
0 i
0
2 i
0
1 i
0
1 i
0
1 0
1
0 0
1
0 0
1
1 0
1
0 0
i
1 0
i
1 0
i
0 0
i
Übertragung der Koeffizienten zur Darstellungsmatrix M B B F
M B B F
2 0 1 1
0 2 1 1
1 0 0 1
0 1 1 0
.