Beispiele für Klausuraufgaben

5 X 5
5 X 5
0
4 KlausurAufg.nb
Damit ist Λ3 5. Die Eigenwerte von A sind demnach Λ3 5 mit Vielfachheit 1 und Λ12 1 mit Vielfachheit 2.
Berechnung der Eigenräume von A
V A, 1 KernA E3 Kern
1 1 1
6 0 6
7 1 7
Anwendung des Gauss-Algorithmus liefert:
1 1 1
6 0 6
7 1 7
1 1 1
0 6 0
0 6 0
1 0 1
0 1 0
0 0 0
Man erhält x3 als freien Parameter. Wähle Μ x3 als Freiheitsgrad.
Setze Μ 1. So erhält man
V A, 1 Lin
1
0
1
V A, 5 KernA 5 E3 Kern
.
7 1 1
6 6 6
7 1 1
Anwendung des Gauss-Algorithmus liefert:
7 1 1
6 6 6
7 1 1
7 1 1
0 36
7
36
7
0 0 0
1 0 0
0 1 1
0 0 0
Man erhält x3 als freien Parameter. Wähle Μ x3 als Freiheitsgrad.
Setze Μ 1. So erhält man
V A, 5 Lin
0
1
1
zu Aufgabe 3 b)
.
Mit den Eigenwerten aus Aufgabenteil a) bzw. den entsprechenden Linearfaktoren aus der Polynomdivision lässt sich das
charakteristische Polynom ΧAX zu A auch wie folgt schreiben:
ΧAX 1 X 2 5 X .
Als Minimalpolynom kommt nur p X 1 X 2 5 X oder p X 1 X 5 X in Frage.