Von Puzzlern lernen

Von Puzzlern lernen
Mathematiker lösen Layoutprobleme mit Puzzlestrategien
Puzzle sind eine beliebte Freizeitbeschäftigung für Groß und Klein. Richtig zusammengesetzt zeigen sie
uns unzählige Motive von Städten, Landschaften, Kunstwerken, Personen und liebevoll arrangierten
Gegenständen. Der Weg hin zum vollendeten Puzzle ist aber oft lang und schwierig. Je größer das Puzzle
und je anspruchsvoller das Motiv, desto mehr müssen wir uns anstrengen, um für jedes Teil seinen
richtigen Platz zu finden. Wer es besonders schwierig mag, wagt sich an das derzeit größte Puzzle mit
über 32000 Teilen von Ravensburger. Oder er löst ein Puzzle ohne das fertige Bild überhaupt zu kennen.
Die schwierigsten Puzzles aber sind einfarbige ohne jede Struktur.
Puzzler haben verschiedene Strategien entwickelt, um für jedes Teil die richtige Position zu finden. Wer
kleine Kinder beim Puzzlen beobachtet, wird feststellen, dass diese zwei sehr einfache Strategien
anwenden: Sie greifen eher zufällig zwei Teile heraus und probieren, ob sie zusammengehören. Oder sie
suchen die Position eines Teils im Bild und legen es an die entsprechende Position auf dem Tisch. Für
große Puzzles sind diese Strategien allerdings ungeeignet. Es würde zu lange dauern,
zusammengehörende Teile zu finden. Auch kann die Position eines einzelnen Teils aufgrund seiner
geringen Größe gar nicht mehr bestimmt werden. In diesen Fällen wenden Puzzler raffiniertere
Methoden an.
Die meisten von ihnen puzzeln zunächst den Rand und schaffen sich so den Rahmen, an dem sie sich
anschließend orientieren. Andere puzzeln als Erstes markante Ausschnitte des Motivs, deren Teile sie
leicht im Gewirr aller Teile identifizieren können. Diese Ausschnitte versuchen sie anschließend
miteinander zu verbinden. Sie schaffen sich also wie den Rand eine Orientierungshilfe für weitere Teile.
Häufig ist es auch sinnvoll, die Puzzleteile nach Farbe oder Form zu sortieren. Das Sortieren nach Farben
gruppiert Teile, die vermutlich nahe beieinander liegen. Passende Teile zu finden ist so erheblich
einfacher, da sehr viel weniger Teile zur Auswahl stehen. Das Sortieren nach Formen ermöglicht zudem
gegen Ende eines Puzzles, die Kandidaten für eine Lücke auf wenige mögliche einzuschränken. Man
ändert somit quasi die Suchrichtung. Statt für ein Teil die passende Position zu suchen, sucht man nun
für eine Lücke das passende Teil.
All diese Strategien dienen dazu, ein Puzzle in einfacher zu lösenden Teilprobleme zu zerlegen. Dadurch
werden strukturierende Orientierungshilfen geschaffen, und das Finden bestimmter Teile durch das
geschickte Gruppieren der Teile wird erleichtert. Dass diese Strategien nicht nur beim Lösen von Puzzlen
erfolgreich eingesetzt werden, sondern auch bei anderen Problemen, zeigt die Arbeit von
Wissenschaftlern am Fraunhofer ITWM.
Mathematiker der Abteilung Optimierung beschäftigen sich seit einiger Zeit mit sogenannten
Layoutproblemen. Ein Layout (Lageplan) legt die Position einer Komponente in einem Container fest. Der
Container ist quasi der Rahmen innerhalb dessen die Komponenten liegen. Das zentrale Ziel dabei ist es,
den gegebenen Container so gut wie möglich mit Komponenten zu füllen. Die Teile dürfen dazu beliebig
oft verwendet, nicht aber beliebig positioniert werden. Vielmehr müssen dabei komplexe Bedingungen

eachtet werden. Diese spiegeln häufig technische Anforderungen der Anwendung wieder, für die
Layouts berechnet werden sollen.
Im Fall von Layoutproblemen geht es also im Gegensatz zum Puzzle nicht darum ein bekanntes Bild
nachzubauen, sondern unter den gegebenen Bedingungen (Bauteile, Container und technische
Anforderungen) ein neues Layout zu erzeugen.
Dr. Kai Plociennik und seine Kollegen planen beispielsweise große Photovoltaikanlagen zur
Stromerzeugung. „Wir versuchen möglichst viele Solarmodule auf einem Grundstück zu platzieren, so
dass es zu möglichst wenigen Verschattungen zwischen den Modulen kommt. Diese würden die
Stromausbeute senken, die der Anlagenbesitzer ja gerade maximieren möchte.“, erzählt er. Das
Grundstück entspricht dabei dem oben genannten Container, die Solarmodule den Komponenten.
„Dabei müssen wir aber auch eine ganze Reihe von technischen Vorgaben beachten, zum Beispiel die
Berücksichtigung von Servicewegen und Kabelkanälen“, ergänzt er.
Dr. Heiner Ackermann beschäftigt sich dagegen mit Schnittbildern für Sägewerke. „Ein Schnittbild
bestimmt, an welcher Position welches Brett aus einem Baumstamm geschnitten wird“, erklärt er. „Ziel
ist es, genau solche Schnittbilder zu finden, die von den Sägelinien umgesetzt werden können und die
möglichst wenig Verschnitt erzeugen.“ Hier entsprechen die Bretter also den Komponenten, ein
Baumstamm dem Container und die Möglichkeiten der Sägen den technischen Anforderungen.
Die Lösungsstrategien, die die beiden Forscher zur Erzeugung guter Layouts einsetzen, ähneln den
Strategien zum Lösen von Puzzeln: Zunächst untersuchen sie, welchen Einfluss die verschiedenen
Bedingungen auf die gesuchten Layouts haben. Der Einfluss einiger Bedingungen ist größer, der anderer
kleiner. Mit Hilfe dieses Wissens können sie die Probleme in Teilprobleme zerlegen, wobei sie die
Teilprobleme so aufeinander abstimmen, dass eine Lösung für das eine Problem eine Orientierungshilfe
für die Lösung eines anderen liefert. Im Fall der Planung von Solarparks ist es beispielsweise sinnvoll, sich
zunächst Gedanken zur Anzahl und Gestaltung der Fahrwege zumachen. Anschließend werden daran die
Solarmodule und zum Schluss die Kabelschächte ausgerichtet.
Analog zum Vorabsortieren der Puzzleteile nach Form und Farbe kann man auch im Fall von
Layoutproblemen die Suchrichtung umkehren. Dazu berechnen die Mathematiker für Teilprobleme
mögliche Lösungen vor. Insbesondere im Fall von Lücken können diese Lösungen schnell nach guten
lückenfüllenden Kandidaten durchsucht werden. Dies ist häufig einfacher, als für eine gegebene Lücke
passende Lösungen explizit zu berechnen. Im Fall der Schnittbildberechnung werden zum Beispiel
außenliegende Brettkonfigurationen vorberechnet. Wie hoch und breit sind sie? Wie nah dürfen sie im
Schnittbild nach außen rücken? So können Kandidaten für bekannte Lücken schnell gefunden und die
Schnittbildberechnung erheblich beschleunigt werden.
Die Verfahren werden seit einiger Zeit erfolgreich von Photovoltaikanlagenbauern und in Sägewerken
eingesetzt. „Am erstaunlichsten daran ist, dass Puzzlestrategien schlussendlich helfen, Solarstrom
günstig zu produzieren und unsere Wälder zu schonen.“, schließen die beiden Mathematiker und freuen
sich schon auf das nächste komplizierte Puzzle.

1. Eine Photovoltaikanlage 2. Ein Schnittbild