4 Wurzelsystem und Längenfunktion

12 Spiegelungsgruppen
4 Wurzelsystem und Längenfunktion
Definition
Das Wurzelsystem von W (oder genauer von (W, S)) ist
Φ:={wα s | w ∈ W, s ∈ S} ⊆V.
Elemente von Φ heissen Wurzeln.
Speziell: Π := {α s | s ∈ S} Menge der einfachen Wurzeln.
Bemerkung
ϕ ∈ Φ ⇒ B(ϕ, ϕ) ϕ=wαs
= B(wα s ,wα s )=B(α s ,α s )=1.
Beispiele
• Dih 3 B(α s ,α t )=− cos π 3 = − 1 2
∢(α s ,α t ) = 120 ◦ α t α s + α t
α s
−α t
−α s
Φ= { ±α s , ±α t , ±(α s + α t ) }
−α s − α t
• Dih ∞ B(α s ,α t )=−1
∞ Hs = {x s α s + x t α t | B(α s ,x s α s + x t α t )
} {{ }
= x s − x t
=0} = Rδ mit δ = α s + α t
Wir hatten schon auf Seite 10 ausgerechnet (für n ∈ Z 0 und überzeugen uns leicht,
dass dies allgemein für n ∈ Z gilt)
(st) n α s = α s +2nδ
=⇒ t(st) n α s = α s +2α t +2nδ = α t +(2n +1)δ
und es gelten dieselben Formeln mit s und t vertauscht. (Insbesondere stimmen die
Spiegelungsgeraden H s und H t überein!)

4. Wurzelsystem und Längenfunktion 13
α t
tα s
stα s
H s = H t
α s
Der Übersichtlichkeit halber sind in obiger Figur die Vektoren nicht als Pfeile eingezeichnet.
Übung 4.1 Bestimme die Menge der Wurzeln Φ für W ( ) .
Bemerkung ϕ ∈ Φ=⇒−ϕ ∈ Φ.
Das ist klar: ϕ = wα s =⇒−ϕ = w(−α s )=wsα s ∈ Φ.
Bemerkung Wurzeln und Spiegelungen
Analog zum Begriff der einfachen Wurzeln nennen wir die Elemente von S die einfachen
Spiegelungen. Die Menge aller Spiegelungen ist die Menge der Konjugierten, also
T := { wsw ∣ −1 w ∈ W, s ∈ S } .
Wir wollen nun die Wirkung in der standard geometrischen Darstellung betrachten:
wsw −1 : λ ↦−→ w ( s(w −1 λ) ) = w ( w −1 λ − 2B(α s ,w −1 λ)α s
)
= λ − 2B(wαs ,λ)wα s
das heisst wsw −1 wirkt als Spiegelung längs der Wurzel ϕ := wα s an der Hyperebene
H ϕ := { λ ∈ V ∣ ∣ B(ϕ, λ) =0
}
. Die beiden Wurzeln ϕ, −ϕ ∈ Φ definieren natürlich
dieselbe Spiegelung in GL(V ).
Definition
Setze
Φ + := { ϕ ∈ Φ ∣ ∑
ϕ = c s α s ⇒ c s 0 } .
Diese Teilmenge ist die Menge der positiven Wurzeln.
Φ − := −Φ + ⊆ Φ ist die Menge der negativen Wurzeln.
In den Beispielen, die wir angeschaut haben, gilt Φ = Φ +
.
∪ Φ − . Wir werden zeigen, dass
das allgemein gilt, d. h. jede Wurzel ist entweder positiv oder negativ. Dazu benötigen wir
zuerst noch einen weiteren Begriff, der in der Theorie der Coxetergruppen eine wichtige
Rolle spielt. Es handelt sich um die Längenfunktion.
s∈S

14 Spiegelungsgruppen
Definition
Sei (W, S) ein Coxetersystem. Wir definieren die Längenfunktion
l : W −→ Z 0
w ↦−→ min { n ∣ ∣ ∃ s 1 ,...,s n ∈ S mit w = s 1 ...s n
}
.
Wir sagen, l(w) seidieLänge von w ∈ W .Einereduzierte Zerlegung von w ∈ W ist
eine Schreibweise von w als Produkt von l(w) ElementenausS.
Trivialerweise gilt: l(w) =0⇐⇒ w =1.
Proposition 4.1 Die Abbildung
ε : W −→ {±1}
s ↦−→ −1
definiert einen Gruppenhomomorphismus.
für s ∈ S
Beweis. Für s, t ∈ S mit m st ≠ ∞ gilt ( (−1)(−1) ) m st
=1. □
Übung 4.2 Welche Bedingung muss m st erfüllen, damit s und t (s, t ∈ S) inW konjugiert sind?
Korollar 4.2 S = { w ∈ W ∣ } l(w) =1 .
Beweis. Gemäss obiger Proposition gilt s ∈ S ⇒ s ≠1. Somits ∈ S ⇒ l(s) =1. □
Beispiel W = W ( ) = 〈 r, s, t ∣ r 2 = s 2 = t 2 =(rs) 3 =(st) 3 =(rt) 2〉 .
rsts
sts
rst
rsrts
ts
srts
rts
rsrt
rs
rsrtsr
srtsr
rstsr
stsr
srt
rsr
rtsr
tsr
Der nebenstehende Graph hat als Ecken
die Gruppenelemente w ∈ W , und zwei
Ecken w und v sind durch eine Kante verbunden,
falls wv −1 ∈ S = {r, s, t} (siehe
auch Korollar 4.4). Man liest ab
∑
t l(w)
w∈W
=1+3t +5t 2 +6t 3 +5t 4 +3t 5 + t 6
=(1+t)(1 + t + t 2 )(1 + t + t 2 + t 3 ).
st
t
s
rt
r
sr
Es gibt hier also ein eindeutig bestimmtes
längstes Element w ◦ = rsrtsr mit
l(w ◦ ) = 6. Das Gruppenelement w ◦ hat
genau 16 reduzierte Zerlegungen (entspricht
Pfaden der Länge 6 von 1 zu w ◦ ).
1
Es gilt W ∼ = Sym 4 , die symmetrische
Gruppe vom Grad 4. Bekanntlich erzeugen
die Transpositionen benachbarter Elemente (1 2), (2 3) und (3 4) die Gruppe Sym 4 .
Ein Isomorphismus W ∼=
−→ Sym 4 ist zum Beispiel gegeben durch r ↦→ (1 2), s ↦→ (2 3) und
t ↦→ (3 4).

4. Wurzelsystem und Längenfunktion 15
Proposition 4.3 Die Längenfunktion l : W → Z 0 eines Coxetersystems (W, S) hat
folgende Eigenschaften für w, w ′ ∈ W und s ∈ S.
(1) l(w) =0⇐⇒ w =1
(2) Sei ε : W →{±1} der Homomorphismus definiert durch ε(s) =−1 für s ∈ S.
Dann gilt ε(w) =(−1) l(w) .
(3) l(w −1 )=l(w)
(4) l(ww ′ ) l(w)+l(w ′ )
(5) l(ww ′ ) ∣ ∣ l(w) − l(w ′ ) ∣ ∣
(6) l(ws) =l(w)+1oder l(ws) =l(w) − 1
(7) l(sw) =l(w)+1oder l(sw) =l(w) − 1
Beweis. (1) ̌ (2) ̌
(3) w = s 1 ...s n mit s 1 ,...,s n ∈ S und l(w) =n
=⇒ w −1 = s n ...s 1 ,alsol(w −1 ) n = l(w).
Ebenso für w −1 anstelle von w =⇒ l(w) =l ( (w −1 ) −1) l(w −1 ).
Zusammen also l(w −1 )=l(w).
(4) w = s 1 ...s n mit s 1 ,...,s n ∈ S und l(w) =n
w ′ = s ′ 1 ...s′ m mit s′ 1 ,...,s′ m ∈ S und l(w′ )=m
=⇒ ww ′ = s 1 ...s n s ′ 1 ...s′ m ,alsol(ww′ ) n + m = l(w)+l(w ′ ).
(5) l(w) =l ( ww ′ (w ′ ) −1) (4)
l(ww ′ )+l ( (w ′ ) −1) (3)
= l(ww ′ )+l(w ′ )
=⇒ l(ww ′ ) l(w) − l(w ′ ).
Also auch l(ww ′ ) (3)
= l ( (ww ′ ) −1) = l ( (w ′ ) −1 w −1) l ( (w ′ ) −1) −l(w −1 ) (3)
= l(w ′ )−l(w).
(6) Mit (4) und (5) folgt
l(w)−1 =l(w)−l(s) l(ws) l(w)+l(s) =l(w)+1 und mit (2) folgt l(ws) ≠ l(w).
(7) l(sw) (3)
= l ( (sw) −1) = l(w −1 s) (6)
∈ { l(w −1 ) ± 1 } (3)
= { l(w) ± 1 } . □
Korollar 4.4 Die Abbildung
d : W × W −→ Z 0 ⊆ R 0
(w, w ′ ) ↦−→ l ( w(w ′ ) −1)
ist eine (rechtsinvariante) Metrik auf W (also d(wv, w ′ v)=d(w, w ′ )).
[Die Dreiecksungleichung folgt natürlich aus (4) in der obigen Proposition.]
Übung 4.3 Finde eine linksinvariante Metrik auf W .
Wir kommen nun zu einem ersten Satz.

16 Spiegelungsgruppen
Satz 4.5 Sei (W, S) ein Coxetersystem. Für w ∈ W und s ∈ S gilt
Korollar 4.6 Φ=Φ +
.
∪ Φ − .
l(ws) =l(w)+1⇐⇒ wα s ∈ Φ + ,
l(ws) =l(w) − 1 ⇐⇒ wα s ∈ Φ − .
Beweis. Klar: Φ + ∩ Φ − = ∅, da0/∈ Φ(ϕ ∈ Φ ⇒ B(ϕ, ϕ) =1).
Sei ϕ ∈ Φ eine beliebige Wurzel. Wir schreiben sie als ϕ = wα s .Gemäss (6) der vorherigen
Proposition ist l(ws) ∈ { l(w) ± 1 } Satz
=⇒ ϕ = wα s ∈ Φ + ∪ Φ − . □
Korollar 4.7 Die standard geometrische Darstellung σ : W → GL(V ) ist treu (d. h. σ
ist injektiv).
Beweis. Zur Erinnerung: wir verwenden die Schreibweise wλ = σ(w)λ.
Wäre wλ = λ für alle λ ∈ V , aber w ≠ 1, so wäre w von der Form w = w ′ s mit
l(ws) =l(w ′ )=l(w) − 1für ein geeignetes s ∈ S.
Satz
=⇒ wα s ∈ Φ − .
Mit der Voraussetzung, dass w im Kern von σ liegt, haben wir dann Φ + ∋ α s = wα s ∈ Φ − ,
was absurd ist.
□
Beweis. (Satz)
Es genügt zu zeigen:
l(ws) =l(w)+1=⇒ wα s ∈ Φ + .
(∗)
Für l(ws) =l(w) − 1habenwirl ( (ws)s ) = l(w) =l(ws)+1 =⇒ (∗)
wsα } {{ } s ∈ Φ + ,
= w(−α s )=−wα s
d. h. wα s ∈ Φ − .
Die Umkehrrichtung ⇐“ folgt aus l(ws) ∈ { l(w) ± 1 } und Φ ” + ∩ Φ − = ∅ mit der Implikation
⇒“. ”
Beweis von (∗) mit Induktion nach l(w).
l(w) =0⇒ w =1,alsowα s = α s ∈ Φ + ̌
Sei l(w) 1, etwa w = s 1 ...s n mit s 1 ,...,s n ∈ S und n = l(w).
Setze t := s n ∈ S. Dann haben wir wt = s 1 ...s n−1 ,alsol(wt) n − 1=l(w) − 1 und
somit l(wt) =l(w) − 1.
Andrerseits ist l(ws) =l(w) + 1 nach Voraussetzung.
Insbesondere also s ≠ t.
Wir definieren W s,t := gp(s, t) dievons und t erzeugte Untergruppe von W . Gemäss
Proposition
(
3.2 ist W s,t eine Diedergruppe der Ordnung 2m st (kann ∞ sein).
W s,t , {s, t} ) ist selbst ein Coxetersystem und hat somit eine Längenfunktion l s,t .
Klar: für w ∈ W s,t ist l s,t (w) l(w). [ Später werden wir sehen, dass l s,t = l| Ws,t gilt. ]