Prüfung (pdf) - ETH Zürich

Prof. Dr. P. Embrechts ETH Zürich Frühling 2006
Stochastik
(D-MAVT / D-MATH / D-MATL)
1. (13 Punkte)
Die Lebensdauer eines elektronischen Bauteils hängt von der Siliziumkonzentration in dem
Stoff, aus welchem es besteht, ab. Es wurde empirisch festgestellt, dass die Lebensdauer (in
Jahren) folgender Formel gehorcht
l(x) = −4 log(1 − x),
wobei x ∈ (0, 1) die Siliziumkonzentration darstellt. Die Siliziumkonzentration X ist zufällig.
Die Dichte von X ist gegeben durch:
{ c(1 − x), 0 ≤ x ≤ 1,
f X (x) =
0, sonst.
a) Berechnen Sie den Wert von c und die Verteilungsfunktion von X.
b) Berchnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
c) Wie ist die Lebensdauer L = l(X) der Komponente verteilt? Geben Sie die Verteilungsfunktion
von L an.
d) Zwei unabhängige Bauteile werden gleichzeitig benutzt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit,
dass genau eine davon während des ersten Jahres kaputt geht?
2. (10 Punkte)
4 Freunde veranstalten nacheinander drei Ruderrennen in Zweierbooten. Die Zweierteams
werden am Anfang zufällig zusammengestellt, und bleiben während den drei Rennen fest.
Bruno und Remo sind mit von der Partie. Bruno ist allerdings nicht gut in Form, so dass
das Team, wo er mitrudert, ein Rennen nur mit Wahrscheinlichkeit 1 für sich entscheidet
4
(unabhängig davon wer sein Teamkollege ist). Gewonnen hat schlussendlich dasjenige Team,
welches mindestens zwei von den drei Rennen für sich entscheidet.
a) Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Team von Bruno gewinnt?
b) Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Team von Remo gewinnt?
c) Das Team von Bruno setzt 1 Franken, und das andere Team 4 Franken. Das Team das
gewinnt erhält den vollen Einsatz von 5 Franken. Was ist der erwartete Gewinn des
Teams von Bruno?
d) Remo ruft seinem Bruder zu Hause an und berichtet, dass er gewonnen hat. Sein Bruder
vergisst ihn zu fragen, wer sein Teamkollege war. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist
Remo zusammen mit Bruno gerudert?
Bitte wenden!

3. (10 Punkte)
Den Promillewert im Blut kann man exakt durch Blutabnahme messen. Man kann den
Promillewert auch approximativ mittels eines Blasgeräts bestimmen. Man vermutet, dass
ein altes Blasgerät einen höheren Promillewert anzeigt als den realen. Um das zu überprüfen
gibt man 12 Personen die gleiche Menge Alkohol zu trinken. Dann wird bei jeder Person der
exakte Promillewert durch Blutabnahme bestimmt, und gleichzeitig wird der Promillewert
auch mit dem Blasgerät gemessen. Man bekommt folgende Resultate (in Promille)
Person 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x i : Blutabn. 0.75 0.87 0.85 0.80 0.65 0.78 0.88 0.62 0.63 0.64 0.88 0.60
y i : Blasgerät 0.79 0.92 0.79 0.86 0.72 0.86 0.85 0.65 0.60 0.71 0.89 0.66
Man möchte einen Test auf dem 5%-Niveau durchführen.
a) Ist die Stichprobe gepaart oder ungepaart?
b) Wie lauten Null- und Alternativhypothese? Ist der Test ein- oder zweiseitig?
c) Nehmen Sie an, dass die Daten normalverteilt sind.
1. Welcher Test ist angebracht?
2. Führen Sie diesen Test durch und geben Sie den Verwerfungsbereich des Tests an.
3. Wie wird der Test entscheiden?
Es stehen folgende Werte zur Verfügung.
¯x 12 = 0.746, s 2 x = 0.012, ȳ 12 = 0.775, s 2 y = 0.011, s 2 pool = 0.012, s2 x−y = 0.002.
4. (14 Punkte)
Über ein Jahr gezählt spielen Arno und Benno 100 Tennismatches gegeneinander. Arno
gewinnt 58 Matches, und behauptet, dass er besser spielt als Benno. Benno ist damit nicht
einverstanden. Um Benno zu überzeugen, dass er besser spielt, führt Arno einen statistischen
Test durch. Dazu nimmt er an, dass er jedes Match mit Wahrscheinlichkeit p, unabhängig
von den anderen Matches, gewinnt.
a) Sollte der Test ein- oder zweiseitig sein? Formulieren Sie Arno’s Null- und Alternativhypothese.
b) Benutzen Sie die Normalapproximation um einen Test auf 2%-Niveau durchzuführen.
c) Berechnen Sie den zugehörigen P -Wert.
d) Wie lautet der Testentscheid auf dem 5%-Niveau?
e) Geben Sie das 98% Vertrauensintervall für p an.