Grundlagen der Mathematischen Statistik” Aufgabenserie 3 1 ...

TU Darmstadt
FB Mathematik
Aufgaben zur Vorlesung ”Grundlagen der Mathematischen Statistik”
Aufgabenserie 3
1. Betrachten Sie den Schätzer ˆλ = ln 2/ˆq 0.5 für den Parameter λ der Exponentialverteilung.
Untersuchen Sie, ob dieser Schätzer stark konsistent ist. Geben Sie die asymptotische
Verteilung dieses Schätzers an. Konstruieren Sie ein Konfidenzintervall für λ.
2. Gegeben sei ein α ∈ (0, 1) und der Schätzer
T n =
1
n − 2k
∑n−k
i=k+1
wobei k = ⌈αn⌉ (k ist die kleinste ganze Zahl ≥ αn). T n heißt getrimmtes Moment.
Zeigen Sie mit Hilfe des Hauptsatzes der Statistik, dass T n ein stark konsistenter Schätzer
für γ = EX m ist.
3. Gegeben sei eine Verteilungsfunktion F mit der Dichte f. Es gelte F (t) = 1 und
F (t − ε) < 1 für alle ε > 0 sowie
lim
x↑t
f(x) = c.
Gegeben weiter sei eine Folge X 1 , X 2 , . . . von unabhängigen Zufallsgrößen mit der Verteilungsfunktion
F . Zeigen Sie, dass gilt:
n(t − X (n) )
X m i
D
−→ Exp(c).
4. Zeigen Sie, dass folgende Familien Exponentialfamilien bilden:
a) Betaverteilung mit θ = (a, b) T , b) geometrische Verteilung mit θ = p, c) Weibullverteilung
mit θ = λ bei vorgegebenem Formparameter p, d) Gammaverteilung.
Die Lebesgue-Dichten für a) und c) lauten:
f θ (x) =
{
Γ(a+b)
Γ(a)Γ(b) xa−1 (1 − x) b−1 für x ∈ [0, 1]
0 sonst
f θ (x) =
{ pλx p−1 e −λxp für x ≥ 0
0 sonst
Die Einzelwahrscheinlichkeiten der Familie b): p θ (k) = (1 − p) k p (k = 0, 1, . . .).
Zeigen Sie, dass die Weibullverteilung mit θ = (λ, p) T keine Exponentialfamilie bildet.
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Aufgaben zur Vorlesung ”Grundlagen der Mathematischen Statistik”
Aufgabenserie 4
1. Geben Sie vollständige und minimal suffiziente Statistiken für die Parameter folgender
Verteilungen an:
a) Weibullverteilung bei fest vorgegebenem Formparameter,
b) geometrische Verteilung,
c) Betaverteilung,
d) Gammaverteilung.
2. X 1 , . . . , X n sei eine Stichprobe mit einer Grundgesamtheit, die gleichmäßig stetig auf
[θ, θ + 1] mit dem Parameter θ verteilt ist. Man zeige, dass T ( X) ⃗ = (X (1) , X (n) ) T eine
minimal suffiziente Statistik ist.
3. Geben sei die Familie der Gammaverteilung, X sei gammaverteilt.
a) Zeigen Sie dass ˆθ 1 = n ∑ −1 n
i=1 X i und ˆθ 2 = n ∑ −1 n
( )
i=1 ln Xi − ln X (1) unabhängig sind.
b) Für welche Größen sind ˆθ 1 und ˆθ 2 konsistente Schätzer?
4. X 1 , . . . , X n sei eine Stichprobe aus einer Grundgesamtheit mit der Dichte
f θ (x) = 2x
θ 2 für 0 < x < θ.
Man gebe eine minimal suffiziente Statistik zu dieser Familie von Verteilungen an.
5. X 1 , . . . , X n sei eine Stichprobe aus einer Grundgesamtheit mit der Dichte
√ (
)
λ
f θ (x) = √ exp λ(x − µ)2
− , Parameter: θ = (λ, µ) T .
2πx
3/2 2µ 2 x
Diese Verteilung heißt inverse Gauß-Verteilung. Man bestimme eine minimal suffiziente
Statistik zu dieser Familie von Verteilungen.
6. Gegeben ist die Familie von diskreten Verteilungen mit den Einzelwahrscheinlichkeiten
p k (θ) =
θ k
k! ∑ θ
j=1 θj (j!) −1 für k = 0 . . . θ
und die Stichprobe X 1 , . . . , X n . Man zeige, dass T = (n −1 ∑ n
i=1 X i, max i=1...n X i ) minimal
suffizient ist.
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