Was ist Algebra?

Was ist Mathematik?
0. Was ist Mathematik?
1. Was ist Algebra?
2. Lineare Gleichungssysteme
• Passiver Zugang: Ein System von
Formalismen zur Lösung bestimmter
Probleme.
Beispiel: Berechnung der Quersumme
einer ganzen Zahl zum Testen der
Teilbarkeit durch 3.
Analogon (Denk-) Sport
• Aktiver Zugang: Entwickle eigene
Methoden zur Lösung kniffliger Probleme,
oder analysiere die Methoden anderer.
• Beispiel: Warum funktioniert der
Quersummentest nur für 3? Gibt es
ähnliche Tests für 5,7, etc. (Anwendung in
der Kryptographie bei der Faktorisierung
großer Zahlen).
• Passiver Zugang: Zuschauen
• Aktiver Zugang: Selbst Spielen
Was ist Algebra?
Addition ganzer Zahlen
(kommutativ)
Algebra beschäftigt sich mit:
= =
• algebraischen Operationen:
+,-, ·, ÷
• algebraischen Gleichungen
1. Halbzeit 2. Halbzeit
1. Halbzeit
2. Halbzeit
Endstand
1

Multiplikation ganzer Zahlen
Multiplikation (kommutativ)
=
Spiel 1 Spiel 2 Spiel 3 Spiel 4
Spiel 1 Spiel 2 Spiel 3 Spiel 4
Spiel 1 Spiel 2 Spiel 3
Multiplikation (assoziativ)
=
2.(3.4) (2.3).4
• Dies ist nur eine Illustration des
Assoziativgesetzes, kein Beweis. Einen
formalen Beweis können wir im Moment
nicht geben, da wir keine formale Definition
der ganzen Zahlen haben.
• Wir wollen auch keinen Beweis geben, da
wir das Assoziativgesetz (und
Kommutativgesetz) als Axiom nehmen
werden.
Beispiele für Körper
• Die klassischen Körper: Q ⊂ R ⊂ C
• Der Körper F 2
0+0=0 0*0=0
0+1=1 0*1=0
1+1=0 1*1=1
Anwendungen von F 2 in der
Informatik
• Ein Bit ist die kleinste Informationseinheit
in der Informatik. Es kann genau zwei
Werte annehmen, die man üblicherweise
mit 0 und 1 bezeichnet.
• Codewort: (x 1 ,...,x n ), x i ∈ F 2
2

Kodierungstheorie
• In der Kodierungstheorie sucht man
geeignete Mengen von Codewörtern, so
dass sich je zwei Codewörter an möglichst
vielen Stellen unterscheiden. Dabei ist die
Körperstruktur von F 2 hilfreich.
Der Körper F p : Ganze Zahlen
modulo p
• Z. B. p=7:
3