Parametrische Modellreduktion in hierarchisch ... - ConImit.de

Parametrische Modellreduktion in hierarchisch modellierten
selbstoptimierenden Systemen
Dipl.-Math. Martin Krüger, Dipl.-Ing. Ingo Scharfenbaum,
Prof. Dr.-Ing. habil. Ansgar Trächtler
Heinz Nixdorf Institut
Universität Paderborn
Regelungstechnik und Mechatronik
Pohlweg 98, 33098 Paderborn
Tel.: +49 (0) 5251 60 5568, Fax: +49 (0) 5251 60 5579
E-Mail: martin.krueger@rtm.upb.de
Zusammenfassung
Im Rahmen der Selbstoptimierung mechatronischer Systeme werden oftmals Mehrzieloptimierungsverfahren
zur Berechnung optimaler Systemkonfigurationen eingesetzt.
Um auch komplexe mechatronische Systeme zu behandeln, hat man geeignete Strukturierungsverfahren
entwickelt, die zu hierarchischen Modellen führen. Zur Beschleunigung
des Optimierungsprozesses werden reduzierte Modelle der einzelnen Teilsysteme
eingesetzt. Der vorliegende Beitrag erweitert die bestehenden Ansätze um den Einsatz
parametrischer Modellreduktionsverfahren, wodurch eine explizite Parameterabhängigkeit
der Teilsysteme innerhalb der Hierarchie erhalten werden kann.
Das vorgestellte Reduktionsverfahren basiert auf einem implizitem Abgleich der Momente
der Übertragungsfunktion. Das reduzierte System wird durch Projektion auf ein
System geringerer Ordnung gebildet. Zur Berechnung der Projektionsmatrizen wurde
ein zweiseitiger Arnoldi-Algorithmus verwendet.
Anhand eines hierarchischen Modells des Prüfstands für die aktive Federung des Schienenfahrzeugs
RailCab konnte gezeigt werden, dass für die Optimierung relevante Parameter
über mehrere Hierarchieebenen hinweg erhalten werden können.
Schlüsselwörter
Parametrische Modellreduktion, Selbstoptimierung, hierarchische Modellierung,
Krylov-Unterräume, Moment Matching
Diese Arbeit ist im "Sonderforschungsbereich 614 – Selbstoptimierende Systeme des
Maschinenbaus" der Universität Paderborn entstanden und wurde auf seine Veranlassung
unter Verwendung der von ihm von der Deutschen Forschungsgemeinschaft zur
Verfügung gestellten Mittel veröffentlicht.

Seite 206
M. Krüger, I. Scharfenbaum, A. Trächtler
1 Einleitung
Der vorliegende Beitrag ist innerhalb des Sonderforschungsbereichs 614 – Selbstopti–
mierende Systeme des Maschinenbaus – entstanden. Entsprechend der Definition in
[ADG+08] wird unter Selbstoptimierung eines technischen Systems die endogene Änderung
der Ziele des Systems auf veränderte Einflüsse und die daraus resultierende,
zielkonforme, autonome Anpassung des Verhaltens dieses Systems verstanden. Selbstoptimierung
vollzieht sich als Prozess, der aus den drei Schritten Analyse der Ist-
Situation, Bestimmung der Systemziele und Anpassung des Systemverhaltens besteht.
Um für die Anpassung des Systemverhaltens optimale Systemkonfigurationen zu berechnen,
setzt man oftmals modellbasierte Mehrzieloptimierungsverfahren ein
[DSH05]. Hierzu ist es sinnvoll, komplexe mechatronische Systeme zunächst geeignet
zu strukturieren und zu vereinfachen. Zur Strukturierung eignet sich die in Kapitel 2
beschriebene funktionsorientierte Zerlegung [LHL01], auf deren Grundlage ein hierarchisches
Modell aufgebaut wird [MAK+08]. Zur weiteren Verringerung der Komplexität
und zur Beschleunigung von Simulationen wurden hier bereits Modellreduktionsverfahren
eingesetzt.
Entsprechend dem bisherigen Ansatz muss bei jeder Parameteränderung, d. h. im Falle
einer Mehrzieloptimierung in jedem Optimierungsschritt, das hierarchische Modell aktualisiert
werden, was zu einer Neuberechnung sämtlicher reduzierter Modelle führt. Im
Folgenden wird daher die bisherige Vorgehensweise um den Einsatz parametrischer
Modellreduktionsverfahren erweitert. Mittels dieser Verfahren können Parameteränderungen
direkt vorgenommen werden, wodurch langfristig der Optimierungsprozess weiter
beschleunigt werden soll.
Der in Kapitel 3 vorgestellte Reduktionsansatz basiert auf einem impliziten Momentenabgleich
[DSC+04] mit Hilfe von Krylov-Unterraumverfahren [LS04]. Auf der Grundlage
bereits vorhandener Ansätze für die nichtparametrische Modellreduktion [BLS05]
ist ein parametrisches Reduktionsverfahren auf der Basis von Arnoldi-Algorithmen umgesetzt
worden. Die Reduktionsergebnisse mit dem neuen Verfahren werden in Kapitel
4 an einem hierarchischen Modell eines Prüfstands für die aktive Feder-Neigetechnik
des Schienenfahrzeugs RailCab vorgestellt.
2 Hierarchische Modellierung
Mechatronische Systeme lassen sich in unterschiedliche Subsysteme zerlegen, die sich
aus der Baumstruktur der Bewegungsfunktionen des Gesamtsystems ergeben
[ADG+08]. Die Subsysteme können mittels unterschiedlicher Strukturierungselemente
[LHL01] wie beispielsweise des mechatronischen Funktionsmoduls (MFM) oder des
autonomen mechatronischen Systems (AMS) beschrieben werden. Die Strukturierungselemente
tragen hierbei den unterschiedlichen Ausprägungen eines mechatronischen
Subsystems Rechnung. Die Baumstruktur der Bewegungsfunktionen führt dazu, dass

Parametrische Modellreduktion in hierarchisch modellierten selbstoptimierenden Systemen Seite 207
die einzelnen Teilsysteme stets hierarchisch angeordnet sind. Jedes Teilsystem verfügt
wiederum über seine eigene Informationsverarbeitung.
Zur Strukturierung dieser Informationsverarbeitung hat sich das Operator-Controller-
Modul (OCM) bewährt [ADG+08]. Dieses besteht, wie in Bild 1 (links) dargestellt, aus
den drei Bestandteilen Controller, Reflektorischer Operator und Kognitiver Operator.
Der Controller auf der untersten Ebene enthält klassische regelungstechnische Komponenten,
mit deren Hilfe das gewünschte dynamische Verhalten des Systems erreicht
wird. Auf der mittleren Ebene, innerhalb des Reflektorischen Operators, werden vorwiegend
Überwachungs- und Ablaufsteuerungen ausgeführt. Gleichzeitig fungiert der
Reflektorische Operator als Schnittstelle zwischen dem Controller und dem Kognitiven
Operator. In Letztgenanntem kann über vielfältige Methoden Wissen über das eigene
Verhalten und die Umgebung zur Verbesserung des Systems eingesetzt werden. Die
hier verwendeten Methoden sind dabei nicht mehr harten Echtzeitanforderungen unterworfen,
sondern können in gewissem Maß entkoppelt von der realen Zeit ablaufen
[ADG+08]. Im Fall von sehr aufwändigen Verfahren wie der Lösung eines Mehrzieloptimierungsproblems
ist es sinnvoll, eine erste Lösung offline zu bestimmen und die
Paretomenge, das Ergebnis der Optimierung, in der Wissensbasis zu hinterlegen
[MAK+08].
Bild 1:
Strukturierung der Informationsverarbeitung: Operator-Controller-Modul
(links) und interagierende OCMs in der Modellhierarchie (rechts)
Kommunikation der Teilsysteme untereinander findet nur zwischen den einzelnen Teilelementen
des OCM statt. In Bild 1 (rechts) ist beispielhaft die Kommunikation zwischen
den Kognitiven Operatoren verschiedener Teilsysteme angedeutet.

Seite 208
M. Krüger, I. Scharfenbaum, A. Trächtler
2.1 Hierarchisches Modell
Viele Methoden, die im Rahmen der Selbstoptimierung innerhalb des Kognitiven Operators
angewendet werden, verwenden speziell an die jeweiligen Anforderungen angepasste
mathematische Modelle des dynamischen Verhaltens. Diese werden in einer
Wissensbasis innerhalb des Kognitiven Operators hinterlegt.
Da jedes Teilsystem mit einem eigenen OCM ausgestattet wird, wodurch eine starke
Kapselung der Teilsysteme entsteht, stehen diesem lediglich Informationen über das
eigene Verhalten zur Verfügung. Aufgrund der physikalischen Abhängigkeiten zwischen
den Teilsystemen ist Selbstoptimierung allerdings nur möglich, wenn das Verhalten
der unterlagerten Teilsysteme beachtet wird. Zur Verringerung der dadurch entstehenden
Komplexität auf den höheren Hierarchieebenen ist der folgende Ansatz zum
Aufbau eines hierarchischen Modells entwickelt worden [MAK+08].
Die Grundidee besteht darin, dass jedes Teilsystem über ein detailliertes, nichtlineares
mathematisches Modell des eigenen Verhaltens verfügt und das Verhalten der unterlagerten
Systeme in vereinfachter Form eingebunden wird. Diese eingebundenen Modelle
stellen linearisierte Zustandsmodelle des dynamischen Verhaltens der unterlagerten Systeme
dar, die zusätzlich mit Hilfe von Modellreduktionsverfahren vereinfacht werden.
Das auf diese Weise entstandene Modell bildet die Grundlage der Methoden der Selbstoptimierung
und wird daher als Basismodell bezeichnet. Gemäß den Anforderungen der
angewandten Methoden wird das Basismodell um zusätzliche Modelle erweitert. Beispielsweise
werden zur Anwendung von Optimierungsverfahren die im Optimierungsmodell
in Bild 1 (rechts) dargestellten Teilmodelle ergänzt.
Jede Parameteränderung zog in den bisherigen Arbeiten [MAK+08] eine Aktualisierung
des gesamten hierarchischen Modells nach sich; insbesondere musste für jedes Teilsystem
ein neues reduziertes Modell berechnet und an die überlagerten Teilsysteme übertragen
werden. Dies ist vor allem im Rahmen der Optimierung nachteilig, da jeder Optimierungsschritt
eine Parameteränderung mit sich bringt. Mit Hilfe der im Folgenden
beschriebenen parametrischen Modellreduktion werden parameterabhängige reduzierte
Systeme erzeugt, die weiterhin von den überlagerten Systemen eingebunden werden.
Parameteränderungen können dann direkt in den überlagerten Systemen durchgeführt
werden, ohne dass eine neue Reduktion der unterlagerten Systeme ausgeführt werden
muss. Werden die Optimierungsparameter als Reduktionsparameter gewählt, ist insbesondere
bei der Lösung von Mehrzieloptimierungsproblemen eine Beschleunigung des
Optimierungsprozesses zu erwarten, ohne dass die Vorteile der gekapselten OCM verloren
gingen.
3 Parametrische Modellreduktion
Im folgenden Kapitel wird der verwendete Ansatz zur parametrischen Modellreduktion
vorgestellt. Es handelt sich hierbei um ein sogenanntes zweiseitiges Reduktionsverfah-

Parametrische Modellreduktion in hierarchisch modellierten selbstoptimierenden Systemen Seite 209
ren auf der Basis von Krylov-Unterräumen, das für die Reduktion von linearen, zeitinvarianten
Mehrgrößensystemen geeignet ist. Die Modellreduktion mittels Krylov-
Unterraum-methoden [LS04] ist ein bewährtes Reduktionsverfahren, das seit längerem
in einem breiten Anwendungsspektrum eingesetzt wird. Die Grundidee des hier genutzten
Verfahrens basiert auf einem impliziten Momentenabgleich für parametrische Systeme
[DSC+04]. Zur Verbesserung der numerischen Berechnung wird die in [BF07]
vorgeschlagene rekursive Darstellung der Momente mitberücksichtigt. Da in den in Kapitel
2 vorgestellten hierarchischen Systemen oftmals viele Ein- und Ausgänge berücksichtigt
werden müssen, wird das Reduktionsverfahren mit Abbruch- und Auswahlbedingungen
kombiniert, die ursprünglich für nichtparametrische Modellreduktionsverfahren
entwickelt wurden [BLS05]. Die für die Reduktion erforderlichen Projektionsmatrizen
werden mit Hilfe eines zweiseitigen Arnoldi-Algorithmus berechnet, dessen Funktionsweise
innerhalb dieses Kapitels ebenfalls vorgestellt wird.
3.1 Parametrische Modellreduktion durch impliziten Momentenabgleich
Die Idee des impliziten Momentenabgleichs für parametrische Systeme stellt eine Verallgemeinerung
etablierter Verfahren für den nichtparametrischen, statischen Fall dar.
Eine allgemeine Herleitung ist beispielsweise in [DSC+04] zu finden.
Den Ausgangspunkt bildet ein lineares, zeitinvariantes Mehrgrößensystem, das in parametrisierter
Form vorliegen muss. Dabei werden im Folgenden nur Systeme mit konstanten
Eingangs-, Ausgangs- und Durchgriffsmatrizen behandelt:
x( t) A( p) x( t) Bu( t),
y( t) C x( t) Du( t), mi t x n , u p , y
k .
Zur weiteren Vereinfachung wird vorausgesetzt, dass die Dynamikmatrix linear von den
Parametern p p ,..., 2
pm
abhängt:
A( p , ... , p ) A p A ... p A .
(1)
2 m 1 2 2 m m
Die Reduktion basiert auf einer Projektion des Zustandsvektors, d. h. der ursprüngliche
nq
Zustandsraum mit der Ordnung n wird mittels zweier Projektionsmatrizen VW ,
in einen Zustandsraum der Ordnung q mit q n projiziert. Für das reduzierte System
erhält man dann die folgenden Systemmatrizen:
A ( p) A p A ... p A W
A( p) V ,
r 1r 2 2r m mr
T
B W B, C CV und D D
.
r
r
Die Übertragungsfunktion derartiger parametrischer Systeme hängt ebenfalls explizit
von den Parametern ab und ist gegeben durch
r
T

Seite 210
M. Krüger, I. Scharfenbaum, A. Trächtler
1
G( s, p) C( s I A1 p2 A
2
... pm
A
m)
B
C( I ( A s A A p ... A A p )) ( A B).
1 1 1 1 1
1 1 2 2 1 m m
1
p1
M 1 M 2 M m B M
Mit den gewählten Abkürzungen lässt sie sich als unendliche Summe
darstellen.
G( p) C ( M p M p ... M p ) j B
j0
1 1 2 2 m m M
Die Koeffizienten in dieser Darstellung der Übertragungsfunktion werden als Momente
k
bezeichnet. Bei m Parametern existieren insgesamt m Momente der Ordnung k .
Das Ziel der Modellreduktion besteht darin, ein reduziertes System zu berechnen, bei
dem eine möglichst hohe Anzahl der Momente mit den Momenten des Originalsystems
übereinstimmt. Unter Berücksichtigung des Ansatzes der Krylov-Unterraummethoden
muss die Projektionsmatrix V eine Basis des parametrischen, eingangsseitigen Krylov-
Unterraums
2
B M, M B 1 M, M B 2 M,..., M B m M, M B 1 M, M M B 1 2 M,...
(2)
sein. Nur so lässt sich beweisen, dass sämtliche Momente in Übereinstimmung gebracht
werden.
Die Blockmatrizen in (2) hängen rekursiv voneinander ab und lassen sich in einer
Baumstruktur darstellen, die zur Berechnung der Projektionsmatrix V genutzt werden
kann. In Bild 2 ist ein Ausschnitt der Baumstruktur für ein exemplarisches System mit
zwei Eingängen und einem Parameter dargestellt. In jeder horizontalen Ebene sind hier
die Momente der entsprechenden Ordnung aufgetragen. Diese rekursive Definition der
Momente kann zur Verbesserung der Berechnung von V genutzt werden [BF07].
Bild 2: Baumstruktur der Momente des eingangsseitigen Krylov-Unterraumes
Stellen die Spalten der Matrix V keine vollständige Basis des Unterraumes (2) dar, so
wird nur ein Teil der Momente abgeglichen. Für den in Abschnitt 3.2 vorgestellten Algorithmus
ergibt sich hieraus die Zielsetzung, einerseits eine möglichst geringe Anzahl

Parametrische Modellreduktion in hierarchisch modellierten selbstoptimierenden Systemen Seite 211
an Basisvektoren zu benutzen, um eine geringere Systemordnung zu erreichen, aber
andererseits möglichst viele bzw. die relevanten Momente zu berücksichtigen.
Es lässt sich ebenfalls herleiten, dass die Momente der Übertragungsfunktionen in
Übereinstimmung gebracht werden können, wenn die Projektionsmatrix W als Basis
des ausgangsseitigen Krylov-Unterraumes
T
T
T
1
M
A1
C und Mi T T
1 i
2
CM , M1 CM , M
2CM , ,
M
mCM , M1 CM , M1 M
2CM
, ,
mit C
A
,
i1
A A , 1
i m
gewählt wird. Stellen die Spaltenvektoren von V und W jeweils nur Teile der Basen
dar, so addiert sich die Anzahl der übereinstimmenden Momente. Aus diesem Grund ist
es sinnvoll, sowohl V als auch W für die Modellreduktion zu verwenden. In diesem
Fall spricht man von einem zweiseitigen Verfahren.
3.2 Zweiseitiger Arnoldi-Algorithmus
Beim zweiseitigen Arnoldi-Algorithmus [BLS05] werden die Projektionsmatrizen V
und W als Orthonormalbasen des ein- und des ausgangsseitigen Krylov-Unterraumes
gewählt. Der Algorithmus berechnet somit q orthonormale Basisvektoren für die jeweilige
Projektionsmatrix. Die Ziele bestehen darin, q möglichst klein zu wählen, aber
trotzdem eine hohe Approximationsgüte zu erreichen.
Die Arnoldi-Algorithmen sind ein weit verbreitetes Verfahren zur Berechnung orthogonaler
Vektoren und können auch in diesem Zusammenhang eingesetzt werden. Die
Vorgehensweise des Algorithmus wird exemplarisch für die Berechnung der Projektionsmatrix
des eingangsseitigen Krylov-Unterraumes durchgeführt. Für den ausgangsseitigen
Unterraum wird analog verfahren. Die Projektionsmatrizen werden getrennt voneinander
berechnet und nach jeder Momentenebene (siehe Bild 2) synchronisiert, da
beide Matrizen den gleichen Rang q besitzen müssen.
Der Algorithmus beginnt mit der Berechnung des ersten Elements von V aus
A B b ... b
, wobei p die Anzahl der Systemeingänge definiert (Gleichung (2)).
1
1 1 p
Der erste Basisvektor v
1
ist somit der normalisierte Vektor b
1.
Im Anschluss wird ein Laufparameter i eingeführt, der sich aus der aktuellen Spaltenanzahl
der Matrix V berechnet. Somit lassen sich die weiteren Kandidaten der 0-ten
Momentenebene folgendermaßen berechnen:
vˆ b .
i
Für die höheren Momentenebenen erfolgt die Berechnung der Kandidaten unter Ausnutzung
der rekursiven Definition und ergibt sich zu:
i

Seite 212
M. Krüger, I. Scharfenbaum, A. Trächtler
vˆ M H .
i
Die Variable H ist ein Zwischenspeicher, in dem bereits gefundene orthogonale Vektoren
der vorherigen Momentenebene abgelegt werden. Die Matrix M
j
entstammt der
Momentendarstellung in Gleichung (2). Anschließend werden die Vektoren nach Gram-
Schmidt orthogonalisiert.
Nach der Orthogonalisierung wird entschieden, ob ein Vektor als Basisvektor genutzt
oder verworfen wird. Dazu bedient man sich einer fest vorgegebenen Schranke ò und
nimmt an, dass v ˆ i
nahezu als Linearkombination der anderen Basisvektoren darstellbar
ist, falls
ˆv
i
j
l
ò gilt. Ist diese Bedingung erfüllt, wird der Vektor verworfen. Anderenfalls
wird er normalisiert und zur Basis hinzugefügt.
Diese Schritte werden wiederholt, bis keine weiteren orthogonalen Vektoren für die
eingangs- wie auch für die ausgangsseitige Basis des Krylov-Unterraumes gefunden
werden können oder eine vorgegebene Ordnung q erreicht wurde.
4 Anwendungsbeispiel Feder-Neigeprüfstand
Als Anwendungsbeispiel für die parametrische Modellreduktion dient ein Prüfstand für
die aktive Feder-Neigetechnik des Schienenfahrzeugs RailCab. Das RailCab ist ein autonomes
Fahrzeug, das mittels eines Linearmotors angetrieben wird und neben einer
aktiven Feder-Neigetechnik über eine aktive Spurführung verfügt [RAI09-ol].
Bild 3: Feder-Neigeprüfstand
Der Prüfstand selbst, dargestellt in Bild 3, bildet ein Halbfahrzeug nach und besteht aus
einer Aufbaumasse, zwei symmetrisch unterhalb der Aufbaumasse angeordneten
Aktormodulen und einer Anregungseinheit. Jedes der Aktormodule setzt sich aus drei
Hy-draulikzylindern und einer Umlenkkinematik zusammen. Der Aufbau besitzt drei

Parametrische Modellreduktion in hierarchisch modellierten selbstoptimierenden Systemen Seite 213
Freiheitsgrade: die Translationen in vertikaler und in Querrichtung sowie die Rotation
um die Längsachse.
4.1 Hierarchisches Modell des Feder-Neigeprüfstands
Die Funktionsstruktur des Feder-Neigeprüfstands führt zu einer hierarchischen Zerlegung
mit drei Hierarchieebenen. In Bild 4 sind die einzelnen Teilsysteme mit den zugehörigen
Bewegungsfunktionen dargestellt. Zudem ist hier angegeben, um welche Art
von Strukturierungselement (AMS / MFM) es sich handelt.
Auf der untersten Ebene befinden sich die sechs Hydraulikzylinder des Prüfstandes.
Innerhalb der Kognitiven Operatoren umfasst das Basismodell jedes Zylinders die Dynamik
des Zylinders sowie einen Positionsregler, der als PD-Regler mit der Übertragungsfunktion
G
zyl
() s K
p
Ks
d
T s 1
implementiert ist. Auf der mittleren Ebene der Hierarchie befinden sich die beiden
Aktormodule, in deren Basismodellen die unterlagerten Zylindermodelle als Kraftsteller
eingefügt sind. Zusätzlich sind in dem Basismodell ein mechanisches Modell der Umlenkkinematik
und die regelungstechnische Ansteuerung enthalten. Die linearisierten
und reduzierten Modelle der Aktormodule werden auf der obersten Ebene, die vom gesamten
Halbfahrzeug gebildet wird, ebenfalls als Kraftsteller eingebunden. Weiterhin
sind hier in dem Basismodell die Regler für die aktive Feder-Neigetechnik sowie die
Mehrkörpermodelle des Aufbaus und der Anregungseinheit enthalten.
1
Bild 4: Hierarchische Zerlegung des Feder-Neigeprüfstands
Bei der Berechnung optimaler Systemkonfigurationen im Rahmen der Selbstoptimierung
stellen die Parameter der verwendeten Regler die Optimierungsvariablen dar. Aus
diesem Grund sollen diese in den reduzierten Modellen erhalten bleiben. In früheren
Arbeiten hat sich gezeigt, dass der Einfluss der Zeitkonstante T
1
und des
Reglerparameters K
d
auf das dynamische Verhalten des Gesamtsystems gering ist. Da-

Seite 214
M. Krüger, I. Scharfenbaum, A. Trächtler
her wird nur die Abweichung des Verstärkungsfaktors
K
p
von einem Nominalzustand
als Parameter für die Reduktion gewählt. Da jeder Zylinder separat parametriert werden
kann, müssen bei der Reduktion der Aktormodule drei Parameter und bei der Reduktion
auf der obersten Hierarchieebene sechs Parameter berücksichtigt werden.
4.2 Reduktionsergebnisse
Der Ablauf der durchgeführten Modellreduktion besteht aus drei Schritten. Zunächst
wird das jeweilige Basismodell linearisiert und anschließend mittels Differenzenquotienten
die erforderliche lineare Parameterabhängigkeit entsprechend Gleichung (1) erzeugt.
Danach wird das in Kapitel 3 beschriebene parametrische Reduktionsverfahren
angewendet. Die erzielten Modellordnungen für die unterschiedlichen Teilsysteme sind
in Tabelle 1 dargestellt. Eine Ausnahme bilden die Basismodelle der Hydraulikzylinder
auf der untersten Hierarchieebene, für die kein reduziertes Modell mit ausreichender
Approximationsgüte erstellt werden konnte. Daher wurden in den linearisierten Zylindermodellen
lediglich die nicht steuerbaren bzw. nicht beobachtbaren Zustände entfernt.
Tabelle 1: Eigenwerte der Systemmatrizen des hierarchischen Feder-
Neigeprüfstands
Teilsystem Modellordnung größter Eigenwert
Aufbau (reduziert) 20 -220,893
Aufbau 46 -502,724
Aktormodul (reduziert) 6 -116,389 163,539 i
Aktormodul 18 -14744,7
Hydraulik-Zylinder (reduziert) 4 -1000,0
Hydraulik-Zylinder 5 -1000,0
nichtlineares Prüfstandsmodell 76 -14747,7
Neben den Systemordnungen der Teilsysteme ist in Tabelle 1 zusätzlich der größte Eigenwert
angegeben. Da der Betrag der Eigenwerte der reduzierten Systeme durch die
Reduktion erheblich verringert wurde, können Simulationen mit einer wesentlich größeren
Schrittweite durchgeführt werden. Dies stellt einen der wesentlichen Vorteile der
reduzierten Modelle dar, da auch die innerhalb der Selbstoptimierung eingesetzten
Mehrzieloptimierungsverfahren auf Simulationen basieren.
Da die Aktormodule im Basismodell des Halbfahrzeugs als Kraftsteller eingefügt werden,
ist für die Approximationsgüte der reduzierten Modelle auf dieser Ebene vor allem
die korrekte Nachbildung der gestellten Kräfte entscheidend. In Bild 5 links ist daher
exemplarisch die auf den Aufbau wirkende Kraft in vertikaler Richtung F
z,
Feder
bei einem
Sprung der entsprechenden Sollkraft F
z,
Aufschalt
für das Originalmodell und das reduzierte
Modell dargestellt. Die drei Parameter der unterlagerten Zylinder wurden hier-

Parametrische Modellreduktion in hierarchisch modellierten selbstoptimierenden Systemen Seite 215
bei um K P
500 ausgelenkt. Um die Auswirkung einer Parameteränderung besser zu
veranschaulichen, ist zusätzlich die Sprungantwort eines nichtparametrischen reduzierten
Systems im Nominalzustand dargestellt, die mit der Sprungantwort des Originalsystems
im Rahmen der Darstellungsgenauigkeit übereinstimmte. Es ist zu erkennen, dass
das parametrische reduzierte System die Dynamikänderung des ausgelenkten Originalmodells
mitberücksichtigt, wenn auch die Höhe des Überschwingers nicht vollständig
erreicht wird.
Dieser Makel an den reduzierten Systemen der Aktormodule ist vertretbar, da auf der
übergeordneten Ebene trotzdem eine sehr gute Approximationsgüte erreicht wird. Dies
ist Bild 5 (rechts) zu entnehmen, in dem die vertikale Bewegung des Aufbaus z
Aufbau
bei
einer sprungförmigen Anregung über die Anregungseinheit z
Anregung
dargestellt ist.
K P
Auch hier sind wieder die Verläufe des Basismodells und des parametrischen reduzierten
Modells dargestellt. In beiden Systemen wurden alle sechs Verstärkungsfaktoren um
500 ausgelenkt. Zum Vergleich ist ebenfalls die Sprungantwort eines nichtparametrischen
reduzierten Systems aufgetragen.
Fz , Aufschalt
F
,
Bild 5: Sprungantworten der Bewegung
zAnregung
zAufbau
(rechts)
z Feder
(links) und der Bewegung
Um einen detaillierteren Überblick über die erreichte Approximationsgüte zu erhalten,
betrachtet man die quadratisch bewertete Differenzfläche zwischen den Sprungantworten
des ursprünglichen und des reduzierten Modells. Der Verstärkungsfaktor K wird
für alle Zylinder gleichzeitig von -500 bis 500 bzw. 1000 variiert. Je kleiner die Differenzfläche,
desto besser ist die Approximationsgüte des jeweiligen reduzierten Modells
für diesen Zustand. Zum Vergleich wird zusätzlich die Differenzfläche zwischen einem
nichtparametrischen reduzierten Modell herangezogen.
In Bild 6 (links) sind die Differenzflächen für das linke Aktormodul dargestellt. Es ist
erkennbar, dass bei deutlichen Abweichungen aus dem Entwicklungspunkt eine parametrische
Modellreduktion wesentlich bessere Ergebnisse liefert. Eine negative Auslenkung
des Originalmodells ist bei einer parametrischen Reduktion kritischer, da es hier
einen Bereich gibt, in dem die statische Reduktionsmethode geringfügig besser ist. Ins-
P

Seite 216
M. Krüger, I. Scharfenbaum, A. Trächtler
gesamt gesehen, liefert das parametrische Verfahren über den Bereich von
500 ... 500 das bessere Reduktionsergebnis.
K P
Die Ergebnisse für den Aufbau sind in Bild 6 (rechts) zu finden. Es ist erkennbar, dass
es einen Bereich gibt, in dem die statische Reduktion eine bessere Approximation liefert,
da die Differenzfläche geringer ist. In diesem Bereich ist jedoch keine signifikante
Änderung des Systemverhaltens festzustellen, d. h. Parameterabweichungen führen
nicht zu einer deutlich veränderten Dynamik. So erklärt sich die weiterhin gute Approximation
durch ein statisches Reduktionsverfahren. Bei deutlichen Abweichungen ist
die parametrische Reduktionsmethode im Vorteil, da es ihr möglich ist, die Dynamikänderungen
zu berücksichtigen.
Fz , Aufschalt
F
,
Bild 6: Quadratisch bewertete Differenzflächen der Bewegung
zAnregung
zAufbau
(links) und der Bewegung (rechts)
z Feder
Abschließend sei noch erwähnt, dass im Frequenzbereich ähnliche Ergebnisse wie im
Zeitbereich erzielt werden konnten, jedoch die Unterschiede zwischen der parametrischen
und der nichtparametrischen Reduktion nicht so deutlich sind. Insgesamt reichte
die approximierte Bandbreite für das vorliegende Anwendungsbeispiel aus.
5 Resümee und Ausblick
In dem vorliegenden Beitrag wurde ein parametrisches Modellreduktionsverfahren für
den Einsatz in selbstoptimierenden mechatronischen Systemen vorgestellt. Das erläuterte
Verfahren basiert auf einem impliziten Momentenabgleich mit Hilfe von Krylov-
Unterräumen. Der im Rahmen des Sonderforschungsbereichs 614 entwickelte Ansatz
zur Strukturierung komplexer mechatronischer Systeme, der auf Bewegungsfunktionen
basiert und zu hierarchischen Modellen führt, wurde aufgegriffen und um die parametrische
Modellreduktion erweitert. Die Vorteile hierarchischer Modelle, die in der Verringerung
der Komplexität und der Kapselung der einzelnen Teilsysteme bestehen, bleiben
auch bei der Verwendung der vorgestellten parametrischen Modellreduktion erhalten.
Der erweiterte Ansatz besitzt darüber hinaus den Vorzug, dass Parameteränderungen an
unterlagerten Teilsystemen direkt von den überlagerten Systemen durchgeführt werden

Parametrische Modellreduktion in hierarchisch modellierten selbstoptimierenden Systemen Seite 217
können. Beim Einsatz von Mehrzieloptimierungsverfahren zur Bestimmung optimaler
Systemeinstellungen kann hierdurch zukünftig auf einen Teil der durchzuführenden
Reduktionen verzichtet werden, was zu einer Beschleunigung des Optimierungsverfahrens
beitragen wird.
Bei dem vorgestellten Reduktionsverfahren handelt es sich um ein zweiseitiges Verfahren,
das für lineare Mehrgrößensysteme geeignet ist. Neben einer Darstellung der theoretischen
Zusammenhänge des impliziten Momentenabgleichs wurde der verwendete
zweiseitige Arnoldi-Algorithmus vorgestellt. Durch die Einbindung von Abbruch- und
Auswahlbedingungen in den Algorithmus, die ursprünglich der nichtparametrischen
Modellreduktion entstammen, ist das vorgestellte Verfahren besonders geeignet für die
Modellreduktion innerhalb der beschriebenen hierarchischen Modelle, in denen oftmals
eine größere Anzahl an Ein- und Ausgängen zu berücksichtigen sind.
Die prinzipielle Eignung des vorgestellten Algorithmus konnte anhand des hierarchischen
Modells eines Prüfstands für die aktive Federung des Schienenfahrzeugs RailCab
gezeigt werden. Als Reduktionsparameter wurden die Verstärkungsfaktoren von Positionsreglern
innerhalb der untersten Hierarchieebene gewählt. Die Abhängigkeit von diesen
Parametern wurde durch insgesamt drei separate Reduktionen bis hin in ein vereinfachtes
Modell auf der obersten Hierarchieebene erhalten. Es konnte gezeigt werden,
dass Parameteränderungen in den reduzierten Systemen die Änderungen der Systemdynamik
sehr gut nachbilden.
Zukünftig gilt es zum Einen, das verwendete Reduktionsverfahren weiter zu verbessern.
Sowohl eine Parameterabhängigkeit der Ein- bzw. Ausgangsmatrizen als auch der Abgleich
von Momenten zu anderen Entwicklungspunkten ist hier zu nennen. Auch die
Verwendung von Krylov-basierten Modellreduktionsverfahren, welche die Stabilität der
reduzierten Modelle sicherstellen [BD08], soll in Zukunft untersucht werden. Zum Anderen
gilt es, die vorgestellte Methodik der parametrischen Modellreduktion in Mehrzieloptimierungsverfahren
zu integrieren und die Eignung sowie die Vorteile des vorgestellten
Ansatzes nachzuweisen.
Literatur
[ADG+08]
[BD08]
[BF07]
[BLS05]
ADELT, P.; DONOTH, J.; GAUSEMEIER, J. ET AL.: Selbstoptimierende Systeme des
Maschinenbaus – Definitionen, Anwendungen, Konzepte, HNI-
Verlagsschriftenreihe, Paderborn, 2008
BOND, B.N.; DANIEL, L.: Guaranteed stable projection-based model reduction for
indefinite and unstable linear systems. Proceedings of the 2008 IEEE/ACM International
Conference on Computer-Aided Design, S. 728 – 735, San Jose, California,
2008
BENNER, P.; FENG, L.: A Robust Algorithm for Parametric Model order Reduction.
Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics, 7(1), 2007
BECHTHOLD, T.; LOHMANN, B.; SALIMBAHRAMI, B.: A two-sided Arnoldi algorithm with
stopping criterion and MIMO selection procedure. Mathematical and Computer
Modelling of Dynamical Systems, 11(1), S. 79 – 93, 2005

Seite 218
M. Krüger, I. Scharfenbaum, A. Trächtler
[DSC+04]
[DSH05]
[LHL01]
[LS04]
[MAK+08]
DANIEL, L.; SIONG, O. C.; CHAY, L. S.; LEE, K. H.; WHITE, J.: A Multiparameter Moment-Matching
Model-Reduction Approach for Generating Geometrically Parameterized
Interconnected Performance Models. IEEE Transactions on Computer -
Aided Design of Integrated Circuits and Systems, 23, S. 678-693, 2004
DELLNITZ, M.; SCHÜTZE, O.; HESTERMEYER, T.: Covering Pareto Sets by Multilevel
Subdivision Techniques. Journal of Optimization, Theory and Applications, 124(1),
S. 113-136, 2005
LÜCKEL, J.; HESTERMEYER, T.; LIU-HENKE, X.: Generalization of the Cascade Principle
in View of a Structured Form of Mechatronic Systems. IEEE/ASME International
Conference on Advanced Intelligent Mechatronics, Villa Olmo, Como, 2001
LOHMANN, B.; SALAMBAHRAMI, B.: Ordnungsreduktion mittels Krylov-
Unterraummethoden. at-Automatisierungstechnik, 52(1), S. 30-38, 2004
MÜNCH, E.; ADELT, P.; KRÜGER, M.; KLEINJOHANN, B.; TRÄCHTLER, A.: Hybrid Planning
and Hierarchical Optimization of Mechatronic Systems. International Conference
on Control, Automation and Systems (ICROS), Seoul, Korea, 2008
[RAI09-ol] RAILCAB, http://www.railcab.de/, 2009
Autoren
Dipl.-Math. Martin Krüger studierte von 2003 bis 2008 Technomathematik mit
Schwerpunkt Maschinenbau an der Universität Paderborn. Seit 2008 ist er wissenschaftlicher
Mitarbeiter am Lehrstuhl für Regelungstechnik und Mechatronik im Heinz Nixdorf
Institut der Universität Paderborn.
Dipl.-Ing. Ingo Scharfenbaum studierte von 2005 bis 2009 Maschinenbau an der Universität
Paderborn. Seit 2009 ist er wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehrstuhl für Regelungstechnik
und Mechatronik im Heinz Nixdorf Institut der Universität Paderborn.
Prof. Dr.-Ing. habil. Ansgar Trächtler leitet den Lehrstuhl für Regelungstechnik und
Mechatronik im Heinz Nixdorf Institut der Universität Paderborn. Seine Forschungsschwerpunkte
liegen in den Bereichen Modellbasierter Entwurf mechatronischer Systeme,
Regelungsentwurf für verteilte und hierarchische Systeme, Fahrwerksysteme und
Fahrdynamikregelung, Selbstoptimierende Regelungen sowie Hardware-in-the-Loopund
Echtzeitsimulation.