Mathematik III – DGL der Technik - mechatronik-forum

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

Näherungslösungen Sukzessive Substitution nach Picard- Lindelöf Anfangswertprob. in Normalform: x'(t) = f(t, x(t)) … x(t 0 ) = a durch Integration: t0 t x' xt xt0 t0 t f, x Daraus folgt die Integralgleichung xt a t0 t f, x Festlegen der rekursiven Definition: x 0 t : a x n1t : a t0 t f, x n Satz über die Konvergenz der nach der Methode der sukzessiven Substituten erzeugten Funktionenfolge gegen die Lösung und über die Abschätzung des Fehlers Gegeben sei ein Anfangswertproblem in Normalform, wobei D 1+m eine offene Menge mit (t 0 , a) D ist und f: D m stetig und stetig differenzierbar nach . Q, M, h, I durch „Methode zur Konstr. des Lösungsintervalls“ erzeugt. Dann gilt: • Die durch sukzessive Substitution erzeugte Funktionenfolge konvergiert in I gleichmäßig gegen die Lösung x. • Mit L : m max f i k , 1 , ..., m i, k 1, ..., m, , 1, ..., m Q gilt für jedes t aus I, jedes n aus den natürlichen Zahlen (inkl. 0) und jedes i {1 … m} die Abschätzung für den Fehler bei der i-ten Komponente x ni t x i t M L L t t0 n1 n 1 Taylor Entwicklung Satz über mehrmalige Differenzierbarkeit der Lösungen: Gegeben sei ein Anfangswertproblem in Normalform x’(t) = f(t, x(t)) … x(t 0 ) = a, wobei D 1+m eine offene Menge mit (t 0 , a) D ist und f: D m n- mal stetig differenzierbar nach allen Variablen. Dann gilt: • Die Lösung x ist in ihrem Existenzintervall mindestens (n+1)- mal stetig nach t differenzierbar. • Sie lässt sich nach der Taylor Formel als n1 t t0 i xt x i t 0 R n1 t; t 0 i i0 t t n R n1 t; t 0 : x n1 x n1 t 0 t0 n anschreiben (inkl. Restglied) • Als Taylor Koeffizienten werden x (i) (t 0 ) bezeichnet. Ableitungen an der Stelle (t 0 , a) ausgewertet. Seite 4 von 12
Abschätzung für die i- te Komponente des Restgliedes. (r n := x (n) ) K n1 : max r n1,i , r n1,i t 0 , a , 1 , ..., m Q, i 1, ..., m R n1,i t, t 0 t t 0 n1 n 1 K n1 • Die Lösung x muss in t 0 nicht beliebig oft differenzierbar sein • Auch wenn die Lösung in t 0 beliebig oft differenzierbar ist, muss die Reihe nicht für jedes t aus I konvergieren. • Auch wenn die Reihe für jedes t aus einem geeigneten Teilintervall konvergiert, muss sie nicht zur Lösung konvergieren. Eines gilt immer: Satz über die Konvergenz der Taylor Entwicklung, unter den bekannten Voraussetzungen: Ist x beliebig oft differenzierbar in I, die unendliche Taylor Reihe konvergent und konvergiert das Restglied gegen Null, so lässt sich die Lösung durch die unendliche Taylor Reihe darstellen. Runge Kutta Methoden Wiederum geht es um die Näherungslösung eines Anfangswertproblems in Normalform, hier durch Anwendung des Mittenwertsatzes der Differentialrechnung: x(t 0 + h) = a + h * x’() mit [t 0 ; t 0 + h] Ziel ist es eine möglichst gute Näherung für x’() zu erhalten! • Euler Cauchy – scher Polygonzug für ein kleines Intervall h, wird statt der mittleren Steigung die Steigung am Intervallbeginn herangezogen, also x’(t 0 ) = f(t 0 , a) x(t 0 + h) a + h * f(t 0 , a) • Runge Eine Verbesserung der Näherung für die mittlere Steigung. Über Euler Cauchy wird der Funktionswert von x(t 0 + h) bestimmt, dessen Steigung ermittelt und danach eine neue Näherung für x(t 0 + h) mit dem Mittelwert der Steigung am Beginn und Ende des Intervalls berechnet. Einführung des Koeffizientenschemas zur kompakten Darstellung der Berechnungsvorschrift für die Näherung der mittleren Steigung und dem Funktionswert. Stelle ( Koeff * h) k 1 * Koeff + k 2 * Koeff + k n * Koeff k 1 = f(… t 0 + , a+ Berechnung k 2 t 0 + , a+ Berechnung k n t 0 + , a+ x(t 0 + h) a + h * (…) • Kutta 0 0 0 0 ½ ½ 0 0 1 -1 2 0 1/6 2/3 1/6 Seite 5 von 12
Seite 1 und 2: Mathematik III - DGL der Technik Gr
Seite 3: (Dieser Satz kann noch abgeschwäch
Seite 7 und 8: • Sind A und b in einem Intervall
Seite 9 und 10: Stabilität Folgende Aussagen gelte
Seite 11 und 12: Satz Stabilitätskriterien, bei dom

Mathematik III – DGL der Technik - mechatronik-forum

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?