Mathematik III – DGL der Technik - mechatronik-forum

Mathematik III – DGL der Technik
Grundbegriffe:
• Differentialgleichung: Bedingung in der Form einer Gleichung in der Ableitungen der
zu suchenden Funktion bis zu einer endlichen Ordnung auftreten. Funktions- und
Ableitungsausdrücke weisen dabei alle dieselben, als variabel gedachten Argumente
auf.
• System von DGL: Mehrere DGLs.
• Ordnung: Höchste in den Bedingungen vorkommende Ordnung von Ableitungen zu
suchender Funktionen.
• Gewöhnliche DGL: Nur Ableitungen nach einer Variablen.
• Partielle DGL: Ableitungen nach mehreren Variablen.
Lösung der DGL: Jede Funktion die in einer gegebenen Menge, mindestens so oft
differenzierbar ist, wie es die Ordnung der DGL erfordert, und die für jedes Argument aus
dieser Menge die durch die DGL gestellten Bedingungen erfüllt.
System von DGL: Familien von Funktionen die ebengenanntes erfüllen.
Gewöhnliche DGL:
• Implizite DGL: F(t, x(t), x’(t)) = 0
• Explizite DGL: x’(t) = f(t, x(t))
Jede explizite DGL lässt sich implizit anschreiben. (Umkehrung gilt nicht)
o Erste Ableitungen durch ersetzt, nullte durch , t durch
o Alles auf eine Seite bringen => F(, , )
Höhere Ordnung System von DGL 1. Ordnung:
x(t) = x1(t)
x’(t) = x2(t)
Alle vorkommenden Funktionen/Ableitungen zu xNR, bis zur vorletzten Ordnung.
Als Matrix anschreiben.
Klassen von Differentialgleichungen:
• autonom: t, tritt nur als Argument der zu suchenden Funktion und deren
Ableitungen auf.
• Lineares System von DGL (explizit): x’(t) = A(t) x(t) + b(t)
o A … Koeffizientenmatrix
o b … Störvektor
• Lineares System von DGL (implizit): C(t) * x’(t) = A(t) * x(t) + b(t)
• Homogenes System, b(t) = 0, sonst inhomogen.
Veranschaulichungen:
Richtungsfeld
Ausgehend von einer impliziten DGL definieren wir folgende Begriffe:
• Linienelement: Ein Tripel bestehend aus , und welches die DGL erfüllt.
Vorzustellen als Steigung im Punkt (, )
• Richtungsfeld, Menge der Linienelemente.
• Isokline: Menge aller Linienelemente mit gleicher Steigung.
I 0 = { (, ) | (, , 0 ) D und F(, , 0 ) = 0 }
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Eigenschaften des Richtungsfeldes: Nur wenn die DGL explizit ist, hat jeder Punkt
(, ) lediglich eine Steigung. Bei impliziten, können mehrere Steigungen im selben
Punkt existieren. Stets ist es möglich dass mehrere Grafen durch denselben Punkt
gehen.
Nicht immer lässt sich die DGL in expliziter Form anschreiben um dennoch das
Richtungsfeld zu erhalten wird die implizite Form null gesetzt. Und ein Richtungsfeld
für die einzelnen Nullstellen erstellt und übereinander gelegt.
Vektorfeld der Tangenten an die Graphen der Lösungen
Man sucht die gemeinsamen Nullstellen eines impliziten Systems. Diese kann als
Linienelemente veranschaulichen. (Gerade im Punkt (, 1 , …, m ) mit dem
Richtungsvektor (1, 1 , …, m ), mit „passender“ Länge)
Das Vektorfeld der Tangenten an die Graphen der Lösungen erhält man nun, durch
Einzeichnen einer passenden Anzahl von Linienelementen. Praktisch lediglich für
m=2 möglich!
Vektorfeld der Tangenten an die Wertebereiche der Lösungen
Wie Vorhergehendes, nur bei festgehaltenem Zeitpunkt , somit bis m = 3 praktisch
anwendbar. Zeitlicher Verlauf durch Darstellung mehrerer Vektorfelder für
verschiedene .
Problemtypen – DGL mit Zusatzbedingungen
Im Allgemeinen gibt es unendlich viele Lösungen. Einschränkung durch zusätzliche
Bedingungen.
• Anfangsbedingungen: müssen von der zu suchenden Funktion und ihren
Ableitungen an einer Anfangsstelle erfüllt werden.
• Anfangswertproblem in Normalform: System expliziter DGL 1. Ordnung.
x’(t) = f(t, x(t) ) … x(t 0 ) = a Vektoren
• Randwertproblem: Bedingungen die die zu suchende Funktion und deren
Ableitungen an zwei Stellen, den Randestellen erfüllen müssen.
• Lineare Randbedingungen: Gestalt: C 0 x(t 0 ) + C 1 x(t 1 ) = c
wenn c = 0 homogene lineare RB.
• Eigenwertprobleme Randwertprobleme mit einem anpassbaren Parameter.
Für bestimmte Werte dieses Parameters (Eigenwerte) existieren nicht triviale
Lösungen, die Eigenfunktionen.
BEISPIEL KNICKLAST STÜTZENDER STAB S .23ff
KRITISCHE DREHZAHLEN BEI ROTIERENDER WELLE S.26f
Lösbarkeit
Aussagen über lokale Existenz (mind. eine Lösung) und Eindeutigkeit (genau eine
Lösung).
Satz von Picard Lindelöf über die lokale Existenz und Eindeutigkeit der Lösung eines
Anfangswertproblems in Normalform
Gegeben sei ein Anfangswertproblem in Normalform
x’(t) = f(t, x(t)) … x(t 0 ) = a
wobei D 1+m eine offen Menge mit (t 0 , a) D ist und f: D m stetig und stetig
differenzierbar nach . Dann gilt:
Es gibt ein Intervall I, in dem t 0 liegt und es gibt genau eine in I differenzierbar
Funktion x: I m , die Lösung des gegebenen Anfangswertproblems im Intervall I
ist.
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(Dieser Satz kann noch abgeschwächt werden, z.B. reicht für die Existenz die
Stetigkeit von f)
Methode zur Konstruktion eines Lösungsintervalls
Man wählt zuerst u, v > 0, aber so, dass der Quader Q:
Q = { (, 1 , …, m ) | [t 0 , t 0 + u], i [a i – v, a i + v] für i {1, …, m}},
der rechts von t 0 liegt, noch zur Gänze in D enthalten ist. Die Größe
M = max{|f i (, 1 , …, m ) | | (, 1 , …, m ) Q, i {1, …, m}}
Ist dann die maximale Steigung einer Lösung, deren Graph in Q liegt.
h = min{u, v/M}, das Existenzintervall ist dann mindestens I = [t 0 , t 0 + h].
Methode zur Fortsetzung der Lösung
Mit oben beschriebener Methode ein Lösungsintervall bestimmen, in diesem einen
neuen Startwert wählen und damit ein neues Intervall mit derselben Methode
berechnen und diese vereinigen.
Satz über den Graphen einer nicht mehr weiter fortsetzbaren Lösung
Gegeben sei die Differentialgleichung
x’(t) = f(t, x(t)),
wobei die Menge D 1+m offen und f: D m stetig ist. Dann gilt: Der Graph jeder
nicht mehr weiter fortsetzbaren Lösung der DGL reicht über jede kompakte
(abgeschlossen und beschränkt) Menge, die in D enthalten ist, hinaus.
(Sagt aus, dass sich ein Existenzintervall nicht immer beliebig weit ausdehnen lässt.)
Globale Eindeutigkeit und Fehlerfortpflanzung
Satz über die globale Eindeutigkeit der Lösung von Anfangswertproblemen und über
die Differenzierbarkeit nach dem Anfangswert.
Gegeben sei ein Anfangswertproblem in Normalform
x’(t) = f(t, x(t)) … x(t 0 ) = a,
wobei D 1+m eine offene Menge mit (t 0 , a) D ist und f: D m stetig und stetig
differenzierbar nach . Dann gilt:
• Es gibt genau eine nicht mehr weiter fortsetzbare Lösung x
• Jede weitere Lösung ist eine Einschränkung von x
• Die Lösung x ist in ihrem ganzen Existenzintervall stetig differenzierbar nach
dem Anfangswert a.
Übertragungsmatrix
Man erhält sie, durch Ableiten einer nicht weiter fortsetzbaren Lösung, eines
Anfangswertproblems in Normalform, nach dem Anfangsvektor a.
(Jede Zeile (x 1 , x 2 , … x m ), Ableitungen einer Funktion nach allen m- Komponenten
von a.
Abschätzung des durch fehlerhafte Anfangswerte hervorgerufenen Fehlers durch:
~ Ü(t, t 0 , a) * a
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Näherungslösungen
Sukzessive Substitution nach Picard- Lindelöf
Anfangswertprob. in Normalform: x'(t) = f(t, x(t)) … x(t 0 ) = a
durch Integration:
t0
t
x' xt xt0
t0
t
f, x
Daraus folgt die Integralgleichung
xt a
t0
t
f, x
Festlegen der rekursiven Definition:
x
0 t : a
x n1t : a
t0
t
f, x
n
Satz über die Konvergenz der nach der Methode der sukzessiven Substituten erzeugten
Funktionenfolge gegen die Lösung und über die Abschätzung des Fehlers
Gegeben sei ein Anfangswertproblem in Normalform,
wobei D 1+m eine offene Menge mit (t 0 , a) D ist und f: D m stetig und stetig
differenzierbar nach . Q, M, h, I durch „Methode zur Konstr. des Lösungsintervalls“
erzeugt. Dann gilt:
• Die durch sukzessive Substitution erzeugte Funktionenfolge konvergiert in I
gleichmäßig gegen die Lösung x.
• Mit
L : m max
f i
k
, 1 , ..., m
i, k 1, ..., m, , 1, ..., m Q
gilt für jedes t aus I, jedes n aus den natürlichen Zahlen (inkl. 0) und jedes
i {1 … m} die Abschätzung für den Fehler bei der i-ten Komponente
x
ni t x i t
M L
L t t0 n1
n 1
Taylor Entwicklung
Satz über mehrmalige Differenzierbarkeit der Lösungen:
Gegeben sei ein Anfangswertproblem in Normalform
x’(t) = f(t, x(t)) … x(t 0 ) = a, wobei D 1+m eine offene Menge mit (t 0 , a) D ist und
f: D m n- mal stetig differenzierbar nach allen Variablen. Dann gilt:
• Die Lösung x ist in ihrem Existenzintervall mindestens (n+1)- mal stetig nach t
differenzierbar.
• Sie lässt sich nach der Taylor Formel als
n1
t t0 i
xt
x i t 0 R n1 t; t 0
i
i0
t t n
R n1 t; t 0 : x n1 x n1 t 0
t0 n
anschreiben (inkl. Restglied)
• Als Taylor Koeffizienten werden x (i) (t 0 ) bezeichnet.
Ableitungen an der Stelle (t 0 , a) ausgewertet.
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Abschätzung für die i- te Komponente des Restgliedes. (r n := x (n) )
K n1 : max r n1,i , r n1,i t 0 , a , 1 , ..., m Q, i 1, ..., m
R n1,i t, t 0
t t 0 n1
n 1
K n1
• Die Lösung x muss in t 0 nicht beliebig oft differenzierbar sein
• Auch wenn die Lösung in t 0 beliebig oft differenzierbar ist, muss die Reihe nicht
für jedes t aus I konvergieren.
• Auch wenn die Reihe für jedes t aus einem geeigneten Teilintervall konvergiert,
muss sie nicht zur Lösung konvergieren.
Eines gilt immer:
Satz über die Konvergenz der Taylor Entwicklung, unter den bekannten Voraussetzungen:
Ist x beliebig oft differenzierbar in I, die unendliche Taylor Reihe konvergent und
konvergiert das Restglied gegen Null, so lässt sich die Lösung durch die unendliche
Taylor Reihe darstellen.
Runge Kutta Methoden
Wiederum geht es um die Näherungslösung eines Anfangswertproblems in Normalform,
hier durch Anwendung des Mittenwertsatzes der Differentialrechnung:
x(t 0 + h) = a + h * x’() mit [t 0 ; t 0 + h]
Ziel ist es eine möglichst gute Näherung für x’() zu erhalten!
• Euler Cauchy – scher Polygonzug
für ein kleines Intervall h, wird statt der mittleren Steigung die Steigung am
Intervallbeginn herangezogen, also x’(t 0 ) = f(t 0 , a)
x(t 0 + h) a + h * f(t 0 , a)
• Runge
Eine Verbesserung der Näherung für die mittlere Steigung. Über Euler Cauchy
wird der Funktionswert von x(t 0 + h) bestimmt, dessen Steigung ermittelt und
danach eine neue Näherung für x(t 0 + h) mit dem Mittelwert der Steigung am
Beginn und Ende des Intervalls berechnet.
Einführung des Koeffizientenschemas zur kompakten Darstellung der
Berechnungsvorschrift für die Näherung der mittleren Steigung und dem Funktionswert.
Stelle ( Koeff * h) k 1 * Koeff + k 2 * Koeff + k n * Koeff
k 1 = f(… t 0 + , a+
Berechnung k 2 t 0 + , a+
Berechnung k n t 0 + , a+
x(t 0 + h) a + h * (…)
• Kutta
0 0 0 0
½ ½ 0 0
1 -1 2 0
1/6 2/3 1/6
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• Runge Kutta
0 0 0 0 0
½ ½ 0 0 0
½ 0 ½ 0 0
1 0 0 1 0
1/6 1/3 1/3 1/6
Die bisher angeführten Schemata sind explizit, zum Berechnen der einzelnen Steigungen
wird jeweils nur auf bekannte Werte zurückgegriffen. Bei einem impliziten Schema erhält
man ein Gleichungssystem für die Steigungen k.
Die Runge Kutta Verfahren unterscheiden sich von anderen Verfahren wie der Taylor
Entwicklung oder der sukzessiven Substitution dadurch, dass sofort numerisch gerechnet
wird.
Autonome Differentialgleichungen
Eigenschaften der Lösungen:
Satz über die Verschiebbarkeit von Lösungen autonomer DGL. Gegeben sei eine explizite
autonome DGL: x’(t) = f(x(t)) und eine beliebige reelle Zahl t*. Dann gilt:
Ist x eine Lösung mit Definitionsbereich I, dann ist y mit y(t) := x(t + t*) eine Lösung mit
Definitionsbereich {t – t* | t I}
Das heißt, dass Lösungen autonomer DGL entlang der t- Achse verschoben werden
können.
Definition: Jede Nullstelle a, von f(x(t)) heißt kritischer Punkt bzw. Librationspunkt. Die
konstante Funktion x(t) = a heißt Librationslösung der DGL.
Satz über die Typen von Wertebereichen von Lösungen autonomer DGL.
Voraussetzungen: D m eine offene Menge, f: D m stetig differenzierbar nach .
und x’(t) = f(x(t)) dann gilt:
• Durch jeden Punkt a aus D geht genau ein Wertebereich von nicht weiter
fortsetzbaren Lösungen. Dieser Wertebereich ist entweder ein Punkt
(Wertebereich einer Librationslösung) oder eine glatte Kurve ohne
Mehrfachpunkte, mit einem eindeutig festgelegten Durchlaufsinn.
Verschiedene Wertebereiche von Lösungen schneiden einander nicht, können
sich aber beliebig nahe kommen.
• Höchstens drei Typen von Wertebereichen können auftreten:
o ein einziger Punkt, eine Librationspunkt
o eine einfache geschlossene glatte Kurve (periodische Lösung)
o eine nicht geschlossene glatte Kurve ohne Mehrfachpunkte von
endlicher oder unendlicher Länge (nicht periodische Lösung)
Lineare Differentialgleichungen
Formuliert für explizite lineare Systeme von DGL erster Ordnung. Übertragbarkeit dieser
Methoden auf
implizite lineare Systeme, der Form C(t) x’(t) = A(t) x(t) + b(t), für C(t) != 0.
Bei den linearen DGL gelten die Aussagen von Picard Lindelöf global.
Satz über die globale Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen linearer Systeme
x’(t) = A(t) x(t) + b(t)
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• Sind A und b in einem Intervall I stetig, so existiert jede Lösung im ganzen
Intervall.
• Sind A und b in einem Intervall I stetig, ist t 0 I und a m ,
so existiert genau eine Lösung des Anfangswertproblems x’(t) = A(t) x(t) + b(t) mit
x(t 0 ) = a in ganz I.
Satz über den Lösungsraum linearer DGL
• Ist A stetig im Intervall I, so bilden die Lösungen des homogenen linearen Systems
x’(t) = A(t) x(t) einen m- dimensionalen Vektorraum.
• Die Lösungen des inhomogenen linearen Systems bilden eine lineare
Mannigfaltigkeit. Jede Lösung des inhomogenen linearen Systems erhält man als
Summe einer speziellen Lösung des inhomogenen und einer Lösung des
homogenen linearen Systems (Superpositionsprinzip)
Fundamentalmatrix und Matrizant
Gegeben sei ein homogenes lineares System. Die m x m Matrix A sei in I stetig
und y 1 … y m sind linear unabhängige Lösungen in I.
• Die Matrix Y(t) := [y 1 (t), …, y m (t)] heißt Fundamentalmatrix, diese erfüllt:
Y’(t) = A(t) * Y(t)
• Mit t 0 als festem Punkt in I folgt der Matrizant zum Punkt t 0
( . ; t 0 ) , mit ( t 0 ; t 0 ) = E (Einheitsmatrix)
lässt sich aus der Fundamentalmatrix folgenderweise bestimmen (zum Punkt t 0 ):
( t ; t 0 ) = Y(t) Y(t 0 ) -1
Formel von Liouville
Gegeben sei ein homogenes lineares System x’(t) = A(t) x(t), A sei im Intervall I stetig, Y
sei eine Fundamentalmatrix und t 0 I. Dann gilt für jedes t aus I
detYt detYt 0 t 0
t i m 1 aii
Eigenschaften des Matrizanten
• Der Matrizant zum Punkt t 0 ist Lösung des Anfangswertproblems:
’(t ; t 0 ) = A(t) ( t ; t 0 ) … ( t 0 ; t 0 ) = E
• Alle Verfahren zur näherungsweisen Erzeugung einer Lösung können zur
Gewinnung des Matrizanten herangezogen werden, insbesondere das Verfahren
der sukzessiven Substitution.
0 t; t 0 : E
n1 t; t 0 : E
t0
t
An ; t 0
Für den Fall, dass A konstant ist, ergibt der
Grenzwert obiger Formel für n :
t; t 0 : tt 0 A
• Eine Lösung des homogenen Systems x(. ; t 0 , a)
(mit Anfangswert a zum Zeitpunkt t 0 )
erhält man aus: x(t; t 0 , a) = ( t ; t 0 ) a
• Die Übertragungsmatrix hängt nicht von a ab und stimmt mit dem Matrizanten
überein:
Ü(t; t 0 , a) = ( t ; t 0 )
• Die Inverse des Matrizanten erhält man durch Vertauschen von t und t 0
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Lösung von linearen Differentialgleichungsproblemen mittels Fundamentalmatrix
• Allgemeine Lösung des homogenen Systems x’(t) = A(t) x(t)
x(t) = Y(t) c … wobei c ein m- dimensionaler Vektor ist
• Spezielle Lösung des inhomogenen Systems x’(t) = A(t) x(t) + b(t)
Lösung mittels Variation der Konstanten.
Als Ansatz: x(t) = Y(t) c(t), einsetzen ergibt:
Y’(t) c(t) + Y(t) c’(t) = A(t) Y(t) c(t) + b(t)
Y(t) c’(t) = c(t) [ A(t) Y(t) – Y’(t)] + b(t) | Y’(t) = A(t) Y(t)
c’(t) = b(t) Y(t) -1
mit x(t 0 ) = o folgt somit:
xt Yt
t0
t
Y 1 b
• Die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems durch Superposition
xt Ytc Yt
t0
t
Y 1 b
• Die eindeutige Lösung eines Anfangswertproblems x(t 0 ) = a
in vorhergehende Formel eingesetzt liefert dies x(t 0 ) = a = Y(t 0 ) c
nach c umgeformt und eingesetzt ergibt es:
xt YtYt 0 1 a Yt
t0
t
Y 1 b
Bei Verwendung des Matrizanten wird ( t 0 ; t 0 ) = E
• Lösung eines linearen Randwertproblems
Anpassen der allgemeinen Lösung des inhomogenen Systems an
C 0 x(t 0 ) + C 1 x(t 1 ) = d einsetzen ergibt:
d C 0 Yt 0 c C 1 t 1Y
Yt 1 c Yt 1 1 b
t0
C 0 Yt 0 C 1 Yt 1 c d C 1 Yt 1
t0
t 1Y 1 b
o det(C 0 Y(t 0 ) + C 1 Y(t 1 )) = 0
o det(C 0 Y(t 0 ) + C 1 Y(t 1 )) != 0
… unendlich viele oder keine Lösung
… Lösung hängt linear von b und d ab
Berechnung der Fundamentalmatrix bei einem linearen System von DGL mit
konstanten Koeffizienten
Zum Aufstellen der Fundamentalmatrix benötigt man m linear unabhängige Lösungen des
homogenen Systems! x’(t) = A(t) x(t)
• Bestimmen der k- Eigenwerte: det[ (A - E) ] = 0 k
• Für jeden Eigenwert mit der Vielfachheit n machen wir n Lösungsansätze
e t e t ( t ), … , e t ( t+ … + t n-1 )
• Einsetzen in das homogene Gleichungssystem, Umformen zu:
o = [Matrix]
Bestimmen der Komponenten von , einige müssen festgesetzt werden.
• Y(t) = [x 1 (t), …, x m (t)]
wobei komplexe Lösungen, in Real- und Imaginärteil aufgespaltet, zwei linear
unabhängige Lösungen ergeben!
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Stabilität
Folgende Aussagen gelten für x’(t) = f(t, x(t)), die für jedes (a, t 0 ) D jeweils eindeutig lösbar
sind. Wir bezeichnen wie üblich die nicht mehr weiter fortsetzbare Lösung des
Anfangswertproblems als x( . ; t 0 , a). ist eine im Intervall I definierte, ausgezeichnete
Lösung der Differentialgleichung.
• stabil heißt eine Lösung, wenn für jede Schranke > 0 und für jede Anfangsstelle t 0
eine Zahl existiert, sodass für alle Anfangswerte a mit ||(t 0 ) – a || < die Lösung
x( . ; t 0 , a) in I[t 0 , [ existiert für t > t 0
|| x( . ; t 0 , a) - (t) || <
ist dies nicht erfüllt, heißt die Lösung instabil.
Für Stabilität muss also eine Lösung, für eine kleine Abweichung des Startwertes,
innerhalb eines Schlauches um die ursprüngliche Lösung bleiben.
• Einzugsbereich: Das Intervall I muss dazu nach rechts unbeschränkt sein und t 0
enthalten.
Die Menge der Anfangswerte a, für die die Lösung x( . ; t 0 , a) in [t 0 , [ existiert und
lim t || x( . ; t 0 , a) - (t) || = 0
gilt, heißt dann Einzugsbereich von bei t 0
• attrahierend: Wenn alle Anfangswerte a, welche ||(t 0 ) – a || < erfüllen, zum
Einzugsbereich von bei t 0 gehören.
Wenn bei einer kleinen Abweichung des Startwertes, die Abweichungen von der
ursprünglichen Lösung, für große t, gegen Null gehen.
• global attrahierend: wenn die Bedingung für „attrahierend“ für alle Anfangswerte
gültig ist.
Wenn also beliebig große Störungen wieder abklingen.
• asymptotisch stabil = stabil und attrahierend
Differentialgleichung für die Abweichungen
Die Abweichung, einer Lösung x, von der ausgezeichneten Lösung wird als z = x -
definiert.
z’(t) = f(t, x(t)) – f(t, (t)) | x(t) = z(t) + (t)
z’(t) = f(t, (t) + z(t)) – f(t, (t))
Ausgezeichnete Lösung der DGL für die Abweichungen ist die Nullfunktion.
Satz: Stabilitätsaussagen mit Hilfe der DGL für die Abweichungen für eine
DGL x’(t) = f(t, x(t)) ist die ausgezeichnete Lösung genau dann stabile bzw.
attrahierende Lösung, wenn die Nullfunktion stabile bzw. attrahierende Lösung der DGL
für die Abweichungen ist.
Vereinfachung bei linearen DGL x’(t) = A(t) x(t) + b(t)
hier stimmt die DGL der Abweichungen unabhängig von der gewählten Lösung und der
Störung b immer mit der zugehörigen homogenen DGL überein.
ist eine Lösung (in)stabil, (nicht) attrahierend, so trifft dies auf alle Lösungen zu.
Ist A stetig, dann ist jede attrahierende Lösung sogar global attrahierend.
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Zerlegung der DGL für die Abweichungen z’(t) = f ~ (t,z(t)) in ihren linearen und
nicht linearen Anteil.
z’(t) = A(t) z(t) + g(t, z(t)) … g ist der nichtlineare Anteil
Sollte die Zerlegung nicht unmittelbar ersichtlich sein, kann z mittels Ableitung zerlegt
werden:
f
z't
t, 0 zt f f
t, zt t, 0 zt
wenn gilt:
g,
lim sup
0
0 I
so ist der lineare Anteil dominierend.
Im Allgemeinen ist die gleichmäßige Konvergenz nicht gegeben. Für den Fall, dass
g() nicht von abhängt, ist die Konvergenz aber stets gleichmäßig bezüglich
Ist g darüber hinaus in einer Umgebung der Nullfunktion stetig, so ist der lineare Anteil
immer dominierend.
Stabilitätsaussagen bei linearen DGL mit konstanten Koeffizienten
x’(t) = A x(t) + b(t), somit stimmt auch die DGL für die Abweichungen mit der
homogenen DGL überein.
Satz Stabilitätsaussagen:
• Weisen alle Eigenwerte von A negative Realteile auf, so ist jede Lösung stabil und
global attrahierend.
• Sobald ein Eigenwert einen positiven Realteil aufweist, ist jede Lösung instabil
und nicht attrahierend.
• Weisen einige einfache Eigenwerte den Realteil Null auf, alle übrigen jedoch
negative Realteile, dann ist jede Lösung stabil aber nicht attrahierend.
Stabilitätsaussagen bei linearen DGL mit periodischen Koeffizienten
x’(t) = A(t) x(t) + b(t) mit A(t) = A(t + T)
Jeder Eigenwert des Matrizanten (zum Punkt 0 an der Stelle T) ( T, 0) heißt
charakteristischer Multiplikator.
Satz Stabilitätsaussagen:
• Sind die Beträge aller charakteristischen Multiplikatoren echt kleiner als 1, dann
ist jede Lösung stabil und attrahierend
• Sobald der Betrag eines charakteristischen Multiplikators echt größer als 1 ist,
sind alle Lösungen instabil und nicht attrahierend
• Ist der Betrag einiger charakteristischer Multiplikatoren, die einfache Eigenwerte
sind, 1 und sind alle übrigen Beträge echt kleiner 1, dann ist jede Lösung stabil
aber nicht attrahierend.
Formel von Liouville
Zur Feststellung ob das Produkt aller charakteristischen Multiplikatoren größer als 1
ist. Trifft dies zu, so sind alle Lösungen instabil und nicht attrahierend (Achtung
Umkehrung gilt NICHT)
1 ... m t 0
t i m 1 aii
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Satz Stabilitätskriterien, bei dominierendem linearen Anteil – 1. Methode von Ljapunow
• bei konstanten Koeffizienten im linearen Anteil, d.h. A(t) = A:
o Weisen alle Eigenwerte der Matrix A negative Realteile auf, dann ist die
Nullfunktion stabile und attrahierende Lösung.
o Weist mindestens ein Eigenwert einen positiven Realteil auf, ist die
Nullfunktion instabile Lösung.
• bei fast konstanten Koeffizienten im linearen Anteil, d.h. A(t) = A + B(t), wobei
B(t) stetig ist und für t gegen die Nullmatrix konvergiert:
o Weisen alle Eigenwerte der Matrix A negative Realteile auf, dann ist die
Nullfunktion stabil und attrahierend.
• bei periodischen Koeffizienten im linearen Anteil, d.h. A(t) = A(t + T):
o Weisen ALLE charakteristischen Multiplikatoren echt kleinere Beträge als
1 auf, dann ist die Nullfunktion stabil und attrahierend.
o Weist ein charakteristischer Multiplikator einen echt größeren Betrag als 1
auf, ist die Nullfunktion instabil.
Strutt Karten
Stabilitätsaussagen bei DGL mit frei wählbaren Parametern. Veranschaulichung über
Strutt Karten. Die freien Parameter werden als Koordinatenachsen gezeichnet. Allgemeine
Stabilitätsuntersuchung durchführen, Bedingungen für die Parameter aufstellen, um stabil
etc. zu werden, und diese einzeichnen.
Stabilitätsaussagen nach der 2. Methode von Ljapunow
Auf sämtliche explizite Differentialgleichungen anwendbar, hier auf explizite autonome
beschränkt.
Voraussetzungen: Explizite, autonome DGL x’(t) = f(x(t)). D m ist offen, f stetig
differenzierbar und es gilt f(o) = o
Des Weiteren m offen mit o und V ist eine stetig differenzierbare Funktion von
nach
• V heißt positiv definit in , wenn V(o) = 0 und V() > 0 für alle != o
• V heißt negativ definit in , wenn V(o) = 0 und V() < 0 für alle != o
• Die Funktion V* von nach mit
V*() := grad V() f()
heißt Ableitung von V längs der Lösungen der DGL.
Satz, Stabilitätsaussagen nach der Methode von Ljapunow
• Ist V positiv definit in und V*() 0 für jedes aus , so heißt V schwache
Ljapunow Funktion. Die Nullfunktion ist stabile Lösung.
• Ist V positiv definit in und V* negativ definit in , so heißt V starke Ljapunow
Funktion. Die Nullfunktion ist stabile und attrahierende Lösung.
• Ist V* entweder positiv definit oder negativ definit in und gibt es in beliebiger
Nähe von o eine Stelle, wo V und V* dasselbe Vorzeichen haben, dann ist die
Nullfunktion instabile Lösung.
Hat V und V* in keinem Bereich das gleiche Vorzeichen so ist die Nullfunktion stabil
und attrahierend.
Überscheiden Sie sich jedoch bei Null so ist die Lösung lediglich stabil.
Haben beide dasselbe Vorzeichen ist die Nullfunktion instabile Lösung.
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Hyperbolische Differentialgleichungen
Bsp. Modell für Schwingungen einer gespannten Saite
Skript Seite 111
Bsp. Die eindimensionale (in)homogene Wellengleichung mit (inhomogenen)
Anfangs- und (in)homogenen Randbedingungen
Skript Seite 115ff
• Separationsansatz u(x, t) = X(x) T(t) Trennung der Variablen.
Da nun beide Seiten unterschiedliche Parameter haben, jedoch gleich sind, können
diese gleich einer Konstante gesetzt werden.
Dadurch erhält man zwei DGL die man lösen kann.
• Anpassen der Lösungen an die Randbedingungen
Damit das Produkt der beiden gefundenen DGL die Randbedingungen erfüllt,
muss für eine nichttriviale Lösung X(x) die RB erfüllen. (Somit automatisch für
alle t)
Dadurch erhält man ein Eigenwertproblem. Die Bedingung für den Eigenwert in
die Funktionen einsetzen. Diese werden in der Folge mit dem Index „n“
gekennzeichnet. Bei T(t) verbleiben noch die unbestimmten Koeffizienten welche
nun a n und b n genannt werden.
• Anpassung an die Anfangsbedingungen durch Reihenansatz
ux, t X n xT n t
n1
Die Anfangsbedingung u(x, 0) bilden.
Durch Koeffizientenvergleich bzw.
formales Rechnen
o Multiplikation beider Seiten mit derselben Winkelfunktion bei der n durch
m ersetzt wurde.
o beide Seiten hinaufintegrieren, von 0 bis L
o Summe und Integral vertauschen
o unter Ausnützung der Orthogonalitätseigenschaften
kann a n und b n bestimmt werden.
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