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n! Satz 2: Für n Elemente gibt es n⋅( n−1) ⋅( n−2) ⋅... ⋅( n− k+ 1) = ( n−k)! verschiedene k-elementige Anordnungen ohne Wiederholung. Hier muss 1 ≤k≤n sein! Problem 2.3: 10 Personen in einem Zeltlager haben an einem bestimmten Tag 4 Pöstchen zu vergeben: Z.B. soll einer den Platz reinigen, einer soll Holz besorgen, einer soll einkaufen gehen, einer soll kochen. Es darf auch sein, dass eine Person zwei oder drei Pöstchen oder gar alle vier wahrnimmt! Wie viele Möglichkeiten der Verteilung gibt es? Aufgabe 2.3: Entwickle in Form eines kleinen mathematischen Aufsatzes die Lösung des Problems! k Satz 3: Für n Elemente gibt es n verschiedene k-elementige Anordnungen mit Wiederholung. Hier darf k > n sein! Problem 2.4: Aus 10 SchülerInnen sollen 4 ausgewählt werden, die ein Rateteam bilden. Wie viele Konstellationen gibt es aus den 10 SchülerInnen 4 auszuwählen? Aufgabe 2.4: Entwickle in Form eines kleinen mathematischen Aufsatzes die Lösung des Problems! Ein neues mathematisches Rechenzeichen: „n über k“, geschrieben: ⎛ n ⎜ ⎞ ⎟ ⎝k ⎠ Satz 4 : Eine n-elementige Menge hat ⎛n ⎞ n⋅( n−1) ⋅( n−2) ⋅... ⋅( n− k+ 1) n! ⎜ ⎟ ⎝k ⎠ = 12... ⋅ ⋅ ⋅k = ( n−k)! ⋅k! k-elementige Teilmengen. Merke: In einer Menge kommt es nicht auf die Reihenfolge der Elemente an, in der diese auftreten. Es geht nur darum welche Elemente in der Menge enthalten sind! <strong>Stochastik</strong> Endfassung.doc 8/53 28.08.2006 18:33
Die Zahlen ⎛n⎞ ⎜ ⎟werden auch Binomialkoeffizienten genannt. ⎝k ⎠ Es gibt hier einen auf den ersten Blick überraschenden Zusammenhang mit den Binomischen Formeln (Luigi Binomi 1484-1543) und dem Pascal’schen Dreieck mit dem man die Koeffizienten der Summanden in den Binomischen Formeln ermitteln kann. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 Blaise Pascal 1623-1662 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 1 1 1 1 1 ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎝1⎠ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝1⎠ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎝1⎠ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎝1⎠ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎝4⎠ ⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎝1⎠ ⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎝4⎠ ⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎛6⎞ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎛6⎞ ⎜ ⎟ ⎝1⎠ ⎛6⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛6⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎛6⎞ ⎜ ⎟ ⎝4⎠ ⎛6⎞ ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎛6⎞ ⎜ ⎟ ⎝6⎠ Damit ergibt sich der allgemeine Binomische Lehrsatz zu ⎛n⎞ (a + b) = ∑ ⎜ ⎟ a ⋅b i= 0⎝ i ⎠ n n n−i i <strong>Stochastik</strong> Endfassung.doc 9/53 28.08.2006 18:33
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