Vortrag zu QCD und Jets - Desy

Jet-Produktion in der QCD
David Vincent Altwein
Department Physik
Universität Hamburg
11.01.2011

Theoretische Grundlagen aus der QCD
1 Theoretische Grundlagen aus der QCD
2 Jet-Produktion in e + e − -Annihiliation
3 Jet-Produktion in Proton-Proton-Kollsionen
4 Zusammenfassung
() 11.01.2011 2 / 31

Lagrange-Dichte und Vertices in QCD
Zur Erinnerung:
Definition (Lagrangedichte der QCD)
L QCD = QED 8 + GGG + GGGG
4-Jet-Ereignisse mit 3-Gluonen-Vertizes sind Charakteristikum von
nicht abelscher Eichtheorie!
() 11.01.2011 3 / 31

SU3 C -Basiszustände in der QCD
Darstellung durch λ α und Farbvektoren ⃗e x :=rot , ⃗e y :=blau , ⃗e z :=grün
1
Beispiel: r → b und b → r ergibt √2 (rb + br)
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0 1 0 1 0 0 1 0 0 1
⎝1 0 0⎠
⎝0⎠ = ⎝1⎠
⎝1 0 0⎠
⎝1⎠ = ⎝0⎠
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Definition (SU3 C -Basiszustände)
|1〉 = √ 1
2
(|rb〉 + |br〉)
1
|5〉 = −i √2 (|rg〉 − |gr〉)
1
|2〉 = −i √2 (|rb〉 − |br〉) |6〉 = √ 1
2
(|bg〉 + |gb〉)
|3〉 = √ 1
2
(|rr〉 − |bb〉)
1
|7〉 = −i √2 (|bg〉 − |gb〉)
|4〉 = √ 1
2
(|rg〉 + |gr〉) |8〉 = √ 1
6
(|rr〉 + |bb〉 − 2|gg〉)
1 √
3
(rr + gg + bb) ist Farbsinglett!
() 11.01.2011 4 / 31

Rotation im Farbraum durch den Generator λ 1
⎛
0 1
⎞
0
⎛
0 −i
⎞
0
λ 1 = ⎝1 0 0⎠ λ 2 = ⎝i 0 0⎠
0 0 0
0 0 0
⎛
1 0
⎞
0
⎛
0 0
⎞
1
λ 3 = ⎝0 −1 0⎠ λ 4 = ⎝0 0 0⎠
0 0 0
1 0 0
⎛
0 0
⎞
−i
⎛
0 0
⎞
0
λ 5 = ⎝0 0 0 ⎠ λ 6 = ⎝0 0 1⎠
i 0 0
0 1 0
⎛
0 0
⎞
0
λ 7 = ⎝0 0 −i⎠
0 i 0
⎛ ⎞
1 0 0
λ 8 = √ 1 ⎝
3
0 1 0 ⎠
0 0 −2
() 11.01.2011 5 / 31

Jet-Produktion in e + e − -Annihiliation
1 Theoretische Grundlagen aus der QCD
2 Jet-Produktion in e + e − -Annihiliation
3 Jet-Produktion in Proton-Proton-Kollsionen
4 Zusammenfassung
() 11.01.2011 6 / 31

Wirkungsquerschnitt e + e − → qqg
Wirkungsquerschnitt in O(α s ) [1] ergibt:
1
σ 0
d 2 σ α s
= C F
dx 1 dx 2 2π
∑
⇒ σ qqg = σ 0
q
x1 2 + x 2
2
(1 − x 1 )(1 − x 2 )
∫
α s
dx 1 dx 2 C F
2π
mit x i = 2 E i
√ s
(1)
x 2 1 + x 2 2
(1 − x 1 )(1 − x 2 )
mit σ 0 = 4π
3s α e 2 (e + e − → µ + µ − ) und C F = N2 −1
2N
() 11.01.2011 7 / 31

Weiche und kolineare Divergenzen
Wirkungsquerschnitt in O(α s ) wird singulär falls x 1 = 1 und/oder
x 2 = 1:
∑
∫
σ qqg α s x1 2 = σ 0 dx 1 dx 2 C + x 2
2 F
2π (1 − x 1 )(1 − x 2 )
q
Toplogie der Divergenzen entspricht 2-Jet-Ereignissen:
Weiche Divergenzen: Abgestrahltes Gluon ruht im CMS der
Reaktion (E g ≈ 0)
Kolineare Divergenzen: Gluon wird in selbe Richtung abgestrahlt
wie Quarks (1 − x i = x 2 E g (1 − cos θ 2,g )/ √ s)
() 11.01.2011 8 / 31

Observablen für Wirkungsquerschnitt
Gesucht ist Größe X , die geometr. Gestalt der Jet-Events charakterisiert:
X sollte insensititv auf Emission von niederenergetischen oder
kollinearen Gluonenjets sein!
Invarianz unter Ersetzung p i → p j + p k gefordert! ⇒ Vergleich mit
theoretischer QCD-Störungsrechnung möglich!
⇒ allgemeine Form 1 σ 0
dσ
dX = . . .
Experimentelle Rekonstruktion:
Analyse geladener
Teilchenspuren
Kalorimetermessungen
Monte-Carlo-Simulationen
() 11.01.2011 9 / 31

Event Shape Variablen
(i) thrust (Maximierung
von Longitudinalimpulsen)
∑
i
T = max |⃗p i · ⃗n|
⃗n ∑
i |p i|
(ii) spherocity (Minimierung von Transversalimpulsen)
∑
i pα i p β i
∑
i p i
(
( 4
) 2(λ1 ( 4
) ∑ ) 2
2min⃗n
i
⇒ S = + λ 2 ) =
|⃗p i × ⃗n|
∑
π
π
i |⃗p i|
λ i - Eigenwerte von
∑
i pα i p β i
α, β = 1,2,3
i= i-ter Teilchenimpuls
Größe T S
ideales 2-Jet-Ereignis 1 0
1
isotropes Ereignis
2
1
”infrarotstabil” Ja Nein
() 11.01.2011 10 / 31

Thrustverteilung am LEP
Nach Integration von (1) über x 1 und x 2 sowie Differentiation nach T
ergibt sich:
1 dσ
σ 0 dT = C α
[ s 2(3T 2 − 3T + 2)
F
ln
2π T (1 − T )
( 2T − 1
1 − T
)
−
3(3T − 2)(2 − T )
]
(1 − T )
30
10
3
1
.3
.1
.5 .6 .7 .8 .9 1
T
Theoretische Thrustverteilung für Vektorgluonen (durchgezogene
Linie) und skalare Gluonen (gestrichelte Linie) sowie experimentelle
Daten (LEP)
() 11.01.2011 11 / 31

Jet-Produktion in Proton-Proton-Kollisonen
1 Theoretische Grundlagen aus der QCD
2 Jet-Produktion in e + e − -Annihiliation
3 Jet-Produktion in Proton-Proton-Kollsionen
Berechnung von 2 → 2 Prozessen in O(α 2 s )
Hadronische Kollisionen allgemein
4 Zusammenfassung
() 11.01.2011 12 / 31

Feynman-Diagramme für 2 → 2 Prozesse
Visualisierung von hadronischen 2 → 2 Prozessen durch Feynman-Graphen
[3]:
Abbildung: Feynmann-Diagramme in Ordnung O(α 2 )
Achtung: Die Zeit ist durch die senkrechte Achse repräsentiert
(≠ Vorlesung)
() 11.01.2011 13 / 31

Berechnung von Feynman-Graphen der QCD
Legende:
Feynmanregeln der Quantenchromodynamik
Quarks: einlaufend / auslaufend: u (s) (p)c / u (s) (p)c +
Antiquarks: einlaufend / auslaufend: v (s) (p)c + / v (s) (p)c
Gluon: einlaufend /auslaufend: ɛ µ (p)a α / ɛ ∗ µ(p)a α∗
Propagator: Quarks/Antiquarks:
Gluon: −igµνδαβ
q 2
Quark-Gluon-Vertex: - gs
2 λα γ µ
i(q+mc)
q 2 −(mc) 2
s - Quark-Spin
p - Impuls
c - Quark-Farbvektor
ɛ - Polarisation
a - Gluon-Farbvektor
µ=0..3
α=1..8
q - Impulsübertrag
() 11.01.2011 14 / 31

Matrixelemente von QED analogen Prozessen
Berechnung von M im Prinzip analog zu QED
Aber: g e → g s und Summation (Mittelung) über Farbfreiheitgrade!
Erstes Beispiel: qq ′ → qq ′ ↔ e − µ − → e − µ − :
j q µ = u 3 c 3 γ µ T α u 1 c 1 = u 3 γ µ 1
u 1 c 3
2 λα c 1 (analog für u 4 u 2 )
⇒ M QCD = −gs
2 1
q 2 [u 3γ µ u 1 ][u 4 γ µ u 2 ] (c+ 3 λα c 1 )(c 4 + λα c 2 )
} {{
4
}
c f
|M QCD | 2
gs
4 = |M QED| 2
ge
4 g ∑
cf
2 g = statistisches Gewicht
R,G,B
Idee: Quarks koppeln mit g s c i / √ 2 an jedem Vertex an Gluonenoktett
O.B.d.A. kann qq ′ → qq ′ durch ud → ud dargestellt werden
() 11.01.2011 15 / 31

Farbfaktoren der Reaktion ud → ud für blaue u-Quarks
Definition (Neue SU3 C -Basiszustände nach Basiswechsel)
|1〉 = |gb〉 |5〉 = √ 1 6
(|rr + |gg〉 − 2|bb〉)
|2〉 = |rb〉 |6〉 = |rg〉
|3〉 = −|gr〉 |7〉 = −|br〉
|4〉 = √ 1 2
(|gg〉 − |rr〉) |8〉 = |bg〉
Reaktion Farbfaktor c f
u B d B → u B d B 1/3
u B d R → u B d R -1/6
u B d R → u R d B 1/2
u B d G → u B d G -1/6
u B d G → u G d B 1/2
Z.B.: u B d B → u B d B :
⎛ ⎞
c f = 1 [ 0
(0 1 0)λ α ⎝1⎠ ][ ⎛ ⎞
0
(0 1 0)λ α ⎝1⎠ ]
4
0
0
= 1 [(λ 3
4
22) 2 + (λ 8 22) 2]
= 1 [
(−1)(−1) + 1 1
]
√ √3 = 1 4
3 3
() 11.01.2011 16 / 31

Weiterere Beiträge der Reaktion ud → ud
Umbennenung der Farben führt auf das selbe Ergebnis für rote und Grüne
u-Quarks
→
∑ cf 2 = 3 · 2
3 = 2
R,G,B
Zusammen mit stat. Gewicht g=1/9 ⇒ g
Insgesamt erhalten wir so |M QCD| 2
g 4 s
∑
R,G,B
c 2 f
= 2 9
= 2 s2 +u 2 2
t 2 9 = 4 s 2 +u 2
9 t 2
() 11.01.2011 17 / 31

qq → qq
Zweites Beispiel: qq → qq ↔ e + e − → e + e −
Analog zu Bhabha-Streuung:
M 2 tot ∝ |s-Kanal + t-Kanal| 2
M 2 anh.
g 4 s
= 4 t 2 +u 2
9 s 2
(durch crossing)
und M2 streu
g 4 s
= 4 s 2 +u 2
9 t 2
Interferenzterme 4u2 g
}{{}
st
QED
∑
R,G,B
c f ,streu c f ,anih
c f ,streu = (c+ 3 λα c 1)(c + 4 λα c 2)
4
und c f ,anih = (c+ 3 λα c 1)(c + 2 λα c 4)
4
Unter Berücksichtigung der Farbfaktoren von S.16 für den t-Kanal und 1/3,
-1/6, -1/6 für den s-Kanal folgt insgesamt g ∑ c f ,streu c f ,anih = −8/27
R,G,B
() 11.01.2011 18 / 31

Crossing
Unterprozess |M | 2 /gs 4 |M (90 o )| 2 /gs
4
4 s
1. qq’→ qq’ +u 2
9 t 2 2.2
2. qq ′ 4 s
→ qq’ +u 2
( 9 t 2 2.2
3. qq→ qq
)
4 s 2 +u 2
9 t
+ s2 +t 2
2 u
− 8 s 2
2 27 ut
3.3
4 t
4. qq → q’q’ +u 2
( 9 s 2 0.2
5. qq → qq
)
4 s 2 +u 2
9 t
+ u2 +t 2
2 s
− 8 u 2
2 27 st
2.6
32 u
6. qq → gg +t 2
27 ut
− 8 u 2 +t 2
3 s
1.0
2
1 u
7. gg→ qq +t 2
6 ut
− 3 u 2 +t 2
8 s
0.1
2
8. qg→ qg
s 2 +u 2
9. gg→ gg
9
4
(
s 2 +u 2
t 2 + s2 +t 2
t
− 4 s 2 +u 2
2 9
u
+ u2 +t 2
2
us )
6.1
s
+ 3 30.4
2
crossing: 2+4 (s ↔ t) ; 3+5 (s ↔ u) ; 6,7+8 (s ↔ t)
Gluonselbstwechselwirkung liefert domianten Beitrag zum
Wirkunsgquerschnitt
() 11.01.2011 19 / 31

Jet-Produktion in Proton-Proton-Kollisonen
1 Theoretische Grundlagen aus der QCD
2 Jet-Produktion in e + e − -Annihiliation
3 Jet-Produktion in Proton-Proton-Kollsionen
Berechnung von 2 → 2 Prozessen in O(α 2 s )
Hadronische Kollisionen allgemein
4 Zusammenfassung
() 11.01.2011 20 / 31

Totaler hadronischer Wirkungsquerschnitt
Wirkungsquerschnitt σ ist gegeben durch
σ(P 1 , P 2 ) = ∑ ∫
dx 1 dx 2 f i (x 1 , µ 2 )f j (x 2 , µ 2 ) ˆσ ij (p 1 , p 2 , α S (µ 2 ), Q2
µ 2 )
i,j
f i = Partonenverteilung mit µ als Faktorisierungsskala ( ∼ = Q)
Kurzreichweitiger Wq σ ij wird nach Potenzen von α S

Harte Partonen-Partonen-Streuung
Jet-Struktur für p T ≥ 5 GeV pro reagierendem Parton und hinreichend
großer Öffnungswinkel zur Strahlachse
⇒ Fixed-Target-Experimente sehr selten, da √ s ∝ √ E beam
Für großes s ist harte Partonen-Partonen-Streuung wahrscheinlicher, da
x ∼ = ( ∑ |p T |)/ √ s
() 11.01.2011 22 / 31

Kenngrößen hadronischer Jets
Definition (Hadronische Jets)
Ein Jet ist eine Ansammlung an Transversalenergie E T = ∑ |⃗p T | in einem Kegel
vom Radius
R = √ (∆η) 2 + (∆φ) 2
Hierbei ist ∆η die Pseudorapidizität [2] und φ der Azimuthalwinkel.
Definition garantiert Invarianz unter longitudinalem Lorentz-Boost!
Cone-Algorithmus basiert auf obiger Definition
( )
Rapidität y = 1 2 ln E+pz
E−p z
geht im Limes mq
E
→ 0 in η = − ln(tan θ/2) über
Im Limes mq
E
→ 0 ersetzt man p T → E T = E sin θ, da diese Größe in
Kalorimetern gemessen wird
() 11.01.2011 23 / 31

”LEGO”-Histogramme in Kalorimetern (CMS)
Ideales 2-Jet-Event ist ”back-to-back” in der φ-Koordinate
Darstellung entweder in η-φ-Ebene oder direkt θ-φ-Ebene
() 11.01.2011 24 / 31

Inklusiver Wirkungsquerschnitt
Aus Ed 3 σ
d 3 p ≡ d 3 σ
d 2 p T dy folgt im Hochenergielimes 1 d 2 σ
2πE T dE T dη (mit η ∼ = y)
Wqs fällt um 8 Zehnerpotenzen im Bereich E=20 GeV. . . 500 GeV !!
Gute Übereinstimmung mit QCD-Vorhersage
→ keine Substruktur der Quarks beobachtet!
() 11.01.2011 25 / 31

Zusammenfassung
1 Theoretische Grundlagen aus der QCD
2 Jet-Produktion in e + e − -Annihiliation
3 Jet-Produktion in Proton-Proton-Kollsionen
4 Zusammenfassung
() 11.01.2011 26 / 31

Zusammenfassung
Event Shape Variables dienen dazu, pertubative QCD-Vorhersagen zu
überprüfen
Hadronisierungseffekte entziehen sich störungstheoretischen Betrachtungen
Feynmangraphen in der Ordung O(α 2 s ) können
mit QCD-Feynmanregeln berechnet werden
Jet-Struktur bilden in hadronischen Kollsionen i.d.R. erst bei großem √ s aus
Inklusiver Wirkungsquerschnitt folgt
Potenzgesetz für Transversalimpuls
(↔ Phasenraum + Partonenverteilungsfunktion)
() 11.01.2011 27 / 31

Literatur
Berger, C.
Elementarteilchenphysik - Von den Grundlagen zu den modernen
Experimenten;
Berlin: Springer-Verlag; 2002
Ellis, R.K. ; Stirling, W.J.
QCD and Collider Physics
Cambridge: Cambridge University Press; 1996
Schleper, P.
Skript: Teilchenphysik f. Fortgeschrittene
Hamburg: Uni-Hamburg; 2010/2011
Barger, V. ; Phillips R.
Collider Physics
Addison-Wesley; 1987
Griffiths, D.
Introduction to Elementary Particles
Weinheim: Wiley-VCH Verlag GmbH u. Co; 2008
() 11.01.2011 28 / 31

Back-Up Folien
() 11.01.2011 29 / 31

Zum Wirkungsquerschnitt σ(e + e − → qqg)
Interpretation: e + e − → qqg stellt Erzeugung und Vernichtung eines
virtuellen Phtons dar.
Resonanter Wqs kann mit rel. Breit-Wigner-Kurve
fBW r = 1
beschrieben werden:
(s−MR 2 )+M2 R Γ2
Wie kann
σ Res = g(2J + 1)16 Γ f Γ i
MR
2 fBW r 2
d2 Γ f
dx 1 dx 2
f r BW =1/s2
{}}{
=
Γ ee= α√ s
3
{}}{
⇒
12πΓ ee Γ f
s 2
d 2 σ
(e − e + → qqg) = 4πα
dx 1 dx 2 s √ d 2 Γ f
s dx 1 dx 2
berechnet werden?
() 11.01.2011 30 / 31

Zum Wirkungsquerschnitt σ(e + e − → qqg) II
∑
|Mfi | 2 = 8e 2 Qf 2 g 2 x1 2 c + x 2
2 F
(1 − x 1 )(1 − x 2 )
() 11.01.2011 31 / 31
e + e − → qqg ist durch crossing mit virtuellem Compton-Effekt
verknüpft:
Mit der Substitution e 4 → e 2 Q 2 f g 2 c F und û = k 2 (1 − x 1 1) sowie
ŝ 2 = k 2 (1 − x 2 ) folgt:
∑ ( û
|Mfi | 2 = 8e 2 Qf 2 g 2 c F + ŝ2
ŝ 2 û + 2k2ˆt )
ŝ 2 û
Im CMS von e + e − ist k µ = (2E, 0, 0, 0) und û/ŝ 2 = k 2 (1 − x i ) mit
i=1,2: