Übungsblatt 5

Lehrstuhl für Wirtschafts- und WS 2009/10
Sozialstatistik
Übungen zur Vorlesung Abhängigkeitsanalyse
Blatt 5
Die Aufgaben werden in der Übung am Mittwoch, dem 06.01.2010, 12:15 – 13:45 Uhr im
SR 208 (C.-Zeiß-Str. 3) besprochen.
Aufgabe 17
Gegeben sei folgender gerichteter azyklischer Graph mit Markovbedingung:
X 1
X 2
X 4
X 3 X 5
a) Geben Sie die gemeinsame Verteilung der Variablen in möglichst einfacher Form an.
b) Geben Sie die (manipulierte) Verteilung
b1) von X 4 an, falls X 2 manipuliert wird.
b2) von X 5 an, falls X 1 manipuliert wird.
b3) von X 5 an, falls X 4 manipuliert wird.
Aufgabe 18
Gegeben sei folgender gerichteter azyklischer Graph mit Markovbedingung:
X 1 X 2 X 3 X 4
X 5 X 6
X Y X 7
Ermitteln Sie eine minimale Variablenmenge, die das Backdoor-Kriterium erfüllt bei der Manipulation
X ≡ x auf die Variable Y.

Aufgabe 19
Gegeben sei folgender gerichteter azyklischer Graph mit Markovbedingung:
X
X 1 X 2 X 3
X 4
X 6
X 5
Y
Welche Variablenmengen erfüllen das Backdoor-Kriterium, wenn X die Behandlungsvariable
und Y die Antwortvariable ist?
Aufgabe 20 (Klausur SS 2003, Aufgabe 5)
Gegeben sei das Gleichungssystem (mit Markov-Bedingung)
X1 = f1(U1)
X 2 = f 2 (U 2 )
f (X ,X , U )
X3 = 3 1 2 3
X f4
(X1,
U 4 )
X5 = f5(X2,X4,
U5
4 = )
a) Konstruieren Sie das zugehörige Bayes’sche Netzwerk.
b) Wie kann (mit X↔ X 4 , Y↔ X 5 ) P(Y
x
′ = y)
bestimmt werden?
c) Zeigen Sie, dass gilt:
P(X5
= x 5 | X 4 = x 4 ) = ∑ P(X5
= x5
| X4
= x 4,X1
= x1)
P(X1
= x1)
x1

Aufgabe 21
Zu dem Bayes’schen Netzwerk aus Aufgabe 20 (mit X↔ X 4 , Y↔ X 5 ) seien folgende (geschätzte)
Wahrscheinlichkeiten gegeben:
P(X1 = 1) = 0,8963
P(X
1 = 0) = 0,1037
P(X
2 = 1) = 0,2494
P(X
2 = 0) = 0,7506
P(X3 = 1) = 0,6746
P(X3 = 0) = 0,3254
P (X = 1) = 0,2794
P (X = 0) = 0,7206
y x P (Y = y | X = x)
y x 1 x P(Y
= y | X1 = x1,
X = x)
1 1 0,4771 1 1 1 0,4784
1 0 0,3890 1 1 0 0,3930
0 1 0,5229 1 0 1 0,4423
0 0 0,6110 1 0 0 0,3623
0 1 1 0,5216
0 1 0 0,6070
0 0 1 0,5577
0 0 0 0,6377
y x 2 x P(Y
= y | X 2 = x 2,
X = x)
y x 3 x P(Y
= y | X3 = x 3,X
= x)
1 1 1 0,6880 1 1 1 0,5777
1 1 0 0,9459 1 1 0 0,6714
1 0 1 0,4063 1 0 1 0,4130
1 0 0 0,2047 1 0 0 0,2226
0 1 1 0,3120 0 1 1 0,4223
0 1 0 0,0541 0 1 0 0,3286
0 0 1 0,5937 0 0 1 0,5870
0 0 0 0,7953 0 0 0 0,7774
a) Bestimmen Sie den kausalen Effekt von X auf Y durch Anwendung des Backdoor-
Kriteriums mit der Variablenmenge
a1) Z = 0/
.
a2) Z = {X1}
.
a3) Z = {X 2}
.
b) Welches Ergebnis bezüglich des kausalen Effekts von X auf Y erhalten Sie bei Verwendung
einer falschen Variablenmenge = {X } des Backdoor-Kriteriums?
Z 3