Lineare Algebra (WS 09/10) ¨Ubungsblatt 6 Abgabe: Die, 14.12.09 ...

Lineare Algebra (WS 09/10)
Übungsblatt 6
Schulz/Stoffel/Groß
Abgabe: Die, 14.12.09, bis 11 50 Uhr, Kasten Lineare Algebra
im 1.OG des E-Gebäudes
Aufgabe 23:
(2+2 Punkte)
Es seien im R 3 die folgenden Vektoren gegeben:
⎛ ⎞
3
⎛
1
⎞ ⎛
3
a 1 = ⎝ 5 ⎠ , a 2 = ⎝
2
1
−1
⎠ , a 3 = ⎝ 2
−2
⎞
⎛
⎠ , b 1 = ⎝
1
3
0
⎞
⎛
⎠ , b 2 = ⎝
−2
1
2
⎞
⎠ .
i) Zeigen Sie, dass {a 1 , a 2 , a 3 } eine Basis des R 3 bilden und dass die Vektoren {b 1 , b 2 } linear
unabhängig sind.
ii) Tauschen Sie zwei der Vektoren a 1 , a 2 , a 3 gegen b 1 , b 2 aus, so dass wieder eine Basis des
R 3 entsteht.
Aufgabe 24:
(1+2+3 Punkte)
Seien U und W Unterräume eines Vektorraumes V . Beweisen Sie:
i) U + W ist ein Unterraum von V .
ii) U ∩ W ist ein Unterraum von V .
iii) U ∪ W ist genau dann ein Unterraum von V , wenn gilt U ⊂ W oder W ⊂ U.
Aufgabe 25:
(1+1+1+2 Punkte)
Es sei K = {λ = a + √ 2b; a, b ∈ Q}.
i) Zeigen Sie: K ist ein Körper.
ii) Welche Dimension hat K n als Vektorraum über K?
iii) Welche Dimension hat K n als Vektorraum über Q?
iv) Welche Dimension besitzt der R n als Vektorraum über Q?

Aufgabe 26:
(2 Punkte)
Beweisen Sie folgende Aussagen:
Eine lineare Abbildung bildet Untervektorräume auf Untervektorräume ab.
Aufgabe 27:
(3+2 Punkte)
P 2 sei der (R-)Vektorraum der Polynome bis zum Grad 2. Zeigen Sie:
i) Die Polynome 1, x und x 2 bilden eine Basis des Vektorraums P 2 .
ii) Die Abbildung
d
dx : P 2 → P 2
p(x) ↦→ p ′ (x)
ordnet einem Polynom p(x) = ∑ 2
i=0 α ix i seine Ableitung zu. Ist d
dx
eine lineare Abbildung?
Aufgabe 28:
(4 Punkte)
Es seien U 1 , U 2 , · · · , U n Unterräume des endlichen Vektorraums V so, dass gilt
V =
n⊕
U i .
i=1
Zeigen Sie, dass dann gilt
n⊕
dim(V ) = dim( U i ) =
i=1
n∑
dim(U i ).
i=1