Elemente der Analysis II Kapitel 7: Lineare ... - Universität Trier

Elemente der Analysis II 

Kapitel 7: Lineare Abbildungen und 

Gleichungssysteme 

Leonhard Frerick 

Universität Trier / FB IV 

18. Mai 2010 

Leonhard Frerick (Universität Trier / FB IV ) Kapitel 7: Lineare Abbildungen und Gleichungssystem 18. Mai 2010 1 / 33

Beispiel 7.1.1 

Lineare Abbildungen und Matrizen Beispiele 

Sei p = (p1, . . . , pn) der Vektor der Preise von Gütern mit Nummern 1, . . . , n. 

Jedes x = (x1, . . . , xn) beschreibt einen Güterbündel mit xk Einheiten (Stück, 

Liter, Gewicht, . . .) des Gutes Nummer k. Dieses Güterbündel hat dann den 

Wert 

f (x) = p1x1 + p2x2 + . . . + pnxn = 〈p, x〉. 

Wie schon in 6.2.12 bemerkt, ist dann 

f (ax) =< p, ax >= a < p, x >= af (x) 

(der a-fache Güterbündel ist das a-fache wert) und 

f (x + y) =< p, x + y >=< p, x > + < p, y >= f (x) + f (y) 

(der Wert von zwei Güterbündel ist die Summe der Werte). (Beachte, dass 

auch dieses Modell eine Vereinfachung ist. Tatsächlich würde man wohl 

Rabatte aushandeln, wenn man viel einkauft.) 



Lineare Abbildungen und Matrizen Beispiele 

Sie haben zwei Kraftwerke zur Verfügung, das erste wird mit Erdgas 

betrieben und liefert aus einer Einheit Gas zwei Einheiten Strom und eine 

Einheit Wärme,das zweite liefert aus einer Einheit Kohle jeweils eine Einheit 

Strom und Wärme. Der Gesamtausstoß bei Einsatz von x1 Einheiten Erdgas 

und x2 Einheiten Kohle ist also der Vektor f (x1, x2) = (2x1 + x2, x1 + x2) wobei 

die erste Koordinate den produzierten Strom und die zweite Koordinate die 

produzierte Wärme angibt. Auch diese Abbildung 

erfüllt: 

f : R 2 → R 2 , f (x) = (2x1 + x2, x1 + x2), 

f (ax) = af (x) und f (x + y) = f (x) + f (y), a ∈ R, x, y ∈ R 2 . 


Definition 7.1.3 

Lineare Abbildungen und Matrizen Lineare Abbildungen 

Eine Abbildung f : R n → R m heißt linear, wenn für alle x, y ∈ R n und a ∈ R 

gelten: 

f (ax) = af (x) und f (x + y) = f (x) + f (y). 

Beispiele 7.1.4 

i) Es sei p ∈ R n und f : R n → R, f (x) =< p, x >= p1x1 + . . . + pnxn. Dann 

ist nach Satz 6.2.12 f linear. 

ii) Für 1 ≤ j ≤ m sei prj : R m → R, prj(x) = xj =< e (j) , x >, die Projektion 

auf die j.te Koordinate. Jedes prj ist dann nach i) linear. 


Satz 7.1.5 


i) f : R n → R m ist genau dann linear, wenn für alle x, y ∈ R n und a, b ∈ R 

gilt f (ax + by) = af (x) + bf (y). 

ii) Ist f : R n → R m linear, so gilt für alle x (1) , . . . , x (p) ∈ R n und 

a1, . . . ap ∈ R, dass f 

� p� 

ajx 

j=1 

(j) 

� 

= 

p� 

ajf (x (j) ). 

iii) Summen, Vielfache, Zusammensetzungen und Kompositionen linearer 

Abbildungen sind linear. 

iv) f = (f1, . . . , fm) : R n → R m ist genau dann linear, wenn alle 

Komponentenfunktionen fk : R n → R linear sind. 

Leonhard Frerick (Universität Trier / FB IV ) Kapitel 7: Lineare Abbildungen und Gleichungssystem 18. Mai 2010 5 / 33 

j=1

Beweis. 


i) ′′ =⇒ ′′ folgt aus f (ax + by) = f (ax) + f (by) = af (x) + bf (y). ′′ ⇐= ′′ folgt 

mit b = 0 bzw. a = b = 1. 

ii) folgt induktiv aus (a) 

iii) Die Linearität von f + g, (f , g) und af rechnet man direkt nach. (Siehe 

Folie) Für f : R n → R m und g : R m → R p beide linear ist 

g(f (ax + by)) = g(af (x) + bf (y)) = ag(f (x)) + bg(f (y)). 

iv) Ist f = (f1, . . . , fm). Ist f linear, so folgt aus der Linearität der Projektionen 

zusammen mit iii), dass auch fk = prk ◦ f linear ist, 1 ≤ k ≤ m. 

Sind alle fk, 1 ≤ k ≤ m linear so ist f als Zusammensetzung der fk 

wieder nach iii) linear. 


Satz 7.1.6 


Jede lineare Abbildung f : R n → R ist von der Form f (x) = 〈a, x〉 mit 

a = (f (e (1) ), . . . , f (e (n) )) ∈ R n und den Einheitsvektoren e (1) , . . . , e (n) . 

Beweis. 

Wir schreiben x = n� 

xke (k) = n� 

k=1 

Mit 6.1.5 ii) (für ak = xk) folgt also 

f (x) = 

n� 

xkf (e (k) ) = 

k=1 

< x, e 

k=1 

(k) > e (k) für jedes x = (x1, . . . , xn). 

n� 

xkak = 〈x, a〉 = 〈a, x〉. 

k=1 


Bemerkung 


i) Eine lineare Abbildung R n → R ist also durch die n Werte 

f (e (1) ), . . . , f (e (n) ) der Standardbasis eindeutig bestimmt und damit sehr 

leicht auszurechnen. (Ist z (1) , . . . , z (n) irgendeine Basis des R n , so ist f 

auch durch f (z (1) ), . . . , f (z (n) ) eindeutig bestimmt, aber nur dann leicht 

auszurechnen, wenn man die Koeffizienten in x = n� 

akz (k) effektiv 

bestimmen kann). 

ii) Interpretation von pk = f (e (k) ) : Dies ist der Faktor (Preis) mit dem die 

k-te Komponente xk von x = (x1, . . . , xn) zum Funktionswert f (x) 

beiträgt. 


k=1



Ein Unternehmen produziere aus 3 Rohstoffen zwei Produkte. 

Input: x1 Menge der ersten, x2 Menge des zweiten, x3 Menge des dritten 

Rohstoffs. Output: f1(x1, x2, x3) produzierte Menge des ersten Produkts bei 

Einsatz x1, x2, x3. f2(x1, x2, x3) produzierte Menge des zweiten Produkts bei 

Einsatz x1, x2, x3. 

Modell: f = (f1, f2) : R 3 → R 2 . 


Lineare Abbildungen und Matrizen Matrizen 

Wir betrachten jetzt lineare Abbildungen f = (f1, . . . , fm) : R n → R m : Nach 

dem obigen Satz wissen wir, dass dann für jedes j ein eindeutig bestimmtes 

aj = (aj1, . . . , ajn) ∈ R n existiert mit 

Damit ist also 

fj(x) =< aj, x >= aj1x1 + . . . + ajnxn. 

f (x) = (< a1, x >, . . . , < am, x >) = ( 

n� 

k=1 

a1kxk, 

n� 

a2kxk, . . . , 

k=1 

n� 

amkxk). 

Dies wird sehr unübersichtlich, ⎛ ⎞ also geht man zur Spaltenschreibweise über: 

f1 

⎜ 

Damit wird für f = ⎝ . 

⎟ 

. ⎠ : R 

fm 

n → Rm ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

f1(x) 

x1 

⎜ 

, f (x) = 

. 

⎝ . 

⎟ ⎜ 

. ⎠, x = 

. ⎟ 

⎝ . ⎠ . 

Also etwas übersichtlicher: 

fm(x) 

xn 

⎛ 

⎜ 

f (x) = ⎝ 

f1(x) 

. 

⎞ ⎛ 

⎟ ⎜ 

⎠ = ⎝ 

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn 

. 

⎞ 

⎟ 

⎠ . 

fm(x) am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn 


k=1


Es bietet sich an, die n · m reellen Zahlen ajk in eine Tabelle zu schreiben: 

⎛ 

a11 a12 . . . a1n 

⎜ a21 a22 ⎜ 

. . . a2n 

A = ⎜ 

⎝ . 

am1 am2 . . . amn 

⎞ 

⎟ 

⎠ . 

Eine solche Tabelle heißt m × n Matrix. 

Fassen wir noch einmal zusammen: Jede lineare Abbildung f : Rn → Rm ist 

eindeutig durch eine m × n Matrix A bestimmt.Es gilt dann 

f (x) = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

f1(x) 

. 

fm(x) 

⎞ 

⎟ 

⎠ = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn 

. 

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn 

⎞ 

⎟ 

⎠ . 

Die Matrix A heißt dann die darstellende Matrix für f . Natürlich definiert jede 

m × n Matrix definiert mit obiger Formel eine lineare Abbildung f : R n → R m , 

wir können also die linearen Abbildungen von R n nach R m mit den m × n 

Matrizen identifizieren. 



Wir benötigen noch einige Schreibweisen: 


Es sei 

⎛ 

a11 a12 . . . a1n 

⎜ a21 a22 ⎜ 

. . . a2n 

A = ⎜ 

⎝ . 

am1 am2 . . . amn 

eine m × n Matrix. Dann schreibt man auch kurz A = (ajk)1≤j≤m 

1≤k≤n 

Zahl ajk steht also in der j−ten Zeile und k-ten Spalte von A. 

Weiter heißt für 1 ≤ j ≤ m und 1 ≤ k ≤ n 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

aj := (aj1, . . . , ajn) die j − te Zeile von A und 

a (k) 

⎛ ⎞ 

a1k 

⎜ 

:= ⎝ . 

⎟ 

. ⎠ die k − te Spalte von A. 

amk 

= (ajk). Die 


Lineare Abbildungen und Matrizen Multiplikation von Matrix und Vektor 

Mit obigen Bezeichnungen schreiben wir 

⎛ 

⎜ 

A = ⎝ 

a1 

. 

⎞ 

⎟ 

⎠ = (a (1) , . . . , a (n) ). 

am 

Wir definieren nun die Multiplikation einer m × n Matrix mit einem Vektor 

x ∈ R n : 




Für eine m × n Matrix 

⎛ 

⎜ 

A = ⎜ 

⎝ 

a11 

a21 

. 

a12 

a22 

. . . 

. . . 

a1n 

a2n 

am1 am2 . . . amn 

⎞ 

⎛ 

⎟ 

⎜ 

⎟ und einen Vektor ⎝ 

⎠ 

x1 

. 

xn 

⎞ 

⎟ 

⎠ ∈ R n 

sei das Produkt der folgende Vektor aus dem Rm : 

⎛ 

⎜ 

Ax = ⎜ 

⎝ 

a11 

a21 

. 

am1 

a12 

a22 

am2 

. . . 

. . . 

. . . 

a1n 

a2n 

amn 

⎞ 

⎛ 

⎟ ⎜ 

⎟ ⎝ 

⎠ 

x1 

. 

xn 

⎞ ⎛ 

⎟ ⎜ 

⎠ = ⎝ 

a11x1 + . . . + a1nxn 

. 

am1x1 + . . . + amnxn 

⎞ 

⎟ 

⎠ , 

kürzer: Ax = � n 

k=1 xka (k) , wobei a (k) die k-te Spalte von A ist. 



Mit obiger Definition erhält man also 

Bemerkung 

Ist f : R n → R m linear und ist A die darstellende Matrix von f , so gilt 


f (x) = Ax, x ∈ R n . 

Es sei p ∈ Rn . Schreiben wir p = (p1, . . . , pn) als 1 × n Matrix, so gilt 

⎛ 

n� 

⎜ 

< p, x >= xkpk = (p1, . . . , pn) ⎝ 

x1 

. 

⎞ 

⎟ 

⎠ = px. 

k=1 


xn


Wir definieren genauso wie bei Vektoren Summe und Vielfaches von 

Matrizen komponentenweise: 


Es seien A, B jeweils m × n Matrizen. Dann sei A + B diejenige m × n Matrix 

mit dem Eintrag ajk + bjk in der j−ten Zeile und k−ten Spalte.Also 

⎛ 

a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n 

⎜ a21 ⎜ + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n 

A + B = ⎜ 

⎝ . 

am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn 

Ist α ∈ R und A eine m × n Matrix so sei αA die m × n Matrix mit dem Eintrag 

αajk in der j−ten Zeile und k−ten Spalte.Also 

⎛ 

αa11 αa12 . . . αa1n 

⎜ αa21 αa22 ⎜ 

. . . αa2n 

αA = ⎜ 

⎝ . 

αam1 αam2 . . . αamn 


⎞ 

⎟ 

⎠ . 

⎞ 

⎟ 

⎠


Wir können noch eine Multiplikation von Matrizen definieren: 


Es sei A eine m × n Matrix und B eine n × p Matrix.Dann ist die m × p Matrix 

AB definiert durch �n k=1 ajkbkl als Eintrag in der j−ten Zeile und l−ten 

Spalte. Also 

⎛ 

⎜ 

AB = ⎜ 

⎝ 

�n k=1 a1kbk1 

�n k=1 a1kbk2 . . . �n k=1 a1kbkp 

�n k=1 a2kbk1 

�n k=1 a2kbk2 . . . �n k=1 a2kbkp 

. 

. 

�n k=1 amkbk1 

�n k=1 amkbk2 . . . �n k=1 amkbkp 

⎞ 

⎟ 

⎠ . 

Ist also AB = C so ist cjl = a (j) bl =< a (j) , bl >, wobei a (j) die j−te Zeile von A 

und bl die l−te Spalte von B ist. 


Satz 7.1.13 


i) Es sei f : R n → R m eine lineare Abbildung mit darstellender Matrix A 

(d.h. f (x) = Ax) und g : R n → R m eine lineare Abbildung mit 

darstellender Matrix B(d.h. g(x) = Bx). Dann hat f + g die darstellende 

Matrix A + B (d.h. (f + g)(x) = (A + B)x). 

ii) Ist α ∈ R und ist A die darstellende Matrix der linearen Abbildung 

f : R n → R m , so ist αA die darstellende Matrix der Abbildung αf (d.h. 

(αf )(x) = (αA)x) 

iii) Es sei f : R n → R m eine lineare Abbildung mit darstellender Matrix A 

(d.h. f (y) = Ay) und g : R p → R n eine lineare Abbildung mit 

darstellender Matrix B (d.h. g(x) = Bx), dann hat f ◦ g : R p → R m die 

darstellende Matrix AB (d.h. (f ◦ g)(x) = (AB)x). 


Lineare Abbildungen und Matrizen Lineare Gleichungssysteme 

In der Situation von Beispiel 7.1.7 seien die Komponenten von f : R 3 → R 2 

konkret durch 

f1(x1, x2, x3) = 2x1 + 4x2 + x3 

gegeben. Dann hat man also mit A = 

f2(x1, x2, x3) = 6x1 + x2 + 2x3 

� 2 4 1 

6 1 2 

� 

, dass f (x) = Ax. Das 

Unternehmen erhalte eine Anfrage, ob es genau y1 Stück von Gut 1 und y2 

Stück von⎡Gut 2⎤liefern könne. Die Geschäftsführung fragt sich dann: Gibt es 

x1 

� � 

y1 

Input x = ⎣ ⎦, so dass f (x) = Ax = y = , also 

x2 

x3 

y2 

(1) 2x1 + 4x2 + x3 = y1 

(2) 6x1 + x2 + 2x3 = y2 


?


Subtraktion des dreifachen der ersten Gleichung von der zweiten liefert, dass 

das Gleichungssystem äquivalent ist zu 

(1) 2x1 + 4x2 + x3 = y1 

(3) −11x2 − x3 = y2 − 3y1. 

Dieses neue System kann man nun explizit auflösen: 

Wähle irgendein x3 = t ∈ R 

Definiere 

x2 = 1 

−11 (y2 − 3y1 + t) 

x1 = 1 

2 (y1 − x3 − 4t) 

Es gibt also sehr viele Lösungen, und man kann die Anfrage positiv 

beantworten (und sich dann überlegen, welches x3 zu einer Lösung mit 

weiteren günstigen Eigenschaften führt). 


Bemerkung 


In realistischen Beispielen hat man viel mehr Variablen x1, . . . , xn und 

viel mehr Gleichungen. 

Die Menge der Lösungen {x ∈ R n : f (x) = y} ist also eine Niveaumenge 

zu Niveau y. 

Weil man 3 Unbekannte und 2 Gleichungen hat, ist es nicht 

überraschend, dass es viele Lösungen gibt. 

� � 

2 4 1 

Vorsicht: Ist Q = 

, so hat 

4 8 2 

2x1 + 4x2 + x3 = 1 

4x1 + 8x2 + 2x3 = 1 keine 

Lösung. (Die zweite Zeile von Q ist ein Vielfaches der ersten Zeile). 




i) Für eine m × n-Matrix A = (ajk) und y ∈ R m heißt die Gleichung 

Ax = y 

ein LGS mit m Gleichungen und n Unbekannten. Jedes x ∈ R n , das 

diese Gleichung erfüllt heißt eine Lösung des LGS. 

L(A, y) = {x ∈ R n : Ax = y} heißt Lösungsmenge. 

ii) Ax = y ist eine kurze und elegante Schreibweise für 

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = y1 

. 

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = ym 


.

Bemerkung 


i) Hat A die Spalten a (1) , . . . , a (n) , so ist A · x = x1a (1) + . . . + xna (n) . Es gibt 

also genau dann eine Lösung von A · x = y, wenn y eine 

Linearkombination der Spalten von A ist. 

ii) Für y = 0 ∈ R m (also y der Nullvektor) gibt es immer mindestens eine 

Lösung, nämlich x =0∈ R n . Oft gibt es aber auch x �= 0 mit A · x = 0. 

iii) LGS treten sehr oft mit riesigen Dimensionen n und m auf 

(Computertomographie: n ≈ m ≈ 10 6 ) 


Lineare Abbildungen und Matrizen Gauß-Algorithmus 

Der Gaußsche Algorithmus (Eliminationsverfahren) ist eine einfache 

Methode, wie man das Problem „Finde alle Lösungen des LGSm×n A · x = y“ 

auf ein „kleineres“ LGS (m−1)×(n−1) zurückführt. Das neue Problem wird mit 

der selben Methode auf ein noch kleineres LGS (m−2)×(n−2) zurückgeführt, bis 

man schließlich entweder ein LGS1,q oder ein LGSp,1 erhält (das man leicht 

lösen kann). 


Bemerkung 


Gesucht sind alle Lösungen x ∈ R n das LGSm×n A · x = y für gegebene 

m × n Matrix A und y ∈ R m (wenn es denn eine gibt), also 

a1,1x1 + a1,2x2 + . . . + a1,nxn 

. 

= y1 

. 

am,1x1 + am,2x2 + . . . + am,nxn = ym. 

Lösungsstrategie: Elimination der Unbekannten x1 aus den letzten (m − 1) 

Gleichungen durch Addition geeigneter Vielfacher der ersten Gleichung zu 

den übrigen. Wir erhalten ein neues Gleichungssystem, in dem sich x1 leicht 

in Abhängigkeit von y1 und den x2, . . . , xn ausrechnen läßt. Das geht, falls der 

Koeffizient a1,1 ungleich 0 ist. Sonst Vertausche die Reihenfolge der 

Gleichungen. 

Nun wendet man dasselbe Verfahren auf das neue Gleichungssystem an, 

wobei man erste Zeile und erste Spalte nicht beachtet. 

Man erhält danach, daß sich x2 leicht in Abhängigkeit von y1, y2 und den 

x3, . . . , xn ausrechnen läßt. Und so weiter.... 



Die Beispiele und Techniken zum Gauß-Algorithmus sind vollständig auf den 

Folien! 


Lineare Abbildungen und Matrizen Inverse Matrizen 

Wir interessieren uns nun für bijektive lineare Abbildungen. Man kann zeigen: 

Ist f : R n → R m bijektiv, so ist schon n = m. Wir setzen also ab jetzt n = m 

voraus. Es gilt dann 

Satz 7.1.15 

Für eine lineare Abbildung f : R n → R n sind äquivalent: 

i) f ist bijektiv,d.h. für alle y ∈ R n gibt es genau ein x ∈ R n mit f (x) = y. 

ii) f ist surjektiv, d.h. für jedes y ∈ R n gibt es mindestens ein x ∈ R n mit 

f (x) = y. 

iii) f ist injektiv, d.h. für jedes y ∈ R n gibt es höchstens ein x ∈ R n mit 

f (x) = y. 

iv) Es gibt nur ein x ∈ R n mit f (x) = 0 (nämlich x = 0.) 

v) Es gibt eine lineare Abbildung g : R n → R n mit f (g(x)) = x, x ∈ R n . 

(in diesem Fall ist dann f −1 = g.) 


Bemerkung 7.1.16 


Ist A die n × n Matrix, welche die lineare Abbildung f : R n → R n darstellt (also 

f (x) = Ax gilt), so ist i) äquivalent zu: Das Gleichungssystem Ax = y hat 

genau eine Lösung für jedes y, 

so ist ii) äquivalent zu: Das Gleichungssystem Ax = y hat mindestens eine 

Lösung für jedes y, 

so ist iii) äquivalent zu: Das Gleichungssystem Ax = y hat höchstens eine 

Lösung für jedes y, 

so ist iv) äquivalent zu: Das Gleichungssystem Ax = 0 hat genau eine 

Lösung (nämlich x = 0 ). 




Ist eine der obigen Bedingungen ( und damit dann alle ) für die n × n Matrix A 

erfüllt, so nennen wir A invertierbar. 


⎡ 

1 

⎢ 0 

Für n ∈ N heißt En = ⎢ . 

⎣ . 

0 

1 

. . . 

0 

1 

⎤ 

0 

0 ⎥ 

. 

⎥ ∈ Rn×n 

. ⎦ 

0 . . . 1 

die n × n-dimensionale Einheitsmatrix. 


Bemerkung 


i) Für x ∈ R n gilt dann Enx = x, also stellt En die identische Abbildung 

id : R n → R n , id(x) = x, dar. 

ii) Für jede n × n Matrix A gilt dann A · En = A und En · A = A. 

iii) Ist f : R n → R n bijektiv, und wird f durch A und f −1 durch A −1 dargestellt, 

so gilt AA −1 = A −1 A = En. 

Aus obigem Satz erhalten wir: 

Folgerung 7.1.19 

Sind A, B zwei n × n Matrizen mit AB = En, so sind A, B beide invertierbar 

und es gilt B = A −1 und A = B −1 . 




� � 

1 2 

A = ist invertierbar mit A 

0 3 

−1 � � 

2 1 − 

= 

3 . 

� � 

0 1/3 

1 2 

M = ist nicht invertierbar. 

4 8 

� � 

2 

x = =⇒ M · x = 0. Wäre M invertierbar, folgte x = M 

−1 

−1 · M · x = 0, 

was nicht der Fall ist. 


Satz 7.1.21 

Sei A eine n × n Matrix. 


i) Ist A invertierbar (d.h. die durch A dargestellte Abbildung bijektiv), so 

besitzt das LGS A · x = y für jedes y ∈ R n genau die eine Lösung 

x = A −1 · y. 

ii) Sind alle n LGS A · x = e (k) (k-ter Einheitsvektor) lösbar mit Lösung 

x (k) ∈ R n , so ist A invertierbar und x (1) , . . . x (n) sind die Spalten von A −1 , 

also 

A −1 = (x (1) , . . . x (n) ). 

. 


Beweis. 

. 


i) x = A −1 · y löst das LGS Ax = y, weil 

A · (A −1 · y) = (A · A −1 ) · y = En · y = y. Damit ist die Bedingung ii) in 

7.1.16 erfüllt, mit Bedingung iv) aus 7.1.16 ist dann A −1 · y die einzige 

Lösung des LGS Ax = y. 

ii) Nach Definition der Matrixmultiplikation ist 

A · (x (1) , . . . , x (n) ) = (Ax (1) , . . . , Ax (n) ) = (e (1) , . . . , e (n) ) = En. 

Damit ist A invertierbar und 

(x (1) , . . . , x (n) ) = A −1 .

Elemente der Analysis II Kapitel 7: Lineare ... - Universität Trier

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