Koordinatensysteme, Transformation und deren Effekte

Referat Koordinatensysteme, Transformationen und deren Effekte 23.04.2002
Koordinatensysteme, Transformation und deren Effekte
0. Inhalt
1. Koordinatensysteme
2. affine Koordinaten
• kovariant und kontravariant
• affine und physikalischen Komponenten
• Rechenregeln
• Bezugssystemwechsel (Transformation)
3. Das Kartesische Koordinatensystem
4. Transformationsformeln
• Verschiebung
• Bezugssystemwechsel
• Spiegelung
5. Effekte
• Corioleskraft
• Überschall
• (spezielle) Lorentz- Transformation
6. Literatur
1. Koordinatensysteme
Was ist ein Vektor? Was ist ein Koordinatensystem?
Laut Def. ist ein Vektor ein Element eines Vektorraumes, so lustig und nichtssagend wie es auch klingt. Bildlich
gesprochen ist es der richtungs- und entfernungsabhängige „Verbindungspfeil“ zwischen zwei Punkten.
Kennzeichen eines Vektors ist es, dass seine physischen Merkmale (Richtung und Länge) unabhängig von der
Wahl des Koordinatensystems sind. Dieses Prinzip bezeichnet man als Invarianz eines Vektors.
Das Koordinatensystem ist ein mathematischer Versuch, jeden Punkt im Raum sinnvoll zu beschreiben. (Das
Wort Versuch ist hier deshalb so gewählt, weil sich nicht jedes KS für die Beschreibung jedes Problems
anbietet.) Es ist also als eine Abbildung von n- Tupeln (Koordinaten) auf die in der Ebene (n=2) oder im Raum
(n=3 oder 4) befindlichen Punkte zu verstehen.
Geradliniges KS
Affines Koordinatensystem
Jedes Tupel (für die Ebene) oder Tripel (für den Raum) aus linear voneinander unabhängigen Vektoren g 1 , g 2 , g 3
kann als Koordinatensystem dienen. Dabei sollen diese Vektoren als die Grundvektoren, ausgehend vom
Koordinatenursprung, aufgefasst werden.
Kartesisches KS
Orthonormiert man die Basen eines Koordinatensystems und ordnet sie rechtsdrehend, so erhält man das in den
Naturwissenschaften standardmäßig genutzte kartesische KS. Es gilt:
span e
e × e
x
x
x
( , e , e )
y
e ∗ e
e
y
x
= e
= e
= 0
y
y
z
= e
z
z
Geodätisches KS
Im Geodätischen System der Ebene gilt dagegen die Linksdrehung, d.h. die X-Achse ist
die Ordinate, die Y- Achse die Abszisse. Ebenfalls genau entgegengesetzt ist die
Benennung der Quadranten (in Uhrzeigerrichtung). Zu beachten ist dieser Umstand vor
allem beim Einsatz von Soldner und Gauss- Krüger- Projektionen etwas später im
Skript.
= R
= 1
3
- 1 -

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Polare und Sphärische-KS
Polares KS und Geodätisches PolarKS
Polare Koordinaten bestehen aus einem Winkel und der Entfernung zum Koordinatenursprung. Im Gegensatz
zum gewöhnlichen PolarKS ist das Geodätische PolarKS linkshändig.
Polabstands SKS und Geographisches SKS
Da oft damit schon gerechnet und gearbeitet wurde, seinen hier nur einige Skizzen zur Verdeutlichung
eingeschoben:
Projizierte KS
Eben- projizierte KS
Söldner KS
Nun stellt sich die Frage, wie man eine Kugeloberfläche wie die der Erde
in möglichst handliche (faltbar oder nicht) Form bringt, da ein Globus
sich nun nicht gerade durch Genauigkeit und einfache Handhabung
auszeichnet. Dazu muss man die gekrümmte Oberfläche auf eine Fläche
projizieren.
Bei dem Soldnerverfahren geht man von einem gut bestimmten
Bezugspunkt (Zentralpunkt) aus und legt die Abszisse (geodätisches
System: x- Achse!) auf einen Meridian. Die der Wert der Ordinate y und
der der Abszisse x eines Punktes ist dann durch das sphärische Lot auf
den Zentralmeridian bzw. die Zentralbreite. Es tritt in Nord-Süd- Richtung
ein Streckungsfaktor
a
∆x
=
∆x
= 1
+
∆ x real
2
real
2
y
2R
Gauß- Krüger KS
auf.
Während Soldner die Breite korrekt darstellt, versucht das Gauss- Krüger-
Verfahren winkelgetreu (und annähernd auch streckentreu) abzubilden. Dazu
wird die Erdoberfläche von Nord nach Süd in lauter 3°20’ breite
„Apfelsinenschalenstreifchen“ zerlegt, geplättet und wieder an den
Überlappungsgebieten zusammen geführt (falls notwendig). Zweckmäßiger
Weise richtet man sich Hauptmeridiane ein (0°, 3°, 6°, usw.), von denen man
ausgeht. Den Koordinatenursprung legt man in den Schnittpunkt
Hauptmeridian- Äquator. Damit kann man im Gegensatz zu Soldner mit „nur“
120 Messungen die gesamte Erde dartellen und benötigt nicht für jeden
Breitenkreis einen neuen Zentralpunkt.
Die Streckungen, die entlang der x- und y- Achse entstehen berechnen sich zu:
a
∆x
a
∆y
∆x
=
∆x
real
3
real
2
y
=
6R
= 1+
2
real
2
y
2R
- 2 -

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Mercator- Projektion
Das Mercatorsystem „rollt“ die Erde auf die Oberfläche eines Zylinders ab. Da im hohen
Norden und im tiefen Süden so und so recht wenig Menschen leben, macht es scheinbar nicht
so viel aus, dass an den Polen die Breitenzerrung im vollen Umfang zuschlägt...
Kugelförmig- projizierte KS
In dieser Sparte seien exemplarisch nur die beiden wichtigsten astronomischen Koordinatensysteme, Horizontund
Äquatorsystem, erwähnt.
Zylinder KS
Ja, na ja. Das ist halt so’n Zwischending aus Polarkoordinatensystem und einer kartesischen
Höhe. Da es schon öfters Anwendung fand (s. Mathematik für Physiker I) ist dem ebenso
nicht so viel Platz zu opfern.
Krummliniges KS
Ganz interessant (aber völlig Rahmen- sprengend) sind die krummlinigen Koordinaten. Spezialfälle davon sind
bereits bekannt, nämlich in Form der Sphärischen Koordinaten.
Krummlinige Koordinaten bilden sich aus Kurvenscharen, welche für jede mögliche Parameterverteilung genau
einen Schnittpunkt haben (z.B. eine Kugelfläche und ein Radius- Strahl). Damit kann man dann jede Fläche und
jeden Weg im Raum auf einfache Art und Weise nachbilden. Problem ist nur: wie kann man diese Koordinaten
ins Kartesische System transformieren. Also sind diese für spezielle Lösungen besonders gut, für allgemeine
Anwendungen aber recht problematisch zu handhaben.
2. affine Koordinaten
Kovariant und kontravariante Vektoren
Möchte man die Welt der Koordinaten besser verstehen, so muss man mit der Ursuppe beginnen, aus der es
kroch. Das heißt, wir schauen uns als erstes den Prototypen aller geradlinigen raumbeschreibenden Systeme an,
nämlich das affine Koordinatensystem. Bei diesem sind drei (oder zwei) linear unabhängige Vektoren als
Messgrundlage gegeben- und sonst nichts. (Dass es sich dabei nicht um eine Gemeinheit der Mathematiker
handelt, soll uns das letzte Beispiel zeigen.)
Zunächst aber fußen unsere Überlegungen in dem Gleichungssystem mit drei Skalarprodukten, wobei der Vektor
x die eigentliche Unbekannte ist.
x ∗ a = α ⎫
⎪ α
x ∗b
= β ⎬ ⇒ x =
⎪
x ∗ c = γ ⎪⎭
~ ~ ~
( b × c) + β ( c × a) + γ ( a × b) abc
- 3 -
= α ⋅ a+
β ⋅ b+
γ ⋅ c
Die Lösung für x ergibt sich aus der Eigenschaft des Skalarproduktes, dass sich senkrechte Komponenten
wegheben. Man führt ferner (vorerst) für Rechenvorteile und Schreibverkürzung die Vektoren
~
~
b×
c c×
a a × b
a = , b = , c =
abc abc abc ein.
~

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Setzt man nämlich zur Probe die Ausgangsgleichungen (was ja lediglich Projektionen von x auf a, b und c sind
in die Lösung ein, so erhält man x=x, also ist diese tatsächlich eine Lösung zu unseren Ausgangsproblem
Nun belässt man es aber nicht dabei, sondern nennt die Vektoren auf der linken Seite der Gleichung die
kovarianten, die geschlängelten auf der rechten die dazu kontravarianten Vektoren.
n
a = : an;
a = : a
Wie man sieht, sind in diesem Skript die kovarianten unten, die kontravarianten Vektoren oben indexiert.
Transformation zwischen ko- und kontravarianten Vektoren
Jetzt überlegen wir uns, wie die ko- und kontravarianten Vektoren zusammenhängen. Da sowohl die ko- als auch
die kontravarianten Vektoren linear unterschiedlich sind, kann man die einen als Linearkombination der anderen
darstellen. Also schauen wir uns an, wie aus der kovarianten Vektorschar sich die kontravarianten Vektoren
entwickeln lassen:
a
a
a
1
2
3
= g
= g
= g
11
21
31
⋅ a + g
1
1
1
~
12
⋅a
+ g
⋅ a + g
22
32
⋅a
2
⋅a
⋅a
2
2
+ g
+ g
13
+ g
Wir multiplizieren, um die Gleichungen nach g nm aufzulösen, mit a 1 , a 2 bzw. a 3 durch.
1 1
a ∗ a =
g
11
1 1
= a ∗ a
11 12
13
( g ⋅ a + g ⋅ a + g ⋅ a )
1
2
3
∗ a
23
33
1
⋅a
3
⋅ a
⋅a
3
3
= g
11
1
⋅ a ∗ a
Noch mal zur Erinnerung: Skalarprodukte zweier senkrechter Vektoren sind Null. Deshalb vereinfacht sich
dieses Gleichungssystem auf eben diese einfache Form:
a
1
a2
× a
=
a a a
Da das Skalarprodukt kommutativ ist, gilt ja:
1
2
3
2
⎧
⎪ 1
a ∗ a
⎪
1
⇒ ⎨a
∗ a
⎪
⎪ 1
a ∗ a
⎪
⎩
2
3
1
=
0, da
= 0 dito
a
2
× a3
=
a a a
1
2
1
a senkrecht auf a
3
∗ a
nm n m m n
g = a ∗ a = a ∗ a =
1
1
2
1
a1
a2a
=
a a a
mn
g
Das heißt, das obige Gleichungssystem als Matrix geschrieben, ergibt eine symmetrische Matrix. Wenn man das
ganze Prozedere ebenso für die Gegenrichtung anrichtet, erhält man diese Erkenntnisse ebenso:
a
1
2
3
1
= g11
⋅ a + g12
⋅a
+ g13
⋅ a
3
3
= 1
= g
2
11
g = a ∗ a = a ∗ a = g
nm
n
m
Zu guter Letzt schauen wir uns an, was geschieht wenn man beide Transformationen hintereinander ausführt.
Unsere Vermutung ist natürlich, dass diese Abbildung denn die Identität sein muss. Das aber ersteinmal zu
zeigen, setzen die Gleichungen ineinander ein.
a = g
1
= g
!
1
= a
11
11
= a ⋅
1
1
⋅ a + g
g
11
m
11 12 13
12 22 23
13 23 33
( g g + g g + g g ) + a ⋅ ( g g + g g + g g ) + a ⋅ ( g g + g g + g g )
11
1
2
12
⋅ a
⋅ a + g
11
2
12
3
12
2
13
13
3
11
13
3
⋅1+
a ⋅ 0 + a ⋅ 0 wegen lin. Unabhängigkeit von a , a , a
Dabei zeigt sich, dass:
g
+ g
a
⋅ a
+ g
g
a + g
2
12
g
11
21
a + g
1
12
12
g
22
n
a
2
13
1
mn
+ g
2
12
g
3
23
a + g
3
3
13
11
g
31
a + g
1
12
13
g
32
a
2
13
+ g
13
g
33
a
3
- 4 -

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∑
l
g
kl
g
lm
= δ
Also ist die Abbildungsmatrix tatsächlich die Einheitsmatrix:
f
a
x
x $ a
f
a
x
k
m
a
x
⎧1
⇔ k = m
= ⎨
⎩0
⇔ k ≠ m
⎛1
⎜
= ⎜0
⎜
⎝0
Weiterhin sei noch darauf hingewiesen, dass die Gegenabbildung B durch die Inverse der Abbildungsmatrix A
beschrieben wird. Also gilt für deren Einträge
B = b
ij
= A
−1
=
i
( −1)
Darstellung eines Vektors im affinen Koordinatensystem
Damit sind wir nun eigentlich an dem Punkt, an dem wir in die Darstellung mittels affiner Koordinatensysteme
einsteigen können. Während wir bis jetzt lediglich affine Koordinatenscharen bzgl. Der Standartbasen des R 3
betrachtet haben, gehen wir jetzt dazu über, Vektoren auf der Grundlage dieser zu beschreiben. Es sei
A
X
=
K
=
( x,
y,
z)
Vektor im R
3
( a1,
a2,
a3
) ein kovariantes Koordinatensystem unter den Vektoren a1,a2,a
3
Damit können wir einen Vektor X als Linearkombination der kovarianten Basen a 1 , a 2 und a 3 darstellen.
X = X
1
⋅ a + X
1
Dabei bezeichnet man die Koeffizienten X 1 , X 2 und X 3 als die kontravarianten Komponenten eines Vektors. Auch
diese gilt es auszurechnen und dazu zaubern wir wieder mit dem alten Trick mit dem Skalarprodukt:
X = X
X ∗
X
1
⇒ X
1
( a2
× a3
)
a2
× a3
= X ∗
a a a
k
=
⋅a
1
+ X
1
= X
2
2
3
⋅ a
1
2
1
+ X
⋅a
a a
2
3
= X ∗ a
2
⋅a
2
+ j
0
1
0
⋅
+ X
0⎞
⎟
0⎟
1⎟
⎠
Aji
A
3
⋅ a
3
( a2
× a3
)
1 2 3
( ) ⎜⎛
1 2 3
X , X , X = X ∗a
, X ∗a
, X ∗a
⎟⎞
⎠
Äquivalent dazu rechnet man ebenso die kovarianten Komponenten des Vektors aus.
Die physikalischen Komponenten eines Vektors
Nun sagen die Komponenten nichts über das Verhalten des Vektors aus. Da aber Physiker gerne auch mal mit
Beträgen rechnen (Geschwindigkeiten etc.) wäre es doch ganz praktisch, Vektoren so darzustellen, dass man
ihnen ihre Länge ohne Weiteres entnehmen kann.
Also knöpfen wir uns den Vektor X k einmal vor und untersuchen seine Komponenten.
X k
=
⎝
3
1
⋅ a
3
∗
1 2 3
( X ∗ a , X ∗ a , X ∗ a )
Bis jetzt haben wir die Länge eines Basisvektors immer mit der Standartlänge 1 LE gleichgesetzt, nicht achtend
dessen, ob dieser Basisvektor überhaupt diese Länge hat. Multiplizieren wir also die Komponenten des Vektors
mit der Länge des Basisvektors, so arbeiten wir die Längenangaben mit in den Vektor mit ein und erhalten so:
X
∗1
= X
1
⋅ a
1
= X
1
a ∗ a
Na gut, das war jetzt erst einmal genug der Vektorentheorie, wie geht man mit solchen krummen Dingern denn
eigentlich um? Dazu mehr im nächsten Kapitel.
⋅
1
1
= X
1
⋅
g
11
- 5 -

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Rechenregeln: Addition, Skalarprodukt und Vektorprodukt im affinen VR
Addition
Wir zerlegen einmal die Vektoren X und Y in ihre Komponenten und schauen einmal was passiert, wenn wirunter
der Voraussetzung, dass die Umrechnung in die Komponenten der Standartbasis bekannt ist- auf Bekanntes
zurückführen:
X + Y =
=
=
=
1 2 3 1 2 3
( X , X , X ) + ( Y , Y , Y )
( X ∗a1,
X ∗a2,
X ∗a3) + ( Y ∗ a1,
Y ∗ a2,
Y ∗a3)
( X + Y ) ∗a1,
( X + Y ) ∗a2,
( X + Y ) ∗a3
)
1 1 2 2 3 3
( X + Y , X + Y , X + Y )
Damit ist also die Addition auf die Komponentenweise Addition zweier Vektoren mit Komponenten im selbem
affinen System zurückgeführt. Wenden wir uns dem Skalarprodukt zweier Vektoren zu.
Skalarprodukt
Wieder machen wir das, was wir tun, wenn wir nicht weiter wissen: Wir zerlegen:
U = X ∗Y
=
k l
k
l
∑ X ak
∗Y
al
= ∑ X ak
∗Yl
a =
k,
l
k,
l
- 6 -
(oder,oder,oder)
Wir wissen ja noch von unseren vorherigen Überlegungen bezüglich der Beziehungen zwischen ko- und
kontravarianter Vektoren, dass (u.a.):
k k
δ
l
= a al
Also gilt folglich, dass nur l=k als Summand zulässig ist:
U =
=
∑
l
∑
l
l
X Y
l
X Y
l
l
a
=
l
Also ist die Multiplikation zwischen einem ko- und einem kontravarianten Vektor besonders pflegeleicht.
Vektorprodukt
Bevor wir loslegen wäre es gang praktisch, nocheinmal schnell die Eigenschaften des Vektorprodukts
aufzuführen:
u = x × y ⇒ u ∗ x = 0 ∧ u ∗ y = 0
Klaro. u steht auf x und y senkrecht.
2
=
∑
l
∑
k,
l
X Y
l
l
X Y
x×
( y + z)
= x×
y + x×
z
( x + y) × z = x×
z + y × z
Es gilt natürlich auch weiterhin, dass man locker und fröhlich Summen aus- und einklammern kann.
Vorfaktoren kann man ebenso herausziehen und...
a x×
by = abx×
y
im Besonderen x × x = 0
...beim vertauschen der Vektoren ändert sich das Vorzeichen. Bis jetzt nichts neues.
Schauen wir uns deshalb einmal des Kreuzprodukt zweier in Affinkorrdinaten beschriebener Vektoren an.
U = X × Y
=
l
l
g
ll
x×
y = − y × x
1 2 3 1 2 3
( X a1
+ X a2
+ X a3
) × ( Y a1
+ Y a2
+ Y a3)
Dabei aber ist ja (gemäß der Definition der ko- und kontravarianten Vektoren):
m
a × a = a
k
l
zykl
klm =
{ 123}
⋅ a a
Was dies eingesetzt in die ausmultiplizierte Form ergibt, das erfahrt ihr auf der nächsten Seite.
1
2
a
3

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Nämlich ergibt sich...
U = a a
1
= a a
1
2
2
⎜⎛
1
a3
⋅ X Y
⎝
⎡ 1
a3
⋅ a
⎢⎣
2
3 1
a − X Y
3
2 2
a − X Y
1
3 2
a + X Y
2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1
( X Y − X Y ) + a ( X Y − X Y ) + a ( X Y − X Y ) ⎤
⎥ ⎦
3
1 3
a + X Y
1
2 3
a − X Y
...eine lange Zeile mit vielen Buchstaben, oder eine symbolische Determinante folgender Form:
U = a a
1
2
⎛ 1
⎜ a
⎜
1
a3
⋅ X
⎜
1
Y
⎝
Transformation in ein anderes (affines) Bezugssystem
Jetzt heißt der Vortrag aber nicht „Rechnen mit seltsamen Vektoren“ sondern „Transformation“. Also versuchen
wir nun, einen affinen Koordinatenraum in einen anderen zu überführen. Selbes Schema, gleicht Trick: Wir
zerlegen einen Vektor in seine Komponenten, sowohl bzgl. Des einen, als auch des anderen Systems:
1 2 3 1 2
X = X a1
+ X a2
+ X a3
= X a1
+ X a2
+
Dabei können wir natürlich auch die Basen selbst als zu zerlegende Vektoren betrachten. Der entstehenden
Linearkombination gehen wir mit dem Skalarprodukt an den Kragen.
a = t a + t a
1
⇒ t
1
1
1
1
1
1
2
1
1
= a ∗a
Das analoge Lösen aller anderen 8 Gleichungen führt uns dann auch schon zur offiziellen
Koeffizientengleichung.
t
k
l
l
2
+ t
a
X
Y
3
1
k
= a ∗ a
2
2
2
a
3
a
X
Y
∗a
3
3
3
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
X
3
2
a
a
3
1
⎟ ⎠
⎞
Das kann man natürlich auch in die andere Abbildungsrichtung bis zum Exzess exerzieren...
a = + +
1 2 3
1
t1
a1
t1
a2
t1
a3
... und der Wissenszuwachs ist mächtig gewaltig: Die Hintereinanderausführung von Hin- und
Rücktransformation ergibt die Einheitsmatrix.
∑
l
t
l m
k
tl
Also lässt sich der Vektor X folgendermaßen aus dem untengestrichenen System in das obengestrichene System
überführen (Matrizenmultiplikation!):
l
X k
= ∑tk
X l
l
3. Kartesische Koordinaten
Gehen wir noch mal einen Schritt zurück und nehmen unser Lieblingskoordinatensystem: die Standart ONB des
R 3 und schauen ein wenig, was sich im Hinblick auf die eben erarbeiteten Grundlagen ergibt.
= δ
Kartesisches KS (KKS) als Sonderfall des affinen KS
Als erstes fällt uns ein, dass es da ja besondere Merkmale gab, nämlich:
span e
3
(
x,
ey,
ez
) = R , ex
× ey
= ez,
ex
∗ey
= 0, ex
= ey
= ez
= 1
Weiterhin schauen wir uns die kontravarianten Basisvektoren an und stellen fast, dass sie mit den kovarianten
übereinstimmen!
1
2
3
( 1,0,0
) = a , a = ( 0,1,0 ) = a , a = ( 0,0, ) a
m
k
1
=
2
3
1
a =
Das ist toll!, denn es erspart uns ne Menge Rechenärger. D.h. alle die Rechenregeln und
Komponentendarstellungen werden uns erlassen. Und damit ist dies auch ein recht kurzer Abschnitt geworden.
- 7 -

Referat Koordinatensysteme, Transformationen und deren Effekte 23.04.2002
4. Transformation
Nun kommen wir aus der Theorie zum eigentlichen Thema. Da dies allerdings schon in der Vorlesung von Prof.
Lotze des öfteren angeschnitten wurde, ist es hier nur knapp abgehandelt.
Verschiebung
Verschieben wir ein Koordinatensystem, so handelt es sich um einfache Verschiebung um den Vektor A . Das
klingt recht einfach, bereitet aber in der Praxis oft Kopfzerbrechen, da die Verschiebung keine Lineare
Transformation ist und sich mit den anderen oft nicht so gut verträgt (d.h. dir Hintereinanderausführung von
Bezugssystemwechsel, Rotation und Verschiebung ist sehr rechenaufwendig.)
Bezugssystemwechsel mittels vorgegebenen Basis-Vektoren
Gesucht ist eine lineare Abbildung von einem System in das andere. Da dies bereits oben besprochen wurde,
kommen hier nur noch ein paar zusammenfassende Hinweise:
⎛ g11
g12
g13
⎞
⎜
⎟
f : A = ⎜ g21
g22
g23
⎟
⎜ g g g ⎟
⎝ 31 32 33 ⎠
Im Normalfalle ist also
g
g
11
11
1 a′
1a2a3
= a′
1
∗ a =
a a a
= e′
∗ e
x
x
1
= e′
e
x
2
im speziellen für Orthonormalsysteme:
y
e
Eine für Physiker recht interessante Angelegenheit innerhalb der klassischen Mechanik ist die
Galileitransformation, deren Transformationsschema folgendermaßen geschrieben werden kann. Aber Vorsicht,
zur Zeit t=0s befinden sich beide Koordinatenursprungspunkte an dem selben Ort. D.h. es gibt keine zeitl.
Unabhängige Verschiebung.
×
x′
1
x′
2
x′
3
t′
Bezugssystemwechsel mittels vorgegebener Winkel
x
a
a
a
1
11
21
31
0
2 Dimensionen
Mittels einfacher Überlegungen kann man im Normierten zweidimensionalen System das folgende
Gleichungssystem aufstellen:
x′
=
y′
=
3
z
x
a
a
a
2
12
22
32
0
x
a
a
a
3
13
23
33
0
t
v1
v2
v3
1
( cosα
⋅ x,sinα
⋅ y)
( − sinα
⋅ x,cosα
⋅ y)
Als Randbemerkung: Stellt man die Matrize auf und ist dessen Determinante gleich 1, so handelt es sich um eine
Rotationsmatix wie in diesem Falle:
cosα
sinα
− sinα
= 1
cosα
3 Dimensionen
Bei drei Dimensionen besteht der Trick, die Rotation in zwei Teilrotationen in zwei Ebenen zu zerlegen und
diese dann per Komposition wieder zu verbinden. Das funktioniert, da sich jede beliebige dreidimensionale
Drehung mit zwei linear unabhängig orientierten Winkeln beschreiben lässt.
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Referat Koordinatensysteme, Transformationen und deren Effekte 23.04.2002
Bezugssystemwechsel KKS – SKS
Da wie gesagt dazu schon in den Vorlesungen von Prof. Lotze genügend Worte gefallen sind, gebe ich jetzt hier
nur noch die der Übersicht halber die Formeln:
Polabstandssystem
ϑ Polabstand,
ϕ Länge, r Radius
Spiegelung
x = r sinϑ
cosϕ
y = r sinϑ
sinϕ
z = r cosϑ
x = r cosϑ
cosϕ
y = r cosϑ
sinϕ
z = r sinϑ
ϑ
Breitensystem
Breite, ϕ Länge, r Radius
r =
x
2
+ y
z
ϑ = arccos
r
x
ϕ = arccos
r sinϑ
r =
x
2
+ y
2
+ z
z
ϑ = arcsin
r
x
ϕ = arccos
r cosϑ
Zum Ausführen einer Spiegelung (an einer durch den Normalenvektor x n gegebenen Ebene) transformiert man
sein System in ein orthonormiertes Koordinatensystem, in dem der Vektor x n die erste Koordinatenachse
darstellt. Dann negiert man alle ersten Koordinaten und transformiert mit den Umkehrfunktionen wieder zurück.
5. Effekte im bewegten KS
Corioleskraft
Dass es sich bei den Transformationen um ein mächtiges Werkzeug handelt, soll folgende,
partiell angedeutete Herleitung der Corioleskraft zeigen:
Umrunde ein Körper einen mit & URWLHUHQGHQ 3ODQHWHQ PLW GHU NRQVWDQWHQ
:LQNHOJHVFKZLQGLJNHLW VR GDVV VHLQH %DKQ LKQ über beide Pole führt.
Wir setzen, da die Lage des Körpers bis auf den Startwert eindeutig im geographischen
System bestimmt ist, für beide gleichmäßigen Winkelgeschwindigkeiten:
ϑ = µ ⋅t
ϕ = ω ⋅t
Dies kann man in das feste (für einen unbewegten Beobachter gültige) Kartesische
Koordinatensystem transformiert werden.
x = r cosϑ
cosϕ
= Rcosµ
t cosωt
y = r cosϑ
sinϕ
= Rcosµ
t sinωt
z = r sinϑ
= Rsin
µ t
Dann schaut man sich an, welche „Kräfte“ scheinbar im bewegten System an den Körpern wirkt, in dem man
mittels der 2. Ableitung die Beschleunigungen ausrechnet.
und noch einmal differenziert:
( − µ sin µ t cosωt
−ω
cosµ
t sinω)
( − µ sin µ t sinωt
+ ω cosµ
t cosωt)
x
= R
y
= R
z
= Rµ
cosµ
t
2
+ z
2
2
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Referat Koordinatensysteme, Transformationen und deren Effekte 23.04.2002
2
2
( − µ cosµ
t cosωt
+ 2µϖ
sin µ t sinϖt
−ω
cosµ
t cosω)
2
2
( − µ cosµ
t sinωt
− 2µϖ
sin µ t cosϖt
−ω
cosµ
t sinωt)
x = R
y = R
2
z = −Rµ
sin µ t
Das Alles schreit nun kräftig nach einer Analyse der Terme. Also nehmen wir die Gleichungen der
Komponenten bezüglich der Faktoren der Summanden auseinander und interpretieren physikalisch:
2
x1
= −Rµ
cos µ t cosωt
2
y1
= −Rµ
cos µ t sinωt
2
z = −Rµ
sin µ t
1
Kandidat eins sieht recht gewitzt nach einer Radialbeschleunigung aus, und zwar ist es die, die durch die Nord-
Süd- Umrundung provoziert wird. Das Minus dabei signalisiert, dass es sich um eine Beschleunigung zu einer
Scheinkraft handelt, da nämlich im mitbewegten System eine Flucht nach Außen (Fliehkraft) beobachtet wird.
x
2
2
= −Rϖ
2
sin µ t cosωt
2
y2
= −Rω
sin µ t sinωt
z = 0
Ähnliches gilt für Kandidat zwei. Dieser ist der Radialkraft hervorgerufen durch die Eigenrotation des
Mediumsystems (Planet). Setzt man übrigens R in & ein, so erhält man nicht anderes als die
Tangentialbeschleunigung in Abhängigkeit vom Geschwindigkeitsvektors.
x3
= R ⋅ 2µω
sin µ t sinϖt
y3
= −R
⋅ 2µω
sin µ t cosϖt
z = 0
3
Leider haben wir da aber noch so einen Term, der uns aber irgendwie nicht so recht ins Konzept passen will. Wir
EULQJHQ DOVR HUVW HLQPDO GDV 5 XQG GDV ]XVDPPHQ 'DPLW HQWVWHKW
x
3
y
3
z
3
= 2v
ω sin µ t sinϖt
= −2v
ω sin µ t cosϖt
= 0
K
K
Dabei ist v K die momentane Geschwindigkeit des Körpers (Betrag) und sin W GHU PRPHQWDQ HLQJHVFKORVVHQH
Winkel zwischen v K und & Nun schauen wir noch mal auf die Gleichungen (und notfalls halten wir uns noch
dazu ein Auge zu) und sehen, dass wir es mit einer zeitlich linearen Rotation zu tun haben. Rechnen wir diese
heraus, so ergibt sich:
x3
= −2vKω
sin µ t
y3
= −2vKω
sin µ t
z = 0
3
Das ist ja höchst interessant, da wir wissen, dass das Kreuzprodukt im Betrag gleich dem Produkt der
Vektorbeträge multipliziert mit dem Sinus des eingeschlossenen Winkels ist:
2 ⋅ v × ϖ = 2 ⋅ v ⋅ϖ
⋅sinα
Mit ähnlichen Überlegungen kann man auch die Herleitungen in alle anderen Richtungen (West-Ost und Auf-
Absteigend) betrachten. Für uns soll das hier als pathologisches Beispiel genügen.
Überschall
Folgendes Problem: Ein Überschallflugzeug fliegt mit konstanter Geschwindigkeit und zieht einen Mach’schen
Kegel hinter sich her. Nach welcher Flugdauer erfährt ein schlafender Physikstudent am Ort o, dass dieses
Flugzeug den Luftraum über ihm durchkreuzte?
Dazu habe das Flugzeug die Geschwindigkeit v = ( 1 1 0)c
und sei bei t=0s im Koordinatenursprung.
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Referat Koordinatensysteme, Transformationen und deren Effekte 23.04.2002
Zuerst einmal eine kleine süße Skizze:
Entnehmen kann man daraus, dass für v>c für den Öffnungswinkel des Kegels gilt:
ct
sinα =
vt
Nun konstruieren wir uns ein an das Flugzeug angehängtes Koordinatensystem. Dabei legen wir erst einmal den
Geschwindigkeitsvektor auf die x-Achse (Rechenvorteile). Die anderen zwei Vektoren sollen den Kegel
symbolisieren.
D.h. in etwa so:
Nun ist
v = 2c
.
Nun gilt:
Also ist unser Hilfskonstruktion:
a
a
cosα
=
a
2,3
1
x'
cosα
=
a
y'
sinα
=
a
, 2, 3 , 2, 3
2
2
( 2 0 0 ),
a = ( − 2 cos α 2 cosα
sinα
0 ),
= ( 2 cos α 0 2 cosα
sinα)
= a
1 2
3
−
und diese rotieren wir fleißig in das Ausgangssystem. Es soll v ( 1 1 0)c
muss wohl = 45°
Es folgt:
und
= sein, d.h. Der Rotationswinkel
β sein (Kann man auch ausrechnen.) Wir setzen die Rotationsmatrix in der x-y- Ebene an.
x1 = ( 1 1 0)c
2
2
x2 = ( − 2 cos α ⋅cosβ
− 2 cosα
sinα
sin β − 2 cos α sin β + 2 cosα
sinα
cosβ
0)c
2
2
x3 = ( − 2 cos α cosβ
− 2 cos α sin β + 2 cosα
sinα)c
α = 45 ergibt sich:
x1 = ( 1 1 0)c
x2 = ( −1 0 0)c
Mit einem errechneten °
x
3
⎛
= ⎜
−
⎝
1
2
−
1
2
2
2
⎞
⎟
c
⎠
Damit haben wir unsere Basen. Diese stecken wir in eine Transformationsmatrix, welche jeden Vektor, welcher
mit x 1 ,x 2 und x 3 beschrieben wurde in die Komponentendarstellung der Standartbasis überführt.
Das aber möchten wir nicht wirklich, interessiert sind wir an der Inversenabbildung (also von der Standartbasis
in unser Flugzeugkoordinatensystem).
Nun könnten wir die Abbildungsmatrix aufschreiben (die Basisvektoren sektrecht) und dann die Inverse dazu
bilden (Gauss? Nee, besser mit Cramer!) oder wir nutzen gleich das, was wir gelernt haben. Nämlich sind die
kontravarianten Vektoren transponiert geschrieben gleich der Inversmatrix. (Die Begründung liegt darin, dass
das Vektor- und Spatprodukt, was zur Bildung dieser Vektoren führt, eben aus einer Determinante entsteht.)
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Referat Koordinatensysteme, Transformationen und deren Effekte 23.04.2002
Schnell aufgeschrieben sind die kontravarianten Brüder:
Die gesuchte Matrix lautet also:
1 ⎛ 1 ⎞
x = ⎜0
1 − 2⎟ c
⎝ 2 ⎠
2
x = ( 1 −1
0)c
x
3
= ( 0 0 − 2)c
⎛
⎜0
1
⎜
B = ⎜1
−1
⎜
0 0
⎝
1 ⎞
− 2 ⎟
2 ⎟
0 ⎟c
− 2 ⎟
⎠
6. Literatur
Siegfried Kästner, Vektoren, Tensoren, Spinoren,
Akademieverlag Berlin 1960
Prof. Arnold Sommerfeld, Theoretische Physik (Vorlesungen) Band I bis III,
Verlag Harri Deutsch Frankfurt/M 1994
Bronstein/ Semendjajew/ Musiol/ Mühlig, Taschenbuch der Mathematik,
Verlag Harri Deutsch Frankfurt/M 2000
Merzinger/ Wirth, Repetitorium der höheren Mathematik,
Binomi- Verlag, 1994
Gudrun Demmig, Matrizen und Determinanten,
Nauheim : Demmig, 1994
Internetadresse der
NIMA- national imaging & mapping agency
http://www.nima.mil/GandG/pubs.html
Privatseite zum Thema Koordinatentransformation:
http://www.cousin.de/jacobs/trafosys.html
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