1 Grundwissen Pyramide - Treminer.de

2007/2008 Grundwissen Pyramide Lehrtext
1 Grundwissen Pyramide
1 Definition und Volumen der Pyramide
Eine Pyramide ist ein geradlinig begrenzter Körper im R 3 . Dabei
wird ein Punkt S außerhalb der Ebene eines Polygons (Vieleck) mit
den Ecken des Polygons verbunden.
Als Beispiel dient die folgende Pyramide, die über einem Quadrat errichtet wurde:
Zur Bestimmung der Oberfläche einer Pyramide benötigt man zwei Größen:
• Die Größe der Grundfläche G
• Die Höhe h der Pyramide.
Als Grundfläche wird diejenige Außenfläche der Pyramide bezeichnet, auf der die Höhe der
Pyramide senkrecht steht.
Das Volumen berechnet sich dann über die Formel
Das Volumen einer Pyramide:
V = 1 3 G · h
2 Musteraufgabe zur Volumenbestimmung
Gesucht ist das Volumen einer geraden Pyramide, deren Grundfläche ein gleichschenkliges Dreieck
mit der Basislänge 8 cm und der Schenkellänge 6 cm ist. Die Höhe der Pyramide ist 9 cm
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Lösung der Aufgabe
Die Lösung der Aufgabe zerfällt in zwei Arbeitsschritte:
• Schritt 1: Bestimmung des Flächeninhalt der Grundfläche
Zunächst muss man die Höhe des Dreiecks auf bestimmen, die auf der Basis senkrecht
steht.
Man setzt zur Lösung mit dem Hauptsatz des Pythagoras an:
( c
) 2
h 2 d + = b
2
2
h 2 d + (4 cm) 2 = (6 cm) 2
h 2 d + 16 cm 2 = 36 cm 2
h 2 d = 20 cm 2
h d = √ 20 cm
h d = 4,47 cm
Damit kann man nun mit der Flächenformel für ein Dreieck den Flächeninhalt der Grundfläche
bestimmen:
G = 1 · 4,47 cm · 8 cm
2
• Schritt 2: Anwendung der Volumenformel
G = 17,88 cm 2
V = 1 3 · 17,88 cm2 · 9 cm
V = 53,64 cm 3
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3 Das Netz einer Pyramide
Trennt man die Pyramide an den Kanten auf und klappt die Seitenflächen
der Pyramide in die Ebene der Grundfläche, so entsteht
ein zweidimensionales Faltmodell der Pyramide. Dieses wird in der
Fachsprache als Netz einer Pyramide bezeichnet.
Beispiel
Konstruiere das Netz einer geraden Pyramide, deren Grundfläche ein reguläres 5- Eck ist mit
dem Umkreisradius 3 cm und die Höhe der Pyramide ist 6 cm
Konstruktive Lösung
Konstruktion des Netzes
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Benötigte Hilfskonstruktion
Konstruktionsanleitung
1. Konstruiere das reguläre Fünfeck. Da es sich um eine gerade Pyramide handelt ist A der
Fußpunkt der Höhe. A ist gleichzeitig der Mittelpunkt der Grundfläche G.
2. Um das Netz konstruieren zu können benötigt man die Höhe der Seitenflächen. Diese kann
man in einer Hilfskonstruktion über den Satz des Pythagoras ermitteln:
a) Miss mit dem Zirkel den Abstand von A zu dem Mittelpunkt einer Seitenkante der
Grundfläche. Übertrage ihn auf eine waagrechte Gerade. Dadurch ergeben sich in der
Hilfsfigur die Punkte G und H.
b) Errichte das Lot l auf dem Punkt G.
c) Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt G und Radius r = 6 cm. Dadurch ergibt sich
der Punkt I.
d) Die gesuchte Höhe der Seitenfläche ist IH.
3. Errichte auf den Seitenkanten der Grundfläche G die Lot durch deren Mittelpunkt.
4. Zeichne um jeden Mittelpunkt einen Kreis mit Radius r = IH
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4 Grundwissenaufgaben zur Pyramide
Aufgaben
Bei einer Pyramide wird die Kantenlänge der
quadratischen Grundfläche verdoppelt. Wie
ändert sich dabei das Volumen?
1. Das Volumen verdoppelt sich
2. Das Volumen verdreifacht sich
3. Das Volumen vervierfacht sich
Lösungen
Richtige Antwort: Das Volumen vervierfacht
sich.
1. Berechnung der Grundfläche:
( s 2
h 2 g = s 2 −
2)
h g = s 2√
3
Eine Pyramide hat eine Grundfläche eines
gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge
6 cm. Die Höhe beträgt 9 cm Berechne das
Volumen der Pyramide.
h g = 4,33 cm
G = 1 2 sh g
G = 10,825 cm 2
2. Anwendung der Volumenformel
V = 1 3 Gh
V = 30,75 cm 3
1. Berechne die Höhe eine Seitenfläche
über den Satz von Pythagoras:
( s 2
h 2 s = h 2 +
2)
Eine gleichseitige Pyramide hat eine quadratische
Grundfläche mit der Kantenlänge
6 cm. Die Höhe der Pyramide ist 4 cm. Berechne
die Oberfläche der Pyramide.
h s = √ 3 2 + 4 2 = 5 cm
2. Berechnung einer Seitenfläche
A s = 1 2 gh s = 15 cm 2
3. Berechnung der Oberfläche:
O = G + 4A s
O = 36 cm 2 + 4 · 15 cm 2 = 96 cm 2
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