Lösung Hausaufgabe 09/1 – Elektrisches Feld innerhalb und ...

Lösung Hausaufgabe 09/1 – Elektrisches Feld innerhalb und
außerhalb einer geladenen Kugel
(P. Pingel, 06.07.11)
a) Zunächst wollen wir die Ortsabhängigkeit des elektrischen Feldes innerhalb einer homogen
geladenen Kugel aus elektrisch nicht leitfähigem (isolierendem) Material berechnen.
Da das Material isolierend ist, sind die Ladungen nicht beweglich; sie verbleiben fest
an ihrem Ort innerhalb der Kugel. Aufgrund der augenscheinlichen (Kugel-)Symmetrie
des Problems erinnern wir uns an das elektrische Gaußsche Gesetz, mit dem die Lösung
zum eleganten Vierzeiler wird. Das Gaußsche Gesetz (in Materie! – wir befinden uns in
der Kugel) lautet
∮
ɛ 0 ɛ r
⃗E · dA ⃗ = q eingeschlossen .
A
Auf der linken Seite steht der elektrische Fluss durch eine geschlossene Fläche. ’Geschlossen’
heißt, die Fläche umschließt ein Volumen komplett. Der Integrand ist das
Skalarprodukt von elektrischem Feld E ⃗ und Normalenvektor dA ⃗ eines infinitesimalen
Segments dieser Fläche. Letztlich stellt das Integral die Summe über alle Skalarprodukte
über die gesamte geschlossene Fläche dar. q eingeschlossen symbolisiert die Ladung, die
innerhalb des umschlossenen Volumens enthalten ist.
Die adäquate Wahl einer solchen Fläche ermöglicht die Berechnung des elektrischen
Feldes an deren Ort. Für unser kugeliges Problem liegt natürlich nichts näher, als für
die Testfläche selbst eine Kugelhülle zu wählen (siehe Abb.). Generell ist die Fläche so
zu wählen, dass sich das Skalarprodukt im Integranden auflöst – aber wie kann man das
wissen, bevor man das Feld kennt? Hellseherische Fähigkeiten bzw. ein Physikdiplom
sind nicht nötig, dafür die Kenntnis zweier Tricks:
homogen geladene
Kugel
geschlossene
Testfläche
z
dA
E
y
r
R
x
1. Der Ich-schaue-von-allen-Seiten-Trick: Ich stelle mir vor, ich schaue mir die
Kugel mal von verschiedenen Seiten an. Anders als beim Mond sehe ich immer
wieder dieselbe Kugelgestalt. Könnte ich die Ladungsverteilung sehen, würde es
keinen Unterschied machen, von welcher Seite ich sie betrachte. Daraus folgt, dass
ich aus jedem Blickwinkel auch dasselbe Feldlinienbild sehen muss und das geht

hier nur, wenn die Feldlinien radialsymmetrisch vom/zum Kugelmittelpunkt weg-
/hinzeigen.
2. Der Ich-kenne-die-Richtung-der-Feldlinien-Trick: Wir wissen schon, dass
elektrische Ladungen die Quellen des elektrischen Feldes sind und dass die Feldlinien
von positiven Ladungen weg und auf negative Ladungen hin zeigen. Sollten
wir annehmen, dass unsere Ladungsdichte positiv ist, würden die Feldlinien hier
nach außen zeigen und das Skalarprodukt E ⃗ · dA ⃗ wird positiv, weil auch dA ⃗ nach
außen zeigt.
Dank unserer gesammelten Weisheit können wir das Gaußsche Gesetz schon vereinfachen:
Da überall E‖ ⃗ dA ⃗ ist, folgt
∮
ɛ 0 ɛ r EdA = q eingeschlossen .
A
Auf der linken Seite können wir E aus dem Integral vorziehen, denn E ist auf jedem
Punkt unserer Testfläche wegen der Radialsymmetrie gleich groß. Auf der rechten Seite
können wir q eingeschlossen durch ρV Testflaeche ersetzen (ρ ist die Ladungsdichte, d.h. Ladung
pro Volumen), wobei das umschlossene Volumen der Testfläche durch V Testflaeche = 4 3 πr3
gegeben ist. Also:
∮
ɛ 0 ɛ r E dA = ρ 4 3 πr3 .
A
Da ∮ A dA = A = 4πr2 ist, folgt nach Einsetzen und Umstellen unser Endergebnis
E(r) =
ρr
3ɛ 0 ɛ r
(0 < r < R).
b) Nun ist das elektrische Feld außerhalb der Kugel zu berechnen. Viele Worte braucht
es nicht mehr, denn wir folgen dem Schema von eben.
z
E
dA
y
R
r
x
Die neu gewählte Testfläche umschließt die Kugel komplett (siehe Abb.). Außerdem
befinden wir uns außerhalb der Kugel im Vakuum (ɛ r = 1) bzw. Luft (ɛ r ≈ 1). Mit dem

Gaußschen Gesetz folgt
ɛ 0
∮
A
⃗E · dA ⃗
∮
= ɛ 0 EdA = q eingeschlossen .
A
q eingeschlossen ergibt sich aus der Gesamtladung der Kugel und die ist ρ 4 3 πR3 . Einsetzen
und Umstellen nach E ist schon alles, nämlich
E(r) = ρR3
3ɛ 0 r 2
(r > R).
Gezeichnet sieht das elektrische Feld aus wie folgt.
E
0 R
r
Ausgehend vom Mittelpunkt der Kugel, wo die Feldstärke null ist, folgt ein linearer
Anstieg bis zum Kugelrand. Außerhalb der Kugel fällt das Feld ∝ 1 ab. Letzteres ist
r 2
genauso bei Punktladungen der Fall. In der Tat kann man das E-Feld außerhalb der
Kugel auch als E(r) =
q
4πɛ 0
schreiben, wobei q die Gesamtladung der Kugel ist – es
r 2
macht für das äußere elektrische Feld also keinen Unterschied, ob die Ladung q auf das
Kugelvolumen verteilt oder in einer zentralen Punktladung vereinigt ist! Weiterhin gibt
es einen Sprung direkt an der Kugeloberfläche, der vom Wechsel der Permittivität ɛ r
beim Übergang zwischen Materie und Luft kommt.
c) Nun ist qualitativ zu überlegen, wie das elektrische Feld einer Hohlkugel aussehen
muss. Wir erinnern uns daran, dass wir vor wenigen Augenblicken Ladungen mit Testflächen
umschlossen haben, um das Feld innerhalb der homogen geladenen Kugel auszurechnen.
Da die Hohlkugel Ladungen nur auf ihrer Oberfläche trägt, wird für jedwede
Testfläche in ihrem Inneren q eingeschlossen = 0 betragen, d.h. die rechte Seite des Gaußschen
Gesetzes ist null. Da damit auch die linke Seite null werden muss, ist zwangsläufig E = 0
im Inneren der Hohlkugel. Außerhalb der Hohlkugel ergibt sich wie zuvor E(r) =
wobei sich die Gesamtladung q über die Hohlkugeloberfläche verteilt.
q
4πɛ 0 r 2 ,
Die geladene Metallkugel ist zwar eine Vollkugel, trotzdem suchen die hier beweglichen
Ladungen aufgrund der gegenseitigen Abstoßung den weitestmöglichen Abstand voneinander
und der ist realisiert, wenn sich die Ladungen an der Metallkugeloberfläche

efinden. Es ergibt sich hierfür also dieselbe Situation wie für die Hohlkugel. Die Beweglichkeit
der Ladungen bei der Metallvollkugel macht den Unterschied zu den fixen
Ladungen in der isolierenden Vollkugel in Teil a), die dort nicht in der Lage sind, die
Kugeloberfläche zu erreichen!
Zu beachten ist ferner, dass wir, wenn wir von einer Ladung auf der Metallkugel sprechen,
eine Überschussladung meinen. Die Überschussladungsträger bestehen zusätzlich
zu den vorhandenen freien Metallelektronen und fixen Atomrümpfen. Die Metallelektronen
verteilen sich homogen im Metall, um die positive Ladung der Atomrümpfe zu
kompensieren. Das Metall ist per se schließlich an jeder Stelle elektrisch neutral. Würden
die Metallelektronen zur Kugeloberfläche wandern, würden sie durch die zurückbleibende
positive Ladung der Atomrümpfe wieder zurückgezogen.