Blatt 4

Formale Systeme
WS 2011/12
TU Dresden
Fakultät Informatik
Institut für Theoretische Informatik
Lehrstuhl für Algebraische und Logische Grundlagen der Informatik
Christel Baier, Walter Nauber, Michael Posegga,
Manuela Berg, Paul Nitzsche, Thomas Kühn, Marco Voigt
4. Übungsblatt
Hinweise zur Vorlesung finden Sie unter
http://wwwtcs.inf.tu-dresden.de/ALGI/FS/
Besprechung : 07.11.2011−11.11.2011
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Aufgabe 4.1 [∗-NFA] (756)
Ein∗-NFA ist ein TupelM=(Q,Σ,δ,Q 0 ,F), wobeiQ,Σ,Q 0 undFwie in einem NFA definiert
sind und die Übergangsfunktion δ eine totale Funktion des Typs
δ:Q×Σ ∗ → 2 Q
ist, so dass für jeden Zustand q ∈ Q die Menge aller Wörter x ∈ Σ ∗ mit δ(q,x) ≠ ∅ endlich
ist. Ein akzeptierender Lauf für w∈Σ ∗ in M ist eine Zustandsfolge q 0 q 1 ...q m mit folgender
Eigenschaften:
(1) q 0 ∈Q 0 und q m ∈F
(2) es gibt Wörter x 1 ,...x m ∈ Σ ∗ mit m 0, w = x 1 x 2 ...x m und so dass q i ∈ δ(q i−1 ,x i )
für i=1,2,...,m.
Die akzeptierte Sprache L(M) von M ist die Menge aller Wörter w ∈ Σ ∗ , für die es einen
akzeptierenden Lauf inMgibt.
Zeigen Sie, dass für jede Sprache L⊆Σ ∗ gilt:
L ist genau dann regulär, wenn es einen∗-NFAMmit L=L(M) gibt.
Geben Sie für folgenden ∗-NFA einen äquivalenten DFA an:
q 0
a
q
ε 2
a
ba
ba
bb
q 1
b
q 3
2

Aufgabe 4.2 [Präfixabschluß, Homomorphismen] (692)
(a) SeiLeine reguläre Sprache über einem mindestens zweielementigen AlphabetΣ. Zeigen
Sie, daß die folgende Sprache regulär ist.L ′ ={x∈L:x ist Präfix eines Wortes y∈L}.
(b) Seien Σ, Γ Alphabete und h : Σ → Γ ∗ eine Abbildung. Wir erweitern h zu einer mit h ∗
bezeichneten Abbildung
h ∗ :Σ ∗ →Γ ∗ ,
indem wirh ∗ (ε)=ε und
setzen. Zeigen Sie:
h ∗ (a 1 ...a m ) = h(a 1 )...h(a m )
(i) Ist L eine reguläre Sprache über Σ, so ist h ∗ (L) = {h ∗ (w) : w ∈ L} eine reguläre
Sprache überΓ.
(ii) Ist K eine reguläre Sprache überΓ, so ist
regulär.
h ∗−1 (K)={w∈Σ ∗ :h ∗ (w)∈K}
Aufgabe 4.3 [Pumping Lemma] (755)
Geben Sie für folgende regulären Sprachen L 1 und L 2 über dem Alphabet Σ={a,b,c} jeweils
eine positive Konstante n∈IN an, für welches die Bedingungen des Pumping Lemmas erfüllt
sind.
(a) L 1 bezeichnet die reguläre Sprache bestehend aus allen Wörtern z∈Σ ∗ , die mit einem c
beginnen und für die die Anzahl an vorkommenden a’s durch 4 teilbar ist.
(b) L 2 bezeichnet die Sprache aller Wörter z ∈ Σ ∗ , die keines der beiden Wörter cba oder
abc als Teilwort enthalten.
Geben Sie für die beiden Wörter z 1 =c(ab) 4n und z 2 =ca 4n in L 1 jeweils eine Zerlegung in
z i = uvw an, so dass die drei Bedingungen des Pumping Lemmas erfüllt sind. Verfahren Sie
entsprechend für die beiden Wörter z ′ 1 =an+1 b n+1 c n+1 undz ′ 2 =acbcaban in L 2 .
Aufgabe 4.4 [Nicht-reguläre Sprachen]
(65k)
Welche der folgenden Sprachen sind regulär? Begründen Sie Ihre Antwort.
(a) L a ={w∈{0,1} ∗ : #(w,0) ist gerade und #(w,1) ist durch 3 teilbar}
(b) L b ={0 n2 :n0}
(c) L c ={0 m 1 n 0 n+m :n,m1}
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Aufgabe 4.5 [Äquivalenzregeln für reguläre Ausdrücke]
(68k)
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen über reguläre Ausdrücke.
(a)
(i) α(β+γ)δ ≡ αβδ+αγδ
(ii) (αβ+α) ∗ α ≡ α(βα+α) ∗
(b) Geben Sie einen regulären Ausdruck für jede der folgenden regulären Sprachen überΣ=
{a,b,c} an.
(i) L a = Menge aller Wörter, die mit a beginnen und das Teilwort bbca enthalten.
(ii) L b = Menge aller Wörter, die mit a beginnen, mit b enden und in denen das Wort
bbca mindestens zweimal vorkommt.
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