Das Rechnen mit Resten und seine Anwendung in der Kryptographie

Das Rechnen mit Resten
und seine Anwendung in der Kryptographie
Eva Zerz

Restklassenarithmetik
Beispiel: Uhrzeit 23 + 4 ≡ 24 3
Winkel 300 + 90 ≡ 360 30

Restklassenarithmetik
Beispiel: Uhrzeit 23 + 4 ≡ 24 3
Winkel 300 + 90 ≡ 360 30
Addition: a + b ≡ n c ⇔
es gibt ein k mit a + b − kn = c ⇔
a + b − c ist ein Vielfaches von n

Restklassenarithmetik
Beispiel: Uhrzeit 23 + 4 ≡ 24 3
Winkel 300 + 90 ≡ 360 30
Addition: a + b ≡ n c ⇔
es gibt ein k mit a + b − kn = c ⇔
a + b − c ist ein Vielfaches von n
Multiplikation: a · b ≡ n c ⇔
es gibt ein k mit a · b − kn = c ⇔
a · b − c ist ein Vielfaches von n
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Modulo-Dividieren? Kehrwerte bilden?
Definition: Gilt a · b ≡ n 1, so ist b der Kehrwert von a modulo n.
Wenn es so ein b gibt, dann nennt man a umkehrbar (invertierbar)
modulo n.

Modulo-Dividieren? Kehrwerte bilden?
Definition: Gilt a · b ≡ n 1, so ist b der Kehrwert von a modulo n.
Wenn es so ein b gibt, dann nennt man a umkehrbar (invertierbar)
modulo n.
Beispiel:
• 2 ist nicht invertierbar modulo 4, denn
2 · 0 ≡ 4 0, 2 · 1 ≡ 4 2, 2 · 2 ≡ 4 0, 2 · 3 ≡ 4 2

Modulo-Dividieren? Kehrwerte bilden?
Definition: Gilt a · b ≡ n 1, so ist b der Kehrwert von a modulo n.
Wenn es so ein b gibt, dann nennt man a umkehrbar (invertierbar)
modulo n.
Beispiel:
• 2 ist nicht invertierbar modulo 4, denn
2 · 0 ≡ 4 0, 2 · 1 ≡ 4 2, 2 · 2 ≡ 4 0, 2 · 3 ≡ 4 2
• 2 invertierbar modulo 5, denn es gilt 2 · 3 ≡ 5 1
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Satz: a ist modulo n invertierbar ⇔
a und n sind teilerfremd, das heißt, ggT(a, n) = 1

Satz: a ist modulo n invertierbar ⇔
a und n sind teilerfremd, das heißt, ggT(a, n) = 1
Beweis (“leichte” Richtung): Sei a · b ≡ n 1. Dann gibt es k mit
ab − kn = 1.
Sei g = ggT(a, n).
Dann ist g auch ein Teiler von ab − kn, also von 1.
Es folgt g = 1. □

Satz: a ist modulo n invertierbar ⇔
a und n sind teilerfremd, das heißt, ggT(a, n) = 1
Beweis (“leichte” Richtung): Sei a · b ≡ n 1. Dann gibt es k mit
ab − kn = 1.
Sei g = ggT(a, n).
Dann ist g auch ein Teiler von ab − kn, also von 1.
Es folgt g = 1. □
Andere Richtung: Euklidischer Algorithmus
Beispiel: 4 ist modulo 6 7 ist modulo 15

Satz: a ist modulo n invertierbar ⇔
a und n sind teilerfremd, das heißt, ggT(a, n) = 1
Beweis (“leichte” Richtung): Sei a · b ≡ n 1. Dann gibt es k mit
ab − kn = 1.
Sei g = ggT(a, n).
Dann ist g auch ein Teiler von ab − kn, also von 1.
Es folgt g = 1. □
Andere Richtung: Euklidischer Algorithmus
Beispiel: 4 ist modulo 6 7 ist modulo 15
nicht invertierbar invertierbar: 7 · 13 ≡ 15 1
4 von 10

Eulersche phi-Funktion
ϕ(n) = Anzahl der Zahlen m mit 1 ≤ m ≤ n und ggT(m, n) = 1
Beispiel: ϕ(5) = 4, ϕ(7) = 6

Eulersche phi-Funktion
ϕ(n) = Anzahl der Zahlen m mit 1 ≤ m ≤ n und ggT(m, n) = 1
Beispiel: ϕ(5) = 4, ϕ(7) = 6
Allgemein: ϕ(p) = p − 1 für Primzahlen p

Eulersche phi-Funktion
ϕ(n) = Anzahl der Zahlen m mit 1 ≤ m ≤ n und ggT(m, n) = 1
Beispiel: ϕ(5) = 4, ϕ(7) = 6
Allgemein: ϕ(p) = p − 1 für Primzahlen p
Beispiel:
ϕ(4) =

Eulersche phi-Funktion
ϕ(n) = Anzahl der Zahlen m mit 1 ≤ m ≤ n und ggT(m, n) = 1
Beispiel: ϕ(5) = 4, ϕ(7) = 6
Allgemein: ϕ(p) = p − 1 für Primzahlen p
Beispiel:
ϕ(4) = 2
ϕ(6) =

Eulersche phi-Funktion
ϕ(n) = Anzahl der Zahlen m mit 1 ≤ m ≤ n und ggT(m, n) = 1
Beispiel: ϕ(5) = 4, ϕ(7) = 6
Allgemein: ϕ(p) = p − 1 für Primzahlen p
Beispiel:
ϕ(4) = 2
ϕ(6) = 2
ϕ(8) =

Eulersche phi-Funktion
ϕ(n) = Anzahl der Zahlen m mit 1 ≤ m ≤ n und ggT(m, n) = 1
Beispiel: ϕ(5) = 4, ϕ(7) = 6
Allgemein: ϕ(p) = p − 1 für Primzahlen p
Beispiel:
ϕ(4) = 2
ϕ(6) = 2
ϕ(8) = 4
ϕ(9) =

Eulersche phi-Funktion
ϕ(n) = Anzahl der Zahlen m mit 1 ≤ m ≤ n und ggT(m, n) = 1
Beispiel: ϕ(5) = 4, ϕ(7) = 6
Allgemein: ϕ(p) = p − 1 für Primzahlen p
Beispiel:
ϕ(4) = 2
ϕ(6) = 2
ϕ(8) = 4
ϕ(9) = 6
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Satz von Euler und Fermat
Seien a, n teilerfremd. Dann gilt
a ϕ(n) ≡ n 1
Beispiel:
• n = 5, ϕ(5) = 4
1 4 ≡ 5 1, 2 4 ≡ 5 1, 3 4 ≡ 5 1, 4 4 ≡ 5 1

Satz von Euler und Fermat
Seien a, n teilerfremd. Dann gilt
a ϕ(n) ≡ n 1
Beispiel:
• n = 5, ϕ(5) = 4
1 4 ≡ 5 1, 2 4 ≡ 5 1, 3 4 ≡ 5 1, 4 4 ≡ 5 1
• n = 10, ϕ(10) = 4
1 4 ≡ 10 1, 3 4 ≡ 10 1, 7 4 ≡ 10 1, 9 4 ≡ 10 1
6 von 10

Beweisskizze zum Satz von Euler und Fermat:
Sei M die Menge aller modulo n invertierbaren Elemente.
M hat ϕ(n) Elemente.

Beweisskizze zum Satz von Euler und Fermat:
Sei M die Menge aller modulo n invertierbaren Elemente.
M hat ϕ(n) Elemente.
Da ggT(a, n) = 1, ist a modulo n invertierbar.
Daher M = {m 1 , . . . , m ϕ(n) } = {am 1 , . . . , am ϕ(n) } und

Beweisskizze zum Satz von Euler und Fermat:
Sei M die Menge aller modulo n invertierbaren Elemente.
M hat ϕ(n) Elemente.
Da ggT(a, n) = 1, ist a modulo n invertierbar.
Daher M = {m 1 , . . . , m ϕ(n) } = {am 1 , . . . , am ϕ(n) } und
m 1 · · · m ϕ(n) ≡ n am 1 · · · am ϕ(n) ≡ n a ϕ(n) m 1 · · · m ϕ(n)
und somit 1 ≡ n a ϕ(n) .
□
7 von 10

Verschlüsseln von geheimen Botschaften
A wählt n = p · q, wobei p ≠ q große Primzahlen
Es gilt ϕ(n) = (p − 1)(q − 1)

Verschlüsseln von geheimen Botschaften
A wählt n = p · q, wobei p ≠ q große Primzahlen
Es gilt ϕ(n) = (p − 1)(q − 1)
A wählt e mit ggT(e, ϕ(n)) = 1 und berechnet d mit e · d ≡ ϕ(n) 1
A gibt n und e bekannt (public key)

Verschlüsseln von geheimen Botschaften
A wählt n = p · q, wobei p ≠ q große Primzahlen
Es gilt ϕ(n) = (p − 1)(q − 1)
A wählt e mit ggT(e, ϕ(n)) = 1 und berechnet d mit e · d ≡ ϕ(n) 1
A gibt n und e bekannt (public key)
B will Botschaft a senden, berechnet a e ≡ n c und schickt c an A
A berechnet c d ≡ n (a e ) d ≡ n a ed ≡ n a 1+kϕ(n) ≡ n a
8 von 10

Sicherheit
Berechnung von n = p · q und ϕ(n) = (p − 1)(q − 1) aus p, q
ist leicht (Multiplikation)
Berechnung von d mit e · d ≡ ϕ(n) 1 aus e ist leicht
(Euklidischer Algorithmus)

Sicherheit
Berechnung von n = p · q und ϕ(n) = (p − 1)(q − 1) aus p, q
ist leicht (Multiplikation)
Berechnung von d mit e · d ≡ ϕ(n) 1 aus e ist leicht
(Euklidischer Algorithmus)
Berechnung von p, q aus n ist sehr schwer
(Primfaktorzerlegung großer Zahlen)
Daher: trotz Bekanntgabe von n, e kommt ein Lauscher
nur schwer an p, q, ϕ(n), d heran
9 von 10

Fazit
Methoden von
• Euklid (ca. 360-280 v.Chr.)
• Fermat (1607–1665)
• Euler (1707–1783) . . .

Fazit
Methoden von
• Euklid (ca. 360-280 v.Chr.)
• Fermat (1607–1665)
• Euler (1707–1783) . . .
haben Anwendungen
• am Bankautomaten
• bei Kartenzahlung
• bei der sicheren Datenübertragung im Internet . . .