Variationsrechnung I - Institut fÃ¼r Mathematik

Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen 

Institut für Mathematik 

nach Vorlesungen im Wintersemester 2002/2003 an der Universität Bonn und in den 

Wintersemestern 2007/2008, 2009/2010, 2011/2012 an der RWTH Aachen 

Variationsrechnung I 

Prof. Dr. Heiko von der Mosel 

Letzte Änderung: 14. Februar 2012

c○ Copyright 2002–2003, 2007-2008, 2009-2010, 2011-2012 

Prof. Dr. H. von der Mosel 

Korrekturen bitte an 

heiko@instmath.rwth-aachen.de 

Erstellt und ausgearbeitet im WS02-03 von: 

Nils Carqueville 

Kai Kaminski 

Felix Plöger 

Allan Zulficar 

Bearbeitet im WS02-03 von: 

Philipp Reiter 

Überarbeitet in den Wintersemestern 07-08, 09-10, 11-12 von: 

Heiko von der Mosel 

Dank an die Hörer der Vorlesungen in Bonn und Aachen für zahlreiche Hinweise und 

Korrekturvorschläge. Mein spezieller Dank geht an die Herren Ulrich Menne, Henryk 

Gerlach, Michael Dahmen, Tobias Hermes und Matthias Schlottbom, sowie an Anne Faber, 

Angela Klewinghaus, Nicola Rieke, Andreas Platen, und Felix Voigtländer.

Inhaltsverzeichnis 

1 Euler-Lagrange-Gleichungen 1 

1.1 Erste Variation, Extremalen, Minimierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 

1.2 Innere Variation, Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

1.3 Variationsprobleme mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

1.4 Hamiltonsche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

2 Sobolevräume 47 

3 Unterhalbstetigkeit und Existenztheorie 71 

4 Regularitätstheorie und Singularitäten 105 

5 Anwendungen 115 

5.1 Hindernisproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 

5.2 Variationsprobleme für Cartan-Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 

5.3 Periodische Lösungen von Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 115 

A Resultate aus der Funktionalanalysis 117 

Literaturverzeichnis 125 

Index 

I 

i

0 INHALTSVERZEICHNIS

Kapitel 1 

Euler-Lagrange-Gleichungen 

1.1 Erste Variation, Extremalen, Minimierer 

Wir betrachten Variationsintegrale der Form 

∫ 

F(u) := 

I 

F (x, u(x), u ′ (x)) dx. (1.1) 

Dabei sei I = (a, b) ⊂ R, −∞ < a 

C 1 (R × R N × R N ) mit N ∈ N. Wir nennen F eine Lagrange-Funktion. 

Sei U ⊂ R × R N × R N eine offene Umgebung von G := {(x, u(x), u ′ (x)) : x ∈ I}. Diese 

Menge wird als 1-Graph der Funktion u bezeichnet. Es reicht oft, wenn F ∈ C 1 (U). 

Wenn nun F ∈ C 1 (U) und u ∈ C 1 (I, R N ), dann ist F(v) wohldefiniert für alle v mit 

‖u − v‖ C 1 (I,R N ) ≪ 1. Die Norm ‖v‖ C k (I,R N ) 

ist dabei folgendermaßen definiert: 

‖v‖ C k (I,R N ) := ‖v‖ C 0 (I,R N ) + ‖v′ ‖ C 0 (I,R N ) + . . . + ‖v(k) ‖ C 0 (I,R N ) 

und 

‖v‖ C 0 (I,R N ) 

:= sup|v(x)|. 

x∈I 

Folglich ist auch F(u+εϕ) wohldefiniert für ϕ ∈ C 1 (I, R N ) und alle |ε| ≪ 1. Für |ε| ≤ ε 0 (ϕ) 

hat u + εϕ nämlich einen 1-Graphen, der vollständig in U liegt. 

Betrachten wir nun den Fall, dass u das Funktional F lokal minimiert, d.h. 

F(u) ≤ F(v) für alle v ∈ C 1 (I, R N ) mit ‖u − v‖ C 1 (I,R N ) ≪ 1. 

Dann ist auch F(u) ≤ F(u + εϕ) für gegebenes ϕ ∈ C 1 (I, R N ) und alle |ε| ≤ ε 0 ≪ 1. 

Definiert man nun die Funktion Φ : (−ε 0 , ε 0 ) → R durch 

Φ(ε) := F(u + εϕ), 

erhält man 

Φ(0) ≤ Φ(ε) für alle ε ∈ (−ε 0 , +ε 0 ). 

1

2 KAPITEL 1. EULER-LAGRANGE-GLEICHUNGEN 

Nun ist die Funktion Φ aber differenzierbar (siehe z.B. [3, Bd. II, S. 285]), wenn u, ϕ ∈ 

C 1 (I, R N ), und es folgt 

0 = Φ ′ (0) 

= d (∫ 

dε∣ ∫ ε=0 

= 

I 

I 

) 

F (x, u(x) + εϕ(x), u ′ (x) + εϕ ′ (x)) dx 

( 

F z (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ(x) + F p (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ ′ (x) 

) 

dx. 

Definition 1.1 [erste (äußere) Variation] 

δF(u, ϕ) := Φ ′ (0) heißt die erste (äußere) Variation von F an der Stelle u in Richtung ϕ. 

Bemerkung: 

Auch wenn Φ ′ (0) unter schwächeren Voraussetzungen an F , u und ϕ existiert, nennen wir 

diesen Ausdruck zukünftig erste (äußere) Variation. 

Das Funktional δF(u, ·) : C 1 (I, R N ) → R ist linear und stetig, es genügt folgender 

Abschätzung: 

|δF(u, ϕ)| ≤ c(F, u)‖ϕ‖ C 1 (I,R N ) . 

Definition 1.2 [schwache Extremale] 

Sei F ∈ C 1 (I × R N × R N ). Eine Funktion u ∈ C 1 (I, R N ) mit 

∫ ( 

) 

F z (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ(x) + F p (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ ′ (x) dx = 0 (1.2) 

I 

für alle ϕ ∈ C ∞ 0 (I, RN ) heißt schwache C 1 -Extremale von F oder kurz: schwache F- 

Extremale. Hierbei bezeichnet C ∞ 0 (I, RN ) die Klasse der unendlich oft differenzierbaren 

Funktionen f : I → R N mit kompaktem Träger in I. Der Träger einer beliebigen Funktion 

f auf I ist gegeben durch 

supp f := {x ∈ I : f(x) ≠ 0}. 

Falls u ∈ C 1 (I, R N ) eine schwache Extremale ist, so gilt δF(u, ϕ) = 0 für alle ϕ ∈ 

C ∞ 0 (I, RN ), und u heißt dann auch F-stationär. 

Statt C ∞ 0 (I, RN ) könnte man auch einfach C 1 0 (I, RN ) verlangen, vgl. Satz A.21 (ii). 

Proposition 1.3 

Sei F ∈ C 1 (I×R N ×R N ). Falls u ∈ C 1 (I, R N ) mit F(u) ≤ F(u+ϕ) für alle ϕ ∈ C0 ∞(I, RN ) 

mit ‖ϕ‖ C 1 (I,R N ) 

≪ 1 (d.h. u ist lokaler Minimierer von F), dann ist δF(u, ϕ) = 0 für alle 

ϕ ∈ C0 ∞(I, RN ), d.h. u ist schwache Extremale. 

Aber Vorsicht: Nicht jede schwache Extremale in C 1 (I, R N ) ist lokaler Minimierer; es 

könnten durchaus auch Sattelpunkte von Funktionalen auftreten, die weder lokale Minimierer 

noch Maximierer sind. 

Als Motivation für die nächsten Sätze berechnen wir für F ∈ C 2 (I × R N × R N ) und 

u ∈ C 2 (I, R N ): 

0 = δF(u, ϕ) 

∫ 

= (F z (·, u, u ′ ) · ϕ + F p (·, u, u ′ ) · ϕ ′ ) dx 

I 

∫ 

= (F z (·, u, u ′ ) − d 

dx F p(·, u, u ′ )) · ϕ dx 

I

1.1. ERSTE VARIATION, EXTREMALEN, MINIMIERER 3 

für alle ϕ ∈ C0 ∞(I, RN ). Dann folgt mit dem noch zu formulierenden Fundamentallemma, 

Lemma 1.4: 

F z (·, u, u ′ ) − 

d 

dx F p(·, u, u ′ ) = 0. 

Lemma 1.4 [Fundamentallemma] 

Sei f ∈ C 0 (I) und es gelte ∫ 

f(x) η(x) dx = 0 (1.3) 

für alle η ∈ C ∞ 0 

(I). Dann ist f ≡ 0 auf I. 

I 

Beweis. Zu einem gegebenen Punkt x 0 ∈ I sei δ = δ(x 0 ) so klein gewählt, dass 

B 2δ (x 0 ) := [x 0 − 2δ, x 0 + 2δ] ⊂ I. 

Wir definieren die charakteristische Funktion 

{ 

1 falls x ∈ [x 0 − δ, x 0 + δ] 

χ 0 (x) := χ [x0 −δ,x 0 +δ](x) := 

0 falls x ∈ R \ [x 0 − δ, x 0 + δ] 

und nutzen den Satz, dass C ∞ 0 (I) für alle p ∈ [1, ∞) dicht in Lp (I) liegt, siehe Korollar 

A.22 im Anhang. Insbesondere gibt es wegen χ 0 ∈ L 1 (I) für jedes 0 < ε < δ eine Funktion 

χ ε 0 ∈ C∞ 0 (I) mit ‖χ 0 − χ ε 0 ‖ L 1 (I) ≤ ε und supp χ ε 0 ⊂ (x 0 − 2δ, x 0 + 2δ). Damit betrachten wir 

∫ x0 +δ 

x 0 −δ 

f(x) dx = 

= 

∫ 

∫ 

I 

I 

f(x)χ 0 (x) dx 

∫ 

f(x)χ ε 0(x) dx + 

I 

( 

) 

f(x) χ 0 (x) − χ ε 0(x) dx. 

Das erste Integral auf der rechten Seite verschwindet nach Voraussetzung, und das zweite 

lässt sich folgendermaßen abschätzen: 

∫ 

( 

) 

∫ 

∣ f(x) χ 0 (x) − χ ε 0(x) dx 

∣ ≤ |f(x)||χ 0 (x) − χ ε 0(x)| dx 

I 

I 

≤ ε‖f‖ C 0 ([x 0 −2δ,x 0 +2δ]) 

ε→0 

−−→ 0, 

wobei wir zuletzt benutzt haben, dass f ∈ C 0 ([x 0 − 2δ, x 0 + 2δ]). 

Es folgt also ∫ x 0 +δ 

x 0 −δ 

f(x) dx = 0 und damit 

∫ x0 +δ 

− f(x) dx := 1 ∫ x0 +δ 

f(x) dx = 0, 

x 0 −δ 

2δ x 0 −δ 

und für den Grenzwert δ → 0 ergibt der Mittelwertsatz der Integralrechnung f(x 0 ) = 0. Da 

aber x 0 beliebig in I gewählt war, gilt f(x) = 0 für alle x ∈ I. 

Lemma 1.5 [erweitertes Fundamentallemma] 

Sei f ∈ L 1 loc 

(I) mit ∫ 

Dann ist f(x) = 0 für L 1 -fast alle x ∈ I. 

I 

f(x) η(x) dx = 0 ∀ η ∈ C ∞ 0 (I). (1.4)


Beweis. Zu einem gegebenen Punkt x 0 ∈ I sei 0 < δ = δ(x 0 ) ≪ 1 so klein gewählt, dass 

B 3δ (x 0 ) := [x 0 − 3δ, x 0 + 3δ] ⊂ I. 

Dann definieren wir zu 0 < ε < δ die stückweise lineare Funktion η ε ∈ C0 0 (I) durch 

⎧ 

⎪⎨ 1 falls x ∈ [x 0 − δ, x 0 + δ] 

η ε (x) := 0 falls x ∈ I \ (x 0 − δ − ε, x 0 + δ + ε) 

⎪⎩ 

linear fortgesetzt sonst 

und bemerken, dass mit ε → 0 

η ε (x) → χ 0 (x) = χ [x0 −δ,x 0 +δ] für alle x ∈ I. (1.5) 

Nach Satz A.21 im Anhang gibt es nun für alle σ > 0 ein η σ ε ∈ C ∞ 0 (I) mit ‖η ε −η σ ε ‖ C 0 (I) < σ 

und 

supp η σ ε ⊂ B 3δ (x 0 ) = (x 0 − 3δ, x 0 + 3δ), 

und wir schreiben 

∫ 

∫ 

f(x)η ε (x) dx = 

I 

B 3δ (x 0 ) 

∫ 

f(x)η ε (x) dx = 

B 3δ (x 0 ) 

∫ 

f(x)[η ε (x) − ηε σ (x)] dx + f(x)ηε σ (x) dx. 

I 

Das zweite Integral auf der rechten Seite verschwindet nach Voraussetzung, und für das erste 

gilt 

∫ 

∫ 

∫ 

∣ f(x)[η ε (x)−ηε σ (x)] dx 

∣ ≤ ‖η ε−ηε σ ‖ C 0 (I) 

|f(x)| dx < σ |f(x)| dx σ→0 −→ 0. 

B 3δ (x 0 ) 

B 3δ (x 0 ) 

B 3δ (x 0 ) 

Es ist also ∫ I f(x)η ε(x) dx = 0 für alle 0 < ε < δ, und im Grenzwert ε → 0 folgt mit (1.5) 

und dem Lebesgueschen Satz über dominierte Konvergenz 

0 = 1 2δ 

∫ 

I 

f(x)η ε (x) dx 

Mit dem Grenzübergang δ → 0 folgt 

ε→0 −−→ 

1 2δ 

∫ 

I 

f(x 0 ) = 0, 

∫ x0 +δ 

f(x)χ 0 (x) dx = − f(x) dx. 

x 0 −δ 

falls x 0 ein Lebesgue-Punkt von f ist. Da L 1 -fast alle Punkte in I Lebesgue-Punkte von 

f sind, ist die Behauptung gezeigt, vgl. A.14. 

Proposition 1.6 [Euler-Lagrange-Gleichung] 

Sei u ∈ C 2 (I, R N ) eine schwache Extremale von F und F ∈ C 2 (R × R N × R N ). Dann gilt: 

d 

dx F p(x, u(x), u ′ (x)) − F z (x, u(x), u ′ (x)) = 0 für alle x ∈ I. (ELG) 

Gleichung (ELG) ist ein System von N 

Lagrange-Gleichungen bezeichnet. 

Gleichungen. Diese werden als Euler-


Beweis. u ist eine schwache Extremale von F, es gilt also 

∫ 

[F p (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ ′ (x) + F z (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ(x)] dx = 0 ∀ ϕ ∈ C0 ∞ (I, R N ), 

I 

und nach einer partiellen Integration 

∫ [ 

− d 

] 

dx F p(x, u(x), u ′ (x)) + F z (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ(x) dx = 0. 

I 

Wählt man nun ϕ = (0, . . . , 0, η, 0, . . . , 0), wobei η ∈ C0 ∞ (I) an der i-ten Stelle steht, so 

lässt sich das Fundamentallemma der Variationsrechnung, Lemma 1.4, anwenden, und es 

ergibt sich das System der Euler-Lagrange-Gleichungen 

− d 

dx F p i(x, u(x), u′ (x)) + F z i(x, u(x), u ′ (x)) = 0, i = 1, . . . , N. 

Es handelt sich bei den Euler-Lagrange-Gleichungen um ein System von quasilinearen 

gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. 

Beispiel 1.1 

Sei N = 1 und das Funktional F definiert durch 

∫ ( 

) 

F(u) := u ′ 2 (x) + c(x) u 2 (x) dx. 

I 

In diesem Fall ist also F (x, z, p) = p 2 + c(x)z 2 mit F z (x, z, p) = 2c(x)z und F p (x, z, p) = 2p. 

Die zugehörige Euler-Lagrange-Gleichung lautet dann: 

d 

dx 2u′ (x) − 2c(x) u(x) = 0 ⇐⇒ 

−u ′′ (x) + c(x) u(x) = 0, x ∈ I. (ELG 1.1 ) 

Eine solche Gleichung ist eine Differentialgleichung vom Sturm-Liouville-Typ. 

Beispiel 1.2 

Wir betrachten für N = 3 das Funktional 

∫ ( m 

F(u) = 

2 |u′ (x)| 2 − V (u(x))) 

dx. 

I 

Dann ist F (x, z, p) = m 2 |p|2 − V (z) mit F z (x, z, p) = −V z (z) und F p (x, z, p) = mp. Die 

Euler-Lagrange-Gleichung lautet 

d 

dx mu′ (x) + V z (u(x)) = 0, x ∈ I. (ELG 1.2 ) 

Nach Umbenennung der Variablen (x ↦→ t und u ↦→ x) erhält man 

mẍ(t) = −V x (x(t)), t ∈ I. (BWGl 1.2 ) 

In dieser Formulierung entspricht F dem Wirkungsfunktional der Bewegung x = x(t), t ∈ I, 

einer Punktmasse m in einem konservativen Kraftfeld mit dem Potential V (x), und die 

Euler-Lagrange-Gleichung ist die Newtonsche Bewegungsgleichung.


Beispiel 1.3 

Für N = 1 sei 

∫ 

F(u) := 

I 

√ 

ω(x, u(x)) 1 + u ′2 (x) dx, ω > 0. 

Dies ist ein gewichtetes Längenfunktional in nicht-parametrischer Form. Entsprechende 

Funktionale in parametrischer Form und ihre geometrische und physikalische Bedeutung 

werden in Abschnitt 5.2 beschrieben. Hier ist F (x, z, p) = ω(x, z) √ 1 + p 2 mit F z (x, z, p) = 

ω z (x, z) √ 1 + p 2 p 

und F p (x, z, p) = ω(x, z) . Die Euler-Lagrange-Gleichung lautet 

also: 

√ 

1+p 2 

⎛ 

⎞ 

d 

u 

⎝ω(x, ′ √ 

(x) 

u(x)) √ ⎠ − ω z (x, u(x)) 1 + u 

dx 

′2 (x) = 0. 

1 + u ′2 (x) 

Dies lässt sich weiter umformen zu 

⎛ 

⎞ 

0 =ω(x, u(x)) d ⎝ 

u′ (x) 

√ ⎠ + (ω x (x, u(x)) + ω z (x, u(x))u ′ u ′ (x) 

(x)) √ 

dx 

1 + u ′2 (x) 

1 + u ′2 (x) 

√ 

− ω z (x, u(x)) 1 + u ′2 (x) 

⎛ 

⎞ 

⇒ 

0 =ω(x, u(x)) d 

dx 

⎝ 

u′ (x) 

√ ⎠ 

1 + u ′2 (x) 

√ 

1 + u ′2 (x) + (ω x (x, u(x)) + ω z (x, u(x))u ′ (x))u ′ (x) 

− ω z (x, u(x))(1 + u ′ 2 (x)) 

⎛ 

⎞ 

=ω(x, u(x)) d 

√ 

⎝ 

u′ (x) 

√ ⎠ 1 + u 

dx 

′2 (x) + ω x (x, u(x))u ′ (x) − ω z (x, u(x)). 

1 + u ′2 (x) 

Wir behaupten nun, dass 

( ) 

d u ′ 

√ 

dx 1 + u ′ 2 

= κ, (1.6) 

wobei κ die Krümmung des Graphen {(x, u(x)) : x ∈ I} ist. Dann ergibt sich unter der 

Voraussetzung ω > 0 für die Lösungen der Euler-Lagrange-Gleichung die Krümmungsgleichung 

κ(x) = ω z(x, u(x)) − ω x (x, u(x))u ′ (x) 

√ 

. (ELG 1.3 ) 

ω(x, u(x)) 1 + u ′2 (x) 

Tatsächlich ist für die Kurve γ(x) := (x, u(x)) die erste Ableitung γ ′ (x) = (1, u ′ (x)) und 

⎛ 

⎞ 

γ ′ (x) 

|γ ′ (x)| = T (x) = ⎝ 

1 

√ ⎠ (1, u ′ (x)) 

1 + u ′2 (x) 

die Einheitstangente an γ. Der Einheitsnormalenvektor von γ an der Stelle x ∈ I, der 

zusammen mit T (x) ein positiv orientiertes Orthonormalsystem im R 2 bildet, ist 

⎛ 

N(x) = − ⎝√ 

1 

⎞ 

⎠ (u ′ (x), −1). 

1 + u ′2 (x)


Nun ordnet s(x) := ∫ x 

a |γ′ (t)| dt jedem x ∈ [a, b] die Bogenlänge der Kurve γ| [a,x] zu. Wegen 

|γ ′ (x)| > 0 existiert s −1 : [0, Länge(γ)] → [a, b], und wir nennen Γ := γ ◦ s −1 die Bogenlängenparametrisierung 

mit |Γ ′ (s)| = 1. Benutzt man die Frenet-Gleichungen (siehe z.B. [24, 

Vol. I, S. 421ff]) oder [15, S. 16] 

⎜ 

⎝ 

T s = κN 

N s = −κT, 

dx 

wobei κ die Krümmung der Kurve γ bezeichnet, so erhält man T s = T 

√ 

x ds 

ds 

wobei 

dx = |γ′ | = 1 + u ′2 . Also ist 

⎛ [ 

] ⎞ 

( 

√1 + u ′2 ) −1 

d 

dx 

( 

√ u′ 

1+u ′2 ) 

x 

⎟ 

⎠ = T x = 

√ 

√ 

( −u 

1 + u ′2 T s = 1 + u ′2 ′ 

κN = κ 

1 

= T x( ds 

dx )−1 , 

Aus der zweiten Komponente dieser Vektorgleichung liest man die behauptete Identität (1.6) 

für die Krümmung κ ab. 

Proposition 1.7 [„Lokales Minimum erfüllt Euler-Lagrange-Gleichung“] 

Sei u ∈ C 2 (I, R N ) ∩ C 1 (I, R N ), F ∈ C 2 (R × R N × R N ), F(u) ≤ F(w) für alle w ∈ 

C 1 (I, R N ) mit ‖u − w‖ C 1 (I,R N ) 

≤ δ ≪ 1 und u = w auf ∂I. Dann erfüllt u die Euler- 

Lagrange-Gleichung (ELG). 

Beweis. Für alle ϕ ∈ C0 ∞(I, RN ) mit ‖ϕ‖ C 1 (I,R N ) 

≤ δ gilt F(u) ≤ F(u + ϕ). Nach Proposition 

1.3 ist u dann eine schwache Extremale von F, und da u ∈ C 2 (I, R N ), erfüllt u wegen 

Proposition 1.6 die Euler-Lagrange-Gleichungen. 

Definition 1.8 [F-Extremale] 

Sei F ∈ C 2 (I ×R N ×R N ). Jede Lösung u ∈ C 2 (I, R N ) der Euler-Lagrange-Gleichungen 

(ELG) heißt F-Extremale. 

Bemerkung: 

Nicht jeder Minimierer ist in C 2 (I, R N ). 

Beispiel 1.4 

Sei N = 1 und I = (−1, +1). Wir betrachten die Klasse 

C := {v ∈ C 1 (I) : v(−1) = 0, v(+1) = 1} 

und stellen fest, dass die Werte der Funktionals 

F(u) := 

∫ +1 

−1 

u 2 (x)(2x − u ′ (x)) 2 dx 

nichtnegativ sind. Daher ist auch inf C F(·) ≥ 0. Für die C 1 (I)-Funktion u ∗ , definiert durch 

{ 

u ∗ 0 für x ∈ [−1, 0) 

(x) := 

x 2 für x ∈ [0, 1], 

gilt u ∗ ∈ C und F(u ∗ ) = 0, und damit F(u ∗ ) = inf C F(·), doch u ∗ ∉ C 2 (I). Man kann 

zeigen, dass u ∗ der eindeutige Minimierer von F in C ist. 

) 

.


Das Hauptziel des verbleibenden Teils dieses Abschnitts ist es nun, die Euler- 

Lagrange-Gleichungen (ELG) auch für Funktionen u ∈ C 1 (I, R N ) zu beweisen. Entscheidend 

ist dabei die 

Proposition 1.9 [DuBois-Reymond-Gleichung] 

Sei I = (a, b) ⊂ R, u ∈ C 1 (I, R N ) eine schwache F-Extremale und F ∈ C 1 (R × R N × R N ). 

Dann existiert für jedes d ∈ (a, b) ein Vektor c d ∈ R N , so dass 

F p (x, u(x), u ′ (x)) = c d + 

∫ x 

d 

F z (y, u(y), u ′ (y)) dy ∀x ∈ I. (1.7) 

Gilt zusätzlich u ∈ C 1 (I, R N ), so gilt (1.7) mit a anstelle von d für alle x ∈ I mit einem 

Vektor c a ∈ R N anstelle von c d . 

Beweis. Nach Voraussetzung ist u eine schwache F-Extremale, also gilt für alle ϕ ∈ 

C0 ∞(I, RN ) 

∫ 

[F p (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ ′ (x) + F z (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ(x)] dx = 0, 

I 

und nach einer partiellen Integration 

∫ [ 

(∫ x 

F p (x, u(x), u ′ (x)) − 

I 

d 

)] 

F z (y, u(y), u ′ (y)) dy · ϕ ′ (x) dx = 0. 

Aufgrund des im Anschluss bewiesenen Fundamentallemmas 1.10 von DuBois-Reymond 

gibt es deshalb einen Vektor c d ∈ R N , so dass 

F p (x, u(x), u ′ (x)) − 

∫ x 

d 

F z (y, u(y), u ′ (y)) dy = c d für L 1 -fast alle x ∈ I, 

und wegen der Stetigkeit aller Ausdrücke als Funktion von x auf I gilt diese Identität dann 

auch für alle x ∈ I. 

Falls u ∈ C 1 (I, R N ), dann kann man anstelle von d die linke Intervallgrenze a wählen 

und dieselbe Argumentation wie oben verwenden. Dann erhält man (1.7) (mit a anstelle 

von d und einem Vektor c a anstelle von c d ) zunächst auf I, kann aber wegen der stetigen 

Fortsetzbarkeit aller auftretenden Ausdrücke diese Relation auf I fortsetzen. 

Lemma 1.10 [Fundamentallemma von DuBois-Reymond] 

Sei f ∈ L 1 loc 

(I) und erfülle die Gleichung 

∫ 

f(x)η ′ (x) dx = 0 ∀η ∈ C0 ∞ (I). (1.8) 

I 

Dann existiert ein c 1 ∈ R, so dass f(x) = c 1 für L 1 -fast alle x ∈ I gilt. 

Beweis. Für zwei beliebige Lebesgue-Punkte x 0 , ξ 0 ∈ I, x 0 < ξ 0 , von f wählen wir δ > 0 

so klein, dass [x 0 − 3δ, ξ 0 + 3δ] ⊂ I. Dann definieren wir für 0 < ε < δ die Funktionen 

ζ ε ∈ C 0,1 

0 ((x 0 − δ, ξ 0 + δ)) durch 

⎧ 

⎪⎨ 1 falls x ∈ [x 0 , ξ 0 ] 

ζ ε (x) := 0 falls x ∈ I \ [x 0 − ε, ξ 0 + ε] 

⎪⎩ 

linear fortgesetzt sonst.


Nun gibt es nach Satz A.21 im Anhang zu jedem 0 < σ < ε approximierende Funktionen 

ζ σ ε ∈ C ∞ 0 ((x 0 − 2δ, ξ 0 + 2δ)) mit 

‖ζ σ ε ‖ C 0,1 (I) = ‖ζσ ε ‖ C 0,1 ([x 0 −2δ,ξ 0 +2δ]) ≤ ‖ζ ε ‖ C 0,1 ([x 0 −3δ,ξ 0 +3δ]) = ‖ζ ε ‖ C 0,1 (I) ≤ 1 + 1 ε , (1.9) 

so dass darüberhinaus 

ζ σ ε ′ (x) → ζ ′ ε(x) für L 1 -fast alle x ∈ I, (1.10) 

siehe Anhang, Satz A.21 und Teil (ii) der Proposition 2.4. Wir schreiben 

∫ 

∫ 

∫ ( 

) 

f(x)ζ ε(x) ′ dx = f(x)ζε σ′ (x) dx + f(x) ζ ε(x) ′ − ζε σ′ (x) dx, 

I 

I 

und bemerken, dass das erste Integral nach Voraussetzung verschwindet. Das zweite Integral 

konvergiert wegen (1.9) und (1.10) für σ → 0 gegen 0 nach dem Satz über dominierte 

Konvergenz von Lebesgue. Es ist also 

∫ 

∫ x0 

0 = f(x)ζ ε(x) ′ dx = f(x) 1 ∫ ξ0 +ε 

ε dx − f(x) 1 dx ∀ε > 0, 

ξ 0 

ε 

I 

x 0 −ε 

und im Grenzwert ε → 0 folgt f(x 0 ) − f(ξ 0 ) = 0, also f(x 0 ) = f(ξ 0 ) =: c 1 . Da x 0 und ξ 0 

beliebig gewählte Lebesgue-Punkte sind, folgt die Behauptung. 

Korollar 1.11 

Jede schwache F-Extremale u ∈ C 1 (I, R N ) mit F ∈ C 1 (R × R N × R N ) erfüllt die Euler- 

Lagrange-Gleichung (ELG). Ist darüberhinaus u ∈ C 1 (I, R N ), dann gilt (ELG) für alle 

x ∈ I. 

Beweis. Seien x 0 , d ∈ I beliebig gewählt. Dann gilt die DuBois-Reymond-Gleichung (1.7) 

für alle x ∈ I mit einem konstanten Vektor c d ∈ R N . Für 0 < ε < min{x 0 − a, b − x 0 } 

ist die rechte Seite und damit auch die linke Seite von (1.7) in C 1 (B ε (x 0 ), R N ), und wir 

können nach x differenzieren, um die Euler-Lagrange-Gleichung (ELG) in B ε (x 0 ), also 

insbesondere in x 0 zu erhalten. Da x 0 ∈ I beliebig gewählt war, folgt die Behauptung. Ist 

u ∈ C 1 (I, R N ), dann gilt (1.7) mit einer Konstanten c a ∈ R N auf I. Weiterhin ist die rechte 

Seite dieser Gleichung dann in C 1 (I, R N ), womit das auch für die linke Seite gilt. Folglich 

gilt in diesem Fall (ELG) auf I. 

Bemerkung: 

Das Anwenden der Kettenregel auf die Euler-Lagrange-Gleichung ist hier im Allgemeinen 

nicht erlaubt, da weder u ∈ C 2 (I, R N ) noch F p ∈ C 1 vorausgesetzt war. Andererseits 

kann man die Gültigkeit der Euler-Lagrange-Gleichungen L 1 -fast überall auch für 

schwache F-Extremalen der Klasse C 0,1 (I, R N ) nachweisen. 

Proposition 1.12 [Natürliche Randbedingungen] 

Sei F ∈ C 1 (R × R N × R N ) und u ∈ C 1 (I, R N ) erfülle 

δF(u, ϕ) = 0 ∀ϕ ∈ C ∞ (I, R N ). 

Dann gelten die natürlichen Randbedingungen 

F p (a, u(a), u ′ (a)) = 0 = F p (b, u(b), u ′ (b)). 

I


Beweis. Nach Korollar 1.11 löst u die Euler-Langrange-Gleichung 

− d 

dx F p(x, u(x), u ′ (x)) + F z (x, u(x), u ′ (x)) = 0 ∀x ∈ I. (1.11) 

Wir nutzen nun die stärkere Information, dass δF(u, ϕ) = 0 für alle ϕ aus dem „größeren“ 

Raum C ∞ (I, R N ), was dazu führt, dass beim partiellen Integrieren Randterme auftreten: 

0 = δF(u, ϕ) 

∫ ( 

) 

= F p (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ ′ (x) + F z (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ(x) dx 

I 

∫ ( 

= − d 

) 

I dx F p(x, u(x), u ′ (x)) + F z (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ(x) dx 

+ F p (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ(x) ∣ x=b 

x=a 

(1.11) 

= F p (x, u(x), u ′ ∣ 

(x)) · ϕ(x) 

∣ x=b 

. 

x=a 

Zu einem beliebigen Vektor c ∈ R N wähle die Funktion 

ϕ c (x) := x − b c, x ∈ R. 

a − b 

Offensichtlich ist ϕ c ∈ C ∞ (I, R N ) mit ϕ c (a) = c und ϕ c (b) = 0, so dass 

F p (a, u(a), u ′ (a)) · c = 0 

folgt. Setzen wir c := F p (a, u(a), u ′ (a)), erhalten wir F p (a, u(a), u ′ (a)) = 0. Analog folgt 

F p (b, u(b), u ′ (b)) = 0. 

Bemerkung: 

Natürliche Randbedingungen stellen sich automatisch bei Lösungen von sogenannten freien 

Randwertproblemen ein, bei denen man beispielsweise lediglich vorschreibt, dass die Lösungen 

am Rand auf einer vorgegebenen Stützmannigfaltigkeit liegen. Insbesondere in der 

Theorie der Minimalflächen gibt es dazu zahlreiche interessante Untersuchungen, siehe z.B. 

[13, Vol. I, Chapter 5]. 

Beispiel 1.5 [Freies Randwertproblem für das Dirichlet-Integral] 

Wir betrachten mit F (x, z, p) = F (p) = 1 2 |p|2 = 1 2 p · p für p ∈ RN , das Variationsproblem 

F(u) := 1 ∫ 

|u ′ (x)| 2 dx −→ min! in der Klasse C 1 (I, R N ). 

2 

I 

Für einen Minimierer u ∈ C 1 (I, R N ) erhält man aus den DuBois-Reymond-Gleichungen, 

Proposition 1.9, u ′ ≡ konst. auf I und damit 1 u(x) = αx + β für alle x ∈ I. Da für den 

Minimierer u die Ungleichung F(u) ≤ F(u + εϕ) für alle ϕ ∈ C 1 (I, R N ) gilt, folgen mit 

δF(u, ϕ) = 0 für alle ϕ ∈ C 1 (I, R N ) nach Proposition 1.12 die natürlichen Randbedingungen 

u ′ (a) = F p (a, u(a), u ′ (a)) = 0 = F p (b, u(b), u ′ (b)) = u ′ (b), 

1 Dies würde man auch bekommen, wenn man nur wüsste, dass u ∈ C 1 (I, R N ) eine schwache F-Extremale 

ist, da sich u ′ als konstanter Vektor stetig auf I fortsetzen lässt.

1.2. INNERE VARIATION, ERHALTUNGSSÄTZE 11 

so dass die Lösung u ≡ konst. lautet. Damit bildet im Fall N = 1 der Graph der minimierenden 

Funktion u an seinen Endpunkten mit den Wänden {(a, z) : z ∈ R} und {(b, z) : z ∈ R} 

einen rechten Winkel. Bei höherdimensionalen freien Randwertproblemen aus der Kapillaritätstheorie 

[20] bilden sich sogenannte Kontaktwinkel, die je nach Wahl der Energiedichte, 

also nach Wahl des Integranden des Variationsproblems, verschieden von π/2 sein können. 

Bei Minimalflächen ist ein Randwinkel von π/2 an den freien Rändern charakteristisch, was 

man in der Natur bei in Hohlkörpern eingespannten Seifenhäuten beobachten kann, siehe 

[10], [13]. 

1.2 Innere Variation, Erhaltungssätze 

Proposition 1.13 [Erhaltungssatz] 

Sei F = F (z, p) ∈ C 2 (R N × R N ), φ := p · F p − F , und u ∈ C 2 (I, R N ) sei eine Lösung der 

Euler-Lagrange-Gleichung (ELG). Dann gilt 

φ(u(·), u ′ (·)) ≡ konst. auf I. (1.12) 

Beweis. 

d 

( 

) 

φ(u(x), u ′ (x)) 

dx 

= u ′′ (x) · F p (u(x), u ′ (x)) + u ′ d 

( 

) 

(x) · F p (u(x), u ′ (x)) 

dx 

− F z (u(x), u ′ (x)) · u ′ (x) − F p (u(x), u ′ (x)) · u ′′ (x) 

= u ′ d 

( 

) 

(x) · F p (u(x), u ′ (x)) − F z (u(x), u ′ (x)) · u ′ (x) 

dx 

= 0. 

Beispiel 1.6 [Energieerhaltung in der klassischen Punktmechanik] 

Für 

F (z, p) := m 2 |p|2 − V (z), z, p ∈ R 3 , 

erhält man 

φ(z, p) = p · F p (z, p) − F (z, p) 

= p · mp − m 2 |p|2 + V (z) 

= m 2 |p|2 + V (z). 

Mit der Variablenumbenennung E(z, p) := φ(z, p) (Gesamtenergie), x ↦→ t (Zeit), z ↦→ x = 

x(t) (Bahnkurve) ergibt sich 

E(x, ẋ) = m 2 ẋ2 + V (x), 

und mit Proposition 1.13 erhält man den Energieerhaltungssatz 

E(x(t), ẋ(t)) ≡ konst. 

für alle Lösungen x = x(t) der Newtonschen Bewegungsgleichung 

mẍ = −V x (x), (BWGl 1.6 ) 

welche die Euler-Lagrange-Gleichung des zu F gehörigen Variationsintegrals ist.


Bemerkung: 

Umgekehrt müssen aber nicht alle u, die dem Erhaltungssatz genügen, auch Lösungen der 

Euler-Lagrange-Gleichung sein, wie das folgende Beispiel zeigt. 

Beispiel 1.7 

Sei u(·) ≡ konst. =: c auf dem offenen Intervall I ⊂ R und F = F (z, p) ∈ C 2 (R N × R N ) 

mit F (c, 0) = −h ∈ R und F z (c, 0) ≠ 0. Dann ist 

d 

dx φ(u(x), u′ (x)) = d [ 

] 

u ′ (x) · F p (u(x), u ′ (x)) − F (u(x), u ′ (x)) = − d F (c, 0) = 0, 

dx 

dx 

und es folgt φ(u(·), u ′ (·)) ≡ konst. auf I, woraus 

φ(u(x), u ′ (x)) = φ(c, 0) = h 

folgt. Es ist aber 

d 

dx [F p(c, 0)] − F z (c, 0) = −F z (c, 0) ≠ 0, 

also ist u keine Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung. 

Bis zu diesem Punkt geschah die Variation durch eine Störung der Funktionswerte u und 

u ′ um ϕ beziehungsweise ϕ ′ , und das Funktional F wurde an der Stelle u + εϕ betrachtet. 

Stattdessen kann eine Störung auch als Hintereinanderschaltung eines Diffeomorphismus 

ξ(·, ε) und des Minimierers u definiert werden, v := u ◦ ξ(·, ε), wobei ε eine ganze Familie 

von Diffeomorphismen mit (t, ε) ↦→ ξ(t, ε) ∈ C 2 (I × (−ε 0 , +ε 0 )) von I auf I parametrisiert, 

an die die folgenden Forderungen gestellt werden: 

und die Umkehrfunktionen 

ξ(a, ε) = a ∀ε ∈ (−ε 0 , +ε 0 ), 

ξ(b, ε) = b ∀ε ∈ (−ε 0 , +ε 0 ), 

ξ(t, 0) = t ∀t ∈ I, 

τ(·, ε) = (ξ(·, ε)) −1 : I → I 

sollen genügend glatt sein: Die Zuordnung (x, ε) ↦→ τ(x, ε) soll von der Klasse C 2 (I × 

(−ε 0 , ε 0 )) sein. 

u 

I 

ξ(·, ε) 

I 

v := u ◦ ξ(·, ε) 

Abbildung 1.1: Zulässige Parametervariation.


Definition 1.14 

{ξ(·, ε)} ε mit diesen Eigenschaften heißt zulässige Parametervariation 2 . Die Funktionenschar 

v(t, ε) := u(ξ(t, ε)) heißt zulässige innere Variation. 

Bemerkung: 

Es gilt 

v(a, ε) = u(ξ(a, ε)) = u(a) , 

v(b, ε) = u(ξ(b, ε)) = u(b) , 

v(t, 0) = u(ξ(t, 0)) = u(t) . 

Für das Folgende definieren wir noch die Funktionen 

λ(t) := ∂ξ (t, 0) 

∂ε (Variationsvektorfeld) 

Ψ(ε) := F(v(·, ε)) 

= F (u(ξ(·, ε))) 

∫ 

= F (t, v(t, ε), v t (t, ε)) dt, 

I 

und lassen uns von der Idee leiten, dass im Fall F(u) ≤ F(v(·, ε)) für alle ε ∈ (−ε 0 , ε 0 ) und 

Ψ ∈ C 1 ((−ε 0 , ε 0 )) die Ableitung von Ψ an der Stelle Null verschwinden wird: Ψ ′ (0) = 0. 

Definition 1.15 [Erste innere Variation] 

∂F(u, λ) := Ψ ′ (0) heißt die erste innere Variation von F an der Stelle u in Richtung des 

Variationsvektorfeldes λ. 

Bemerkung: 

Auch wenn Ψ ′ (0) unter schwächeren Voraussetzungen an F , u und λ existiert, nennen wir 

diesen Ausdruck zukünftig erste innere Variation. 

Proposition 1.16 [Innere Variation von F] 

Sei F ∈ C 1 (R × R N × R N ), u ∈ C 1 (I, R N ) und λ = ∂ξ 

∂ε 

(·, 0) das Variationsvektorfeld einer 

zulässigen Parametervariation {ξ(·, ε)} ε . Dann gilt: 

∫ 

∂F(u, λ) = 

[ [u ′ (x) · F p (x, u(x), u ′ (x)) − F (x, u(x), u ′ (x)) ] λ ′ (x) 

I 

] 

−F x (x, u(x), u ′ (x))λ(x) dx. (1.13) 

Beweis. Sei τ(·, ε) die Umkehrfunktion zu ξ(·, ε), d.h. t = τ(ξ(t, ε), ε) für alle t ∈ I und alle 

ε ∈ (−ε 0 , ε 0 ). Partielles Ableiten nach t beziehungsweise nach ε führt dann auf 

1 = τ x (ξ(t, ε), ε)ξ t (t, ε) 

Aus ξ(t, 0) = t folgt τ(x, 0) = x und damit 

0 = τ x (ξ(t, ε), ε)ξ ε (t, ε) + τ ε (ξ(t, ε), ε). (1.14) 

τ x (x, 0) = 1, 

2 Man beachte, dass die Forderungen an die Erhaltung der Randwerte impliziert, dass es sich automatisch 

um eine Schar orientierungserhaltender Diffeomorphismen handelt.


und (1.14) schreibt sich für ε = 0 

0 = τ x (t, 0) ξ 

} {{ } ε (t, 0) +τ 

} {{ } ε (t, 0) für alle t ∈ I ⇒ τ ε (x, 0) = −λ(x) für alle x ∈ I. (1.15) 

=1 =λ(t) 

Mit ξ ∈ C 2 folgt τ ∈ C 2 und damit aus der letzten Identität 

Es ist 

τ xε (x, 0) = τ εx (x, 0) = −λ ′ (x). 

∫ 

Ψ(ε) = 

I 

F (t, v(t, ε), v t (t, ε)) dt, 

und mit der Substitution t = τ(x, ε) = τ(ξ(t, ε), ε) folgt nach dem Transformationssatz 

∫ ( 

) 

Ψ(ε) = F τ(x, ε), u(x), u ′ 1 

(x) τ x (x, ε) dx, 

τ x (x, ε) 

also 

∫ 

Ψ ′ (0) = 

I 

+ 

∫ 

= 

I 

I 

[ 

( 

F x (x, u(x), u ′ (x))τ ε (x, 0) + F p (x, u(x), u ′ (x)) · u ′ (x) − τ )] 

xε(x, 0) 

τx(x, 2 τ x (x, 0) dx 

0) 

∫ 

F (x, u(x), u ′ (x))τ xε (x, 0) dx 

I 

( [Fp 

(x, u(x), u ′ (x)) · u ′ (x) − F (x, u(x), u ′ (x)) ] λ ′ (x) − F x (x, u(x), u ′ (x))λ(x)) 

dx. 


Sei F ∈ C 1 (R × R N × R N ). Falls für u ∈ C 1 (I, R N ) die Ungleichung F(u) ≤ F(u(ξ(·, ε))) 

für alle zulässigen Parametervariationen ξ(·, ε) gilt, dann ist 

∫ ( (u′ ∂F(u, λ) = · F p (·, u, u ′ ) − F (·, u, u ′ ) ) λ ′ − F x (·, u, u )λ) 

′ dx = 0 ∀ λ ∈ C0 ∞ (I). 

I 

Beweis. Für ein beliebiges λ ∈ C0 ∞(I) sei τ(x, ε) := x − ελ(x), wobei |ε| < ε 0(λ) ≪ 1. 

Dann ist {ξ(., ε)} ε := {(τ(., ε)) −1 } ε eine zulässige Parametervariation mit λ als Variationsvektorfeld. 

Tatsächlich ist τ(., ε) eine bijektive Abbildung für ε hinreichend klein und 

damit global umkehrbar auf Ī. Die Differenzierbarkeit der eindeutigen Umkehrabbildung 

ξ(., ε) := (τ(., ε)) −1 folgt dann aus dem Umkehrsatz (siehe z.B. [3, Bd. II, S. 162], wenn 

man τ ∈ C ∞ (I × (−ε 0 , ε 0 )) mit τ x (x, ε) = 1 − ελ ′ (x) ≠ 0 für alle ε ≪ 1 berücksichtigt. 

Tatsächlich ist wegen supp λ ⊂ I 

τ(a, ε) = a , τ(b, ε) = b ⇒ ξ(a, ε) = ξ(τ(a, ε), ε) = a , ξ(b, ε) = b, 

τ(x, 0) = x, ⇒ τ x (x, 0) = 1 und ξ(t, 0) = t, 

womit die Schar {ξ(., ε)} ε nach Definition 1.14 eine zulässige Parametervariation ist, sobald 

man sich davon überzeugt hat, dass ξ(·, ·) ∈ C 2 (I × (−ε 0 , ε 0 )). Dazu fassen wir τ als 

Abbildung 

τ(·, ·) : R × (−ε 0 , ε 0 ) → R × (−ε 0 , ε 0 )


auf, was möglich ist, indem man λ ∈ C0 ∞ 

die C ∞ -glatte Abbildung 

(I) durch Null auf ganz R fortsetzt. Dann gilt für 

T : R × (−ε 0 , ε 0 ) → R × (−ε 0 , ε 0 ) 

definiert durch T (x, ε) := (τ(x, ε), ε), dass det DT (x, ε) = 1 − ελ ′ (x) > 0 für alle 

|ε| < 1/‖λ‖ C 1 (R), so dass für alle (x 1 , ε 1 ) ∈ R×(−ε 0 , ε 0 ) die (eindeutig bestimmte) Umkehrabbildung 

S = T −1 auf einer offenen Umgebung von (τ(x 1 , ε 1 ), ε 1 ) existiert. Das bedeutet 

S(T (x, ε)) = (x, ε) für alle (x, ε) ∈ B δ (x 1 , ε 1 ) ⊂ R × (−ε 0 , ε 0 ) 

und S ∈ C ∞ (B δ (x 1 , ε 1 ), R × R). Insbesondere gilt für die erste Komponente 

S 1 (T (x, ε)) = S 1 (τ(x, ε), ε) = x für alle |ε − ε 1 | ≪ 1. 

Wegen der Eindeutigkeit der Umkehrabbildung ist aber S 1 (t, ε) = ξ(t, ε) für alle (t, ε) ∈ 

I × (−ε 0 , ε 0 ) mit |t − τ(x 1 , ε 1 )| + |ε − ε 1 | ≪ 1, so dass ξ ∈ C ∞ (B σ (τ(x 1 , ε 1 ), ε 1 )) für 

0 < σ ≪ 1. Da (x 1 , ε 1 ) beliebig in R × (−ε 0 , ε 0 ) gewählt waren, also speziell beliebig in 

I × (−ε 0 , ε 0 ), folgt ξ ∈ C ∞ (I × (−ε 0 , ε 0 )) wie gewünscht. 

Damit sind wir in der Situation von Proposition 1.16 und können zunächst mit (1.15) 

schließen, dass λ tatsächlich das zu {ξ(., ε)} ε gehörige Variationsfeld ist. Mit 

Ψ(0) = F(u) ≤ F(u(ξ(., ε))) = Ψ(ε) 

folgt 0 = Ψ ′ (0) = ∂F(u, λ). Mit Gleichung (1.13) und der Tatsache, dass λ ∈ C0 ∞ 

gewählt war, folgt die Behauptung. 

(I) beliebig 

Proposition 1.18 [Erdmann- und Noether-Gleichung] 

Seien F ∈ C 1 (R × R N × R N ) und u ∈ C 1 (I, R N ). Falls ∂ ∂ε | ε=0F(u(ξ(·, ε))) = 0 für alle 

zulässigen Parametervariationen ξ, dann existiert für jede Zahl d ∈ (a, b) = I eine Konstante 

c d ∈ R, so dass 

φ(x, u(x), u ′ (x)) = c d − 

∫ x 

d 

F x (y, u(y), u ′ (y)) dy für alle x ∈ I (Erdmann-Gleichung), 

wobei φ(x, z, p) := p · F p (x, z, p) − F (x, z, p). Weiterhin gilt 

(1.16) 

d 

( 

) 

φ(x, u(x), u ′ (x)) + F x (x, u(x), u ′ (x)) = 0 für alle x ∈ I (Noether-Gleichung). 

dx 

(1.17) 

Falls zusätzlich u ∈ C 1 (I, R N ), dann gelten die Gleichungen (1.16) (mit a anstelle von d 

und einer Konstanten c a ∈ R anstelle von c d ) und (1.17) für alle x ∈ I. 

Bemerkung: 

Im Spezialfall F = F (z, p) ∈ C 2 (R N × R N ) und u ∈ C 2 (I, R N ) folgt (1.16) direkt aus 

Gleichung (1.12) in Proposition 1.13. 

Beweis. Sei λ ∈ C ∞ 0 (I), dann gibt es ein offenes Intervall I 0 ⊂⊂ I, so dass supp λ ⊂ I 0 . Für 

τ(x, ε) := x − ελ(x), |ε| ≪ 1 ist die Schar {ξ(., ε)} ε := {(τ(., ε)) −1 } ε – wie im Beweis von


Proposition 1.17 gezeigt – eine zulässige Parametervariation mit λ als Variationsvektorfeld, 

und die Anwendung von Proposition 1.16 auf u ∈ C 1 (I, R N ) ⊂ C 1 (I 0 , R N ) führt auf 

∫ ( (u′ ∂F(u, λ) = · F p (·, u, u ′ ) − F (·, u, u ′ ) ) ) 

λ ′ − F x (·, u, u ′ )λ dx 

I 

∫ 0 

( (u′ = · F p (·, u, u ′ ) − F (·, u, u ′ ) ) λ ′ − F x (·, u, u )λ) 

′ dx 

I 

= 0. 

Nach einer partiellen Integration ergibt sich 

∫ ( 

u ′ (x) · F p (x, u(x), u ′ (x)) − F (x, u(x), u ′ (x)) + 

I 

∫ x 

d 

) 

F x (y, u(y), u ′ (y)) dy λ ′ (x) dx = 0. 

Nach dem Fundamentallemma von DuBois-Reymond, Lemma 1.10, gibt es ein c d ∈ R, so 

dass 

u ′ (x) · F p (x, u(x), u ′ (x)) − F (x, u(x), u ′ (x)) + 

∫ x 

d 

F x (y, u(y), u ′ (y)) dy = c d ∀ x ∈ I, 

womit (1.16) bewiesen ist. 

Für x 0 ∈ I wähle nun δ > 0, so dass B δ (x 0 ) ⊂ I. Dann ist die Funktion 

f(x) := 

∫ x 

d 

F x (y, u(y), u ′ (y)) dy, x ∈ B δ (x 0 ), 

in der Klasse C 1 (B δ (x 0 )), und wir können die Erdmann-Gleichung (1.16) in B δ (x 0 ) differenzieren 

und erhalten so die Noether-Gleichung (1.17) für alle x ∈ B δ (x 0 ), speziell also 

in x 0 selbst. Da x 0 ∈ I beliebig gewählt war, folgt die Behauptung. Falls u ∈ C 1 (I, R N ), 

dann sind alle Ausdrücke in (1.16) und (1.17) stetig auf I fortsetzbar. 

Beispiel 1.8 

Die Funktion H = H(z, p) ∈ C 1 (R N × R N ) sei positiv 2-homogen in p, d.h. H(z, tp) = 

t 2 H(z, p) für alle t > 0. Durch Differentiation nach t folgt 

H p (z, tp) · p = 2tH(z, p) ∀t > 0 

⇒ H p (z, p) · p = 2H(z, p) 

⇒ 

φ := p · H p − H = H 

(1.17) 

⇒ H(u(.), u ′ (.)) = konst. auf I ∀u ∈ C 1 (I, R N ) mit ∂H(u, λ) = 0 ∀λ ∈ C ∞ 0 (I), 

wobei 

∫ 

H(u) := 

I 

H(u(x), u ′ (x)) dx. 

Sei nun speziell H(z, p) > 0 für |p| ̸= 0 und außerdem u(a) ≠ u(b). Dann existiert ein 

ξ ∈ (a, b) mit u ′ (ξ) ≠ 0, und es folgt 

0 < H(u(ξ), u ′ (ξ)) = H(u(x), u ′ (x)) 

⇒ u ′ (x) ≠ 0 ∀x ∈ I,

1.3. VARIATIONSPROBLEME MIT NEBENBEDINGUNGEN 17 

denn 

H(z, 0) = lim 

t↘0 

H(z, tp) = lim 

t↘0 

t 2 H(z, p) = 0 

wegen der Homogenität. Damit ist u ∈ C 1 (I, R 3 ) eine reguläre Kurve. Schwache Extremalen 

bezüglich innerer Variationen für Variationsintegrale mit derart homogenen Integranden 

sind also automatisch regulär parametrisiert. Diese Beobachtung lässt sich beispielsweise bei 

der Regularitätstheorie für Hindernisprobleme solcher Variationsintegrale ausnutzen. Tatsächlich 

kann man a priori mitunter nicht feststellen, ob und wo die Lösung das Hindernis 

berührt. Abhängig von der jeweiligen Berührsituation kann es schwierig oder gar unmöglich 

sein, zulässige äußere Variationen u + εϕ zu finden. Innere Variationen hingegen führen zu 

keiner Änderung im Bildbereich der Lösung, so dass solche Variationen eine Hindernisbedingung 

automatisch respektieren und damit zulässig sind, siehe auch Kapitel 5, Abschnitt 

5.2. Für ähnliche Schlüsse bei Variationsproblemen für parametrische Flächen siehe z.B. 

[31], [32], [33]; dort liefert das Verschwinden der ersten inneren Variation des Funktionals 

die konforme Parametrisierung der Lösungen. 

1.3 Variationsprobleme mit Nebenbedingungen 

In diesem Abschnitt werden Variationsprobleme der Art 

∫ 

F(v) := F (x, v(x), v ′ (x)) dx −→ min! 

in bestimmten Funktionenklassen vom Typ 

I 

C := {v ∈ C 1 (I, R N ) : Randdaten für v auf ∂I, Nebenbedingungen für v} 

betrachtet. Hierbei gibt es unterschiedliche Arten von Nebenbedingungen, von denen wir 

einige im Folgenden nennen, und nur die erste Art dieser Nebenbedingungen soll hier anschließend 

näher betrachtet werden. 

1. Isoperimetrische Nebenbedingungen 

∫ 

G(v) := G(x, v(x), v ′ (x)) dx = ! ω , ω ∈ R. 

I 

Beispiel: Betrachte für N = 1 das Variationsintegral 

∫ ( 

) 

F(v) := v ′ 2 (x) + c(x)v 2 (x) dx −→ min! 

I 

in der Klasse 

C(α, β, ω) := {v ∈ C 1 (I) : v(a) = α, v(b) = β, 

∫ 

I 

v 2 (x) dx = ω} 

für gegebene Randwerte α, β ∈ R, was auf Eigenwertprobleme für einen speziellen Sturm- 

Liouville-Operator führt, vgl. Beispiel 1.1.


2. Holonome Nebenbedingungen 

G(x, v(x)) = 0 ∀x ∈ I. 

Beispiel: Zu untersuchen ist für N = 3 

∫ 

F(v) := |v ′ (x)| 2 dx −→ min! 

in der Klasse 

I 

C(P 1 , P 2 ) := {v ∈ C 1 (I, R 3 ) : v(a) = P 1 , v(b) = P 2 , |v(x)| 2 = 1 ∀x ∈ I}. 

Man minimiert also die Länge von Kurven auf der Einheitssphäre S 2 mit fixierten Endpunkten 

P 1 , P 2 ∈ S 2 . Im Gegensatz zu dem gewichteten Längenfunktional in Beispiel 1.3 

für Graphen im R 2 betrachten wir hier das ungewichtete parametrische Längenfunktional 

(mit Gewicht ω(x, z) ≡ 1). 

3. Nichtholonome Nebenbedingungen 

G(x, v(x), v ′ (x)) = 0 ∀x ∈ I. 

Beispiel: Gegeben sei das Minimierungsproblem 

∫ 

F(v) := v 3 (x) dx −→ min! 

in der Klasse 

I 

˜C(P 1 , P 2 ) := {v ∈ C 1 (I, R 3 ) : v(a) = P 1 , v(b) = P 2 , |v(x)| 2 = 1, |v ′ (x)| = 1 für alle x ∈ I}. 

Dieses Variationsproblem stellt ein einfaches Modell für einen nicht dehnbaren Faden mit 

Gewicht auf der Einheitssphäre S 2 mit Endpunkten P 1 , P 2 ∈ S 2 dar. 

4. Ungleichungsnebenbedingungen 

G(x, v(x), v ′ (x)) ≥ 0 ∀x ∈ I. 

Beispiel: Sei I = (a, b) mit −∞ < a ≤ −1 < 1 ≤ b < ∞. Man betrachtet 

∫ √ 

F(v) := 1 + v ′2 (x) dx −→ min! 

in der Klasse 

I 

C(h) := {v ∈ C 1 (I) : v(a) = 0, v(b) = 0, v(x) ≥ h(x) := 1 − |x|}. 

Dies entspricht dem in Abbildung 1.2 dargestellten Hindernisproblem. 

Dieses Beispiel macht insbesondere deutlich, welche Schwierigkeiten mit der Wahl der betrachteten 

Klasse zusammenhängen: So ist etwa für a = −1, b = 1 die kürzeste Verbindung 

der beiden Punkte, die der Ungleichung genügt, nämlich die Funktion u(x) = 1−|x| = h(x), 

keine C 1 -Funktion.


1 

a 

b 

Abbildung 1.2: v(x) soll für alle v ∈ C(h) größer oder gleich als h(x) = 1 − |x| sein. 

Für isoperimetrische Nebenbedingungen ergibt sich die für die klassische Variationsrechnung 

zentrale 

Proposition 1.19 [Lagrange-Multiplikator-Regel] 

Seien F, G ∈ C 1 (R × R N × R N ), α, β ∈ R N , ω ∈ R und δ > 0. Es gelte für u ∈ C(α, β, ω) 

F(u) ≤ F(v) für alle v ∈ C(α, β, ω) mit ‖u − v‖ C 1 (Ī,RN ) < δ, 

wobei 

∫ 

C(α, β, ω) := {v ∈ C 1 (I, R N ) : v(a) = α, v(b) = β, G(v) := 

I 

G(x, v(x), v ′ (x)) dx = ω}. 

Weiterhin existiere ein ˜ψ ∈ C ∞ 0 (I, RN ), so dass δG(u, ˜ψ) ≠ 0. Dann gibt es ein λ ∈ R, so 

dass u eine schwache Extremale von F + λG ist, d.h. 

und es gilt 

δF(u, ϕ) + λδG(u, ϕ) = 0 ∀ϕ ∈ C ∞ 0 (I, R N ), (1.18) 

d [ 

Fp (·, u, u ′ ) + λG p (·, u, u ′ ) ] − [ F z (·, u, u ′ ) + λG z (·, u, u ′ ) ] = 0 auf I. (1.19) 

dx 

˜ψ 

Beweis. Wir definieren ψ := , so dass δG(u, ψ) = 1 wegen der Linearität des Funktionals 

δG(u, .). Desweiteren setzen wir für eine gegebene Funktion ϕ ∈ C0 ∞(I, RN 

δG(u, ˜ψ) 

) 

für ε ∈ (−ε 0 , ε 0 ) und t ∈ (−t 0 , t 0 ), wobei 

0 < ε 0 = ε 0 (ϕ) := 

Φ(ε, t) := F(u + εϕ + tψ), 

Γ(ε, t) := G(u + εϕ + tψ) 

δ 

2‖ϕ‖ C 1 (I,R N ) + 1, 0 < t 0 = t 0 (ψ) := 

δ 

. 

2‖ψ‖ C 1 (I,R N ) 

Dann gilt Γ(0, 0) = ω und Γ t (0, 0) = δG(u, ψ) = 1. Um Γ nur noch als Funktion von 

ε auffassen zu können, verwenden wir den Satz über implizite Funktionen: Danach gibt es


u + εϕ 

u + tψ 

u 

Abbildung 1.3: u wird durch ϕ und ψ gestört. 

ε 1 ∈ (0, ε 0 ], so dass eine Funktion τ = τ(ε) ∈ C 1 ((−ε 1 , +ε 1 )) mit τ(0) = 0 existiert, so dass 

Γ(ε, τ(ε)) = ω für alle ε ∈ (−ε 1 , +ε 1 ). Einerseits folgt daraus durch Differentiation nach ε 

Γ ε (0, 0) + Γ t (0, 0) τ 

} {{ } ε (0) = 0 , also τ ε (0) = −Γ ε (0, 0) = −δG(u, ϕ). 

=1 

Andererseits gilt deswegen 

u + εϕ + τ(ε)ψ ∈ C(α, β, ω) für alle ε ∈ (−ε 1 , ε 1 ). 

Wegen der Stetigkeit von τ findet man ε 2 ∈ (0, ε 1 ], so dass darüberhinaus 

‖u + εϕ + τ(ε)ψ − u‖ C 1 (I,R N ) < δ für alle ε ∈ (−ε 2, ε 2 ). 

Wegen der Minimaleigenschaft von u gilt deshalb nun Φ(0, 0) ≤ Φ(ε, τ(ε)) für alle ε ∈ 

(−ε 2 , ε 2 ), und damit 

0 = d ∣ Φ(ε, τ(ε)) = Φ ε (0, 0) + Φ t (0, 0)τ ε (0) 

dε ε=0 

= δF(u, ϕ) + δF(u, ψ) (−δG(u, ϕ)), 

womit die Behauptung für λ := −δF(u, ψ) bewiesen ist. Nach Korollar 1.11 folgt auch 

(1.19). 

Beispiel 1.9 [Sturm-Liouvillesches Eigenwertproblem] 

Wir betrachten für N = 1 das Variationsproblem 

∫ ( 

) 

F(v) := v ′ 2 (x) + c(x)v 2 (x) dx −→ min! 

I 

(vgl. Beispiel 1.1) mit den Neben- und Randbedingungen 

∫ 

v 2 (x) dx ≡ ω ≠ 0, v(a) = 0 = v(b). (1.20) 

I 

Wir haben also für den Integranden G(x, z, p) = z 2 der isoperimetrischen Nebenbedingung 

mit G p (x, z, p) = 0 und G z (x, z, p) = 2z 

∫ 

∫ 

δG(u, ˜ψ) = G z (x, u(x), u ′ (x)) ˜ψ(x) dx = 2 u(x) ˜ψ(x) dx. 

I 

Wäre dieser Ausdruck gleich Null für alle ˜ψ ∈ C0 ∞ (I), dann erhielte man u ≡ 0 nach 

dem Fundamentallemma der Variationsrechnung, Lemma 1.4, woraus aber sofort G(u) = 

I


0 ≠ ω im Widerspruch zu (1.20) folgen würde. Damit ist die Nichtentartungsbedingung 

aus Proposition 1.19 für dieses Beispiel verifiziert. Die Lagrange-Multiplikatorregel mit 

Gleichung (1.19) ergibt für die Lösung u ∈ C 2 (I) ∩ C 1 (I) die Euler-Lagrange-Gleichung 

∃λ ∈ R : 

d 

dx [2u′ (x)] − [2c(x)u(x) + λ2u(x)] = 0. (ELG 1.9 ) 

Die Lösung u ist also eine Eigenfunktion des Sturm-Liouville-Operators 

zum reellen Eigenwert −λ. 

− d2 

dx 2 + c 

Beispiel 1.10 [Klassisches isoperimetrisches Problem] 

Wir untersuchen das Problem, diejenige einfache geschlossene Kurve γ ⊂ R 2 mit vorgegebener 

Länge zu finden, welche den maximalen Flächeninhalt einschließt. Wir gehen dabei von 

der Annahme aus, dass eine C 2 -Kurve γ als Lösung existiert. Außerdem begnügen wir uns 

mit dem anschaulich leicht verständlichen graphischen Argument, dass die gesuchte Kurve 

konvex sein muss, da sonst der Flächeninhalt nicht maximal sein kann. Tatsächlich kann 

man im Falle einer nicht konvexen Kurve “Einbuchtungen” an einer zugehörigen Stützgeraden 

nach außen reflektieren und erhält somit eine Kurve gleicher Länge, die einen strikt 

größeren Flächeninhalt einschließt, siehe Abbildung 1.4. Zur Vereinfachung der folgenden 

Argumentation gehen wir davon aus, dass das von γ eingeschlossene Gebiet sogar strikt 

konvex ist. 

Abbildung 1.4: Die Kurve muss konvex sein. 

In Vorwegnahme des Ergebnisses gilt es nun zu beweisen, dass jedes Teilstück von γ ein 

Kreisbogen ist; daraus folgt dann auch sofort, dass die Kurve insgesamt eine Kreislinie ist, 

da vorausgesetzt war, dass γ von der Klasse C 2 ist. 

Sei ein Teilstück von γ nun als Graph einer Funktion u ∈ C 2 ([a, b]) parametrisiert. Dann 

löst u zu gegebenem w ∈ C 2 ([a, b]) das folgende Variationsproblem: 

in der Klasse 

A(v) := 

∫ b 

a 

(v(x) − w(x)) dx −→ max! 

C(P 1 , P 2 , l) := {v ∈ C 2 ([a, b]) : (a, v(a)) = P 1 , (b, v(b)) = P 2 , v > w, 

∫ b √ 

L(v) := 1 + v ′2 (x) dx = ! l}, 

a 

wobei wegen der strikten Konvexität des von γ eingeschlossenen Gebietes eine Gerade ausgeschlossen 

wird, also l > |P 1 − P 2 |. Die Lösung u erfüllt folglich 

A(u) = 

sup A(.). 

C(P 1 ,P 2 ,l)


P 2 

u 

P 1 

u + εϕ 

b 

a 

w 

Abbildung 1.5: Zur Berechnung des Flächeninhalts. 

Um nun die Lagrange-Multiplikator-Regel aus Proposition 1.19 anwenden zu können, 

muss noch nachgeprüft werden, ob ein ˜ψ ∈ C ∞ 0 ((a, b)) existiert, so dass δL(u, ˜ψ) ≠ 0. Da 

nun L(u) = l > |P 1 − P 2 | gilt, ist mit Sicherheit u ′ ≠ konst., und damit verschwindet auch 

die Krümmung κ von u nicht identisch. Nach der Rechnung in Beispiel 1.3 wissen wir, dass 

δL(u, ˜ψ) = 

∫ b 

a 

u ′ (x) 

√ ˜ψ ′ (x) dx = − 

1 + u ′2 (x) 

∫ b 

a 

κ(x) ˜ψ(x) dx. 

Wäre nun dieser Ausdruck gleich Null für alle ˜ψ ∈ C0 ∞ ((a, b)), dann hätten wir nach dem 

Fundamentallemma, Lemma 1.4, für dieses Teilstück von γ eine verschwindende Krümmung 

im Widerspruch zur Annahme der strikten Konvexität. 

Auch ohne die geometrische Deutung als Krümmung kann man mit Lemma 1.4 aus der Widerspruchsannahme 

δL(u, ˜ψ) = 0 für alle ψ ∈ C0 

∞ ((a, b)) schließen 

( 

d 

dx 

u ′ 

√ 

1 + u ′2 

) 

= 0 auf (a, b), 

woraus folgt, dass 

u ′ 

√ ≡ konst. =: c 

1 + u ′2 

auf (a, b). 

Falls c = 0 folgt sofort u ′ ≡ 0 im Widerspruch zur Annahme, dass u keine Gerade beschreibt. Da u ′ ≢ 0 gilt 

c ∈ (−1, 1), und damit wird folgende Umformung nach Quadrierung möglich: 

u ′2 = (1 + u ′2 )c 2 

⇒ u ′2 (1 − c 2 ) = c 2 

⇒ u ′2 = 

c 2 

1 − c 2 , 

was aber wieder bedeuten würde, dass u ′ ≡ konst. wiederum im Widerspruch zur Annahme. 

Da u ∈ C 2 ([a, b]), gilt nach (1.19) in Proposition 1.19 die Euler-Lagrange-Gleichung 

d 

dx [A p(x, u(x), u ′ (x)) + λL p (x, u(x), u ′ (x))] − [A z (x, u(x), u ′ (x)) + λL z (x, u(x), u ′ (x))] = 0,


wobei 

A(x, z, p) = z − w(x) und L(x, z, p) = √ 1 + p 2 . 

Es ist 

A z (x, u(x), u ′ (x)) = 1, 

A p (x, u(x), u ′ (x)) = 0, 

L z (x, u(x), u ′ (x)) = 0, 

L p (x, u(x), u ′ (x)) = √ 

u ′ (x) 

, 

1 + u ′2 (x) 

also 

⎛ 

⎞ 

λ d ⎝ 

u′ (x) 

√ ⎠ − 1 = 0 ⇔ κ = 1 dx 

1 + u ′2 λ = konst., (ELG 1.10) 

(x) 

und da ein Geradenstück ausgeschlossen wurde, erlaubt die konstante Krümmung nur noch 

den Schluss auf einen Kreisbogen 3 . 

P 1 

P 2 

a 

b 

Abbildung 1.6: Die hängende Kette. 

Beispiel 1.11 [Die hängende Kette] 

Eine idealisierte Kette fester Länge wird an ihren Enden in einem homogenen Schwerefeld 

an zwei Punkten P 1 und P 2 aufgehängt. Dabei krümmt sie sich derart, dass ihre potentielle 

Energie minimiert wird. Die potentielle Energie ist direkt proportional zur Lage des Schwerpunktes. 

Der Schwerpunkt einer parametrisierten Kurve t ↦→ γ(t) ∈ R N , t ∈ [t 1 , t 2 ], wird 

durch den Vektor 

∫ ∫ t2 

γ(s) ds t 

∫ := 1 

ds 

∫ t2 

t 1 

γ(t)| ˙γ(t)| dt 

| ˙γ(t)| dt 

beschrieben. Es ist vernünftig anzunehmen, dass die Lösungskurve als Graph einer skalaren 

Funktion v : [a, b] → R darstellbar ist. Für eine solche Kurve hat der Ortsvektor des 

3 Im R 3 hingegen könnte man auch noch Spiralen konstanter Krümmung erhalten, vgl. z.B. [15, Übung 

1, S. 19].


Schwerpunktes die folgende Form: 

( ) 

∫ b x √1 

a + v 

v(x) 

′2 (x) dx 

√ . 

1 + v ′2 (x) dx 

∫ b 

a 

Da die hängende Kette mit gegebener Länge sich so ausrichtet, dass ihr Schwerpunkt möglichst 

tief liegt, lautet das zugehörige Minimierungsproblem 

∫ √ 

F(v) := v(x) 1 + v ′2 (x) dx −→ min! 

in der Klasse 

I 

C(P 1 , P 2 , ω) := {v ∈ C 1 (I) : (a, v(a)) = P 1 , (b, v(b)) = P 2 , L(v) = ω} mit ω > |P 1 − P 2 |. 

Wie im vorherigen Beispiel gibt es wegen L(v) > |P 1 − P 2 | eine Funktion ˜ψ ∈ C0 ∞ 

δL(u, ˜ψ) ≠ 0, so dass nach Proposition 1.19 ein λ ∈ R existiert mit 

(I) mit 

δF(u, ϕ) + λδL(u, ϕ) = 0 

∀ϕ ∈ C ∞ 0 (I). 

Für einen Minimierer u ∈ C 2 (I) lautet dann die Euler-Lagrange-Gleichung 

⎡ 

⎤ 

d 

⎣ u(x)u′ (x) u ′ (x) 

√ + λ√ 

⎦ − 

dx 

1 + u ′2 (x) 1 + u ′2 (x) 

√ 

1 + u ′2 (x) = 0. (ELG 1.11 ) 

Andererseits ist ũ := u + λ eine schwache Extremale des Funktionals F , also 

[ 

] 

d ũ(x)ũ ′ (x) 

√ − √ 1 + ũ 

dx 

′2 (x) = 0 

1 + ũ ′2 (x) 

⇒ 

ũ ′2 (x) 

√ 

1 + ũ ′2 (x) + ũ(x) d 

dx 

⇒ ũ(x)κ(x) √ 1 + ũ ′2 (x) = 1 

⇒ κ(x) ≠ 0 ∀x ∈ I. 

[ 

ũ ′ (x) 

√ 

1 + ũ ′2 (x) 

] 

− √ 1 + ũ ′2 (x) = 0 

Letzteres impliziert, dass ũ und damit auch u selbst entweder strikt konvex oder strikt 

konkav ist. 

Anstatt diese Differentialgleichung zu lösen, machen wir mit Proposition 1.13 von der 

Erhaltungsgröße φ(z, p) = pF p (z, p) − F (z, p) ≡ h ∈ R Gebrauch: 

φ(ũ(x), ũ ′ (x)) = 

ũ(x)ũ′2 (x) 

√ 

1 + ũ ′2 (x) − ũ(x)√ 1 + ũ ′2 (x) = h. 

Dies können wir umformen zu 

dũ(x) 

dx 

= 1 h 

√ũ2 (x) − h 2


und dann nach Separation der Variablen integrieren: 

x − a = 

∫ x 

a 

∫ ũ(x) 

dy = h 

ũ(a) 

(ũ 

dũ 

√ũ2 − h = h arcosh 2 h 

) ∣∣∣ ũ(x) 

ũ(a) . 

Die hängende Kette wird also durch einen hyperbolischen Cosinus beschrieben, wobei die 

Integrationskonstanten noch aus den Randdaten zu bestimmen sind; denn direktes Nachrechnen 

ergibt, dass diese Lösung des Erhaltungssatzes auch Lösung der Euler-Lagrange- 

Gleichung ist. 

Beispiel 1.12 [Rotationssymmetrische Minimalflächen] 

Wie im vorigen Beispiel betrachten wir eine Kurve, die als Graph über der x-Achse zwei 

Punkte P 1 und P 2 miteinander verbindet. Durch Drehung um die x-Achse erzeugt diese Kurve 

als Profilkurve eine Rotationsfläche S. Nun suchen wir die Rotationsfläche mit minimalem 

Flächeninhalt, d.h. wir betrachten das Variationsproblem 

∫ √ 

|S| = 2π |v(x)| 1 + v ′2 (x) dx −→ min! 

I 

in der Klasse 

C(P 1 , P 2 , +) := {v ∈ C 1 (I) : (a, v(a)) = P 1 , (b, v(b)) = P 2 , v > 0}. 

Die Berechnung der Lösung erfolgt wie im Beispiel 1.11 und führt zu der Kettenlinie als 

Profilkurve. Die durch sie aufgespannte Fläche heißt Katenoid. Ob das Katenoid tatsächlich 

die flächenminimierende Lösung liefert, hängt wesentlich vom Abstand der Randkurven, also 

der Kreislinien zentriert in a und b ab, siehe Bild 1.7. Tatsächlich hat die zweikomponentige 

(und damit gewissermaßen entartete) Lösung bestehend aus den beiden durch die Randkreise 

berandeten Kreisscheiben oberhalb eines bestimmten Abstands |a − b| einen geringeren 

Flächeninhalt 4 . Unter der Voraussetzung, dass das Infimum über alle zusammenhängenden 

Lösungen strikt kleiner ist als das Infimum über die mehrkomponentigen (entarteten) 

Flächen (Douglas-Bedingung), kann man die Existenz mehrfach zusammenhängender 

flächenminimierender Lösungen beweisen, und damit das Douglas-Problem oder verallgemeinerte 

Plateau-Problem lösen; siehe z.B. Courant’s Buch [10, Ch. IV], Nitsche [51, 

S. 520ff], oder [13, Ch. 11]. Für allgemeinere parametrische Variationsprobleme (vgl. Kapitel 

7.3) ist das Douglas-Problem in [38] und [34] behandelt worden. 

Beispiel 1.13 [Elastischer Faden] 

Wir betrachten einen Faden, der an den Stellen x = −1 und x = +1 festgehalten wird. 

Seine elastische Energie wächst in einer ersten groben Näherung proportional zu seiner 

Längenänderung relativ zur geraden Ruhelage und wird beschrieben durch 5 

E 1 (v) := k 

∫ +1 

−1 

v ′ 2 (x) dx, 

4 Fügt man dem Flächenfunktional allerdings noch einen Term höherer Ordnung zur Modellierung von 

elastischen Membraneigenschaften hinzu, etwa das Willmorefunktional , dann gibt es über einen weit 

größeren Bereich zusammenhängende Energieminimierer, siehe [59] 

5 Diese erste Näherung ergibt sich aus der Taylorentwicklung √ 1 + u ′2 − 1 = (1/2)u ′2 + O(|u ′ | 3 ) des 

Integranden des nichtparametrischen Längenfunktionals.

P 1 

P 2 


a 

b 

Abbildung 1.7: u erzeugt die Rotationsfläche. 

wobei k eine positive (Material-)Konstante ist. Unter Berücksichtigung eines homogenen 

Gravitationsfeldes mit der ebenfalls positiven Konstanten g lautet nun das Variationsproblem 

zur Beschreibung des Fadens: 

E 1 (v) + g 

∫ +1 

−1 

v(x) dx −→ min! 

in der Klasse 

C := {v ∈ C 1 ([−1, +1]) : v(−1) = 0 = v(+1)}. 

Zur Lösung machen wir die Annahme, dass ein u ∈ C 2 ([−1, +1]) existiert, welches das 

Funktional in der gegebenen Klasse minimiert. Die Euler-Lagrange-Gleichung lautet 

dann 

−2ku ′′ (x) + g = 0, (ELG 1.13 ) 

was sofort integriert werden kann: 

−2ku(x) = − 1 2 gx2 + c 1 x + c 2 . 

Um die Integrationskonstanten zu bestimmen, verwendet man die Randbedingungen, 

0 = −2ku(+1) = − g 2 + c 1 + c 2 

0 = −2ku(−1) = − g 2 − c 1 + c 2 , 

so dass sich c 1 = 0 und c 2 = g 2 

ergibt und die Lösung schließlich lautet 

u(x) = g 

4k (x2 − 1). 

Abschließend sei bemerkt, dass sich das Variationsproblem 

E 1 (u) + gu(0) −→ min! 

mit den bisher entwickelten Methoden nicht lösen läßt. Es beschreibt einen Faden, der 

nicht in einem Schwerefeld hängt, sondern punktförmig in seiner Mitte belastet wird. Die 

(nichtglatte) Lösung lautet u(x) = g 

4k 

(|x| − 1).


Beispiel 1.14 [Elastischer Balken] 

Als letztes klassisches Beispiel betrachten wir einen Balken, der an seinen beiden Enden bei 

x = −1 und x = +1 eingespannt ist. In erster Näherung läßt sich die elastische Energie des 

Balkens durch folgendes Funktional beschreiben 6 : 

E 2 (v) := H 

∫ +1 

−1 

(v ′′ (x)) 2 dx, 

wobei H wieder eine positive (Material-)Konstante ist. Im homogenen Schwerefeld haben 

wir also das Variationsproblem 

in der Klasse 

E 2 (v) + g 

∫ +1 

−1 

v(x) dx −→ min! 

˜C := {v ∈ C 4 ([−1, +1]) : v(−1) = 0 = v(+1), v ′ (−1) = 0 = v ′ (+1)}; 

die zweite Randbedingung bedeutet dabei, dass die Enden des Balkens auch in ihrer Richtung 

fixiert sind. 

Zur Lösung nehmen wir nun an, dass das Funktional einen Minimierer u ∈ C 4 ([−1, +1]) 

hat. Allgemein lauten die Euler-Langrange-Gleichungen für den Fall, dass das Funktional 

auch von der zweiten Ableitung abhängig ist, also mit einem Integranden F = 

F (x, z, p, r), wobei für r die zweiten Ableitungen u ′′ einer Funktion u eingesetzt werden, 

F z (x, u, u ′ , u ′′ ) − 

In unserem Beispiel reduziert sich das zu 

Viermalige Integration liefert 

Nutzt man nun die Randbedingungen 

d 

dx F p(x, u, u ′ , u ′′ ) + 

d2 

dx 2 F r(x, u, u ′ , u ′′ ) = 0. 

g + 2Hu ′′′′ (x) = 0. (ELG 1.14 ) 

2Hu(x) = − g 24 x4 + c 1 

6 x3 + c 2 

2 x2 + c 3 x + c 4 . 

0 = 2Hu ′ (+1) = − g 6 + c 1 

2 + c 2 + c 3 

0 = 2Hu ′ (−1) = g 6 + c 1 

2 − c 2 + c 3 

0 = 2Hu(+1) = − g 24 + c 1 

6 + c 2 

2 + c 3 + c 4 

0 = 2Hu(−1) = − g 24 − c 1 

6 + c 2 

2 − c 3 + c 4 , 

6 Hier ergibt sich die Näherung aus der Linearisierung der Krümmung 

( ) 

u ′ ′ 

u ′′ 

κ = √ = √ ∼ 1 + u 

′2 1 + u 

′2 3 = u ′′ 

für |u ′ | genügend klein.


so kann man die Werte der Integrationskonstanten berechnen, und die Lösung lautet 

u(x) = − 

g 

48H (x2 − 1) 2 . 

Auch hier ist bei einer punktförmig in der Mitte ansetzenden Kraft das zugehörige Variationsproblem 

E 2 (u) + gu(0) −→ min! 

mit den hier entwickelten Methoden nicht zu behandeln; man kann mit anderen Techniken 

zeigen, dass sich als (nichtglatte) Lösung die Funktion 

ergibt. 

u(x) = − 1 

48H (2|x|3 − 3x 2 + 1) 

Allgemein halten geometrische Randwertprobleme höherer Ordnung in höheren Dimensionen 

bis heute viele offene Fragen bereit. 

Den Beweis von Proposition 1.19 hat der Satz über implizite Funktionen merklich vereinfacht. 

Ein Beispiel für ein etwas komplizierteres Problem, bei dem die Aussage dieses 

Satzes nur noch „von Hand“ verfügbar gemacht werden kann, ist die folgende 

Proposition 1.20 [Lagrange-Multiplikator-Ungleichung] 

Seien F, G ∈ C 1 (I × R N × R N ), α, β ∈ R N , ω ∈ R, δ > 0 und K ⊂ R N eine abgeschlossene 

Menge. Es gelte für u ∈ C(α, β, ω, K) 

wobei 

F(u) ≤ F(v) für alle v ∈ C(α, β, ω, K) mit ‖u − v‖ C 1 (I,R N ) < δ, 

C(α, β, ω, K) := {v ∈ C 1 (I, R N ) : v(a) = α, v(b) = β, G(v) = ω, v(I) ⊂ K}. 

Weiterhin gebe es eine Funktion ˜ψ ∈ C ∞ 0 (I, RN ) und t 0 = t 0 ( ˜ψ) > 0, so dass 

δG(u, ˜ψ) ≠ 0 und (u + t ˜ψ)(I) ⊂ K ∀|t| ≤ t 0 . 

Dann existiert ein λ ∈ R, so dass für alle ϕ ∈ C ∞ 0 (I \ supp ˜ψ, R N ), für die es eine Zahl 

ε 0 = ε 0 (ϕ) > 0 mit der Eigenschaft 

gibt, die Ungleichung 

gültig ist. 

(u + εϕ)(I) ⊂ K für alle ε ∈ [0, ε 0 ) (1.21) 

δF(u, ϕ) + λδG(u, ϕ) ≥ 0 (1.22) 

Bemerkung: 

Gibt es sogar zwei Funktionen ˜ψ i ∈ C ∞ 0 (I, RN ), i = 1, 2, mit supp ˜ψ 1 ∩ supp ˜ψ 2 = ∅ und 

δG(u, ˜ψ i ) ≠ 0, sowie (u + t ˜ψ i )(I) ⊂ K für |t| ≪ 1, i = 1, 2, dann kann man (1.22) als 

eine schwache Form einer Differentialungleichung für u für Regularitätsuntersuchungen für 

u heranziehen. Tatsächlich gilt dann für einen beliebigen Punkt x 0 ∈ I, dass x 0 ∉ supp ˜ψ 1 

oder x 0 ∉ supp ˜ψ 2 . Wenn also z.B. x 0 ∉ supp ˜ψ 1 , dann kann man (1.22) für alle ϕ ∈


C ∞ 0 (B δ(x 0 ), R N ) mit δ < dist (x 0 , supp ˜ψ 1 ) nutzen, solange ϕ die zusätzliche Bedingung 

(1.21) erfüllt. Die Differentialungleichung (1.22) für u auf B δ (x 0 ) führt unter Umständen 

auf Regularitätsaussagen nahe x 0 , etwa mit den Methoden aus Kapitel 4. 

Eine Lagrange-Multiplikator-Ungleichung wie in Proposition 1.20 wurde von Hildebrandt 

und Wente [35] bewiesen, um die Regularität von Minimalflächen mit Hindernissen 

unter einer Volumennebenbedingung zu untersuchen. Eine ähnliche Anwendung findet 

man in einer Arbeit von Dierkes, Hildebrandt und Lewy [14] zum Fadenproblem, bei 

dem man Minimalflächen betrachtet, die von einer festen Randkurve einerseits und einem 

frei beweglichen Faden andererseits berandet werden. In [72] und [73] wurde eine verfeinerte 

Version der Lagrange-Multiplikator-Ungleichung verwendet, um die Regularität von minimierenden 

Kurven der Krümmungsenergie ∫ κ 2 ds in vorgegebenen Knotenklassen (=Isotopieklassen) 

zu untersuchen. Dabei tritt eine Ungleichungsbedingung im Variationsproblem 

auf, die den Selbstschnitt von Kurven und damit das Verlassen der gegebenen Knotenklasse 

verhindert. Da das Hindernis in diesem Fall allein durch den Minimierer selbst bestimmt 

wird, hängt die erzielte Regularität von der Art der jeweiligen Berührsituation ab, siehe 

[72],[73] für die Details und die dem folgenden Beweis nachgestellten skizzenhaften Ausführungen. 

Beweis von Proposition 1.20. Für ψ := 

˜ψ 

gilt wegen der Linearität von δG(u, ·) 

δG(u, ˜ψ) 

δG(u, ψ) = 1. 

Sei eine Funktion ϕ ∈ C ∞ 0 (I \ supp ψ, RN ) gegeben. Wir setzen 

Für 

{ 

} 

δ 

t 1 := min t 0 , 

2‖ψ‖ C 1 (I,R N ) 

J 1 := supp ϕ, 

J 2 := supp ψ. 

und die Störungen u ε,t := u + εϕ + tψ hat man 

und ε 1 := min 

{ 

ε 0 , 

} 

δ 

2(‖ϕ‖ C 1 (I,R N ) + 1) 

‖u ε,t − u‖ C 1 (I,R N ) < δ für alle ε ∈ [0, ε 1), |t| < t 1 . (1.23) 

Außerdem gilt wegen der kompakt in I enthaltenen Träger von ϕ und ψ, dass u ε,t (a) = α 

und u ε,t (b) = β für alle ε ∈ [0, ε 1 ) und |t| < t 1 . Desweiteren ist nach den Voraussetzungen 

an u, ϕ und ψ 

u ε,t (I) = u(I \ (J 1 ∪ J 2 )) ∪ (u + εϕ)(J 1 ) ∪ (u + tψ)(J 2 ) ⊂ K ∀ε ∈ [0, ε 1 ), |t| < t 1 . (1.24) 

Wir schreiben 

Φ(ε, t) := F(u ε,t ) = F I\(J1 ∪J 2 )(u ε,t ) + F J1 (u ε,t ) + F J2 (u ε,t ) 

= F I (u) + (F J1 (u + εϕ) − F J1 (u)) + (F J2 (u + tψ) − F J2 (u)) 

=: Φ 0 + Φ 1 (ε) + Φ 2 (t). 

Durch eine analoge Aufspaltung erhalten wir für Γ(ε, t) := G(u ε,t ) 

Γ(ε, t) = Γ 0 + Γ 1 (ε) + Γ 2 (t),


wobei nach Voraussetzung Γ 0 = G(u) = c. Die gewählten Hilfsfunktionen haben folgende 

Eigenschaften, die im weiteren Verlauf des Beweises von Nutzen sein werden: 

Φ 1 : [0, ε 0 ) −→ R , Φ 1 (0) = 0, 

Γ 1 : [0, ε 0 ) −→ R , Γ 1 (0) = 0, 

Φ 2 : (−t 0 , t 0 ) −→ R , Φ 2 (0) = 0, 

Γ 2 : (−t 0 , t 0 ) −→ R , Γ 2 (0) = 0. 

Nach Voraussetzung gilt Φ 1 , Γ 1 ∈ C 1 ([0, ε 0 )), Φ 2 , Γ 2 ∈ C 1 ( (−t 0 , t 0 ) ), und nach Definition 

der ersten Variation gilt 

Γ ′ 2(0) = δG J2 (u, ψ) = δG(u, ψ) = 1. 

Das letzte Gleichheitszeichen folgt aufgrund der speziellen Wahl der Funktion ψ. Weiterhin 

gilt 

Γ 2 (t) = Γ 2 (0) + tΓ ′ 2(0) + o(|t|) = t(1 + η(t)) 

mit einer Funktion η(t) → 0 falls |t| → 0. Sei ρ 0 ∈ (0, t 1 /2) so klein gewählt, dass |η(t)| ≤ 1/2 

für alle |t| < 2ρ 0 , dann gilt 

Γ 2 (t) ≥ 1 2 t für alle t ∈ [0, 2ρ 0) und Γ 2 (t) ≤ − 1 2 |t| für alle t ∈ (−2ρ 0, 0], 

woraus mit der Stetigkeit von Γ 2 und dem Zwischenwertsatz folgt: 

[−ϱ, +ϱ] ⊂ Γ 2 ([−2ϱ, +2ϱ]) ∀0 ≤ ϱ ≤ ϱ 0 . (1.25) 

Da Γ 1 stetig ist und Γ 1 (0) = 0, existiert ein ε 2 ∈ (0, ε 1 ), so dass 

|Γ 1 (ε)| < ϱ 0 ∀ ε ∈ [0, ε 2 ). 

Für alle ε ∈ [0, ε 2 ) gibt es nun nach (1.25) ein τ = τ(ε) ∈ [−2Γ 1 (ε), 2Γ 1 (ε)] mit 

τ(ε)(1 + η(τ(ε))) = Γ 2 (τ(ε)) ! = −Γ 1 (ε), (1.26) 

und |τ(ε)| ≤ 2|Γ 1 (ε)| < 2ϱ 0 < t 1 . Es ist zu bemerken, dass aufgrund der Stetigkeit von Γ 1 

auf [0, ε 0 ) und der Identität Γ 1 (0) = 0 gilt: lim ε→0 |τ(ε)| = 0 = τ(0). Wir beachten ferner, 

dass mit (1.26) 

τ ε (0) := lim 

ε↘0 

τ(ε) − τ(0) 

ε 

−Γ 1 (ε) 

= lim 

ε→0 (1 + η(τ(ε)))ε 

= lim 

ε→0 

( 

Γ1 (0) − Γ 1 (ε) 

ε 

) ( 

· 

1 

1 + η(τ(ε)) 

= −Γ ′ 1(0). (1.27) 

) 

Für den weiteren Beweis gilt nun 

Γ(ε, τ(ε)) = Γ 0 + Γ 1 (ε) + Γ 2 (τ(ε)), 

wobei die beiden letzten Terme sich nach (1.26) gerade gegenseitig aufheben. Es folgt 

G(u ε,τ(ε) ) = G(u + εϕ + τ(ε)ψ) = Γ(ε, τ(ε)) = Γ 0 = c für alle ε ∈ [0, ε 2 ).


Abbildung 1.8: Ein verknoteter elastischer Draht. 

Also gilt unter Berücksichtigung von (1.23) und (1.24) 

u ε,τ(ε) ∈ C(α, β, δ, c, K) für alle ε ∈ [0, ε 2 ), 

und wir nutzen die Minimalität von u in C(α, β, δ, c, K), um zu schließen, dass 

so dass 

0 ≤ 

Φ(ε, τ(ε)) − Φ(0, 0) 

ε 

Mit (1.27) ergibt sich 

Φ(ε, τ(ε)) ≥ Φ(0, 0) für alle ε ∈ (0, ε 2 ), 

= Φ 1(ε) + Φ 2 (τ(ε)) 

ε 

0 ≤ Φ ′ 1(0) − Φ ′ 2(0)Γ ′ 1(0). 

−→ Φ ′ 1(0) + Φ ′ 2(0)τ ε (0) für ε → 0. 

Wir setzen nun λ := −Φ ′ 2 (0) = −δF J 2 

(u, ψ) = −δF(u, ψ) und erhalten mit Γ ′ 1 (0) = 

δG J1 (u, ϕ) = δG(u, ϕ) und Φ ′ 1 (0) = δF J 1 

(u, ϕ) = δF(u, ϕ) schließlich 

0 ≤ δF(u, ϕ) + λδG(u, ϕ). 

Für eine Anwendung der Lagrange-Multiplikator-Ungleichung aber auch zur Motivation 

der in Kapitel 3 beschriebenen Existenztheorie in Sobolevklassen skizzieren wir im 

Folgenden eine Anwendung aus der Geometrischen Knotentheorie, vgl. [72], [73]. 

Beispiel 1.15 [Elastische Knoten im R 3 ] 

Zur Beschreibung von verknoteten elastischen Drähten (siehe Abbildung 1.8) liegt es nahe, 

die Drähte durch geschlossene Raumkurven u : S 1 ∼ = R/(2πZ) → R 3 zu beschreiben. Zur 

Modellierung dieses Problems aus der Elastizitätstheorie kann man in erster Näherung die 

Krümmungsenergie (vgl. auch Beispiel 1.14) 

∫ 

E(u) := 

γ 

κ 2 ds := 

∫ 2π 

0 

|u ′ (x) ∧ u ′′ (x)| 2 

|u ′ (x)| 6 · |u ′ (x)| dx


auf 

C 2 (S 1 , R 3 ) := {u ∈ C 2 ([0, 2π], R 3 ) : u(0) = u(2π), u ′ (0) = u ′ (2π), 

u ′′ (0) = u ′′ (2π), u ′ (x) ≠ 0 für alle x ∈ [0, 2π]}, 

also auf der Klasse der C 2 -regulären, geschlossenen Raumkurven minimieren. Man beachte, 

dass sich im Falle einer nach der Bogenlänge parametrisierten Kurve u die Beziehung |u ′ | ≡ 1 

ergibt, was das Krümmungsfunktional wegen u ′ (x) ⊥ u ′′ (x) für alle x ∈ S 1 auf die einfache 

Gestalt 

E(u) = 

∫ 2π 

0 

|u ′′ (x)| 2 dx 

reduziert. Im Vorgriff auf das Kapitel 3 über die Existenztheorie ist bereits jetzt zu bemerken, 

dass es gar nicht klar ist, dass Grenzwerte von Minimalfolgen {u i } ⊂ C 2 (S 1 , R 3 ) wieder in 

dieser Klasse liegen. Man weicht deshalb bei der exakten Behandlung dieses Problems auf die 

in Kapitel 2 vorgestellten Sobolevräume aus, die für Existenzprobleme dieser Art geeignet 

sind. 

Zur Modellierung der fixierten Knotenklasse benutzen wir den Begriff der Isotopie, den 

wir hier nur grob beschreiben: zwei stetige doppelpunktfreie Kurven w 1 , w 2 sind zueinander 

isotop (w 1 ≃ w 2 ), wenn sie sich zusammen mit offenen Umgebungen stetig und überschneidungsfrei, 

d.h. mit einer stetigen und auf offenen Umgebungen definierten Homöomorphismenschar 

ineinander überführen lassen. Die fixierte Knotenklasse (oder Isotopieklasse) ω n 

beschreiben wir mit Hilfe eines Vertreters in unserer Situation als 

C n := {u ∈ C 2 (S 1 , R 3 ) : ∃w ∈ ω n : u ≃ w}. 

Um Selbstüberschneidung bei der Minimierung der elastischen Energie E auf C n zu vermeiden, 

betrachten wir zu gegebener “Dicke” θ > 0 die Klasse der selbstschnittfreien Kurven 

[ 

C θ := {u ∈ C 2 (S 1 , R 3 ) : |u(x) − u(y)| ≥ min θ, 1 ∫ y 

|u ′ (t)| dt, 1 ∫ x 

] 

|u ′ (t)| dt }. 

2 x 2 y 

Man beachte, dass man in einer solchen Selbsthindernisbedingung irgendwie garantieren 

muss, dass sich die Kurven in stetiger Weise schließen. In der Definition von C θ geschieht dies 

durch eine Art Bogen-Sehnen-Bedingung, bei der man den euklidischen Abstand |u(x)−u(y)| 

unterhalb der ad hoc gewählten Schwelle θ > 0 mit der Länge des kürzeren der beiden 

Kurvenbögen vergleicht, die die Punkte u(x) und u(y) verbinden 7 . 

Auch mit dieser quantitativen Vorschrift einer Mindestdicke ist die Minimierungsaufgabe 

für E auf C n ∩ C θ noch nicht wohlgestellt, wie man sich durch die Skalierung u ↦→ Ru 

klarmacht: Es gilt 

E(Ru) = 1 E(u) → 0 für R → ∞, 

R 

das heißt durch einfaches Hochskalieren einer festen Kurve kann man die Krümmungsenergie 

auf Null drücken. Außerdem ist E noch translationsinvariant, man muss also dafür sorgen, 

dass man beispielsweise einen Raumpunkt fixiert: u(0) = 0. Zur Beseitigung des Skalierungsproblems 

betrachtet man beispielsweise eine isoperimetrische Nebenbedingung, indem 

7 Dies ist nur eine von mittlerweile zahlreichen Möglichkeiten, Kurven eine positive Dicke zuzuschreiben, 

siehe z.B. auch [27] oder [67] und die dort zitierte Literatur.


man die Länge der Vergleichskurven festlegt: Für eine Konstante l > 0 setzen wir 

C l := {u ∈ C 2 (S 1 , R 3 ) : L(u) := 

und betrachten nun das Minimierungsproblem 8 

Dann gilt der folgende Existenzsatz: 

∫ 2π 

0 

|u ′ (x)| dx = l, u(0) = 0} 

E(·) → min! in C(n, θ, l) := C n ∩ C θ ∩ C l . 

Satz 1.21 [Existenz minimierender Knoten [73]] 

Sei θ < l/8. Falls C(n, θ, l) ≠ ∅, dann 8 existiert u θ ∈ C(n, θ, l) mit |u ′ θ 

(x)| = l/(2π) für alle 

x ∈ S 1 und 

E(u θ ) = inf E(·). 

C(n,θ,l) 

Die Existenz eines minimierenden Knotens in der Sobolevklasse W 2,2 wirft die grundsätzliche 

Frage nach der wirklichen Regularität dieses ausgezeichneten Vertreters der gegebenen 

Knotenklasse auf. Die Regularitätstheorie ist also eine natürliche Konsequenz aus der 

Tatsache, dass man für die Sicherung der Existenz von Minimierern auf größere Funktionenräume 

ausweichen musste. Systematisch untersuchen wir die Regularitätsfragen für eindimensionale 

Variationsprobleme im vierten Kapitel. Hier möchten wir lediglich skizzieren, 

an welcher Stelle der Regularitätsuntersuchungen im vorliegenden Beispiel die Lagrange- 

Multiplikator-Ungleichung, Proposition 1.20, nützlich ist. Die Schwierigkeit ist, dass man 

a priori keine Information über mögliche Selbstberührungen des Minimierers hat. Gerade 

die Geometrie der Berührsituation beeinflusst aber die Menge der zur Verfügung stehenden 

äußeren Variationen. Grob gesprochen gilt: Je mehr Variationsrichtungen zur Verfügung stehen, 

desto mehr Informationen über die Güte des Minimierers lassen sich extrahieren und 

desto höhere Regularität ist zu erwarten. 

Man kann unter anderem folgenden Regularitätssatz zeigen: 

Satz 1.22 [Regularität an isolierten Berührstellen [73]] 

Der minimierende Knoten u θ ∈ C(n, θ, l) besitzt eine beschränkte Krümmung in der Nähe 

isolierter einfacher Berührstellen, falls θ genügend klein ist. 

Beweisidee: Schritt I. Man zeigt mit Hilfe einer Taylorentwicklung, dass für genügend 

kleine vorgeschriebene Mindestdicke θ die Gleichheit in der Hindernisbedingung zu einer 

vereinfachten geometrischen Situation führt: Wenn Selbstberührung stattfindet, ist das ein 

globales Phänomen, d.h. Kurvenpunkte mit gewissem Abstand auf der Kurve haben minimalen 

euklidischen Abstand θ. Gleichheit in der Hindernisbedingung durch auf der Kurve 

eng beieinander liegende Punkte, also lokale Berührphänomene lassen sich ausschließen. 

Lemma 1.23 

Sei C(n, θ 1 , l) ≠ ∅ für ein θ 1 > 0. Dann gibt es eine Zahl θ 0 ∈ (0, θ 1 ], so dass für alle 

θ ∈ (0, θ 0 ] und die zugehörigen Minimierer u θ Folgendes gilt: Falls 

{ 

|u θ (x) − u θ (y)| = min θ, 1 ∫ y 

|u ′ θ 

2 

(t)| dt, 1 ∫ x 

} 

|u ′ θ 

2 

(t)| dt , 

x 

8 Tatsächlich ersetzt man in der Definition von C(n, θ, l) die Klasse C 2 (S 1 , R 3 ) durch den Sobolevraum 

W 2,2 (S 1 , R 3 ) := {u ∈ W 2,2 ((0, 2π), R 3 ) : u(0) = u(2π), u ′ (0) = u ′ (2π), u ′ (x) ≠ 0 für alle x ∈ [0, 2π]}, vgl. 

Kapitel 2. 

y


dann gilt |u θ (x) − u θ (y)| = θ. 

Isolierte Berührpunkte x ∈ S 1 sind damit dadurch charakterisiert, dass es genau einen 

Parameter y ∈ S 1 \ {x} und eine Zahl ρ > 0 gibt mit |u θ (x) − u θ (y)| = θ und 

|u θ (ξ) − u θ (η)| > θ für alle ξ ∈ B ρ (x) \ {x}, η ≠ ξ. (1.28) 

Schritt II. Nun kann man annehmen, dass der Kurvenpunkt u θ (x) nicht auf einem geraden 

Kurvenstück von u θ liegt; denn sonst wäre u θ nahe x sowieso linear und damit analytisch. 

Dann gilt das für die Anwendung der Lagrange-Multiplikator-Ungleichung wichtige 

Lemma 1.24 [Nichtentartung der isoperimetrischen Nebenbedingung [73]] 

Es gibt eine Funktion ˜ψ ∈ C ∞ 0 (I \ {x}, R3 ) und τ 0 > 0, so dass 

(i) u θ + τ ˜ψ ∈ C θ ∩ C n für alle |τ| < τ 0 , 

(ii) δL(u θ , ˜ψ) ≠ 0. 

Tatsächlich ist die Ungleichungsnebenbedingung, die die Klasse C θ definiert, nach (1.28) 

in der Nähe aber außerhalb des isolierten Berührparameters x mit einer echten Ungleichung 

erfüllt, so dass man den Minimierer u θ dort durch den additiven Term τ ˜ψ für |τ| ≪ 1 stören 

kann, ohne diese Ungleichungsbedingung zu verletzen. Auch das Verbleiben in derselben 

Knotenklasse C n wird durch hinreichend kleine Störungen aus Stetigkeitsgründen nicht gefährdet, 

womit man die Aussage (i) einsieht. Für die Aussage (ii) bemerkt man ähnlich wie 

in Beispiel 1.10, dass das Verschwinden von δL(u, ψ) für alle ψ mit Träger nahe x dazu 

führen würde, dass x auf einem Geradenstück läge. Das war aber bereits ausgeschlossen. 

Schritt III. Durch geeignete Drehung des Koordinatensystems kann man nun annehmen, 

dass 

u θ (x) − u θ (y) = θe 3 und u ′ θ (x) = e 1, (1.29) 

wobei e i der i-te Einheitsvektor im R 3 ist, so dass wir eine einfache geometrische Berührsituation 

vorliegen haben. Variationen in die positive e 3 -Richtung sind nun nahe x erlaubt, 

was uns mit Proposition 1.20 auf die Differentialungleichung 

δE(u θ , ϕ) + λδL(u θ , ϕ) ≥ 0 

für alle 

⎛ 

ϕ := ⎝ 

0 

0 

η 

⎞ 

⎠ , η ≥ 0, η ∈ C ∞ 0 (B ρ (x) \ supp ψ) 

führt. Das liefert eine Differentialungleichung für die dritte Komponente u 3 θ 

, die man mit 

Hilfe der Distributionstheorie von L. Schwartz [60] in eine Differentialgleichung für u 3 θ 

umschreiben kann, vgl. mit Abschnitt 5.1 unserer Vorlesung über das Hindernisproblem. 

Daraus lässt sich zunächst ableiten, dass zumindest u 3 θ 

eine höhere Regularität besitzt. Im 

Anschluss macht man sich klar, dass auch Störungen der Form 

⎛ 

ϕ := ⎝ 

0 

ση 

η 

⎞ 

⎠ , η ≥ 0, η ∈ C ∞ 0 (B ρ (x) \ supp ψ)

1.4. HAMILTONSCHE GLEICHUNGEN 35 

für hinreichend kleine Konstanten σ > 0 zulässig sind, was zu einer Differentialungleichung 

für (u 2 θ , u3 θ ) führt. Nutzt man die schon bewiesene höhere Regularität von u3 θ 

aus, dann kann 

man beweisen, dass auch u 2 θ so regulär wie u3 θ ist. 

Schritt IV. Für die verbleibende Komponente u 1 θ 

muss man nun nur noch die aus dem 

Existenzsatz 1.21 gewonnene konstante Geschwindigkeit |u ′ θ 

| = l/(2π) quadrieren und differenzieren, 

was auf die Identität 

u 1 ′ 

θ u 

1′′ θ = l/(2π) − u 

2′ θ u 

2′′ θ − u 

3′ θ u 

3′′ 

θ 

führt. Die schon bewiesene höhere Regularität von u 2 θ und u3 θ 

liefert wegen 

u 1 θ′ 

(x) = 1 ⇒ u 1 ′ 

θ ≥ 1/2 nahe x 

(1.29) 

die gewünschte höhere Regularität von u 1 θ und damit von u θ nahe x. 

Bemerkung: 

Der letzte Schluss ist typisch für die Regularitätstheorie auch bei höherdimensionalen Variationsproblemen: 

Wenn eine letzte Komponente der Lösung eine noch unbekannte Regularität 

aufweist und die zugehörige Variationsrichtung nicht zulässig ist, dann kann man 

mit Hilfe einer geeigneten ausgezeichneten Parametrisierung eine weitere i.A. nichtlineare 

Differentialgleichung zur Hilfe nehmen. Im Gegensatz zum Fall von Kurven, wo die Parametrisierung 

mit konstanter Geschwindigkeit diese Differentialgleichung liefert, kann im Fall 

zweidimensionaler Flächen eine konforme Parametrisierung diese letzte Information liefern, 

siehe z.B. [13, Chapter 7.3]. Auch bei Regularitätsuntersuchungen für elliptische partielle 

Differentialgleichungen in der Nähe des Randes tritt das Phänomen auf, dass man für die 

Normalkomponente der Lösung am Rand keine Information hat. Hat man aber für alle Tangentialkomponenten 

genügend Regularität, kann man die verbleibende Normalkomponente 

in der zugrunde liegenden Differentialgleichung isolieren und so deren Regularität beweisen, 

vgl. z.B. [25, Theorem 6.19]. 

1.4 Hamiltonsche Gleichungen 

Als Alternative zu den Euler-Lagrange-Gleichungen kann mit Hilfe der Legendre- 

Transformation zu den Hamiltonschen Gleichungen übergehen. Das werden wir im Folgenden 

kurz ausführen. Wesentlich ausführlicher wird die Hamilton-Formulierung z.B. in 

[24, Vol. II] behandelt. 

Definition 1.25 [Hamilton-Funktion] 

Für F ∈ C k (R × R N × R N ), k ≥ 2, definiert 

die Hamilton-Funktion zu F . 

H(x, z, ζ) := sup 

p∈R N {ζ · p − F (x, z, p)} 

Man bezeichnet dieses mit Hilfe von F gebildete Supremum auch mit F ∗ (x, z, ζ), die 

man auch die Legendre-Transformierte von F (x, z, ·) nennt (bezüglich der dritten Variablen 

von F bei festgehaltenen Parametern x und z). Ziel dieses Abschnitts ist es, die


Äquivalenz zwischen den Euler-Lagrange-Gleichungen und den sogenannten Hamilton- 

Gleichungen herzuleiten: 

{ 

u ′ (x) = H ζ (x, u(x), v(x)) 

v ′ (HAM) 

(x) = −H z (x, u(x), v(x)) für alle x ∈ I. 

Zunächst erkennt man, dass dieses System von Differentialgleichungen wiederum die Euler- 

Lagrange-Gleichungen des Wirkungsfunktionals 

∫ 

J(u, v) := [u ′ (x)v(x) − H(x, u(x), v(x))] dx 

I 

sind. Tatsächlich ergibt sich (unter geeigneten Regularitätsannahmen an u, v und H) für 

beliebige Funktionen ϕ, ψ ∈ C ∞ 0 (I, RN ) die Rechnung 

δJ((u, v), (ϕ, ψ)) = d J(u + εϕ, v + εψ) 

dε | ε=0 

= d (∫ 

) 

[(u ′ + εϕ ′ )(v + εψ) − H(x, u + εϕ, v + εψ)] dx 

dε | ε=0 I 

= d (∫ 

) 

[u ′ v + εϕ ′ v + εu ′ ψ − H(x, u + εϕ, v + εψ)] dx + O(ε 2 ) 

dε | ε=0 I 

∫ 

= [vϕ ′ + u ′ ψ − H z (x, u, v)ϕ − H ζ (x, u, v)ψ] dx 

∫I 

= [(−ϕ)(v ′ + H z (x, u, v)) + ψ(u ′ − H ζ (x, u, v))] dx, 

I 

woraus mit dem Fundamentallemma, Lemma 1.4, die Gültigkeit von (HAM) folgt. 

Das folgende technische Resultat enthält die wesentlichen analytischen Grundlagen. 

Lemma 1.26 

Sei k ∈ N \ {1} und F ∈ C k (R × R N × R N ) erfülle die Bedingungen 

(i) 

N∑ 

F p i p j(x, z, p)ξi ξ j > 0 für alle ξ ∈ R N \ {0}, (x, z, p) ∈ R × R N × R N . 

i,j=1 

(ii) Es gibt stetige Funktionen g : R × R N 

lim t→∞ 

ω(t) 

t 

= ∞, so dass 

→ R und ω : R → R mit der Eigenschaft 

F (x, z, p) ≥ ω(|p|) + g(x, z) für alle (x, z, p) ∈ R × R N × R N . 

Dann ist H ∈ C k (R × R N × R N ) und erfüllt die Gleichungen 

(H1) 

H x (x, z, ζ) = −F x (x, z, H ζ (x, z, ζ)), 

H z (x, z, ζ) = −F z (x, z, H ζ (x, z, ζ)),


(H2) 

H(x, z, ζ) = ζH ζ (x, z, ζ) − F (x, z, H ζ (x, z, ζ)), 

(H3) ζ = F p (x, z, p) ⇐⇒ p = H ζ (x, z, ζ). 

Die Aussagen dieses Lemmas bleiben im Wesentlichen auch noch richtig, wenn man statt 

(i) nur verlangt, dass die Zuordnung p ↦→ F (x, z, p) für alle (x, z) ∈ R × R N strikt konvex 

ist. Dann kann man allerdings nicht erwarten, dass die Hamilton-Funktion H glatter ist 

als C 1 , wie das folgende Beispiel zeigt. 

Beispiel 1.16 

Es sei N = 1. Man kann zeigen, dass die zu F (x, z, p) = F (p) := 1 4 |p|4 gehörige Hamilton- 

Funktion H(x, z, ζ) := 3 4 |ζ|4/3 ist, und diese Funktion ist nicht von der Klasse C 2 (R). 

Lemma 1.26 bleibt zudem noch in Teilen richtig, wenn auch das superlineare Wachstum 

von F in p, also die Bedingung (ii) verletzt ist. Allerdings könnte die Hamilton-Funktion 

dann auch unendliche Werte annehmen: 

Beispiel 1.17 

Die Funktion F (x, z, p) = F (p) := √ 1 + p 2 ist strikt konvex und besitzt die Funktion 

{ 

− √ 1 − ζ 

H(x, z, ζ) = H(ζ) := 

2 für |ζ| ≤ 1 

+∞ für |ζ| > 1 

als Hamilton-Funktion. 

Beweis von Lemma 1.26. Wir unterteilen den Beweis in mehrere Schritte. 

Behauptung A. Zu jedem (x, z, ζ) ∈ R × R N × R N existiert ein Vektor p = p(x, z, ζ) ∈ R N 

mit 

H(x, z, ζ) = ζ · p(x, z, ζ) − F (x, z, p(x, z, ζ)). (1.30) 

Denn wäre diese Behauptung falsch, dann hätte man für jedes noch so groß gewählte 

R > 0 die Ungleichung 

H(x, z, ζ) > 

max {ζ · p − F (x, z, p)}. (1.31) 

p∈B R (0) 

Wenn nun zusätzlich H(x, z, ζ) < ∞, dann existiert demnach eine folge {p m } ⊂ R N mit 

|p m | −−−−→ m→∞ ∞, so dass 

ζ · 0 − F (x, z, 0) < H(x, z, ζ) ≤ 1 m + ζ · p m − F (x, z, p m ) 

(ii) 

≤ 

1 

m + |p m| ζ · p m 

|p m | 

[ ζ · pm 

|p m | 

m→∞ 

−−−−→ −∞, 

= 1 m + |p m| 

− ω(|p m |) − g(x, z) 

− ω(|p ] 

m|) 

− g(x, z) 

|p m | 

im Widerspruch zur Voraussetzung, dass −F (x, z, 0) ∈ R. Wenn aber H(x, z, ζ) ≮ ∞ 

und (1.31) gilt, dann gibt es auch eine Folge {p m } ⊂ R N m→∞ 

mit |p m | −−−−→ ∞, so dass


−F (x, z, 0) < ζ · p m − F (x, z, p m ), was mit der gleichen Schlussweise wie gerade denselben 

Widerspruch erzeugt, womit Behauptung A bewiesen ist. 

Da der Vektor p(x, z, ζ) ∈ R N das Supremum in der Definition 1.25 von H realisiert gilt 

zudem 

0 = d dp |p=p(x,z,ζ) 

{ζ · p − F (x, z, p)} = ζ − F p (x, z, p(x, z, ζ)). (1.32) 

Behauptung B. Für alle R > 0 existiert eine Zahl R 1 > 0, so dass für den Behauptung A 

gefundenen Vektor p(x, z, ζ) ∈ R N folgende Abschätzung gilt: 

|p(x, z, ζ)| ≤ R 1 für alle (x, z, ζ) ∈ B R (0) × B R (0) × B R (0) ⊂ R × R N × R N . 

Tatsächlich existieren zu vorgegebenem R > 0 zwei Zahlen R 2 , R 3 > 0, so dass 

{ ω(|p|) 

|p| 

≥ R + 1 für alle |p| ≥ R 2 vgl. Voraussetzung (ii) 

F (x, z, 0) − g(x, z) ≤ R 3 für alle (x, z) ∈ B R (0) × B R (0) ⊂ R × R N , 

(1.33) 

da F und g stetig sind. 

Für R 1 := max{R 2 , R 3 } und (x, z, ζ) ∈ B R (0) × B R (0) × B R (0) ⊂ R × R N × R N gilt 

demnach für ¯p := p(x, z, ζ) wegen Voraussetzung (ii) und (1.30) 

ω(|¯p|)+g(x, z)−|ζ||¯p| ≤ F (x, z, ¯p)−ζ·¯p = −H(x, z, ζ) ≤ −{ζ·0−F (x, z, 0)} = F (x, z, 0). 

(ii) 

(1.30) 

Daraus folgt wegen (1.33) für diese (x, z, ζ) 

R 3 

≥ F (x, z, 0) − g(x, z) ≥ ω(|¯p|) − |ζ||¯p| 

(1.33) 

[ ω(|¯p|) 

= |¯p| 

|¯p| 

[ ω(|¯p|) 

≥ 

|¯p| 

|¯p| 

] 

− |ζ| 

] 

− R 

≥ |¯p|, 

(1.33) 

falls |¯p| ≥ R 2 . Falls nicht, dann gilt aber |¯p| < R 2 ≤ R 1 nach Definition. Also folgt in jedem 

Falle |¯p| ≤ R 1 , was die Behauptung B beweist. 

Behauptung C. H ∈ C 0 (R × R N × R N ). 

In der Tat existieren zu Tripeln (x, z, ζ) und (x ′ , z ′ , ζ ′ ) eine Zahl R > 0, so dass 

(x, z, ζ), (x ′ , z ′ , ζ ′ ) ∈ B R (0) × B R (0) × B R (0) ⊂ R × R N × R N , 

und Vektoren p = p(x, z, ζ), p ′ = p(x ′ , z ′ , ζ ′ ) ∈ R N , so dass nach Behauptung A 

H(x, z, ζ) = ζ · p − F (x, z, p) und H(x ′ , z ′ , ζ ′ ) = ζ ′ · p ′ − F (x ′ , z ′ , p ′ ). 

Folglich gelten die Abschätzungen 

H(x, z, ζ) − H(x ′ , z ′ , ζ ′ ) = ζ · p − F (x, z, p) − H(x ′ , z ′ , ζ ′ ) 

≤ 

ζ · p − F (x, z, p) − (ζ ′ · p − F (x ′ , z ′ , p)) 

= (ζ − ζ ′ ) · p + F (x ′ , z ′ , p) − F (x, z, p)


und 

H(x ′ , z ′ , ζ ′ ) − H(x, z, ζ) = ζ ′ · p ′ − F (x ′ , z ′ , p ′ ) − H(x, z, ζ) 

so dass durch Kombination dieser beiden Ungleichungen 

|H(x, z, ζ) − H(x ′ , z ′ , ζ ′ )| ≤ |ζ − ζ ′ | max{|p|, |p ′ |} 

≤ ζ ′ · p ′ − F (x ′ , z ′ , p ′ ) − (ζ · p ′ − F (x, z, p ′ )) 

= (ζ ′ − ζ) · p ′ + F (x, z, p ′ ) − F (x ′ , z ′ , p ′ ), 

+ max{|F (x ′ , z ′ , p) − F (x, z, p)|, |F (x, z, p ′ ) − F (x ′ , z ′ , p ′ )|} 

≤ R 1 |ζ − ζ ′ | + ‖∇F ‖ C 

Beh.B 

0 (B R (0)×B R (0)×B R1 

(|x − x ′ | 2 + |z − z ′ | 2) 1/2 

(0),R 1+2N ) 

folgen. Für die Gültigkeit der letzten Ungleichung betrachte man beispielsweise 

|F (x ′ , z ′ , p) − F (x, z, p)| = 

∫ 1 

d 

[ 

] 

∣ F (tx ′ + (1 − t)x, tz ′ + (1 − t)z, p) 

dt∣ 

0 dt } {{ } 

=:η(t) 

≤ 

= 

∫ 1 

0 

∫ 1 

0 

|F x (η(t))(x ′ − x) + F z (η(t)) · (z ′ − z)| dt 

⎛ 

x ′ ⎞ 

− x 

∣ 

∣∇F (η(t)) · ⎝ z ′ − z ⎠ ∣ ∣ dt 

0 

⎛ 

≤ ‖∇F ‖ ⎝ 

C 0 (B R (0)×B R (0)×B R1 (0),R 1+2N ) 

∣ 

x ′ − x 

z ′ − z 

0 

⎞ 

⎠ 

∣ , 

da η(t) = (tx ′ + (1 − t)x, tz ′ + (1 − t)z, p) ∈ B R (0) × B R (0) × B R1 (0) für alle t ∈ (0, 1) nach 

Behauptung B. 

Behauptung D. Die Zuordnung (x, z, ζ) ↦→ p(x, z, ζ), wobei der Vektor p := p(x, z, ζ) ∈ R N 

die Beziehung (1.30) erfüllt, ist eindeutig. 

Gäbe es neben p noch einen weiteren von p verschiedenen Vektor ¯p ∈ R N , der auch die 

Beziehung (1.30) und damit auch (1.32) erfüllt, also so dass 

dann folgt mit 

0 = F pi (x, z, p) − F pi (x, z, ¯p) 

= 

= 

∫ 1 

0 

∫ 1 

0 

ζ = 

(1.32) 

F p (x, z, p) = 

(1.32) 

F p (x, z, ¯p), 

d 

dt F p i 

(x, z, tp + (1 − t)¯p) dt 

N∑ 

F pi p j 

(x, z, tp + (1 − t)¯p)(p j − ¯p j ) dt 

j=1 

für alle i = 1, . . . , N 

der Widerspruch wegen der positiven Definitheit von F pp (Voraussetzung (i)): 

0 < 

∫ 1 

0 

N∑ 

(p i − ¯p i )F pi p j 

(x, z, tp + (1 − t)¯p)(p j − ¯p j ) dt = 0. 

j=1


Damit ist Behauptung D gezeigt. 

Behauptung E. Die Zuordnung (x, z, ζ) ↦→ p = p(x, z, ζ) ist lokal Lipschitzstetig 9 . 

Zunächst ist nach Behauptung B die Funktion p = p(x, z, ζ) lokal beschränkt: 

Für alle R > 0 existiert R 1 = R 1 (R) > 0, so dass ‖p‖ L ∞ (B R (0)×B R (0)×B R (0),R N ) ≤ R 1 . 

Da F ∈ C 2 (R×R N ×R N ) ist F p lokal Lipschitzstetig, d.h. es gibt eine Zahl γ 1 = γ 1 (R) > 0, 

so dass 

) 

|F p (x, z, p) − F p (x ′ , z ′ , p ′ )| ≤ γ 1 

(|x − x ′ | + |z − z ′ | + |p − p ′ | (1.34) 

für alle (x, z, p), (x ′ , z ′ , p ′ ) ∈ B R (0) × B R (0) × B R1 (0). Andererseits gibt es wegen Voraussetzung 

(i) eine Konstante γ 2 > 0, so dass für den kleinsten Eigenwert λ(x, z, p) der 

symmetrischen, positiv definiten Matrix F pp (x, z, p) gilt 10 

min λ(x, z, p) ≥ γ 2 , 

B R (0)×B R (0)×B R1 (0) 

so dass nach der Rechnung zur Behauptung D für Vektoren p ≠ ¯p ∈ R N folgt 

|p − ¯p||F p (x, z, p) − F p (x, z, ¯p)| ≥ 

und damit 

= 

N∑ ( 

) 

(p i − ¯p i ) F pi (x, z, p) − F pi (x, z, ¯p) 

i=1 

∫ 1 

0 

N∑ 

(p i − ¯p i )F pi p j 

(x, z, tp + (1 − t)¯p)(p j − ¯p j ) dt 

i=1 

≥ γ 2 |p − ¯p| 2 , 

|F p (x, z, p) − F p (x, z, ¯p)| ≥ γ 2 |p − ¯p| für alle (x, z) ∈ B R (0) × B R (0), p, ¯p ∈ B R1 (0), 

(1.35) 

da diese Ungleichung für p = ¯p trivialerweise auch erfüllt ist. 

Nun schließen wir für 

(x, z, ζ), (x ′ , z ′ , ζ ′ ) ∈ B R (0) × B R (0) × B R (0) 

und zugehörige Vektoren p := p(x, z, ζ), p ′ := p(x ′ , z ′ , ζ ′ ) ∈ B R1 (0) mit (1.35), (1.32) und 

(1.34) wie folgt: 

γ 2 |p − p ′ | 

≤ 

(1.35) 

| F p (x, z, p) −F p (x, z, p ′ )| 

} {{ } 

= ζ (1.32) 

= |ζ − ζ ′ + F p (x ′ , z ′ , p ′ ) −F p (x, z, p ′ )| 

} {{ } 

= 0 (1.32) 

≤ 

(1.34) 

|ζ − ζ ′ | + γ 1 

(|x − x ′ | + |z − z ′ | + |p ′ − p ′ | 

} {{ } 

=0 

) 

. 

9 Dieser Teil ist für den Beweis des Lemmas nicht relevant, zeigt aber explizite Lipschitzabschätzungen 

10 Wäre inf BR (0)×B R (0)×B R1 (0) 

λ(x, z, p) = 0, dann würde dieses Infimum wegen der Stetigkeit des kleinsten 

Eigenwertes λ(·, ·, ·) auf der kompakten Menge B R(0) × B R(0) × B R1 (0) realisiert – im Widerspruch zur 

Voraussetzung (i).


Damit ist die Zuordnung (x, z, ζ) ↦→ p(x, z, ζ) lokal Lipschitzstetig. 

Behauptung F. Die Zuordnung (x, z, ζ) ↦→ p(x, z, ζ) ist von der Klasse C 1 (R × R N × 

R N , R N ). 

Tatsächlich ist die Gleichung 

0 = G(x, z, ζ, p) := ζ − F p (x, z, p) 

nach der Identität (1.32) erfüllt für den Vektor p = p(x, z, ζ), und zusätzlich gilt 

det(D p G(x, z, ζ, p)) = (−1) N det F pp (x, z, p) 

≠ 0, 

Vor.(i) 

so dass nach dem Satz über implizite Funktionen zu einem beliebigen Punkt (x, z, ζ) ∈ 

R × R N × R N eine offene Umgebung V = V x,z,ζ ⊂ R × R N × R N existiert, die (x, z, ζ) 

enthält, und es gibt eine eindeutig bestimmte Funktion P ∈ C 1 (V, R N ), so dass 

0 = G(x ′ , z ′ , ζ ′ , P (x ′ , z ′ , ζ ′ )) für alle (x ′ , z ′ , ζ ′ ) ∈ V. 

Damit stimmt die bereits global definierte Funktion p(·, ·, ·) auf dieser Umgebung V mit 

der C 1 -Funktion P überein, woraus folgt, dass p(·, ·, ·) ∈ C 1 (R × R N × R N ), da die stetige 

Differenzierbarkeit eine lokale Eigenschaft ist und da (x, z, ζ) beliebig in R × R N × R N 

gewählt werden kann. Damit ist Behauptung F bewiesen. 

Abschließend bemerken wir, dass aufgrund der Regularitätsvoraussetzung an F in Kombination 

mit Behauptung F die Zuordnungen 

(x, z, ζ) ↦→ p(x, z, ζ) 

(x, z, ζ) ↦→ F x (x, z, p(x, z, ζ)) 

(x, z, ζ) ↦→ F z (x, z, p(x, z, ζ)) 

(x, z, ζ) ↦→ F p (x, z, p(x, z, ζ)) 

sämtlich von der Klasse C 1 auf R × R N × R N sind, so dass mit (1.30) direkt H ∈ C 1 (R × 

R N × R N ) folgt. Durch Differentiation erhält man mit Hilfe von (1.32) 

und 

sowie 

H x (x, z, ζ) = ζ · p x (x, z, ζ) − F x (x, z, p(x, z, ζ)) − F p (x, z, p(x, z, ζ)) · p x (x, z, ζ) 

[ 

= ζ − F p (x, z, p(x, z, ζ)) 

} {{ } 

= 

· p x (x, z, ζ) − F x (x, z, p(x, z, ζ)), (1.36) 

(1.32) 0 ] 

H z (x, z, ζ) = ζ · p z (x, z, ζ) − F z (x, z, p(x, z, ζ)) − F p (x, z, p(x, z, ζ)) · p z (x, z, ζ) 

[ 

= ζ − F p (x, z, p(x, z, ζ)) 

} {{ } 

= 

· p z (x, z, ζ) − F z (x, z, p(x, z, ζ)), (1.37) 

(1.32) 0 ] 

H ζ (x, z, ζ) = p(x, z, ζ) + ζ · p ζ (x, z, ζ) − F p (x, z, p(x, z, ζ)) · p ζ (x, z, ζ) 

[ 

= p(x, z, ζ) + ζ − F p (x, z, p(x, z, ζ)) 

} {{ } 

= 

· p ζ (x, z, ζ) (1.38) 

(1.32) 0 ] 

= p(x, z, ζ), (1.39)


woraus sofort H ∈ C 2 (R × R N × R N ) folgt, falls k ≥ 2. Allgemeiner erhält man über 

den Impliziten Funktionensatz im Beweis von Behauptung F aus der Voraussetzung F ∈ 

C k (R×R N × R N ) die Regularität p(·, ·, ·) ∈ C k−1 (R×R N × R N ), so dass die Zuordnungen 

(x, z, ζ) ↦→ p(x, z, ζ) 

(x, z, ζ) ↦→ F x (x, z, p(x, z, ζ)) 

(x, z, ζ) ↦→ F z (x, z, p(x, z, ζ)) 

(x, z, ζ) ↦→ F p (x, z, p(x, z, ζ)) 

sämtlich von der Klasse C k−1 auf R × R N × R N sind, so dass man aus (1.30) zunächst 

H ∈ C k−1 (R × R N × R N ) gewinnt, um dann aus (1.36)–(1.39) zu schließen, dass H ∈ 

C k (R × R N × R N ). 

Mit (1.39) folgen die Behauptungen (H1) aus (1.36) und (1.37), (H2) aus (1.30). Zum 

Beweis von (H3) bemerken wir, dass jeder Vektor p ∈ R N mit ζ = F p (x, z, p) ein kritischer 

Punkt der Funktion q ↦→ {ζ · q − F (x, z, q)} ist, und damit automatisch ein Maximum dieser 

Funktion, da deren Hessesche durch die negativ definite symmetrische Matrix −F qq (x, z, q) 

gegeben ist. Wir hatten aber schon in Behauptung D gesehen, dass es genau ein Maximum 

gibt, so dass dieser kritische Punkt p mit p(x, z, ζ) übereinstimmen muss. Damit folgt p = 

H ζ (x, z, ζ) aus (1.39) und damit eine Richtung in der behaupteten Äquivalenz in (H3). 

Nimmt man umgekehrt an, dass p = H ζ (x, z, ζ), dann schließt man in folgender Weise: 

Wir wissen nach Behauptung A, dass p(x, z, ζ) ∈ R N existiert, so dass 

H(x, z, ζ) = ζ · p(x, z, ζ) − F (x, z, p(x, z, ζ)), 

und für diesen Vektor p(x, z, ζ) haben wir die Gleichung (1.39) hergeleitet, aus der dann 

sofort p = p(x, z, ζ) folgt. Andererseits gilt für p(x, z, ζ) die Gleichung (1.32), und damit 

auch für p, was die Behauptung für die Rückrichtung in (H3) ist. 

Damit ist das Lemma vollständig bewiesen. 

Satz 1.27 [Hamilton-Gleichungen] 

Sei F ∈ C 2 (R × R N × R N ) und H die zugehörige Hamilton-Funktion. Weiterhin erfülle 

F die Voraussetzungen 

(i) 

N∑ 

F p i p j(x, z, p)ξi ξ j > 0 für alle ξ ∈ R N \ {0}, (x, z, p) ∈ R × R N × R N . 

i,j=1 

(ii) Es gibt stetige Funktionen g : R × R N 

lim t→∞ 

ω(t) 

t 

= ∞, so dass 

→ R und ω : R → R mit der Eigenschaft 

F (x, z, p) ≥ ω(|p|) + g(x, z) für alle (x, z, p) ∈ R × R N × R N . 

Dann gilt für Funktionen u, v ∈ C 1 (I, R N ) mit 

{ 

u ′ (x) = H ζ (x, u(x), v(x)) 

v ′ (x) = −H z (x, u(x), v(x)) für alle x ∈ I. 

(HAM)


die höhere Regularität u, v ∈ C 2 (I, R N ), und u erfüllt die Euler-Lagrange-Gleichung 

d 

[ 

] 

F p (x, u(x), u ′ (x)) = F z (x, u(x), u ′ (x)) für alle x ∈ I. (ELG) 

dx 

Falls umgekehrt u ∈ C 2 (I, R N ) die Gleichung (ELG) auf I löst, dann lösen u, v das 

Hamilton-System (HAM) auf I, wenn 

v(x) := F p (x, u(x), u ′ (x)), x ∈ I, 

gesetzt wird, und v ist von der Klasse C 2 (I, R N ). 

Beweis. Falls u, v die Gleichungen (HAM) auf I erfüllen, dann folgt aus der ersten Gleichung 

in (HAM) bereits, dass u ′ mit einer stetig differenzierbaren Funktion übereinstimmt, da 

H ∈ C 2 (R × R N × R N ) nach Lemma 1.26. Also ist u ∈ C 2 (I, R N ). Aus der zweiten 

Gleichung folgt analog, dass v ∈ C 2 (I, R N ). Nach (H3) und (H1) aus Lemma 1.26 gilt 

u ′ (x) = 

(HAM) H ζ(x, u(x), v(x)) ⇐⇒ 

(H3) 

v(x) = F p (x, u(x), u ′ (x)) für alle x ∈ I. 

Daraus folgt durch Differentiation 

d 

[ 

] 

F p (x, u(x), u ′ (x)) = v ′ (x) = 

dx 

(HAM) 

= 

(H1) 

−H z (x, u(x), v(x)) 

F z (x, u(x), H ζ (x, u(x), v(x)) ), 

} {{ } 

=u ′ (x) 

was (ELG) beweist. 

Andererseits folgt aus v(x) = F p (x, u(x), u ′ (x)) nach (H3) die Beziehung u ′ (x) = 

H ζ (x, u(x), v(x)) für alle x ∈ I, also damit die erste Gleichung in (HAM). Weiterhin ist 

wegen u ∈ C 2 (I, R N ) und H ∈ C 2 (R×R N × R N ) die Funktion v von der Klasse C 1 (I, R N ) 

und Differentiation ergibt unter Ausnutzung von (ELG) und (H1) 

v ′ (x) = d [ 

] 

F p (x, u(x), u ′ (x)) 

dx 

= 

(ELG) 

= 

1.Gl.von(HAM) 

= 

(H1) 

F z (x, u(x), u ′ (x)) 

F z (x, u(x), H ζ (x, u(x), v(x))) 

−H z (x, u(x), v(x)) für alle x ∈ I, 

womit (HAM) vollständig bewiesen ist. Aus dieser letzten Gleichung lässt sich auch direkt 

ablesen, dass v ′ überall auf I mit einer C 1 -Funktion übereinstimmt, woraus v ∈ C 2 (I, R N ) 

folgt. 

Beispiel 1.18 

Für N = 1, m > 0, I = (a, b) ⊂ R mit L 1 (I) < ∞ sei g ∈ C 2 (R), und wir betrachten (vgl. 

Beispiel 1.6) die Funktion F ∈ C 2 (R × R × R) gegeben durch 

F (x, z, p) := m 2 p2 − g(x)z 

für (x, z, p) ∈ R × R × R


mit partiellen Ableitungen F p (x, z, p) = mp und F z (x, z, p) = −g(x) und F pp (x, z, p) = m > 

0. Damit erfüllt F die Voraussetzungen (i) und (ii) von Satz 1.27. Die Euler-Lagrange- 

Gleichung ELG ist in diesem Beispiel die Newtonsche Bewegungsgleichung 

mu ′′ (x) = −g(x) für alle x ∈ I. (ELG 1.8 ) 

Die Hamilton-Funktion H von F lässt sich wie folgt umschreiben: 

wobei 

H(x, z, ζ) = sup{ζp − F (x, z, p)} = sup{ζp − m 

p∈R 

p∈R 2 p2 + g(x)z} 

0 = d dp |p=p ∗ 

{ζp − m 2 p2 + g(x)z} 

= ζ − mp ∗ , 

woraus p ∗ = ζ/m folgt. Einsetzen von p ∗ in (1.40) ergibt 

H(x, z, ζ) = ζ · 1 

m ζ − m ( 1 

) 2 

2 m ζ + g(x)z 

( 1 

= 

m − m 2 · 1 

) 

m 2 ζ 2 + g(x)z 

= 1 

2m ζ2 + g(x)z, 

= ζp ∗ − m 2 (p∗ ) 2 + g(x)z, (1.40) 

und damit H ζ (x, z, ζ) = 1 m ζ und H z(x, z, ζ) = g(x). Also folgt aus Satz 1.27 das Hamilton- 

System { 

u ′ (x) = H ζ (x, u(x), v(x)) = 1 m v(x) 

v ′ (HAM 1.8 ) 

(x) = −H z (x, u(x), v(x)) = −g(x) 

für die Impulsvariable 

v(x) := F p (x, u(x), u ′ (x)) = mu ′ (x). 

Beispiel 1.19 

Für N = 1, q > 1 und 1 q + 1 q ′ = 1, also q ′ = q 

q−1 und mit einer Funktion g ∈ C2 (R × R) 

betrachte die Funktion F ∈ C 1 (R × R × R) gegeben durch 

mit partiellen Ableitungen 

F (x, z, p) := 1 q |p|q − g(x, z) 

F p (x, z, p) = |p| q−2 p und F z (x, z, p) = −g z (x, z). 

Damit ist zwar Lemma 1.26 nicht unmittelbar anwendbar, trotzdem kann man die zugehörige 

Hamiltonfunktion H ermitteln (siehe Übungsaufgabe), und es ergibt sich die C 1 -Funktion 

H(x, z, ζ) := 1 q ′ |ζ|q′ + g(x, z)


mit partiellen Ableitungen 

H ζ (x, z, ζ) = |ζ| q′ −2 ζ und H z (x, z, ζ) = g z (x, z). 

Als Euler-Lagrange-Gleichung erhählt man 

d 

[ 

] 

|u ′ (x)| q−2 u ′ (x) = −g z (x, u(x)), (ELG 1.19 ) 

dx 

und eine Argumentation 11 wie in Satz 1.27 liefert das Hamilton-System 

{ 

u ′ (x) = H ζ (x, u(x), v(x)) = |v(x)| q′ −2 v(x) 

v ′ (x) 

= −H z (x, u(x), v(x)) = −g z (x, u(x)). 

(HAM 1.19 ) 

Beispiel 1.20 

Betrachte F = F (p) ∈ C 2 (R) mit F ′′ (p) > 0 für alle p ∈ R (oder zumindest sei F strikt 

konvex) mit superlinearem Wachstum: 

F (p) 

lim = +∞, 

|p|→∞ |p| 

womit die Voraussetzungen des Satzes 1.27 erfüllt sind. Die zugehörige Euler-Lagrange- 

Gleichung lautet 

d 

[ ] 

F p (u ′ (x)) = 0, (ELG 1.20 ) 

dx 

woraus die Existenz einer Konstanten c 1 ∈ R folgt, so dass 

Die Hamilton-Funktion 

F p (u ′ (x)) = c 1 für alle x ∈ I. (1.41) 

H(x, z, ζ) = H(ζ) = sup{ζp − F (p)} 

p∈R 

hat die partiellen Ableitungen H ζ (ζ) = H ′ (ζ) und H z (ζ) = 0, womit das Hamilton-System 

folgende Gestalt nach Satz 1.27 hat: 

{ 

u ′ (x) = H ζ (x, u(x), v(x)) = H ′ (v(x)) 

v ′ (HAM 1.20 ) 

(x) = −H z (x, u(x), v(x)) = −H z (v(x)) = 0. 

Aus der zweiten Hamilton-Gleichung folgt sofort, dass v(x) konstant auf I ist. Diese Konstante 

ist hier aber wegen der Definition von v (siehe Satz 1.27) bereits durch (1.41) festgelegt: 

v(x) := F p (u ′ (x)) = c 1 für alle x ∈ I. 

Damit impliziert aber die erste Gleichung in (HAM 1.20 ) u ′ (x) = H ′ (c 1 ) und folglich 

u(x) = H ′ (c 1 )x + c 2 

für eine Konstante c 2 ∈ R. Diese Lösung beschreibt also eine gleichförmige lineare Bewegung, 

und der Impuls v ist konstant. 

11 Satz 1.27 ist nicht unmittelbar anwendbar, da F nicht genügend glatt ist und Voraussetzung (i) nicht 

erfüllbar ist, wenn q ∈ (1, 2).


Beispiel 1.21 

Wir wollen nun einen direkten Bezug zu dem Erhaltungssatz Proposition 1.13 herstellen. 

Sei dazu N = 1, F (x, z, p) = F (z, p) ∈ C 2 (R × R), und F erfülle die Voraussetzungen von 

Satz 1.27. Die Euler-Lagrange-Gleichung lautet 

Andererseits gilt für die Hamilton-Funktion 

d 

[ 

] 

F p (u(x), u ′ (x)) = F z (u(x), u ′ (x)). (ELG 1.21 ) 

dx 

H(x, z, ζ) = H(z, ζ) = sup{ζp − F (z, p)} = ζp ∗ − F (z, p ∗ ) 

p∈R 

mit ζ = F p (z, p ∗ ) (vgl. Lemma 1.26) nach Satz 1.27 das Hamilton-System 

{ 

u ′ (x) = H ζ (u(x), v(x)) 

v ′ (x) 

= −H z (u(x), v(x)) 

(HAM 1.21 ) 

für v(x) := F p (u(x), u ′ (x)), so dass 

d 

[ 

] 

H(u(x), v(x)) 

dx 

= H z (u(x), v(x))u ′ (x) + H ζ (u(x), v(x))v ′ (x) 

= 

(HAM 1.21 ) 

−v ′ (x)u ′ (x) + u ′ (x)v ′ (x) = 0 für alle x ∈ I. 

Folglich ist H eine Erhaltungsgröße entlang der Lösungen (u, v) von (HAM 1.21 ). Dies ist 

allerdings keine Erweiterung des klassischen Erhaltungssatzes, Proposition 1.13; denn nach 

(H2) in Lemma 1.26 gilt für F = F (z, p) 

H(u(x), v(x)) = 

(H2) 

= 

(HAM 1.21 ) 

v(x)H ζ (u(x), v(x)) − F (u(x), H ζ (u(x), v(x)) 

v(x)u ′ (x) − F (u(x), u ′ (x)) 

= 

Def.von v F p(u(x), u ′ (x))u ′ (x) − F (u(x), u ′ (x)) ≡ Φ(u(x), u ′ (x)) für alle x ∈ I. 

Mit anderen Worten, falls F = F (z, p) die Voraussetzungen 12 von Satz 1.27 erfüllt, dann ist 

die Hamilton-Funktion H entlang der Lösungen (u, v) des Hamilton-Systems (HAM 1.21 ) 

identisch mit der klassischen Erhaltungsgröße Φ(z, p) = pF p (z, p) − F (z, p) entlang der 

Lösung u der Euler-Lagrange-Gleichung (ELG 1.21 ). 

12 Man beachte, dass die Voraussetzungen des Satzes 1.27 insbesondere wegen der Konvexitätsforderung 

stärker sind als die von Proposition 1.13.

Kapitel 2 

Sobolevräume 

Zur Motivation dieses Kapitels erinnern wir an das in Kapitel 1 beschriebene Beispiel 1.15 

der elastischen Knoten im R 3 . Dort hatten wir angemerkt, dass es für den Existenzbeweis 

zu Satz 1.21 nicht ausreicht, sich auf den Raum C 2 (S 1 , R 3 ) der geschlossenen, regulären 

C 2 -Kurven zu beschränken. Vielmehr ist hierfür der weiter unten definierte Sobolevraum 

W 2,2 nützlich. 

Außerdem wurde schon vorher in verschiedenen Beispielen deutlich, dass die Räume 

der klassisch differenzierbaren Funktionen häufig zu klein sind, um Existenz zu beweisen. 

Tatsächlich kann man in manchen Fällen sogar die Nichtexistenz von klassischen Lösungen 

nachweisen. 

Modellhaft wollen wir mit dem Ansatz der direkten Methode für die Existenztheorie 

aufzeigen, wo man mit klassischen Funktionenräumen auf Probleme stößt. Wir betrachten 

dazu für N = 1 die Dirichlet-Energie 

D(u) := 1 ∫ 

|u ′ (x)| 2 dx, 

2 

die wir für gegebene Konstanten α, β ∈ R in der Klasse 

I 

C(α, β) := { v ∈ C 1 (I) : v(a) = α, v(b) = β } 

minimieren möchten. Da C(α, β) ≠ ∅, können wir eine Minimalfolge {u i } i∈N ⊂ C(α, β) mit 

der Eigenschaft 

D(u i ) −→ inf D ∈ [0, ∞) 

i→∞ C(α,β) 

wählen. Folglich existiert ein Index i 0 , so dass für alle i ≥ i 0 

Die zentralen Fragen der direkten Methode sind nun, 

D(u i ) ≤ 2 inf D + 1 < ∞. (2.1) 

C(α,β) 

1. ob eine Teilfolge {u ik } ⊂ {u i } in einer geeigneten Topologie gegen eine Funktion u 

konvergiert, 

2. ob u ∈ C(α, β), und 

3. ob D(u) = lim k→∞ D(u ik ) = inf C(α,β) D(·), oder ob zumindest D(u) ≤ 

lim inf k→∞ D(u ik ) = inf C(α,β) D(·). 

47

48 KAPITEL 2. SOBOLEVRÄUME 

Es ist nicht klar (und i.A. auch falsch), dass (2.1) eine Konvergenz u ik → u in C 1 (I) impliziert. 

Eine möglicherweise weniger restriktive Topologie könnte unter Umständen eine 

schwächere Form der Konvergenz sichern, andererseits aber dazu führen, dass die Grenzfunktion 

u nicht mehr die Randwerte α und β annimmt, oder vielleicht nicht mehr in der 

Klasse C 1 (I) liegt. Zudem könnte es sein, dass das Funktional D in einer anderen Topologie 

keine ausreichenden Stetigkeitseigenschaften mehr hat. 

In vielen Fällen liefern die im Folgenden definierten Sobolevräume genau die Eigenschaften, 

die für die gerade skizzierte direkte Methode der Variationsrechnung relevant sind. 

Da die Theorie der Sobolevfunktionen in vielen Feldern der Mathematik zum Standardrepertoire 

gehören, behandeln wir hier die wichtigsten Sätze und Definitionen für den Fall 

von n-dimensionalen Definitionsbereichen, also offenen Mengen Ω ⊂ R n . An manchen Stellen 

verzichten wir auf den vollständigen Beweis und verweisen auf die einschlägige Literatur 

[1], [2], [18], [19], [25], [43], [75]. Der Beweis des Sobolevschen und Morreyschen 

Einbettungssatzes wird hier nur in der wesentlich vereinfachten Situation eindimensionaler 

Definitionsbereiche geführt, siehe Satz 2.14. 

Definition 2.1 [Sobolevräume] 

Seien k ∈ N, q ∈ [1, ∞], Ω ⊂ R n , Ω offen und Ω ≠ ∅. 

(i) Der Raum W k,q (Ω) der Sobolevfunktionen von der Differenzierbarkeitsordnung k und 

mit Integrabilität q ist definiert durch 

W k,q (Ω) := 

{ 

u ∈ L q (Ω) : ∀ Multiindizes γ mit |γ| ≤ k ∃u γ ∈ L q (Ω) : 

∫ 

∫ 

} 

u(x)∂ γ ϕ(x) dx = (−1) |γ| u γ (x)ϕ(x) dx ∀ϕ ∈ C0 ∞ (Ω) . 

Ω 

von u (zum Mul- 

Die zu u gehörigen Funktionen u γ =: ∂ γ u heißen schwache Ableitungen 

tiindex γ). Weiterhin definieren wir W 0,q (Ω) := L q (Ω). 

Ω 

Bemerkung: 

Eine auf Ω ⊂⊂ R n klassisch differenzierbare Abbildung ist auch in dem entsprechenden 

Sobolevraum zu jeder Integrabilität. Das ist i.A. falsch, wenn man die Differenzierbarkeit 

nur in Ω hat: 

u ∈ C k (Ω), Ω ⊂⊂ R n ⇒ u ∈ W k,q (Ω) für alle q ∈ [1, ∞] 

u ∈ C k (Ω) 

⇏ 

i.A. 

u ∈ W k,q (Ω). 

( ∑ 

(ii) Als Norm auf W k,q (Ω) definieren wir ‖u‖ W k,q (Ω) := ∫ 

1/q 

|γ|≤k Ω |∂γ u| dx) q für q ∈ 

[1, ∞) und ‖u‖ W k,∞ (Ω) := ∑ |γ|≤k esssup x∈Ω|∂ γ u(x)|. 

(iii) Für 1 ≤ q < ∞ definieren wir 

W k,q 

0 (Ω) := C ∞ 0 (Ω)‖·‖ W k,q (Ω) 

. 

Der Ausdruck auf der rechten Seite bezeichnet den Abschluss oder die Vervollständigung des 

Raumes C ∞ 0 (Ω) bezüglich der gerade definierten W k,q -Norm. Diesen Raum nennen wir den 

Sobolevraum der Ordnung k und Integrabilität q mit schwachen Nullrandwerten.

49 

Bemerkung: 

Automatisch ist damit W k,q 

0 (Ω) ⊂ W k,q (Ω) und zu u ∈ W k,q 

0 (Ω) und ε > 0 finden wir eine 

Funktion u ε ∈ C0 ∞(Ω) mit ‖u − u ε ‖ W k,q (Ω) < ε. 

(iv) Für Ω ⊂ A ⊂ Ω definieren wir den lokalen Sobolevraum 

} 

W k,q 

loc 

{u (A) := ∈ L q loc (Ω) : ∀x ∈ A ∃ρ x > 0 : u ∈ W k,q (Ω ∩ B ρx (x)) , 

und speziell: W k,q 

loc (Ω) := { u ∈ L q loc (Ω) : ∀ Ω′ ⊂⊂ Ω : u ∈ W k,q (Ω ′ ) } . 

Proposition 2.2 [Sobolevräume sind Banachräume] 

Der Sobolevraum W k,q (Ω) ist ein Banachraum, d.h. ein vollständiger linearer normierter 

Raum, für alle 1 ≤ q ≤ ∞. Ebenso ist der Raum W k,q 

0 (Ω) ein Banachraum für alle 1 ≤ 

q < ∞. Für q = 2 sind beide Räume Hilberträume mit dem Skalarprodukt 

〈f, g〉 W k,2 (Ω) := 

∑ ∫ 

∂ γ f(x) ∂ γ g(x) dx. 

0≤|γ|≤k 

Beweis. Wir werden zeigen, dass der Raum W k,q (Ω) isometrisch isomorph zu einem abgeschlossenen 

Unterraum von L q (Ω) × · · · × L q (Ω) versehen mit der Norm 

( 

∑ M 

‖(u 1 , u 2 , . . . , u M )‖ L q (Ω)×···×L q (Ω) := ‖u i ‖ q L q (Ω) 

ist. Da das endliche kartesische Produkt der Banachräume L q (Ω) wieder ein Banachraum 

ist und jeder abgeschlossene Unterraum eines Banachraumes selbst ein Banachraum ist 

(siehe z.B. [2, Übung U0.8]), ist auch der Sobolevraum W k,q (Ω) ein Banachraum. Dazu 

betrachtet man die isometrische lineare Abbildung 

Ω 

i=1 

J : W k,q (Ω) → L q (Ω) × · · · × L q (Ω), 

u ↦→ (u γ ) |γ|≤k , 

) 1/q 

deren Bild nach Definition 2.1 

⎧ 

( ) ⎨ 

J W k,q (Ω) = 

⎩ (uγ ) |γ|≤k ∈ L q (Ω) × · · · × L q (Ω) : 

∫ 

Ω 

u ∂ γ ϕ = (−1) |γ| ∫ 

Ω 

u γ ϕ 

⎫ 

⎬ 

∀ϕ ∈ C0 ∞ (Ω), |γ| ≤ k 

⎭ 

ein abgeschlossener Unterraum von L q (Ω) × · · · × L q (Ω) ist. Tatsächlich gilt für u i → u in 

W k,q (Ω) (⇒ u γ i −→ uγ in L q (Ω) für alle |γ| ≤ k) 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

u∂ γ ϕ dx ←− u i ∂ γ ϕ dx = (−1) |γ| u γ 

i→∞ 

i 

ϕ dx −→ u γ ϕ dx für alle ϕ ∈ C0 ∞ (Ω). 

i→∞ 

Ω 

Ω 

Ω 

Für q = 2 prüft man die Skalarprodukteigenschaften direkt nach. Der Raum W k,q 

0 (Ω) ist 

nach Definition ein bezüglich der W k,q (Ω)-Norm abgeschlossener Unterraum von W k,q (Ω) 

und damit wiederum nach [2, Übung U0.8] ebenfalls ein Banachraum. 

Ω


Wenn die schwachen Ableitungen identisch verschwinden, dann ist die Sobolevfunktion 

auf Zusammenhangskomponenten des Definitionsbereichs konstant: 

Lemma 2.3 [∇u ≡ 0 ⇒ u ≡ konst.] 

Falls Ω offen und zusammenhängend ist und für u ∈ W 1,1 

loc 

(Ω) die Identität ∇u = 0 in Ω 

gilt, dann folgt: 

u ≡ konst. L n -fast überall in Ω. 

Bemerkung: 

Speziell können wir durch Abänderung auf einer L n -Nullmenge einen (guten) Repräsentanten 

u ∗ ∈ [u] : u ∗ (x) = konst. für alle x ∈ Ω 

finden. In der Regel können wir ohne Einschränkung mit dem optimalen Repräsentanten u ∗ 

(weiter)rechnen, wobei wir dann der Einfachheit halber die Bezeichnung u wählen. Allerdings 

gibt es Situationen, bei denen die Auswahl ausgezeichneter Sobolev-Repräsentanten mit 

Vorsicht getroffen werden sollte, siehe hierzu z.B. die Arbeit von P. Hajłasz [28] und die 

dort zitierte Literatur. 

Beweis. Für x 0 ∈ Ω wählt man ρ > 0, so dass B 2ρ (x 0 ) ⊂ Ω, und zu 0 < ε < ρ betrachtet 

man den Faltungskern (siehe Definition A.20 im Anhang) ϕ ε (x) := 1 

ε 

ϕ( x n ε ), ϕ ∈ C∞ 0 (B 1(0)). 

Für x ∈ B ρ (x 0 ) gilt dann 

ϕ ε (x − ·) ∈ C ∞ 0 (B ε (x)) ⊂ C ∞ 0 (B 2ρ (x 0 )) ⊂ C ∞ 0 (Ω). 

Für die Faltung u ε := ϕ ε ∗ u = ∫ R n ϕ ε (. − y)u(y) dy berechnen wir für x ∈ B ρ (x 0 ) 

∇ x u ε (x) = 

∫ 

∇ x (ϕ ε (x − y)) u(y) dy 

R n 

∫ 

= − 

∇ y (ϕ ε (x − y)) u(y) dy 

Def.2.1 

= 

∫ 

R n 

ϕ ε (x − y) ∇ y u(y) dy 

R n 

schwache Ableitung 

∫ 

von u 

{ }} { 

= ϕ ε (x − y) ∇ y u(y) 

} {{ } 

Ω 

= 0 

= (∇u) ε (x) = 0. 

Daraus folgt u ε ≡ const ε auf B ρ (x 0 ). Aus Satz A.21 im Anhang wissen wir, dass u ε −→ u 

in L 1 loc (Ω) für ε → 0, speziell also u ε −→ u L n -fast überall in Ω für ε → 0. Damit folgt 

schließlich u ≡ konst. in B ρ (x 0 ), und da Ω zusammenhängend ist auch u ≡ konst. L n -fast 

überall in Ω. 

Zentral für das Arbeiten mit Sobolevfunktionen ist die Tatsache, dass man solche 

Funktionen mit Hilfe von glatten Funktionen approximieren kann. 

Proposition 2.4 [Lokale Approximation von W k,q -Funktionen] 

Seien k ∈ N ∪ {0}, 1 ≤ q < ∞. 

dy

51 

(i) Sei u ∈ W k,q 

loc (Ω) und u ε die Faltung von u wie im Beweis von Lemma 2.3. Dann gilt 

u ε ∈ C ∞ (Ω ′ ) für alle Ω ′ ⊂⊂ Ω und 0 < ε < dist(Ω ′ , ∂Ω) und u ε −→ u in W k,q 

ε→0 

loc (Ω). 

Falls u ∈ W k,q (Ω), dann ist u ε ∈ C ∞ (R n ). 

(ii) Falls u ∈ W k,q (Ω) und supp u ⊂⊂ Ω, dann existiert eine Folge {u m } m∈N ⊂ C0 ∞(Ω), 

so dass u m −→ u in W k,q (Ω) 1 . 

m→∞ 

Falls Ω = R n und u ∈ W k,q (R n ), dann existert eine Folge {u m } m∈N ⊂ C0 ∞(Rn ), so 

dass u m −→ u in W k,q (R n ). (In diesem Sinne ist W k,q (R n ) = W k,q 

m→∞ 

0 (R n ).) 

(iii) Falls Ω = R n + := Rn−1 × (0, ∞) und u ∈ W k,q (R n +), dann existiert eine Folge 

{u m } m∈N ⊂ C0 ∞(Rn−1 × [0, ∞)) : u m −→ u in W k,q (R n 

m→∞ 

+). 

Beweis. Wir werden hier nur die für uns relevanten Teile (i) und (ii) beweisen. 

(i) Da der Faltungskern ϕ ε von der Klasse C ∞ 0 (B ε(0)) ⊂ C ∞ (R n ) ist, muss man für die 

Glattheit von u ε lediglich den Definitionsbereich von u beachten. Für x ∈ Ω ′ ⊂⊂ Ω und 

0 < ε < dist(Ω ′ , ∂Ω) ist 

supp ϕ ε (x − ·) ⊂⊂ B ε (Ω ′ ) := {y ∈ R n : dist(y, Ω ′ ) < ε} ⊂ Ω, 

und wegen u ∈ L q loc (Ω) ist u auf supp ϕ ε(x−.) definiert. Weiterhin sind alle Voraussetzungen 

für die Vertauschbarkeit von Differentiation und Integration erfüllt (siehe z.B. [3, Bd.II, p. 

289]), womit man durch wiederholtes Differenzieren die Relation u ε ∈ C ∞ (Ω ′ ) nachweist. 

Falls u ∈ W k,q (Ω), kann man u als L q -Funktion (aber im Allgemeinen nicht als W k,q - 

Funktion, vgl. den kommenden Fortsetzungssatz Satz 2.12!) durch den Wert Null auf ganz 

R n fortsetzen, womit u ε ∈ C ∞ (R n ) folgt. 

Für x ∈ Ω und 0 < ε < dist(x, ∂Ω) betrachten wir ϕ ε (x − ·) ∈ C0 ∞(B ε(x)) ⊂ C0 ∞(Ω) 

und berechnen wie im Beweis von Lemma 2.3 

∫ 

∂xu γ ε (x) = ∂x(ϕ γ ε (x − y)) u(y) dy 

R n 

= (−1) |γ| ∫ 

∂ γ y (ϕ ε (x − y)) u(y) dy 

Def.2.1 

= 

∫ 

R n 

R n 

ϕ ε (x − y) ∂ γ u(y) 

} {{ } 

dy = (∂ γ u) ε (x). 

schwache 

Ableitung 

Nun liefert der Satz A.21 im Anhang für alle Multiindices γ mit |γ| ≤ k: 

∂ γ (u ε ) = (∂ γ u) ε −→ 

ε→0 

(∂ γ u) 

in L q loc (Ω). 

Somit folgt u ε −→ 

ε→0 

u in W k,q 

loc (Ω). 

1 Diesen Teil der Proposition benutzt man für den letzten Grenzübergang (1.10) im Beweis des Fundamentallemmas 

von DuBois-Reymond, Lemma 1.10. Man muss dort nur nachweisen, dass die stückweise 

linearen Funktionen ζ ε kompakten Träger haben und von der Klasse W 1,q (I) für ein q ∈ [1, ∞) sind. Letzteres 

kann man entweder direkt anhand von Definition 2.1 nachweisen, oder man zitiert den noch zu beweisenden 

Satz 2.6.


(ii) Für 0 < ε < 1 2 dist(supp u, ∂Ω) gilt supp u ε ⊂ B ε (supp u) ⊂ B σ (supp u) ⊂⊂ Ω für 

σ := 1 2 dist(supp u, ∂Ω) und daher u ε ∈ C0 ∞ (Ω). Aus dem oben bewiesenen Teil (i) folgt 

u ε −→ u in W k,q 

ε→0 

loc 

(Ω) und damit hat man 

‖u − u ε ‖ W k,q (Ω) = ‖u − u ε ‖ W k,q (B σ(supp 

−→ 0 für ε → 0. 

u)) 

Falls Ω = R n , so betrachte die Faltung u ε ∈ C ∞ (R n ), mit Satz A.21 im Anhang und Teil (i) 

folgt nun u ε −→ 

ε→0 

u in W k,q (R n ). Allerdings haben diese approximierenden Funktionen u ε 

i.A. keinen kompakten Träger im R n . Deswegen betrachtet man Abschneidefunktionen η R ∈ 

C ∞ 0 (B 2R(0)), wobei η R ≡ 1 auf B R (0) und 0 ≤ η R ≤ 1, mit den Eigenschaften 

Dann folgt für u ε,R := η R u ε 

|∂ γ η R | ≤ C(l) 

R l χ B2R \B R (0) für alle l ∈ N, |γ| = l. 

∂ γ u ε,R = 

‖∂ γ u ε,R − η R ∂ γ u ε ‖ L q (R n ) = 

≤ 

R≥1 

∑ 

0≤β≤γ 

∑ 

∥ 

0≤β≤γ 

|β|>0 

( γ 

β) 

∂ β η R ∂ γ−β u ε für alle |γ| ≤ k, 

( γ 

β) 

∂ β η R ∂ γ−β u ε 

∥ ∥∥∥∥∥∥ 

L q (R n ) 

C(k, n) 

R ‖u ε‖ W k,q (R n ) 

} {{ } 

0 

konstatieren. Das bedeutet 

−→ 0. 

R→∞ 

−→ ∂ γ u ε in L q (R n ) für alle |γ| ≤ k. 

R→∞ 

∂ γ u ε,R −→ ∂ γ u ε in L q (R n ) für R → ∞ für alle |γ| ≤ k 

u ε,R −→ u ε in W k,q (R n ) für R → ∞. 

Für alle σ > 0 wähle 0 < ε ≪ 1, so dass ‖u ε − u‖ W k,q (R n ) < σ 2 

und dann R ≫ 1, so dass 

‖u ε − u ε,R ‖ W k,q (R n ) < σ 2 . Damit folgt nun ‖u − u ε,R‖ W k,q (R n ) < σ. 

Beispiel 2.1 

Wir betrachten für α > 0 die stückweise definierte und damit im Ursprung singuläre Funktion 

u : Ω := B 1 (0) ⊂ R n −→ R 

erklärt durch 

u(x) := 

{ 1 

|x| α für x ≠ 0 

17 für x = 0. 

Es gilt u ∉ C 1 (B 1 (0)), aber es stellt sich die Frage:

53 

Für welche q, n, α ist u ∈ W 1,q (B 1 (0))? 

Zunächst stellen wir fest, dass u ∈ C ∞ (B 1 (0) \ {0}) und wir berechnen für x ≠ 0 und 

α > 0 die ersten Ableitungen 

∂ i u(x) = − α x i 

|x| α+1 |x| = −α x i 

|x| α+2 , 

⇒ |∇u(x)| = 

1 

|α| 

|x| α+1 . 

Falls α + 1 < n, so folgt |∇u| ∈ L 1 (B 1 (0)); denn mit Hilfe von Polarkoordinaten berechnet 

man 

∫ 

∫ 

dx 

|∇u(x)| dx = |α| 

|x| α+1 

B 1 (0) 

= |α| 

B 1 (0) 

∫ 1 

0 

r n−1 

r α+1 dr H n−1 (S n−1 ) 

} {{ } 

nω n 

= C(α, n) 

[r n−(α+1)] 1 

< ∞, 

0 

wobei ω n := L n (B 1 (0)). Mit einer analogen Rechnung erhält man für 0 < α < n, dass 

u ∈ L 1 (B 1 (0)). Zur Überprüfung der in Definition 2.1 enthaltenen Regel der partiellen Integration 

schneidet man zunächst die Singularität im Ursprung aus dem Integrationsgebiet. 

D.h. für ε > 0 und für alle ϕ ∈ C0 ∞(B 1(0)) betrachtet man 

∫ 

∫ 

∫ 

u(x) ∂ i ϕ(x) dx = (−1) ∂ i u(x) ϕ(x) dx+ u(ζ)ϕ(ζ) ν i (ζ) dH n−1 (ζ), 

B 1 (0)\B ε(0) 

B 1 (0)\B ε(0) 

∂B ε(0) 

wobei ν i die i-te Komponente des äußeren Einheitsnormalenvektors an den Rand des Integrationsbereichs 

bezeichnet. Der Grenzübergang ε → 0 liefert 

∫ 

∫ 

u(x) ∂ i ϕ(x) dx = (−1) ∂ i u(x) ϕ(x) dx + 0; 

B 1 (0) 

B 1 (0) 

denn aus α + 1 < n folgt für das Randintegral 

∫ 

1 

ε 

∣ 

α ϕ(ζ)ν i(ζ) dH n−1 1 

(ζ) 

≤ ‖ϕ‖ L ∞ (B 1 (0)) 

ε 

∣ 

α C(n)εn−1 −→ 

∂B ε(0) 

ε→0 

0. 

Falls α + 1 < n erfüllt ist, gilt folglich u ∈ W 1,1 (B 1 (0)). 

Entsprechend ist u ∈ W 1,q (B 1 (0)), falls α + 1 < n q 

für q ∈ [1, ∞), da α + 1 < n q ≤ n 

für alle q ≥ 1. Tatsächlich gilt die Regel der partiellen Integration, da wir für die obige 

Rechnung nur u ∈ L 1 und ∇u ∈ L 1 benötigen. Weiterhin prüft man für α + 1 < n q 

leicht 

nach, dass ∇u ∈ L q (B 1 (0)), denn aus (α + 1)q < n folgt 

∫ 

∫ 1 

|∇u| q r n−1 

[ 

dx = C(n, α) 

r (α+1)q dr = C(n, α) r n−(α+1)q] 1 

< ∞. 

0 

B 1 (0) 

0


Analog zeigt man, dass u ∈ L q (B 1 (0)). Andererseits sieht man mit diesen Rechnungen, dass 

u ∉ W 1,q (B 1 (0)) für q ≥ n. Zusammenfassend haben wir für diese Beispielfunktion 

u ∈ W 1,q (B 1 (0)) ⇔ 0 < α < n q − 1. 

Die von Nirenberg entwickelte Technik von Regularitätsbeweisen mittels Differenzenquotienten 

basiert im Wesentlichen auf dem folgenden Lemma. In der Regularitätstheorie 

der Variationsrechnung (und bei partiellen Differentialgleichungen) nutzt man dabei Differenzenquotienten 

der Lösungen als zulässige Testfunktionen in den schwachen Euler- 

Lagrange-Gleichungen, um Integralabschätzungen für Potenzen dieser Differenzenquotienten 

zu gewinnen. Dann verbessert Teil (ii) des folgenden Resultates die Differenzierbarkeitsordnung 

der Lösung um eine Stufe, was einen Regularitätsgewinn bedeutet. Wir werden 

diese Technik z.B. bei der Untersuchung eines Hindernisproblems in Abschnitt 5.1 benutzen. 

Lemma 2.5 [Differenzenquotienten in Sobolevräumen] 

Sei k ∈ N, Ω ⊂ R n offen, h ∈ R \ {0}, l ∈ {1, . . . , n}. e l ∈ S n−1 sei der l-te Standardbasisvektor, 

u ∈ L 1 loc 

(Ω), und 

∆ e l 

h u(x) := u(x + he l) − u(x) 

h 

der für L n -fast alle x ∈ Ω definierte Differenzenquotient von u in die l-te Koordinatenrichtung. 

Dann ist Folgendes wahr: 

(i) Für alle Ω ′ ⊂⊂ Ω und 0 < |h| < dist(Ω ′ , ∂Ω) und für u ∈ W k,q (Ω), 1 ≤ q < ∞, gilt 

und 

‖∆ e l 

h u‖ W k−1,q (Ω ′ ) ≤ ‖∂ l u‖ W k−1,q (Ω) für alle l = 1, . . . , n, 

∆ e l 

h u −→ 

h→0 ∂ lu 

in W k−1,q 

loc 

(Ω). 

(ii) Falls u ∈ W k−1,q 

loc 

(Ω), 1 < q < ∞, und falls für alle Ω ′ ⊂⊂ Ω eine Konstante C(Ω ′ ) < 

∞ existiert, die unabhängig von h mit 0 < |h| < dist(Ω ′ , ∂Ω) ist, so dass 

dann ist u ∈ W k,q 

loc (Ω). 

‖∆ e l 

h u‖ W k−1,q (Ω ′ ) ≤ C(Ω ′ ), 

Beweis. (i) Sei zunächst u ∈ W k,q (Ω) ∩ C ∞ (Ω), |γ| ≤ k − 1. Es gilt für x ∈ Ω ′ und 

0 < |h| < dist(Ω ′ , ∂Ω) 

∂ γ ∆ e l 

h u(x) = 1 h (∂γ u(x + he l ) − ∂ γ u(x)) = 1 h 

= 1 h 

∫ 1 

0 

∇∂ γ u(x + the l ) · he l dt = 

∫ 1 

0 

∫ 1 

0 

d 

dt ∂γ u(x + the l ) dt 

∂ l ∂ γ u(x + the l ) dt. 

Also folgt mit der Jensen-Ungleichung und dem Satz von Fubini 

∫ ∫ 1 

∫ 1 ∫ 

‖∂ γ ∆ e l 

h u‖q L q (Ω ′ ) ≤ |∂ γ ∂ l u(x + the l )| q dt dx = |∂ γ ∂ l u(x + the l )| q 

Ω ′ 0 

0 Ω 

∫ ′ 1 ∫ 

≤ |∂ γ ∂ l u(z)| q dz dt = ‖∂ γ ∂ l u‖ q L q (Ω) . 

0 

Ω 

dx dt

55 

Weiterhin gilt ∆ e l 

h u −→ ∂ lu in C s (Ω) für alle s ∈ N und l = 1 . . . , n, da u ∈ C ∞ (Ω). Also 

h→0 

gilt die Konvergenz auch in W k−1,q 

loc 

(Ω). Für eine allgemeine Funktion u ∈ W k,q (Ω) existiert 

eine Folge {u m } m ⊂ C ∞ (Ω), so dass nach Proposition 2.4 gilt u m −→ u in W k,q 

m→∞ loc 

(Ω). Sei 

nun Ω ′′ := B δ (Ω ′ ) := {x ∈ R n |dist(x, Ω ′ ) < δ} für δ < dist(Ω ′ , ∂Ω). Für 0 < |h| < δ hat 

man dann 

‖∆ e l 

h u‖ W k−1,q (Ω ′ ) 

←− 

m→∞ 

‖∆e l 

h u m‖ W k−1,q (Ω ′ ) ≤ ‖∂ l u m ‖ W k−1,q (Ω ′′ ) 

−→ 

m→∞ 

‖∂ lu‖ W k−1,q (Ω ′′ ) ≤ ‖∂ l u‖ W k−1,q (Ω). 

Folglich ist nach der soeben bewiesenen Abschätzung angewendet auf die Differenz u−u m ∈ 

W k,q (Ω) und die Definitionsbereiche Ω ′ ⊂⊂ Ω ′′ 

lim sup ‖∆ e l 

0≠h→0 

h u − ∂ lu‖ W k−1,q (Ω ′ ) ≤ lim sup 

h→0 

‖∆ e l 

h (u − u m)‖ W k−1,q (Ω ′ ) 

+ lim sup ‖∆ e l 

h u m − ∂ l u m ‖ W k−1,q (Ω ′ ) 

h→0 

+ lim sup ‖∂ l (u − u m )‖ W k−1,q (Ω ′ ) 

h→0 

≤ 2‖∂ l (u − u m )‖ W k−1,q (Ω ′′ ) −→ 0; 

m→∞ 

denn aus der Glattheit von u m folgt lim sup h→0 ‖∆ e l 

h u m − ∂ l u m ‖ W k−1,q (Ω ′ ) = 0. 

(ii) L q (Ω) ist ein reflexiver Banachraum (siehe Definition A.4 im Anhang) und damit auch 

W k−1,q (Ω) für 1 < q < ∞. Man wählt eine Ausschöpfung {Ω i } i von Ω mit Ω i ⊂⊂ Ω i+1 für 

alle i ∈ N und Ω = ⋃ ∞ 

i=1 Ω i. Nach Voraussetzung gilt 

‖∆ e l 

h u‖ W k−1,q (Ω i ) ≤ C(Ω i ). 

Zu Ω 1 gibt es eine Teilfolge h 1 → 0 und Funktionen v γ,l 

1 ∈ L q (Ω 1 ) mit 

∂ γ ∆ e l 

h 1 

u ⇀ 

h1 →0 vγ,l 1 in L q (Ω 1 ) ∀|γ| ≤ k − 1, l = 1, . . . , n. 

Zu Ω 2 existieren eine Teilfolge {h 2 } ⊂ {h 1 } und Funktionen v γ,l 

2 ∈ L q (Ω 2 ) mit h 2 → 0 und 

∂ γ ∆ e l 

h 2 

u ⇀ 

h2 →0 vγ,l 2 in L q (Ω 2 ) ∀|γ| ≤ k − 1, l = 1, . . . , n. 

Die Fortsetzung dieses Auswahlverfahrens und ein darauffolgendes Diagonalfolgenargument 

liefert eine Folge h → 0 und Funktionen u γ,l ∈ L q loc 

(Ω) definiert durch 

u γ,l (x) := v γ,l 

N (x) für x ∈ Ω N, 

so dass 2 

∂ γ ∆ e l 

h u ⇀ 

h→0 uγ,l in L q loc 

(Ω) ∀|γ| ≤ k − 1, l = 1, . . . , n. 

2 Tatsächlich findet man zu einem beliebigen Kompaktum K ⊂ Ω ein N ∈ N, so dass aufgrund der 

Ausschöpfungseigenschaft K ⊂ Ω N , und daraus folgt 

lim 

h→0 ‖∂γ ∆ e l 

h u − uγ,l ‖ L q (K) = lim 

h→0 

‖∂ γ ∆ e l 

h u − vγ,l N ‖ L q (K) = 0.


Zu einem Multiindex ¯γ mit 0 ≤ |¯γ| ≤ k findet man einen Multiindex γ mit 0 ≤ |γ| ≤ k − 1 

und eine Koordinatenrichtung gegeben durch den Standardbasisvektor e l ∈ S n−1 für ein 

l ∈ {1, . . . , n}, so dass ¯γ = γ + e l . Damit ergibt sich für ϕ ∈ C0 ∞ (Ω) mit der Regel der 

diskreten partiellen Integration 

∫ 

∫ 

∫ 

u∂¯γ ϕ dx ←− u∆ e l 

Ω 

h i →0 

−h i 

∂ γ ϕ dx = (−1) ∆ e l 

Ω 

Aufg. 21 

h i 

u∂ γ ϕ dx 

Ω 

= (−1) |¯γ| ∫ 

−→ 

h i →0 

Aufgrund von Definition 2.1 gilt somit u ∈ W k,q 

loc (Ω). 

(−1) |¯γ| ∫ 

Ω 

Ω 

∂ γ ∆ e l 

h i 

uϕ dx 

u γ,l ϕ dx. 

Wir beweisen nun die folgende Charakterisierung von Lipschitzstetigen Funktionen. 

Satz 2.6 [C k−1,1 (Ω) ∼ = W k,∞ (Ω)] 

Sei k ∈ N, Ω ⊂ R n offen. Dann gilt: 

(i) C k−1,1 (Ω) ⊂ W k,∞ (Ω). 

(ii) Falls Ω beschränkt ist und ∂Ω ∈ C k−1,1 , dann gilt W k,∞ (Ω) ⊂ C k−1,1 (Ω). 

Bemerkung: 

Teil (ii) besagt genauer: Es gibt einen Repräsentanten u ∗ in der Funktionenklasse [u] ∈ 

W k,∞ (Ω), so dass u ∗ ∈ C k−1,1 (Ω). Mit diesem (schönen) Repräsentanten u ∗ wird in der 

Regel weitergerechnet und man verwendet stillschweigend die Bezeichnung u. Man beachte 

aber die grundsätzliche Bemerkung zur Auswahl von günstigen Repräsentanten nach Lemma 

2.3. 

Beweis. Wir führen den Beweis exemplarisch für k = 1, für k > 1 betrachtet man anstelle 

von u die Ableitungen von u zur Ordnung k. 

(i) Man hat für alle ϕ ∈ C0 ∞ (Ω) mit Hilfe der diskreten partiellen Integration 

∫ 

∫ 

∣ ∫ 

∣ ∣ u ∂ l ϕ dx 

∣ ←− 

∣∣∣ ∣ u ∆ e l 

−h ϕ dx ∣∣∣ 

= 

Aufg. 21 

∣ − ∆ e l 

h u ϕ dx ≤ Lip Ω u ‖ϕ‖ L 1 (Ω); 

Ω 

h→0 

Ω 

denn es gilt 

1 

h |u(x + he l) − u(x)| ≤ |he l| 

h 

Lip Ωu. 

Mit dem weiter unten bewiesenen Lemma 2.7 folgt u ∈ W 1,∞ (Ω). 

(ii) Sei Ω = B 1 (0). Der allgemeinere Fall folgt aus einem Überdeckungsargument 3 , auf das 

wir hier verzichten werden. Betrachte nun die Faltung u ε = ϕ ε ∗ u für einen Faltungskern 

ϕ ∈ C0 ∞(B 1(0)) mit ϕ ≥ 0 und ∫ ϕ = 1, so dass ϕ 

R n ε (x − ·) ∈ C0 ∞ (B ε(x)) ⊂ C0 ∞ (B 1(0)) 

für x ∈ B 1−ε (0). Dies erlaubt nach Definition 2.1 die Rechnung 

∫ 

∫ 

∇ x (u ε ) (x) = ∇ x ϕ ε (x − y)u(y) dy = ∇ x ϕ ε (x − y)u(y) dy 

B 1 (0) 

∫ 

= − ∇ y ϕ ε (x − y)u(y) dy = 

B 1 (0) 

Def. 2.1 

∫ 

B 1 (0) 

B 1 (0) 

3 Für dieses Argument wird die Regularität des Randes von Ω benötigt. 

Ω 

ϕ ε (x − y)∇ y u(y) dy für alle x ∈ B 1−ε (0).

57 

und 

Wegen ∫ R n ϕ ε = 1 (siehe Bemerkung 5.3 im Anhang) folgt 

‖u ε ‖ C 0 (B 1−δ (0)) ≤ ‖u ε‖ C 0 (B 1−ε (0)) ≤ ‖u‖ L ∞ (Ω) für 0 < ε < δ (2.2) 

Lip B1−δ (0)u ε ≤ Lip B1−ε (0)u ε ≤ ‖∇u ε ‖ C 0 (B 1−ε (0),R n ) ≤ ‖∇u‖ L ∞ (B 1 (0),R n ) für 0 < ε < δ. 

(2.3) 

Sei δ j → 0 eine beliebige streng monoton fallende Nullfolge. Zunächst liefert der Satz von 

Arzelà-Ascoli eine Teilfolge u εi −→ u in C 0 (B 1−δ1 (0)) für beliebiges δ 1 ∈ (0, 1). Für 

i→∞ 

δ 2 ∈ (0, δ 1 ) können wir aus dieser Teilfolge eine weitere Teilfolge auswählen, die gleichmäßig 

auf B 1−δ2 (0) konvergiert, und so fahren wir für alle δ j fort. Die Auswahl einer Diagonalfolge 

liefert schließlich die lokal gleichmäßige Konvergenz 

u ε −→ 

ε→0 

u in C 0 (B 1 (0)). 

Dann folgt für beliebige Punkte x, y ∈ B 1 (0) und d < 1 2 min (dist(x, ∂B 1(0)), dist(y, ∂B 1 (0))) 

|u(x) − u(y)| ≤ |u(x) − u ε (x)| + |u ε (x) − u ε (y)| + |u ε (y) − u(y)| 

≤ 2‖u − u ε ‖ C 0 (B 1−d (0)) + Lip B 1−d (0)u ε |x − y| 

≤ 

(2.3) 

2 ‖u − u ε ‖ C 0 (B 1−d 

+‖∇u‖ 

(0)) L 

} {{ } 

∞ (B 1 (0))|x − y|, 

−→ 0 ε→0 

also u ∈ C 0,1 (B 1 (0)) mit Lip B1 (0)u ≤ ‖∇u‖ L ∞ (B 1 (0)). Nach stetiger Fortsetzung dieser auf 

B 1 (0) gleichmäßig stetigen Funktion u folgt auch u ∈ C 0,1 (B 1 (0)). 

Wir haben bei dem Beweis von Satz 2.6 die auch in anderen Situationen sehr nützliche 

Charakterisierung von Sobolevfunktionen verwendet: 

Lemma 2.7 [Charakterisierung von W k,q ] 

Sei k ∈ N ∪ {0}, 1 < q ≤ ∞. Dann sind äquivalent: 

(i) u ∈ W k,q (Ω), 

(ii) u ∈ L q loc (Ω) und es gibt eine Konstante M = M u, so dass 

∫ 

∣ (−1)|γ| u∂ γ ϕ dx 

∣ ≤ M u‖ϕ‖ L q ′ (Ω) 

für alle ϕ ∈ C0 ∞ (Ω), |γ| ≤ k, wobei 1 q + 1 q ′ = 1. 

Ω 

Falls (ii) gilt, dann kann man zusätzlich zeigen, dass die schwachen Ableitungen ∂ γ u für alle 

|γ| ≤ k die Abschätzung ‖∂ γ u‖ L q (Ω) ≤ M u erfüllen. 

Beweis. Falls (i) gilt, können wir mit der Hölder-Ungleichung abschätzen: 

∫ 

∫ 

∣ (−1)|γ| u∂ γ ϕ dx 

∣ = 

∣ ∂ γ uϕ dx 

∣ 

Ω 

Def. 2.1 

und es gilt u ∈ L q (Ω) ⊂ L q loc (Ω). 

Ω 

≤ 

Hölder-Ungl. 

‖∂ γ u‖ L q (Ω) ‖ϕ‖ 

} {{ } L q ′ (Ω) , 

≤‖u‖ W k,q (Ω) 

=:M u


Für den Fall, dass (ii) wahr ist, bemerken wir zunächst, dass für q ′ ∈ [1, ∞) der Raum 

C0 ∞(Ω) eine bezüglich der Lq′ -Norm dichte Teilmenge in L q′ (Ω) ist, da bekanntlich C0 0(Ω) 

dicht in L q′ (Ω) liegt, und man C0 0-Funktionen durch Faltung mit C∞ 0 -Funktionen in der 

C 0 -Norm und damit auch in der L q′ -Norm approximieren kann, vergleiche Korollar A.22 im 

Anhang. 

Für jeden Multiindex γ mit |γ| ≤ k ist die Zuordnung ϕ ↦→ L γ (ϕ) := (−1) |γ| ∫ Ω u ∂γ ϕ dx 

ein lineares und nach Voraussetzung bezüglich der L q′ -Norm stetiges Funktional auf C0 ∞(Ω). 

Durch stetige Fortsetzung erhält man für jeden Multiindex γ mit |γ| ≤ k ein Funktional 

Bekanntlich ist 

˜L γ ∈ 

( 

L q′ (Ω)) ∗ 

. 

( 

L q′ (Ω)) ∗ 

∼= L q (Ω) (siehe z.B. [2, Satz 4.12]). Dies liefert die Existenz einer 

Funktion u γ ∈ L q (Ω) mit 

∫ 

˜L γ (ϕ) = 

Ω 

u γ ϕ dx 

für alle ϕ ∈ L q′ (Ω), 

speziell also 

˜L γ (ϕ) = (−1) |γ| ∫ 

Ω 

∫ 

u ∂ γ ϕ dx = 

Ω 

u γ ϕ dx 

für alle ϕ ∈ C ∞ 0 (Ω). 

Als schwache Ableitungen von u definieren wir ∂ γ u := u γ ∈ L q (Ω) für |γ| ≤ k. Schließlich 

beachtet man, dass für γ = 0 nach dem Fundamentallemma, Lemma 1.5, gilt u = u 0 L n - 

fast überall auf Ω. Damit stimmt u L n -fast überall mit der Funktion u 0 ∈ L q (Ω) überein, 

also ergibt sich sogar u ∈ L q (Ω). Zusammen ergibt dies nach Definition 2.1 u ∈ W k,q (Ω). 

Zusätzlich gilt wegen der (nach [2, Satz 4.12] gültigen) Isometrie (L q′ (Ω)) ∗ ∼ = L q (Ω) und 

wegen der Dichtheit von C ∞ 0 (Ω) in Lq′ (Ω) 

‖∂ γ u‖ L q (Ω) = ‖u γ ‖ L q (Ω) = ‖˜L γ ‖ (L q ′ (Ω)) ∗ = 

sup |L γ (ϕ)| ≤ M u . 

ϕ∈C 

0 

∞(Ω) 

(ii) 

‖ϕ‖ 

L q ′ (Ω) ≤1 

Von fundamentaler Bedeutung für die Beziehung zwischen verschiedenen Sobolevräumen 

und zwischen Sobolevräumen und klassischen Funktionenräumen sind die 

Einbettungssätze von Sobolev und Morrey, die wir hier für allgemeine Raumdimensionen 

n ≥ 1 nur nennen, aber nicht beweisen wollen. Die in unserem Kontext relevante 

Raumdimension n = 1 erlaubt allerdings einen elementaren Beweis von stärkeren Einbettungsaussagen, 

die wir später in Satz 2.14 nachholen. 

Satz 2.8 [Einbettungssätze für Sobolevfunktionen] 

Seien k, l ∈ N ∪ {0}, 1 ≤ p, q < ∞, Ω ⊂⊂ R n , ∂Ω ∈ C 0,1 , α ∈ (0, 1). Dann gelten die 

Aussagen: 

(i) (Sobolev) Falls k ≥ l und k − n q ≥ l − n p 

, dann existiert eine stetige Einbettung 

W k,q (Ω) ↩→ W l,p (Ω).

59 

Das bedeutet, dass W k,q (Ω) ⊂ W l,p (Ω) und dass es eine von u unabhängige Konstante 

C = C(Ω, n, p, q, l, k) gibt, so dass ‖u‖ W l,p (Ω) ≤ C‖u‖ W k,q (Ω) für alle u ∈ W k,q (Ω). 

Falls zusätzlich k − n q > l − n p 

und k > l, dann ist diese Einbettung kompakt, das 

heißt, falls {u i } i ⊂ W k,q (Ω) mit ‖u i ‖ W k,q (Ω) ≤ C (unabhängig von i), dann existiert 

eine Teilfolge {u ij } j mit u ij −→ u in W l,p (Ω). 

j→∞ 

(ii) (Morrey) Falls k > l und k − n q 

Falls zusätzlich k − n q 

≥ l + α, dann gibt es eine stetige Einbettung 

W k,q (Ω) ↩→ C l,α (Ω). 

> l + α, dann ist diese Einbettung kompakt. 

Bemerkung: 1. Wie schon mehrfach bemerkt (vgl. z.B. die Bemerkung im Anschluss 

an Lemma 2.3), muss man die Einbettungsaussagen im Sinne von Repräsentanten 

verstehen. So bedeutet beispielsweise Teil (ii) der obigen Aussage genauer: unter den 

genannten Voraussetzungen an die Exponenten k, l, n, q und α gibt es zu jeder Funktionenklasse 

[u] ∈ W k,q (Ω) einen Vertreter u ∗ ∈ [u] mit u ∗ ∈ C l,α (Ω). In der Regel 

wird man mit diesem durch seine Regularität ausgezeichneten Vertreter weiterargumentieren. 

Der Einfachheit halber nennt man diesen Repräsentanten wieder u. 

2. Falls man den Differenzierbarkeitsindex k der Sobolevfunktion genügend weit „hochschrauben“ 

kann (z.B. mit Hilfe von Differenzenquotienten bei Lösungen von Variationsproblemen 

(vgl. Kapitel 5.1)), dann liefert (ii) klassische Regularität. 

3. Betrachte den Grenzfall p = ∞, der in (i) nicht erlaubt ist, für k = 1, l = 0. Mit 

1 − n q = 0 − n ∞ 

= 0 ergibt sich n = q. Es gilt tatsächlich 

W 1,n (Ω) ⊄ L ∞ (Ω). 

Das sieht man etwa durch die Funktion u(x) := log (1 + | log |x||) für x ∈ B 1 (0); 

denn u /∈ L ∞ (B 1 (0)) aber für n ≥ 2 ist u ∈ W 1,n (B 1 (0)).Für n = 1 hingegen gilt 

W 1,1 (Ω) ⊂ C 0 (Ω) ⊂ L ∞ (Ω) wie wir in Satz 2.14 beweisen. 

Aus dem hier unbewiesenen Satz 2.8 lassen sich einige für den Umgang mit Sobolevfunktionen 

im R n sehr nützliche Hilfsmittel herleiten, die wir hier nur zum Teil beweisen 

werden: Poincaré-Ungleichungen (Korollare 2.9 und 2.10), Produkt- und Kettenregel 

(Proposition 2.11 (i), (ii)), Transformationssatz (Proposition 2.11 (iii)) und einen Fortsetzungssatz 

für Sobolevfunktionen (Satz 2.12). Auch für diese Resultate kann man im Fall 

n = 1 teilweise stärkere Versionen mit elementaren Beweisen erzielen, siehe z.B. die für die 

Existenztheorie nützlichen Varianten der auf Satz 2.14 beruhenden Poincaré-Ungleichungen, 

die wir im Anschluss an diesen Satz angeben. 

Korollar 2.9 [„Abstrakte“ Poincaré-Ungleichung] 

Sei 1 ≤ q ≤ ∞, Ω eine beschränkte, zusammenhängende, offene Teilmenge des R n mit Lipschitzrand. 

Sei K ⊂ W 1,q (Ω) eine bezüglich ‖ · ‖ W 1,q abgeschlossene Menge, die zusätzlich 

ein Kegel ist, das heißt für u ∈ K ist auch λu ∈ K für alle λ > 0, und 0 ∈ K sei die einzige 

konstante Funktion in K. 

Dann existiert eine Konstante C = C(n, q, Ω) mit 

‖u‖ L q (Ω) ≤ C‖∇u‖ L q (Ω) für alle u ∈ K.


Beweis. Die Annahme des Gegenteils führt auf die Existenz einer Folge {u m } m ⊂ K \ {0}, 

so dass 

‖∇u m ‖ L q (Ω) < 1 m ‖u m‖ L q (Ω) für alle m ∈ N. 

Für v m := 

u m 

‖u m‖ L q (Ω) 

, gilt ‖v m ‖ L q (Ω) = 1 für alle m, und 

‖∇v m ‖ L q (Ω) = ‖∇u m‖ L q (Ω) 

‖u m ‖ L q (Ω) 

< 1 m 

für alle m ∈ N. (2.4) 

Das bedeutet insbesondere 

‖v m ‖ W 1,q (Ω) ≤ 1 + 1 m ≤ 2. 

Wir unterscheiden jetzt die beiden folgenden Fälle: 

1. Fall: q = ∞ 

Satz 2.6 (ii) liefert W 1,∞ (Ω) ⊂ C 0,1 (Ω) und die Abschätzung ‖v m ‖ C 0,1 (Ω) 

≤ C. Der Satz von 

Arzelà-Ascoli liefert eine Teilfolge, für die gilt v mi 

v mi −→ v in L q (Ω). 

i→∞ 

2. Fall: q < ∞ 

−→ v in C 0 (Ω). Also insbesondere 

i→∞ 

Satz 2.8 (i) mit k = 1, l = 0 und der Tatsache k − n q > 0 − n q liefert eine Teilfolge4 {v mi } i , 

für die gilt v mi −→ v in L q (Ω). 

i→∞ 

Damit folgt in beiden Fällen für die Grenzfunktion ‖v‖ L q (Ω) = 1. Die Regel der partiellen 

Integration (Definition 2.1) liefert für alle i ∈ N, l ∈ {1, . . . , n} und ϕ ∈ C0 ∞ (Ω) die 

Beziehung 

∫ 

∫ 

v mi ∂ l ϕ dx = − ∂ l v mi ϕ dx. 

Ω 

Ω 

Der Grenzübergang i → ∞ liefert dann wegen (2.4) mit der Hölder-Ungleichung 

∫ 

∫ 

v∂ l ϕ dx = − 0ϕ dx für alle ϕ ∈ C0 ∞ (Ω). (2.5) 

Ω 

Ω 

Also ist v ∈ W 1,q (Ω) mit schwacher Ableitung ∇v = 0 und v mi −→ v in W 1,q (Ω). Da K 

i→∞ 

ein abgeschlossener Kegel bezüglich ‖ · ‖ W k,q ist, gilt v ∈ K. Da Ω als zusammenhängend 

vorausgesetzt ist, impliziert Lemma 2.3, dass 5 v ≡ konst. in Ω. Nach Voraussetzung muss 

damit v = 0 sein. Das ist jedoch ein Widerspruch zu ‖v‖ L q (Ω) = 1. 

Korollar 2.10 [Poincaré-Ungleichungen] 

Seien Ω ⊂⊂ R n offen und 1 ≤ q ≤ ∞. Dann gilt: 

(i) Falls q ∈ [1, ∞), dann existiert eine Konstante C = C(Ω, n, q), so dass 

∫ 

∫ 

|u| q dx ≤ C |∇u| q dx für alle u ∈ W 1,q 

0 (Ω). 

Ω 

Ω 

4 Normalerweise ist es üblich, für dieses Argument den Einbettungssatz von Rellich (siehe z.B. [2, 

Satz A6.1]) zu zitieren; der Sobolevsche Einbettungssatz, Satz 2.8 (i), ist hier eigentlich nicht nötig. Aus 

pragmatischen Gründen verzichten wir in unserer Darstellung aber auf den Rellichschen Satz. 

5 Diesen Schluss erhielte man für n = 1 mit (2.5) auch durch Anwendung des Fundamentallemmas von 

DuBois-Reymond, Lemma 1.10 für Ω := I = (a, b) ⊂ R.

61 

(ii) Falls Ω zusammenhängend ist und ∂Ω ∈ C 0,1 , dann gibt es für alle β ∈ (0, 1] eine 

Konstante C = C(Ω, n, q, β), so dass 

∫ 

∫ 

|u| q dx ≤ C |∇u| q dx für alle u ∈ W 1,q (Ω) mit L n ({u = 0}) ≥ βL n (Ω). 

Ω 

Ω 

(iii) Falls Ω zusammenhängend ist und ∂Ω ∈ C 0,1 , dann gibt es eine Konstante C = 

C(Ω, n, q), so dass 

∫ 

∫ 

|u − u Ω | q dx ≤ C |∇u| q dx für alle u ∈ W 1,q (Ω), 

Ω 

Ω 

wobei 

∫ 

u Ω := u(x) dx. 

Ω 

Zusatz: Falls Ω = B R (x) für ein x ∈ R n und 1 ≤ q < ∞, dann gilt C(Ω, n, q) = C(n, q)R q 

in Teil (i) und (iii), sowie C(Ω, n, q, β) = C(n, q, β)R q in Teil (ii). 

Bemerkung: 

Für den Grenzfall q = ∞, der in den Teilen (ii) und (iii) zugelassen ist, muss man die 

Integrale durch das essentielle Supremum ersetzen. Genauer gesagt gelten die Ungleichungen 

‖u‖ L ∞ (Ω) ≤ C‖∇u‖ L ∞ (Ω,R n ) 

für alle u ∈ W 1,∞ (Ω) mit L n ({u = 0}) ≥ βL n (Ω) 

unter den Voraussetzungen in (ii), sowie 

‖u − u Ω ‖ L ∞ (Ω) ≤ C‖∇u‖ L ∞ (Ω,R n ) 

für alle u ∈ W 1,∞ (Ω). 

Beweis. Der Teil (iii) folgt direkt aus der abstrakten Poincaré-Ungleichung, Korollar 2.9. 

Den Teil (i) kann man entweder direkt beweisen (vgl. z.B. [2, Lemma 4.7]) oder über ein 

indirektes Argument wie im Beweis von Korollar 2.9. Den Teil (ii) kann man ebenfalls 

über ein indirektes Argument ähnlich wie im Beweis von Korollar 2.9 zeigen – eine direkte 

Anwendung dieses Korollars auf die vorliegende Situation scheint indes nicht möglich. 

Die explizite Abhängigkeit vom Radius R für Ω = B R (x) (oder für ähnlich gleichmäßig 

skalierende Gebiete wie z.B. für Ω := B R (x) \ B R/2 (x)) erhält man mit einem einfachen 

Skalierungsargument. 

Mit Hilfe von Approximationsargumenten kann man aus der klassischen Produktund 

Kettenregel für glatte Funktionen die entsprechenden Differentiationsregeln für Sobolevfunktionen 

herleiten. Gleiches gilt für den Transformationssatz, wenn man Sobolevfunktionen 

mit Lipschitzstetigen Funktionen komponiert. Wenn man Sobolevfunktionen 

mit Sobolevfunktionen verknüpfen will, bedarf es einer eingehenden Untersuchung 

der Abbildungseigenschaften. Insbesondere die Lusineigenschaft ist dabei zu 

beachten: Eine Funktion besitzt die Lusineigenschaft, wenn sie Nullmengen auf Nullmengen 

abbildet. Diese Eigenschaft kann man in der Tat für Lipschitzstetige Transformationen 

vergleichsweise leicht nachweisen, siehe z.B. [2, Lemma 2.26]. Eine allgemeinere Kettenregel 

für Sobolevfunktionen findet man beispielsweise in [75]. Zur Lusineigenschaft auch im Zusammenhang 

mit der Gültigkeit der Flächenformel findet man interessante Informationen


in [28] und in den dort zitierten Arbeiten. So haben Malý und Martio [41] durch Modifikation 

eines Beispiels von Cesari eine Sobolevfunktion ψ ∈ W 1,n (R n , R n ) ∩ C 0 (R n , R n ) 

mit der überraschenden Eigenschaft 

ψ([0, 1] × {0} × . . . × {0}) = [0, 1] n ⊂ R n 

konstruiert. Offensichtlich hat diese Funktion ψ nicht die Lusineigenschaft, so dass die 

Flächenformel und der Transformationssatz auf diese Transformation nicht anwendbar sind. 

Proposition 2.11 [Produkt- und Kettenregel, Transformationssatz] 

(i) Seien u ∈ W 1,q (Ω), v ∈ W 1,p (Ω) und 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ mit 1 q + 1 p 

uv ∈ W 1,r (Ω) mit 

∇(uv) = (∇u)v + u(∇v). 

= 1 r 

. Dann ist 

(ii) Seien f ∈ C 0,1 (R) mit 6 f(0) = 0, und u ∈ W 1,q (Ω), 1 ≤ q ≤ ∞. Dann ist f ◦ u ∈ 

W 1,q (Ω) mit 

∇(f ◦ u) = f ′ (u)∇u L n -fast überall in Ω. 

(Nach dem Satz von Rademacher (siehe z.B. [76]) folgt aus f ∈ C 0,1 (R) die Existenz 

von f ′ (z) für L n -fast alle z ∈ R; allgemeiner gilt für F ∈ C 0,1 (R n , R m ) die (totale) 

Differenzierbarkeit von F L n -fast überall.) 

(iii) Seien Ω 1 , Ω 2 offen im R n , ψ : Ω 1 → Ω 2 ein Bi-Lipschitzhomöomorphismus mit 

Lip Ω1 

ψ ≤ L, Lip Ω2 

ψ −1 ≤ L und u ∈ W 1,q (Ω 2 ), 1 ≤ q ≤ ∞. Dann ist u ◦ ψ ∈ W 1,q (Ω 1 ) 

mit 

∇(u ◦ ψ) = [(∇u) ◦ ψ]Dψ L n -fast überall in Ω 1 

und 

‖u ◦ ψ‖ W 1,q (Ω 1 ) ≤ C(n, L)‖u‖ W 1,q (Ω 2 ). 

Beweis. Für Teil (iii) verweisen wir auf den Beweis von [2, Satz 2.25], der sich auf die 

vorliegende Situation übertragen lässt. Eine vereinfachte Variante von Teil (ii) wird in einer 

Übungsaufgabe behandelt, die allgemeine Aussage wird z.B. in dem Buch von Ziemer [76] 

bewiesen. 

Es soll hier nur Teil (i) für den Fall p, q < ∞ bewiesen werden. Nach Proposition 2.4 (i) 

existieren u m , v m ∈ C ∞ (Ω), so dass u m → u in W 1,q 

loc (Ω) und v m → v in W 1,p 

loc 

(Ω). Wegen 

u m , v m ∈ C ∞ (Ω) gilt 

∇(u m v m ) = (∇u m )v m + u m (∇v m ) für alle m ∈ N. 

Man hat u m v → uv in L r loc (Ω), weil für Ω′ ⊂⊂ Ω wegen r p + r q = r 1 r 

= 1 mit der Hölder- 

Ungleichung 

∫ 

Ω ′ |u m v − uv| r dx 

≤ 

(∫Ω ′ |u m − u| r q r dx 

) r 

q (∫ Ω ′ |v| r p r 

= ‖u m − u‖ r L q (Ω ′ ) ‖v‖r L p (Ω ′ ) 

−→ 

m→∞ 

0. 

dx 

) r 

p 

6 Die Zusatzbedingung f(0) = 0 ist für beschränkte Gebiete nicht nötig, für q = ∞ ist sie auch für 

unbeschränkte Gebiete nicht nötig.

63 

Weiterhin ist u m v ∈ W 1,r (Ω); denn wie oben zeigt man mit der Hölder-Ungleichung 

angewandt auf u m v, dass u m v ∈ L r (Ω). Damit ist u m v ∈ W 1,r (Ω) mit schwacher Ableitung 

∇(u m v) = (∇u m )v + u m (∇v); denn es gilt nach der klassischen Produktregel 

∫ 

∫ 

u m v m ′(∂ l ϕ) dx = − ((∂ l u m )v m ′ + u m (∂ l v m ′))ϕ dx für alle ϕ ∈ C0 ∞ (Ω), 

Ω 

also nach dem Grenzübergang m ′ → ∞ für festes m ∈ N 

∫ 

∫ 

u m v(∂ l ϕ) dx = − ((∂ l u m )v + u m (∂ l v))ϕ dx 

Ω 

Ω 

Ω 

für alle ϕ ∈ C ∞ 0 (Ω) 

mit (∂ l u m )v + u m (∂ l v) =: ∂ l (u m v) ∈ L r (Ω). Die letzte Inklusion folgt erneut aus der 

Hölder-Ungleichung. Als letzten Schritt zeigt man für m → ∞ die L r loc-Konvergenz (wieder 

mit der Hölder-Ungleichung) ∂ l (u m v) → ∂ l (uv) := (∂ l u)v + u(∂ l v) ∈ L r (Ω). 

Also gilt 

(u m v, ∂ l (u m v)) → (uv, ∂ l (uv)) in L r (Ω ′ ) × L r (Ω ′ ) für alle Ω ′ ⊂⊂ Ω, 

also ist {u m v} eine Cauchy-Folge in W 1,r (Ω ′ ) für alle Ω ′ ⊂⊂ Ω und, da W 1,r (Ω ′ ) für jedes 

Ω ′ ⊂⊂ Ω ein Banachraum ist, folgt uv ∈ W 1,r (Ω ′ ) für jedes Ω ′ ⊂⊂ Ω mit schwacher 

Ableitung ∂ l (uv) ∈ L r (Ω). Damit ist zunächst uv ∈ W 1,r 

loc (Ω), aber neben ∂ l(uv) ist nach der 

Hölder-Ungleichung auch uv ∈ L r (Ω), sodass uv ∈ W 1,r (Ω) mit schwachem Gradienten 

∇(uv) = (∇u)v + (u∇v) ∈ L r (Ω) gezeigt ist. 

Sobolevfunktionen lassen sich auf größere Gebiete fortsetzen, falls der Rand des ursprünglichen 

Definitionsbereichs genügend glatt ist. Dabei erhält man auf dem größeren 

Gebiet eine Sobolevfunktion mit verallgemeinerten Nullranddaten. Auch für weniger glatte 

Gebiete kann man Fortsetzungssätze beweisen, siehe dazu z.B. [71]. 

Satz 2.12 [Fortsetzungssatz] 

Seien 1 ≤ q < ∞, k ∈ N, Ω ⊂⊂ R n mit ∂Ω ∈ C k−1,1 und u ∈ W k,q (Ω). Dann existiert für 

alle ˜Ω ⊃⊃ Ω eine Abbildung E : W k,q (Ω) → W k,q 

0 (˜Ω) mit Eu| Ω 

= u und 

‖Eu‖ W l,p (˜Ω) ≤ C(Ω, ˜Ω, k, q)‖u‖ W l,p (Ω) für alle 0 ≤ l ≤ k und 1 ≤ p ≤ q. 

Beweis. Betrachte zunächst die folgende Modellsituation. 

Für u ∈ C0 ∞(Rn−1 × [0, ∞)) definiere 

{ 

u(y, t) für t ≥ 0, 

E 0 u(y, t) := ∑ k+1 

i=1 σ iu(y, −it) für t < 0, 

wobei ∑ k+1 

i=1 σ i(−i) m = 1 für alle m = 0, . . . , k gelte. Nach dem Resultat einer Übungsaufgabe 

hat man E 0 u ∈ C0 k(Rn ). 

Da nach Voraussetzung Ω ⊂⊂ R n und ∂Ω ∈ C k−1,1 , existieren Punkte x j ∈ ∂Ω, j = 1, . . . , R, 

und Umgebungen U j mit x j ∈ U j sowie Abbildungen ϕ j ∈ C k−1,1 (D j ) auf Gebieten 

D j ⊂ R n−1 , so dass U j ∩ ∂Ω = graph(ϕ j ). 

Damit existieren weiterhin invertierbare Abbildungen ψ j ∈ C k−1,1 (U j , R n ) mit ψ j (U j ) = 

B 1 (0) und ψj 

−1 ∈ C k−1,1 (B 1 (0), R n ), die (nach geeigneter Rotation) gegeben sind durch 

ψ j (y, t) := 1 λ j 

((y, t − ϕ j (y)) − x j ) 

für alle (y, t) ∈ U j


und 

ψ −1 

j 

(ξ, τ) = x j + λ j (ξ, τ + ϕ(ξ)) für alle (ξ, τ) ∈ B 1 (0), 

wobei λ j > 0 geeignete Streckungsfaktoren sind. Es gilt ψ j (x j ) = 0 und ψ j (U j ∩ Ω) = 

B 1 + (0) = B 1(0) ∩ {R n−1 × (0, ∞)}, und durch Auswahl eventuell kleinerer Teilgebiete kann 

man es einrichten, dass ∂Ω ⊂ U 1 ∪ . . . ∪ U R ⊂⊂ ˜Ω. Zusätzlich existiert ein U 0 ⊂ Ω offen, 

so dass Ω ⊂ ⋃ R 

j=0 U j. Wählt man nun zu dieser Überdeckung eine Zerlegung der Eins, d.h. 

Funktionen η j ∈ C0 ∞(U j) mit 0 ≤ η j ≤ 1 und ∑ R 

j=0 η j = 1 in Ω, dann gilt für 

( 

E j u := 

(E 0 (η j u) ◦ ψ −1 ∣ 

◦ ψ j , 

dass 

( 

supp (η j u) ◦ ψj 

−1 ∣ 

) 

∣ 

B 

+ 

1 (0) 

j 

)) 

∣ 

B 

+ 

1 (0) 

⊂⊂ B + 1 (0) ∪ ( B n−1 

1 (0) × {0} ) 

und durch Fortsetzung durch den Wert Null außerhalb des Trägers 

(η j u) ◦ ψj 

−1 

∣ ∈ W k,q (R n−1 × (0, ∞)). 

B 

+ 

1 (0) 

Damit ist supp(E j u) ⊂⊂ U j ⊂⊂ ˜Ω, und nach Proposition 2.4 (ii) ist E j u ∈ W k,q 

0 (˜Ω). Mit 

Proposition 2.11 gilt dann 

‖E j u‖ W k,q (˜Ω) ≤ C(ψ j, U j , n, k)‖u‖ W k,q (Ω). 

Man hat 

( 

)) 

E j u| Ω 

= 

(E 0 (η j u) ◦ ψj 

−1 

∣ ◦ ψ 

B 

+ 

j | 

1 (0) Ω 

( 

))∣ 

= 

(E 0 (η j u) ◦ ψj 

−1 

∣∣∣B 

∣ ◦ ψ 

B 

+ 

j | 

1 (0) + Ω 

1 (0) 

= (η j u) ◦ ψj 

−1 

∣ ◦ ψ B 

+ j| 

1 (0) Ω 

= η j u. 

Die Setzung Eu := η 0 u + ∑ R 

j=1 E ju liefert also mit Hilfe der Eigenschaften der Zerlegung 

der Eins 

‖Eu‖ W k,q (˜Ω) ≤ C(Ω, ˜Ω, n, k)‖u‖ W k,q (Ω) 

und Eu| Ω 

= η 0 u + ∑ R 

j=1 E ju| Ω 

= ∑ R 

j=0 η ju = u. 

Mit Hilfe dieses Fortsetzungssatzes kann man das lokale Approximationsresultat für 

Sobolevfunktionen, Proposition 2.4, durch einen globalen Approximationssatz ergänzen. 

Korollar 2.13 [Globale Approximation] 

Seien 1 ≤ q < ∞, k ∈ N und Ω ⊂⊂ R n mit ∂Ω ∈ C k−1,1 . Dann existiert zu u ∈ W k,q (Ω) 

eine Folge {u m } ⊂ C ∞ (Ω) mit u m → u in W k,q (Ω). 

Beweis. Betrachte mit Satz 2.12 Eu ∈ W k,q 

0 (˜Ω) für ein Gebiet ˜Ω ⊃⊃ Ω. Dann existieren 

nach Definition 2.1 (iii) v m ∈ C0 ∞(˜Ω) mit v m −→ Eu in W k,q (˜Ω). Damit folgt für u m := 

m→∞ 

v m | Ω 

∈ C ∞ (Ω) die Konvergenz u m −→ u in W k,q (Ω). 

m→∞

65 

Wir beenden dieses Kapitel mit einigen Resultaten für die spezielle Situation einer 

Raumdimension. Von zentraler Bedeutung für den weiteren Verlauf der Vorlesung ist der 

folgende Einbettungssatz, den man elementar beweisen kann. Daraus ergeben sich einfache 

Varianten der Poincaré-Ungleichungen und ein Hebbarkeitssatz für Singularitäten 

von Sobolevfunktionen auf Intervallen. Letzteres erlaubt eine einfache Konstruktion 

von Vergleichsfunktionen für Variationsprobleme durch “Zusammenkleben” geeigneter 

Sobolevfunktionen sowie eine elementare Version des Fortsetzungssatzes von Sobolevfunktionen 

für n = 1. 

Satz 2.14 [Einbettungssatz für n = 1] 

Sei Ω = I = (a, b) ⊂ R mit −∞ < a 

(i) Sei u ∈ W 1,1 (I), dann ist u ∈ C0 (Ī) mit 

∫ 

∫ 

‖u‖ C 0 (Ī) ≤ |u(x)| dx + 

und 

I 

u(x) − u(y) = 

∫ x 

y 

I 

|u ′ (x)| dx ≤ C(I)‖u‖ W 1,1 (I) 

u ′ (t) dt für alle x, y ∈ Ī. 

(ii) Sei u ∈ W 1,q (I) für q ∈ (1, ∞], dann ist u ∈ C 0,1− 1 q (Ī) mit 

und 

‖u‖ C 0 (Ī) ≤ (∫ 

I 

) 1 

(∫ 

) 1 

|u(x)| q q 

dx + L 1 (I) 1− 1 q |u ′ (x)| q q 

dx 

I 

|u(x) − u(y)| ≤ |x − y| 1− 1 q ‖u ′ ‖ L q (I) für alle x, y ∈ Ī. 

Bemerkung: 

Teil (i) beinhaltet die stetige Einbettung also W 1,1 (I) ↩→ C0 (Ī). Wir erinnern daran, dass 

dies in höheren Raumdimensionen nicht richtig ist: W 1,n (Ω) ̸↩→ C 0 (Ω) für n ≥ 2, vgl. Bemerkung 

3 nach Satz 2.8 und die zugehörige Übungsaufgaben. W 1,n -Funktionen sind für n ≥ 2 

noch nicht einmal beschränkt. Der Teil (ii) von Satz 2.14 konstatiert die stetige Einbettung 

W 1,q (I) ↩→ C 0,1− 1 q (Ī) für q ∈ (1, ∞]. Für q > 1 ist diese Einbettung sogar kompakt. Im 

Grenzfall q = ∞ muss man die L q -Normen auf der rechten Seite der Abschätzungen jeweils 

durch das essentielle Supremum von u und u ′ ersetzen (vgl. auch Satz 2.6 für n ≥ 2): 

und 

‖u‖ C 0 (Ī) ≤ ‖u‖ L ∞ (I) + ‖u ′ ‖ L ∞ (I)L 1 (I) 

|u(x) − u(y)| ≤ |x − y|‖u ′ ‖ L ∞ (I) für alle x, y ∈ Ī, 

so dass man eine Konstante C = C(I) findet, so dass 

‖u‖ C 0,1 (Ī) ≤ C(I)‖u‖ W 1,∞ (I). 

Beweis. (i) Betrachte zunächst I ′ ⊂⊂ I. Nach Proposition 2.4 existieren u m ∈ C∞ (Ī) mit 

u m → u in W 1,1 (I ′ ). Es gilt nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 

u m (x) − u m (y) = 

∫ x 

y 

u ′ m(t) dt für alle x, y ∈ Ī und für alle m ∈ N. (2.6)


Zwischenbehauptung: Die Mengenfunktionen E ↦→ ∫ E |u′ m(t)| dt sind gleichmäßig absolutstetig, 

d.h. für alle ε > 0 existiert ein δ(ε) > 0, so dass 

∫ 

|u ′ m(t)| dt < ε für alle E ⊂ I ′ mit L 1 (E) < δ und für alle m ∈ N. 

E 

Beweis der Zwischenbehauptung: Wir wählen zu ε > 0 ein δ 1 > 0 und ein M(ε) ∈ N, so dass 

∫ 

|u ′ (t)| dt < ε für alle E ⊂ I ′ mit L 1 (E) < δ 1 

2 

und 

Damit folgt 

∫ 

E 

E 

∫ 

I ′ |u ′ m(t) − u ′ (t)| dt < ε 2 

∫ 

|u ′ m(t)| dt ≤ 

E 

für alle m ≥ M(ε). 

∫ 

|u ′ (t)| dt + |u ′ m(t) − u ′ (t)| dt < ε 

I ′ 

für alle E ⊂ I ′ mit L 1 (E) < δ 1 und für alle m ≥ M(ε). 

Wähle nun noch ein δ ≤ δ 1 , so dass 

M(ε)−1 

∑ 

m=1 

∫ 

E 

|u ′ m(t)| dt < ε für alle E ⊂ I ′ mit L 1 (E) < δ. 

Damit folgt die Zwischenbehauptung. 

Benutzt man |u m (x) − u m (y)| ≤ ∣ ∫ x ∣ 

y |u′ m(t)| dt∣, so findet man zu jedem ε > 0 also ein 

δ > 0, so dass 

|u m (x) − u m (y)| ≤ ε für alle x, y ∈ I ′ mit |x − y| < δ und für alle m ∈ N. (2.7) 

Es gilt auch |u m (x)| ≤ |u m (y)| + ∣ ∫ x ∣ 

y |u′ m(t)| dt∣. Integration über I ′ liefert 

also 

∫ 

∫ 

L 1 (I ′ )|u m (x)| ≤ |u m (y)| dy + L 1 (I ′ ) 

∣ |u ′ m(t)| dt 

∣ für alle m ∈ N, 

I ′ I ′ 

‖u m ‖ C 0 (I ′ ) ≤ ∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

|u m (y)| dy + |u ′ m(t)| dt −→ |u(y)| dy + |u ′ (t)| dt. (2.8) 

I ′ I ′ m→∞ 

I ′ I ′ 

Wegen (2.7) und (2.8) gibt es nach dem Satz von Arzelà-Ascoli eine Teilfolge u mk → ũ 

in C 0 (I ′ ). Wegen der Eindeutigkeit des Grenzwerts folgt ũ = u fast überall auf I ′ , also ist 

ũ ∈ C 0 (I ′ ) der eindeutige stetige Repräsentant von u, und wir schreiben einfach u ∈ C 0 (I ′ ). 

Der Grenzübergang m k → ∞ in (2.6) liefert 

u(x) − u(y) = 

∫ x 

y 

u ′ (t) dt für alle x, y ∈ I ′ . (2.9) 

Da I ′ ⊂⊂ I beliebig gewählt war, schließen wir u ∈ C 0 (I) und (2.9) gilt für alle x, y ∈ I. 

Mit der Absolutstetigkeit der Mengenfunktion E ↦→ ∫ E u′ (t) dt, E ⊂ I, folgt aus (2.9)

67 

die gleichmäßige Stetigkeit 7 von u auf I. Folglich können wir u stetig auf I fortsetzen und 

erhalten die Gültigkeit von (2.9) für alle x, y ∈ I. Die behauptete Abschätzung der C 0 -Norm 

von u auf I folgt aus dieser Identität in derselben Weise, wie wir es für die approximierenden 

Funktionen u m auf I ′ gezeigt haben. 

(ii) Da I beschränkt ist, gilt W 1,q (I) ⊂ W 1,1 (I), und wir können (2.9) für alle x, y ∈ I 

verwenden, um mit der Hölder-Ungleichung zu schließen 

|u(x) − u(y)| ≤ 

∣ 

∫ x 

y 

(∫ 

|u ′ (t)| dt 

∣ ≤ 

I 

) 1 

|u ′ (t)| q dt 

q 

1− |x − y| 1 q für alle x, y ∈ Ī. 

Damit ist u ∈ C 0,1− 1 q (I). Ebenfalls wie im Beweis von Teil (i) erhält man für die Abschätzung 

der C 0 -Norm 

∫ 

∫ 

|u(x)| ≤ |u(t)| dt + |u ′ (t)| dt 

≤ 

I 

(∫ 

I 

|u(t)| q dt 

I 

) 1 

q 

+ L 1 (I) 1− 1 q 

(∫ 

I 

) 1 

|u ′ (t)| q q 

dt 

für alle x ∈ Ī. 

Bemerkung: 

Die Gültigkeit des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung für Sobolevfunktionen 

(siehe Teil (i) von Satz 2.14) impliziert die für die eindimensionale Variationsrechnung 

sehr nützlichen Poincaré-Ungleichungen 

∫ 

∫ 

|u(x) − u(x 0 )| q dx ≤ (L 1 (I)) q |u ′ (x)| q dx für alle u ∈ W 1,q (I), x 0 ∈ I 

I 

und damit auch 

∫ 

∫ 

|u(x) − ū I | q dx ≤ (L 1 (I)) q 

I 

I 

I 

|u ′ (x)| q dx für alle u ∈ W 1,q (I), 

wobei ū I := ∫ I 

u(x) dx den Integralmittelwert bezeichnet, vgl. Korollar 2.10. 

Korollar 2.15 [u ′ = 0 f.ü. auf {u = 0}] 

Für u ∈ W 1,q (I), q ∈ [1, ∞], gilt 

u ′ (x) = 0 für L 1 -fast alle x ∈ {z ∈ I : u(z) = 0}. 

Beweis. Sei x 0 ∈ N u := {z ∈ I : u(z) = 0} ein Lebesgue-Punkt von u ′ und ein Häufungspunkt 

von N u . Nach Teil (i) von Satz 2.14 gilt für {z i } ⊂ N u \ {x 0 } mit z i → x 0 

0 = u(z i ) − u(x 0 ) = 

∫ zi 

x 0 

u ′ (t) dt für alle i ∈ N 

7 Tatsächlich ist wegen u ′ ∈ L 1 (I) die Funktion x ↦→ ∫ x 

y u′ (t) dt gleichmäßig stetig; denn für alle ε > 0 gibt 

es δ(ε) > 0, so dass ∫ E u′ (t) dt < ε für alle E ⊂ I mit L 1 (E) < δ(ε), also ist für x, y ∈ I mit |x − y| < δ(ε) 

∫ x 

∫ 

|u(x) − u(y)| ≤ 

∣ u ′ (t) dt 

∣ ≤ |u ′ (t)| dt < ε. 

y 

[y,x]


und damit auch 

0 = 

∫ 

1 zi 

u ′ (t) dt −→ u ′ (x 0 ). 

(z i − x 0 ) x 0 

i→∞ 

Lemma 2.16 [Hebbarkeitssatz] 

Seien I = (a, b) ⊂ R mit −∞ < a 

u ∈ W 1,q (I) ⇐⇒ u ∈ W 1,q (I\{c}) und 

lim u(y) =: 

y→c u(c− ) = u(c + ) := lim u(y). 

− y→c + 

Bemerkung: 

Zur Präsisierung dieser Aussage sei bemerkt, dass unter der Voraussetzung u ∈ W 1,q (I) die 

Grenzwertaussage des Lemmas für den eindeutigen stetigen Repräsentanten von u gilt. Die 

Rückrichtung lässt sich so interpretieren: Gilt für die stetigen Repräsentanten der beiden 

Sobolevfunktionen u 1 := u| (a,c) und u 2 := u (c,b) die Grenzwertaussage, dann kann man diese 

Funktionen zu einer globalen Sobolevfunktion 

{ 

u 1 auf (a, c) 

u := 

u 2 auf (c, b) 

“zusammenkleben”. 

Für W k,q (I) mit k > 1 ist diese Aussage falsch. Um z.B. zwei W 2,2 -Funktionen auf 

angrenzenden Intervallen (a, c) und (c, b) “zusammenzukleben”, muss man dafür sorgen, 

dass auch die ersten Ableitungen der beiden Funktionen bei c übereinstimmen. 

Beweis von Lemma 2.16. „⇒“: Für u, u ′ ∈ L q (I) gilt u, u ′ ∈ L q (I\{c}) und die Regel der 

partiellen Integration in Definition 2.1 gilt auch für alle ϕ ∈ C0 ∞ (I\{c}). Außerdem ist 

u ∈ W 1,q (I) ↩→ C0 (Ī) nach Satz 2.14. 

„⇐“: Für a < x 1 < y 1 < c < y 2 < x 2 

Vertreter von u auf (a, c) und für den stetigen Vertreter von u auf (c, b) 

u(x 2 ) − u(x 1 ) − (u(y 2 ) − u(y 1 )) 

= u(y 1 ) − u(x 1 ) + u(x 2 ) − u(y 2 ) 

∫ y1 

∫ x2 

∫ 

= u ′ (t) dt + u ′ (t) dt = 

x 1 y 2 

= 

= 

∫ x2 

x 

∫ 1 

x2 

x 1 

u ′ (t) dt − 

u ′ (t) dt − 

∫ y2 

y 

∫ 1 

c 

u ′ (t) dt 

y 1 

u ′ (t) dt − 

∫ y2 

c 

[x 1 ,x 2 ]\[y 1 ,y 2 ] 

u ′ (t) dt. 

u ′ (t) dt 

Der 

∫ 

Grenzübergang y 1 → c − , y 2 → c + auf beiden Seiten liefert dann u(x 2 ) − u(x 1 ) = 

x2 

x 1 

u ′ (t) dt. Mit u, u ′ ∈ L q (I\{c}) = L q (I) und mit dem Resultat einer Übungsaufgabe 

folgt damit u ∈ W 1,1 (I) und damit u ∈ W 1,q (I). 

Bemerkung: 1. Eine Anwendung von Lemma 2.16 ist die Konstruktion von (zulässigen) 

Vergleichsfunktionen für Minimierungsaufgaben: Wir nehmen im Vorgriff auf die 

Regularitätstheorie, Kapitel 4, an, dass 

F(u) ≤ F(v) für alle v ∈ W 1,q (I) mit u − v ∈ W 1,q 

0 (I),

69 

und stellen die Frage: 

Besitzt u ∈ W 1,q (I) eine höhere Regularität? 

Ein möglicher erster Schritt zur Beantwortung dieser Frage ist die Konstruktion von 

zulässigen Vergleichsfunktionen. 

h 

u 

a x 1 x 2 b 

Abbildung 2.1: Konstruktion zulässiger Vergleichsfunktionen durch Ersetzung auf (x 1 , x 2 ) := 

B ε (x 0 ). 

Sei x 0 ∈ I. Dann betrachtet man 

v(x) := 

{ 

u(x) für x ∈ I\B ε (x 0 ), 

h(x) für x ∈ B ε (x 0 ), 

wobei h| ∂Bε(x 0 ) = u| ∂B ε(x 0 ) und ε < dist(x 0, ∂I). Man hat also den Minimierer u lokal 

um x 0 durch eine andere Funktion h ersetzt und erhofft sich dadurch Aussagen über 

die Regularität von u nahe x 0 . Zunächst hat man dadurch die Minimierungseigenschaft 

von u auf B ε (x 0 ) lokalisiert: 

F I\Bε(x 0 )(u) + F Bε(x 0 )(u) = F I (u) ≤ F I (v) = F I\Bε(x 0 )(u) + F Bε(x 0 )(h), 

also F Bε(x0 )(u) ≤ F Bε(x0 )(h). Diese Ungleichung kann man nun durch Wahl besonderer 

Vergleichsfunktionen h auf B ε (x 0 ) ausnutzen. Ideen von Morrey folgend kann man 

z.B. h harmonisch wählen, was insbesondere für den Fall n = 2 für Minimalflächen oder 

H-Flächen erfolgreich ist (vgl. [46] und [13]). Für den Fall allgemeiner parametrischer 

Variationsprobleme, also für Cartan-Funktionale auf Flächen (n = 2) hat Morrey 

auch biharmonische Vergleichsfunktionen h eingesetzt (vgl. [46, Chapter 9]. Auch 

für Variationsprobleme höherer Ordnung können biharmonische Vergleichsfunktionen 

nützlich sein, siehe etwa die richtungsweisende Arbeit von L. Simon [64] zur Existenz 

von Tori, die das Willmore-Funktional 

∫ 

H 2 dA 

Σ


minimieren, wobei H die mittlere Krümmung der Fläche Σ bezeichnet; siehe auch [61]. 

Für die Regularitätstheorie allgemeiner Variationsprobleme mit nichtglatten Integranden 

kann auch eine geeignete Konvexkombination von u und ∫ Ω 

u als Vergleichsfunktion 

h gewählt werden, siehe z.B. [22, Chapter V, Theorem 3.1]. 

2. Mit Satz 2.14 und dem Hebbarkeitsresultat, Lemma 2.16, ergibt sich für n = 1 auch eine 

einfache Variante des Fortsetzungssatzes, Satz 2.12: Eine Funktion u ∈ W 1,q ((a, b)) 

besitzt nach Satz 2.14 klassische Randwerte u(a) und u(b). Falls I ⊂⊂ Ĩ, Ĩ = (c, d), 

dann kann man lineare Funktionen l 1 , l 2 mit l 1 (a) = u(a), l 2 (b) = u(b) wählen, so dass 

l 1 (c) = 0 und l 2 (d) = 0. Die zusammengesetzte Funktion 

⎧ 

⎪⎨ l 1 (x) für x ∈ (c, a] 

ũ(x) := u(x) für x ∈ (a, b) 

⎪⎩ 

l 2 (x) für x ∈ [b, d) 

ist dann nach Lemma 2.16 in der Klasse W 

1,q 

(Ĩ) und nach einer Übungsaufgabe sogar 

in W 1,q 

0 (Ĩ).

Kapitel 3 

Unterhalbstetigkeit und 

Existenztheorie 

Zunächst bestimmen wir eine große Klasse von Integranden F , so dass das zugehörige Variationsintegral 

∫ 

F(u) := F (x, u(x), u ′ (x)) dx 

auf Sobolevfunktionen wohldefiniert ist. 


Sei F : R × R N × R N → [0, ∞) eine Carathéodory-Funktion, d.h. 

I 

F (·, z, p) ist messbar für alle (z, p) ∈ R N × R N 

und F (x, ·, ·) ∈ C 0 (R N × R N ) für L 1 -fast alle x ∈ I. 

Dann ist F(u) für alle u ∈ W 1,q (I) mit q ∈ [1, ∞] wohldefiniert mit Werten in [0, ∞]. 

Beweis. Es ist zu zeigen, dass F (·, u(·), u ′ (·)) messbar ist. Dazu reicht es zu zeigen, dass Superniveaumengen 

messbar sind. Wäre F = F (z, p) (und damit nach Voraussetzung stetig), 

dann hätte man mit der Messbarkeit von u, u ′ ∈ L q (I, R N ) und der Stetigkeit von F sofort 

die Messbarkeit der Verkettung F ◦ (u, u ′ ) auf I. 

Im allgemeinen Fall F = F (x, z, p) argumentiert man folgendermaßen. Für u, u ′ ∈ 

L q (I, R N ) gibt es eine Folge von Paaren von Treppenfunktionen (t j , t ′ j), die mit j → ∞ L 1 - 

fast überall punktweise gegen (u, u ′ ) konvergiert. Wir schreiben diese Treppenfunktionen in 

der Form 

(t j (x), t ′ j(x)) = 

l j 

∑ 

i=1 

µ j i χ A j i 

(x) 

mit µ j i ∈ R2N , messbaren disjunkten Mengen A j i 

⊂ I und zugehörigen charakteristischen 

Funktionen 

{ 

1 für x ∈ A j i 

χ A 

j(x) := 

, 

i 0 für x ∉ A j i . 

71

72 KAPITEL 3. UNTERHALBSTETIGKEIT UND EXISTENZTHEORIE 

Dann gilt für alle r ∈ R 

( 

F (·, t j (·), t ′ j(·)) −1((r, 

∞)) = {x ∈ I : F (x, tj (x), t ′ j(x)) > r} 

= 

l j 

⋃ 

i=1 

( 

) 

{x ∈ I : F (x, µ j i ) > r} ∩ Aj i 

∪ {x ∈ I : F (x, 0, 0) > r}. 

Die Mengen A j i , {x ∈ I : F (x, µj i 

) > r} und {x ∈ I : F (x, 0, 0) > r} sind nach Voraussetzung 

an F messbar, damit auch die Vereinigung auf der rechten Seite, und deshalb schließlich auch 

F (·, t j (·), t ′ j(·)) für alle j ∈ N. 

Da F für L 1 -fast alle x ∈ I in den letzten beiden Variablen stetig ist, gilt 

F (x, t j (x), t ′ j(x)) j→∞ 

−−−→ F (x, u(x), u ′ (x)) für L 1 -fast alle x ∈ I, 

und damit ist F (·, u(·), u ′ (·)) messbar als punktweiser Grenzwert einer Folge von messbaren 

Funktionen, vgl. [2, Lemma 1.11]. 

Zentral für die direkte Methode der Variationsrechnung, die in diesem Kapitel präsentiert 

werden soll, ist der Begriff der Unterhalbstetigkeit, siehe auch die zugehörigen Übungsaufgaben. 

Zur Motivation dieser schwächeren Form von Stetigkeit skizzieren wir in einer 

abstrakten Situation die direkte Methode der Variationsrechnung: 

1. Man wählt sich eine geeignete, nichtleere Klasse C von Funktionen, auf der das Variationsintegral 

F wohldefiniert ist, und auf der man F minimieren möchte. 

2. Man beweist die Existenz einer unteren Schranke für F, d.h. die Existenz einer Konstanten 

0 ≤ C < ∞, so dass 

inf F ≥ −C. 

C 

3. Dann wählt man sich eine Minimalfolge für F, das heißt eine Folge {u i } ⊂ C mit 

F(u i ) −→ inf 

C 

F für i → ∞. 

4. Man beweist die Existenz einer Teilfolge {u ik } ⊂ {u i }, die in einer geeigneten Topologie 

gegen ein Grenzelement u ∈ C konvergiert. 

5. Man nutzt die Unterhalbstetigkeit von F bezüglich der im vorigen Schritt verwendeten 

Topologie, um zu schließen 

−∞ < 

Schritt 2 

inf 

C F ≤ 

Schritt 4 

F(u) 

≤ 

F unterhalbstetig 

lim inf 

k→∞ F(u i k 

) = 

Schritt 3 

inf 

C F, 

woraus Gleichheit in dieser Ungleichungskette und damit 

F(u) = inf 

C 

folgt. Damit ist das Existenzproblem gelöst. 

F

73 

In der Tat ist die Wahl einer geeigneten, dem jeweiligen Variationsproblem angemessenen 

Topologie entscheidend: Für Schritt 4, d.h. für die Auswahl von konvergenten Teilfolgen 

bevorzugt man eine möglichst wenig restriktive Topologie, wohingegen man für die Unterhalbstetigkeit 

des Funktionals, also für den abschließenden Schritt 5, gerne eine möglichst 

starke Topologie zur Verfügung hätte. Das Ausbalancieren dieser beiden gegenläufigen Effekte 

sichert bei den hier betrachteten Variationsintegralen die schwache Topologie in Sobolevräumen. 

Die Unterhalbstetigkeit der Funktionale bezüglich der schwachen Konvergenz 

soll nun untersucht werden. Wir suchen nach Bedingungen an F für dessen schwache Unterhalbstetigkeit 

und formulieren dazu in der nächsten Proposition zunächst die notwendige 

Bedingung der Quasikonvexität, welche auf C.B. Morrey zurückgeht. Unterhalbstetigkeitssätze 

für höherdimensionale Variationsprobleme findet man in den Lehrbüchern von 

Dacorogna [11] und Fonseca und Leoni [21]. Für abstrakte Versionen in allgemeinen 

Banachräumen verweisen wir auf die Diplomarbeit von U. Menne [44] und auf die dort 

zitierte Literatur. 

Proposition 3.2 [Notwendige Bedingung für schwache Unterhalbstetigkeit] 

Sei I = (a, b) ⊂ R ein endliches Intervall, q ∈ [1, ∞), F ∈ C 0 (R × R N × R N ) und F 

schwach unterhalbstetig in W 1,q (I, R N ), d.h. 

F(u) ≤ lim inf 

m→∞ F(u m) 

für alle Folgen {u m } ⊂ W 1,q (I, R N ) und Funktionen u ∈ W 1,q (I, R N ) mit u m ⇀ u in 

W 1,q (I, R N ) für m → ∞. 

Dann gilt für alle (x 0 , z 0 , p 0 ) ∈ I × R N × R N 

∫ 

F (x 0 , z 0 , p 0 + ϕ ′ (x)) dx ≥ L 1 (I) F (x 0 , z 0 , p 0 ) ∀ϕ ∈ C 0,1 (I, R N ) mit ϕ(a) = ϕ(b) = 0 ; 

I 

außerdem ist F (x, z, ·) konvex für alle (x, z) ∈ I × R N . 

(3.1) 

Definition 3.3 [Quasikonvexität] 

Eine stetige Funktion F = F (x, z, p) heißt quasikonvex (in p) genau dann, wenn die Ungleichung 

(3.1) für alle ϕ ∈ C ∞ 0 (I, RN ) erfüllt ist. 

Bemerkung: 

Zwar gilt immer die Implikation „konvex ⇒ quasikonvex“ , doch in mehreren Raumdimensionen 

n ≥ 2 gilt die Umkehrung im Allgemeinen nicht. Dazu verweisen wir zum Beispiel 

auf das Buch von Dacorogna [11, Ch. 4.1]. (Dort wird übrigens für die Definition der 

Quasikonvexität nur die Messbarkeit und lokale Integrierbarkeit von F (x, z, ·) gefordert.) 

Die Quasikonvexität ist eine schwer zu verifizierende Bedingung, deshalb sind einfach nachzuweisende, 

hinreichende Bedingungen für die Unterhalbstetigkeit von Funktionalen von 

großer Bedeutung für die Variationsrechnung, wie z.B. die Polykonvexität von Integranden 

in mehreren Raumdimensionen, siehe z.B. [11]. 

Beweis von Proposition 3.2. Ohne Einschränkung sei I = (0, 1). 

Fall 1: F = F (p). Sei p 0 ∈ R N gegeben. Wir setzen ϕ ∈ C 0,1 (I, R N ) durch den Wert 

ϕ(x − m) für x ∈ [m, m + 1) und m ∈ Z, auf ganz R fort, und bezeichnen die so gewonnene 

1-periodische Funktion wieder mit ϕ, so dass nun ϕ ∈ C 0,1 (R, R N ) gilt. Sei nun ϕ m (x) := 

1 

m ϕ(mx) für m ∈ N. Dann ist ϕ′ m(x) = ϕ ′ (mx) für L 1 -fast alle x ∈ R, und ‖ϕ ′ m‖ L ∞ (I,R N ) ≤


c. Mit u 0 (x) := p 0 x und u m (x) := u 0 (x) + ϕ m (x) gilt dann 

und 

|u ′ m(x)| ≤ |u ′ 0(x)| + |ϕ ′ m(x)| = |p 0 | + |ϕ ′ m(x)| ≤ c ′ für fast alle x ∈ I 

|u m (x) − u 0 (x)| = |ϕ m (x)| = | 1 m ϕ(mx)| ≤ 1 m ‖ϕ‖ C 0 (I,R N ) 

m→∞ 

−−−−→ 0 für alle x ∈ I, 

also u m → u 0 in C 0 (I, R N ). Darüberhinaus haben wir ‖u m ‖ C 0,1 (I,R N ) 

≤ C und damit 

‖u m ‖ W 1,q ′ (I,R N ) ≤ C für alle q′ ∈ [1, ∞]. Falls das in den Voraussetzungen gegebene q in 

(1, ∞) liegt, folgt wegen der Reflexivität (siehe Satz A.19 im Anhang) direkt die Existenz 

einer Teilfolge u mk ⇀ u 0 in W 1,q (I, R N ) für k → ∞ und mit dem Teilfolgenprinzip dann 

auch für die ganze Folge u m ⇀ u 0 in W 1,q (I, R N ) für m → ∞. Wenn q = 1, dann nutzt 

man die Beschränktheit des Intervalls I, um mit der Hölder-Ungleichung W 1,q′ (I, R N ) ⊂ 

W 1,1 (I, R N ) für alle q ′ ∈ (1, ∞) und damit die umgekehrte Inklusion für die Dualräume 

(W 1,1 (I, R N )) ∗ ⊂ (W 1,q′ (I, R N )) ∗ zu schließen 1 . Aus u m ⇀ u 0 in W 1,q′ (I, R N ) folgt nun 

auch u m ⇀ u 0 in W 1,1 (I, R N ) für m → ∞. 

Also ist für jedes gegebene q ∈ [1, ∞) die Funktionenfolge {u m } m∈N zulässig in der 

Voraussetzung 

∫ 

der Proposition, d.h. es gilt F(u 0 ) ≤ lim inf m→∞ F(u m ). Nun ist F(u 0 ) = 

I F (p 0) dx = L 1 (I)F (p 0 ), also folgt mit der Transformation z := mx und der Periodizität 

von ϕ 

∫ 

L 1 (I)F (p 0 ) = F(u 0 ) ≤ lim inf F(u m) = lim inf F (p 0 + ϕ ′ 

m→∞ m→∞ 

m(x)) dx 

∫ 

I 

= lim inf F (p 0 + ϕ ′ (mx)) dx 

m→∞ 

I 

∫ 

1 

= lim inf F (p 0 + ϕ ′ (z)) dz 

m→∞ m mI 

1 

= lim inf 

m→∞ m 

∫I 

m F (p 0 + ϕ ′ (z)) dz 

∫ 

= F (p 0 + ϕ ′ (z)) dz. 

I 

Fall 2: F = F (x, z, p). Sei x 0 ∈ I, z 0 ∈ R N und p 0 ∈ R N . Wir definieren 

R h := (x 0 , x 0 + h) für 0 < h < dist(x 0 , ∂I) < 1. 

Wir setzen ϕ ∈ C 0,1 (I, R N ) wie im ersten Fall 1-periodisch auf R fort und definieren ϕ m 

für m ∈ N durch 

ϕ m (x) := h ( m 

) 

m ϕ h (x − x 0) , 

1 Genauer gesagt: die Konvergenz u k→∞ 

k ⇀ u in W 1,q (I, R N ) bedeutet l(u k ) k→∞ 

−−−→ l(u) für alle linearen 

Funktionale l ∈ (W 1,q (I, R N )) ∗ . Für ein ˜l ∈ (W 1,1 (I, R N )) ∗ und v ∈ W 1,q (I, R N ) ⊂ W 1,1 (I, R N ) gilt aber 

nach der Hölder-Ungleichung 

|˜l(v)| ≤ ‖˜l‖ (W 1,1 (I,R N )) ∗‖v‖ W 1,1 (I,R N ) ≤ ‖˜l‖ (W 1,1 (I,R N )) ∗‖v‖ W 1,q (I,R N ) L 1 (I) 1− 1 q , 

also ‖˜l‖ (W 1,q (I,R N )) ∗ ≤ ‖˜l‖ (W 1,1 (I,R N )) ∗L 1 (I) 1−(1/q) . Insgesamt hat man also ˜l(u k ) k→∞ 

−−−→ ˜l(u) für alle 

˜l ∈ (W 1,1 (I, R N )) ∗ .

75 

so dass ϕ m | Rh ∈ C 0,1 (R h , R N ) mit ϕ m | Rh (x 0 ) = ϕ m | Rh (x 0 + h) = 0, da I = (0, 1). Sei 

u 0 (x) := z 0 + p 0 (x − x 0 ) und 

{ 

u 0 (x) + ϕ m (x) für x ∈ R h , 

u m (x) := 

u 0 (x) für x ∈ I \ R h . 

Dann gilt wieder u m 

m→∞ 

−−−−→ u 0 in C 0 (I, R N ), weil 

‖ϕ m ‖ C 0 (R,R N ) ≤ h m ‖ϕ‖ C 0 (I,R N ) 

m→∞ 

−−−−→ 0. 

Da ϕ ′ m(x) = ϕ ′ ( m h (x − x 0)) für alle m ∈ N, sind die Funktionen u ′ m gleichmäßig beschränkt 

auf I, womit {u m } m∈N mit demselben Argument wie in Fall 1 als zulässige Folge in der 

Voraussetzung identifiziert werden kann. Wir betrachten nun 

∫ 

F Rh (u m ) = F (x, u m (x), u ′ m(x)) dx 

R h 

= 

m−1 

∑ 

i=0 

∫ 

I i 

F (x, u m (x), u ′ m(x)) dx, 

wobei I i := (x i , x i+1 ) für i = 0, . . . , m − 1, und x i := x 0 + ih m 

, i = 0, . . . , m. Die Substitution 

x = x i + h m y liefert dann wegen y(I i) = I und wegen 

( 

ϕ ′ m(x) = ϕ ′ m 

) 

h (x − x 0) 

die Identität 

F Rh (u m ) = 

m−1 

∑ 

i=0 

Zwischenbehauptung: Es gilt 

lim F R 

m→∞ h 

(u m ) = 

( m 

= ϕ ′ h (x i + h ) 

m y − x 0) 

= ϕ ′ (y + i) = 

ϕ 1-periodisch ϕ′ (y) 

∫ 

h 

F (x i + h m I m y, u m(x i + h m y), p 0 + ϕ ′ (y)) dy. 

∫R h 

∫ 

I 

F (x, u 0 (x), p 0 + ϕ ′ (y)) dy dx. 

Beweis der Zwischenbehauptung. Mit F ∈ C 0 (R × R N × R N m→∞ 

) und u m −−−−→ u 0 in 

C 0 (I, R N ) folgt: Für alle ε > 0 gibt es N = N(ε) ∈ N, so dass für alle m ≥ N(ε) und 

i ∈ {0, 1, . . . , m − 1} 

∫ 

∫ 

∣ F (x i , u 0 (x i ), p 0 + ϕ ′ (y)) dy − F (x i + h m y, u m(x i + h m y), p 0 + ϕ ′ (y)) dy 

∣ < ε 2 , 

I 

woraus 

∣ F R h 

(u m ) − 

≤ 

m−1 

∑ 

i=0 

h 

m 

m−1 

∑ 

i=0 

∫ 

∣ 

I 

∫ 

h 

m I 

< εh m−1 

∑ 

1 = εh 2m 2 < ε 2 

i=0 

F (x i , u 0 (x i ), p 0 + ϕ ′ (y)) dy 

∣ 

I 

F (x i + h m y, u m(x i + h ∫ 

m y), p 0 + ϕ ′ (y)) dy − 

für alle m ≥ N(ε) 

I 

F (x i , u 0 (x i ), p 0 + ϕ ′ (y)) dy 

∣


folgt. Nun ist die auf I stetige Funktion 

∫ 

f(x) := F (x, u 0 (x), p 0 + ϕ ′ (y)) dy, x ∈ I, 

I 

Riemann-integrierbar auf R h , was die Existenz einer Zahl N 1 (ε) ∈ N mit N 1 (ε) ≥ N(ε) 

impliziert, so dass für alle m ≥ N 1 (ε) 

∫ 

m−1 

∑ 

∫ 

F (x, u 0 (x), p 0 + ϕ 

∣ 

∫R ′ h 

(y)) dy dx − F (x i , u 0 (x i ), p 0 + ϕ ′ (y)) dy 

h 

m I 

∣ < ε 2 . 

Insgesamt ergibt sich 

∣ F R h 

(u m ) − 

I 

∫R h 

∫ 

I 

i=0 

F (x, u 0 (x), p 0 + ϕ ′ (y)) dy dx 

∣ < ε 

womit die Zwischenbehauptung bewiesen ist. 

für alle m ≥ N 1(ε), 

Wegen der vorausgesetzten Unterhalbstetigkeit hat man 

∫ 

∫ 

F (x, u 0 (x), p 0 ) dx + F (x, u 0 (x), p 0 ) dx = F(u 0 ) 

I\R h R 

⎡ 

h 

⎤ 

∫ 

∫ 

⎢ 

≤ lim inf ⎣ F (x, u m (x), u ′ 

m→∞ 

I\R h 

} {{ } m(x) ) dx + F (x, u 

} {{ } 

m (x), u ′ ⎥ 

m(x)) dx⎦ 

R h 

=u 0 (x) =u ′ 0 

∫ 

(x) ∫ 

= F (x, u 0 (x), p 0 ) dx + lim inf F (x, u m (x), u ′ 

I\R 

m→∞ 

m(x)) dx, 

h R 

} h 

{{ } 

=F Rh (u m) 

da u m = u 0 auf I\R h . Es gilt also nach der Zwischenbehauptung 

∫ 

1 

F (x, u 0 (x), p 0 ) dx ≤ 1 lim inf 

h R h 

h F R 

m→∞ h 

(u m ) = 1 h lim F R 

m→∞ h 

(u m ) 

= 1 h 

∫R h 

∫ 

I 

F (x, u 0 (x), p 0 + ϕ ′ (y)) dy dx. 

Für h → 0 folgt dann mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung und der Definition von 

u 0 ∫ 

F (x 0 , z 0 , p 0 ) ≤ F (x 0 , z 0 , p 0 + ϕ ′ (y)) dy, 

I 

womit die Beziehung (3.1) gezeigt ist; denn es gilt L 1 (I) = 1. 

Es bleibt die Konvexität von F (x, z, ·) zu beweisen. Seien nun dazu p 1 , p 2 ∈ R N und 

p = λp 1 +(1−λ)p 2 für eine beliebige Zahl λ ∈ [0, 1]. Außerdem definiere die Lipschitzstetige 

Funktion 

{ 

xp 1 

für x ∈ [0, λ], 

˜ϕ(x) := 

λp 1 + (x − λ)p 2 für x ∈ (λ, 1], 

so dass 

˜ϕ ′ (x) = 

{ 

p 1 für x ∈ [0, λ), 

p 2 für x ∈ (λ, 1].

77 

Sei nun ϕ(x) := ˜ϕ(x) − ˜ϕ(0) − px ∈ C 0,1 ([0, 1], R N ). Dann gelten nach Definition von ˜ϕ 

die Identitäten ϕ(0) = 0 und ϕ(1) = ˜ϕ(1) − ˜ϕ(0) − p = 0. Also ergibt sich mit der oben 

bewiesenen Ungleichung für p 0 := p und diese Wahl von ϕ 

F (x 0 , z 0 , λp 1 + (1 − λ)p 2 ) = F (x 0 , z 0 , p) 

∫ 

≤ F (x 0 , z 0 , p + ϕ ′ (y)) dy 

∫I 

= F (x 0 , z 0 , ˜ϕ ′ (y)) dy 

= 

I 

∫ λ 

0 

F (x 0 , z 0 , p 1 ) dy + 

∫ 1 

λ 

F (x 0 , z 0 , p 2 ) dy 

= λF (x 0 , z 0 , p 1 ) + (1 − λ)F (x 0 , z 0 , p 2 ). 

Bemerkung: 

Fordert man die schwache Oberhalbstetigkeit (d.h. F(u) ≥ lim sup m→∞ F(u m )) anstelle der 

schwachen Unterhalbstetigkeit in Proposition 3.2, dann ergibt sich (3.1) mit umgekehrtem 

Ungleichheitszeichen, und F (x, z, ·) ist konkav in p. 

Mit dieser Beobachtung erhält man 

Korollar 3.4 

Sei I = (a, b) mit −∞ < a 

die Abbildung v ↦→ ∫ I F (x, v(x), v′ (x)) dx genau dann schwach stetig in W 1,q (I, R N ), also 

stetig bezüglich der schwachen Konvergenz in W 1,q (I, R N ), wenn F (x, z, p) linear in p ist 

für alle (x, z) ∈ I × R N , d.h. wenn es A ∈ C 0 (I × R N , R N ) und B ∈ C 0 (I × R N ) gibt, so 

dass 

F (x, z, p) = A(x, z) · p + B(x, z) für (x, z, p) ∈ I × R N × R N . 

Beweis. „⇒ “: Mit der schwachen Stetigkeit von F ist F(u) = lim m→∞ F(u m ) für alle in 

W 1,q (I, R N ) schwach konvergenten Folgen u m ⇀ u. Also ist F schwach unterhalb- und 

oberhalbstetig, d.h. F (x, z, ·) ist konkav und konvex nach Proposition 3.2 und der sich 

daran anschließenden Bemerkung. Damit ist F linear in p. Die Stetigkeit von A und B folgt 

aus der Tatsache, dass F ∈ C 0 (I × R N × R N ). 

„⇐ “: Wir zeigen die Rückrichtung der Einfachheit halber nur für q > 1. Eine Folge 

{u m } ⊂ W 1,q (I, R N m→∞ 

) mit u m ⇀ u in W 1,q (I, R N ) ist nach Lemma A.8 in W 1,q (I, R N ) 

beschränkt, d.h., es gibt eine Konstante C unabhängig von m, so dass ‖u m ‖ W 1,q (I,R N ) ≤ C 

für alle m ∈ N. Weiterhin gibt es nach Satz 2.14 in Verbindung mit dem Satz von Arzelà- 

Ascoli eine Teilfolge, die gegen u in C 0 (I, R N ) konvergiert. Nach dem Teilfolgenprinzip


gilt dann auch u m → u in C 0 (I, R N ) für m → ∞, und wir können abschätzen 

∫ 

∫ 

|F(u m ) − F(u)| = 

∣ F (x, u m (x), u ′ m(x)) dx − F (x, u(x), u ′ (x)) dx 

∣ 

I 

I 

∫ 

≤ 

∣ A(x, u(x)) · (u ′ m(x) − u ′ (x)) dx 

∣ 

I 

∫ 

+ 

∣ |A(x, u m (x)) − A(x, u(x))||u ′ m(x)| dx 

∣ 

I 

∫ 

+ 

∣ |B(x, u m (x)) − B(x, u(x))| dx 

m→∞ 

∣ −−−−→ 0 ; 

I 

denn mit der Stetigkeit von A und B und der gleichmäßigen Konvergenz der u m gegen u 

gehen die letzten beiden Terme auf der rechten Seite wegen ‖u m ‖ W 1,q (I,R N ) ≤ C gegen Null, 

m→∞ 

während mit der schwachen Konvergenz u m ⇀ u der erste Ausdruck auf der rechten Seite 

gegen Null konvergiert. Damit gilt also 

|F(u m ) − F(u)| m→∞ −−−−→ 0. 

Ein in den Anwendungen leicht nachprüfbares hinreichendes Kriterium für die Unterhalbstetigkeit 

von Variationsintegralen liefert der Unterhalbstetigkeitssatz von Tonelli. 

Satz 3.5 [Tonelli] 

Sei I = (a, b) mit −∞ < a 

(i) F, F p ∈ C 0 (I × R N × R N ), 

(ii) F ≥ 0 (alternativ auch F (x, z, p) ≥ g(x) für alle (z, p) ∈ R N × R N und L 1 -fast alle 

x ∈ I und für eine Funktion g ∈ L 1 (I)), 

(iii) F (x, z, ·) konvex in p für alle (x, z) ∈ I × R N . 

Dann ist F(u) := ∫ I F (x, u(x), u′ (x)) dx schwach unterhalbstetig in W 1,q (I, R N ) für alle 

q ∈ [1, ∞). 

DeGiorgi [12] konnte einen solchen Satz unter einer abgeschwächten ersten Bedingung 

beweisen: Anstelle von Voraussetzung (i) reicht es, wenn F eine Carathéodory-Funktion 

ist, d.h. F (·, z, p) ist messbar für alle (z, p) ∈ R N × R N und F (x, ·, ·) ist stetig für L 1 - 

fast alle x ∈ I. Diese DeGiorgi-Variante werden wir für den Existenzbeweis für Cartan- 

Funktionale in Abschnitt 5.2 benötigen. Es gibt zahlreiche weitere Verallgemeinerungen und 

Verschärfungen dieses Unterhalbstetigkeitssatzes auch in Dimension n = 1, siehe dazu die 

Resultate und weiterführenden Literaturhinweise in [4, S. 109ff]. 

Beweis von Satz 3.5. Wir führen den Beweis nur unter der Voraussetzung F ≥ 0 (sonst 

betrachte das modifizierte Funktional F + ∫ I 

|g(x)| dx). Da I ⊂ R beschränkt ist, können wir 

ohne Einschränkung annehmen, dass die Folge {u k } k∈N schwach in W 1,1 (I, R N ) konvergiert, 

vgl. mit dem Argument im Beweis von Proposition 3.2. Wegen der kompakten Einbettung 

W 1,1 (I, R N ) ↩→ L 1 (I, R N ) (siehe Satz 2.8 (i)) konvergiert zunächst eine Teilfolge und dann 

nach dem Teilfolgenprinzip auch die ganze Folge {u k } stark gegen u in L 1 (I, R N ) und damit 

auch L 1 -fast überall gegen u.

79 

Wegen der Absolutstetigkeit der Mengenfunktion 

∫ 

I ⊃ E ↦→ 

E 

F (x, u(x), u ′ (x)) dx 

(vgl. [2, Lemma A1.17]) gibt es zu ε > 0 eine Zahl δ(ε) > 0, so dass 

∫ 

E 

F (x, u(x), u ′ (x)) dx ≥ F(u) − ε 

für alle Borelmengen E ⊂ I mit L 1 (I \ E) < δ(ε). 

(3.2) 

(Falls F(u) = ∞, was nach Proposition 3.1 möglich ist, dann findet man δ(ε) > 0, so dass 

∫ 

E F (x, u(x), u′ (x)) dx ≥ 1 ε für alle Borelemengen E ⊂ I mit L 1 (I \ E) < δ(ε).) Nach dem 

Satz von Egorov [2, Satz A1.18] existiert eine Borelmenge E δ(ε) ⊂ I mit L 1 (I \ E δ(ε) ) < 

δ(ε)/2, so dass u k auf E δ(ε) gleichmäßig gegen u konvergiert, d.h. 

sup |u k (x) − u(x)| → 0 für k → ∞. 

x∈E δ(ε) 

Weiterhin findet man nach dem Satz von Lusin (vgl. [2, Satz A4.7]) eine kompakte Menge 

K(ε) ⊂ E δ(ε) , so dass neben der Funktion u auch die schwache Ableitung u ′ stetig auf K(ε) 

ist, und so dass 

L 1 (E δ(ε) \ K(ε)) < δ(ε) 

2 

⇒ 

L 1 (I \ K(ε)) < δ(ε). 

Somit folgt aus (3.2) 

∫ 

K(ε) 

F (x, u(x), u ′ (x)) dx ≥ F(u) − ε (3.3) 

(oder ∫ K(ε) F (x, u(x), u′ (x)) dx > 1/ε, falls F(u) = ∞). 

F(x, z, ·) 

u ′ 

u ′ k 

p 

Abbildung 3.1: F ist konvex in p. 

Wegen F ≥ 0 und der Konvexität von F können wir das Funktional nun folgendermaßen


abschätzen: 

F(u k ) 

≥ 

≥ 

= 

k→∞ 

−−−→ 

∫ 

∫ 

∫ 

K(ε) 

K(ε) 

K(ε) 

∫ 

+ 

F (x, u k (x), u ′ k (x)) dx 

∫ 

F (x, u k (x), u ′ (x)) dx + F p (x, u k (x), u ′ (x)) · (u ′ k (x) − u′ (x)) dx 

K(ε) 

K(ε) 

F (x, u(x), u ′ (x)) dx 

∫ 

F (x, u k (x), u ′ (x)) dx − 

K(ε) 

F (x, u(x), u ′ (x)) dx 

} {{ } 

∫ 

=:A 

+ F p (x, u(x), u ′ (x)) · (u ′ k (x) − u′ (x)) dx 

K(ε) 

} {{ } 

∫ 

=:B 

+ [F p (x, u k (x), u ′ (x)) − F p (x, u(x), u ′ (x))] · (u ′ k (x) − u′ (x)) dx 

∫ 

K(ε) 

} {{ } 

=:C 

K(ε) 

F (x, u(x), u ′ (x)) dx; 

denn die Terme A, B, C streben für k → ∞ gegen Null: Es gilt A −−−→ k→∞ 0, da F ∈ C 0 (I × 

R N × R N k→∞ 

) und u k −−−→ u gleichmäßig auf K(ε) und u ′ beschränkt auf K(ε). Weiterhin 

hat man B −−−→ k→∞ 

k→∞ 

0, weil u k ⇀ u in W 1,1 (I, R N ) und F p (·, u(·), u ′ (·)) ∈ C 0 (K(ε), R N ). 

Schließlich sieht man ein, dass C −−−→ k→∞ 0, da F p ∈ C 0 (I×R N ×R N k→∞ 

), u k −−−→ u gleichmäßig 

auf K(ε) und da ‖u ′ k − u′ ‖ L 1 (I,R N ) beschränkt ist, weil {u k } k∈N schwach konvergent ist, vgl. 

Lemma A.8 im Anhang. 

Schließlich folgt also wegen F ≥ 0 mit (3.3) im Fall F(u) < ∞ 

∫ 

lim inf F(u k) ≥ F (x, u(x), u ′ (x)) dx 

k→∞ K(ε) 

∫ 

≥ F (x, u(x), u ′ (x)) dx − ε = F(u) − ε ∀ ε > 0. 

I 

Falls F(u) = ∞ folgt lim inf k→∞ F(u k ) ≥ 1/ε für das beliebig vorgegebene ε > 0. 

Nun sind wir in der Lage, die am Anfang dieses Kapitels skizzierte direkte Methode für 

den Beweis eines Existenzsatzes anzuwenden. 

Satz 3.6 [Existenzsatz von Tonelli] 

Sei I = (a, b) mit −∞ < a 

(i) F, F p ∈ C 0 (I × R N × R N ); 

(ii) es gibt Konstanten c 0 > 0 und c 1 ≥ 0, so dass 

c 0 |p| q − c 1 ≤ F (x, z, p) ∀ (x, z, p) ∈ I × R N × R N ;

81 

(iii) F (x, z, ·) ist konvex (in p) für alle (x, z) ∈ I × R N . 

Dann gibt es eine Funktion u in der Klasse 

C(α, β) := {v ∈ W 1,q (I, R N ) : v(a) = α, v(b) = β}, 

welche das Funktional F in C(α, β) minimiert: 

∫ 

F(u) = F (x, u(x), u ′ (x)) dx = inf F(·). 

C(α,β) 

I 

I 

Beweis. Ohne Einschränkung führen wir den Beweis für den Fall c 1 = 0, ansonsten kann 

man zuerst das Hilfsfunktional ˜F(·) := F(·) + L 1 (I)c 1 betrachten, dessen Integrand nach 

Voraussetzung (ii) nichtnegativ ist. Der für ˜F gefundene Minimierer minimiert dann auch 

das ursprüngliche Funktional F. 

Zunächst ist die Klasse zulässiger Funktionen C(α, β) nicht leer, zum Beispiel liegt 

die die Randwerte verbindende Gerade, also die lineare Funktion l : R → R N mit 

l(a) = α und l(b) = β, in dieser Menge. Es existiert also eine Minimalfolge, d.h. eine Folge 

{u k } k∈N ⊂ C(α, β) mit F(u k ) −−−→ k→∞ inf C(α,β) F(·). Aus Voraussetzung (ii) (für c 1 = 0) folgt 

die Abschätzung ∫ 

c 0 |u ′ k (x)|q dx ≤ F(u k ) −−−→ 

k→∞ inf F(·) < ∞, 

C(α,β) 

was bedeutet, dass ‖u ′ k ‖ L q (I,R N ) unabhängig von k beschränkt ist. Außerdem folgt aus 

|u k (x)| ≤ |u k (a)| + |u k (x) − u k (a)|, dass 

|u k (x)| q ≤ 2 q−1[ |u k (a) | q + |u 

} {{ } k (x) − u k (a)| q] . 

=α 

Aus dieser Ungleichung folgt 2 mit Hilfe der Poincaré-Ungleichung (siehe Bemerkung nach 

Satz 2.14) 

∫ 

∫ 

|u k (x)| q dx ≤ c + c |u k (x) − u k (a)| q dx 

I 

∫I 

≤ c + c |u ′ k (x)|q dx ≤ c, 

also ist ‖u k ‖ L q (I,R N ) und damit insgesamt ‖u k ‖ W 1,q (I,R N ) gleichmäßig beschränkt. Da für 

q ∈ (1, ∞) der Raum W 1,q (I, R N ) ein reflexiver Banachraum ist, gibt es nach Satz A.10 

im Anhang eine Funktion u ∈ W 1,q (I, R N ) und eine in W 1,q (I, R N ) gegen u schwach konvergente 

Teilfolge {u ki } i∈N . Nach Satz 2.14 ist ‖u k ‖ 

0,1− 1q gleichmäßig beschränkt, 

C (I,R N ) 

womit man mit Hilfe des Satzes von Arzelà-Ascoli auf die Existenz einer weiteren Teilfolge 

schließt, die wir ebenfalls mit {u ki } i∈N bezeichnen, welche in C 0 (I, R N ) ebenfalls gegen 

u konvergiert. Deshalb gilt u(a) = lim i→∞ u ki (a) = α und u(b) = lim i→∞ u ki (b) = β, so 

dass u ∈ C(α, β). Damit und mit der Unterhalbstetigkeit von F, die Satz 3.5 garantiert, 

folgt, dass u ein Minimierer von F ist: 

inf F(·) ≤ F(u) ≤ lim inf F(u k i 

) = lim F(u k) = inf F(·). 

C(α,β) i→∞ 

k→∞ C(α,β) 

I 

2 Hier und im Folgenden bezeichnet c oder C eine generische Konstante, deren Wert sich zwar von Zeile 

zu Zeile ändern kann, die aber nicht von k sondern nur von den Daten q, F, I, c 0, c 1, α, β abhängt.


Bemerkung: 1. Die erste Bedingung in Satz 3.6 lässt sich durch die Forderung ersetzen, 

dass F eine Carathéodory-Funktion ist, vergleiche mit der Voraussetzung von Proposition 

3.1. Dann sind auch die Voraussetzungen (ii) und (iii) nur für L 1 -fast alle 

x ∈ I zu fordern. 

2. Die zweite Bedingung des Satzes kann auch durch die eines superlinearen Wachstumsverhaltens 

ersetzt werden (siehe Übungsaufgabe): 

F (x, z, p) ≥ θ(p) ≥ 0 

θ(p) 

mit lim = ∞ ∀ (x, z) ∈ I × R N . 

|p|→∞ |p| 

Allerdings benötigt man dann für den Existenzbeweis ein Kompaktheitsresultat für 

den nichtreflexiven Banachraum W 1,1 (I, R N ), vgl. [4, Theorem 3.7 & 2.12]. 

3. Anstelle von C(α, β) kann zum Beispiel auch eine der folgenden Mengen als Klasse 

zulässiger Vergleichsfunktionen gewählt werden, denn auch dann ist die Poincaré- 

Ungleichung anwendbar, vgl. mit der Bemerkung nach dem Beweis von Satz 2.14: 

C(α) := {v ∈ W 1,q (I, R N ) : v(a) = α}, 

C(β) := {v ∈ W 1,q (I, R N ) : v(b) = β}, 

C(x 0 ) := {v ∈ W 1,q (I, R N ) : v(x 0 ) = 0} für beliebiges x 0 ∈ I, 

∫ 

C(M) := {v ∈ W 1,q (I, R N ) : M(v) := − v(x) dx = 0}. 

Beispiel 3.1 

Wir betrachten für q ∈ (1, ∞) das Variationsintegral 

∫ 

F(v) := |v ′ (x)| q dx, 

welches zu gegebenen Randdaten α, β ∈ R N in der Klasse 

I 

C(α, β) := {v ∈ W 1,q (I, R N ) : v(a) = α, v(b) = β} 

minimiert werden soll. Man prüft leicht nach, dass alle Voraussetzungen des Existenzsatzes, 

Satz 3.6, erfüllt sind. Also existiert ein Minimierer u ∈ C(α, β) mit 

F(u) = 

inf F. 

C(α,β) 

Für höhere Raumdimensionen n ≥ 2 nennt man die Minimierer der zugehörigen Variationsintegrale 

∫ 

F(v) := |∇v(x)| q dx, Ω ⊂⊂ R n , 

Ω 

auch q-harmonische Abbildungen. Von besonderem Interesse sind hier q-harmonische Abbildungen, 

die auf Riemannschen oder Finslerschen Mannigfaltigkeiten definiert sind, 

und die in eine andere Riemannsche oder Finslersche Mannigfaltigkeit abbilden. Der 

Fall q = 2 mit Riemannschem Urbild und Riemannscher Zielmannigfaltigkeit ist hier 

am besten untersucht, man nennt die 2-harmonischen Abbildungen einfach harmonische Abbildungen. 

Einblicke in diese mittlerweile sehr breite Forschungsrichtung gewähren z.B. die 

Monographien von Eells und Fuglede [17] und von Hélein [29], siehe auch [26], [23] und 

die aktuelleren Arbeiten [45], [62], [69], [70], [74] zu harmonischen Abbildungen zwischen 

Finslermannigfaltigkeiten. 

I

83 

Beispiel 3.2 

Wir betrachten für N = 1, I = (0, 1), µ ∈ R und q ∈ (1, ∞) das Funktional F µ,q definiert 

durch 

F µ,q (v) := 

∫ 1 

0 

x µ |v ′ (x)| q dx 

und damit für gegebene Randdaten α, β ∈ R das Variationsproblem 

F µ,q (v) −→ min! in C(α, β) := {v ∈ W 1,q (I) : v(0) = α, v(1) = β}. 

Zuerst untersuchen wir den auf Weierstraß zurückgehenden Spezialfall µ = 2 = q. 

Dann existiert kein Minimierer in C(α, β), falls α ≠ β, was wir durch ein Widerspruchsargument 

beweisen: Offensichtlich ist F µ,q ≥ 0 für alle q ∈ (0, ∞) und µ ∈ R, und es 

gibt eine Folge {u k } k∈N ⊂ C(α, β) mit F 2,2 (u k ) −−−→ k→∞ 0, wie unten gezeigt wird; also ist 

inf C(α,β) F 2,2 (·) = 0. Gäbe es nun ein u ∈ C(α, β) mit F 2,2 (u) = inf C(α,β) F 2,2 (·) = 0, so wäre 

notwendig u ′ = 0 L 1 -fast überall in (0, 1). Nach Lemma 2.3 wäre u dann aber konstant auf 

[0, 1], was sich nicht mit u(0) = α ≠ β = u(1) vereinbaren ließe. 

Die genannte Folge {u k } ⊂ C(α, β) ∩ C ∞ (R) ist gegeben durch 

arctan kx 

u k (x) := α + (β − α) 

arctan k 

für x ∈ R. 

Tatsächlich sind wegen u k (0) = α, u k (1) = β diese Funktionen in C(α, β) für alle k ∈ N. 

Weiterhin berechnet man 

F 2,2 (u k ) = 

= 

∫ 1 

0 

(β − α) 2 k 2 x 2 

(arctan k) 2 (1 + k 2 x 2 ) 2 dx 

(β − α) 2 [ 

2k(arctan k) 2 arctan k − 

k ] 

1 + k 2 

k→∞ 

−−−→ 0. 

Nun wenden wir uns allgemeineren Betrachtungen des gegebenen Variationsproblems zu und 

beweisen folgende Aussagen: 

1. Falls µ ≤ 0 und q > 1, dann gibt es genau eine Lösung u ∈ C(α, β) für gegebene 

Randdaten α, β ∈ R. Es wird sich herausstellen, dass diese Lösung darüberhinaus 

mindestens von der Klasse C ∞ ((0, 1]) ∩ C 1 ([0, 1]) ist. 

2. Falls µ > 0 und q > µ + 1, dann gibt es genau eine Lösung u ∈ W 1,˜q (I) mit u(0) = α 

q 

und u(1) = β für gegebene Randdaten α, β ∈ R, wobei ˜q ∈ (1, 

µ+1 

) beliebig gewählt 

werden kann. Hier ist die Lösung darüberhinaus von der Klasse C ∞ ((0, 1]) aber nicht 

in C 1 ([0, 1]). 

3. Falls µ > 0 und 1 < q ≤ µ + 1 sowie α ≠ β, dann gibt es keine Lösung in C(α, β). 

1. Fall: µ ≤ 0 

Wir behaupten: Es gibt einen eindeutigen, explizit bestimmbaren Minimierer von F µ,q . 

Mit x µ = x −|µ| ≥ 1 −|µ| = 1 für alle x ∈ (0, 1] ist 

F (x, z, p) = F (x, p) = x µ |p| q ≥ |p| q für alle x ∈ (0, 1], p ∈ R.


F (·, p) ist messbar auf I für alle p ∈ R und F (x, ·) stetig in R für alle x ∈ (0, 1]. Wegen 

q > 1 und 

F p (x, p) = qx µ |p| q−2 p für x > 0 

ist strikt monoton wachsend, und damit ist F strikt konvex in p für alle x ∈ (0, 1]. Deshalb 

lässt sich der Existenzsatz, Satz 3.6, in Kombination mit der sich daran anschließenden 

ersten Bemerkung anwenden, d.h. es gibt ein u ∈ C(α, β) mit 

F µ,q (u) = 

inf F µ,q(·). (3.4) 

C(α,β) 

Die Eindeutigkeit von u folgt aus der strikten Konvexität von F (x, ·) in der Variablen p und 

der Tatsache, dass F = F (x, p) nicht von z ∈ R abhängt: Für u 1 , u 2 ∈ C(α, β) und λ ∈ [0, 1] 

ist nämlich auch 

λu 1 + (1 − λ)u 2 ∈ C(α, β). (3.5) 

Dann ist für λ ∈ (0, 1) und u 1 ≠ u 2 

F µ,q (λu 1 + (1 − λ)u 2 ) = 

< 

∫ 

∫ 

I 

I 

F (x, λu ′ 1 + (1 − λ)u ′ 2) dx 

[ 

] 

λF (x, u ′ 1) + (1 − λ)F (x, u ′ 2) dx 

= λF µ,q (u 1 ) + (1 − λ)F µ,q (u 2 ). 

(3.6) 

Wären nun u und v zwei unterschiedliche globale Minimierer von F µ,q auf C(α, β), dann 

ergäbe sich für den Fall λ = 1 2 

für u ≠ v wegen F µ,q(u) = F µ,q (v) aus (3.4)–(3.6) ein 

Widerspruch: 

F µ,q (u) = 1 2 F µ,q(u) + 1 2 F µ,q(v) > 

(3.6) 

F µ,q ( 1 2 u + 1 2 v) 

≥ 

(3.5),(3.4) 

F µ,q (u). 

Die Funktion u ist also der eindeutige Minimierer von F µ,q . 

Alternativ kann man für den Beweis der Eindeutigkeit auch das folgende stärkere Resultat benutzen (siehe die zugehörige 

Übungsaufgabe, deren Lösung mit einem ähnlichen Schluss gefunden werden kann): 

Behauptung: Jede schwache Extremale eines Variationsintegrals mit einem in p strikt konvexen Integranden F = 

F (x, p) ist strikter globaler Minimierer (und damit eindeutig). Genauer gilt für alle u ∈ C(α, β) mit δF(u, ϕ) = 0 für 

alle ϕ ∈ W 1,q 

0 (I, R N ) die Identität F(u) < F(v) für alle v ∈ C(α, β) \ {u}. 

Beweis. Man testet die schwache Euler-Lagrange-Gleichung 

∫ 

F p(x, u ′ (x)) · ϕ ′ (x) dx = 0 

I 

mit ϕ := u − v ∈ W 1,q 

0 (I, R N ) und erhält mit der strikten Konvexität von F (x, ·) 

∫ 

∫ [ 

] 

F(v) = F (x, v ′ (x)) dx > F (x, u ′ (x)) + F p(x, u ′ (x)) · (v ′ (x) − u ′ (x)) dx = F(u). 

I 

I 

Zur expliziten Bestimmung dieser eindeutigen Lösung können wir die indirekten Methoden 

des ersten Kapitels anwenden; denn wenn wir eine glatte Lösung in C(α, β) finden, so ist dies

85 

die eindeutige Lösung. Für eine Lösung u ∈ C 2 (I) (oder auch nur u ∈ C 1 (I), vgl. Korollar 

1.11) lautet die Euler-Lagrange-Gleichung 

d ( 

x µ q|u ′ (x)| q−2 u ′ (x) ) = 0. (ELG 3.2 ) 

dx 

Es gibt also ein c ∈ R mit 

q|u ′ (x)| q−2 u ′ (x) = cx −µ . 

Mit einem noch zu bestimmenden Exponenten t > 0 machen wir den Ansatz 

u(x) = a 1 x t + a 2 , d.h. u ′ (x) = a 1 tx t−1 

und 

q|a 1 | q−2 |t| q−2 x (q−2)(t−1) a 1 tx t−1 = cx −µ . 

Man folgert mit Exponentenvergleich (q − 2)(t − 1) + (t − 1) = −µ, also 

t = −µ 

q − 1 + 1 = −µ + q − 1 ≥ 1. 

q − 1 

Aus den Randbedingungen folgt 

und 

a 2 = u(0) = α 

a 1 + α = u(1) = β, 

also 

u(x) = (β − α)x q−1−µ 

q−1 + α. 

Als Ergebnis lässt sich festhalten: 

u(x) = (β − α)x q−1−µ 

q−1 + α ∈ C(α, β) ∩ C ∞ ((0, 1]) ∩ C l,α ([0, 1]) 

ist der gesuchte kritische Punkt und damit auch der gesuchte eindeutige Minimierer, wobei 

⌊ ⌋ q − 1 − µ 

l := 

q − 1 

und α := q − 1 − µ 

q − 1 

− l. 

Falls q−1−µ 

q−1 

∈ N, dann ist u ∈ C ∞ (R), sogar reell analytisch, man schreibt dann u ∈ C ω (R). 

2. Fall: µ > 0. 

In diesem Fall lässt sich folgende Aussage zeigen: Es gibt einen eindeutigen Minimierer 

u ∈ W 1,˜q q 

(I) für jedes ˜q ∈ (1, 

µ+1 

) mit den gegebenen Randwerten α, β ∈ R, wenn µ + 1 < q 

gilt. Falls α ≠ β und µ + 1 ≥ q > 1, dann existiert kein Minimierer in C(α, β). 

Beweis der Existenz für µ + 1 < q: Satz 3.6 lässt sich nicht direkt anwenden, da es kein 

c 0 > 0 mit F (x, p) ≥ c 0 |p| q gibt, also die zweite Bedingung des Satzes verletzt wird. Diese 

Schwierigkeit kann aber folgendermaßen umgangen werden:


Sei ˜q ∈ (1, 

Für Minimalfolgen 

gilt also 

q 

µ+1 

). Dann schätzt man mit der Hölder-Ungleichung ab 

∫ 

∫ 

|u ′ (x)|˜q dx = |u ′ (x)|˜q x µ˜q 

q x − µ˜q 

q dx 

I 

≤ 

I 

(∫ 

I 

= F µ,q (u) ˜q q 

= F µ,q (u) ˜q q 

) ˜q 

x µ |u ′ (x)| q dx 

(∫ 

( 

I 

q (∫ I 

(x − µ˜q 

q 

) q−˜q 

x −µ˜q 

q 

q−˜q dx 

1 

1 − µ˜q 

q−˜q 

) q−˜q 

q 

. 

) q 

q−˜q 

) q−˜q 

q 

dx 

{u k } k∈N ⊂ ˜C(α, β) := {v ∈ W 1,˜q (I) : v(0) = α, v(1) = β} 

‖u ′ k ‖ L˜q (I) ≤ cF µ,q (u k ) 1 q 

Mit der Poincaré-Ungleichung folgt 

‖u k ‖ W 1,˜q (I) ≤ c, 

k→∞ 

−−−→ c inf 

˜C(α,β) 

1 

q 

Fµ,q. 

und wegen ˜q ∈ (1, ∞) liefert der Satz A.10 im Anhang in Kombination mit Satz 2.14 eine 

Teilfolge {u ki } ki ∈N ⊂ {u k } k∈N mit u ki ⇀ u in W 1,˜q (I) und u ki → u in C 0 (I) für i → ∞, 

womit u ∈ ˜C(α, β) folgt. Mit der Unterhalbstetigkeit von F µ,q auch bezüglich der schwachen 

Konvergenz in W 1,˜q (I) (vgl. Satz 3.5) ist u ein Minimierer in der Klasse ˜C(α, β). 

Die Eindeutigkeit folgt wie im ersten Fall aus der Konvexität von F (x, ·) für q > 1, also ist 

der gefundene Minimierer der einzige kritische Punkt von F µ,q . Die explizite Gestalt dieses 

kritischen Punktes ermittelt man mit dem gleichen Potenzansatz wie in Fall 1. Dann gilt 

wie dort 

u(x) = (β − α)x q−1−µ 

q−1 + α, 

allerdings ist diese Funktion zwar in C ∞ ((0, 1]), hat aber wegen µ > 0 eine unbeschränkte 

erste Ableitung auf (0, 1]. Wir bemerken, dass der Exponent ˜q und die Funktionenklasse 

˜C(α, β) nur aus technischen Gründen eingeführt wurden, um die Kompaktheit einer Minimalfolge 

in ˜C(α, β) zu sichern. Bei der expliziten eindeutigen Lösung u ∈ ˜C(α, β) taucht der 

Exponent ˜q nicht mehr auf. 

Beweis der Nichtexistenz für α ≠ β und µ + 1 ≥ q > 1. 

Tatsächlich werden wir inf C(α,β) F µ,q (·) = 0 zeigen, aber für jedes u ∈ C(α, β) mit F(u) = 0 

ist u ′ = 0 L 1 -fast überall auf I = (0, 1). Daraus würde aber u = konst. auf I folgen. Im 

Falle von α ≠ β ist dies ein Widerspruch (vgl. das Weierstrass-Beispiel für µ = q = 2). 

Um zu beweisen, dass tatsächlich inf C(α,β) F µ,q (·) = 0, können wir ohne Einschränkung 

annehmen, dass µ + 1 = q; denn für σ ≥ γ > 0 ist 

∫ 

∫ 

0 ≤ F σ,q (v) = x σ |v ′ (x)| q dx ≤ x γ |v ′ (x)| q dx = F γ,q (v) ∀v ∈ C(α, β) 

I 

I

87 

und deswegen 

0 ≤ inf F σ,q(·) ≤ inf F γ,q(·). 

C(α,β) C(α,β) 

Wenn also für den maximal möglichen Wert q = µ + 1 die Beziehung inf C(α,β) F µ,q = 0 

gezeigt wird, dann folgt auch inf C(α,β) F µ,q = 0 für alle q ∈ (1, µ + 1]. 

Die Folge 

u ε (x) := (β − α) log(1 + x ε ) 

log(1 + 1 ε ) + α 

∈ C(α, β) ∩ C1 (I) 

mit 

u ′ ε(x) = 

β − α 

log(1 + 1 ε ) · 1 

1 + x · 1 

ε 

ε = β − α 

(ε + x) log(1 + 1 ε ) 

leistet wegen µ = q − 1 und q > 1 das Gewünschte: 

F µ,q (u ε ) = 

= 

≤ 

= 

= 

= 

= 

ε↘0 

−−→ 0. 

(β − α) q ∫ 1 

log q (1 + 1 ε ) x q−1 1 

0 (ε + x) q dx 

(β − α) q ∫ 1 

( ) x q−1 

1 

log q (1 + 1 ε ) ε + x ε + x dx 

(β − α) q ∫ 1 

1 

log q (1 + 1 ε ) ε + x dx 

0 

0 

(β − α) q 

log q (1 + 1 + 1) − log ε) 

ε 

)(log(ε 

(β − α) q 

log q (1 + 1 ε ) log ε + 1 

ε 

(β − α) q 

log q (1 + 1 ε ) log(1 + 1 ε ) 

(β − α) q 

log q−1 (1 + 1 ε ) 

Beispiel 3.3 

Wir betrachten für I = (0, 1) und N = 1 das Variationsproblem 

in der Klasse 

F(v) := 

∫ 1 

0 

( 

) 

(1 − |v ′ (x)| 2 ) 2 + v 2 (x) dx −→ min! 

C(0, 0) := {v ∈ W 1,4 (I) : v(0) = v(1) = 0}. 

Der Integrand F = F (z, p) = (1 − p 2 ) 2 + z 2 ist nicht konvex in p; denn 

F p (z, p) = 2(1 − p 2 )(−2p) = −4(p − p 3 ), 

F pp (z, p) = −4 + 12p 2 < 0 für |p| < 1 √ 

3 

. 

Folglich ist der Existenzsatz, Satz 3.6, nicht anwendbar. Tatsächlich werden wir zeigen, dass 

das Minimierungsproblem in C(0, 0) nicht lösbar ist.


Die Struktur des Integranden bevorzugt offensichtlich Lösungen u mit u ′ = ±1, dadurch 

besteht hier eine gewisse Analogie zur Eikonal-Gleichung |∇u| = 1. Solche Lösungstypen 

tauchen auch in den Materialwissenschaften unter dem Stichwort Mikrostrukturen auf, siehe 

z.B. [49] und dortige Referenzen. 

1 

2 

˜ϕ 

ϕ 

ϕ 2 

Sei nun 

−1 − 1 2 

0 1 1 3 

2 

2 

Abbildung 3.2: Zackenfunktion. 

˜ϕ(x) := 1 2 − |x − 1 | , x ∈ [0, 1]. 

2 

2 

Dann ist ˜ϕ Lipschitzstetig, und ϕ ∈ C 0,1 (R) ∼ = W 1,∞ (R) sei die periodische Fortsetzung 

von ˜ϕ auf R. Wir setzen 

ϕ k (x) := 1 ϕ(kx) für k ∈ N. 

k 

Dann ist ϕ ′ k (x) = ±1 für L 1 -fast alle x ∈ (0, 1) und ϕ k (0) = ϕ k (1) = 0. Also ist {ϕ k } k∈N ⊂ 

C(0, 0) ∩ W 1,∞ (I), und mit der Substitution z = kx berechnet man 

F(ϕ k ) = 

= 

= 

= 

ϕ periodisch 

∫ 1 

0 

k→∞ 

−−−→ 0. 

ϕ 2 k (x) dx 

∫ 

1 1 

k 2 ϕ 2 (kx) dx 

0 

∫ k 

1 1 

k 2 ϕ 2 (z) dz 

k 0 

∫ 

1 1 

k 2 ϕ 2 (z) dz 

Mit F ≥ 0 folgt inf C(0,0) F = 0. Für einen Minimierer u ∈ C(0, 0) müsste also ∫ 1 

0 u2 (x) dx 

verschwinden, d.h. u = 0 zunächst L 1 -fast überall in (0, 1), dann wegen u ∈ W 1,4 (I) ⊂ 

C 0,1− 1 4 (I) (nach Satz 2.14) auch u = 0 überall in I. Dann ist aber auch u ′ = 0 auf (0, 1), 

was andererseits aber 

impliziert, Widerspruch. 

F(u) = 

∫ 1 

0 

(1 − |u ′ (x)| 2 ) 2 dx = 1 

Beispiel 3.4 

Wir betrachten für I = (0, 1), N = 1 und gegebene Randwerte α, β ∈ R das gegenüber 

0

89 

Beispiel 3.3 leicht modifizierte Variationsproblem 

in der Klasse 

F(v) := 

∫ 1 

0 

( 

) 

(1 − |v ′ (x)| 2 ) 2 + v(x) dx −→ min! 

C(α, β) := {v ∈ W 1,4 (I) : v(0) = α, v(1) = β} ≠ ∅, 

das nun allerdings lösbar ist, obwohl F (z, ·) wie in Beispiel 3.3 nicht konvex in p ist. Satz 3.6 

ist daher auf dieses Problem ebenfalls nicht anwendbar. Wir behelfen uns mit der konvexen 

Einhüllenden ϕ des Ausdrucks f(p) := (1 − p 2 ) 2 , also dem punktweisen Supremum aller in 

p ∈ R konvexen Funktionen, deren Werte noch unterhalb denen von f(.) liegen. Hier ist 

diese Funktion explizit gegeben durch 

{ 

(1 − p 2 ) 2 für |p| > 1, 

ϕ(p) := 

0 für |p| ≤ 1. 

Wir betrachten das neue Variationsproblem 

G(v) := 

∫ 1 

0 

( 

ϕ(v ′ (x)) + v(x) ) dx −→ min! in C(α, β). 

Noch ist aber die Wachstumsbedingung (ii) in Satz 3.6 nicht erfüllt. Aus der Abschätzung 

(1 − p 2 ) 2 = 1 − 2p 2 + p 4 > 1 2 p4 für p 2 > 4 

folgt aber für beliebiges v ∈ C(α, β) ≠ ∅ und ε > 0 

∫ 1 

0 

|v ′ (x)| 4 dx = 

∫ 

∫ 

< 2 

I∩{|v ′ | 2 >4} 

I∩{|v ′ | 2 >4} 

∫ 

≤ 2G(v) − 2 

∫ 

|v ′ (x)| 4 dx + 

I 

I∩{|v ′ | 2 ≤4} 

|v ′ (x)| 4 dx 

(1 − |v ′ (x)| 2 ) 2 dx + 16L 1 (I) 

v(x) dx + 16 

(∫ ) 1 

≤ 2G(v) + 2(L 1 (I)) 1− 1 4 |v(x)| 4 4 

dx + 16 (Hölder-Ungleichung) 

I 

≤ 2G(v) + c‖v ′ ‖ L 4 (I) + c (Poincaré-Ungleichung) 

≤ 2G(v) + c(ε) + ε‖v ′ ‖ 4 L 4 (I) 

(Youngsche Ungleichung). 

Wir wählen nun ε = 1 2 und erhalten 1 

2 ‖v′ ‖ 4 L 4 (I) 

< 2G(v) + c′ 

mit einer von v unabhängigen Konstanten c ′ , so dass inf C(α,β) G ≥ −c ′ /2 > −∞ ist. Sei nun 

{v k } k∈N eine Minimalfolge für G, d.h. 

G(v k ) −−−→ 

k→∞ inf G(·) < ∞. 

C(α,β)


Dann ist die Zahlenfolge {|G(v k )|} ⊂ R beschränkt, somit auch ‖v ′ k ‖ L 4 (I) und mit der 

Poincaré-Ungleichung folgt sofort, dass 

‖v k ‖ W 1,4 (I) ≤ c. 

Nach Satz A.10 im Anhang und Satz 2.14 gibt es ein u ∈ W 1,4 (I) und eine Teilfolge v ki ⇀ u 

in W 1,4 i→∞ 

(I) mit v ki −−−→ u in C 0 (I) für i → ∞. Nach Satz 3.5 ist G schwach unterhalbstetig 3 , 

und daher ist 

G(u) = inf G(·), (3.7) 

C(α,β) 

denn u ∈ C(α, β), da {v ki } i∈N in C 0 (I) gegen u konvergiert. Mit Hilfe der ersten Variation 

und einer partiellen Integration lässt sich zeigen (vgl. Übungsaufgabe), dass 

∫ 

I 

( 

ϕ ′ (u ′ (x)) − x ) η ′ (x) dx = 0 

für alle η ∈ C ∞ 0 

(I) gilt. Nach Lemma 1.10 gibt es also ein c ∈ R mit 

ϕ ′ (u ′ (x)) − x = c für L 1 -fast alle x ∈ I. (3.8) 

Da ϕ aber so gewählt war, dass ϕ ′ (p) = 0 für |p| ≤ 1 gilt, muss |u ′ | > 1 L 1 -fast überall auf 

I sein 4 . Dann ist wegen ϕ(p) + z ≤ (1 − p 2 ) 2 + z = F (z, p) 

inf F(·) ≤ F(u) = ( 

ϕ(u 

C(α,β) 

∫I 

′ (x)) + u(x) ) dx = G(u) = inf G(·) ≤ inf F(·), 

C(α,β) C(α,β) 

also 

F(u) = 

inf F(·). 

C(α,β) 

Es bleibt noch die Eindeutigkeit des Minimierers zu zeigen. Nehmen wir an, es gebe ein 

v ∈ C(α, β), u ≠ v, mit F(v) = inf C(α,β) F(·). Dann ist 

inf F(·) = F(v) ≥ G(v) ≥ G(u) = inf 

C(α,β) 

G(·) = F(u) = inf 

C(α,β) 

F(·), 

C(α,β) 

und damit 

G(v) = 

inf G(·), 

C(α,β) 

so dass wie zuvor aus der DuBois-Reymond-Gleichung (3.8) |v ′ | > 1 L 1 -fast überall auf 

I folgt. Da ϕ außerhalb von [−1, +1] strikt konvex ist, gilt für λ ∈ (0, 1) 

λϕ(v ′ (x))+(1−λ)ϕ(u ′ (x)) > ϕ(λv ′ (x)+(1−λ)u ′ (x)) 

für L 1 -fast alle x ∈ I mit v ′ (x) ≠ u ′ (x) 

3 Präziser gesagt besteht G aus einem wegen der Konvexität von p ↦→ ϕ(p) nach Satz 3.5 schwach unterhalbstetigen 

und einem linearen also schwach stetigen Zusatzterm und ist deshalb schwach unterhalbstetig. 

4 Wäre |u ′ | = 0 auf einer Menge E ⊂ I mit L 1 (E) > 0, dann wäre nach (3.8) und nach Definition von ϕ 

die Gleichung 0 = c + x für L 1 -fast alle x ∈ E gültig. Damit könnte man schreiben E = {−c} ∪ N für eine 

Menge N ⊂ I mit L 1 (N) = 0, so dass im Widerspruch zur Voraussetzung L 1 (E) = 0 folgen würde.

91 

und folglich 5 ∫ 

λG(v) + (1 − λ)G(u) = λ 

I 

∫ 

ϕ(v ′ (x)) dx + λ 

∫ 

v(x) dx 

I 

∫ 

+ (1 − λ) ϕ(u ′ (x)) dx + (1 − λ) 

∫ 

I 

> ϕ(λv ′ (x) + (1 − λ)u ′ (x)) dx 

I∫ 

+ (λv(x) + (1 − λ)u(x)) dx 

I 

= G(λv + (1 − λ)u). 

I 

u(x) dx 

Wählen wir nun λ = 1 2 , so folgt wie in Beispiel 3.2 wegen 1 2 u + 1 2v ∈ C(α, β) aus (3.7) 

G(u) = 1 2 (G(u) + G(v)) > G(1 2 u + 1 2 v) ≥ G(u). 

(3.7) 

Dies ist offensichtlich ein Widerspruch. 

Dieses Beispiel mit dem Hilfsfunktional G zeigt gewisse Parallelen mit der erstmals von 

Morrey eingebrachten Idee allgemeiner Dominanzfunktionen für Integranden von geometrischen 

Variationsintegralen, vgl. [46, Chapter 9]. Die zugehörigen Hilfsfunktionale haben 

oft bessere Wachstumsbedingungen und Regularitätseigenschaften, die für Existenztheorie 

und Regularitätssätze benutzt werden können, vgl. z.B. [13, Chapter 4] für die Existenz von 

Minimalflächen und [32] für die Anwendung bei Cartan-Funktionalen. 

Das folgende Beispiel ist die eindimensionale Variante einer typischen Problemstellung 

der konformen Geometrie, einem Teilgebiet der Differentialgeometrie. Hier erweist sich die 

Variationsrechnung als ein sehr nützliches Mittel zur Lösung. Weiterführende und grundlegende 

Arbeiten zu diesem Thema sind u.a. von Kazdan-Werner [36], Moser [47] für 

den Fall zweidimensionaler Mannigfaltigkeiten und von S.-Y. A. Chang, P. Young [7] 

Branson [5] oder Paneitz [52] für vier- und höherdimensionale Mannigfaltigkeiten erschienen, 

siehe auch die Referenzen in diesen Arbeiten und die Monographie von Chang 

[6]. Auch heute noch ist dieser Teilbereich der Differentialgeometrie ein Gebiet mit höchster 

Forschungsaktivität. 

Beispiel 3.5 [Vorgeschriebene Gauß-Krümmung in konformen Metriken] 

Zur Motivation beschreiben wir kurz das Problem der vorgeschriebenen Gauß-Krümmung 

auf zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten. Dazu betrachtet man eine zweidimensionale, orientierte, 

kompakte, geschlossene Mannigfaltigkeit M mit einer Riemannschen Metrik g 0 , 

und man bezeichnet mit K 0 die Gaußsche Krümmung von M . Für w ∈ C 2 (M ) ist dann 

g := e w g 0 eine zu g 0 konforme Metrik. 

Es stellt sich folgende Frage: Gegeben sei eine Funktion K : M → R. Gibt es ein 

w : M → R, so dass (M , g) die Gaußsche Krümmung K hat? 

Eine Lösung muss die Gleichung vorgeschriebener Gauss-Krümmung 

∆ g0 w = K 0 − Ke w 

5 Wäre v ′ (x) = u ′ (x) für L 1 -fast alle x ∈ I, dann gäbe es nach Lemma 2.3 eine Konstante c ∈ R, so dass 

v(x) = u(x) + c für alle x ∈ I, woraus sofort c = 0 und damit u = v im Widerspruch zur Voraussetzung 

folgt, da v(a) = α = u(a) ist.


erfüllen, wie man nachrechnen kann. Dies ist eine partielle Differentialgleichung mit einer exponentiellen 

Nichtlinearität, wobei der Hauptteil durch den Laplace-Beltrami-Operator 

∆ g0 bezüglich der Riemannschen Metrik g 0 gegeben ist. Der Laplace-Beltrami-Operator 

hat Divergenzgestalt. Integrieren wir diese Differentialgleichung über M , so erhalten wir 

deswegen mit dem Gaußschen Divergenzsatz und dem in der Differentialgeometrie behandelten 

Satz von Gauß-Bonnet 

∫ 

0 = ∆ g0 w dv 0 

∫M 

∫ 

= K 0 dv 0 − Ke w dv 0 

M 

∫ 

M 

= 2πχ M − Ke w dv 0 , 

M 

wobei χ M die Euler-Charakteristik, also eine topologische Invariante der Mannigfaltigkeit 

M bezeichnet. Diese Identität liefert uns also eine für die Lösbarkeit des Problems notwendige 

Bedingung an die vorgegebene Funktion K, die die vorzuschreibende Gauß-Krümmung 

mit der Topologie der Mannigfaltigkeit verknüpft. 

Im Folgenden beschränken wir uns der Einfachheit halber auf das eindimensionale Modellproblem 

{ w ′′ = K 0 − Ke w in I = (0, 1) 

w ′ (0) = w ′ (1) = 0, 

bei dem wir auch notwendige Bedingungen für die Lösbarkeit des Problems beachten müssen. 

Diese Aufgabe lässt sich zunächst auf das Problem reduzieren, in dem K 0 konstant ist: Sei 

z die Lösung von 

∫ 

z ′′ = K 0 − − K 0 (x) dx mit z ′ (0) = z ′ (1) = 0. (3.9) 

I 

Falls w bekannt wäre, so kann u := w − z definiert werden. Daraus resultiert nun zum einen 

u ′ (0) = u ′ (1) = 0 und außerdem 

u ′′ = w ′′ − z ′′ 

∫ 

= K 0 − Ke w − K 0 + − K 0 (x) dx 

∫ 

I 

= − K 0 (x) dx − Ke u+z 

∫I 

= − K 0 (x) dx − Ke z e u . 

I 

Das eigentliche Problem ist es also, die folgende Differentialgleichung zu lösen: 

u ′′ = c − he u mit u ′ (0) = u ′ (1) = 0, (3.10) 

wobei c ∈ R und h ∈ C 0 (I) gegeben sind. Hat man u als Lösung von (3.10) gefunden, dann 

ermittelt man z als Lösung von (3.9) durch einfache Integration und erhält durch w := u+z 

die Lösung des ursprünglichen Problems. 

1. Fall: c = 0. Die Gleichung (3.10) vereinfacht sich zu 

u ′′ = −he u mit u ′ (0) = u ′ (1) = 0. (3.11)

93 

Der triviale Fall h = 0 führt sofort zu u(x) = ax + b und wegen a = u ′ (0) = 0 zu 

u(x) = b für alle x ∈ I. Wir wollen also den Fall weiter untersuchen, in dem h nicht 

identisch verschwindet. Als erstes finden wir durch Integration die notwendige Bedingung 

0 = u ′ (1) − u ′ (0) = − 

∫ 1 

0 

h(x)e u(x) dx. (3.12) 

Das bedeutet, dass h in I mindestens einmal sein Vorzeichen wechseln muss. Weiterhin ergibt 

sich aus (3.11) durch Multiplikation mit der Funktion e −u und nach partieller Integration 

− 

∫ 1 

0 

h(x) dx = 

∫ 1 

0 

u ′′ (x)e −u(x) dx 

= 

[u ′ (x)e −u(x)] 1 

+ 

0 

} {{ } 

=0 

∫ 1 

0 

(u ′ (x)) 2 e −u(x) dx > 0. 

(3.13) 

Das letzte Integral ist strikt positiv, da sonst u ′ ≡ 0 und was den trivialen Fall h ≡ 0 

impliziert. 

Nun machen wir einen Variationsansatz zur Lösung von (3.11): 

D(v) := 1 ∫ 

|v ′ (x)| 2 dx −→ min! 

2 

in der Klasse 

C I := {v ∈ W 1,2 (I) : 

∫ 1 

0 

I 

v(x) dx = 0, 

∫ 1 

0 

h(x)e v(x) dx = 0}. 

Zur Motivation dieses Ansatzes bemerken wir, dass das Dirichlet-Integral mit der Euler- 

Lagrange-Gleichung den Hauptteil der Differentialgleichung (3.11) erzeugt, und die natürlichen 

Randbedingungen sind nach Proposition 1.12 genau v ′ (0) = v ′ (1) = 0. Da das 

Mittelwertintegral über v verschwindet, kann die Poincaré-Ungleichung 2.10 genutzt werden, 

so dass ‖v‖ L 2 (I) ≤ c‖v ′ ‖ L 2 (I) für alle v ∈ C I . Die Lagrange-Multiplikator-Regel in 

Verbindung mit der zweiten Nebenbedingung in der Klasse C I wird auf die richtige Form 

der Differentialgleichung (3.11) führen. 

(i) C I ist nicht die leere Menge. Um zu zeigen, dass die Klasse C I nicht leer ist, 

konstruieren wir durch die Linearkombination zweier Funktionen ein w ∈ W 1,2 (I), 

das den Nebenbedingungen genügt. Dazu sei v 1 ≡ 0, so dass wegen der notwendigen 

Bedingung (3.13) an h gilt 

∫ 

∫ 

h(x)e v1(x) dx = h(x) dx < 0. 

I 

Nun suchen wir ein v 2 ∈ W 1,2 (I), für welches ∫ I h(x)ev 2(x) dx > 0 ist. Hierfür fixieren 

wir x 0 ∈ I und r ∈ R, so dass 

B r (x 0 ) ⊂ B 2r (x 0 ) ⊂ {x ∈ I : h(x) > 1 2 sup h(·)} ⊂ {x ∈ I : h(x) > 0}, 

I 

I


was möglich ist, da h nach (3.12) irgendwo auf I positiv sein muss, und wählen ein 

v 2 ∈ C0 ∞(B 2r(x 0 )) mit 

∫ 

e v2(x) 2 

> 

sup I h(·) · I 

|h(z)| dz + 1 

L 1 ∀ x ∈ B r (x 0 ). 

(B r (x 0 )) 

Daraus folgt 

∫ 

h(x)e v2(x) dx = 

I 

> 

∫ 

+ 

∫ 

{h≤0} 

∫ 

{h≤0} 

∫ 

h(x)e v2(x) dx + 

h(x)e v2(x) dx 

{h>0}∩B r(x 0 ) 

} {{ } 

=B r(x 0 ) 

{h>0}\B r(x 0 ) 

h(x)e v 2(x) dx 

} {{ } 

>0 

h(x) dx + 2L ∫ 

1 (B r (x 0 )) 1 

sup I h(·) 2 sup I 

|h(z)| dz + 1 

h(·) 

I L 1 (B r (x 0 )) 

≥ 1 > 0. 

Wir definieren die stetige Funktion f durch 

∫ 

f(t) := h(x)e tv 1(x)+(1−t)v 2 (x) dx für t ∈ [0, 1]. 

I 

Es gilt also f(0) > 0 und f(1) < 0, so dass der Zwischenwertsatz garantiert, dass es 

ein t ∗ ∈ [0, 1] gibt mit f(t ∗ ) = 0. Jetzt können wir setzen 

∫ 

w ∗ := t ∗ v 1 + (1 − t ∗ )v 2 ∈ W 1,2 (I) ⇒ h(x)e w∗ (x) dx = 0, 

∫ 

I 

w := w ∗ − − w ∗ (x) dx, 

I 

wobei nun w auch die Nebenbedingungen erfüllt: 

∫ 

∫ 

∫ 

w(x) dx = 0 und h(x)e w(x) dx = e −∫ I w∗ (y) dy 

I 

also w ∈ C I . 

I 

(ii) Existenz. Für eine Minimalfolge {v k } k∈N ⊂ C I , 

D(v k ) = 1 ∫ 

|v k ′ 2 

(x)|2 dx −−−→ k→∞ inf D(·) ∈ [0, D(w)], 

C I 

I 

I 

h(x)e w∗ (x) dx = 0, 

ergibt sich sofort, dass ‖v ′ k ‖ L 2 (I) gleichmäßig beschränkt ist. Da ∫ I v k(x) dx = 0, kann 

auch die Poincaré-Ungleichung, Lemma 2.10, angewandt werden, so dass ‖v k ‖ W 1,2 (I) 

gleichmäßig beschränkt ist. Dann existiert nach Satz 2.14 eine Teilfolge {v ki } und ein 

v ∈ W 1,2 (I) mit 

v ki 

i→∞ ⇀ v 

v ki 

i→∞ 

−−−→ v 

in W 1,2 (I) 

in C 0 (I),

95 

so dass v ∈ C I , denn 6 ∫ 

und natürlich auch 

I 

h(x)e v(x) dx = lim 

∫ 

I 

k→∞ 

∫ 

h(x)e vk(x) dx = 0 

I 

} {{ } 

=0 

∫ 

v(x) dx = lim v k (x) dx = 0. 

k→∞ I 

Da aber D schwach unterhalbstetig in W 1,2 (I) ist, gilt schließlich D(v) = inf CI D(·). 

(iii) Lagrange-Multiplikatoren. Um die Nebenbedingungen 

∫ 

G 1 (v) := v(x) dx = 0, 

∫I 

G 2 (v) := h(x)e v(x) dx = 0 

I 

mit Hilfe der Regel der Lagrange-Multiplikatoren (Proposition 1.19 und zugehörige 

Übungsaufgaben) zu berücksichtigen, muss folgendes gelten: 

∃ψ 1 , ψ 2 ∈ C ∞ (I) : (δG i (v, ψ j )) i,j 

∈ GL(2). 

Wäre δG 2 (v, ψ) = 0 für alle ψ ∈ C ∞ (I), dann bedeutete dies 

d 

∫ 

∣ G 2 (v + εψ) = h(x)ψ(x)e v(x) dx = 0 ∀ψ ∈ C ∞ (I). 

dε ε=0 

I 

Nach dem Fundamentallemma 1.5 folgt dann aber h(x)e v(x) = 0 auf I, also h ≡ 0 auf 

I, was wir aber schon anfangs ausgeschlossen haben. Folglich gibt es mindestens ein 

ψ ∈ C ∞ (I) mit δG 2 (v, ψ) ≠ 0. Damit setzen wir 

ψ 

˜ψ 2 := 

⇒ δG 2 (v, 

δG 2 (v, ψ) 

˜ψ 2 ) = 1, 

∫ 

ψ 2 := ˜ψ 2 − − ˜ψ 2 (x) dx, 

und es folgt 

∫ ∫ ( ∫ ) 

δG 1 (v, ψ 2 ) = ˜ψ 2 (x) − − ˜ψ 2 (y) dy dx = 0, 

I 

∫ ( 

I I 

∫ ) 

δG 2 (v, ψ 2 ) = h(x) ˜ψ 2 (x) − − ˜ψ 2 (y) dy e v(x) dx 

I 

( ∫ 

I 

) ∫ 

= δG(v, ˜ψ 2 ) − − ˜ψ 2 (y) dy h(x)e v(x) dx 

I 

I 

} {{ } 

=0 

I 

6 Der Nachweis, dass diese hochgradig nichtlineare isoperimetrische Nebenbedingung für die Grenzfunktion 

v erfüllt ist, erfordert in höheren Dimensionen n ≥ 2 erheblich mehr Aufwand, siehe z.B. [6, Chapter 

2]. 

= 1.


Wählen wir nun noch ein ψ 1 ∈ C ∞ (I) mit ∫ I ψ 1(x) dx ≠ 0, also δG 1 (v, ψ 1 ) ≠ 0, können 

wir die Matrix in der Form 

( ) 

δG1 (v, ψ 

(δG i (v, ψ j )) i,j 

= 

1 ) 0 

δG 2 (v, ψ 1 ) 1 

schreiben, aus der sofort ersichtlich ist, dass ihre Determinante nicht verschwindet. 

Ähnlich wie in Proposition 1.19 zeigt man in einer Übungsaufgabe die Existenz von 

Zahlen λ 1 , λ 2 ∈ R mit 

⇔ 

δD(v, ϕ) + λ 1 δG 1 (v, ϕ) + λ 2 δG 2 (v, ϕ) = 0 ∀ ϕ ∈ C ∞ (I) (3.14) 

∫ 

∫ 

∫ 

v ′ (x)ϕ ′ (x) dx + λ 1 ϕ(x) dx + λ 2 h(x)ϕ(x)e v(x) dx = 0 ∀ ϕ ∈ C ∞ (I). 

I 

I 

Da wir aber eine starke Form der Differentialgleichung herleiten wollen, muss nun 

gezeigt werden, dass v ∈ C 2 (I). Dazu führen wir in der letzten Gleichung zwei partielle 

Integrationen aus: 

∫ 

∫ x 

] 

[v ′ (x) − λ 1 x − λ 2 h(y)e v(y) dy ϕ ′ (x) dx = 0 ∀ ϕ ∈ C0 ∞ (I) ⊂ C ∞ (I). 

I 

0 

Nach dem Lemma von DuBois-Reymond, Lemma 1.10, gibt es ein c 3 ∈ R, so dass 

I 

∫ x 

v ′ (x) − λ 1 x − λ 2 h(y)e v(y) dy = c 3 für L 1 -fast alle x ∈ I; (3.15) 

0 

hier stehen nun neben v ′ ausschließlich C 1 -Funktionen von x, so dass auch v ′ selbst 

aus C1 (Ī) sein muss, also v ∈ C2 (Ī). Also haben wir (3.15) für alle x ∈ I, und wir 

können in (3.15) differenzieren und erhalten die Euler-Lagrange-Gleichung 

v ′′ (x) − λ 1 − λ 2 h(x)e v(x) = 0 für alle x ∈ I. (ELG 3.51 ) 

(iv) Natürliche Randbedingungen. Da (3.14) für alle ϕ ∈ C ∞ (I) gilt 7 , können wir 

Proposition 1.12 anwenden und finden, dass das gestellte Variationsproblem wegen 

F p (0, v(0), v ′ (0)) + λ 1 G 1 p (0, v(0), v ′ (0)) + λ 2 G 2 p (0, v(0), v ′ (0)) = 0, 

F p (1, v(1), v ′ (1)) + λ 1 G 1 p (1, v(1), v ′ (1)) + λ 2 G 2 p (1, v(1), v ′ (1)) = 0 

auch die Neumann-Randbedingungen 

liefert. 

v ′ (0) = v ′ (1) = 0 

Um den Existenzbeweis für eine Lösung von (3.11) abzuschließen, betrachten wir jetzt 

noch die Lagrange-Multiplikatoren genauer. Aus (ELG 3.51 ) folgt durch Integration 

über I = (0, 1): 

∫ 

−λ 1 − λ 2 

v ′ (1) − v ′ (0) 

} {{ } 

=0 

h(x)e v(x) dx = 0, 

I 

} {{ } 

=0 

7 Man beachte dabei, dass die Klasse C I neben den beiden isoperimetrischen Bedingungen keine Randbedingungen 

enthält, weswegen Störungen ϕ ∈ C ∞ (I) zulässig sind. Dies hatten wir auch schon im Schritt 

(iii) genutzt, als wir die Funktionen ψ 1, ψ 2 ∈ C ∞ (I) gewählt haben.

97 

also λ 1 = 0. Multiplizieren wir (ELG 3.51 ) mit e −v(x) und integrieren abermals, so 

finden wir mit einer partiellen Integration 

∫ 

∫ 

v ′′ (x)e −v(x) dx − λ 2 h(x) dx = 0 

I 

I 

∣ ∫ 

∫ 

⇔ v ′ (x)e −v(x) ∣∣ 

1 

+ (v ′ (x)) 2 e −v(x) dx −λ 2 h(x) dx = 0. 

0 

} {{ } I 

I 

} {{ } } {{ } 

=0 

>0 

0. Dann ist 

(∫ 

−1 

ṽ 2 := log h(y)e dy) v2(y) + v 2 ∈ C II . 

I 

(ii) Beschränktheit. Sei v ∈ C II und w := v − ∫ I v(x) dx. Dann gilt ∫ I 

w(x) dx = 0 und 

D(v) = D(w), und wir schreiben 

∫ 

∫ 

1 = h(x)e v(x) ∫ 

dx = h(x)e I v(y) dy+w(x) ∫ 

∫ 

dx = e I v(y) dy h(x)e w(x) dx, 

I 

I 

I 

so dass 

∫ 

[∫ 

] −1 

e I v(y) dy = h(x)e w(x) dx 

I


beziehungsweise ∫ 

[∫ 

] 

v(y) dy = − log h(x)e w(x) dx . 

I 

I 

Das Funktional F lässt sich also auch folgendermaßen schreiben: 

[∫ 

] 

F(v) = D(v) − log h(x)e w(x) dx . 

Um zu untersuchen, ob F nach unten beschränkt ist, gilt es nun zwei Fälle zu 

unterscheiden. Ist das Argument des Logarithmus kleiner oder gleich eins, so ist 

F(v) ≥ D(v) ≥ 0. 

Falls aber ∫ I h(x)ew(x) dx > 1, so können wir mit Hilfe von Satz 2.14 und der 

Poincaré-Ungleichung abschätzen, da L 1 (I) −1 ∫ I 

w(x) dx = 0: 

‖w‖ C 0 (I) ≤ c′ ‖w‖ W 1,2 (I) ≤ c ′′ ‖w ′ ‖ L 2 (I) ≤ c‖v ′ ‖ L 2 (I). 

I 

Es ist also ‖he w ‖ C 0 (I) ≤ ‖h‖ C 0 (I) ec‖v′ ‖ L 2 (I) 

, so dass für beliebiges v ∈ C II 

F(v) ≥ D(v) − |log‖h‖ C 0 (I) | − c‖v′ ‖ L 2 (I) 

≥ 

D(v) − |log‖h‖ C 0 (I) | − c(ε) − ε‖v′ ‖ 2 L 2 (I) 

≥ 1 4 ‖v′ ‖ 2 L 2 (I) 

− ˜c, (3.17) 

wobei im zweiten Schritt die Youngsche Ungleichung benutzt und im dritten ε := 1/4 

gesetzt wurde. 

Insgesamt folgt also 

inf F(·) ∈ [−˜c , F(ṽ 2 )]. 

C II 

k→∞ 

(iii) Existenz. Wir können nun eine Minimalfolge {v k } k∈N wählen mit F(v k ) −−−→ 

inf CII F(·) und sehen aufgrund der Abschätzung (3.17), dass ‖v 

k ′ ‖ L 2 (I) ≤ c unabhängig 

von k ist. Um auch die gleichmäßige Beschränktheit von ‖v k ‖ L 2 (I) und somit von 

‖v k ‖ W 1,2 (I) einzusehen, schätzen wir für beliebiges x ∈ I = (0, 1) ab: 

∫ 

∫ 

|v k (x)| = |v k (x) − − v k (y) dy + v k (y) dy| 

∫I 

I 

= |v k (x) − − v k (y) dy + F(v k ) − D(v k )| 

∫I 

≤ |v k (x) − − v k (y) dy| + |F(v k )| + |D(v 

I 

} {{ } k )| . 

} {{ } 

≤c ≤c 

Auf den ersten Summanden können wir die Poincaré-Ungleichung, Korollar 2.10, 

anwenden, so dass 

∫ 

∫ ∣ 

I 

∫ 

|v k (x)| 2 dx ≤ c 

∫ 

≤ 

c 

I 

I 

∣ 

∣v k (x) − − 

|v ′ k (x)|2 dx + c , 

I 

v k (y) dy∣ 2 dx + c

99 

womit ‖v k ‖ W 1,2 (I) ≤ c unabhängig von k folgt. Nach Satz 2.14, Satz A.10 und dem 

Satz von Arzelà-Ascoli gibt es also eine Teilfolge {v ki } i∈N und ein v ∈ W 1,2 (I) mit 

v ki 

v ki 

i→∞ ⇀ v in W 1,2 (I), 

i→∞ 

−−−→ v in C 0 (I), 

wobei auch v ∈ C II , da ∫ I h(x)ev(x) dx = lim i→∞ 

∫I h(x)ev k i (x) dx = 1. 

Nun ist D schwach unterhalbstetig und ∫ I u(x) dx sogar schwach stetig in W 1,2 (I), so 

dass F schwach unterhalbstetig ist. Folglich gilt 

F(v) = inf 

C II 

F(·). 

(iv) Lagrange-Multiplikator. Ähnlich wie in Proposition 1.19 und in einer Übungsaufgabe 

können wir auf die Existenz eines Lagrange-Multiplikators λ ∈ R mit 

δF(v, ϕ) + λδG(v, ϕ) = 0 

∀ ϕ ∈ C ∞ (I) 

schließen, wobei G(u) := ∫ I G(x, u(x), u′ (x)) dx := ∫ I h(x)eu(x) dx. Dazu ist ähnlich 

wie im ersten Fall zu zeigen, dass es ein ψ ∈ C ∞ (I) gibt, so dass δG(v, ψ) ≠ 0, was in 

diesem Fall wegen h ≢ 0 möglich ist. Außerdem ergibt sich aus Regularitätsbetrachtungen 

wie im ersten Fall, dass v ∈ C2 (Ī), so dass wir wegen 

F z (x, z, p) = 1 , F p (x, z, p) = p , G z (x, z, p) = h(x)e z , G p (x, z, p) = 0 

die Euler-Lagrange-Gleichung in ihrer starken Form erhalten: 

v ′′ − 1 − λhe v = 0. (ELG 3.52 ) 

(v) Natürliche Randbedingungen. Wir wenden nun erneut Proposition 1.12 an und 

finden so die natürlichen Randbedingungen 

v ′ (0) = v ′ (1) = 0 

des Variationsproblems. Durch Integration von (ELG 3.52 ) über I = (0, 1) ergibt sich 

∫ 

∫ 

0 = v ′ (1) − v ′ (0) − 1 − λ h(x)e v(x) dx = −1 − λ h(x)e v(x) dx = −1 − λ, 

I 

also λ = −1, womit v die gegebene Differentialgleichung (3.16) löst: 

v ′′ = 1 − he v mit v ′ (0) = v ′ (1) = 0. 

I 

3. Fall: c = −1. Zu lösen ist das Problem 

u ′′ = −1 − he u mit u ′ (0) = u ′ (1) = 0. 

Auch hier gilt h ≢ 0, da sonst u ′ (x) = −x+d, was wegen 0 = u ′ (0) zunächst auf d = 0 führt, 

woraus aber wegen 0 = u ′ (1) = −1 + d ein Widerspruch folgt. Durch Multiplikation mit e −u


und anschließender Integration werden wir auch hier auf eine notwendige Bedingung an h 

geführt (für den Fall, dass h nicht identisch verschwindet), denn es gilt 

∫ 

∫ 

∫ 

0 < (u ′ (x)) 2 e −u(x) dx + e −u(x) dx = − h(x) dx. 

I 

Jedoch lässt sich das Problem nach bisherigem Erkenntnisstand nicht mit einem Variationsansatz 

lösen. Stattdessen führt die Perronsche Methode zum Erfolg, siehe [36, Section 

9]. 

I 

I 

Bemerkung: 

Die direkte Methode der Variationsrechnung erfordert im Allgemeinen, dass man das Minimierungsproblem 

auf größere Funktionenräume ausdehnen muss, etwa von C 1 auf den 

Sobolevraum W 1,q für einen geeigneten, dem Variationsintegral angepassten Integrabilitätskoeffizienten 

q. Damit ist aber nicht ausgeschlossen, dass das Infimum über dieser größeren 

Funktionenklasse echt kleiner ist als das Infimum über dem klassischen Funktionenraum, 

in dem man eigentlich die Lösung sucht. Dieser Effekt heißt Lavrentiev-Phänomen und 

kann tatsächlich eintreten, wie das folgende Beispiel von Manià zeigt. Das Lavrentiev- 

Phänomen kann sogar dann auftreten, wenn man eine polynomiale Schranke in p von unten 

für den Integranden hat, wie wir beispielsweise in Proposition 4.7 sehen werden. Polynomiales 

Wachstum in p nach oben verhindert das Lavrentiev-Phänomen, was wir in Satz 3.8 

beweisen werden. 

Beispiel 3.6 [Manià [42]] 

Die Funktion 

genügt der Identität 

für 

x ↦→ u(x) := x 1/3 ∈ C(0, 1) := {v ∈ W 1,1 ((0, 1)) : v(0) = 0, v(1) = 1} 

F(v) := 

∫ 1 

0 

F(u) = 0 = inf 

C(0,1) F 

(v 3 (x) − x) 2 (v ′ (x)) 6 dx, v ∈ C(0, 1). 

Andererseits kann man zeigen (siehe z.B. [4, Chapter 4.3]), dass es eine Konstante σ > 0 

gibt, so dass F(w) ≥ σ für alle w ∈ C 1 ([0, 1]) ∩ C(0, 1). 

Lemma 3.7 

Sei q ∈ [1, ∞) und 

(i) F ∈ C 0 (I × R N × R N ) (oder alternativ F eine Carathéodory-Funktion). 

(ii) Es gebe c 1 , c 2 ∈ R mit 0 < c 1 , 0 ≤ c 2 , so dass 

0 ≤ F (x, z, p) ≤ c 1 |p| q + c 2 ∀ (x, z, p) ∈ I × R N × R N . 

Falls dann eine Folge {u k } k∈N ⊂ W 1,q (I, R N ) gegen u ∈ W 1,q (I, R N k→∞ 

) konvergiert, u k −−−→ 

u, so gilt auch 

F(u k ) −−−→ k→∞ F(u), 

d.h. F ist stetig bezüglich der (starken) W 1,q -Topologie.

101 

Beweis. Wir wählen eine Teilfolge mit 

u ki 

u ′ k i 

i→∞ 

−−−→ u L 1 -fast überall in I, 

i→∞ 

−−−→ u ′ L 1 -fast überall in I, 

so dass wegen der Stetigkeit von F (x, ·, ·) 

F (x, u ki (x), u ′ k i 

(x)) i→∞ −−−→ F (x, u(x), u ′ (x)) für L 1 -fast alle x ∈ I. (3.18) 

Nun lässt sich die Wachstumsbedingung (ii) anwenden, um zu schließen, dass mit dem 

Konvergenzsatz von Vitali [2, Satz 1.21] wegen u ′ k i 

→ u ′ in L q (I, R N ) für i → ∞ 

∫ 

sup 

i∈N E 

∫ 

] 

|F (x, u ki (x), u ′ k i 

(x))| dx ≤ sup 

[c 1 |u ′ k i 

(x)| q + c 2 dx → 0 für E ⊂ I, L 1 (E) → 0. 

i∈N E 

Zusammen mit (3.18) ergibt dies wieder mit dem Satz von Vitali, dass F (·, u ki (·), u ′ k i 

(·)) → 

F (·, u(·), u ′ (·)) in L 1 (I) für i → ∞, und es folgt mit dem Teilfolgenprinzip für die ganze 

Folge {u k } 

F(u k ) −−−→ k→∞ F(u). 

Satz 3.8 [Ausschluss des Lavrentiev-Phänomens] 

Sei q ∈ (1, ∞) und 

(i) F, F p ∈ C 0 (I × R N × R N ). 

(ii) F weise ein polynomiales Wachstum auf, d. h. es gebe Konstanten c 0 , c 1 , c 2 , c 3 ∈ R 

mit 0 < c 0 ≤ c 1 , 0 ≤ c 2 , c 3 , so dass 

c 0 |p| q − c 3 ≤ F (x, z, p) ≤ c 1 |p| q + c 2 ∀ (x, z, p) ∈ I × R N × R N . 

(iii) F (x, z, ·) sei konvex (in p). 

Dann gibt es für alle u ∈ W 1,q (I, R N ) eine Folge {u k } k∈N ⊂ C ∞ (I, R N ) mit u k (a) = 

u(a), u k (b) = u(b) für alle k, so dass 

‖u k − u‖ W 1,q (I,R N ) 

k→∞ 

−−−→ 0 und F(u k ) −−−→ k→∞ F(u). 

Außerdem stimmt F mit seiner Relaxation überein, d.h. es gilt 

F(u) = inf {lim inf 

k→∞ 

F(v k) : v k ∈ C 1 (I, R N k→∞ 

), v k (a) = u(a), v k (b) = u(b), v k ⇀ 

und schließlich für α, β ∈ R N und C(α, β) := {w ∈ W 1,q (I, R N ) : w(a) = α, w(b) = β} 

inf F(·) = inf {F(v) : v ∈ 

C(α,β) C1 (I, R N ), v(a) = α, v(b) = β}. 

u},


Bemerkung: 

Das Infimum auf der linken Seite der letzten Identität wird aufgrund von Satz 3.6 angenommen. 

Falls man zeigen kann, dass der zugehörige Minimierer von der Klasse C 1 (I, R N ) ist, 

dann weiß man auch, dass das Infimum auf der rechten Seite angenommen wird. Dies ist 

also eine Fragestellung der Regularitätstheorie, die wir in Kapitel 4 behandeln. 

Beweis. Für die Approximation von u betrachtet man die Funktion ũ := u−l, wobei l linear 

ist mit l(a) = u(a), l(b) = u(b). Nach dem Resultat einer Übungsaufgabe ist ũ ∈ W 1,q 

0 (I, RN ) 

und wird demnach nach Definition 2.1 durch eine Folge {ũ k } k∈N ⊂ C0 ∞(I, RN ) bezüglich 

der W 1,q -Norm approximiert. Die Funktionen u k := ũ k + l ∈ C ∞ (I, R N ) bilden dann eine 

Folge mit den vorgegebenen Randwerten und den gewünschten Konvergenzeigenschaften. 

Lemma 3.7 liefert wegen der starken Konvergenz in W 1,q (I, R N ) dann F(u k ) −−−→ k→∞ F(u). 

Die Ungleichung 

F(u) = lim 

k→∞ F(u k) = lim inf 

k→∞ F(u k) 

≥ 

inf {lim inf 

k→∞ 

F(v k) : v k ∈ C 1 (I, R N ), v k (a) = u(a), v k (b) = u(b), v k 

k→∞ ⇀ u} 

folgt damit sofort, da stark konvergente Folgen auch schwach konvergent sind, vgl. Lemma 

A.8 im Anhang. 

Umgekehrt sind die Voraussetzungen von Satz 3.5 erfüllt, so dass F schwach unterhalbstetig 

ist, d.h. 

Daher gilt auch 

F(u) ≤ lim inf F(ṽ k→∞ 

k) für alle {ṽ k } k∈N mit ṽ k ⇀ u in W 1,q (I, R N ). 

k→∞ 

F(u) ≤ inf {lim inf 

k→∞ 

F(ṽ k) : ṽ k 

k→∞ ⇀ u in W 1,q (I, R N )} 

≤ inf {lim inf 

k→∞ F(ṽ k) : ṽ k ∈ C 1 (I, R N ), ṽ k (a) = u(a), ṽ k (b) = u(b), ṽ k ⇀ u in W 1,q (I, R N )}. 

Schließlich gibt es nach Satz 3.6 ein u ∈ C(α, β) mit F(u) = inf C(α,β) F(·), und nach dem 

schon bewiesenen Teil existiert eine Folge {u k } k∈N ⊂ C 1 (I, R N ) mit {u k } k∈N ⊂ C(α, β) 

k→∞ 

und u k −−−→ u in W 1,q (I, R N ), für welche nach Lemma 3.7 auch F(u k ) −−−→ k→∞ F(u) gilt. 

Durch die Abschätzung 

inf F(·) = lim F(u k) ≥ inf {F(v) : v ∈ C 1 (I, R N ), v(a) = α, v(b) = β} ≥ inf F(·) 

C(α,β) k→∞ C(α,β) 

ergibt sich 

inf 

C(α,β) F(·) = inf {F(v) : v ∈ C1 (I, R N ), v(a) = α, v(b) = β}. 

Unter gewissen Umständen kann die schwache Konvergenz (z.B. von Minimalfolgen) 

zusammen mit der Konvergenz der Werte des Funktionals die starke Konvergenz implizieren. 

Proposition 3.9 [Reshetnyak] 

Sei q ∈ (1, ∞) und

103 

(i) F, F p ∈ C 0 (I × R N × R N ). 

(ii) Es gebe c 0 , c 1 , c 2 , c 3 ∈ R mit 0 < c 0 ≤ c 1 , 0 ≤ c 2 , c 3 , so dass 

c 0 |p| q − c 3 ≤ F (x, z, p) ≤ c 1 |p| q + c 2 ∀ (x, z, p) ∈ I × R N × R N . 

(iii) Es gebe ein µ 0 ∈ (0, c 0 ], so dass F (x, z, ·) − µ 0 | · | q konvex in p ist. 

k→∞ 

Dann gilt für alle Folgen {u k } k∈N mit u k ⇀ 

dass diese Folgen auch stark konvergieren: 

u in W 1,q (I, R N ) und F(u k ) k→∞ −−−→ F(u), 

u k 

k→∞ 

−−−→ u in W 1,q (I, R N ). 

Die obere Schranke in Voraussetzung (ii) ist nicht nötig, wenn man der Konvention folgt, 

dass die vorausgesetzte Konvergenz F(u k ) → F(u) insbesondere beinhaltet, dass alle dort 

auftretenden Werte des Funktionals wohldefiniert und endlich sind. Y.G. Reshetnyak 

konnte das Resultat ohne Voraussetzung (iii) beweisen [54], der Einfachheit halber haben 

wir aber diese Bedingung einer gleichmäßig strikten Konvexität hier eingefügt. Doch vor 

dem Beweis betrachten wir 

Beispiel 3.7 

Vergleichbare Voraussetzungen wie in Proposition 3.9 führen für parametrische Variationsprobleme 

für Flächen im R 3 zur Existenz konformer Lösungen, wobei man beim Existenzbeweis 

ausnutzt, dass schwach konvergente Folgen mit speziellen Eigenschaften tatsächlich 

auch stark konvergieren. Zur Erläuterung unternehmen wir nun einen kurzen Ausflug in 

die Flächentheorie. Sei also u ∈ W 1,2 (B, R 3 ) die Parametrisierung einer Fläche über der 

Einheitskreisscheibe B := B 1 (0) ⊂ R 2 . Man betrachtet dann sogenannte parametrische 

Funktionale oder Cartan-Funktionale 

∫ 

F B (u) := F (u(x), u x 1(x) ∧ u x 2(x)) dx 1 dx 2 

mit 

B 

F (z, tν) = tF (x, ν) für alle t > 0, z ∈ R 3 , ν ∈ R 3 . (3.19) 

Wegen der Bedingung (3.19) an F folgt (siehe z.B. [46, Ch. 9.1] und vgl. mit der zugehörigen 

Übungsaufgabe) 

F B (u) = F Ω (u ◦ τ) für alle C 1 -Diffeomorphismen τ : Ω −→ B . 

Man betrachtet das Variationsproblem 

F B (u) −→ min! in der Klasse C(Γ) := {u ∈ W 1,2 (B, R 3 ) ∩ C 0 (∂B, R 3 ) : u(∂B) = Γ}, 

wobei Γ eine vorgegebene geschlossene Jordankurve in R 3 ist. Für den Fall, dass F = F (z) = 

|z| gilt, ist F = A mit A(u) := ∫ B |u x 1 ∧ u x 2| dx1 dx 2 , das klassische Flächenfunktional. 

Die Idee zur Lösung des allgemeinen Falls ist es nun, vorerst zu versuchen, das Funktional 

F ε := F + εD zu minimieren, und dann später den Grenzwert ε → 0 zu bilden. Hierbei 

bezeichnet D wie schon im eindimensionalen Fall das Dirichletintegral (vgl. z.B. mit der 

zugehörigen Übungsaufgabe) 

∫ 

D(u) := D B (u) := |∇u(x)| 2 dx 1 dx 2 . 

B


Dabei zeigt sich, dass es u ε ∈ C(Γ) gibt mit F ε (u ε ) = inf C(Γ) F ε (·), und es gilt u ε ε→0 ⇀ u, 

wobei u ∈ C(Γ) und F(u) = inf C(Γ) F(·). Darüberhinaus übertragen sich „schöne“ Eigenschaften 

von u ε auf u; so ist u ε zum Beispiel konform für alle ε > 0, d.h. |u ε x 

| = |u ε 1 x 

| 2 

und u ε x 

· u ε 1 x 

= 0 L 2 -fast überall auf B, was man mit Hilfe innerer Variationen beweisen 

2 

kann, vgl. Abschnitt 1.2. Hierbei spielt das Dirichletintegral D die entscheidende Rolle, 

da F als parameterinvariantes Funktional unter inneren Variationen invariant ist. Aus einer 

Voraussetzung an F ähnlich wie in Proposition 3.9 (iii) ergibt sich die starke Konvergenz 

u ε → u in W 1,2 (B, R 3 ) für ε → 0, und damit auch |u x 1| = |u x 2| und u x 1 · u x 2 = 0, also die 

Konformität des Minimierers, vgl. [31]. (Tatsächlich kann man mit einem Trick auf diese der 

Voraussetzung (iii) vergleichbare Annahme verzichten, siehe dazu die Verschärfung in [32] 

und Kapitel 5.2, wo wir das in einer Dimension vorführen werden.) 

Beweis zu Proposition 3.9. Nach Voraussetzung (ii) wissen wir 

F (x, z, p) − µ 0 |p| q ≥ (c 0 − µ 0 )|p| q − c 3 ≥ −c 3 , 

und F (x, z, ·) − µ 0 | · | q ist konvex in p und genügend glatt. Nach Satz 3.5 (für die in 

diesem Satz zugelassene Variante mit der L 1 -Funktion g(x) := −c 3 ) ist also das Funktional 

u ↦→ F(u) − µ 0 

∫I |u′ (x)| q dx schwach unterhalbstetig in W 1,q (I, R N ), so dass für 

{u k } k ⊂ W 1,q (I, R N k→∞ 

) mit u k ⇀ u in W 1,q (I, R N ) und F(u k ) −−−→ k→∞ F(u) gilt 

∫ 

∫ 

] 

F(u) − µ 0 |u ′ (x)| q dx ≤ lim inf 

[F(u k ) − µ 0 |u ′ k 

I 

k→∞ 

(x)|q dx 

I 

∫ 

≤ lim F(u k) − µ 0 lim sup |u ′ k 

k→∞ (x)|q dx 

k→∞ I 

∫ 

≤ F(u) − µ 0 lim sup |u ′ k (x)|q dx. 

k→∞ I 

Da µ 0 > 0, folgt also 

∫ 

∫ 

∫ 

lim sup |u ′ k (x)|q dx ≤ |u ′ (x)| q dx ≤ lim inf |u ′ k 

k→∞ 

k→∞ 

(x)|q dx; 

I 

I 

denn auch die L q -Norm ist schwach unterhalbstetig, vgl. mit der zugehörigen Übungsaufgabe. 

Es ergibt sich somit ∫ 

∫ 

lim |u ′ k 

k→∞ 

(x)|q dx = |u ′ (x)| q dx, 

I 

I 

und da L q (I, R N ) für q ∈ (1, ∞) uniform konvex ist (vgl. Übungsaufgaben), gilt mit dem 

Resultat einer Übungsaufgabe 

u ′ k 

I 

k→∞ 

−−−→ u ′ in L q (I, R N ). (3.20) 

k→∞ 

Außerdem ist ‖u k ‖ W 1,q (I,R N ) beschränkt, da u k ⇀ u in W 1,q (I, R N ), und aufgrund von 

Satz 2.14 gilt dann auch ‖u k ‖ 

0,1− 1q < c unabhängig von k. Nach dem Satz von 

C (I,R N ) 

Arzelà-Ascoli existiert also eine Teilfolge mit u ki −−−→ u in C 0 (I, R N ), und nach 

k→∞ 

dem Teilfolgenprinzip ist sogar u k −−−→ u in C 0 (I, R N k→∞ 

), also insbesondere u k −−−→ u 

in L q (I, R N ). Zusammen mit (3.20) folgt schließlich 

u k 

i→∞ 

k→∞ 

−−−→ u in W 1,q (I, R N ).

Kapitel 4 

Regularitätstheorie und 

Singularitäten 

Wir beginnen zunächst mit einem einfachen Beispiel, bei dem man die Regularität direkt 

nachweisen kann. 

Beispiel 4.1 

Sei I = (a, b) ⊂ R ein beschränktes Intervall, c ∈ C 0 (I) mit Werten in [0, ∞) und α, β ∈ R N 

vorgegeben. Wir betrachten das Funktional 

∫ 

∫ [ 

F(v) := F (x, v(x), v ′ (x)) dx := |v ′ (x)| 2 + c(x)|v(x)| 6] dx, 

I 

für welches man mit den Techniken aus Kapitel 3 die Existenz eines Minimierers u in der 

Klasse 

C(α, β) := {v ∈ W 1,2 (I, R N ) : v(a) = α, v(b) = β} 

nachweisen kann. Wir nutzen die Minimalität von u nun aus, um zu zeigen, dass u ∈ 

C 2 (I, R N ). Tatsächlich folgt aus der Beziehung 

F(u) ≤ F(u + εϕ) für alle ε ∈ R, ϕ ∈ C ∞ 0 (I, R N ), 

dass 1 δF(u, ϕ) = 0 und damit die schwache Euler-Lagrange-Gleichung 

∫ [ 

] 

F p (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ ′ (x) + F z (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ(x) dx = 0 für alle ϕ ∈ C0 ∞ (I, R N ) 

I 

und damit durch partielle Integration (vgl. mit der Herleitung der DuBois-Reymond- 

Gleichung in Proposition 1.9) für d ∈ I 

∫ [ 

∫ x 

] 

F p (x, u(x), u ′ (x)) − F z (y, u(y), u ′ (y)) dy · ϕ ′ (x) dx = 0 für alle ϕ ∈ C0 ∞ (I, R N ). 

I 

d 

Nach Lemma 1.10 existiert demnach ein konstanter Vektor c d ∈ R N , so dass 

F p (x, u(x), u ′ (x)) = c d + 

∫ x 

d 

I 

F z (y, u(y), u ′ (y)) dy für L 1 -fast alle x ∈ I. 

1 Bei der Herleitung der schwachen Euler-Lagrange-Gleichung und der DuBois-Reymond-Gleichung 

muss man lediglich beachten, dass für dieses Beispiel sämtliche Integralausdrücke existieren, was mit u ∈ 

W 1,2 (I, R N ) ⊂ C 0,1/2 (I, R N ) (Satz 2.14) leicht nachzuweisen ist. 

105

106 KAPITEL 4. REGULARITÄTSTHEORIE UND SINGULARITÄTEN 

Mit F z (·, u(·), u ′ (·)) = 6c(·)|u(·)| 4 u(·) ∈ C 0 (I, R N ) folgt 

2u ′ (x) = F p (x, u(x), u ′ (x)) ∈ C 1 (I, R N ), 

also u ∈ C 2 (I, R N ). Die Regularität folgt also in diesem Beispiel aus der Tatsache, dass der 

Ausdruck F p (x, z, p) die Isolation der p-Variablen explizit (und hier in sehr einfacher Weise) 

erlaubt. Der nun folgende Regularitätssatz gibt allgemeine Bedingungen an, unter denen 

eine solche Schlussweise noch möglich ist. 

Satz 4.1 

Seien I = (a, b) mit −∞ < a 

(i) F ∈ C 2 (I × R N × R N ). 

(ii) Es gebe c 0 , c 1 , c 2 , c 3 ∈ R mit 0 < c 0 ≤ c 1 , 0 ≤ c 2 , c 3 , so dass 

c 0 |p| q − c 3 ≤ F (x, z, p) ≤ c 1 |p| q + c 2 

für alle (x, z, p) ∈ I × R N × R N 

(polynomiales Wachstum). 

(iii) ∑ N 

i,k=1 F p i p k(x, z, p)ξi ξ k > 0 

∀ (x, z, p) ∈ I ×R N ×R N , ∀ ξ ∈ R N \{0} (Elliptizität). 

(iv) Es gebe eine Funktion M = M(R) > 0, so dass für alle (x, z, p) ∈ I × R N × R N mit 

x 2 + |z| 2 ≤ R 2 gilt 

Dann gilt für alle 

mit F(u) = inf C(α,β) F(·) 

|F z (x, z, p)| + |F p (x, z, p)| ≤ M(R) (1 + |p| q ) . 

u ∈ C(α, β) := {u ∈ W 1,q (I, R N ) : u(a) = α, u(b) = β} 

u ∈ C 2 (I, R N ) 

und 

d 

dx F p(x, u(x), u ′ (x)) − F z (x, u(x), u ′ (x)) = 0 ∀ x ∈ I. 

Falls F ∈ C k (I × R N × R N ) für k ≥ 2 bzw. F ∈ C ω (I × R N × R N ), dann ist auch 

u ∈ C k (I, R N ) bzw. u ∈ C ω (I, R N ), wobei C ω (I, R N ) die Klasse der auf I reell analytischen 

Funktionen mit Werten in R N bezeichnet, die sich analytisch über I hinaus fortsetzen lassen. 

Auf den Beweis der Analytizität verzichten wir hier, den Beweis der Differenzierbarkeit 

führen wir in mehreren Schritten: Zunächst beweisen wir, dass aus C 1 -Regularität die 

C 2 -Regularität folgt, dann aber auch höhere Regularität, falls F genügend glatt ist, und 

schließlich beweisen wir die C 1 -Regularität für schwache Extremalen von F. Abschließend 

bleibt dann nur zu zeigen, dass unter den Voraussetzungen von Satz 4.1 jeder Minimierer 

eine schwache Extremale ist. 

Proposition 4.2 [“ C 1 ⇒ C 2 ”] 

Sei u ∈ C 1 (I, R N ) eine schwache Extremale von F, wobei F, F p i ∈ C 1 (I × R N × R N ) für 

i = 1, . . . , N, und F pp (x, u(x), u ′ (x)) für alle x ∈ I invertierbar sei. Dann ist u ∈ C 2 (I, R N ).

107 

Beweis. Zuerst bemerken wir, dass der 1-Graph {(x, u(x), u ′ (x)) : x ∈ I} von u kompakt 

in I × R N × R N ist, da u ∈ C 1 (I, R N ). Deshalb existiert auch eine offene Umgebung 

U ⊂ (R × R N × R N ) des 1-Graphen von u, so dass F, F p ∈ C 1 (U) und F pp | U invertierbar 

ist. Für u gilt nach Voraussetzung 

∫ 

[ 

Fp (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ ′ (x) + F z (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ(x) ] dx = 0 für alle ϕ ∈ C0 ∞ (I, R N ). 

I 

Nach Proposition 1.9 von DuBois-Reymond existiert ein c ∈ R N mit 

∫ x 

F p (x, u(x), u ′ (x)) = c + F z (y, u(y), u ′ (y)) dy für alle x ∈ I. 

a } {{ } 

∈C 

} {{ 0 

} 

∈C 1 

Für ε > 0 hinreichend klein 2 definieren wir daher G ∈ C 1 (B ε (I) × R N , R N ) durch 

und stellen fest, dass 

G(x, p) := F p (x, u(x), p) − c − 

∫ x 

a 

F z (y, u(y), u ′ (y)) dy 

G(x, u ′ (x)) = 0 und det G p (x, u ′ (x)) = det F pp (x, u(x), u ′ (x)) ≠ 0 für alle x ∈ I. 

Insbesondere gilt für einen beliebigen Punkt x 0 ∈ I, dass G(x 0 , u ′ (x 0 )) = 0, so dass es 

nach dem Satz über implizite Funktionen ein δ = δ(x 0 ) > 0 und genau eine Funktion 

˜p ∈ C 1 (B δ (x 0 ), R N ) gibt mit G(x, ˜p(x)) = 0 für alle x ∈ B δ (x 0 ). Es folgt u ′ (x) = ˜p(x) 

für alle x ∈ B δ (x 0 ), also u ′ ∈ C 1 (B δ (x 0 ), R N ). Da x 0 ∈ I beliebig gewählt war, ergibt sich 

u ∈ C 2 (I, R N ). 

Proposition 4.3 [“ C 1 ⇒ C k ”] 

Sei u ∈ C 1 (I, R N ) eine schwache Extremale von F, wobei F ∈ C k (I × R N × R N ) mit k ≥ 2 

bzw. F ∈ C ω (I × R N × R N ), und F pp (x, u(x), u ′ (x)) sei invertierbar für alle x ∈ Ī. Dann 

ist u ∈ C k (I, R N ) bzw. u ∈ C ω (I, R N ). 

Beweis. Für k = 2 folgt u ∈ C 2 (I, R N ) aus Proposition 4.2. Für k = 3 verfahren wir 

zunächst wie in dem Beweis von Proposition 4.2 und definieren 

G(x, p) := F p (x, u(x), p) − c − 

∫ x 

a 

F z (y, u(y), u ′ (y)) dy, 

wobei nun G ∈ C 2 (I × R N , R N ). Wie zuvor wenden wir für einen beliebig gewählten Punkt 

x 0 ∈ I den Satz über implizite Funktionen an und finden δ = δ(x 0 ) > 0 und eine eindeutige 

Funktion ˜p ∈ C 2 (B δ (x 0 ), R N ) mit G(x, ˜p(x)) = 0 für alle x ∈ B δ (x 0 ), welche aber mit u ′ 

auf B δ (x 0 ) übereinstimmen muss, so dass u ∈ C 3 (B δ (x 0 ), R N ) folgt. Da x 0 ∈ I beliebig 

gewählt war, schließt man u ∈ C 3 (I, R N ). Die Aussage für alle größeren k ∈ N beweist man 

analog. 

2 Da u ∈ C 1 (I, R N ) können wir u und u ′ stetig auf eine Umgebung B ε(I) fortsetzen, so dass der 1-Graph 

dieser (noch immer mit u bezeichneten) Fortsetzung immer noch in U liegt.


Proposition 4.4 [“ W 1,q ⇒ C 1 ”] 

Sei q ∈ (1, ∞), I = (a, b) ⊂ R ein beschränktes Intervall und u ∈ W 1,q (I, R N ) eine schwache 

Extremale von F. Zusätzlich gelten die folgenden Bedingungen: 

(i) F, F p i ∈ C 1 (I × R N × R N ) für i = 1, . . . , N. 

(ii) Es gibt Konstanten c 0 > 0, c 3 ≥ 0, so dass 

(iii) 

c 0 |p| q − c 3 ≤ F (x, z, p) für alle (x, z, p) ∈ I × R N × R N . 

N∑ 

F p i p k(x, z, p) ξi ξ k > 0 für alle ξ ∈ R N \ {0}, (x, z, p) ∈ I × R N × R N . 

i,k=1 

(iv) Für alle R > 0 gibt es eine Konstante M = M(R) > 0, so dass 

|F z (x, z, p)|+|F p (x, z, p)| ≤ M(R) (1 + |p| q ) ∀ (x, z, p) ∈ I×R N ×R N mit x 2 +|z| 2 ≤ R 2 . 

Dann ist u ∈ C 1 (I, R N ). 

Beweis. Ohne Einschränkung sei c 3 = 0; denn sonst wäre u auch eine schwache Extremale 

für das modifizierte Funktional ˜F mit dem Integranden ˜F (x, z, p) := F (x, z, p) + c3 , und ˜F 

würde dann auch alle anderen Voraussetzungen dieser Proposition erfüllen. 

Nach Satz 2.14 gilt W 1,q (I, R N ) ⊂ C 0,1− 1 q (I, R N ) (d.h. es gibt Hölderstetige Repräsentanten 

in W 1,q (I, R N )), also existiert ein R > 0 mit 

Wegen Voraussetzung (iv) gilt dann 

x 2 + |u(x)| 2 ≤ R 2 ∀ x ∈ I. 

|F z (x, u(x), u ′ (x))| ≤ M(R) ( 1 + |u ′ (x)| q) für L 1 -fast alle x ∈ I, 

so dass F z (·, u(·), u ′ (·)) ∈ L 1 (I, R N ). Damit ist die Funktion 

f(x) := 

∫ x 

a 

F z (y, u(y), u ′ (y)) dy, x ∈ I, 

in W 1,1 (I, R N ) mit schwacher Ableitung f ′ (·) = F z (·, u(·), u ′ (·)) ∈ L 1 (I, R N ) (vgl. Übungsaufgabe). 

Nach Definition 2.1 hat man also 

∫ 

∫ (∫ x 

) 

F z (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ(x) dx = − F z (˜x, u(˜x), u ′ (˜x)) d˜x · ϕ ′ (x) dx (4.1) 

I a 

I 

für alle ϕ ∈ C0 ∞(I, RN ). Da u eine schwache F-Extremale ist (vgl. Definition 1.2 und die 

sich dort anschließende Bemerkung), gilt 

∫ 

∫ 

0 = F p (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ ′ (x) dx + F z (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ(x) dx ∀ϕ ∈ C0 ∞ (I, R N ), 

I 

I

109 

wobei die Existenz aller auftretenden Integrale durch Voraussetzung (iv) gesichert ist. Unter 

Ausnutzung von (4.1) folgt aus dem Fundamentallemma von DuBois-Reymond (Lemma 

1.10) die Existenz eines Vektors c ∈ R N , so dass 

F p (x, u(x), u ′ (x)) = c + 

∫ x 

a 

F z (y, u(y), u ′ (y)) dy für L 1 -fast alle x ∈ I. 

Da aber u a priori nicht genügend glatt ist, können wir an dieser Stelle den Satz über 

implizite Funktionen nicht anwenden. Wir definieren also 

∫ x 

π(x) := c + F z (y, u(y), u ′ (y)) dy, x ∈ I, 

a } {{ } 

∈L 

} {{ 1 

} 

∈C 0 

σ(x) := (x, u(x), u ′ (x)) für L 1 -fast alle x ∈ I, 

e(x) := (x, u(x), π(x)) für x ∈ I, 

ψ(x, z, p) := (x, z, F p (x, z, p)) für (x, z, p) ∈ I × R N × R N , 

woraus 

ψ(σ(x)) = e(x) für L 1 -fast alle x ∈ I (4.2) 

folgt. Nun gilt es, den Ausdruck σ(x) in dieser Relation freizustellen, um am Ende des 

Beweises schließlich einzusehen, dass σ (und damit auch u ′ ) überall mit einer stetigen Funktion 

übereinstimmt. Dazu werden wir die Existenz einer stetigen Umkehrfunktion ψ −1 von 

ψ zeigen. Zunächst müssen wir die Bijektivität von ψ einsehen. 

Um zu zeigen, dass ψ injektiv ist, betrachten wir zwei Vektoren (x 1 , z 1 , p 1 ) ≠ (x 2 , z 2 , p 2 ). 

Dann gilt auch ψ(x 1 , z 1 , p 1 ) ≠ ψ(x 2 , z 2 , p 2 ), denn selbst wenn (x 1 , z 1 ) = (x 2 , z 2 ) folgt aus 

der Elliptizität von F (Voraussetzung (iii)) für die dritte Komponente von ψ 

ψ 3 (x 1 , z 1 , p 1 ) − ψ 3 (x 2 , z 2 , p 2 ) = F p (x 1 , z 1 , p 1 ) − F p (x 1 , z 1 , p 2 ) 

und damit, falls p 1 ≠ p 2 , 

= 

= 

∫ 1 

d 

0 dt F p(x 1 , z 1 , tp 1 + (1 − t)p 2 ) dt 

(∫ 1 

) 

F pp (x 1 , z 1 , tp 1 + (1 − t)p 2 ) dt (p 1 − p 2 ), 

0 

(p 1 − p 2 ) · [ψ 3 (x 1 , z 1 , p 1 ) − ψ 3 (x 2 , z 2 , p 2 )] 

(∫ 1 

) 

= (p 1 − p 2 ) · F pp (x 1 , z 1 , tp 1 + (1 − t)p 2 ) dt (p 1 − p 2 ) > 0, 

0 

also ψ(x 1 , z 1 , p 1 )−ψ(x 2 , z 2 , p 2 ) ≠ 0 für (x 1 , z 1 ) = (x 2 , z 2 ) und p 1 ≠ p 2 . Für (x 1 , z 1 ) ≠ (x 2 , z 2 ) 

ist offensichtlich ψ(x 1 , z 1 , p 1 ) ≠ ψ(x 2 , z 2 , p 2 ). 

Für den Nachweis der Surjektivität beachten wir, dass nach Voraussetzung (ii) 

F (x, z, p) ≥ c 0 |p| q gilt, und nach einer Übungsaufgabe gilt dann F p (x, z, R N ) = R N für 

alle (x, z) ∈ I × R N . Daraus folgt ψ(I × R N × R N ) = I × R N × R N .


Wir können nun also in der Gleichung ψ(σ(x)) = e(x), die nur für L 1 -fast alle x ∈ I 

gilt, den Ausdruck σ(x) für diese x freistellen, nicht 3 aber für alle x ∈ I. Wir müssen noch 

zeigen, dass die Umkehrfunktion ψ −1 auf e(I)) wohldefiniert und stetig ist, um die Gleichung 

schließlich für alle x ∈ I nach σ(x) freistellen zu können. Mit u ∈ C 0 (I, R N ) ist die Menge 

(σ 1 , σ 2 )(I) = I × u(I) ⊂ R × R N 

zwar kompakt, aber die dritte Komponente σ 3 (I) ist im Allgemeinen keine kompakte Teilmenge 

des R N , womit die Stetigkeit von ψ −1 noch nicht gesichert ist. Deswegen betrachten 

wir ψ auf der 1-Punktkompaktifizierung 

(R × R N × R N ) ∪ {∞} ∼ = S 2N+1 

durch die Fortsetzung ψ(∞) := ∞, womit ψ als bijektive (also umkehrbare) Funktion stetig 

fortgesetzt ist; denn wegen der Voraussetzungen (ii) und (iii) gilt nach einer Übungsaufgabe 

tatsächlich |F p (x, z, p)| → ∞ für |p| → ∞ und damit auch 

Damit ist die Umkehrfunktion 

|Ψ(x, z, p)| = |(x, z, F p (x, z, p))| 

−→ ∞. 

|(x,z,p)|→∞ 

ψ −1 : ψ(S 2N+1 ) = S 2N+1 −→ S 2N+1 

stetig (vgl. z.B. [30, Bd. 1, Satz 4, S. 147]). 

Wenden wir nun die Umkehrfunktion ψ −1 auf (4.2) an, so erhält man 

(x, u(x), u ′ (x)) = σ(x) = ψ −1 (ψ(σ(x))) 

= 

(4.2) 

ψ −1 (e(x)) = ψ −1 (x, u(x), π(x)) 

= (x, u(x), (ψ −1 ) 3 (x, u(x), π(x)) ). 

} {{ } 

∈C 0 (I,R N ) 

Durch Vergleich der letzten N Einträge dieser vektoriellen Gleichung erhält man u ′ 

C 0 (I, R N ). 

∈ 

Nach diesen vorbereitenden Propositionen können wir nun den Beweis von Satz 4.1 

abschließen. Im Wesentlichen geht es um den Nachweis, dass die minimierende Funktion 

u ∈ C(α, β) eine schwache F-Extremale ist. 

Beweis von Satz 4.1. Zuerst bemerken wir, dass F(v) wegen der Voraussetzung (ii) des Satzes 

für alle v ∈ C(α, β) nicht nur wohldefiniert (vgl. Proposition 3.1) sondern auch endlich 

ist. Sei u ein Minimierer von F, dann hat man für eine beliebige Funktion ϕ ∈ C ∞ 0 (I, RN ) 

die Inklusion 

u + εϕ ∈ C(α, β) für alle ε ∈ R, 

3 Da die Funktion e stetig auf I ist, ist e(I) nach (4.2) immerhin im Abschluss von Ψ(I × R N × R N ) und 

damit in der Kompaktifizierung S 2N+1 ∼ = (R × R N × R N ) ∪ {∞} von R × R N × R N enthalten. Man prüft 

zwar leicht nach, dass det DΨ ≠ 0 in I × R N × R N , so dass mit dem Umkehrsatz sofort folgt, dass Ψ −1 

stetig differenzierbar auf Ψ(I × R N × R N ) ist, nicht aber notwendig auf dem Abschluss des Bildes von Ψ.

111 

und wir setzen Q := ‖ϕ‖ C 1 (I,R N ) . Nach Satz 2.14 ist u + εϕ beschränkt, und zu ε 0 > 0 gibt 

es eine Zahl R > 0 mit 

Wegen Bedingung (iv) gilt 

x 2 + |u(x) + εϕ(x)| 2 ≤ R 2 für alle x ∈ I, |ε| < ε 0 . 

|F z (x, u(x) + εϕ(x), u ′ (x) + εϕ ′ (x))| + |F p (x, u(x) + εϕ(x), u ′ (x) + εϕ ′ (x))| 

und weiterhin können wir abschätzen 

so dass wir erhalten 

≤ M(R)(1 + |u ′ (x) + εϕ ′ (x)| q ), 

|u ′ (x) + εϕ ′ (x)| q ≤ 2 q−1( |u ′ (x)| q + ε q 0 |ϕ′ (x)| q) 

≤ 2 q−1( |u ′ (x)| q + ε q 0 Qq) , 

|F z (x, u(x) + εϕ(x), u ′ (x) + εϕ ′ (x))| + |F p (x, u(x) + εϕ(x), u ′ (x) + εϕ ′ (x))| ≤ c(1 + |u ′ (x)| q ). 

(4.3) 

Jetzt können wir zeigen, dass der Minimierer u ∈ W 1,q (I, R N ) auch schwache Extremale 

von F ist. Für ε > 0 gilt wegen der Minimaleigenschaft 

F(u + εϕ) − F(u) 

0 ≤ 

ε 

= 1 [∫ 

( 

F (x, u(x) + εϕ(x), u ′ (x) + εϕ ′ (x)) − F (x, u(x), u ′ (x)) ) ] 

dx 

ε I 

= 1 ∫ ∫ 1 

d 

ε I 0 dt F (x, u(x) + εtϕ(x), u′ (x) + εtϕ ′ (x)) dt dx 

= 1 ∫ ∫ 1 

[F z (x, u(x) + εtϕ(x), u ′ (x) + εtϕ ′ (x)) · εϕ(x) 

ε I 0 

+ F p (x, u(x) + εtϕ(x), u ′ (x) + εtϕ ′ (x)) · εϕ ′ (x)] dt dx. 

Da für L 1 -fast alle x ∈ I die Funktion 

ξ ↦→ F z (x, u(x) + ξϕ(x), u ′ (x) + ξϕ ′ (x)) · ϕ(x) + F p (x, u(x) + ξϕ(x), u ′ (x) + ξϕ ′ (x)) · ϕ ′ (x) 

stetig ist, erhalten wir mit der Substitution ξ = εt aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung 

∫ 1 

lim 

ε→0 0 

[F z (x, u(x) + εtϕ(x), u ′ (x) + εtϕ ′ (x)) · ϕ(x) 

+ F p (x, u(x) + εtϕ(x), u ′ (x) + εtϕ ′ (x)) · ϕ ′ (x)] dt 

∫ ε 

1 

= lim [F z (x, u(x) + ξϕ(x), u ′ (x) + ξϕ ′ (x)) · ϕ(x) 

ε→0 ε 0 

+ F p (x, u(x) + ξϕ(x), u ′ (x) + ξϕ ′ (x)) · ϕ ′ (x)] dξ (4.4) 

= F z (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ(x) + F p (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ ′ (x) für L 1 -fast alle x ∈ I.


Wegen (4.3) folgt dann nach dem Lebesgueschen Satz über dominierte Konvergenz, dass 

∫ 

[F z (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ(x) + F p (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ ′ (x)] dx ≥ 0. (4.5) 

I 

Die Beziehung (4.5) gilt für alle ϕ ∈ C0 ∞(I, RN ), insbesondere auch wenn wir von ϕ zu −ϕ 

übergehen, so dass wegen der Linearität des Ausdrucks in ϕ tatsächlich Gleichheit gilt: 

∫ 

[F z (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ(x) + F p (x, u(x), u ′ (x)) · ϕ ′ (x)] dx = 0, 

I 

d.h. u ist schwache Extremale von F. Die Aussage des Satzes folgt nun sofort durch Anwenden 

der vorherigen Propositionen: Nach Proposition 4.4 ist u ∈ C 1 (I, R N ), nach Proposition 

4.2 ist dann u ∈ C 2 (I, R N ), und falls F ∈ C k (I × R N × R N ) für k ≥ 2, gilt nach 

Proposition 4.3 auch u ∈ C k (I, R N ). 

Die beiden folgenden Beispiele illustrieren die Schärfe der Voraussetzungen von Satz 4.1: 

Beispiel 4.2 

Wir betrachten für N = 1 das Variationsproblem 

in der Klasse 

F(u) := 

∫ 1 

0 

[ 

(u ′ (x)) 2 − 1 ] 2 

dx −→ min! 

C(0, 0) := {v ∈ W 1,4 (I) : v(0) = v(1) = 0}. 

Offenbar ist inf C(0,0) F(·) = 0, und die Zackenfunktion ˜ϕ ∉ C 2 (I) aus Beispiel 3.3 ist ein 

Minimierer. Dies widerspricht jedoch nicht der Aussage des Regularitätssatzes, Satz 4.1; 

denn F ist nicht konvex in p: 

F pp (z, p) = 12p 2 − 4 < 0 für |p| < 1 √ 

3 

. 

(Ein nur leicht modifiziertes Variationsproblem in einer Übungsaufgabe besitzt sogar gar 

keine Lösung in C(0, 0).) 

Beispiel 4.3 

Wie in Beispiel 1.4 (und Übungsaufgabe) betrachten wir für N = 1 das Variationsproblem 

jedoch nun in der Klasse 

Dann ist 

F(u) := 

∫ +1 

−1 

u 2 (x)(2x − u ′ (x)) 2 dx −→ min!, 

C(0, 1) := {v ∈ W 1,2 (I) : v(−1) = 0, v(+1) = 1}. 

u ∗ (x) := 

{ 

0 für x ∈ (−1, 0) 

x 2 für x ∈ [0, 1) 

ein Minimierer, F(u ∗ ) = inf C(0,1) F(·) = 0, und nach dem Hebbarkeitssatz (Lemma 2.16) 

ist u ∗ ∈ W 1,2 ((−1, +1)). Aber auch hier ist u nicht aus C 2 ([−1, +1]). Satz 4.1 ist nicht 

anwendbar, weil hier die strikte Konvexität nicht gegeben ist: 

F pp (x, z, p) = 2z 2 ≯ 0.

113 

Im Rahmen dieser Vorlesung begnügen wir uns mit dem Beweis dieses einen zentralen 

Regularitätssatzes, Satz 4.1, wollen aber zum Abschluss dieses Kapitels einen Ausblick auf 

weitere Resultate und Phänomene der Regularitätstheorie geben, allerdings ohne Beweis. 

Selbst in einer Dimension muss man mit singulären Lösungen rechnen, wie Beispiel 4.2 

zeigt. Tatsächlich kann man aber zeigen, dass unter geeigneten milden Voraussetzungen die 

Singularitätenmenge eines Minimierers sehr klein ist, was man unter dem Begriff der partiellen 

Regularität zusammenfasst. Das Phänomen partieller Regularität und die tatsächliche 

Größe der singulären Menge von Lösungen von Variationsproblemen ist insbesondere in 

der Theorie harmonischer und biharmonischer Abbildungen in mehreren Dimensionen auch 

heute noch Gegenstand zahlreicher Untersuchungen, siehe z.B. [63], [39], [48], [55] und die 

jüngeren Arbeiten [56], [66], [58]. 

Satz 4.5 [Partielle Regularität] 

Seien N = 1, q ∈ [1, ∞) und I = (a, b) ⊂ R ein beschränktes Intervall, α, β ∈ R gegebene 

Konstanten und F ∈ C ∞ (I × R × R) mit F pp (x, z, p) > 0 für alle (x, z, p) ∈ I × R × R. 

Dann gilt für 

u ∈ C(α, β) := {v ∈ W 1,q (I) : v(a) = α, v(b) = β} 

mit 

F(u) = 

inf F(·) 

C(α,β) 

(i) Die Ableitung u ′ existiert mit Werten in R ∪ {−∞, ∞} überall auf I und ist stetig. 

(ii) u ∈ C ∞ (I \ Sing(u)), wobei die singuläre Menge Sing(u) := {x ∈ I : u ′ (x) = ±∞} 

abgeschlossen ist und L 1 ( Sing(u)) = 0 gilt. 

Bemerkung: 

Im Unterschied zu Satz 4.1 fehlen bei den Voraussetzungen zu Satz 4.5 das polynomiale 

Wachstum und die Strukturbedingungen (Voraussetzungen (ii) und (iv) von Satz 4.1), die 

uns die Herleitung der schwachen Euler-Lagrange-Gleichung ermöglicht haben. Diese 

Bedingungen können in der folgenden Weise abgeschwächt werden, um doch noch volle 

Regularität des Minimierers zu garantieren. 

Korollar 4.6 [Volle Regularität] 

F ∈ C ∞ (I × R × R) wachse superlinear, d.h. 

F (x, z, p) 

lim 

= ∞, 

|p|→∞ |p| 

und es gelte F pp (x, z, p) > 0 für alle (x, z, p) ∈ I × R × R, sowie 

F z (·, u(·), u ′ (·)) ∈ L 1 (I) 

oder F x (·, u(·), u ′ (·)) ∈ L 1 (I), 

und es existiere u ∈ C(α, β) mit F(u) = inf C(α,β) F mit der Klasse C(α, β) wie in Satz 4.5. 

Dann gilt u ∈ C ∞ (I) und u erfüllt die (starke) Euler-Lagrange-Gleichung in I. 

Der Satz über die partielle Regularität, Satz 4.5, garantiert die Kleinheit der singulären 

Menge: L 1 (Sing(u)) = 0. Die in der folgenden Proposition beschriebene Konstruktion verdeutlicht, 

dass man diese singuläre Menge beliebig vorschreiben kann. Mit anderen Worten, 

zu beliebig vorgegebener L 1 -Nullmenge gibt es ein Variationsintegral, dessen Minimierer 

genau diese Menge als singuläre Menge haben.


Proposition 4.7 [Vorgeschriebene Singularitäten und Lavrentiev-Phänomen] 

Sei I = (a, b) mit −∞ < a 

C(0, 1) := {w ∈ W 1,2 (I) : w(a) = 0, w(b) = 1}. 

Dann existieren v ∈ C(0, 1), ϕ, ψ ∈ C ∞ (R) und ε > 0 mit 

ψ, ψ ′′ ≥ 0 auf R und ϕ ◦ v ∈ C ∞ (I), 

so dass für 

und 

gilt: 

F (x, z, p) := [ϕ(z) − ϕ(v(x))] 2 ψ(p) + εp 2 

∫ 

F(w) := F (x, w(x), w ′ (x)) dx 

I 

(i) Es gibt ein u ∈ C(0, 1) mit F(u) = inf C(0,1) F(·). 

(ii) Sing(u) = E, d.h. u ∈ C ∞ (I\E), u ′ : I −→ R∪{±∞} und E = {x ∈ I : u ′ (x) = ±∞}. 

(iii) inf C(0,1) F(·) < inf C(0,1)∩C 1 (I) F(·) 

(Lavrentiev-Phänomen). 

Bemerkung: 

Die Existenz des Minimierers aus C(0, 1) folgt sofort, denn die Voraussetzungen von Satz 

3.6 sind erfüllt. Um die Regularität zu zeigen, kann der Satz von Tonelli über partielle 

Regularität, Satz 4.5, benutzt werden. Das Konstruktionsprinzip für den Beweis dieser 

Proposition ist in [4, Prop. 4.11] dargestellt. Zur Beweisidee bemerken wir hier nur, dass 

die Sobolevfunktion v so gewählt wird, dass sie auf der gegebenen Menge E unendliche 

Steigung hat. Die glatte Funktion ϕ blendet dann durch Verkettung mit v gerade diese 

Singularitätenmenge aus. Die konvexe Funktion ψ sorgt für eine positive untere Schranke 

σ 0 > 0 des Funktionals F(w) für glatte Funktionen w ∈ C 1 (I), und ε > 0 wird so klein 

gewählt, dass 

∫ 

F(v) = ε |v ′ (x)| 2 dx < σ 0 , 

I 

um das Lavrentiev-Phänomen (iii) nachzuweisen. Der Term εp 2 sorgt einerseits dafür, 

dass wir eine polynomiale untere Wachstumsschranke haben, womit die Existenz eines Minimierers 

nach Satz 3.5 gesichert ist. Andererseits führt dieser Term im Zusammenwirken 

mit der konvexen Funktion ψ zur strikten Konvexität des Integranden in p, so dass der 

Regularitätssatz Satz 4.5 anwendbar ist.

Kapitel 5 

Anwendungen 

5.1 Hindernisproblem 

5.2 Variationsprobleme für Cartan-Funktionale 

5.3 Periodische Lösungen von Differentialgleichungen 

115

116 KAPITEL 5. ANWENDUNGEN

Anhang A 

Resultate aus der Funktionalanalysis 

Im Folgenden werden wir einige Definitionen und Resultate aus der Funktionalanalysis und 

verwandten Gebieten angeben, die im vorliegenden Skript benutzt werden. Für Details der 

nachstehenden Sätze verweisen wir, soweit nicht anders vermerkt, auf [2], wobei wir uns hier 

bei linearen Räumen auf R-Vektorräume beschränken. 

Definition A.1 [Banachräume, dichte und separable Teilmengen] (i) Ein linearer 

normierter Raum X heißt Banachraum, wenn er vollständig ist, d.h. wenn 

alle Cauchy-Folgen in X konvergieren. 

(ii) Sei X ein Banachraum. Eine Teilmenge A ⊂ X heißt dicht in X, wenn der bezüglich 

der Norm ‖ · ‖ X gebildete Abschluss von A mit X übereinstimmt, d.h. A = X. 

X heißt separabel, wenn eine abzählbare, dichte Teilmenge A ⊂ X existiert. 

(iii) Ein Banachraum X heißt uniform konvex, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ(ε) > 0 

gibt, so dass gilt: Für u, v ∈ X mit ‖u‖ X = ‖v‖ X = 1 und mit ‖u − v‖ X ≥ ε 

gilt ‖u + v‖ X ≤ 2(1 − δ); siehe [37, Kapitel 5, S26.6]. (Gleichbedeutend ist: Aus 

‖u k ‖ X = ‖v k ‖ X = 1 und ‖u k + v k ‖ X → 2 folgt ‖u k − v k ‖ X → 0 für k → ∞.) 

(iv) Ein linearer Raum X mit einem Skalarprodukt (inneren Produkt) 〈·, ·〉 : X × X → 

R, welcher bezüglich der von dem Skalarprodukt induzierten Norm ‖ · ‖ X := √ 〈·, ·〉 

vollständig ist, heißt Hilbertraum. 

Definition A.2 [Lineare Abbildungen] (i) Seien X und Y lineare normierte Räume. 

Dann heißt L : X → Y eine lineare Abbildung, falls L(αx 1 +βx 2 ) = αL(x 1 )+βL(x 2 ) 

für alle x 1 , x 2 ∈ X und α, β ∈ R. 

(ii) Eine lineare Abbildung heißt stetig (oder beschränkt oder ein beschränkter linearer 

Operator), wenn es eine Konstante C ∈ R gibt, so dass ‖Lx‖ Y ≤ C‖x‖ X für alle 

x ∈ X. Mit L(X, Y ) bezeichnen wir den Raum der stetigen linearen Abbildungen von 

X nach Y , der mit der Operatornorm 

‖L‖ L(X,Y ) := 

ein normierter linearer Raum ist. 

sup ‖Lx‖ Y < ∞ 

‖x‖ X ≤1 

(iii) Der Raum X ∗ := L(X, R) heißt der Dualraum von X, die Elemente von X ∗ nennt 

man auch lineare Funktionale . 

117

118 ANHANG A. RESULTATE AUS DER FUNKTIONALANALYSIS 

(iv) Eine injektive lineare stetige Abbildung L ∈ L(X, Y ) heißt Einbettung. 

(v) Eine bijektive lineare stetige Abbildung L ∈ L(X, Y ) heißt invertierbar oder ein stetiger 

Isomorphismus . 

(vi) Eine Abbildung L ∈ L(X, Y ) heißt Isometrie oder isometrisch , wenn ‖Lx‖ Y = ‖x‖ X 

für alle x ∈ X. 

(vii) Falls X und Y Banachräume sind, und wenn für eine Abbildung K ∈ L(X, Y ) jede 

Folge {K(x k )} ⊂ Y eine in Y konvergente Teilfolge besitzt, solange die Urbildfolge 

{x k } ⊂ X beschränkt ist, dann heißt K kompakt. Ist diese Abbildung K zusätzlich 

eine Einbettung, dann spricht man kurz von einer kompakten Einbettung. 

Bemerkung: 

Falls der Zielraum Y ein Banachraum ist, dann ist auch L(X, Y ) ein Banachraum. Falls X 

und Y Banachräume sind und falls L ∈ L(X, Y ) eine invertierbare lineare stetige Abbildung 

ist, dann kann man zeigen, dass L −1 ∈ L(Y, X), wobei L −1 : Y → X die Inverse von L 

bezeichnet. 

Satz A.3 [Folgerung aus Hahn-Banach] 

Sei X ein normierter linearer Raum und x 0 ∈ X \{0}. Dann existiert ein lineares Funktional 

l 0 ∈ X ∗ , so dass ‖l 0 ‖ X ∗ = 1 und l 0 (x 0 ) = ‖x 0 ‖ X . 

Bemerkung: 

Mit der Abbildung J X : X → (X ∗ ) ∗ =: X ∗∗ , definiert durch 

(J X x)(l) := l(x) für x ∈ X und alle l ∈ X ∗ , 

ist jeder Banachraum X in natürlicher Weise isometrisch in X ∗∗ eingebettet. 

Definition A.4 [Reflexive Banachräume] 

Ein Banachraum X heißt reflexiv, wenn die oben genannte isometrische Einbettung J X : 

X → X ∗∗ surjektiv, also ein isometrischer Isomorphismus ist. 

Satz A.5 [Darstellungssatz von Riesz für Hilberträume] 

Jeder Hilbertraum X ist isometrisch isomorph zu seinem Dualraum X ∗ mittels der Abbildung 

J : X → X ∗ definiert durch 

x ↦→ J(x) := 〈x, ·〉 ∈ X ∗ . 

Korollar A.6 [Hilberträume sind reflexiv] 

Jeder Hilbertraum ist reflexiv. 

Definition A.7 [Schwache Konvergenz] 

Sei X ein Banachraum. 

(i) Eine Folge {x k } in X konvergiert schwach für k → ∞ gegen ein x ∈ X, wenn 

l(x k ) → l(x) für k → ∞ für alle l ∈ X ∗ . Wir schreiben dafür x k ⇀ x für k → ∞. 

(ii) Eine Folge {l k } im Dualraum X ∗ konvergiert schwach ∗ für k → ∞ gegen ein l ∈ X ∗ , 

wenn l k (x) → l(x) für k → ∞ für alle x ∈ X. Wir schreiben dafür l k 

∗ ⇀ l für k → ∞. 

Lemma A.8 [Eigenschaften schwacher Konvergenz] 

Sei X ein Banachraum, dann gilt:

119 

(i) Der schwache und auch der schwach ∗ Grenzwert einer Folge in X bzw. einer Folge in 

X ∗ ist eindeutig bestimmt. 

(ii) Falls ‖x k − x‖ X → 0 für k → ∞ (also falls x k stark gegen x konvergiert), dann gilt 

∗ 

auch x k ⇀ x für k → ∞. Falls ‖l k − l‖ X ∗ → 0 für k → ∞, dann gilt auch l k ⇀ l für 

k → ∞. 

(iii) Falls l k 

∗ ⇀ l in X ∗ für k → ∞, dann gilt 

(iv) Falls x k ⇀ x in X für k → ∞, dann gilt 

‖l‖ X ∗ ≤ lim inf 

k→∞ ‖l k‖ X ∗. 

‖x‖ X ≤ lim inf 

k→∞ ‖x k‖ X . 

(iv) Schwach konvergente Folgen in X und auch schwach ∗ konvergente Folgen in X ∗ sind 

beschränkt. 

∗ 

(v) Falls x k stark gegen x in X, d.h. ‖x k − x‖ X → 0, und l k ⇀ l in X ∗ für k → ∞, dann 

folgt 

l k (x k ) → l(x) für k → ∞. 

Falls x k ⇀ x in X und ‖l k − l‖ X ∗ → 0 für k → ∞, dann gilt ebenfalls 

l k (x k ) → l(x) für k → ∞. 

Satz A.9 [Schwach ∗ Folgenkompaktheit] 

Für einen separablen Banachraum X ist jede abgeschlossene Kugel im zugehörigen Dualraum 

X ∗ schwach ∗ folgenkompakt, d.h. zu jeder in X ∗ beschränkten Folge {l k } ⊂ X ∗ gibt es 

eine Teilfolge {l ki } und ein l ∈ X ∗ , so dass l ki 

∗ ⇀ l für i → ∞. 

Satz A.10 [Schwache Folgenkompaktheit in reflexiven Banachräumen] 

Sei X ein reflexiver Banachraum. Dann ist jede abgeschlossene Kugel in X schwach folgenkompakt, 

d.h. zu jeder in X beschränkten Folge {x k } ⊂ X gibt es eine Teilfolge {x ki } 

und ein x ∈ X, so dass x ki ⇀ x für i → ∞. 

Satz A.11 [Starke Konvergenz aus Normkonvergenz und schwacher Konvergenz 

[16, Kapitel II.4.28]] 

Sei X ein uniform konvexer Banachraum. Dann folgt aus ‖x k ‖ X → ‖x‖ X und x k ⇀ x 

auch die starke Konvergenz ‖x k − x‖ X → 0 für k → ∞. 

Satz A.12 [Mazur] 

Sei C ⊂ X eine konvexe und abgeschlossene Menge eines linearen normierten Raumes X, 

dann ist C schwach folgenabgeschlossen, d.h. falls x k ∈ C für alle k ∈ N und x k ⇀ x für 

k → ∞, dann ist x ∈ C. 

Definition A.13 [Hölderräume] 

Seien n ∈ N, k ∈ N ∪ {0} und α ∈ (0, 1]. Für eine nichtleere offene Menge Ω ⊂ R n sei 

C k (Ω, R) = C k (Ω) der Raum der auf Ω k-mal stetig differenzierbaren Funktionen und 

C k (¯Ω, R) = C k (¯Ω) := {u ∈ C k (Ω) : ∂ γ u besitzt eine stetige Fortsetzung auf ¯Ω für alle |γ| ≤ k},


wobei γ ein Multiindex ist. Die Räume C ∞ (Ω) und C ∞ (¯Ω) bestehen aus allen Funktionen, 

die in C k (Ω) bzw. in C k (¯Ω) für alle k ∈ N sind. Weiterhin definieren wir die Hölderräume 

C k,α (¯Ω) := {u ∈ C k (¯Ω) : Höl Ω,α (∂ γ u) < ∞ für alle |γ| = k}, 

wobei die Hölderkonstante einer Funktion v : Ω → R durch 

|v(x) − v(y)| 

Höl Ω,α v := sup 

x,y∈Ω |x − y| α 

x≠y 

gegeben ist. Funktionen mit endlicher Hölderkonstante nennt man auch Hölderstetig. 

Falls α = 1 nennt man diese Konstante auch Lipschitzkonstante und bezeichnet sie auch 

mit Lip Ω v. Funktionen mit endlicher Lipschitzkonstante heißen Lipschitzstetig. 

Mit C0 k (A) bzw. Ck,α 0 (A) oder C0 ∞ (A) bezeichnen wir Funktionen u der entsprechenden 

Funktionenklasse, deren Träger 

supp u := {x ∈ A : u(x) ≠ 0} 

kompakt in A enthalten ist, wobei Ω ⊂ A ⊂ ¯Ω zugelassen ist, etwa wenn A = Ω ∪ Γ 

für eine Teilmenge Γ ⊂ ∂Ω. (Der Raum C k (A) ist die Menge aller auf Ω k-mal stetig 

differenzierbaren Funktionen, deren sämtliche Ableitungen stetige Fortsetzungen auf A ⊃ Ω 

besitzen.) 

Bemerkung: 

(i) Man kann zeigen, dass der Raum C k (¯Ω) versehen mit der Norm 

‖u‖ C k (¯Ω) := ∑ 

‖∂ γ u‖ C 0 (¯Ω) 

|γ|≤k 

ein Banachraum ist. Hierbei bezeichnet ‖v‖ C 0 (¯Ω) := sup x∈¯Ω |v(x)| die Supremumsnorm 

einer Funktion v : ¯Ω → R. Desweiteren ist auch der Raum C k,α (¯Ω) versehen 

mit der Norm 

‖u‖ C k,α (¯Ω) := ‖u‖ C k (¯Ω) + ∑ 

Höl Ω,α (∂ γ u) 

ein Banachraum. 

(ii) Für Ω ⊂⊂ R n (d.h. ¯Ω ist eine kompakte Teilmenge des R n ) und 0 < β < α kann man 

mit dem Satz von Arzelà-Ascoli beweisen, dass die Inklusionen 

|γ|=k 

C 0,α (¯Ω) ⊂ C 0,β (¯Ω) ⊂ C 0 (¯Ω) 

durch kompakte Einbettungen realisiert werden, was zum Beispiel bedeutet, dass jede 

beschränkte Folge in (C 0,α (¯Ω), ‖ · ‖ C k,α (¯Ω) ) eine in (C0,β (¯Ω), ‖ · ‖ C k,β (¯Ω) ) konvergente 

Teilfolge besitzt. Falls zusätzlich der Rand des Gebietes Ω von der Klasse C 0,1 ist, was 

bedeutet, dass sich der Rand ∂Ω lokal durch den Graphen einer Lipschitzstetigen 

Funktion darstellen lässt, dann ist für k, l ∈ N∪{0}, k ≥ l, α, β ∈ (0, 1] mit k+α > l+β 

die Inklusion C k,α (¯Ω) ⊂ C l,β (¯Ω) eine kompakte Einbettung. 

Definition A.14 [Lebesgueräume] 

Sei ∅ ≠ Ω ⊂ R n offen, q ∈ [1, ∞]. Dann ist der Lebesgueraum L q (Ω) definiert durch 

L q (Ω) := {u : Ω → R 

messbar : ‖u‖ L q (Ω) < ∞},

121 

wobei 

Dabei ist 

{(∫ 

‖u‖ L q (Ω) := 

Ω |u(x)|q dL n (x) ) 1/q 

für 1 ≤ q < ∞, 

ess sup Ω |u| für q = ∞. 

ess sup |u| := 

Ω 

inf 

sup 

L n (N)=0 x∈Ω\N 

|u(x)|. 

Es gilt u = v in L q (Ω) genau dann, wenn u = v L n -fast überall in Ω, d.h. u(x) = v(x) 

für alle x ∈ Ω \ N mit L n (N) = 0. In diesem Sinne ist eine Funktion u ∈ L ( Ω) eine 

Äquivalenzklasse aller Funktionen, die L n -fast überall in Ω mit u übereinstimmen. Weiterhin 

setzt man 

L q loc (Ω) := {u : Ω → R : u ∈ Lq (Ω ′ ) für alle Ω ′ ⊂⊂ Ω}, 

und u m → u in L q loc (Ω) bedeutet, dass u m → u in L q (Ω ′ ) für m → ∞ für alle Ω ′ ⊂⊂ Ω. 

Ein Punkt x 0 ∈ Ω heißt Lebesgue-Punkt der Funktion u ∈ L q loc 

(Ω), falls 

∫ 

1 

lim 

δ→0 L n |u(x) − u(x 0 )| dx = 0. 

(B δ (x 0 )) 

B δ (x 0 ) 

Bemerkung: (i) Für u ∈ L q loc (Ω) sind L n -fast alle Punkte aus Ω Lebesgue-Punkte; 

siehe z.B. [57, S. 138ff]. 

(ii) Sehr nützlich ist die (verallgemeinerte) Hölderungleichung: Für q i ∈ [1, ∞], i = 

1, . . . , m, mit 

1 

+ 1 + · · · 1 = 1 

q 1 q 2 q m 

und Funktionen u i ∈ L q i 

(Ω) gilt die Ungleichung 

∫ 

∣ u 1 (x)u 2 (x) · · · u m (x) dx 

∣ ≤ ‖u 1‖ L q 1 (Ω) · ‖u 2 ‖ L q 2 (Ω) · · · · ‖u m ‖ L qm(Ω). 

Ω 

(iii) Sei Ω ⊂ R n eine nichtleere offene Menge. Dann sind die Räume L q (Ω) für q ∈ [1, ∞) 

separabel, da der Raum C 0 0 (Ω) dicht in Lq (Ω) liegt, und stetige Funktionen mit Polynomen 

nach dem Weierstraßschen Approximationssatz approximierbar sind. Diese 

Polynome wiederum kann man durch solche mit rationalen Koeffizienten annähern, da 

¯Q = R, also die rationalen Zahlen in R dicht liegen. Falls Ω zusätzlich beschränkt ist, 

sind auch die Räume C k (¯Ω) separabel. 

Der Raum L ∞ (Ω) hingegen ist nicht separabel. 

Satz A.15 [Fischer-Riesz] 

Sei Ω ⊂ R n eine nichtleere offene Menge. Dann sind für alle q ∈ [1, ∞] die Räume L q (Ω) 

vollständig. 

Bemerkung: 

Der eigentliche Satz von Fischer-Riesz bezieht sich auf den Fall endlicher Exponenten q, 

für q = ∞ reicht ein direktes und elementares Argument. 

Satz A.16 [Dualraum von L q für q < ∞] 

Sei Ω ⊂ R n eine nichtleere und offene Menge und 1 ≤ q < ∞. Dann ist der Dualraum 

(L q (Ω)) ∗ isometrisch isomorph zu dem Raum L q′ (Ω) für den zu q konjugierten Exponenten


q ′ ∈ (1, ∞] mit 1 q + 1 q 

= 1. Dieser isometrische Isomorphismus J : L ′ 

q′ (Ω) → (L q (Ω)) ∗ ist 

gegeben durch 

∫ 

v ↦→ J(v)(·) := · v(x) dx ∈ (L p (Ω)) ∗ für v ∈ L q′ (Ω), 

also J(v)(u) = ∫ Ω u(x)v(x) dx für u ∈ Lq (Ω). 

Ω 

Satz A.17 [Riesz-Radon: Dualraum von C 0 (¯Ω) [16, Band I, Kapitel IV.6.3] ] 

Sei Ω ⊂ R n eine nichtleere und offene Menge. Dann ist der Dualraum (C 0 (¯Ω)) ∗ isometrisch 

isomorph zu dem Raum B(Ω) aller regulären Borelmaße auf Ω. Dieser isometrische 

Isomorphismus I : B(Ω) → C 0 (¯Ω) ist gegeben durch 

∫ 

µ ↦→ I(µ)(·) := · dµ ∈ (C 0 (¯Ω)) ∗ für µ ∈ B(Ω), 

Ω 

also I(µ)(u) = ∫ Ω u(x) dµ(x) für u ∈ C0 (¯Ω). Außerdem gilt für reguläre Borelmaße µ, ν ∈ 

B(Ω) mit µ(E) ≥ ν(E) für alle Borelmengen E ⊂ Ω dann auch, dass I(µ)(u) ≥ I(ν)(u) 

für alle u ∈ C 0 (¯Ω) mit u ≥ 0. 

Korollar A.18 [Positive Funktionale auf C0 0 (Ω) [2, Übung 4.8] ] 

Sei Ω ⊂ R n eine nichtleere und offene Menge, und es gebe eine lineare Abbildung T : 

C0 0(Ω) → R, so dass T (u) ≥ 0 für alle u ∈ C0 0 (Ω, R +), wobei R + := {x ∈ R : x ≥ 0}. Dann 

existiert ein nichtnegatives lokal beschränktes reguläres Borelmaß µ ∈ B(Ω), so dass 

∫ 

T (u) = u(x) dµ(x) für alle u ∈ C0(Ω). 

0 

Ω 

Satz A.19 [Reflexivität] 

Sei Ω ⊂ R n eine nichtleere offene Menge. Dann sind für q ∈ (1, ∞) die Lebesgue-Räume 

L q (Ω) und die Sobolevräume W k,q (Ω), k ∈ N reflexiv. Dagegen sind L 1 (Ω), L ∞ (Ω) nicht 

reflexiv. Auch der Raum C 0 (¯Ω) der auf ¯Ω stetigen Funktionen ist nicht reflexiv. 

Definition A.20 [Faltung und Dirac-Folge] 

Für u ∈ L q (R n ) und ϕ ∈ L 1 (R n ) definiert man die Faltung ϕ ∗ u ∈ L q (R n ) von ϕ mit u 

durch 

∫ 

ϕ ∗ u(x) := ϕ(x − y)u(y) dy. 

R n 

Eine Folge {ϕ k } ⊂ L 1 (R n ) heißt Dirac-Folge, falls 

∫ 

∫ 

ϕ k ≥ 0, ϕ k (x) dx = 1, 

ϕ k (x) dx → 0 für k → ∞ ∀r > 0. 

R n 

Bemerkung: 

eine Dirac-Folge. 

R n \B r(0) 

(i) Für ϕ ∈ L 1 (R n ) mit ϕ ≥ 0, ∫ R n ϕ(x) dx = 1 bilden die Funktionen 

ϕ ε (x) := 1 ( x 

) 

ε n ϕ , ε > 0, 

ε 

(ii) Für ϕ ∈ C0 ∞(B 1(0)) ist ϕ ε ∈ C0 ∞(B ε(0)) und damit die Faltung u ε := ϕ ε ∗ u auch für 

u ∈ L 1 loc 

(Ω) erklärt. Es gelten dann die folgenden Eigenschaften:

123 

(a) u ε ∈ C ∞ (Ω ′ ) für alle Ω ′ ⊂⊂ Ω mit dist(Ω ′ , ∂Ω) > ε. 

(b) Falls u ∈ L 1 (Ω), dann ist u ε ∈ C ∞ (R n ), wenn u ≡ 0 auf R n \ Ω gesetzt wird. 

(c) Falls supp u ⊂⊂ Ω, dann ist u ε ∈ C0 ∞ (Ω) für alle ε < dist(supp u, ∂Ω). 

(d) Für die charakteristische Funktion u := χ Ω ′′ 1 mit Ω ′ ⊂⊂ Ω ′′ ⊂⊂ Ω und 

ε < min{dist(Ω ′ , ∂Ω ′′ ), dist(Ω ′′ , ∂Ω)} 

gilt: u ε ∈ C ∞ 0 (Ω), 0 ≤ u ε ≤ 1, und u ε ≡ 1 auf Ω ′ . 

Satz A.21 [Approximation durch Faltung [25, Kapitel 7.2]] 

Sei Ω ⊂ R n eine nichtleere offene Menge. 

(i) Für u ∈ L q loc (Ω), 1 ≤ q < ∞, gilt u ε → u in L q loc (Ω) für ε → 0. Ist Ω = Rn und 

u ∈ L q (R n ), 1 ≤ q < ∞, dann hat man die Konvergenz u ε → u in L q (R n ) für ε → 0. 

(ii) Für u ∈ C 0 (Ω) und alle Ω ′ ⊂⊂ Ω gilt u ε → u in C 0 (Ω ′ ) für ε → 0. 

(iii) Für u ∈ C k,α (Ω), 0 < β < α ≤ 1, k ∈ N ∪ {0} gilt u ε → u für ε → 0 in C k,β (Ω ′ ) für 

alle Ω ′ ⊂⊂ Ω. Zusätzlich gilt für alle Ω ′ ⊂⊂ Ω ′′ ⊂⊂ Ω die Abschätzung 

‖u ε ‖ C k,α (Ω ′ ) ≤ ‖u‖ C k,α (Ω ′′ ) für ε < dist(Ω′ , ∂Ω ′′ ). 

Korollar A.22 

Der Raum C ∞ 0 (Ω) liegt dicht in Lq (Ω) für alle 1 ≤ q < ∞, d.h. zu einer Funktion u ∈ L q (Ω) 

und σ > 0 gibt es eine Funktion u σ ∈ C ∞ 0 (Ω), so dass ‖u − u σ‖ L q (Ω) < σ. Für q = ∞ ist 

diese Aussage nicht richtig. 

1 Die charakteristische Funktion χ A einer Menge A ist definiert durch χ A(x) = 1, falls x ∈ A, und 

χ A(x) = 0, falls x ∉ A.

124 ANHANG A. RESULTATE AUS DER FUNKTIONALANALYSIS

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Index 

1-Graph 

-einer Funktion, 1 

Abbildung 

-beschränkte lineare, 117 

-invertierbare lineare stetige, 118 

-isometrische lineare stetige, 118 

-kompakte lineare stetige, 118 

-lineare, 117 

-stetige lineare, 117 

Ableitung 

-schwache, 48 

absolutstetige Mengenfunktion, 66 

Approximation durch Faltung, 123 

Ausschöpfung 

-einer offenen Menge, 55 

Banachraum, 117 

-reflexiver, 118 

beschränkte lineare Abbildung, 117 

beschränkter linearer Operator, 117 

Bewegungsgleichung 

-von Newton, 5, 11 

Bogen-Sehnen-Bedingung, 32 

Bogenlänge, 7 

Bogenlängenparametrisierung, 7 

Borelmaße, 122 

Borelmengen, 122 

Carathèodory-Funktion, 71, 78, 100 

Cartan-Funktional, 69, 78, 91, 103 

dicht, 117 

Differentialgleichung 

-partielle, 92 

-quasilinear, 5 

-Sturm-Liouville Typ, 5 

Differenzenquotient 

-von Sobolevfunktionen, 54 

Dirac-Folge, 122 

direkte Methode, 47, 72 

Dirichlet 

Dirichlet 

-Energie, 47 

Dirichletintegral, 103 

diskrete partielle Integration, 56 

Divergenzsatz von Gauß, 92 

Dominanzfunktionen, 91 

Douglas 

-Bedingung, 25 

-Problem, 25 

Dualraum, 117 

DuBois-Reymond 

-Gleichung, 8 

-Lemma von, 8 

Eigenfunktion, 21 

Eigenwert, 21 

Eigenwertproblem 

-Sturm-Liouville, 21 

Eikonal-Gleichung, 88 

Einbettung 

-kompakt, 118 

-kompakte, 59 

-lineare stetige, 118 

-stetige, 58 

Einbettungssatz 

-von Morrey, 58 

-von Sobolev, 58 

Einheitsnormalenvektor, 6 

Einheitstangente, 6 

Eins-Graph 


elastischer Balken, 26 

elastischer Faden, 25 

Elliptizität, 106 

Erdmann-Gleichung, 15 

Erhaltungssatz, 11 

erste (äußere) Variation, 2 

I

II 

INDEX 

Euler-Lagrange 

-Gleichung, 42 

Euler-Lagrange-Gleichung, 4 

Extremale 

-F-, 7 

-schwache, 2 

Fadenproblem, 28 

Faltung, 50, 122 

Faltungskern, 50 

Finslersche Mannigfaltigkeit, 82 

Fischer-Riesz 

-Satz von, 121 

Flächenformel, 61 

Flächenfunktional, 103 

folgenabgeschlossen 

-schwach, 119 

folgenkompakt 

-schwach, 119 

schwach ∗ , 119 

Frenet-Gleichungen, 7 

Fundamentallemma, 3 

-erweitertes, 3 

Funktion 

-Carathèodory-, 71, 78, 100 

-Hölderstetige, 120 

-Lipschitzstetige, 120 

Funktional 

-Relaxation des, 101 

-lineares, 117 

-parametrisches, 6, 103 

-Cartan, 69, 78, 91, 103 

Funktionen 

-Sobolev-, 48 

Gauß-Bonnet 

-Satz von, 92 

Gauß 

-Divergenzsatz von, 92 

Gauß-Krümmung, 91 

geometrische Randwertprobleme 

-höherer Ordnung, 28 

gewichtetes Längenfunktional, 6 

gleichmäßig absolutstetige Mengenfunktionen, 

66 

hängende Kette, 23 

Hamilton 

-Funktion, 35 

Hamilton 

-Gleichungen, 35 

harmonische Abbildungen, 82 

Hilbertraum, 117 

Hölderkonstante, 120 

Hölderraum, 120 

Hölderstetigkeit, 120 

Hölderungleichung, 121 

homogen, 16 

Impulsvariable, 44 

innere Variation, 13 

Integration 

-diskrete partielle, 56 

invertierbare lineare stetige Abbildung, 118 

Isometrie, 118 

isometrische lineare stetige Abbildung, 118 

Isomorphismus 

-stetiger, 118 

isotop, 32 

Isotopie, 32 

Isotopieklassen, 28 

Katenoid, 25 

Kettenlinie, 25 

Kettenregel 

-für Sobolevfunktionen, 59 

Knotenklassen, 28 

kompakte Einbettung, 59, 118 

kompakte lineare stetige Abbildung, 118 

konforme 

-Metrik, 91 

-Parametrisierung, 35, 103 

-von Flächen, 17 

konforme Geometrie, 91 

konforme Parametrisierung, 104 

konjugierter Exponent, 121 

Konvergenz 

-schwache, 73, 118 

schwach ∗ , 118 

-starke, 119 

konvex 

-uniform, 104, 117 

konvexe Einhüllende, 89 

Krümmungsgleichung

INDEX 

III 

-für Extremalen gewichteter Längenfunktionale, 

6 

Krümmungsenergie, 28 

Längenfunktional 

-gewichtetes, 6 

-nicht-parametrisches, 6 

-parametrisches, 18 

Lagrange 

-Funktion, 1 

-Multiplikator 

-Regel, 19 

-Ungleichung, 28 

Laplace-Beltrami-Operator, 92 

Lavrentiev-Phanomen, 100 

-Ausschluss des, 101 

Lebesgueraum, 120 

Lebesgue-Punkt, 121 

Legendre 

-Transformation, 35 

lineare Abbildung, 117 

lineare Funktionale, 117 

Lipschitzkonstante, 120 

Lipschitzstetigkeit, 120 

lokaler Minimierer, 2 

L q -Raum, 120 

Lusineigenschaft, 61 

Mannigfaltigkeit 

-Finslersche, 82 

-Riemannsche, 82 

Menge 

-singuläre, 113 

Mengenfunktion 

-absolutstetig, 66 

Minimalflächen, 28 

Minimalflächen, 91 

Minimalfläche 

-rotationssymmetrische, 25 

Minimalfolge, 47, 72 

Minimierer 

-lokaler, 2 

Morreyscher Einbettungssatz, 58 

natürliche Randbedingungen, 9 

Newton 

-Bewegungsgleichung, 43 

Newtonsche Bewegungsgleichung, 5, 11 

nicht-parametrisches Längenfunktional, 6 

Noether-Gleichung, 15 

Norm 

-Operator-, 117 

-Supremums-, 120 

Normalenvektor 

-Einheits-, 6 

Operator 

-beschränkter linearer, 117 

Operatornorm, 117 

Parametervariation 

-zulässige, 13 

parametrische Funktionale, 6 

parametrische Variationsprobleme, 25, 103 

parametrisches Funktional, 103 

parametrisches Längenfunktional, 18 

Parametrisierung 

-konform, 104 

-konforme von Flächen, 17 

partielle Differentialgleichung, 92 

Partielle Integration 

-diskret, 56 

partielle Regularität 

-Satz von Tonelli über, 114 

partielle Regularität 

- von Minimierern, 113 

Perron 

-Methode von, 100 

Plateau 

-verallgemeinertes Problem von, 25 

Poincaré-Ungleichung, 59 

Polykonvexität, 73 

polynomiales Wachstum, 101, 106 

Produktregel 

-für Sobolevfunktionen, 59 

Profilkurve, 25 

q-harmonische Abbildungen, 82 

quasikonvex, 73 

Quasikonvexität, 73 

quasilineare 

-Differentialgleichung, 5 

Randbedingungen 

-natürliche, 9 

Randwerte

IV 

INDEX 

-schwache, 48 

reflexiver Banachraum, 118 

reguläre Kurve, 17 

Regularitätstheorie, 105 

Regularität 

- partielle von Minimierern, 113 

Regularität 

-partielle, 114 

Relaxation des Funktionals, 101 

Riemannsche Mannigfaltigkeit, 82 

Rotationsfläche, 25 

Rudin, 121 

Satz 

-von Gauß-Bonnet, 92 

Satz von 

- Fischer-Riesz, 121 

- Tonelli, Unterhalbstetigkeits-, 78 

schwach folgenabgeschlossen, 119 

schwach folgenkompakt, 119 

schwach stetig, 77 

schwache 

-F-Extremale, 2 

schwache Ableitung, 48 

schwache Extremale, 2 

schwache Konvergenz, 73, 118 

schwache Nullrandwerte, 48 

schwache Topologie 

-in Sobolevräumen, 73 

schwach ∗ folgenkompakt, 119 

schwach ∗ Konvergenz, 118 

separabel, 117 

singuläre Menge, 113 

Singularitäten, 105 

Sobolevfunktionen, 48 

Sobolevraum, 32 

Sobolevscher Einbettungssatz, 58 

starke Konvergenz, 119 

stetig 

-schwach, 77 

stetige Einbettung, 58 

stetige lineare Abbildung, 117 

stetiger Isomorphismus, 118 

Stützgerade, 21 

Stützmannigfaltigkeit, 10 

Sturm-Liouville 

-Differentialgleichung, 5 

-Eigenwertproblem, 21 

superlineares Wachstum, 82, 113 

Supremumsnorm, 120 

Tangente 

-Einheits-, 6 

Tonelli 

-Satz uber partielle Regularitat, 114 

-Unterhalbstetigkeitssatz von, 78 

Träger 


Ungleichung 

-Lagrange-Multiplikator-, 28 

uniform konvex, 104, 117 

Unterhalbstetigkeit, 72, 73 

-schwache, 73 

Unterhalbstetigkeitssatz 

-von Tonelli, 78 

Variation 

-erste, 2 

-innere, 13 

-zulässige innere, 13 

Variationsansatz, 93 

Variationsprobleme 

-parametrische, 103 

Variationsvektorfeld, 13 

Volumennebenbedingung, 28 

Wachstum 

-superlineares, 113 

Weierstraß 

-Approximationssatz von, 121 

-Beispiel von, 83 

Willmore 

-Funktional, 25 

Wirkungsfunktional, 5, 35

Variationsrechnung I - Institut fÃ¼r Mathematik

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