Variationsrechnung I - Institut für Mathematik

4 KAPITEL 1. EULER-LAGRANGE-GLEICHUNGEN
Beweis. Zu einem gegebenen Punkt x 0 ∈ I sei 0 < δ = δ(x 0 ) ≪ 1 so klein gewählt, dass
B 3δ (x 0 ) := [x 0 − 3δ, x 0 + 3δ] ⊂ I.
Dann definieren wir zu 0 < ε < δ die stückweise lineare Funktion η ε ∈ C0 0 (I) durch
⎧
⎪⎨ 1 falls x ∈ [x 0 − δ, x 0 + δ]
η ε (x) := 0 falls x ∈ I \ (x 0 − δ − ε, x 0 + δ + ε)
⎪⎩
linear fortgesetzt sonst
und bemerken, dass mit ε → 0
η ε (x) → χ 0 (x) = χ [x0 −δ,x 0 +δ] für alle x ∈ I. (1.5)
Nach Satz A.21 im Anhang gibt es nun für alle σ > 0 ein η σ ε ∈ C ∞ 0 (I) mit ‖η ε −η σ ε ‖ C 0 (I) < σ
und
supp η σ ε ⊂ B 3δ (x 0 ) = (x 0 − 3δ, x 0 + 3δ),
und wir schreiben
∫
∫
f(x)η ε (x) dx =
I
B 3δ (x 0 )
∫
f(x)η ε (x) dx =
B 3δ (x 0 )
∫
f(x)[η ε (x) − ηε σ (x)] dx + f(x)ηε σ (x) dx.
I
Das zweite Integral auf der rechten Seite verschwindet nach Voraussetzung, und für das erste
gilt
∫
∫
∫
∣ f(x)[η ε (x)−ηε σ (x)] dx
∣ ≤ ‖η ε−ηε σ ‖ C 0 (I)
|f(x)| dx < σ |f(x)| dx σ→0 −→ 0.
B 3δ (x 0 )
B 3δ (x 0 )
B 3δ (x 0 )
Es ist also ∫ I f(x)η ε(x) dx = 0 für alle 0 < ε < δ, und im Grenzwert ε → 0 folgt mit (1.5)
und dem Lebesgueschen Satz über dominierte Konvergenz
0 = 1 2δ
∫
I
f(x)η ε (x) dx
Mit dem Grenzübergang δ → 0 folgt
ε→0 −−→
1 2δ
∫
I
f(x 0 ) = 0,
∫ x0 +δ
f(x)χ 0 (x) dx = − f(x) dx.
x 0 −δ
falls x 0 ein Lebesgue-Punkt von f ist. Da L 1 -fast alle Punkte in I Lebesgue-Punkte von
f sind, ist die Behauptung gezeigt, vgl. A.14.
Proposition 1.6 [Euler-Lagrange-Gleichung]
Sei u ∈ C 2 (I, R N ) eine schwache Extremale von F und F ∈ C 2 (R × R N × R N ). Dann gilt:
d
dx F p(x, u(x), u ′ (x)) − F z (x, u(x), u ′ (x)) = 0 für alle x ∈ I. (ELG)
Gleichung (ELG) ist ein System von N
Lagrange-Gleichungen bezeichnet.
Gleichungen. Diese werden als Euler-