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Steckbriefaufgaben - Grundwissen
Wie werden Bedingungen in Gleichungen umgeformt?
In der Differentialrechnung werden Funktionen mit gegebenem Funktionsterm auf charakteristische
Eigenschaften hin untersucht; derartige Untersuchungen nennt man „Kurvendiskussion“.
Bei sogenannten „Steckbriefaufgaben“ geht es umgekehrt darum, aus vorgegebenen charakteristischen
Eigenschaften von Funktionen, insbesondere deren Graphen, an gegebenen Stellen
bzw. Punkten den Funktionsterm zu bestimmen. Dabei beschränken wir uns hier zuerst einmal
auf den Bereich der Ganzrationalen Funktionen, oft auch Polynomfunktionen genannt.
Entscheidend bei der Bestimmung des Funktionsterms ist es nun, die gegebenen Bedingungen in Gleichungen
umzusetzen. Im folgenden findet sich eine Auflistung der am häufigsten auftretenden Bedingungen
an einen Funktionsgraphen und der sich daraus ergebenden Gleichungen für den Funktionsterm bzw.
dessen Ableitungen.
Gesucht ist der Funktionsterm f (x)
derjenigen ...
• Linearen Funktion ... f (x) = m ⋅ x + n mit m,n ∈ IR und m ≠ 0
2
• Quadratischen Funktion ... f (x) = a ⋅ x + b ⋅ x + c mit a,b,c ∈ IR und a ≠ 0 oder
f (x)
= a ⋅ (x − x
S
)
2
+
y
s
mit a, x
S
, y
s
∈ IR und a ≠ 0
• Ganzrationalen Funktion/
Polynomfunktion 3-ten Grades ... f (x) =
3
a ⋅ x +
2
b ⋅ x + c ⋅ x + d mit a,b,c,d ∈ IR und a ≠ 0
• Ganzrationalen Funktion/
Polynomfunktion 4-ten Grades ... f (x) =
4
a ⋅ x +
3
b ⋅ x +
2
c ⋅ x + d ⋅ x + e mit a,b,c,d,e ∈ IR und a ≠ 0
• Ganzrationalen Funktion/
Polynomfunktion n-ten Grades ...
f (x) =
a
n
⋅ x
n
+
a
n − 1
⋅ x
n − 1
mit n ∈
+ ... +
a
IN, a
n
2
⋅ x
,a
2
n − 1
+ a ⋅ x + a
1
2
1
0
,...,a ,a ,a ∈
0
IR und a
n
≠
0
deren Graph ...
• (achsen-)symmetrisch zur y-Achse verläuft ...
• (punkt-)symmetrisch zum Ursprung verläuft ...
alle Koeffizienten vor Potenzen mit ungeraden Exponenten
(x, x , x , ...) haben den Wert 0
3 5
es gibt keine konstanten Summanden und alle Koeffizienten
vor Potenzen mit geraden Exponenten
2 4
(x , x , ...) haben den Wert 0
• durch den Punkt ( x
0
| y0)
verläuft ... f (x
0)
= y0
• an der Stelle x
0 die x-Achse schneidet ... /
• an der Stelle x
0 eine Nullstelle hat...
• die y-Achse bei y
0 schneidet ... /
• den y-Achsenabschnitt bei y
0 hat ...
f (x
0
) =
f (0) =
• an der Stelle x
0 den Graph der Funktion g mit g (x) = ... schneidet ... f (x
0
) = g(x
0)
0
y 0
2011 Thomas Unkelbach Seite 1 von 3

• an der Stelle x
0 die Steigung m besitzt ... /
an der Stelle x
0 eine Tangente t mit der Steigung m besitzt ... /
an der Stelle x
0 parallel zu einer Geraden g mit der Steigung m verläuft ... /
an der Stelle x
0 eine Tangente t besitzt, die parallel zu einer Geraden g mit der
Steigung m verläuft ...
• im Punkt ( x
0
| y0)
die Steigung m besitzt ... /
im Punkt ( x
0
| y0)
eine Tangente t mit der Steigung m besitzt ... /
im Punkt ( x
0
| y0)
parallel zu einer Geraden g mit der Steigung m verläuft ... /
im Punkt ( x
0
| y0)
eine Tangente t besitzt, die parallel zu einer Geraden g mit der
Steigung m verläuft ...
• an der Stelle x
0 eine Tangente mit
f ′(x
0
) =
m
f (x
0)
= y 0 und
f ′(x
0
) = m
t (x) = m ⋅ x + n besitzt ... f (x
0
) = t(x
0)
und
f ′(x
0
) = m
• an der Stelle x
0 eine Normale mit der Steigung m besitzt ... /
an der Stelle x
0 orthogonal / senkrecht zu einer Geraden g mit der Steigung m
verläuft ...
• im Punkt ( x
0
| y0)
eine Normale mit der Steigung m besitzt ... /
im Punkt ( x
0
| y0)
orthogonal / senkrecht zu einer Geraden g mit der Steigung m
verläuft ...
• an der Stelle x
0 eine Normale mit dem Funktionsterm
f ′(x
0)
= −
1
m
f (x
0)
= y 0 und
1
f ′(x
0)
= −
m
g (x) = m ⋅ x + n besitzt ... f (x
0
) = g(x
0)
und
1
f ′(x
0)
= −
m
• an der Stelle x
0 die gleiche Steigung wie die Funktion g mit g (x) = ... besitzt ... f ′(x
0
) = g ′(x
0)
• an der Stelle x
0 den Graph der Funktion g mit g (x) = ... berührt ... f (x
0
) = g(x
0)
und
′(x
) = g (x )
• an der Stelle x
0 den Graph der Funktion g mit g (x) = ... orthogonal/senkrecht
schneidet ...
f ′
0 0
f (x
0
) = g(x
0)
und
1
f ′(x
0)
= −
g ′(x
)
• an der Stelle x
0 einen Extrempunkt / Tiefpunkt / Hochpunkt besitzt ... f ′(x
0
) = 0
• im Punkt ( x
0
| y0)
einen Extrempunkt / Tiefpunkt / Hochpunkt besitzt ... f (x
0)
= y0
und
f ′(x
0
) = 0
• an der Stelle x
0 die x-Achse berührt ... f (x
0
) = 0 und
f ′(x
0
) = 0
0
2011 Thomas Unkelbach Seite 2 von 3

• an der Stelle x
0 einen Wendepunkt besitzt ... f ′′(x
0
) = 0
• im Punkt ( x
0
| y0)
einen Wendepunkt besitzt ... f (x
0)
= y0
und
f ′′(x
0
) = 0
• an der Stelle x
0 einen Wendepunkt / eine Wendetangente mit der Steigung m
besitzt ...
• im Punkt ( x
0
| y0)
einen Wendepunkt / eine Wendetangente mit der Steigung m
besitzt ...
f ′(x
0
) = m und
f ′′(x
0
) = 0
f (x
0)
= y 0 und
f ′(x
0
) = m und
f ′′(x
0
) = 0
• an der Stelle x
0 eine Wendetangente mit
t (x) = m ⋅ x + n besitzt ... f (x
0
) = t(x
0)
und
f ′(x
0
) = m und
f ′′(x
0
) = 0
• an der Stelle x
0 einen Sattel-/Terrassenpunkt besitzt ... f ′(x
0
) = 0 und
f ′′(x
0
) = 0
• im Punkt ( x
0
| y0)
einen Sattel-/Terrassenpunkt besitzt ... f (x
0)
= y0
und
f ′(x
0
) = 0 und
f ′′(x
0
) = 0
2011 Thomas Unkelbach Seite 3 von 3