Abstand zweier windschiefer Geraden - Grundwissen

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Abstand zweier windschiefer Geraden - Grundwissen
Gegeben sind zwei windschiefe Geraden g und h durch die Gleichungen
r r r r r r
: x = a + r ⋅ u und : x = a + r ⋅ v .
g
1
h
2
Dann berechnet sich der Abstand d der Geraden g zur Geraden h durch folgendes
Verfahren:
• Stelle den Term einer Hilfsebene H in Parameterform auf, die die Gerade g
r
enthält (d.h. deren Stützvektor der Stützvektor a1
der Geraden g und deren
erster Spannvektor der Richtungsvektor u r der Geraden g ist) und die parallel
zur Geraden h verläuft (d.h. deren zweiter Spannvektor der Richtungsvektor
v r r r r r
der Geraden h ist): H : x = a1
+ r ⋅u
+ s ⋅ v
r r r
• Wandle die Ebene H in die Normalenform um: H : n ∗[x
− a1 ] = 0
• Bestimme den Abstand d eines beliebigen Punktes der Geraden h (z.B. des
Startpunktes A 2 ) zu der Hilfsebene H, d.h.
• Stelle den Term einer Hilfsgeraden k auf, die durch den Punkt A 2 verläuft
(d.h. deren Stützvektor der Stützvektor a r
2 der Geraden h ist) und die
orthogonal zur Hilfsebene H liegt (d.h. deren Richtungsvektor der
Normalenvektor n r r r r
der Hilfsebene H ist): k : x = a
2
+ r ⋅ n
• Bestimme den Schnittpunkt S der Hilfsebene H mit der Hilfsgeraden k:
{ S} = k ∩ H
• Berechne den Abstand d der Punkte A 2 und S.
Dieser Abstand d ist der Abstand der Geraden g zur Geraden h.
© 2005 Thomas Unkelbach Seite 1 von 2

Beispiel:
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Gegeben sind die Geraden g : x
r
⎛14⎞
⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= ⎜−3⎟
+ r⋅⎜
2 ⎟ und h : x
r = ⎜ 4 ⎟ + r ⋅⎜−
3⎟
.
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝−3
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 0 ⎠
Gesucht ist der Abstand d der Geraden g zur Geraden h.
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
• H : x
r = ⎜−
3⎟
+ r ⋅ ⎜ 2 ⎟ + s ⋅⎜−
3⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝−
3⎠
⎝ 0 ⎠
⎛9⎞
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ r ⎜ ⎟
• H : ⎜6⎟
∗[x
− ⎜−
3⎟]
= 0
⎜7⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛14⎞
⎛9⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
• k : x
r = ⎜ 4 ⎟ + r ⋅⎜6⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠ ⎝7⎠
⎛9⎞
⎛14⎞
⎛9⎞
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
• H ∩ k : ⎜6⎟
∗[
⎜ 4 ⎟ + r ⋅ ⎜6⎟
− ⎜−
3⎟]
= 0 ⇔ r = −1, also
⎜7⎟
⎜ 3 ⎟ ⎜7⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
r r
• s − a
2
r
s
⎛14⎞
⎛9⎞
⎛ 5 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= ⎜ 4 ⎟ + ( −1)
⋅⎜6⎟
= ⎜−
2⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠ ⎝7⎠
⎝−
4⎠
⎛ 5 ⎞ ⎛14⎞
⎛−
9⎞
⎛−
9⎞
⎛−
9⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= ⎜−
2⎟
− ⎜ 4 ⎟ = ⎜−
6⎟
, d = ⎜−
6⎟
∗⎜−
6⎟
= 81+
36 + 49 = 166
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝−
4⎠
⎝ 3 ⎠ ⎝−
7 ⎜
⎠ 7⎟
⎜ 7⎟
⎝−
⎠ ⎝−
⎠
Der Abstand d der Geraden g zur Gerdaen h beträgt
166 LE .
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