¨Ubung zur Vorlesung Kommunikationsnetze

3. Übung zur Vorlesung Kommunikationsnetze 7
induktiv ableiten. Mit ∑ ∞ k=0 p k = 1 lässt sich dann zeigen:
Damit folgt:
E[N] =
1 = p 0 + p 1 + p 2 + p 3 + ... =
∞
∑ p k
k=0
= p 0 + ρ 0 p 1 + ρ 1 p 1 + ρ 2 p 1 + ···
∞
∑
= p 0 +
k=0ρ k ∞
p 1 = p 0 + p 1 ∑
k=0
→ geometrische Reihe
1
= p 0 + p 1
1 − ρ
= p 0 + 2ρ p 0
1
1 − ρ
)
= p 0
(
1 + 2ρ
1 − ρ
= p 0
1 + ρ
1 − ρ ⇒ p 0 = 1 − ρ
1 + ρ
∞
∑
k=1
k · p k =
= 2ρ 1 − ρ
1 + ρ
∞
∑
k=1
∞
∑ kρ k−1
k=1
→ Stammfunktion
= 2ρ 1 − ρ ∞
d
1 + ρ
∑
k=1
dρ ρk
k2ρ k p 0 =
∞
∑
k=1
ρ k
k2ρ k 1 − ρ
1 + ρ
→ konstanter Faktor, geometrische Reihe
= 2ρ 1 − ρ ( )
1 + ρ · d 1
dρ 1 − ρ − 1
→ Ableitung
= 2ρ 1 − ρ 1
1 + ρ (1 − ρ) 2
2ρ
=
1 − ρ 2
3. Ein von zwei M/M/1 Systeme als Birth-Death Chain gegeben (Abb. 6).
1/2λ
1/2λ 1/2λ 1/2λ 1/2λ
0 1 2 3 4 . . .
µ ’
µ ’
µ ’
µ ’
µ ’
Abbildung 6: Ein von zwei M/M/1 Systemen als Birth-Death Chain
Für die mittlere Anzahl von Aufträgen gilt damit:
(1/2)λ
µ ′
1 − (1/2)λ = ρ
1 − ρ
µ ′