Theorie der endlichen Gruppen, Stuttgart SS 2008 - UniversitÃ¤t ...

SKRIPT ZUR VORLESUNG 

THEORIE DER ENDLICHEN GRUPPEN“ 

” 

STUTTGART SS 2008 

MARTIN HERTWECK ⋆ 

1. ZIEL DER VORLESUNG, LITERATURHINWEISE 

Ein klassisches Ergebnis von William Burnside 1 von 1904 besagt, dass eine endliche Gruppe 

auflösbar ist, falls ihre Ordnung nur von zwei verschiedenen Primzahlen geteilt wird 

(p a q b -Satz; soll andeuten, dass die Gruppenordnung nur von den Primzahlen p und q geteilt 

wird, und p a q b die Gruppenordnung ist). 2 Burnsides Beweis benutzt (gewöhnliche) Charaktertheorie, 

siehe etwa [22, Theorem 4.3.3] für eine modernere Darstellung. Ein Beweis 

des p a q b -Satzes, welcher ohne Charaktertheorie auskommt, wurde lange gesucht, aber erst 

Anfang der 70er Jahre des letzten Jahrhunderts gefunden. Wir wollen einen solchen Beweis 

geben, der in sich abgeschlossen ist, und uns dazu also die notwendigen Voraussetzungen 

erarbeiten. Dies wird eine Einarbeitung in die Grundlagen der Theorie der endlichen Gruppen 

verlangen. Die folgenden Abschnitte sind (Stand der Bearbeitung: 26. Juni 2008): 

§ 2. Zum p a q b -Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 

§ 3. Notationen und Fachausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

§ 4. Der Gruppenbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

§ 5. Endliche abelsche Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

§ 6. Permutationsdarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 

§ 7. Kompositionsreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

§ 8. Charakteristische Untergruppen und Kommutatoren . . . . . . . . . . 30 

§ 9. Nilpotente Gruppen und auflösbare Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

§ 10. Teilerfremde Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

§ 11. Operation auf abelschen Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

§ 12. Zum p a q b -Satz. Ein Lemma von Bender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

§ 13. Der Satz von Baer–Suzuki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

§ 14. Matsuyamas Beweis des 2 a q b -Satzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

§ 15. Zweidimensionale lineare Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

§ 16. Quadratische Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

§ 17. Die Thompson-Untergruppe und Replacement . . . . . . . . . . . . . . . 71 

§ 18. Ein Analogon zu Glaubermans ZJ-Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

§ 19. Goldschmidts Beweis des p a q b -Satzes, p ≠ 2 ≠ q . . . . . . . . . . . 77 

Von H. Kurzweil und B. Stellmacher [34] ist 1998 ” 

Eine Einführung“ in die Theorie der 

endlichen Gruppen erschienen, in der (unter anderem) auch ein gruppentheoretischer Beweis 

des p a q b -Satzes gegeben wird. Wir werden uns in einigen Teilen an diesem Buch 

⋆ Universität Stuttgart, Fachbereich Mathematik, IGT, 70569 Stuttgart. 

E-mail: hertweck@mathematik.uni-stuttgart.de. 

1 Zur Person siehe etwa Wikipedia-Eintrag [86]. 

2 Siehe [10]; von Burnside in die zweite Auflage seines Buches [ 11] aufgenommen (§§ 240, 241). 

1

SKRIPT ZUR VORLESUNG GRUPPENTHEORIE IM SS 2008 2 

orientieren. Studenten seien jedoch darauf hingewiesen, dass Beweise in dem Buch [34] 

knapp gehalten sind, und dass sie sich durch kleinere Unstimmigkeiten in manchen Beweisen 

nicht abschrecken lassen sollten. Das Buch ist wohl eher wegen seiner letzten vier 

Kapitel interessant. Von diesen zur ‘Einführung’ abgesehen (sie führen an aktuelle Forschung 

heran), genügt zunächst auch das ältere Buch von Kurzweil [33] vollständig, mag 

in manchen Teilen vielleicht sogar ansprechender sein. 

Ich will auch auf den Klassiker ” 

Finite groups“ von D. Gorenstein [22] hinweisen, welcher 

sehr gut zu lesen ist. Ebenfalls empfehlenswert finde ich das Lehrbuch ” 

Finite group 

theory“ von M. Aschbacher [3], auch wenn es sehr komprimiert geschrieben ist. (Die Einleitung 

dort erklärt meiner Meinung nach, wie ein Lehrbuch geschrieben werden sollte.) 

Die Lehrbücher von M. Suzuki [61,62] will ich ebenfalls empfehlen. Wir beschränken uns 

ausschließlich auf die Betrachtung von endlichen Gruppen. Für Lehrbücher über Gruppentheorie, 

welche auch unendliche Gruppen berücksichtigen, sei etwa auf das Buch von 

D. J. Robinson [52] oder auf das Buch von J. Rotman [54] hingewiesen. Schließlich gibt es 

noch das umfängliche Buch von B. Huppert [27], und die nachfolgenden Bände [28,29], in 

denen man oft fündig wird. Nun ja, es gibt sicher noch mehr Bücher, auch viele aktuellere, 

in die man zumindest mal einen Blick werfen sollte. Man bedenke jedoch immer, dass man 

nur gute (Lehr-)Bücher lesen sollte – was immer dies auch bedeuten mag. 

Naturgemäß wird es vieles geben, was in der Vorlesung nicht zum Zuge kommt. Beispielsweise 

werden keine Beispiele gegeben. Gruppen aber auch ‘anzufassen’ (und Übungsaufgaben 

zu bearbeiten) ist wichtig, um das eigene Verständnis für sie zu schärfen. 

Ich werde die Untersuchungen weder motivieren, noch versuchen, sie in einen größeren 

Kontext zu stellen. Zur Genesis des abstrakten Gruppenbegriffes sei auf [89] verwiesen. 

Ich gebe öfters, zumindest für Sätze mit ‘Namen’, Hinweise auf Orginalarbeiten 3 und Einladungen, 

sich die Biographien der Verfasser mal etwas anzuschauen (etwa in der Wikipedia, 

oder in dem ” 

MacTutor History of Mathematics archive“, einer Webseite der Universität 

St. Andrews in Schottland, falls man keine Bücher wälzen will). Ich denke wohl, 

dass mag helfen, den abstrakten Stoff mit etwas ‘Leben zu füllen’. Schon die Titel der 

Orginalarbeiten geben manchmal einen Hinweis darauf, in welchem Zusammenhang sie 

entstanden sind: Etwa bei dem Versuch, Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen zu beschreiben, 

also im Umfeld der Galoistheorie (woher der Begriff der auflösbaren Gruppe 

stammt). Die Arbeiten lassen auch erkennen, wie sehr sich die Sprache der Mathematik, 

und die Art, Mathematik zu machen, seither gewandelt hat. Vielleicht mag der eine oder 

die andere sie sich mal etwas näher anschauen; dazu sei bemerkt, dass sich vieles digitalisiert 

im WWW findet. Beispielsweise findet man viele Orginalarbeiten französischer 

Mathematiker wie etwa Cauchy, Galois, Jordan und Lagrange im WWW, über Gallica, 

dem Digitalisierungsprojekt der französischen Nationalbibliothek. 

2. ZUM p a q b -SATZ 

Blicken wir auf die Geschichte der Entdeckung eines gruppentheoretischen Beweises des 

p a q b -Satzes von Burnside. Weil der charaktertheoretische Beweis von Burnside (von 1904; 

beschrieben in [13] (Chapter III, § 5)) etwas künstlich erscheinen mag, und keinerlei Einsicht 

in die Struktur eines minimalen Gegenbeispiels vermittelt, wurde lange Zeit ein konstruktiver 

Beweis vermißt, der nur ‘elementare’ gruppentheoretische Begriffe benutzt. 

3 Hilfreich bei der Suche nach Herkunft von Begriffen und grundlegenden mathematischen Sätzen vor 1900 

war mir der Beitrag von H. Burkhardt in [41], Endliche discrete Gruppen, S. 208–226. Der Beitrag fällt dort 

übrigens unter den Teil A, Arithmetik, nicht unter Teil B, Algebra.


In 1970 schließlich publizierte D. M. Goldschmidt [20] einen kurzen und ansprechenden 

charakterfreien Beweis im Falle von ungeraden Primzahlen p und q (also im Falle ungerader 

Gruppenordnung). J. G. Thompson hatte bereits angedeutet, dass ein Beweis frei 

von Charaktertheorie aus den (fundamentalen) Arbeiten von W. Feit und Thompson [15] 

und Thompson [66] extrahiert werden könnte. Gleich zu Beginn von Goldschmidts Beweis 

wird ein Argument verwendet, welches Goldschmidt selbst H. Bender zuschreibt; es kann 

tatsächlich aus [5] extrahiert werden. (Das Argument zeigt, dass für ein minimales Gegenbeispiel 

G zum p a q b -Satz die Fittinguntergruppe jeder p-lokalen Untergruppe von G eine 

p-Gruppe ist.) Dann steht Goldschmidt in Gestalt des ZJ-Satzes von Glauberman [18] ein 

mächtiges Hilfsmittel zur Verfügung, womit sich der Beweis bequem zu Ende führen läßt. 

Im Fall p = 2 steht dieses Hilfsmittel aber nicht zur Verfügung. Jedoch wurde in 1973 

ein Beweis des 2 a q b -Satzes von H. Matsuyama [39] publiziert, welcher kurz und sehr 

elegant mit ausschließlich gruppentheoretischen Mitteln auskommt. (Zunächst hält Matsuyama 

fest, dass das Bender-Argument auch für ein minimales Gegenbeispiel G gerader 

Ordnung 2 a q b gilt. Dann benutzt er eine zentrale Involution, um die Existenz einer maximalen 

Untergruppe von G zu zeigen, die sowohl das Zentrum einer 2-Sylowuntergruppe 

als auch das Zentrum einer q-Sylowuntergruppe nichttrivial schneidet. Eine umsichtige Beobachtung 

beendet dann den Beweis.) Schießlich hat Bender [6] selbst einen relativ kurzen 

und elementaren Beweis des p a q b -Satzes gegeben. Dieser kommt ohne Verwendung des 

ZJ-Satzes aus, und ist so organisiert, dass er beide Fälle – p und q ungerade sowie p = 2 

– gleichzeitig behandelt. Den einfachsten Beweis des p a q b -Satzes (ohne Verwendung von 

Charaktertheorie!) erhält man wohl, wenn man Matsuyamas Beobachtung mit Benders Beweis 

für ungerade Primzahlen kombiniert. 

Einen gruppentheoretischen Beweis des p a q b -Satzes hat T. M. Gagen für einen Kurs an der 

Universität von Florida in 1971/72 aus (knapp gehaltenen) Orginalarbeiten (insbesondere 

von H. Bender) zusammengetragen und ausführlich in seinen Lecture Notes [17] wiedergegeben. 

Die Beweise von Goldschmidt und Matsuyama findet man auch in dem Buch 

von Suzuki, [62], Theorem 5.4.25. Den Beweis von Bender findet man in Kapitel VIII 

des Buches von Kurzweil [33] und auch in Chapter X, § 2 des Buches von Blackburn und 

Huppert [29]. In dem Buch von Kurzweil und Stellmacher [34] wird ebenfalls ein gruppentheoretischer 

Beweis des p a q b -Satzes gegeben, der sich an Benders Ideen orientiert. 

Für den Fall, dass die Gruppenordnung p a q b ungerade ist, mag man schließlich auch die 

Bemerkung auf Seite 73 in [7] beachten. 

Ich werde die Beweise von Goldschmidt und Matsuyama miteinander kombinieren. Anstelle 

des ZJ-Satzes werden wir ein Analogon verwenden, welches von Stellmacher bewiesen 

wurde [59], [34, § 9.4]. 

3. NOTATIONEN UND FACHAUSDRÜCKE 

Zu Beginn will ich einige Schreibweisen festlegen, die wir im folgenden benutzen werden. 

Der mit ihnen vertraute Leser kann den folgenden Abschnitt (§ 4 Der Gruppenbegriff) 

getrost übergehen. Umgekehrt, wer mit den hier aufgeführten Begriffen nichts anfangen 

kann, mag direkt mit § 4 beginnen. 

Wir benutzen übliche mengentheoretische Schreibweisen. Insbesondere steht Z für die 

ganzen Zahlen, und N für die natürlichen Zahlen, N = {1, 2, . . .}. 

Unsere Gruppen sind (außer in § 4) stets endlich, was insofern keiner besonderen Erwähnung 

mehr bedarf. 

Wir benutzen das Symbol 1 sowohl für das Einselement als auch für die triviale Untergruppe 

einer Gruppe.


Das Inverse eines Elementes x von G bezeichnen wir mit x −1 . Für eine Teilmenge X von 

G schreiben wir X −1 = {x −1 | x ∈ X}. 

Falls A und B Untergruppen der Gruppe G sind, schreiben wir A ≤ B, falls A eine 

Untergruppe von B ist, und weiter A < B, falls A eine echte Teilmenge von B ist. 

Für eine Teilmenge X von G schreiben wir 〈X〉 für die von X erzeugte Untergruppe 

von G, also für den Durchschnitt aller Untergruppen von G, welche X enthalten. Diese 

Schreibweise erweitern wir in offensichtlicher Weise, um eine von einer Kollektion von 

Teilmengen erzeugte Untergruppe zu beschreiben. 

Falls X und Y Teilmengen von G sind, schreiben wir XY für die Teilmenge von G bestehend 

aus den Produkten xy mit x ∈ X und y ∈ Y , und nennen sie das Komplexprodukt 

von X und Y . Ähnlich schreiben wir yHx = {yhx | h ∈ H} für eine Teilmenge H von 

G und x, y ∈ G; ist H ≤ G, heißt Hx Rechtsnebenklasse von H in G (und yH Linksnebenklasse). 

Die Anzahl der Rechtsnebenklassen von H in G heißt der Index von H in 

G und wird mit |G : H| bezeichnet. 

Wir schreiben H x = x −1 Hx für das Bild von H unter dem inneren Automorphismus 

von G, welcher gegeben ist durch Konjugation mit x. Allgemeiner schreiben wir Operatoren 

in der Regel von rechts, und benutzen dann auch Exponentialschreibweise. Wir 

schreiben H G = {H g | g ∈ G}, so dass 〈H G 〉 die kleinste normale Untergruppe von G 

ist, welche H enthält. 

Für eine Teilmenge H von G bezeichnet |H| die Anzahl ihrer Elemente; dies ist die Ordnung 

von H, falls H ≤ G. Die Ordnung eines Elementes x von G ist die Ordnung von 

〈x〉. 

Ist π eine Menge von Primzahlen, dann nennen wir ein Element x von G ein π-Element, 

falls seine Ordnung nur von Primzahlen aus π geteilt wird. Entsprechend heißt G eine 

π-Gruppe, falls |G| nur von Primzahlen aus π geteilt wird. Ist p ein Primteiler von |G|, 

heißt eine p-Untergruppe von G, welche in keiner größeren p-Untergruppe enthalten ist, 

p-Sylowuntergruppe von G. Wir schreiben Syl p (G) für die Menge der p-Sylowuntergruppen 

von G. 

Die zu π komplementäre Menge von Primzahlen soll mit π ′ bezeichnet werden. Uns stehen 

also genauso die Begriffe π ′ - und p ′ -Element, als auch die Begriffe π ′ - und p ′ -Gruppe zur 

Verfügung. 

Ist X eine Teilmenge von G, so schreiben wir C G (X) bzw. N G (X) für den Zentralisator 

bzw. den Normalisator von X in G. 

Wir schreiben H G, falls H ein Normalteiler von G ist. Wir schreiben H char G, falls 

H ein charakteristischer Normalteiler von G ist, also eine Untergruppe von G ist, welche 

unter Automorphismen von G als ganzes festbleibt. Die Gruppe der Automorphismen 

von G wird übrigens mit Aut(G) bezeichnet. 

Das Zentrum von G wird mit Z(G) bezeichnet; dies ist eine charakteristische Untergruppe 

von G. 

Für x, y ∈ G schreiben wir [x, y] für den Kommutator x −1 y −1 xy von x und y. Für 

Teilmengen X und Y von G sei [X, Y ] = 〈[x, y] | x ∈ X, y ∈ Y 〉. Es ist also [X, Y ] stets 

eine Untergruppe von G. Insbesondere ist [G, G] die Kommutatoruntergruppe von G, 

welche auch mit G ′ bezeichnet wird. Auch [G, G] ist eine charakteristische Untergruppe 

von G. 

Es ist zweckdienlich, eine Gruppe K einen Subquotient von G zu nennen, falls K isomorph 

zu einem homomorphem Bild einer Untergruppe von G ist (K heißt dann auch 

Abschnitt oder Sektion von G). Mir gefällt auch zu sagen, dass dann K in G involviert ist 

(wie in dem Paragraphen § 1.1 in [22], von dem ich hier übrigens kopiert habe).


4. DER GRUPPENBEGRIFF 

Erklärung der grundlegenden gruppentheoretischen Begriffe: Gruppe, Untergruppe, Nebenklasse, 

Homomorphie, Isomorphie (oder sollte man die letzten zwei Begriffe in umgekehrter 

Reihenfolge erklären?), Normalteiler, Faktorgruppe. 

4.1. Gruppe und Untergruppe. Eine binäre Verknüpfung auf einer (nichtleeren) Menge 

G ist eine Abbildung von dem mengentheoretischen Produkt G×G nach G. Wir werden 

normalerweise multiplikative Schreibweise benutzen, also das Bild eines Paares (x, y) unter 

der Verknüpfung als xy schreiben. 

Die Verknüpfung ist assoziativ, falls (xy)z = x(yz) für alle x, y, z ∈ G gilt. 4 Die Verknüpfung 

ist kommutativ, falls xy = yx für alle x, y ∈ G gilt. Ein Einselement für die 

Verknüpfung ist ein Element 1 in G mit x1 = 1x = x für alle x ∈ G. Es kann höchstens 

ein Einselement geben. Falls es ein Einselement 1 gibt, ist ein Inverses für ein Element x in 

G ein Element y in G mit xy = yx = 1. Falls die Verknüpfung assoziativ ist, und x ein Inverses 

besitzt, dann ist dieses eindeutig, und wird in unserer multiplikativen Schreibweise 

mit x −1 bezeichnet. 5 

Eine Gruppe ist eine (nichtleere) Menge G zusammen mit einer assoziativen binären Verknüpfung, 

welche ein Einselement besitzt, und so dass jedes Element in G ein Inverses 

besitzt. Die Gruppe G heißt abelsch, 6 falls die Verknüpfung kommutativ ist. Abelsche 

Gruppen G schreibt man oft additiv, dass heißt, das Bild eines Paares (x, y) unter der Verknüpfung 

wird als x + y geschrieben. Statt eines Einselementes redet man dann von einem 

Nullelement 0, und für x in A wird sein Inverses mit −x bezeichnet. 7 

Von nun an sei G eine Gruppe. Eine Untergruppe von G ist eine nichtleere Teilmenge U 

von G, so dass mit x, y ∈ U stets xy ∈ U und x −1 ∈ U gilt. Schreibweise: U ≤ G. Es ist 

also U ≤ G, falls U mit der auf U × U eingeschränkten Verknüpfung eine Gruppe ist. Es 

ist {1} ≤ G, die triviale Untergruppe von G. Wir schreiben stets {1} = 1, bezeichnen 

mit 1 also auch die triviale Untergruppe. Dies wird zu keinen Komplikationen führen. 

Beispiel 4.1. Ich gebe ein paar wenige Beispiele für Gruppen und Untergruppen. 

(1) Plus und Mal für Zahlen. Genauer, etwa (Z, +), also die additive Gruppe Z, oder 

(R \ {0}, ·). 

(2) Die Menge Sym(M) aller Bijektionen einer Menge M auf sich, zusammen mit 

der Komposition von Abbildungen als Verknüpfung, ist eine Gruppe. 

(3) Für eine natürliche Zahl n ist Sym({1, 2, . . . , n}) die symmetrische Gruppe S n 

(vom Grad n). Zykelschreibweise: Wir schreiben etwa σ = (124) für das Element 

σ ∈ S 4 mit 1σ = 2, 2σ = 4, 3σ = 3 und 4σ = 1. Komposition στ wollen wir 

lesen als ‘zuerst σ, dann τ’. Also etwa (12)(123) = (13). 

(4) Für ein Polynom f = f(x 1 , . . . , x n ) aus dem Polynomring Z[x 1 , . . . , x n ] (die 

x 1 , . . . , x n sind unabhängige Variablen) und σ ∈ S n setze f σ = f(x 1σ , . . . , x nσ ). 

Es gilt (f σ ) τ = f στ für alle σ, τ ∈ S n . (In der Sprechweise von § 6.1 formuliert, 

operiert S n damit auf Z[x 1 , . . . , x n ] durch Permutation der Variablen.) Es sei ∆ = 

∏ 

i


Permutation σ heißt im ersten Fall gerade, im zweiten Fall ungerade. Es gilt 

(∆ σ ) τ = ∆ στ für alle σ, τ ∈ S n . Also bilden die geraden Permutationen der S n 

eine Untergruppe, die sogenannte alternierende Gruppe A n . 

(5) Die allgemeine lineare Gruppe 8 GL(n, K) vom Grad n über einem Körper K 

ist die Gruppe aller invertierbaren n × n-Matrizen mit Koeffizienten aus K. Gruppenverknüpfung 

ist die Matrixmultiplikation. Wenn der Körper K der endliche 

Körper F q mit q Elementen ist, q eine Primzahlpotenz, so schreibt man auch 

GL(n, q) statt GL(n, K). Die spezielle lineare Gruppe SL(n, K) ist die Untergruppe 

von GL(n, K), die aus allen Matrizen mit Determinante 1 besteht. 

Es sei x ∈ G und n eine natürliche Zahl. Wir definieren, wie gewohnt, die Potenz x n als 

das Produkt von n Faktoren, alle gleich x; die Assoziativität garantiert Wohldefiniertheit. 

Wir definieren noch x −n = (x −1 ) n und x 0 = 1. Dann können die üblichen Rechenregeln 

für Exponenten hergeleitet werden: Für x ∈ G und n, m ∈ Z gilt 

x n x m = x n+m = x m x n , (x n ) m = x nm . 

Der Durchschnitt einer beliebigen Menge von Untergruppen von G ist ebenfalls eine Untergruppe 

von G. Für X ⊆ G können wir daher definieren 

〈X〉 = 

⋂ 

U. 

X⊆U≤G 

Es ist also 〈X〉 eine Untergruppe von G, und nach Konstruktion ist dies die kleinste Untergruppe 

von G, welche X enthält. Wir nennen 〈X〉 die von X erzeugte Untergruppe von 

G. Es gilt offenbar 

〈X〉 = {x ε1 

1 · · · xεn n | x i ∈ X, ε i = ±1}. 

Wir sehen nun sofort, dass für x ∈ G gilt 〈x〉 = {x n | n ∈ Z}. Die Gruppe G heißt 

zyklisch, falls sie von einem Element x erzeugt wird. In diesem Fall besteht G aus den 

Potenzen von x, und wir nennen x einen Erzeuger von G. 

Die Ordnung der Gruppe G ist die Kardinalität der Menge G, und wird mit |G| bezeichnet. 

Für x ∈ G nennen wir |〈x〉| die Ordnung von x. Falls |G| < ∞, heißt G endliche 

Gruppe. 

Beispielsweise ist n! die Ordnung der S n . Es gibt genausoviele gerade wie ungerade Permutationen 

in der S n , denn ist σ aus S n gerade, so ist σ(12) ungerade. Also hat A n die 

Ordnung n!/2. 

4.2. Nebenklasse. Es sei U Untergruppe der endlichen Gruppe G. Für x ∈ G schreiben 

wir Ux = {yx | y ∈ U} und xU = {xy | y ∈ U}. Beide Mengen sind Nebenklassen 

von U in G. Es heißt Ux Rechtsnebenklasse und xU Linksnebenklasse von U in G. Es 

enthält G genauso viele Linksnebenklassen wie Rechtsnebenklassen von U, denn es ist 

xU ↦→ (xU) −1 = Ux −1 eine Bijektion zwischen den jeweiligen Nebenklassenmengen. 

Hier sei bemerkt, dass wir X −1 = {x −1 | x ∈ X} für eine Teilmenge X von G schreiben, 

und dass für die Untergruppe U gilt U = U −1 . Die Anzahl der Rechtsnebenklassen (oder 

der Linksnebenklassen) von U in G heißt der Index von U in G und wird mit |G : U| 

bezeichnet. 

Wir werden meistens mit Rechtsnebenklassen arbeiten. Mit G/U wird die Menge der 

Rechtsnebenklassen von U in G bezeichnet. 

Die Gruppe G ist offenbar Vereinigung der Rechtsnebenklassen von U. Ist x ∈ G und 

y ∈ Ux, ist yx −1 ∈ U, und folglich Ux = U(yx −1 )x = Uy. Die Gruppe G ist also 

8 Die Bezeichnung GL kommt von der Abkürzung der englischen Bezeichnung ” 

general linear group“.


disjunkte Vereinigung der Rechtsnebenklassen von U. 9 Da alle Nebenklassen die gleiche 

Anzahl von Elementen haben (Rechtsmultiplikation mit x ∈ G ist eine Bijektion auf G), 

erhalten wir folgenden Satz. Er wird Lagrange 10 zugeschrieben, siehe [35], Kap. VIII, 

Réflexions sur la résolution algébrique des équations. 

Satz 4.2 (Lagrange (1771)). Für U ≤ G gilt |G| = |U||G : U|. 

Dies hat zur Folge, dass die Ordnung einer Untergruppe einer endlichen Gruppe G Teiler 

von |G| ist. Speziell ist die Ordnung eines Elementes von G Teiler von |G|. 

Es sei p eine Primzahl. Eine p-Gruppe ist eine Gruppe, deren Ordnung eine Potenz von 

p ist. Allgemeiner, ist π eine Menge von Primzahlen, so ist die endliche Gruppe G eine 

π-Gruppe, falls |G| nur von Primzahlen aus π geteilt wird. Allgemeiner kann man über 

π-Untergruppen reden. Ein Element x einer Gruppe G ist ein π-Element, falls 〈x〉 eine π- 

Gruppe ist. Es sei schon hier gesagt, dass eine Involution ein Gruppenelement der Ordnung 

2 ist. 

Untergruppen einer π-Gruppe sind also wieder π-Gruppen. Insbesondere ist ein Element 

einer p-Gruppe stets ein p-Element. Die Umkehrung dieser Aussage ist auch richtig, wie 

der Satz von Cauchy (Satz 6.11) zeigt. 

4.3. Homomorphismus und Isomorphismus. Strukturerhaltende Abbildungen werden 

ganz allgemein als Homomorphismen bezeichnet, wie dem Leser sicher schon bekannt. Ein 

(Gruppen-)homomorphismus von einer Gruppe G in eine Gruppe H ist eine Abbildung 

ϕ: G → H (zwischen den Mengen G und H), so dass alle Relationen zwischen Elementen 

von G auch für die Bildelemente gelten, also (xy)ϕ = (xϕ)(yϕ) für alle x, y ∈ G gilt. 

Wie der Leser bereits festgestellt hat, schreibe ich gewöhnlich Abbildungen von rechts, 

insbesondere jene, welche Homomorphismen sind. 

Beispiel 4.3. Ich gebe ein paar wenige Beispiele für Gruppenhomomorphismen. 

(1) Für festes n ∈ N ist Z → Z, a ↦→ na ein Homomorphismus von abelschen 

Gruppen. 

(2) Ist G eine zyklische Gruppe mit Erzeuger x, so ist Z → G, a ↦→ x a ein Homomorphismus 

von abelschen Gruppen. 

(3) Die Exponentialfunktion (R, +) → ((0, ∞), ·), x ↦→ e x ist ein Homomorphismus. 

(4) Die Abbildung sign: S n → {1, −1}, welche eine Permutation auf 1 oder −1 

abbildet, je nachdem ob sie gerade oder ungerade ist, ist ein Homomorphismus. 

Genau die Elemente aus A n werden auf 1 abgebildet. 

(5) Determinantenbildung det: GL(n, K) → K × ist ein Homomorphismus in die 

multiplikative Gruppe K × des Körpers K. 

Der Homomorphismus ϕ heißt Isomorphismus, falls ϕ eine Bijektion ist. In diesem Fall 

besitzt ϕ eine Umkehrfunktion ϕ −1 : H → G, die sich als Gruppenhomomorphismus 

herausstellt. Die Gruppe G heißt isomorph zu H, falls es einen Isomorphismus zwischen 

G und H gibt. Wir schreiben G ∼ = H um anzuzeigen, dass G und H isomorph sind. 

Isomorphismus ist eine Äquivalenzrelation. 11 

9 Und die Rechtsnebenklassen sind die Klassen der Äquivalenzrelation y ∼ x :⇔ yx −1 ∈ U. 


11 Isomorphe Gruppen sind als nicht wesentlich verschieden zu betrachten. Man kann alle Begriffe und Sätze, 

die auf Grund der gegebenen Verknüpfungsvorschrift einer Gruppe definiert und bewiesen werden können, unmittelbar 

auf jede isomorphe Gruppe übertragen. Beispielsweise gehen bei einem Isomorphismus Einselement, 

Inverses und Untergruppen wieder in Einselement, Inverses und Untergruppen über.


Ein Isomorphismus von G auf sich selbst heißt Automorphismus von G. Die Menge aller 

Automorphismen von G bildet eine Gruppe unter Komposition als Verknüpfung, die 

Automorphismengruppe 12 von G genannt wird und mit Aut(G) bezeichnet wird. 

Ist a ein festes Element aus G, so ist die Abbildung G → G mit x ↦→ a −1 xa ein Automorphismus. 

Zum Bsp. zeigt a −1 (xy)a = a −1 x(aa −1 )ya = (a −1 xa)(a −1 ya) die Homomorphieeigenschaft. 

Man nennt diesen Automorphismus Konjugation mit a. Konjugationen 

heißen innere Automorphismen. Alle übrigen Automorphismen (falls noch andere existieren) 

heißen äußere Automorphismen. 

4.4. Normalteiler. Falls X und Y Teilmengen von G sind, schreiben wir XY für die 

Teilmenge von G bestehend aus den Produkten xy mit x ∈ X und y ∈ Y , und nennen sie 

das Komplexprodukt von X und Y . Ähnlich schreiben wir yHx = {yhx | h ∈ H} für 

eine Teilmenge H von G und x, y ∈ G. Bei Nebenklassen haben wir diese Schreibweise 

schon kennengelernt. 

Für x, y ∈ G setzen wir x y = y −1 xy, und für X ⊆ G setzen wir X y = y −1 Xy. Wir 

sagen, x y ist ein Konjugiertes von x, und dass x und x y zueinander konjugiert sind. 

Ebenso reden wir von konjugierten Mengen. Unter einem inneren Automorphismus geht 

etwa eine Untergruppe in eine zu ihr konjugierte Untergruppe über. 

Es erscheint passend, in diesem Zusammenhang zwei Untergruppen von G einzuführen, 

die man jeder Teilmenge X von G zuordnen kann, nämlich N G (X) = {y ∈ G | X y = X} 

und C G (X) = {y ∈ G | xy = yx für alle x ∈ X}. Beides sind Untergruppen von G. Es 

ist N G (X) der Normalisator von X in G, und C G (X) der Zentralisator von X in G. 

Eine Untergruppe U von G heißt normal in G, falls sie invariant unter allen inneren Automorphismen 

von G ist, falls also x y ∈ U für alle x ∈ U und y ∈ G gilt. Dann heißt U auch 

Normalteiler 13 von G, und wir schreiben dafür U G. Nicht nur zur Einübung der Begriffe 

allein halten wir fest, dass U G genau dann gilt, wenn N G (U) = G. Allgemeiner 

ist N G (U) die größte Untergruppe von G, in der U normal ist. 

Ist N ein Normalteiler von G, so stimmen offenbar die Rechtsnebenklassen von N in G 

mit den Linksnebenklassen von N in G überein. Denn für x ∈ G ist ja N x = N, also 

Nx = xN. Dies charakterisiert aber auch Normalteiler, denn ist U Untergruppe von G, 

und sind x, y ∈ G mit Ux = yU, folgt 1 ∈ U x = x −1 Ux = x −1 yU, also x −1 y ∈ U und 

U x = U. 

Es sei ϕ: G → H ein Gruppenhomomorphismus. Der Kern von ϕ ist die Menge Kern ϕ = 

{x ∈ G | xϕ = 1}. Es zeigt sich, dass Kern ϕ ein Normalteiler von G ist. 

Beispielsweise ist A n Normalteiler der S n . 

4.5. Faktorgruppe. Es sei ϕ: G → H ein Gruppenhomomorphismus. Das Bild Gϕ von 

G ist eine Untergruppe von H. Wir schreiben Bild ϕ = Gϕ. Nun sei ϕ surjektiv, also 

H = Bild ϕ. Die Gruppe H heißt dann homomorphes Bild von G. Wir zeigen, dass 

die vollen Urbilder der Elemente von H unter ϕ genau die Nebenklassen von Kern ϕ in 

G sind. Dazu sei N = Kern ϕ gesetzt und x ∈ G gewählt. Dann liegt die Nebenklasse 

Nx im Urbild von xϕ. Ist y ein beliebiges Element in diesem Urbild, gilt (yx −1 )ϕ = 

(yϕ)(x −1 ϕ) = (yϕ)(xϕ) −1 = 1, also yx −1 ∈ N und y ∈ Nx. Dies beweist die Aussage. 

Wir kehren die Frage um: Gegeben einen Normalteiler N von G, kann man ein homomorphes 

Bild Ḡ von G konstruieren, so dass die Nebenklassen von N genau denn Elementen 

12 Die Automorphismen einer Gruppe bringen gewissermaßen ihre Symmetrieeigenschaften zum Ausdruck. 

13 ‘Normal’ wie normale (galoissche) Körpererweiterung. ‘Theiler’ ist ein alter Begriff für Untergruppe.


von Ḡ entsprechen? Dazu stellen wir fest, dass das Komplexprodukt von zwei Nebenklassen 

von N wieder eine Nebenklasse ist: Für x, y ∈ G gilt (Nx)(Ny) = NN x−1 xy = 

Nxy. Es folgt, dass die Nebenklassenmenge G/N, mit dem Komplexprodukt als Verknüpfung, 

eine Gruppe bildet, die Faktorgruppe von G nach N genannt. 14 (Das Einselement 

ist N, das Inverse zu Nx ist Nx −1 .) Weiterhin ist ersichtlich, dass die surjektive Abbildung 

π : G → G/N mit x ↦→ Nx ein Gruppenhomomorphismus ist. Also ist Ḡ = G/N 

das gewünschte homomorphe Bild. Damit ist gezeigt, dass die Normalteiler von G genau 

die Kerne von Homomorphismen von G sind. Der Homomorphismus π von G nach G/N 

wird der natürliche Homomorphismus genannt (auch: kanonischer Homomorphismus). 

Eine bequeme Notation für Bilder unter π gibt die Querstrichkonvention. Wenn wir Ḡ = 

G/N schreiben, meinen wir gleichzeitig, das wir ¯x = Nx für x ∈ G setzen, oder etwa 

Ū = UN/N für das Bild einer Untergruppe U von G unter π. Ebenso sind Notationen wie 

˜G, oder G ∗ , erlaubt, wenn man es mit mehreren natürlichen Homomorphismen zu tun hat. 

Es sei ϕ: G → H wieder ein Gruppenhomomorphismus, und N = Kern ϕ gesetzt. Dann 

gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus ψ : G/N → H, welcher folgendes Diagramm 

kommutativ macht, dass heißt, für den ϕ = πψ gilt. 

(4.1) 

G 

ϕ 

π 

❄ ∃! ψ 

G/N 

✲ H 

Es ist klar, dass man dazu (Nx)ψ = xϕ für x ∈ G zu setzen hat. Wohldefiniertheit und 

Homomorphieeigenschaft folgen sofort, und man sieht weiter, dass ψ injektiv ist. Man sagt 

auch, ϕ faktorisiert über π. Damit erhalten wir den Homomorphiesatz. 

Satz 4.4 (Homomorphiesatz). Es sei ϕ: G → H ein Gruppenhomomorphismus. Dann 

ist G/Kern ϕ ∼ = Bild ϕ. Ein solcher Isomorphismus wird vermittelt von dem eindeutig 

bestimmten Gruppenhomomorphismus ψ : G/N → H, wobei N = Kern ϕ, welcher das 

Diagramm (4.1) kommutativ macht. 

Die Faktorgruppen der Gruppe G modulo ihren verschiedenen Normalteilern sind also, bis 

auf Isomorphie, genau die homomorphen Bilder von G. 

Zwei Folgerungen sind die beiden Isomorphiesätze. Zuvor halten wir noch eine einfache, 

aber wichtige Tatsache fest. Es sei N ein Normalteiler der Gruppe G. Dann stehen mittels 

der Abbildung H ↦→ H/N die Untergruppen H von G, welche N enthalten, in Bijektion 

mit den Untergruppen von G/N, und normale Untergruppen korrespondieren dabei zu normalen 

Untergruppen. Ist H irgendeine Untergruppe von G, dann ist das Komplexprodukt 

HN eine N enthaltende Untergruppe, da 〈H, N〉 = HN wegen N G. 

Satz 4.5 (Erster Isomorphiesatz). Es sei N ein Normalteiler der Gruppe G, und H eine 

Untergruppe von G. Dann gilt H/H ∩ N ∼ = HN/N. 

Beweis. Die natürliche Abbildung G → G/N bildet H surjektiv auf HN/N ab, und der 

Kern dieser Abbildung ist H ∩ N. 

□ 

Das mag man sich anhand eines ‘Hasse-Diagrammes’ veranschaulichen: dort sind zwei 

gegenüberliegende ‘Seiten’ isomorph. 

✲ 

14 Man spricht auch: G modulo N oder kürzer G mod N.


Satz 4.6 (Zweiter Isomorphiesatz). Es seien N und H Normalteiler der Gruppe G mit 

N ≤ H. Dann gilt (G/N)/(H/N) ∼ = G/H. 

Beweis. Die natürliche Abbildung G → G/H faktorisiert über die natürliche Abbildung 

G → G/N, so dass wir einen Homomorphismus G/N → G/H haben mit Kern H/N. 

□ 

Hier spielt sich also alles ‘über N’ ab. 

4.6. Zyklische Gruppen. Betrachten wir zyklische Gruppen noch etwas genauer. Wir 

wissen bereits, alle zyklische Gruppen sind homomorphe Bilder von Z, der Gruppe der 

ganzen Zahlen mit der additiven Verknüpfung. Wir leiten unsere Feststellungen daraus ab, 

da wir Z eben schon kennen. (Wir müßten das nicht so explizit tun, folgen damit aber dem 

Zeitgeist.) 

Satz 4.7. Es sei G eine zyklische Gruppe mit Erzeuger x, also G = 〈x〉. 

(1) Ist H eine nichttriviale Untergruppe von Z, gilt H = 〈n〉 = nZ, wobei n die 

kleinste positive Zahl in H ist. 

(2) Die Abbildung ϕ: Z → G mit mϕ = x m ist ein surjektiver Homomorphismus mit 

Kern 〈n〉, wobei n = 0 falls x unendliche Ordnung hat, und n = min{m > 0 | 

x m = 1} falls x endliche Ordnung hat. 

(3) Falls x endliche Ordnung n hat, gilt G = {x i | 0 ≤ i < n}, und es ist n die 

kleinste positive Zahl m mit x m = 1. 

(4) Bis auf Isomorphismus ist Z die einzige unendliche zyklische Gruppe, und für jede 

positive Zahl n ist Z/nZ die einzige zyklische Gruppe der Ordnung n. 

(5) Die Gruppe G habe endliche Ordnung n. Dann ist für jeden Teiler m von n die 

Gruppe 〈x n/m 〉 die einzige Untergruppe von G der Ordnung m. Insbesondere sind 

Untergruppen von zyklischen Gruppen zyklisch. 

Beweis. Zu (1). Mit m ∈ H ist auch −m ∈ H, so dass H eine kleinste positive Zahl 

n enthält. Es sei m ∈ H. Division mit Rest erlaubt uns, m = qn + r mit q ∈ Z und 

0 ≤ r < n zu schreiben. Dann ist r = m − qn ∈ H, also r = 0 nach Wahl von n. Es folgt 

H = 〈n〉. 

Zu (2). Dass ϕ ein surjektiver Homomorphismus ist, ist klar. Nach (1) gilt Kern ϕ = 〈n〉 

mit n ≥ 0. Nach dem Homomorphiesatz ist G ∼ = Z/nZ. Hat x unendliche Ordnung, folgt 

n = 0. Andernfalls ist n = min{m > 0 | x m = 1} nach (1), angewandt mit H = Kern ϕ. 

Zu (3). Folgt aus (2), denn die Nebenklassen von nZ in Z sind i + nZ mit 0 ≤ i < n. 

Zu (4). Folgt aus (1) und (2). 

Zu (5). Es sei U eine Untergruppe von G. Es sei H das volle Urbild von U unter ϕ. Nach 

(1) ist H = kZ für eine positive Zahl k, und es ist nZ ⊆ H. Also ist n = km mit 

m ∈ N. Es folgt U = Hϕ = 〈x k 〉 = 〈x n/m 〉. Nach (3) ist m die kleinste positive Zahl mit 

(x n/m ) m = 1, und U hat Ordnung m. □ 

Wir werden C n für ‘die’ zyklische Gruppe der Ordnung n schreiben. 

Wir halten noch eine Schlußfolgerung fest, die mitunter Fermat 15 zugeschrieben wird, vergleiche 

dazu mit dem sogenannten kleinen Fermatschen Satz. Ist G eine endliche Gruppe, 

x ∈ G und m ∈ Z, dann gilt x m = 1 genau dann, wenn die Ordnung von x Teiler von m 

ist. Insbesondere gilt x |G| = 1 (mit dem Satz von Lagrange). 

15 Zur Person siehe etwa Wikipedia-Eintrag [85].


4.7. Vermischtes. Wir schließen diesen Abschnitt ab mit ein paar kleinen Lemmas, welche 

einfach zu beweisen, aber nützlich sind. 

Für das erste überlege man sich zunächst, dass eine nichtleere Teilmenge U von G genau 

dann Untergruppe von G ist, wenn UU −1 ≤ U gilt. (Als Untergruppenkriterium bekannt. 

Wenn G endlich ist, kann dies durch die Forderung UU ≤ U ersetzt werden.) 

Lemma 4.8. Sind A und B zwei Untergruppen von G, dann ist AB genau dann eine 

Untergruppe von G, wenn AB = BA gilt. 

Beweis. Aus AB ≤ G folgt AB = (AB) −1 = B −1 A −1 = BA. Gilt umgekehrt AB = 

BA, ist (AB)(AB) −1 = (AB)(B −1 A −1 ) = (AB)(BA) = A(BA) = A(AB) = AB, 

also AB ≤ G. 

□ 

Das folgende Zähl-Argument werden wir insbesondere in § 17 oft verwenden, und zwar 

dann ohne ausdrückliche Erwähnung. 

Lemma 4.9. Für zwei Untergruppen A und B von G gilt 

|AB| = |A||B| 

|A ∩ B| . 

Beweis. Die Abbildung A × B → AB mit (a, b) ↦→ ab ist surjektiv. Es sei a ∈ A und 

b ∈ B. Es genügt zu zeigen, dass ab unter dieser Abbildung genau |A ∩ B| Urbilder hat. 

Gilt ab = a 1 b 1 mit a 1 ∈ A und b 1 ∈ B, ist bb −1 

1 = a −1 a 1 ∈ A ∩ B und a 1 = a(bb −1 

1 ) ∈ 

a(A ∩ B). Andererseits bildet für x ∈ A ∩ B das Element (ax, x −1 b) auf ab ab. Damit ist 

das Lemma bewiesen. 

□ 

Lemma 4.10 (Modulare Eigenschaft 16 von Gruppen). Sind A, B und C Untergruppen der 

Gruppe G mit C ≤ A, gilt A ∩ BC = (A ∩ B)C. 

Beweis. Nur eine Inklusion bedarf kurzer Überprüfung. Es sei x ∈ A ∩ BC, also x ∈ A 

und x = bc mit b ∈ B und c ∈ C. Dann ist xc −1 ∈ A ∩ B, also x ∈ (A ∩ B)C. □ 

5. ENDLICHE ABELSCHE GRUPPEN 

Ab jetzt verstehen wir unter einer Gruppe immer eine endliche Gruppe. 

Wir wollen die Struktur abelscher Gruppen bestimmen. Danach bestimmen wir noch die 

Automorphismengruppen der zyklischen Gruppen. Die Struktur abelscher Gruppen ist 

leicht zu klären. Dabei hilft natürlich, dass in einer abelschen Gruppe alle Untergruppen 

Normalteiler sind, und Komplexprodukte von Untergruppen wieder Untergruppen sind. 

Ich will gleich zu Beginn auf eine wesentliche Eigenschaft einer abelschen Gruppe G hinweisen, 

die wir später mehr oder weniger explizit verwenden werden. Man kann für zwei 

Endomorphismen ϕ und ψ von G, also für Homomorphismen ϕ, ψ : G → G, ihr Produkt 

ϕψ als Komposition von Abbildungen, und ihre Summe ϕ + ψ ‘punktweise’ definieren, 

also x(ϕ + ψ) = (xϕ)(xψ) für x ∈ G. (Wir schreiben auch abelsche Gruppen multiplikativ.) 

Mit diesen Verknüpfungen wird die Menge der Endomorphismen von G zu einem 

Ring. 

16 Ein Begriff aus der Verbandstheorie.


5.1. Das direkte Produkt. Wir beginnen mit einer allgemeinen Konstruktion, dem direkten 

Produkt. Einerseits kann man damit aus gegebenen Gruppen neue Gruppen bilden 

(externes Produkt), andererseits dient es der Beschreibung der Struktur einer Gruppe (internes 

Produkt). 

Wir führen folgende Bezeichnungen ein. Für eine Gruppe G und x, y ∈ G ist das Element 

x −1 y −1 xy der Kommutator von x und y; wir schreiben dafür [x, y]. Für Teilmengen X 

und Y von G sei [X, Y ] = 〈[x, y] | x ∈ X, y ∈ Y 〉. Es ist also [X, Y ] stets eine Untergruppe 

von G. Es ist [G, G] die Kommutatoruntergruppe von G, welche auch mit G ′ 

bezeichnet wird. 

Beispielsweise ist die Kommutatoruntergruppe einer abelschen Gruppe die triviale Untergruppe. 

Wir bemerken noch, dass für zwei Normalteiler N und M von G gilt [N, M] ≤ 

N ∩ M, und das [U, V ] = 1 für zwei Untergruppen U und V von G bedeutet, dass jedes 

Element von U mit jedem Element von U kommutiert (vertauscht), dass heißt, es gilt 

xy = yx für alle x ∈ U und y ∈ V . 

Es seinen G 1 , . . . , G n eine endliche Anzahl von Gruppen. Das (externe) direkte Produkt 

G 1 ×· · ·×G n dieser Gruppen ist die Gruppe, die als Menge mit dem mengentheoretischen 

Produkt G 1 × · · · × G n übereinstimmt, und für die die Verknüpfung gegeben ist durch 

(x 1 , . . . , x n )(y 1 , . . . , y n ) = (x 1 y 1 , . . . , x n y n ) für alle x i , y i ∈ G i . (Es ist klar, dass wir 

mit dieser komponentenweisen Verknüpfung eine Gruppe erhalten.) 

Die erste Aussage des folgenden Satzes ist natürlich unser Verständnis von einem ‘internen’ 

direktem Produkt; die beiden anderen Aussagen sind als Kriterien für deren Gültigkeit 

zu verstehen. 

Satz 5.1. Es sei G eine Gruppe und (G i : 1 ≤ i ≤ n) eine Familie von Untergruppen von 

G. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. 

(1) Die Abbildung ϕ: G 1 × · · · × G n → G mit (x 1 , . . . , x n ) ↦→ x 1 · · · x n ist ein 

Isomorphismus. 

(2) Es ist G = 〈G i | 1 ≤ i ≤ n〉, und es gilt G i G und G i ∩ 〈G j | j ≠ i〉 = 1 für 

jeden Index i. 

(3) Es ist G i G für jeden Index i, und jedes x aus G kann in eindeutiger Weise als 

x = x 1 · · · x n mit x i ∈ G i geschrieben werden. 

Beweis. Setze G ∗ = G 1 × · · · × G n und G ∗ i = {(x 1, . . . , x n ) ∈ G ∗ | x j = 1 für j ≠ i} 

für jeden Index i. 

Falls (1) gilt, folgt (2) und (3) sofort, da für die Untergruppen G ∗ i von G∗ die entsprechenden 

Aussagen gelten, und G i = G ∗ i ϕ gilt. 

Für die weiteren Implikationen bemerken wir zunächst, dass, wenn alle G i normal in G 

sind, für verschiedene Indizes i und j gilt [G i , G j ] ≤ G i ∩G j . Gilt also (2) oder (3), haben 

wir dann [G i , G j ] = 1. 

Es gelte (2). Es sei x 1 · · · x n = y 1 · · · y n mit x i , y i ∈ G i . Nach der Vorbemerkung ist dann 

(x 1 y1 −1 ) · · · (x nyn 

−1 ) = 1, wobei die Reihenfolge in dem Produkt auf der rechten Seite 

unwesentlich ist. Nach Voraussetzung ist also x i y −1 

i = 1 für alle Indizes i, und (3) ist 

bewiesen. 

Nun gelte (3). Nach der Vorbemerkung ist dann (x 1 y 1 ) · · · (x n y n ) = x 1 · · · x n y 1 · · · y n 

für alle x i , y i ∈ G i . Also ist die Abbildung ϕ (aus (1)) ein Homomorphismus. Wegen der 

eindeutigen Darstellungsweise der Elemente von G folgt, dass ϕ sowohl injektiv als auch 

surjektiv ist. Damit ist der Satz bewiesen. 

□


Falls irgendeine der drei Bedingungen des Satzes erfüllt ist, sagen wir, dass G das (interne) 

direkte Produkt der Untergruppen (G i : 1 ≤ i ≤ n) ist, und schreiben (leicht mißbräuchlich 

hinsichtlich der Notation) ebenfalls G = G 1 × · · · × G n . 

Wir beschreiben sofort eine Situation, in der die Gruppe G offensichtlich ein direktes Produkt 

ist. Wir werden dies im folgenden jedoch noch nicht verwenden. 

Satz 5.2. Es sei G eine Gruppe, es seien G 1 , . . . , G n Normalteiler von G von paarweise 

teilerfremder Ordnung, und es sei G = 〈G i | 1 ≤ i ≤ n〉. Dann ist G = G 1 × · · · × G n . 

Beweis. Wir bemerken zunächst, da die G i normal in G sind, dass das Komplexprodukt 

von einer gewissen Anzahl der G i eine Untergruppe von G ist; insbesondere gilt G = 

G 1 · · · G n . 

Wir zeigen |G| = ∏ n 

i=1 |G i| durch Induktion nach n. Dann ist die in Satz 5.1(3) beschriebene 

eindeutige Darstellung von Gruppenelementen gegeben, und G ist direktes 

Produkt wie angegeben. Im Fall n = 1 ist nichts zu beweisen, es sei also n > 1. Mit 

H 1 = G 2 · · · G n ≤ G folgt |G| = |G 1 ||H 1 |/|G 1 ∩ H 1 | nach Lemma 4.9. Anwendung der 

Induktionsvoraussetzung auf H 1 zeigt, dass G 1 und H 1 teilerfremde Ordnungen haben. 

Damit ist G 1 ∩ H 1 = 1 nach dem Satz von Lagrange. Die Aussage für n folgt nun aus 

|G| = |G 1 ||H 1 | und der Induktionsvoraussetzung. 

□ 

5.2. Struktur abelscher Gruppen. Wir klären die Struktur abelscher Gruppen in mehreren 

Schritten. Wir beginnen mit einer einfachen Beobachtung. Für eine Gruppe G, und 

einen Primteiler p von |G|, sei G(p) die Menge der p-Elemente in G. 

Feststellung 5.3. Für eine abelsche Gruppe G und einen Primteiler p von |G| ist G(p) 

eine Untergruppe von G. 

Beweis. Sind x, y ∈ G(p), gibt es eine Potenz p a von p, so dass sowohl x pa = 1 als auch 

y pa = 1 gilt, und da xy = yx, folgt (xy) pa = 1, also xy ∈ G(p). Und natürlich ist auch 

x −1 ∈ G(p). 

□ 

Als nächstes zeigen wir, dass für eine abelsche Gruppe G die G(p) tatsächlich p-Gruppen 

sind. Dies folgt unmittelbar aus dem von Cauchy (Satz 6.11), aber wir leiten es hier aus 

folgendem Lemma ab, welches durchaus von eigenständigem Interesse ist. 

Zunächst sei noch daran erinnert, dass für eine zyklische Gruppe von Primzahlpotenzordnung 

der Untergruppenverband eine Kette ist. Explizit, ist A eine zyklische p-Gruppe 

mit |A| = p n (n ≥ 1) und a ein Erzeuger von A, dann ist A i = 〈a pn−i 〉 die Untergruppe 

von A der Ordnung p i , für 0 ≤ i ≤ n, und der Untergruppenverband von A ist 1 = A 0 ≤ 

A 1 ≤ . . . ≤ A n = A. 

Lemma 5.4. Es sei G eine abelsche Gruppe mit G = G(p) für einen Primteiler p von 

|G|, und A eine zyklische Untergruppe von G von größtmöglicher Ordnung. Dann ist A 

ein direkter Faktor von G, dass heißt, es gibt B ≤ G mit G = A × B. 

Beweis. Falls G zyklisch ist, gilt das Lemma mit B = 1. Nehmen wir also an, G ist 

nicht zyklisch. Dann ist G/A ≠ 1, und G/A besteht nach Voraussetzung aus lauter p- 

Elementen. Wir können also x ∈ G \ A wählen mit x p ∈ A. Da 〈x〉 keine echt größere 

Ordnung als A hat, ist x p kein Erzeuger von A. Es gibt also a ∈ A mit a p = x p . Setze 

H = 〈xa −1 〉. Dann gilt |H| = p (zur Erinnerung, wir rechnen in einer abelschen Gruppe) 

und H A wegen xa −1 ∉ A. Es folgt A ∩ H = 1. Nun setze Ḡ = G/H. Es ist 

Ā = AH/H ∼ = A/A ∩ H = A. Damit ist Ā eine maximale zyklische Untergruppe 

von Ḡ. Mittels Induktion nach der Ordnung von G können wir daher annehmen, dass es


H ≤ B ≤ G gibt mit Ḡ = Ā × ¯B. Dann ist G = AB und A ∩ B ⊆ A ∩ H = 1, also 

G = A × B. 

□ 

Folgerung 5.5. Es sei G eine abelsche Gruppe mit G = G(p) für einen Primteiler p von 

|G|. Dann ist G eine p-Gruppe, und direktes Produkt von zyklischen Untergruppen. 

Beweis. Dies folgt mit Induktion nach der Ordnung von G unmittelbar aus Lemma 5.4. 

Schreibe wie dort G = A × B. Ist B ≠ 1, besteht B aus lauter p-Elementen, so dass 

B = B(p) und p Primteiler von |B| ist (Satz von Lagrange, aber so einen Hinweis werden 

wir im folgenden weglassen). Induktiv können wir also annehmen, dass B eine p-Gruppe 

ist, und direktes Produkt von zyklischen Untergruppen, so dass die Behauptung folgt. □ 

Es ist an der Zeit, folgende einfache, aber wichtige Tatsache zu beweisen. Wir schreiben 

o(x) für die Ordnung eines Elementes x einer Gruppe. 

Satz 5.6. Es sei G eine Gruppe, x ∈ G und p 1 , . . . , p n die verschiedenen Primteiler von 

o(x), der Ordnung von x. Dann läßt sich x eindeutig in der Form x = x 1 · · · x n schreiben 

mit p i -Elementen x i , von denen je zwei miteinander kommutieren. Dabei ist x i ∈ 〈x〉, und 

o(x) = o(x 1 ) · · · o(x n ). 

Beweis. Für jeden Index i, 1 ≤ i ≤ n, sei q i die größte Potenz von p i die o(x) teilt. Es ist 

also o(x) = q 1 · · · q n . Für jeden Index i setze q i ′ = ∏ j≠i q j. Dann ist (q i , q i ′ ) = 1, und es 

gibt s i , t i ∈ Z mit s i q i + t i q i ′ = 1. 

Wir zeigen zunächst die Existenz der angegebenen Schreibweise. Nach Satz 4.7(5) gibt 

es y i ∈ 〈x〉 mit o(y i ) = q i . Setze y = y 1 · · · y n . Nach Satz 4.7(3) ist dann y t i q′ i = 

∏ 

j≠i yt i q′ i 

j 

y 1−siqi 

i 

= y i . Damit ist o(y i ) Teiler von o(y) für jeden Index i, also o(x) Teiler 

von o(y). Es folgt 〈y〉 = 〈x〉. Schreibe x = y r mit r ∈ Z und setze x i = yi r für jeden Index 

i. Dann ist x = x 1 · · · x n wie in dem Satz beschrieben. Nach dem gleichen Argument wie 

eben gilt x i = x t i q′ i . 

Zur Eindeutigkeit gehen wir nun aus von x = z 1 · · · z n mit p i -Elementen z i von denen je 

zwei miteinander kommutieren. Dann ist, wie gewünscht, z i = x t i q′ i = xi für alle Indizes 

i. □ 

Ich möchte darauf hinweisen, dass in der gegebenen Darstellung von x das Element x i der 

p i -Anteil von x heißt, und etwa x 2 · · · x n der p ′ 1-Anteil von x. (Der Begriff des p-Anteils 

und des p ′ -Anteils eines Gruppenelementes spielt auch in der modularen Darstellungstheorie 

eine wichtige Rolle.) 

Satz 5.7. Es sei G eine abelsche Gruppe, und p 1 , . . . , p n die verschiedenen Primteiler von 

|G|. Dann ist G(p i ) eine p i -Gruppe, und es gilt G = G(p 1 ) × · · · × G(p n ). 

Beweis. Es sei i ein Index, 1 ≤ i ≤ n. Nach Feststellung 5.3 ist G(p i ) eine Gruppe, nach 

Folgerung 5.5 sogar eine p i -Gruppe. Nun ist, mit G i = G(p i ), nach Satz 5.6 das Kriterium 

in Satz 5.1(3) erfüllt, und der Satz ist bewiesen. 

□ 

Die in dem Satz gegebene Produktdarstellung ist die Zerlegung einer abelschen Gruppe in 

ihre sogenannten primären Komponenten. Später nennen wir die G(p i ) auch die Sylowuntergruppen 

von G. Es verbleibt noch zu klären, inwiefern die Darstellung der G(p i ) als 

Produkt zyklischer Gruppen (Folgerung 5.5) eindeutig ist. (Falls G(p i ) zyklisch ist, ist das 

klar.) 

Wir schreiben C n für ‘die’ zyklische Gruppe der Ordnung n. Für eine p-Gruppe G definieren 

wir Ω(G) = 〈x ∈ G | x p = 1〉.


Satz 5.8. Es sei G eine abelsche p-Gruppe. Dann ist G ∼ = C p e 1 ×C p e 2 ×· · ·×C p en (n ≥ 2 

falls G nicht zyklisch) mit e 1 ≥ e 2 ≥ · · · ≥ e n ≥ 1. Die Anzahl n der Faktoren und die 

Sequenz (e 1 , e 2 , . . . , e n ) ist dabei von G eindeutig bestimmt. 

Beweis. Nach Folgerung 5.5 ist nur noch die Eindeutigkeitsaussage zu zeigen. Wieder einmal 

zeigen wir dies durch Induktion nach der Ordnung von G. Wir dürfen G ∼ = C p e 1 × 

C p e 2 × · · · × C p en mit e i ∈ N annehmen. Daraus folgt |Ω(G)| = p n , so dass die Anzahl 

n der Faktoren in einer solchen Darstellung durch G eindeutig bestimmt ist. Es ist 

G/Ω(G) ∼ = C p e 1 −1 × C p e 2 −1 × · · · × C p en−1, und nach Induktionsvoraussetzung ist in dieser 

Darstellung sowohl die Anzahl der nichttrivialen Faktoren als auch deren Ordnungen 

(mehrfach auftretende Ordnungen mitgezählt) bestimmt. Daraus ergibt sich die Behauptung 

des Satzes. 

□ 

Es sei angemerkt, dass die Zahlen p ei die Elementarteiler der Gruppe G heißen. 

Die Struktur abelscher Gruppen ist mit den Sätzen 5.7 und 5.8 vollständig geklärt. 

Der Exponent einer (endlichen) Gruppe ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Ordnungen 

der Elemente von G. Eine elementarabelsche p-Gruppe ist eine abelsche p- 

Gruppe mit Exponent p, also G = Ω(G). Nach Satz 5.8 ist eine abelsche p-Gruppe genau 

dann elementarabelsch, wenn G direktes Produkt einer Anzahl n von Kopien von C p ist. 

Dabei wird n der Rang von G genannt. 

Feststellung 5.9. Eine Gruppe mit Exponent 2 ist abelsch. 

Beweis. Für eine Gruppe G vom Exponent 2 gilt xy = x((xy)(xy))y = xx(yx)yy = yx 

für alle x, y ∈ G. 

□ 

Die folgende Beobachtung zeigt, wie man sich Endomorphismen einer elementarabelschen 

p-Gruppe vorzustellen hat. 

Satz 5.10. Eine elementarabelsche p-Gruppe G vom Rang n ist isomorph zu einem Vektorraum 

der Dimension n über dem Primkörper F p mit p Elementen. 

Beweis. Wir fassen F p als Faktorgruppe Z/pZ auf, und wählen zu λ ∈ F p ein Element 

r(λ) aus der Nebenklasse von λ. Für x ∈ G definieren wir λ · x = x r(λ) , und bemerken, 

dass diese Definition unabhängig von der Wahl des Repräsentanten r(λ) der Nebenklasse 

ist, da x p = 1. Damit ist eine Skalarmultiplikation F p × G → G erklärt, welche 

die abelsche Gruppe G zu einem Vektorraum über F p macht. Wegen |G| = p n hat G 

Dimension n. Wir bemerken noch, sind x 1 , . . . , x n Elemente der Ordnung p in G mit 

G = 〈x 1 〉 × · · · × 〈x n 〉, dann ist {x 1 , . . . , x n } eine Basis des Vektorraums G. □ 

Insbesondere folgt, dass die Automorphismengruppe einer elementarabelschen p-Gruppe 

vom Rang n isomorph zu GL(n, p) ist. 

Wir geben noch ein Kriterium für eine abelsche Gruppe, zyklisch zu sein. 

Satz 5.11. Es sei G eine abelsche Gruppe, und p 1 , . . . , p n die verschiedenen Primteiler 

von |G|. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. 

(1) G ist zyklisch. 

(2) G besitzt genau eine Untergruppe der Ordnung p i , für alle 1 ≤ i ≤ n. 

(3) G(p i ) ist zyklisch, für alle 1 ≤ i ≤ n. 

Beweis. (1)⇒(2) folgt aus Satz 4.7(5). (2)⇒(3) folgt aus Satz 5.8. Es sei G(p i ) = 〈x i 〉 zyklisch 

für jeden Index i. Nach Satz 5.7 ist |G| = o(x 1 ) · · · o(x n ), und je zwei der Elemente 

x i kommutieren. Setze x = x 1 · · · x n . Nach Satz 5.6 folgt o(x) = o(x 1 ) · · · o(x n ) = |G|. 

Also ist G = 〈x〉, und (3)⇒(1) ist gezeigt. 

□


5.3. Automorphismen zyklischer Gruppen. Wir bestimmen die Automorphismengruppe 

einer zyklischen Gruppe. Es genügt dazu, zyklische Gruppen von Primzahlpotenzordnung 

zu betrachten, denn es gilt offensichtlich folgendes Lemma. 

Lemma 5.12. Es sei G = G 1 ×· · ·×G n ein direktes Produkt von Gruppen. Angenommen, 

jeder Automorphismus von G bildet jeden Faktor G i auf sich selbst ab. Dann gilt Aut(G) ∼ = 

Aut(G 1 ) × · · · × Aut(G n ). 

Der folgende Satz ist nur deshalb so lang geraten, weil ich die Kernaussage gleich noch etwas 

ausgeschmückt habe. Kurz gesagt, die Automorphismengruppe einer zyklischen Gruppe 

der Ordnung p n hat Ordnung p n−1 (p − 1). Sie ist zyklisch, falls p ungerade, und für 

p = 2 ist sie isomorph zu C 2 n−2 × C 2 . 

Satz 5.13. Es sei G = 〈x〉 eine zyklische Gruppe der Ordnung p n , wobei p eine Primzahl 

ist und n ∈ N. Setze A = Aut(G). Für α ∈ A ist xα = x m(α) mit einem ganzzahligen 

Exponenten m(α), prim zu p. Folgendes gilt. 

(1) Die Gruppe A ist isomorph zu der Gruppe der Einheiten des Ringes Z/p n Z vermöge 

der Abbildung α ↦→ m(α) + p n Z. Insbesondere ist A abelsch und hat Ordnung 

p n−1 (p − 1). 

(2) A hat genau eine Untergruppe P der Ordnung p n−1 und genau eine Untergruppe 

Q der Ordnung p − 1. Es gilt A = P × Q. 

(3) Q ist zyklisch. P ist der Kern des durch Einschränkung gegebenen Homomorphismus 

A → Aut(Ω(G)), α ↦→ α| Ω(G) . 

(4) Ist p ungerade, ist P zyklisch und hat einen Erzeuger β mit m(β) = 1 + p. Für 

n > 1 hat β pn−2 , mit m(β pn−2 ) = 1 + p n−1 , Ordnung p. 

(5) Ist p n = 2, dann ist A = 1. Ist p n = 4, dann ist A = 〈α〉 ∼ = C 2 mit m(α) = −1. 

(6) Ist p = 2 und p n > 4, dann ist A = 〈α〉 × 〈β〉, wobei α mit m(α) = 5 Ordnung 

2 n−2 hat, und β mit m(β) = −1 Ordnung 2 hat. Für die Involution σ in 〈α〉 gilt 

m(σ) = 1 + 2 n−1 . 

Beweis. Ich überlasse (1) als Übung. Damit folgt (2) nach Satz 5.7. Setze H = Ω(G). Es 

ist also H die Untergruppe der Ordnung p in G. Nach (1) ist Aut(H) die multiplikative 

Gruppe des Körpers Z/pZ, also zyklisch. 17 Jeder Automorphismus von G muss H auf 

sich selbst abbilden, da H die einzige Untergruppe der Ordnung p ist. Damit erhalten wir 

den Homomorphismus ρ: A → Aut(H), α ↦→ α| H . Sicher ist ρ surjektiv, so dass Kern ρ 

Ordnung |A|/(p − 1) hat, also gleich P ist. Nach dem Homomorphiesatz folgt Bild ρ ∼ = 

A/P ∼ = Q. Also ist Q zyklisch, und (3) bewiesen. Wir können also n > 1 annehmen. Es 

sei zunächst p ungerade, und β ∈ A mit m(β) = 1 + p. Es ist β ∈ Kern ρ = P . Wegen 

(1+p) pn−2 = 1+p n−1 + ( ) 

p n−2 

2 p 2 +. . . folgt (p ungerade!), dass (1+p) pn−2 ≡ 1+p n−1 ≢ 

1 mod p n . Also ist β pn−2 ≠ 1, und da |P | = p n−1 , folgt P = 〈β〉, und (4) ist bewiesen. 

Für den Rest sei also p = 2, und 2 n > 4, da (5) klar ist. Es sei α ∈ A mit m(α) = 5. 

Es ist 5 2n−3 = (1 + 2 2 ) 2n−3 = 1 + 2 n−1 + ( ) 

2 n−3 

2 2 4 + . . ., also 5 2n−3 ≢ 1 mod 2 n , 

und ebenso folgt 5 2n−2 ≡ 1 mod 2 n . Also hat α Ordnung 2 n−2 . Sicher hat β ∈ A mit 

m(α) = −1 Ordnung 2. Wegen 5 ≡ 1 mod 4 ist natürlich 5 i ≢ −1 mod 2 n für i ∈ N, 

so dass 〈α〉 ∩ 〈β〉 = 1 und A = 〈α〉 × 〈β〉 folgt. Der Satz ist bewiesen. 

□ 

17 Wer hier diese Tatsache nicht benutzen will, kann ähnlich wie im Beweis von Lemma 11.4 argumentieren, 

siehe [34, 2.2.4].


6. PERMUTATIONSDARSTELLUNGEN 

Gruppen sind hauptsächlich deshalb von Interesse, weil sie auf verschiedensten Konstrukten 

operieren, und damit deren Untersuchung erleichtern. Hier wollen wir Operationen von 

Gruppen auf Mengen, also Permutationsdarstellungen von Gruppen betrachten, mit dem 

Ziel, Informationen über die Gruppen selbst zu gewinnen. Mehr erfahren kann man dazu 

etwa aus den Büchlein von Wielandt [70] und Passman [48] über Permutationsgruppen, 

die ich zu den ‘Klassikern’ zähle. 

Der Begriff der transitiven Permutationsdarstellung ist hier wesentlich. Die transitiven 

Darstellungen sind gewissermaßen die unzerlegbaren Objekte. Es wird sich herausstellen, 

dass jede transitive Darstellung einer Gruppe G äquivalent ist zu einer Darstellung durch 

Rechtsmultiplikation auf den (Rechts-)nebenklassen einer Untergruppe von G. Untersuchungen 

der Permutationsdarstellungen von G beleuchten also die Untergruppenstruktur 

von G. 

Wir beginnen mit grundlegenden Begriffen und einigen einfachen Feststellungen. Dann 

beweisen wir den Satz von Sylow. Dieser Satz ist eines der wichtigsten Ergebnisse in der 

Theorie der endlichen Gruppen. Er ist auch der erste Satz über die lokale Theorie der 

endlichen Gruppen. Die lokale Theorie untersucht eine endliche Gruppe durch Blick auf 

deren p-Untergruppen und den Normalisatoren dieser p-Untergruppen. 

Nachdem wir dann im wesentlichen Konjugationsoperationen betrachtet haben, kehren wir 

zum Konzept der transitiven Permutationsdarstellung zurück und geben allgemeine Sätze 

über (im-)primitive Operationen. Beispielsweise zeigen wir in § 15 mit Hilfe solcher Sätze, 

dass die projektiven linearen Gruppen PSL(2, q) für q > 3 einfache Gruppen sind. Hier 

zeigen wir die Einfachheit der alternierenden Gruppen A n , n ≥ 5. 

6.1. Gruppenoperationen. Es sei G eine Gruppe, und Ω eine nichtleere endliche Menge. 

(Die Endlichkeit von Ω, und auch die von G, wird nicht an jeder Stelle benötigt.) 

Definition 6.1. Eine Operation von G auf Ω ist eine Abbildung Ω × G → Ω, welche 

folgenden zwei Bedingungen genügt. Wir schreiben dabei stets s x für das Bild eines Paars 

(s, x) unter der Abbildung. 

(O 1 ) (s x ) y = s xy für alle s ∈ Ω und x, y ∈ G. 

(O 2 ) s 1 = s für alle s ∈ Ω. 

Wir geben sofort eine konzeptionellere Beschreibung von Gruppenoperation. Dazu sei mit 

Sym(Ω) die Menge der Bijektionen auf Ω bezeichnet, aufgefasst als Gruppe mit Komposition 

als Verknüpfung (also ist Sym(Ω) die symmetrische Gruppe auf Ω). 

Es operiere G auf Ω. Dann ist für x ∈ G die Abbildung ϕ x : Ω → Ω mit s ↦→ s x eine 

Permutation auf Ω, mit inverser Abbildung ϕ x −1. Weiterhin ist die Abbildung ϕ: G → 

Sym(Ω) mit x ↦→ ϕ x ein Gruppenhomomorphismus (Komposition ϕ x ϕ y ist dabei zu lesen 

als “erst ϕ x , dann ϕ y ”). (Ich habe nicht hervorgehoben, an welchen Stellen hierfür (O 1 ) 

oder (O 2 ) zu verwenden ist.) Umgekehrt liefert ein Gruppenhomomorphismus ϕ: G → 

Sym(Ω), x ↦→ ϕ x , eine Operation von G auf Ω vermöge der Festsetzung s x = sϕ x . 

Definiert haben wir genauer eine Rechtsoperation. Es ist klar, wie Linksoperation zu definieren 

ist. 

Die exponentielle Schreibweise für eine Gruppenoperation suggeriert gleich eine spezielle 

Operation, die wir schon kennengelernt haben, nämlich die Operation der Gruppe G 

auf sich selbst durch Konjugation, also G × G → G, (y, x) ↦→ y x . Allgemeiner kann 

man die Gruppe G durch Konjugation auf der Menge ihrer Teilmengen durch Konjugation 

operieren lassen.


‘Das’ Beispiel einer Operation der Gruppe G auf einer Menge ist jedoch die Operation 

auf den Rechtsnebenklassen einer Untergruppe U von G durch Rechtsmultiplikation, also 

G/U × G → G/U, (Uy, x) ↦→ Uyx (siehe § 6.3). 

Wählt man in diesem Beispiel speziell U = 1, liefert dies einen Gruppenhomomorphismus 

ϕ: G → Sym(G), welcher offensichtlich injektiv ist. Das ist der Satz von Cayley: 18 Jede 

Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe. 

Ist eine Operation von G auf Ω gegeben, können wir daraus eine Operation von G auf der 

Menge P der Teilmengen von Ω ableiten, nämlich α: G → Sym(P) mit xα: T ↦→ T x für 

alle x ∈ G und T ∈ P. 

Bezüglich Gruppenoperationen definieren wir einige grundlegende Begriffe. 

Definition 6.2. Die Bezeichnungen seien wie oben. 

(1) Die Operation von G auf Ω heißt treu, falls ϕ trivialen Kern hat. Man sagt dann 

auch, G operiert treu auf Ω, und nennt G eine Permutationsgruppe. Andererseits 

sagt man, dass G trivial auf Ω operiert, falls der Kern von ϕ ganz G ist (also 

s x = s für alle s ∈ Ω und x ∈ G gilt). 

(2) Auf Ω ist eine Äquivalenzrelation ∼ erklärt durch s ∼ t, falls es x ∈ G gibt 

mit s x = t. Die Äquivalenzklassen heißen Bahnen. Die Bahn von s ∈ Ω ist 

s G = {s x | x ∈ G}. Ihre Länge ist die Anzahl |s G | ihrer Elemente. 

(3) G operiert transitiv auf Ω, falls Ω eine Bahn bildet. 

(4) Ein Element s von Ω heißt Fixpunkt unter der Operation von G, falls s x = s für 

alle x ∈ G gilt. Seien T ⊆ Ω und U ≤ G. Der Stabilisator von T in U ist die 

Untergruppe U T = {x ∈ U | T x = T }. Für t ∈ T schreibt man U t = U {t} . 

Es ist G t der Punktstabilisator von t. Gebräuchlich ist auch, vom Normalisator 

zu reden, N U (T ) = U T . Die Fixpunktmenge von U auf T ist C T (U) = {t ∈ 

T | U ⊆ G t } = {t ∈ T | t x = t für alle x ∈ U}. Es ist C U (T ) = {x ∈ U | 

t x = t für alle t ∈ T } der Zentralisator von T in U. Für t ∈ T schreibt man 

C U (t) = C U ({t}). 

Wir bemerken, dass für T ⊆ Ω der Normalisator N G (T ) durch Einschränkung auf T 

operiert, dass heißt, man hat einen Homomorphimus N G (T ) → Sym(T ), dessen Kern 

C G (T ) ist. 

Stets sei eine Operation Ω × G → Ω gegeben. Zur Übung und zur weiteren Verwendung 

beginnen wir mit zwei einfachen Beobachtungen. 

Feststellung 6.3. Für T ⊆ Ω, U ≤ G und x ∈ G gilt N U (T ) x = N U x(T x ) und 

C U (T ) x = C U x(T x ). 

Beweis. Es gilt u ∈ N U (T ) genau dann, wenn t u ∈ T für alle t ∈ T gilt, also (t x ) ux = 

t xx−1ux = t ux ∈ T x für alle t ∈ T gilt, was u x ∈ N U x(T x ) bedeutet. Also ist N U (T ) x = 

N U x(T x ). Wegen C U (T ) = ⋂ t∈T N U({t}) folgt damit die zweite Aussage. □ 

Insbesondere sind die Punktstabilisatoren zweier Elemente einer Bahn zueinander konjugiert. 

Falls G transitiv auf Ω operiert, und H = G s für ein s ∈ Ω gesetzt ist, gilt also für 

den Kern der Operation 

Kern ϕ = ⋂ G t = ⋂ 

H x . 

t∈Ω 

x∈G 

Ich weiße für Fixpunktmengen auf die entsprechende Aussage hin. 

18 Zur Person siehe etwa Wikipedia-Eintrag [74]. Cayley wird zugeschrieben, 1854 als erster den abstrakten 

Gruppenbegriff eingeführt zu haben.


Feststellung 6.4. Für T ⊆ Ω, U ≤ G und x ∈ G gilt C T (U) x = C T x(U x ). 

Beweis. Es gilt t ∈ C T (U) genau dann, wenn t u = t für alle u ∈ U gilt, also t x = t ux = 

t xx−1ux = (t x ) ux für alle u ∈ U gilt, was t x ∈ C T x(U x ) bedeutet. 

□ 

Insbesondere gilt für N G, dass G auf den Fixpunkten C Ω (N) unter der Operation von 

N operiert (ebenfalls durch Einschränkung). Allgemeiner gilt für U ≤ G, dass N G (U) auf 

C Ω (U) operiert. 

Die folgende wichtige Tatsache werden wir zum Beispiel in § 10 beim Beweis des Satzes 

von Schur–Zassenhaus verwenden. 

Feststellung 6.5. Sei s ∈ Ω. Operiert eine Untergruppe H von G transitiv auf Ω, so gilt 

G = G s H. Falls weiter H s = 1, ist G s ∩ H = 1. 

Beweis. Sei x ∈ G. Wegen der transitiven Operation von H gibt es dann y ∈ H mit 

s x = s y , also s xy−1 = s, und es folgt x = (xy −1 )y ∈ G s H. Der Zusatz ist klar. □ 

Feststellung 6.6. Für die Länge der Bahn von s ∈ Ω gilt |s G | = |G : C G (s)|. 

Beweis. Setze U = C G (s). Die Abbildung β : Ω ′ = {Ux | x ∈ G} → s G mit Ux ↦→ s x 

ist wohldefiniert und surjektiv. Gilt s x = s y für x, y ∈ G, dann ist s xy−1 = s, dass heißt, 

xy −1 ∈ U und Ux = Uy. Dies zeigt, dass die Abbildung auch injektiv ist. 

□ 

Wir bemerken, dass Ω \ C Ω (G) die Vereinigung aller Bahnen der Länge > 1 von G auf Ω 

ist, und erhalten damit für die Operation von p-Gruppen eine oft zu gebrauchende Kongruenz. 

Feststellung 6.7. Sei G eine p-Gruppe. Dann ist |Ω| ≡ |C Ω (G)| mod p. 

Beweis. Für s ∈ Ω ist |s G | = |G : C G (s)| nach Feststellung 6.6. Falls s /∈ C Ω (G), ist 

C G (s) eine echte Untergruppe von G, also p ein Teiler von |G : C G (s)| nach dem Satz 

von Lagrange (Satz 4.2), so dass die Behauptung aus der vorausgegangenen Bemerkung 

folgt. 

□ 

Die wohl häufigste Situation, in der diese Beobachtung zur Anwendung kommt, ist wenn 

|Ω| ≡ 0 mod p ist, und es einen offensichtlichen Fixpunkt unter der Operation von G 

gibt; die Schlußfolgerung ist dann, dass es noch einen weiteren Fixpunkt gibt. 

Für x ∈ G heißt die Menge der in G zu x konjugierten Elemente die Konjugiertenklasse 

von x. Wir schreiben x G für die Konjugiertenklasse von x in G. Die Gruppe G operiert auf 

sich selbst durch Konjugation; dabei sind die Konjugiertenklassen von G die Bahnen unter 

der Operation. Es ist x G = {x} genau dann, wenn x mit jedem Element aus G vertauscht, 

und dann heißt x zentral in G. Die zentralen Elemente in G bilden eine Untergruppe von 

G, das Zentrum von G, welches mit Z(G) bezeichnet wird. Wir erhalten also, in Analogie 

zur letzten Feststellung, die sogenannte Klassengleichung. 

Folgerung 6.8 (Klassengleichung). Seien K 1 , . . . , K l die Konjugiertenklassen von G, die 

nicht einelementig sind, und sei x i ∈ K i (1 ≤ i ≤ l). Dann gilt 

l∑ 

|G| = |Z(G)| + |G : C G (x i )|. 

Wir halten zwei zentrale Aussagen über p-Gruppen fest, welche aus Feststellung 6.7 folgen 

(vgl. mit Definition 9.2 und Satz 9.8). 

i=1


Folgerung 6.9. Ist U eine p-Untergruppe der Gruppe G und p ein Teiler von |G : U|, 

dann gilt U < N G (U). 

Beweis. Es operiert U auf der Menge Ω der Rechtsnebenklassen von U in G durch Rechtsmultiplikation. 

Nach Voraussetzung ist |Ω| ≡ 0 mod p. Weiterhin ist U ∈ C Ω (U). Damit 

gibt es nach Feststellung 6.7 ein x ∈ G mit Ux ≠ U und Ux ∈ C Ω (U). Dies bedeutet 

x /∈ U und UxU = Ux, also x ∈ N G (U). 

□ 

Folgerung 6.10. Ist G eine p-Gruppe und N ein Normalteiler von G, dann ist mit N ≠ 1 

auch N ∩ Z(G) ≠ 1. Insbesondere gilt Z(G) ≠ 1, falls G ≠ 1. 

Beweis. Setze Ω = N ≠ 1. Es operiert G auf Ω durch Konjugation. Dabei ist C Ω (G) = 

N ∩ Z(G). Es ist |Ω| eine Potenz von p und es ist 1 ∈ C Ω (G). Nach Feststellung 6.7 ist 

also |C Ω (G)| > 1. Der Zusatz folgt, indem man N = G setzt. 

□ 

6.2. Der Satz von Sylow. Der folgende Satz, ein Vorläufer des Satzes von Sylow, wurde 

von Cauchy 19 bewiesen, siehe [12, Nr. 304, S. 358]. 

Satz 6.11 (Cauchy (1845)). Teilt die Primzahl p die Ordnung der Gruppe G, so besitzt G 

ein Element der Ordnung p. 

Beweis. (Nach J. H. McKay.) Sei Ω = {(x 1 , . . . , x p ) | x i ∈ G mit x 1 x 2 · · · x p = 1}. 

Die Elemente (x 1 , . . . , x p ) von Ω erhält man, indem man die ersten p − 1 Einträge des 

geordneten Tupels frei aus G wählt, wonach der letzte Eintrag eindeutig bestimmt ist. 

Es ist also |Ω| = |G| p−1 ≡ 0 mod p. Es sei A eine zyklische Gruppe der Ordnung p, 

mit erzeugendem Element a. Wir lassen A auf Ω durch zyklisches Vertauschen operieren, 

(x 1 , x 2 , . . . , x p ) a = (x 2 , . . . , x p , x 1 ). Dies ist möglich, den aus x 1 x 2 · · · x p = 1 folgt 

durch Konjugation mit x 1 , dass auch x 2 · · · x p x 1 = 1 ist. 

Nun gilt |Ω| ≡ |C Ω (A)| mod p nach Feststellung 6.6. Also wird |C Ω (A)| von p geteilt. Es 

ist (1, 1, . . . , 1) ∈ C Ω (A) ≠ ∅. Für (x 1 , x 2 , . . . , x p ) ∈ C Ω (A) gilt x 1 = x 2 = . . . = x p , 

also x p 1 = 1, und nach den vorangegangenen Überlegungen kann hierbei x 1 ≠ 1 gewählt 

werden, so dass x 1 Ordnung p hat. 

□ 

Es sei p eine Primzahl. Eine p-Untergruppe der Gruppe G, welche in keiner größeren 

p-Untergruppe von G enthalten ist, heißt p-Sylowuntergruppe von G. Wir definieren 

p-Sylowuntergruppen also als maximale Elemente der durch teilweise Inklusion geordneten 

Menge aller p-Untergruppen von G. Wir schreiben Syl p (G) für die Menge der 

p-Sylowuntergruppen von G. Es ist stets Syl p (G) ≠ ∅. Diese Untergruppen sind nach 

Sylow 20 benannt, der den folgenden Satz in [63] bewies. 

Satz 6.12 (Satz von Sylow (1872)). Sei p a die grösste p-Potenz, die die Ordnung der 

Gruppe G teilt. Dann gilt folgendes. 

(1) Die p-Sylowuntergruppen von G sind genau die Untergruppen der Ordnung p a 

von G. 

(2) Die p-Sylowuntergruppen von G sind in G zueinander konjugiert. Insbesondere 

gilt |Syl p (G)| = |G : N G (P )| für P ∈ Syl p (G). 

(3) |Syl p (G)| ≡ 1 mod p. 

Beweis. Sei P ∈ Syl p (G), und U = N G (P ) gesetzt. Dann gilt folgendes. 

(a) Ist x ein p-Element in U, gilt x ∈ P . 


20 Biographie bei MacTutor [47].


(b) p ∤ |U/P |. 

(c) Unter der Operation von P durch Rechtsmultiplikation auf den Rechtsnebenklassen 

von U in G ist U der einzige Fixpunkt. 

Zu (a) bemerken wir, dass 〈x〉P eine Gruppe ist, nach Lemma 4.9 (dem Zähl-Argument) 

sogar eine p-Gruppe, so dass x ∈ P wegen der Maximalität von P folgt. Für (b) sei x ∈ U 

mit P x ein p-Element in U/P . Dann ist x ein p-Element in U, also x ∈ P nach (a). Also 

gilt (b) nach dem Satz von Cauchy. Für (c) sei x ∈ G mit Ux ein Fixpunkt unter der 

angegebenen Operation von P . Dann ist UxP = Ux, dass heißt, xP x −1 ⊆ U. Da xP x −1 

aus p-Elementen besteht, folgt xP x −1 ⊆ P nach (a), also x ∈ N G (P ) = U. Nach dieser 

Vorarbeit schreiten wir zum eigentlichen Beweis. Es gilt 

(6.1) 

(6.2) 

|U : P | ≢ 0 mod p, 

|G : U| ≡ 1 mod p, 

wobei ersteres (b) ist, und die zweite Aussage aus (c) und Feststellung 6.7 folgt. Es sei 

S ∈ Syl p (G). Die Gruppe S operiert durch Rechtsmultiplikation auf den Rechtsnebenklassen 

von U in G, und nach (6.2) und Feststellung 6.7 gibt es einen Fixpunkt unter 

dieser Operation, also x ∈ G mit UxS = Ux. Es folgt xSx −1 ⊆ U und xSx −1 ⊆ P 

nach (a). Also ist S ⊆ P x , und S = P x wegen der Maximalität von S. Damit folgt (2) mit 

Feststellung 6.6, und mit (6.2) folgt (3). 

Nach dem Satz von Lagrange gilt |G| = |G : U||U| = |G : U||U : P ||P |, und |G : U| ist 

nach (6.2), und |U : P | nach (6.1) nicht durch p teilbar. Dies beweist (1). 

□ 

Halten wir ein paar Folgerungen fest. 

Satz 6.13. Sei p i , i ∈ N, eine Potenz von p die |G| teilt. Dann hat G eine Untergruppe der 

Ordnung p i . 

Beweis. Nach dem Satz von Sylow können wir annehmen, dass G eine nichttriviale p- 

Gruppe ist. Dann ist Z(G) ≠ 1 nach Folgerung 6.10. Es sei x ein Element der Ordnung 

p in Z(G). Dann ist 〈x〉 G, und per Induktion nach |G| können wir annehmen, dass 

G/〈x〉 eine Untergruppe der Ordnung p i−1 hat. Deren volles Urbild unter dem natürlichen 

Homomorphismus G → G/〈x〉 ist dann eine Untergruppe von G der Ordnung p i . □ 

Satz 6.14. Ist N G und P ∈ Syl p (G), gilt P ∩ N ∈ Syl p (N). 

Beweis. Sei S ∈ Syl p (N). Nach dem Satz von Sylow gibt es x ∈ G mit S x ≤ P . Auch gilt 

S x ≤ N x = N, also liegt S x in der p-Untergruppe P ∩N von N. Damit gilt |S| ≤ |P ∩N| 

und P ∩ N ∈ Syl p (N) nach dem Satz von Sylow. 

□ 

Satz 6.15. Ist N G und P ∈ Syl p (G), ist P N/N ∈ Syl p (G/N). 

Beweis. Es ist |G/N : P N/N| = |G : P N|, und p ∤ |G : P N| nach dem Satz von 

Sylow. 

□ 

Wir halten auch noch folgende Tatsache fest. 

Satz 6.16. Ist U eine p-Untergruppe von G, aber keine p-Sylowuntergruppe von G, dann 

ist U in jeder p-Sylowuntergruppe von N G (U) echt enthalten. 

Beweis. Wir stellen zunächst fest, dass U in jeder p-Sylowuntergruppe von N G (U) enthalten 

ist. Denn ist Q ∈ Syl p (N G (U)), ist die Gruppe QU nach Lemma 4.9 eine p-Gruppe, 

also Q = QU und U ≤ Q.


Nach Voraussetzung gibt es P ∈ Syl p (G) mit U 

G = P ) folgt U < N P (U) ≤ N G (U), so dass U keine p-Sylowuntergruppe von N G (U) 

ist. 

□ 

Frattini 21 bewies in seiner Arbeit [16] die Nilpotenz einer Untergruppe, die heute Frattiniuntergruppe 

genannt wird (siehe § 9). Dabei entwickelte er eine Methode, die heute als 

Frattini-Argument bekannt und unverzichtbar ist. 

Lemma 6.17 (Frattini-Argument). Ist N G und P ∈ Syl p (N), dann gilt G = N G (P )N. 

Beweis. Für x ∈ G gilt P x ⊆ N x = N da N G. Also ist P x ∈ Syl p (N), und nach 

dem Satz von Sylow gibt es y ∈ N mit P x = P y . Es folgt xy −1 ∈ N G (P ), und wegen 

x = (xy −1 )y die Aussage. 

□ 

Dies ist tatsächlich ein Spezialfall des folgenden Lemmas, dessen Beweis sinngemäß der 

gleiche ist. 

Lemma 6.18 (Frattini-Argument). Ist N G und X eine Teilmenge von N, dann gilt 

G = N G (X)N genau dann, wenn X G = X N gilt. 

6.3. Operation auf Nebenklassen. Wir überzeugen uns zunächst, dass eine transitive 

Permutationsdarstellung der Gruppe G die Permutationsdarstellung von G auf den Nebenklassen 

eines Punktstabilisators ist, jedenfalls bis auf Äquivalenz. 

Dabei sollte klar sein, was unter Äquivalenz zu verstehen ist: wir wollen den Begriff der 

Permutationsdarstellung nicht länger an der gegebenen Menge Ω festmachen. Genauer, ist 

β : Ω ′ → Ω eine Bijektion zweier Mengen, induziert diese einen Gruppenisomorphismus 

ˆβ : Sym(Ω ′ ) → Sym(Ω) mit π ↦→ β −1 πβ. Wir nennen zwei Permutationsdarstellungen 

ϕ: G → Sym(Ω) und ϕ ′ : G → Sym(Ω ′ ) äquivalent, falls es eine Bijektion β : Ω ′ → Ω 

gibt mit ϕ = ϕ ′ ˆβ. Anders formuliert, es soll β(s ′ ) x = β(s ′ x ) für alle s ′ ∈ Ω ′ und alle 

x ∈ G gelten. Halten wir fest, dass sich daraus insbesondere die Gleichheit G β(s′ ) = G s ′ 

von Punktstabilisatoren ergibt. Die Bijektion β aus dem Beweis von Feststellung 6.6 ist 

offenbar mit der Gruppenoperation verträglich, was wir nun festhalten. 

Feststellung 6.19. Es sei ϕ: G → Sym(Ω), x ↦→ ϕ x , eine transitive Permutationsdarstellung, 

und s ∈ Ω sowie U = G s = C G (s). Es sei ϕ ′ : G → Sym(G/U), y ↦→ 

(ϕ ′ y : Ux ↦→ Uxy), die Permutationsdarstellung von G auf den Nebenklassen von U. Dann 

ist β : G/U → Ω mit Ux ↦→ sϕ x eine wohldefinierte Bijektion mit ϕ = ϕ ′ ˆβ. Also sind ϕ 

und ϕ ′ äquivalent. 

Äquivalenz transitiver Permutationsdarstellungen ist wiefolgt charakterisiert. 

Feststellung 6.20. Es sind zwei transitive Permutationsdarstellungen ϕ: G → Sym(Ω) 

und ϕ ′ : G → Sym(Ω ′ ) genau dann äquivalent, wenn mit s ∈ Ω und s ′ ∈ Ω ′ gilt, dass die 

Punktstabilisatoren G s und G s ′ in G zueinander konjugiert sind. 

Beweis. Wir können annehmen, dass ϕ bzw. ϕ ′ die Operation auf den Nebenklassen von 

G s bzw. G s ′ ist. Ist G s = G x s ′ für ein x ∈ G, vermittelt Linksmultiplikation mit x eine Bijektion 

β zwischen den Nebenklassen von G s und denen von G s ′, mit deren Hilfe ϕ und ϕ ′ 

als äquivalent erkannt werden. Umgekehrt, vermittelt eine Bijektion β : G/G s ′ → G/G s 

eine Äquivalenz der Darstellungen, gilt, wie bereits festgestellt, G β(s′ ) = G s ′, und wegen 

der transitiven Operation von G auf G/G s sind nach Feststellung 6.3 je zwei Punktstabilisatoren 

bezüglich dieser Operation konjugiert. 

□ 



Die nächste Feststellung zeigt, dass man sich bei Untersuchungen über Permutationsdarstellungen 

auf Untersuchungen transitiver Darstellungen beschränken kann. Ich lasse den 

einfachen Beweis weg. 

Feststellung 6.21. Ist ϕ: G → Sym(Ω) eine Permutationsdarstellung, kann man die Operation 

auf jede der Bahnen Ω i , i ∈ I, einschränken und erhält so Permutationsdarstellungen 

G → Sym(Ω i ). Diese sind, bis auf Reihenfolge und Äquivalenz, durch die Klasse 

der zu ϕ äquivalenten Darstellungen bestimmt. 

Nach Feststellung 6.19 sind die transitiven Permutationsdarstellungen einer Gruppe durch 

deren Untergruppenstruktur bestimmt. Die transitiven Darstellungen spielen die Rolle der 

‘unzerlegbaren’ Permutationsdarstellungen. 

6.4. Primitive Operation. Weiterhin operiere G auf der Menge Ω. Es sei Q eine Partition 

von Ω. Wir sagen, Q ist G-invariant, falls G die Mitglieder von Q permutiert. Man mag 

Q als Teilmenge der Potenzmenge P von Ω betrachten, und G auf P operieren lassen (wie 

wir in § 6.1 bemerkt haben). Dann ist Q G-invariant, falls bezüglich dieser Operation G 

die Teilmenge Q von P normalisiert. Insbesondere können wir vermerken, dass wir eine 

natürliche Permutationsdarstellung von G auf Q haben, falls Q G-invariant ist. Die Partition 

Q heißt nichttrivial, falls Q ≠ {{s} | s ∈ Ω} und Q ≠ {Ω}. Operiert G transitiv auf Ω, 

dann heißt die Operation von G auf Ω imprimitiv, 22 falls es eine G-invariante nichttriviale 

Partition Q von Ω gibt. In diesem Fall heißt ein Mitglied von Q ein Imprimitivitätsgebiet 

für G auf Ω (auch: Block), und ich nenne Q selbst ein Imprimitivitätssystem. Andernfalls 

heißt die Operation primitiv. 

Folgende Feststellung klärt den Zusammenhang zwischen (im-)primitiver Operation und 

Untergruppen. 

Feststellung 6.22. Es sei G transitiv auf Ω und s ∈ Ω. Dann gilt das folgende. 

(1) Ist Q ein Imprimitivitätssystem für G auf Ω und s ∈ T ∈ Q, dann ist G transitiv 

auf Q, es ist G T transitiv auf T , und es ist G s < G T < G. Weiterhin ist |Ω| = 

|T ||Q|, |Q| = |G : G T | und |T | = |G T ||G s |. 

(2) Ist G s < H < G, dann ist Q = {sHx | x ∈ G} ein Imprimitivitätssystem für G 

auf Ω mit H = G sH . 

Ich bemerke nur, dass in (1) der Stabilisator G T echt zwischen G s und G liegt, da Q eine 

nichttriviale Partition ist. 

Also ist primitive Operation wiefolgt charakterisiert. 

Feststellung 6.23. Es sei G transitiv auf Ω und s ∈ Ω. Dann ist G genau dann primitiv 

auf Ω, wenn G s eine maximale Untergruppe von G ist. 

Es sei G imprimitiv auf Ω und s ∈ Ω. Dann gibt es eine Kette G s = H 0 < H 1 < . . . < 

H n = G mit H i maximal in H i+1 . Die Operation von H i+1 auf den Nebenklassen von H i 

in H i+1 ist primitiv. Es steht also eine Familie von primitiven Darstellungen zur Verfügung, 

welche zur Untersuchung der Darstellung von G auf Ω genutzt werden kann. Unter diesem 

Gesichtspunkt spielen die primitiven Darstellungen die Rolle der ‘irreduziblen’ Permutationsdarstellungen. 

Satz 6.24. Es operiere G primitiv auf Ω, und es sei N ein Normalteiler von G, welcher 

nicht im Kern der Operation liegt. Dann ist N transitiv auf Ω, also G = G s N für s ∈ Ω. 

22 Wie in [41, I A 6, § 6] ausgeführt, scheint dieser Begriff erstmals in [42, § 70] vorzukommen.


Beweis. Sei s ∈ Ω. Nach Feststellung 6.23 ist G s eine maximale Untergruppe von G. Also 

gilt G s N = G s oder G s N = G. Im ersten Fall ist N ≤ G s , womit N in ⋂ x∈G Gx s liegt, 

dem Kern der Operation, im Widerspruch zur Voraussetzung. Also ist G s N = G und N 

ist transitiv auf Ω. 

□ 

Das kann man aber auch anders beweisen, und dabei sogar mehr zeigen. 

Satz 6.25. Es operiere G transitiv auf Ω, und es sei N ein Normalteiler von G, welcher 

nicht im Kern der Operation liegt. Operiert N nicht transitiv auf Ω, dann bilden die Bahnen 

von N auf Ω unter G permutierte Imprimitivitätsgebiete. 

Beweis. Sei s ∈ Ω und x ∈ G. Dann ist (s N ) x = s Nx = s xx−1Nx = (s x ) N , dass heißt, 

G permutiert die Bahnen von N auf Ω transitiv. Es ist |s N | > 1 da N nicht im Kern der 

Operation liegt, und s N ⊂ Ω. Also ist s N ein Imprimitivitätsgebiet. 

□ 

Wir sagen, dass G n-transitiv auf Ω operiert, wobei n eine natürliche Zahl ist, falls G 

transitiv auf der Menge der n-Tupel mit paarweise verschiedenen Einträgen aus Ω operiert 

(beachte, G operiert auf dieser Menge). Natürlich operiert G dann auch m-transitiv auf Ω 

für m ≤ n. Transitivität ist 1-Transitivität. Operiert G n-transitiv auf Ω mit n > 1, so 

sagen wir, dass G mehrfach transitiv auf Ω operiert. 

Beispiel 6.26. Es sei n ≥ 3, und Ω = {1, 2, . . . , n}. Die symmetrische Gruppe S n operiert 

n-transitiv auf Ω, und die alternierende Gruppe A n operiert (n − 2)-transitiv auf Ω. 

Beweis. Sicher operiert S n n-transitiv. Das Tupel (1, 2, . . . , n − 2) kann mit einem Element 

σ ∈ S n auf irgendein anderes Tupel mit paarweise verschiedenen Einträgen aus Ω 

abgebildet werden. Ist σ ungerade, erfüllt die gerade Permutation (n − 1, n)σ den gleichen 

Zweck. 

□ 

Feststellung 6.27. Operiert G 2-transitiv auf Ω, dann operiert G primitiv auf Ω. 

Beweis. Die Gruppe G operiere imprimitiv auf Ω, und es sei Q ein Imprimitivitätssystem 

für G auf Ω. Es sei T ∈ Q. Dann ist |T | > 1 und es gibt x ∈ G mit T ∩ T x = ∅, denn 

Q ist nichttriviale Partition von Ω. Wähle s, t ∈ T mit s ≠ t. Dann ist s ≠ t x , und es gibt 

es kein y ∈ G mit s y = s und t y = t x , denn andernfalls wäre wegen s ∈ T ∩ T y und 

t y ∈ T y ∩ T x ja T = T y = T x . Also operiert G nicht 2-transitiv auf Ω. 

□ 

6.5. Reguläre Operation. Die Gruppe G operiert regulär auf Ω, falls G transitiv auf Ω 

operiert und G s = 1 für ein (und damit für alle) s ∈ Ω gilt. Operiert G regulär, dann 

ist die Operation äquivalent zu der Permutationsdarstellung von G auf sich selbst durch 

Rechtsmultiplikation (reguläre Darstellung). Ein regulärer Normalteiler von G ist ein 

Normalteiler von G, welcher regulär auf Ω operiert. 

Feststellung 6.28. Es sei G transitiv auf Ω, s ∈ Ω und H ≤ G. Dann operiert H regulär 

auf Ω genau dann, wenn G = G s H und G s ∩ H = 1 gilt. 

Beweis. Operiert H regulär, operiert H transitiv auf Ω und es gilt G s ∩ H = 1, so dass für 

eine Richtung Feststellung 6.5 zutrifft. Umgekehrt, ist G = G s H, operiert mit G auch H 

transitiv, und aus G s ∩ H = 1 folgt H s = 1. 

□ 

Also erhält man die regulären Normalteiler folgendermaßen. Für einen Normalteiler N von 

G ist ein Komplement zu N in G eine Untergruppe K von G mit G = KN und N ∩ K = 

1. Ist N ein Normalteiler von G mit einem Komplement K in G, dann ist N bezüglich der 

Operation von G auf den Nebenklassen von K ein regulärer Normalteiler. (Daran sollte 

man sich zu Beginn des Beweises des Satzes von Schur–Zassenhaus (Satz 10.3) erinnern.)


Die nichttriviale Gruppe G heißt einfach, falls 1 und G die einzigen Normalteiler von G 

sind. Wir haben folgendes Einfachheitskriterium, welches reguläre Normalteiler involviert. 

Satz 6.29. Es operiere G treu und primitiv auf Ω, und es gebe s ∈ Ω, so dass G s einfach 

ist. Dann ist G entweder einfach oder G besitzt einen regulären Normalteiler. 

Beweis. Es sei 1 ≠ N G. Nach Satz 6.24 operiert N transitiv auf Ω, es ist also G = 

G s N. Wegen N ∩ G s G s ist entweder N ∩ G s = 1 oder G s ≤ N. Im ersten Fall ist N 

regulärer Normalteiler von G (und von G verschieden, da G s ≠ 1). Im zweiten Fall folgt 

N = G. 

□ 

Folgende Feststellung erlaubt, die Struktur regulärer Normalteiler bezüglich einer mehrfach 

transitiven Gruppenoperation zu bestimmen. 

Feststellung 6.30. Es sei N ein regulärer Normalteiler von G bezüglich der Operation 

von G auf Ω, und s ∈ Ω. Dann ist die Operation von G s auf Ω \ {s} äquivalent zu der 

Konjugationsoperation von G s auf N \ {1}. 

Beweis. Wir haben eine Bijektion β : N \ {1} → Ω \ {s}, y ↦→ s y , und für x ∈ G s gilt 

β(y x ) = s x−1yx = s yx = β(y) x . 

□ 

Ein nichttrivialer Normalteiler der Gruppe G heißt minimal, falls er außer sich selbst und 

der trivialen Untergruppe keinen anderen Normalteiler von G enthält. 

Feststellung 6.31. Die Gruppe G operiere treu und primitiv auf Ω. Dann ist ein regulärer 

Normalteiler von G ein minimaler Normalteiler von G. 

Beweis. Es sei N ein regulärer Normalteiler von G. Nach Satz 6.24 operiert jeder nichttriviale 

Normalteiler M von G transitiv auf Ω. Liegt der nichttriviale Normalteiler M von G 

in N, gilt weiter M ∩ G s = 1 für s ∈ Ω, woraus |Ω| = |M| folgt. Also ist N minimaler 

Normalteiler von G. 

□ 

Folgende Feststellung ist klar. 

Feststellung 6.32. Es sei n ≥ 2 und s ∈ Ω. Operiert G n-transitiv auf Ω, dann operiert 

G s (n − 1)-transitiv auf Ω \ {s}. 

Feststellung 6.33. Die Gruppe G operiere treu und 2-transitiv auf Ω. Dann ist ein regulärer 

Normalteiler von G eine elementarabelsche p-Gruppe. 

Beweis. Es sei N ein regulärer Normalteiler von G, und s ∈ Ω. Nach Feststellung 6.32 

operiert G s transitiv auf Ω \ {s}, so dass nach Feststellung 6.30 G s durch Konjugation 

transitiv auf N \ {1} operiert. Also haben alle Elemente aus N \ {1} diesselbe Ordnung, 

und diese muß eine Primzahl p sein. Nach dem Satz von Cauchy (Satz 6.11) ist N also 

eine p-Gruppe, und deshalb ist Z(N) ≠ 1 nach Folgerung 6.10. Nun ist Z(N) = N nach 

Feststellung 6.31, also N abelsch, was noch zu zeigen war. 

□ 

Satz 6.34. Die Gruppe G operiere treu und n-transitiv auf Ω, |Ω| ≥ 3. Besitzt G einen 

regulären Normalteiler N, dann ist n ≤ 4, und es gelten die folgenden Aussagen. 

(1) Ist n = 2, ist N elementarabelsche p-Gruppe. 

(2) Ist n = 3, ist N elementarabelsche 2-Gruppe, oder N ∼ = C 3 und G ∼ = S 3 . 

(3) Ist n = 4, ist N ∼ = C 2 × C 2 und G ∼ = S 4 .


Beweis. (1) ist Feststellung 6.33. Wir können also n ≥ 3 annehmen. Es sei H der Stabilisator 

eines Punktes aus Ω. Nach den Feststellungen 6.32 und 6.30 operiert H durch 

Konjugation (n − 1)-transitiv auf N \ {1}. 

Es ist |N| = |Ω| ≥ 3. Ist |N| = 3, folgt G ∼ = S 3 . Ist |N| > 3, können wir drei verschiedene 

Elemente x, y, z aus N \ {1} wählen. Da H 2-transitiv auf N \ {1} operiert, gibt es h ∈ H 

mit x h = x und y h = z. Angenommen, es gilt p > 2. Dann ist x ≠ x −1 , und wir können 

y = x −1 wählen. Dann ist aber x −1 = x −h = y h = z ≠ x −1 , ein Widerspruch. Also ist 

p = 2, und (2) ist bewiesen. 

Nun sei n ≥ 4. Dann ist |Ω| ≥ 4, so dass N eine elementarabelsche Untergruppe U = 

〈x〉×〈y〉 der Ordnung 4 enthält. Angenommen, es gilt U ≠ N. Dann können wir z ∈ N \U 

wählen. Da H 3-transitiv auf N \ {1} operiert, gibt es h ∈ H mit x h = x, y h = y 

und (xy) h = z. Aber dann ist (xy) h = x h y h = xy ≠ z, ein Widerspruch. Also ist 

|Ω| = |N| = 4 und G ∼ = S 4 . 

□ 

Wir demonstrieren nun die Wirkung der gemachten Beobachtungen. 

Satz 6.35. Die alternierende Gruppe A n , n ≥ 5, ist einfach. 

Beweis. Es sei G = A n mit n ≥ 5, und 1 ≠ N G. Wir müssen N = G zeigen. 

Setze Ω = {1, 2, . . . , n}. Nach Beispiel 6.26 operiert G (n − 2)-transitiv auf Ω. Nach 

Feststellung 6.27 und Satz 6.24 operiert N transitiv auf Ω und es gilt G = KN, wobei 

K = G n , der Stabilisator der Ziffer n ist. Falls K ∩ N = 1, operiert N regulär auf Ω nach 

Feststellung 6.28. Mit Satz 6.34 und der Tatsache, dass G (n − 2)-transitiv ist, folgt n = 5 

und dass N eine elementarabelsche 2-Gruppe ist, im Widerspruch zu n = |Ω| = |N|. 

Also ist K ∩ N ≠ 1. Nun ist K = A n−1 , die alternierende Gruppe auf der Menge Ω ′ = 

{1, 2, . . . , n − 1}. Durch Induktion nach n können wir also annehmen, dass entweder K 

einfach oder n = 5 ist. Im ersten Fall folgt, da 1 ≠ K ∩ N K, dass K = K ∩ N ≤ N, 

und damit G = KN = N. Wir können also n = 5 annehmen. 

Dann operiert K = A 4 2-transitiv auf Ω ′ . Es ist 1 ≠ K ∩ N K. Nach Feststellung 

6.27 und Satz 6.24 operiert K ∩ N somit immerhin noch transitiv auf Ω ′ . Also ist 

4 = |Ω ′ | = |K ∩ N : (K ∩ N) s | mit s ∈ Ω ′ (nach Feststellung 6.6, zur Erinnerung). 

Ebenso ergibt sich 5 = |Ω| = |N : K ∩ N|, so dass 20 die Ordnung von N teilt (nach 

dem Satz von Lagrange, zur Erinnerung). Nun ist |S 5 | = 5! = 120 und |S 5 : A 5 | = 2, 

also |G| = 60. Da |N| Teiler von |G| ist, folgt |N| = 20 oder |N| = 60. In letzerem Fall 

ist N = G, also wollen wir ersteren annehmen, und zu einem Widerspruch gelangen. Falls 

die Anzahl der 5-Sylowuntergruppen von N wenigstens 6 beträgt, enthält N wenigstens 

6(5 − 1) = 24 Elemente der Ordnung 5, ein paar zu viel für die Gruppenordnung. Nach 

dem Satz von Sylow hat N also genau eine 5-Sylowuntergruppe S. Da N unter der Konjugationsoperation 

von G invariant ist, folgt S G. Wir haben aber gezeigt, dass 4 die 

Ordnung eines jeden nichttrivialen Normalteilers von G teilt, so dass dies nicht möglich 

ist. 

□ 

6.6. Nachschlag zu primitiver Operation. Ich will noch aus dem großen Gebiet über 

primitive Permutationsgruppen drei mehr oder weniger willkürlich herausgegriffene Beobachtungen 

zum besten geben. 

Ich zeige zunächst einen Weg auf, wie man Imprimitivitätsgebiete erhalten kann. Es sei 

∅ ≠ ∆ ⊂ Ω. Für s ∈ Ω setze ∆(s) = {∆ x | x ∈ G und s ∈ ∆ x }. Eine Äquivalenzrelation 

∼ auf Ω wird erklärt durch s ∼ t, falls ∆(s) = ∆(t). Offenbar operiert G auf den


Äquivalenzklassen dieser Relation, und wegen ∅ ≠ ∆ ⊂ Ω gibt es mehr als eine Äquivalenzklasse. 

Operiert G also transitiv auf Ω und enthält eine Äquivalenzklasse mehr als ein 

Element, so ist diese ein Imprimitivitätsgebiet und G operiert imprimitiv auf Ω. 

Erstens gebe ich ein Lemma, welches man sicherlich kennen sollte, wenn man sich mit 

Permutationsgruppen beschäftigt. Es stammt von Rudio 23 [55], vergleiche dazu [70, § 8]. 

Unser Beweis ist [21, § 2] entnommen. 

Lemma 6.36 (Rudio (1888)). Die Gruppe G operiere primitiv auf Ω, und es sei ∅ ≠ ∆ ⊂ 

Ω. Sind s und t zwei verschiedene Elemente aus Ω, dann gibt es x ∈ G mit s ∈ ∆ x und 

t ∉ ∆ x . 

Beweis. Die Äquivalenzrelation ∼ auf Ω sei wie oben erklärt. Nach Voraussetzung sind die 

Äquivalenzklassen einelementig, es gibt also x ∈ G, so dass ∆ x genau eines der Elemente 

s und t enthält. Angenommen, es gilt t ∈ ∆ x und s ∉ ∆ x . Es gibt y ∈ G mit t = s y . 

Sei n die Ordnung von y. Dann ist s y = t ∈ ∆ x , aber s yn = s ∉ ∆ x . Also gibt es 

m ∈ N mit s ym ∈ ∆ x , aber s ym+1 ∉ ∆ x . Mit t ym = s ym+1 ∉ ∆ x folgt s ∈ ∆ xy−m und 

t ∉ ∆ xy−m . 

□ 

Der folgende Satz ist beispielhaft für den Einfluß, den Primitivität auf eine transitive Gruppe 

ausüben kann. Eine Transposition ist eine Permutation, welche zwei Ziffern vertauscht 

und die restlichen fest läßt. Die S n wird von ihren Transpositionen erzeugt. Es gilt etwa 

S n = 〈(12), (13), . . . , (1n)〉. 

Satz 6.37. Die Gruppe G operiere treu und primitiv auf Ω, und es gebe zwei verschiedene 

Elemente s und t aus Ω sowie z ∈ G mit s z = t, t z = s und u z = u für u ∈ Ω \ {s, t}. 

(Es ist also z eine Transposition.) Dann ist G ∼ = Sym(Ω). 

Beweis. Es sei T ⊆ Ω maximal gewählt mit der Eigenschaft, dass es für je zwei verschiedene 

Elemente s und t aus Ω ein x ∈ G gibt mit 

(6.3) s x = t, t x = s und x ∈ C G (Ω \ {s, t}). 

Nach Voraussetzung gilt |T | ≥ 2. Angenommen, es gibt y ∈ G mit ∅ ≠ T ∩ T y ≠ T . 

Dann gibt es s ∈ T mit s y ∈ T und t ∈ T mit t y ∉ T . Es ist s ≠ t. Wähle x ∈ G 

so, dass (6.3) gilt. Dann folgt (s y ) y−1xy = s xy = t y , ebenso (t y ) y−1xy = t xy = s y , und 

x y ∈ C G (Ω\{s y , t y }). Aber dies zeigt, dass mit T auch T ∪{t y } die geforderte Eigenschaft 

hat, im Widerspruch zur Maximalität von T . Also haben je zwei verschiedene Konjugierte 

von T (so vorhanden) leeren Schnitt. Da G transitiv operiert, bilden die Konjugierten von 

T also eine (G-invariante) Partition von Ω. Da G primitiv operiert, folgt T = Ω, und der 

Satz ist bewiesen. 

□ 

Damit habe ich tatsächlich nur einen Spezialfall aus einer Reihe berühmter Sätze herausgegriffen. 

Wer darüber mehr wissen möchte, sei auf den wunderschönen Überblick in [43, § 2] 

verwiesen, der auch historische Anmerkungen enthält. 

Schließlich möchte ich noch ein nützliches Lemma geben, welches wir in der Folge aber 

auch nicht benutzen werden. Es stellt einen Zusammenhang her zwischen transitiver Operation 

und sogenannter Fusion von Untergruppen. Es stammt von Witt, 24 welcher es in [87] 

zur Konstruktion von Steiner-Systemen und zu ‘der’ Beschreibung der mehrfach transitiven 

Mathieugruppen benutzte. 


24 Zur Person siehe etwa Wikipedia-Eintrag [76], auch [32], und [31] für sein wissenschaftliches Werk.


Lemma 6.38 (Witt). Es operiere G n-transitiv auf Ω, mit n ∈ N, es sei T = {t 1 , . . . , t n } 

eine n-elementige Teilmenge von Ω, und es sei H = C G (T ) gesetzt. Für eine Untergruppe 

U von H operiert dann N G (U) n-transitiv auf C Ω (U) genau dann, wenn aus U x ≤ H 

für ein x ∈ G folgt U x = U y für ein y ∈ H (soll heißen, U in H fusioniert in G mit 

keiner Untergruppe in H). Ist P eine p-Sylowuntergruppe von H, operiert N G (P ) also 

n-transitiv auf C Ω (P ). 

Beweis. Angenommen, N G (U) operiert n-transitiv auf C Ω (U), und es sei x ∈ G mit 

U x ≤ H. Dann gilt T x−1 ⊆ C Ω (U), so dass es y ∈ N G (U) gibt mit t y i = t x−1 

i für 

jeden Index i, womit yx ∈ H und U x = U yx gilt. Zur umgekehrten Richtung seinen 

s 1 , . . . , s n n verschiedene Elemente aus C Ω (U), und x ∈ G gewählt mit s x i = t i für jeden 

Index i. Dann gilt U x ≤ H. Falls es y ∈ H gibt mit U x = U y , ist yx −1 ∈ N G (U) und 

t yx−1 

i = t x−1 

i = s i . Damit ist das Lemma bewiesen, denn der Zusatz folgt mit dem Satz 

von Sylow, indem man U = P setzt. 

□ 

7. KOMPOSITIONSREIHEN 

Ich sollte nun eigentlich konsequenterweise Darstellungen von Gruppen auf Gruppen behandeln, 

begnüge mich aber mit etwas weniger. 

Ich zeige zunächst die Eindeutigkeit von Kompositionsfaktoren, inklusive Multiplizitäten, 

von endlichen Gruppen (Satz von Jordan–Hölder). Wir beginnen mit einer länglichen Definition. 

Definition 7.1. Sei G eine Gruppe, 

R: 1 = H 0 ≤ . . . ≤ H n = G 

eine Reihe von Untergruppen von G (die bei 1 anfängt und bei G aufhört). Die Reihe 

R heißt Normalreihe, falls H i G gilt, und Subnormalreihe, falls H i−1 H i gilt 

(beidemale für 1 ≤ i ≤ n). Die Untergruppen H i heißen dann Subnormalteiler von G 

(auch: subnormal in G). 

Ist R Normalreihe, so heißt R Hauptreihe, falls H i−1 < H i , und H i−1 unter den in 

H i liegenden Normalteilern von G maximal ist. Die Quotienten H i /H i−1 von G heißen 

Hauptfaktoren von G. 

Ein maximaler Normalteiler von G ist maximales Element der Menge der von G verschiedenen 

Normalteiler von G, partiell geordnet durch Inklusion. 

Ist R Subnormalreihe, so heißt R Kompositionsreihe, falls H i−1 maximaler Normalteiler 

von H i ist. Es sind dann die Kompositionsfaktoren H i /H i−1 von G einfache Gruppen. 

Eine Verfeinerung der Subnormalreihe R erhält man durch Einfügen weiterer Subnormalteiler. 

Es sei 

R ′ : 1 = H 0 ′ ≤ . . . ≤ H n ′ = G ′ 

eine weitere Subnormalreihe. Dann heißen R und R ′ isomorph, falls n = n ′ , und es eine 

Permutation σ auf den Indizes {1, . . . , n} gibt mit H iσ /H iσ−1 

∼ = H 

′ 

i /H i−1 ′ für 1 ≤ i ≤ n. 

Außerhalb der Gruppentheorie im engeren Sinn haben diese Reihen Anwendung in der 

Galoisschen Theorie der Körpererweiterungen, wo bei einer endlichdimensionalen Galois- 

Erweiterung (auch normale Erweiterung) jede solche Reihe im Untergruppenverband der 

Galoisgruppe G einem Turm von (Zwischen-)Erweiterungskörpern entspricht.


Wir geben eine Verfeinerung des grundlegenden Satzes von Jordan–Hölder, welche 39 

Jahre nach dessen Beweis von O. Schreier 25 [56] gefunden wurde. Unser Beweis folgt der 

Darstellung in [69, § 51]. 

Satz 7.2 (Schreier). Je zwei Subnormalreihen der Gruppe G besitzen isomorphe Verfeinerungen. 

Beweis. Gegeben seien zwei Normalreihen 

1 = G 0 ≤ . . . ≤ G r ≤ G, 

1 = H 0 ≤ . . . ≤ H s ≤ G. 

Ist r = 0 oder s = 0, dann ist eine der Reihen gleich 1 ≤ G, und die andere Verfeinerung 

davon. 

Dass die beiden Normalreihen isomorphe Verfeinerungen besitzen, zeigen wir zunächst für 

s = 1 durch Induktion nach r. Die zweite Reihe sei also 1 ≤ H 1 G. Nach Induktionsvoraussetzung 

besitzen dann 

1 = G 0 ≤ . . . ≤ G r und 1 ≤ G r ∩ H 1 ≤ G r 

isomorphe Verfeinerungen. Damit besitzen auch die zwei Normalreihen 

1 = G 0 ≤ . . . ≤ G r ≤ G r H 1 ≤ G und 1 ≤ G r ∩ H 1 ≤ G r ≤ G r H 1 ≤ G 

isomorphe Verfeinerungen. Eine entsprechende Verfeinerung der zweiten Reihe sei mit 

N bezeichnet. Man beachte, dass die erste Reihe eine Verfeinerung der ersten gegebenen 

Normalreihe 1 = G 0 ≤ . . . ≤ G r ≤ G ist. Nach dem ersten Isomorphiesatz gilt 

G r H 1 /G r 

∼ = H1 /G r ∩ H 1 und G r /G r ∩ H 1 

∼ = Gr H 1 /H 1 , 

also hat die Reihe 

1 ≤ G r ∩ H 1 ≤ H 1 ≤ G r H 1 ≤ G 

eine zu N isomorphe Verfeinerung. Da die Reihe gleichzeitig 1 ≤ H 1 G verfeinert, ist 

der Induktionsschritt vollzogen. 

Nun zeigen wir die allgemeine Aussage durch Induktion nach s. Nach dem gezeigten haben 

die erste Reihe 1 = G 0 ≤ . . . ≤ G r ≤ G und die Reihe 1 ≤ H s ≤ G isomorphe 

Verfeinerungen. Eine entsprechende Verfeinerung der zweiten Reihe sei gegeben durch 

N ′ : 1 ≤ K 1 ≤ . . . ≤ K t ≤ H s ≤ . . . ≤ G. Nach Induktionsvoraussetzung haben 

1 ≤ K 1 ≤ . . . ≤ K t ≤ H s und 1 = H 0 ≤ . . . ≤ H s isomorphe Verfeinerungen. Also 

haben N ′ und die zweite Reihe 1 = H 0 ≤ . . . ≤ H s ≤ G isomorphe Verfeinerungen, 

womit der Satz bewiesen ist. 

□ 

Einen neuen, ‘konstruktiven’ Beweis gab H. Zassenhaus 26 [90], mittels eines Lemmas, welches 

heute als ‘Schmetterlings-Lemma’ bekannt ist. Für einen Beweis, und insbesondere 

eine Abbildung des Schmetterlings, siehe [36, Chapter I, Lemma 3.3]. 

Es folgt unmittelbar, wie angekündigt, der Satz von Jordan–Hölder. E. Jordan 27 hat gezeigt, 

dass die Indizes, dass heißt, die Ordnungen der Kompositionsfaktoren, bis auf ihre Reihenfolge 

eindeutig bestimmt sind, siehe [30, S. 663]. O. Hölder 28 hat in [26] den grundlegenden 

Begriff der Faktorgruppe eingeführt und die Eindeutigkeit der Kompositionsfaktoren 

bis auf Isomorphie gezeigt. 

25 Nachruf in [40]. Biographie bei MacTutor [46]. 

26 Zur Person siehe etwa Wikipedia-Eintrag [78], auch [50], [51]. 


28 Geboren in Stuttgart. Biographie bei MacTutor [45], Nachruf in [68].


Satz 7.3 (Jordan–Hölder). Je zwei Kompositionsreihen der Gruppe G sind isomorph. 

Es sei bemerkt, dass dieser Satz für abelsche Gruppen eine triviale Aussage liefert, denn 

die einfachen abelschen Gruppen sind zyklisch von Primzahlordnung, und die Kompositionsfaktoren 

einer Kompositionsreihe einer abelschen Gruppe sind offenbar schon durch 

die Gruppenordnung bestimmt. 

Man kann jedoch allgemeiner Operatorgruppen zusammen mit Operatorhomomorphismen 

betrachten. Dann bleiben Aussagen und Beweise sinngemäß bestehen, siehe etwa [3, § 7] 

oder [27, Kapitel I, § 11]. Der Satz von Jordan–Hölder ist dann auch für abelsches G bedeutungsvoll. 

8. CHARAKTERISTISCHE UNTERGRUPPEN UND KOMMUTATOREN 

Definition 8.1. Eine Untergruppe H der Gruppe G heißt charakteristisch in G, falls H 

invariant unter Aut(G) ist, Schreibweise H char G. Die Gruppe G selbst heißt charakteristisch 

einfach, falls G und 1 die einzigen charakteristischen Untergruppen von G sind. 

Ein minimaler Normalteiler von G ist minimales Element der Menge der von 1 verschiedenen 

Normalteiler von G, partiell geordnet durch Inklusion. 

Feststellung 8.2. (1) Falls H char K und K char G, gilt H char G. 

(2) Falls H char K und K G, gilt H G. 

(3) Falls H char G und K char G, gilt HK char G und H ∩ K char G. 

Halten wir die folgende Konsequenz aus Feststellung 8.2(2) fest. 

Feststellung 8.3. Minimale Normalteiler sind charakteristisch einfach. Die Hauptfaktoren 

einer Gruppe (siehe § 7) sind charakteristisch einfache Gruppen. 

Lemma 8.4. Ist G eine charakteristisch einfache Gruppe, G ≠ 1, dann ist G das direkte 

Produkt isomorpher einfacher Gruppen. 

Beweis. Es sei H ein minimaler Normalteiler von G, und der Normalteiler M von G so 

gewählt, dass er das direkte Produkt möglichst vieler Bilder von H unter Aut(G) ist. Nach 

Voraussetzung an G ist G = 〈Hα | α ∈ Aut(G)〉. Angenommen, es gilt M ≠ G. Dann 

gibt es α ∈ Aut(G) mit Hα M. Da Hα minimaler Normalteiler von G ist und H ∩ 

Hα G, folgt H ∩ Hα = 1, und [H, Hα] ≤ H ∩ Hα = 1. Aber damit ist M < 

M × Hα G, entgegen der Wahl von M. 

Also ist G = M. Wir haben also G = H ×K für eine Untergruppe K von G, und somit ist 

jede normale Untergruppe von H auch normal in G. Damit ist H einfach nach Minimalität 

von H, und das Lemma ist bewiesen. 

□ 

Dies gibt die zweite Aussage in folgender Feststellung. 

Feststellung 8.5. (1) Die einfachen abelschen Gruppen sind die Gruppen von Primzahlordnung. 

(2) Ist G charakteristisch einfach und abelsch, dann ist G eine elementarabelsche 

p-Gruppe. 

Wir halten ein paar elementare Regeln für Kommutatoren fest. 

Feststellung 8.6. Es sei G eine Gruppe, a, b, c ∈ G und X, Y ≤ G. Dann gilt 

(1) [a, b] = 1 genau dann wenn ab = ba. 

(2) [X, Y ] = 1 genau dann wenn xy = yx für alle x ∈ X, y ∈ Y . 

(3) Ist σ : G → H ein Gruppenhomomorphismus, dann gilt [a, b]σ = [aσ, bσ] und 

[X, Y ]σ = [Xσ, Y σ].


(4) [ab, c] = [a, c] b [b, c] und [a, bc] = [a, c][a, b] c . 

(5) X ≤ N G (Y ) genau dann wenn [X, Y ] ≤ Y . 

(6) [X, Y ] = [Y, X] 〈X, Y 〉. 

Regel (4) wird besonders häufig benötigt. Ich zeige nur (6). Beachte [a, b] −1 = [b, a], also 

[X, Y ] = [Y, X]. Weiterhin, um [X, Y ] 〈X, Y 〉 zu zeigen, genügt es, [x, y] z ∈ [X, Y ] zu 

zeigen für alle x ∈ X, y ∈ Y und z ∈ X ∪ Y . Wegen [x, y] −1 = [y, x] können wir z ∈ Y 

annehmen. Nach (4) gilt dann [x, y] z = [x, z] −1 [x, yz] ∈ [X, Y ], und (6) ist bewiesen. 

Die Kommutatoruntergruppe von G ist die Gruppe G ′ = G (1) = [G, G]. Man definiert 

rekursiv G (n) = [G (n−1) , G (n−1) ] für n > 1. Die Untergruppen G (n) heißen auch höhere 

Kommutatoruntergruppen. 

Satz 8.7. Es ist G ′ der kleinste Normalteiler mit abelscher Faktorgruppe. 

Beweis. Zu zeigen ist, dass G ′ im Kern eines Gruppenhomomorphismus σ : G → H liegt, 

sofern σ surjektiv und H abelsch ist. Dies folgt aus obiger Regel (3). 

□ 

Feststellung 8.8. Es sei H ≤ G. Dann gilt 

(1) H (n) ≤ G (n) . 

(2) Ist σ : G → X ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, gilt G (n) σ = X (n) . 

(3) G (n) char G. 

(4) G ′ ≤ H genau dann wenn H G mit G/H abelsch. 

Der Beweis bleibt zur Übung hinterlassen. (4) ist eine etwas stärkere Formulierung des 

obigen Satzes. 

Für x, y, z ∈ G schreiben wir [x, y, z] für [[x, y], z], und für X, Y, Z ≤ G schreiben wir 

[X, Y, Z] für [[X, Y ], Z] (‘linksnormierte Kommutatoren’). 

Für die Aussage des folgenden Lemmas mag die Analogie mit der Jacobi-Identität auffallen, 

welche per Definition für die Verknüpfung (Lie-Klammer) in einer Lie-Algebra gilt. 

Zugeschrieben wird es P. Hall 29 [25] und Witt 30 [88]. 

Lemma 8.9 (Hall–Witt Identität). Seien x, y, z Elemente von G. Dann gilt 

[x, y −1 , z] y [y, z −1 , x] z [z, x −1 , y] x = 1. 

Beweis. Es ist [x, y −1 , z] = yx −1 y −1 xz −1 x −1 yxy −1 z, also 

[x, y −1 , z] y = (xzx −1 yx) −1 (yxy −1 zy). 

Daraus erhält man durch zyklisches Vertauschen der Elemente x, y und z weiter 

[y, z −1 , x] z = (yxy −1 zy) −1 (zyz −1 xz), 

[z, x −1 , y] x = (zyz −1 xz) −1 (xzx −1 yx). 

Das Produkt aller drei Faktoren ist also gleich 1. 

Daraus ergibt sich unmittelbar das wichtige Drei-Untergruppen-Lemma. 

Lemma 8.10 (Drei-Untergruppen-Lemma). Es seien X, Y und Z Untergruppen von G 

mit [X, Y, Z] = 1 und [Y, Z, X] = 1. Dann gilt [Z, X, Y ] = 1. 

Eine Gruppe G heißt perfekt, falls G = G ′ gilt. Wir zeigen exemplarisch noch folgende 

Konsequenz. 

29 Nachruf in [53]. Biographie bei MacTutor [44]. 

30 Siehe die Verweise in Fußnote 24 auf Seite 27. 

□


Satz 8.11. Es seien X und L Untergruppen der Gruppe G mit L perfekt und [X, L, L] = 1. 

Dann gilt [X, L] = 1. 

Beweis. Es ist [X, L, L] = [X, L, L], so dass nach Voraussetzung mit dem Drei-Untergruppen-Lemma 

[L, L, X] = 1 folgt. Weiter ist nach Voraussetzung [L, L] = L. Also gilt 

[L, X] = 1. 

□ 

9. NILPOTENTE GRUPPEN UND AUFLÖSBARE GRUPPEN 

Ich leite nur die elementarsten Eigenschaften nilpotenter und auflösbarer Gruppen her. 

Einen Eindruck von deren Theorie mag man gewinnen durch Lektüre der Kapitel III und 

VI in dem Buch von Huppert [27]. Eine nilpotente Gruppe ist ein direktes Produkt von p- 

Gruppen (ihrer p-Sylowuntergruppen). Über p-Gruppen haben wir in § 5 (abelsche Gruppen) 

und in §§ 6.1, 6.2 schon ein paar Dinge gelernt. Eine Gruppe ist auflösbar, falls ihre 

Hauptfaktoren abelsch sind. Nilpotente Gruppen sind auflösbar. Nicht auflösbare Gruppen 

haben wir auch schon kennengelernt, nämlich die symmetrischen Gruppen S n für n ≥ 5. 

Ich werde allerdings von abweichenden Definitionen für Nilpotenz und Auflösbarkeit ausgehen, 

die jeweils eine wichtige Eigenschaft der Untergruppen in den Mittelpunkt stellen 

(wie in [34]). 

Ich will erwähnen, dass ein berühmter, tiefliegender Satz der Gruppentheorie, der Satz 

von Feit–Thompson [15], 1963 publiziert, besagt, dass jede Gruppe ungerader Ordnung 

auflösbar ist. 31 

Der Begriff der auflösbaren Gruppe entstand als Bezeichnung für die Galoisgruppen von 

solchen (rationalen) Polynomen, deren Nullstellen durch Iteration mit Radikalen (Wurzeln) 

und deren Summen und Produkte dargestellt werden können, die also aufgelöst werden 

können. Dies ist äquivalent dazu, dass die Galoisgruppe eine Subnormalreihe besitzt, deren 

sämtliche Faktoren zyklische Gruppen von Primzahlordnung sind. Ein zyklischer Faktor 

(als Gruppenerweiterung interpretiert) entspricht dabei der Adjunktion eines Radikals (also 

einer Körpererweiterung). 

Der Begriff der nilpotenten Gruppe ist im Zusammenhang zwischen Liegruppen und Liealgebren 

zu verstehen. Eine nilpotente Gruppe G heißt so, weil die sogenannte adjungierte 

Darstellung von G nilpotent ist, was besagt, dass es eine natürliche Zahl n gibt, so dass 

für jedes y aus G die Abbildung ad y : G → G mit ad y (x) = [x, y] nilpotent vom Grad 

n ist, also die n-fache Iteration der Abbildung trivial ist im Sinne von (ad y ) n (x) = 1 für 

alle x ∈ G. Ich will noch bemerken, dass jede p-Gruppe isomorph zu einer Gruppe von 

oberen Dreiecksmatrizen mit Einträgen aus dem Körper mit p Elementen und Einsen in 

der Hauptdiagonale ist; ist G eine solche Matrizengruppe, ist x − 1 eine nilpotente Matrix 

für jedes x ∈ G. 

31 Zuvor als Vermutung von Burnside bekannt, der in Note M der zweiten Auflage seines Buches [ 11] schrieb: 

... The contrast that these results shew between groups of odd and even order suggests inevitably that simple 

” 

groups of odd order do not exist.“ (Auch wenn dies schon zuvor vermutet sein mag.) Mehr als 50 Jahre sp äter 

nahm der Beweis einen ganzen Band im Pacifics Journal of Mathematics in Beschlag, mit 255 Seiten (sehr komprimiert 

geschrieben). Eine Beschreibung des Beweises findet sich in Thompson [64], und zwei Beschreibungen 

verdanken wir Gorenstein [22, S. 450–461], [23, S. 13–39]. In der vergangenen Zeit ist der gesamte Beweis einer 

Revision unterzogen worden, und teilweise von mehreren Autoren vereinfacht worden, in veröffentlichten und 

unveröffentlichten Arbeiten. Dieser Prozess mag weitergehen. Mittlerweile ist ein vollständiger Beweis in Buchform 

publiziert, durch Bender und Glauberman [7] und Peterfalvi [49]. Schließlich will ich noch auf Glaubermans 

elementare Diskussion des Satzes in [19] hinweisen.


9.1. Nilpotente Gruppen. Ist die Untergruppe A der Gruppe G subnormal in G (siehe 

Definition 7.1), schreiben wir dafür A G. Subnormalität ist offenbar eine transitive 

Relation, dass heißt aus A B G folgt A G. Deshalb spielt der Begriff des 

Subnormalteilers eine wichtige Rolle bei der Untersuchung endlicher Gruppen. Ich notiere 

gleich ein paar elementare Feststellungen, welche unmittelbar aus der Definition folgen. 

Feststellung 9.1. Sei A G. Dann gilt: 

(1) U ∩ A U für U ≤ G. 

(2) A ∩ B G für B G. 

(3) Homomorphe Bilder von Subnormalteilern sind Subnormalteiler. Volle Urbilder 

von Subnormalteilern unter Homomorphismen sind Subnormalteiler. 

Beweis. Zu (1). Folgt durch ‘Herunterschneiden’ einer vorhandenen Subnormalreihe 

A = A 0 ≤ A 1 ≤ . . . ≤ A n = G, 

was eine Subnormalreihe U ∩ A = U ∩ A 0 U ∩ A 1 . . . U ∩ A n = U liefert. 

Zu (2). Nach (1) gilt A ∩ B B, und die Aussage folgt aufgrund von Transitivität. 

Zu (3). Bilder und volle Urbilder von Subnormalreihen sind Subnormalreihen. 

Definition 9.2. Eine Gruppe G heißt nilpotent, falls jede Untergruppe von G Subnormalteiler 

von G ist. 32 

Die Gruppe G ist offenbar genau dann nilpotent, wenn für jede echte Untergruppe U von 

G gilt U < N G (U). 

Feststellung 9.3. Untergruppen und homomorphe Bilder von nilpotenten Gruppen sind 

nilpotent. 

□ 

Beweis. Siehe (1) und (3) in Feststellung 9.1. 

□ 

Feststellung 9.4. Eine maximale Untergruppe U einer nilpotenten Gruppe G ist normal 

in G, und ihr Index |G : U| ist eine Primzahl. 

Beweis. Wegen U < N G (U) ≤ G folgt U G. Die Faktorgruppe G/U hat neben der 

trivialen Untergruppe und sich selbst keine weiteren Untergruppen, enthält aber Elemente 

von Primzahlordnung. Also ist |G : U| ist eine Primzahl. 

□ 

Feststellung 9.5. Eine p-Gruppe ist nilpotent. 

Beweis. Siehe Folgerung 6.9. 

□ 

Feststellung 9.6. Ein direktes Produkt von p-Gruppen ist nilpotent. 

Beweis. Für n verschiedene Primzahlen p 1 , . . . , p n sei jeweils eine p i -Gruppe G i gewählt, 

und G = G 1 × · · · × G n gesetzt. Es ist G i die Menge der p i -Elemente in G. Es sei 

U < G. Dann gilt U = (U ∩ G 1 ) × · · · × (U ∩ G n ) nach Satz 5.6, und wir dürfen 

U ∩ G 1 < G 1 annehmen. Nach Feststellung 9.5 ist dann U ∩ G 1 < N G1 (U ∩ G 1 ), und 

somit U < N G (U). 

□ 

Mehr nilpotente Gruppen gibt es nicht, denn aus dem Frattini-Argument folgt folgender 

Satz. 

32 Für unendliche Gruppen muss der Begriff nilpotent anders definiert werden, etwa mittels Zentralreihen, 

vergleiche Satz 9.12.


Satz 9.7. Eine Gruppe G ist genau dann nilpotent, wenn sie für jeden Primteiler p von 

|G| genau eine p-Sylowuntergruppe besitzt. Eine nilpotente Gruppe ist das direkte Produkt 

ihrer Sylowuntergruppen. 

Beweis. Eine Richtung ist Feststellung 9.6. Es sei G nilpotent, p Primteiler von |G|, und 

P ∈ Syl p (G). Setze U = N G (P ). Dann ist P ∈ Syl p (U), und das Frattini-Argument 

(Lemma 6.17) liefert N G (U) = N NG(U)(P )U ≤ N G (P )U = U. Da G nilpotent ist, 

folgt U = G, so dass P normal in G ist. Nach dem Satz von Sylow ist also P die einzige 

p-Sylowuntergruppe von G. Nach Satz 5.2 folgt, dass G das direkte Produkt seiner 

Sylowuntergruppen ist. 

□ 

Ich will als nächstes die Existenz gewisser Normalreihen für nilpotente Gruppen zeigen. 

Dazu gebe ich eine andere Charakterisierung nilpotenter Gruppen. Zunächst stellen wir 

fest, dass das Zentrum eines direkten Produkts das direkte Produkt der Zentren seiner Faktoren 

ist. Mit Folgerung 6.10 erhalten wir daher den folgenden Satz. 

Satz 9.8. Ist G eine nilpotente Gruppe und N ein nichttrivialer Normalteiler von G, gilt 

N ∩ Z(G) ≠ 1. 

Wir halten noch ein Lemma samt Folgerung fest. 

Lemma 9.9. Es sei G eine Gruppe und M ≤ Z(G). Dann ist mit G/M auch G nilpotent. 

Beweis. Es sei G/M nilpotent, Ḡ = G/M gesetzt, und U ≤ G. Dann ist Ū Ḡ, also 

auch UM G nach Feststellung 9.1(3). Wegen M ≤ Z(G) gilt U UM. Also ist 

U G, und G als nilpotent erkannt. 

□ 

Folgerung 9.10. Die Gruppe G habe einen nilpotenten Normalteiler N mit nilpotenter 

Faktorgruppe G/N. Dann ist G nilpotent. 

Beweis. Wir können N ≠ 1 annehmen. Dann ist M = N ∩ Z(G) ≠ 1 nach Satz 9.8. 

Nach Feststellung 9.3 und der Voraussetzung ist NM/M ein nilpotenter Normalteiler von 

G/M mit nilpotenter Faktorgruppe (G/M)/(NM/M) ( ∼ = G/N). Per Induktion nach |G| 

können wir also annehmen, dass G/M nilpotent ist, und damit ist auch G nilpotent nach 

Lemma 9.9. 

□ 

Nun können wir Nilpotenz durch Eigenschaften der Normalteiler der Gruppe charakterisieren. 

Satz 9.11. Für eine Gruppe G sind die folgenden Aussagen äquivalent. 

(1) G ist nilpotent. 

(2) Für jeden echten Normalteiler N von G gilt Z(G/N) ≠ 1. 

(3) Für jeden nichttrivialen Normalteiler N von G gilt [N, G] < N. 

Beweis. (1)⇒(2) folgt mit Satz 9.8, da für einen echten Normalteiler N von G das nichttriviale 

homomorphe Bild G/N von G nilpotent ist. Nun gelte (2). Es sei N ein nichttrivialer 

Normalteiler von G. Nach Voraussetzung ist Z = Z(G) ≠ 1. Setze Ḡ = G/Z. Beachte, 

die Aussage (2) gilt auch mit G ersetzt durch Ḡ. Per Induktion nach |G| können wir, um 

(3) zu zeigen, also annehmen, dass ¯N = 1 oder [N, G] = [ ¯N, Ḡ] < ¯N gilt. Im ersten Fall 

ist N ≤ Z(G), also [N, G] = 1 < N. Im zweiten Fall ist [N, G]Z < NZ, also ebenfalls 

[N, G] < N. Dies zeigt (2)⇒(3). Es gelte (3). Es sei M ein minimaler Normalteiler von 

G. Dann ist [M, G] < M, wegen [M, G] G also [M, G] = 1 und M ≤ Z(G). Setze 

Ḡ = G/M. Wir zeigen zunächst, dass die Aussage (3) auch gilt mit G ersetzt durch Ḡ. 

Dazu sei M < N G, also 1 ≠ ¯N Ḡ. Angenommen, es gilt [N, G] = [ ¯N, Ḡ] = ¯N,


also [N, G]M = N. Dann ist [N, G] = [[N, G], G], nach (3) also [N, G] = 1, und damit 

M = [N, G]M = N, ein Widerspruch zur Wahl von N. Also können wir, um (1) zu zeigen, 

mittels Induktion nach |G| annehmen, dass Ḡ nilpotent ist. Damit ist G nilpotent nach 

Lemma 9.9, und (3)⇒(1) gezeigt. 

□ 

Für eine Gruppe G setzen wir Z 0 (G) = 1 und definieren für i ≥ 1 induktiv die Untergruppe 

Z i (G) von G als das volle Urbild von Z(G/Z i−1 (G)) unter dem natürlichen 

Homomorphismus G → G/Z i−1 (G). Es ist also Z 1 (G) = Z(G). Offenbar sind die Z i (G) 

charakteristische Untergruppen von G. Die Kette 1 ≤ Z 1 (G) ≤ Z 2 (G) ≤ . . . heißt die 

aufsteigende Zentralreihe von G. Wir setzen K 1 (G) = G und definieren für i > 1 

induktiv K i (G) = [K i−1 (G), G]. Es ist also K 2 (G) = [G, G] = G ′ . Die K i (G) sind 

charakteristische Untergruppen von G (dies folgt mit Feststellung 8.6(3) durch Induktion). 

Die Kette G = K 1 (G) ≥ K 2 (G) . . . heißt die absteigende Zentralreihe von G. 

Die Bezeichnung Zentralreihe anstelle von Normalreihe bezieht sich dabei darauf, dass 

[Z i (G), G] ≤ Z i−1 (G) bzw. [K i−1 (G), G] ≤ K i (G) für i > 1 gilt. 

Es sei G eine nilpotente Gruppe. Nach Satz 9.11(1-3) endet dann die absteigende Zentralreihe 

von G bei 1, dass heißt, es existiert m = min{n ≥ 1 | K n (G) = 1}. Es ist m − 1 

die (Nilpotenz-)klasse von G. Ist etwa G ≠ 1 und G abelsch, hat G Klasse 1; ist G/Z(G) 

nichttrivial und abelsch, hat G Klasse 2. Nach Satz 9.11(1-2) endet die aufsteigende Zentralreihe 

bei G, dass heißt, es existiert min{n ≥ 0 | Z n (G) = G}. 

Satz 9.12. Für eine Gruppe G sind die folgenden Aussagen äquivalent. 

(1) G ist nilpotent. 

(2) Es gibt n ≥ 1 mit K n (G) = 1. 

(3) Es gibt n ≥ 0 mit Z n (G) = G. 

Beweis. Die Implikationen (1)⇒(2) und (1)⇒(3) haben wir eben bemerkt. Es gelte (2), 

und es sei m = min{n ≥ 1 | K n (G) = 1} gesetzt. Dann ist M = K m−1 (G) ≠ 1 

und [M, G] = K m−1 (G) = 1, also M ≤ Z(G). Um (1) zu zeigen, können wir mittels 

Induktion nach |G| annehmen, dass G/M nilpotent ist. Dann folgt (1) aus Lemma 9.9. 

Nun gelte (3). Es sei G ≠ 1. Die Faktorgruppe G/Z(G) hat echt kleinere Ordnung als G, 

so dass zum Beweis von (1) mittels Induktion nach |G| angenommen werden kann, dass 

G/Z(G) nilpotent ist, und (1) folgt wieder mit Lemma 9.9. 

□ 

Ich zeige noch, dass die auf- und die absteigende Zentralreihe einer nilpotenten Gruppe 

gleiche Länge haben. 

Satz 9.13. Die Klasse einer nilpotenten Gruppe G ist min{n ≥ 0 | Z n (G) = G}. 

Beweis. Es sei c die Klasse der nilpotenten Gruppe G. Wir zeigen K c+1−i (G) ≤ Z i (G) 

für 0 ≤ i ≤ c. Für i = 0 folgt dies aus den Definitionen. Ist i > 0, können wir induktiv 

K c+2−i (G) ≤ Z i−1 (G) annehmen. Dann gilt [K c+1−i (G), G] = K c+2−i (G) ≤ Z i−1 (G), 

so dass K c+1−i (G)Z i−1 (G)/Z i−1 (G) in Z(G/Z i−1 (G)) = Z i (G)/Z i−1 (G) liegt, also 

K c+1−i (G) ≤ Z i (G) wie gewünscht gilt. Insbesondere gilt Z c (G) = K 1 (G) = G. 

Nun sei l = min{n ≥ 0 | Z n (G) = G}. Es ist also l ≤ c. Wir zeigen weiter K i+1 (G) ≤ 

Z l−i (G) für 0 ≤ i ≤ l. Für i = 0 ist das klar, und für i > 0 können wir induktiv 

K i (G) ≤ Z l−i+1 (G) annehmen. Dann gilt wie gewünscht K i+1 (G) = [K i (G), G] ≤ 

[Z l−i+1 (G), G] ≤ Z l−i (G). Insbesondere gilt K l+1 (G) ≤ Z 0 (G) = 1, also l ≤ c, und 

damit c = l. Der Satz ist bewiesen. 

□ 

Wir notieren eine unmittelbare Folgerung.


Folgerung 9.14. Für c ≥ 1 ist die nichttriviale Gruppe G nilpotent von der Klasse c genau 

dann, wenn G/Z(G) nilpotent von der Klasse c − 1 ist. 

Wir schließen die kurze Diskussion über die Klasse einer nilpotenten Gruppe mit einer 

einfachen Feststellung. 

Feststellung 9.15. Die Gruppe G sei nilpotent von der Klasse c. Dann sind Untergruppen 

und homomorphe Bilder von G nilpotent von Klasse ≤ c. 

Beweis. Nach Feststellung 9.3 ist nur die Aussage über die Klasse zu zeigen. Diese folgt 

für eine Untergruppe U von G aus K i (U) ≤ K i (G) für i ≥ 1 und für ein homomorphes 

Bild Ḡ = G/N von G aus Ki(Ḡ) = K i(G) für i ≥ 1. 

□ 

Wir wenden uns einer charakteristischen Untergruppe einer Gruppe zu, die ihren Namen 

nach Frattini 33 [16] trägt. 

Definition 9.16. Der Durchschnitt aller maximalen Untergruppen der Gruppe G heißt 

Frattiniuntergruppe von G. Sie wird mit Φ(G) bezeichnet. 

Die Frattiniuntergruppe einer Gruppe ist charakteristisch. Wir notieren ihre wesentliche 

Eigenschaft. 

Satz 9.17. Ist H ≤ G und G = 〈H, Φ(G)〉, gilt H = G. 

Beweis. Ist H < G, liegt H in einer maximalen Untergruppe M von G, und es folgt 

〈H, Φ(G)〉 ≤ 〈M, Φ(G)〉 = M < G. 

□ 

Also sind Elemente der Frattiniuntergruppe in jedem Erzeugendensystem ‘überflüssig’. 

Satz 9.18 (Frattini (1885)). Für eine Gruppe G ist Φ(G) nilpotent. 

Beweis. Sei p Primteiler der Ordnung von Φ(G) und P ∈ Syl p (Φ(G)). Das Frattini- 

Argument (Lemma 6.17) liefert G = N G (P )Φ(G). Mit Satz 9.17 folgt G = N G (P ). 

Aus Satz 9.7 folgt nun die Nilpotenz von G. 

□ 

Folgerung 9.19. Ist für eine Gruppe G die Faktorgruppe G/Φ(G) nilpotent, ist auch G 

nilpotent. 

Beweis. Gilt nach Satz 9.18 und Folgerung 9.10. 

□ 

Der folgende Satz ist als Basissatz von Burnside bekannt. 

Satz 9.20. Für eine p-Gruppe G ist G/Φ(G) eine elementarabelsche p-Gruppe. Ist weiter 

|G/Φ(G)| = p d und G/Φ(G) = 〈x 1 〉×· · ·×〈x d 〉 mit x i ∈ G, dann gilt G = 〈x 1 , . . . , x d 〉. 

Beweis. Es seien U 1 , . . . , U n die maximalen Untergruppen von G. Nach Feststellung 9.4 

gilt U i G und G/U i 

∼ = Cp . Die natürlichen Homomorphismen π i : G → G/U i geben 

einen Homomorphismus G → G/U 1 × · · · × G/U n , x ↦→ (xπ 1 , . . . , xπ n ), dessen Kern 

U 1 ∩ . . . ∩ U n ist, also gerade Φ(G). Nach dem Homomorphiesatz ist somit G/Φ(G) eine 

Untergruppe von dem direkten Produkt von n Kopien von C p , also eine elementarabelsche 

p-Gruppe. Es ist G = 〈x 1 , . . . , x d 〉Φ(G), so dass die zusätzliche Behauptung aus Satz 9.17 

folgt. 

□ 

33 Siehe die Verweise in Fußnote 21 auf Seite 22.


Ich will noch eine weitere charakteristische nilpotente Untergruppe einer Gruppe einführen, 

die Fittinguntergruppe. Für eine Gruppe G und eine Primzahl p setzen wir 

⋂ 

O p (G) = P. 

P ∈Syl p (G) 

Offenbar ist O p (G) eine charakteristische Untergruppe von G, denn ein Automorphismus 

von G bildet p-Sylowuntergruppen auf p-Sylowuntergruppen ab. Es ist O p (G) eine 

p-Gruppe. Genauer ist O p (G) die größte normale p-Untergruppe von G. Denn ist N eine 

normale p-Untergruppe von G, und P ∈ Syl p (G), ist die Gruppe P N nach Lemma 4.9 

eine p-Gruppe, so dass P N = P nach Maximalität von P und N ≤ P gilt. Dies zeigt 

N ≤ O p (G). 

Es ist klar, dass G genau dann eine p-Sylowuntergruppe besitzt, die normal in G ist, wenn 

O p (G) die einzige p-Sylowuntergruppe von G ist (Satz von Sylow). 

Die Fittinguntergruppe F(G) von G ist die von allen O p (G) erzeugte Untergruppe von 

G, wobei p die Primteiler der Ordnung von G durchläuft. Wie festgestellt, ist F(G) eine 

charakteristische Untergruppe von G. Nach Satz 5.2 ist F(G) das direkte Produkt der 

Gruppen O p (G). Insbesondere ist F(G) nilpotent. Es ist F(G) sogar der größte nilpotente 

Normalteiler von G. Denn ist N eine normale nilpotente Untergruppe von G, und p ein 

Primteiler der Ordnung von N, ist O p (N) die p-Sylowuntergruppe von N, damit normal 

in G, und, wie festgestellt, in O p (G) enthalten. 

Zur späteren Verwendung halten wir noch ein einfaches Lemma fest. 

Lemma 9.21. Es sei G eine nilpotente Gruppe und N ein abelscher Normalteiler von 

G, der in keinem anderen abelschen Normalteiler von G echt enthalten ist (maximaler 

abelscher Normalteiler). Dann gilt C G (N) = N. 

Beweis. Es gilt N ≤ C G (N) G. Setze Ḡ = G/N. Angenommen, es gilt N < C G(N). 

Dann ist C G (N) nichttrivialer Normalteiler von Ḡ, so dass es nach Satz 9.8 ein x ∈ G 

gibt mit 1 ≠ ¯x ∈ C G (N) ∩ Z(Ḡ), also mit x ∈ C G(N) \ N und [x, G] ≤ N. Es folgt, 

dass 〈N, x〉 eine abelsche Gruppe ist, die N echt enthält, und die normal in G ist, ein 

Widerspruch. 

□ 

9.2. Auflösbare Gruppen. Ich erinnere daran, dass G ′ die Kommutatoruntergruppe einer 

Gruppe G bezeichnet. 

Definition 9.22. Eine Gruppe G heißt auflösbar, wenn für jede nichttriviale Untergruppe 

U von G gilt U ′ < U. 34 

Nilpotente Gruppen sind auflösbar, denn deren Untergruppen sind ebenfalls nilpotent (Feststellung 

9.3), so dass deren absteigende Zentralreihen bei der trivialen Untergruppe enden 

(Satz 9.12). 

Nicht abelsche einfache Gruppen sind perfekt (gleich ihrer Kommutatoruntergruppe), also 

nicht auflösbar. 

Feststellung 9.23. Untergruppen und homomorphe Bilder auflösbarer Gruppen sind auflösbar. 

Beweis. Für Untergruppen ist die Aussage klar. Es sei H ein nichttriviales homomorphes 

Bild der auflösbaren Gruppe G, und 1 ≠ V ≤ H. Es sei U ≤ G minimal nach Ordnung 

34 Für unendliche Gruppen muss der Begriff aufl ösbar anders definiert werden, etwa mag verlangt werden, 

dass eine höhere Kommutatoruntergruppe trivial ist, vergleiche Satz 9.26.


gewählt, so dass V homomorphes Bild von U ist. Nach Feststellung 8.6(3) ist dann V ′ 

homomorphes Bild von U ′ , und da U ′ < U, ist V ′ < V nach Minimalität von U. □ 

Feststellung 9.24. Die Gruppe G habe einen auflösbaren Normalteiler N mit auflösbarer 

Faktorgruppe G/N. Dann ist G auflösbar. 

Beweis. Es sei U eine nichttriviale Untergruppe von G. Falls U ≤ N, folgt U ′ 

N auflösbar ist. Andernfalls ist, wenn wir noch Ḡ = G/N setzen, Ū eine nichttriviale 

Untergruppe von Ḡ, und U ′ N/N = Ū ′ < Ū = UN/N wegen der Auflösbarkeit von Ḡ, 

also ebenfalls U ′ < U. 

□ 

Feststellung 9.25. Ein minimaler Normalteiler M einer Gruppe G, der in einer auflösbaren 

Untergruppe von G liegt, ist eine elementarabelsche p-Gruppe. 

Beweis. Nach Feststellung 8.3 ist M charakteristisch einfach, und nach Feststellung 9.23 

ist M auflösbar, also 1 ≤ M ′ < M. Es folgt M ′ = 1, so dass G elementarabelsche 

p-Gruppe ist nach Feststellung 8.5. 

□ 

Man erinnere sich an die Definition der höheren Kommutatoruntergruppen G (n) auf Seite 

31. Es ist G ≥ G ′ = G (1) ≥ G (2) ≥ . . . eine Kette von charakteristischen Untergruppen 

von G mit abelschen Faktoren. 

Satz 9.26. Für eine Gruppe G sind folgende Aussagen äquivalent. 

(1) G ist auflösbar. 

(2) G (n) = 1 für eine natürliche Zahl n. 

(3) G besitzt eine Normalreihe mit abelschen Faktoren. 

(4) G besitzt eine Kompositionsreihe, deren Faktoren Primzahlordnung haben. 

Beweis. (1)⇒(2) folgt aus der Definition von Auflösbarkeit. (2)⇒(3) ist trivial. Besitzt 

G eine Normalreihe mit abelschen Faktoren, kann diese nach Feststellung 8.5(1) zu einer 

Kompositionsreihe mit Faktoren von Primzahlordnung verfeinert werden. 35 Dies zeigt 

(3)⇒(4). Gilt (4), und ist G ≠ 1, gibt es einen echten Normalteiler N von G mit zyklischer 

Faktorgruppe, so dass N eine Kompositionsreihe besitzt, deren Faktoren Primzahlordnung 

haben. Wollen wir (1) zeigen, können wir per Induktion nach |G| annehmen, dass 

N auflösbar ist. Da G/N auflösbar ist, folgt dann (1) nach Feststellung 9.24. □ 

Wir kommen noch zu einer wichtigen Eigenschaft, die sich auf die Fittinguntergruppe einer 

auflösbaren Gruppe bezieht. Ich gebe zunächst das vorbereitende Lemma. Ich will auf 

eine einfache, aber wichtige Tatsache hinweisen, die wir dabei verwenden (vgl. Feststellung 

6.4). Auf einer Gruppe G operiert die Gruppe ihrer inneren Automorphismen, und 

auch Aut(G). Falls eine Untergruppe H von G normal (charakteristisch) in G ist, ist auch 

C G (H) und N G (H) normal (charakteristisch) in G. 

Lemma 9.27. Für eine Gruppe G sei H = C G (F(G)) gesetzt. Dann gilt für jede Primzahl 

p, dass O p (H/H ∩ F(G)) = 1. 

Beweis. Für eine Primzahl p sei O p (H/H ∩ F(G)) = Q/H ∩ F(G) mit H ∩ F(G) ≤ Q ≤ 

H. Wir haben Q ≤ F(G) zu zeigen. Mit Feststellung 8.2 folgt, dass Q normal in G ist. 

Beachte, es ist H ∩ F(G) = Z(F(G)), und Q/Z(F(G)) ist eine p-Gruppe, also nilpotent. 

Nach Lemma 9.9 ist Q nilpotent. Da F(G) der größte nilpotente Normalteiler von G ist, ist 

das Lemma bewiesen. 

□ 

Satz 9.28. Ist G eine auflösbare Gruppe, gilt C G (F(G)) ≤ F(G). 

35 Nach Feststellung 8.5(2) auch zu einer Normalreihe mit elementarabelschen Faktoren.


Beweis. Für H = C G (F(G)) ist H/H ∩ F(G) = 1 zu zeigen. Nach Lemma 9.27 hat 

H/H ∩ F(G) keinen nichttrivialen p-Normalteiler. Da die Gruppe H/H ∩ F(G) nach 

Feststellung 9.23 auflösbar ist, ist sie also nach Feststellung 9.25 trivial. 

□ 

Der Satz zeigt, dass man für auflösbare Gruppen, über die Konjugationsoperation von G 

auf F(G), einen Homomorphismus von G nach Aut(F(G)) mit Kern Z(F(G)) erhält, mit 

dessen Hilfe man die Gruppe G untersuchen kann. Die Vorstellung, die ich in diesem Zusammenhang 

von der Fittinguntergruppe habe ist, dass sie von ‘kleinen’ normalen Untergruppen 

erzeugt wird und ‘recht weit unten’ in der Gruppe liegt, und darüberhinaus ‘recht 

unkompliziert’ ist, so dass die Darstellung zur Untersuchung von G äußerst brauchbar ist. 

Ich will noch erwähnen, dass für eine beliebige endliche Gruppe deren verallgemeinerte 

Fittinguntergruppe 36 die entsprechende Eigenschaft hat. 

Es sei G eine Gruppe und p eine Primzahl. Eine p ′ -Untergruppe von G ist eine Untergruppe 

von G, deren Ordnung nicht von p geteilt wird (es steht p ′ für die zu {p} komplementäre 

Menge von Primzahlen). Nach Lemma 4.9 ist das Erzeugnis zweier normaler 

p ′ -Untergruppen von G ebenfalls eine normale p ′ -Untergruppe. Es gibt daher eine größte 

normale p ′ -Untergruppe in G, charakteristisch in G, die mit O p ′(G) bezeichnet wird. Man 

beachte, dass O p ′(G/O p ′(G)) = 1 gilt. 

Der folgende Satz ist eine Konsequenz aus Satz 9.28, denn die Voraussetzung besagt ja 

F(G) = O p (G). 

Satz 9.29. Ist G eine auflösbare Gruppe und p ein Primteiler der Ordnung von G mit 

O p ′(G) = 1, so gilt C G (O p (G)) ≤ O p (G). 

Ich will noch folgenden Satz festhalten. Er ist ein Spezialfall des p-Komplementsatzes von 

Burnside, welcher seinerseits eine Anwendung von Verlagerung ist. Darüber werde ich 

nichts erzählen. Siehe etwa [3, (39.1)] oder [27, Hauptsatz IV.2.6]. 

Satz 9.30. Wenn die Gruppe G eine zyklische 2-Sylowuntergruppe S hat, dann gilt G = 

SO 2 ′(G). 

Beweis. Es sei ϕ: G → Sym(G) der Homomorphismus, den man durch die Operation von 

G durch Rechtsmultiplikation auf sich selbst erhält (Seite 18). Weiter sei sign: Sym(G) → 

{1, −1} der in Beispiel 4.3(4) definierte (Signum-)Homomorphismus. Wir betrachten die 

Komposition π = sign ◦ ϕ: G → {1, −1}. Wir können annehmen, dass 2 die Ordnung 

von G teilt. Es sei x ein Erzeuger der zyklischen 2-Sylowuntergruppe S und |S| = m 

gesetzt. Die Permutation xϕ das Produkt von |G|/m disjunkten (ziffernfremden) Zykeln 

der Länge m. Nun ist (1, 2, 3, . . . , m) = (1, 2)(1, 3) · · · (1, m). Also ist ein Zykel der 

Länge m Produkt von m − 1 Transpositionen, und damit eine ungerade Permutation. Da 

|G|/m eine ungerade Zahl ist (Satz von Sylow), folgt xπ = sign(xϕ) = −1. Damit ist π 

ein surjektiver Homomorphismus. Setze H = Kern π. Wir haben |G : H| = 2 gezeigt. Es 

sei T eine 2-Sylowuntergruppe von H. Als Untergruppe einer 2-Sylowuntergruppe von G 

ist T zyklisch. Wir können annehmen, das T in S liegt (vgl. Satz 6.14). Per Induktion nach 

|G| dürfen wir annehmen, dass H = T O 2 ′(H) gilt. Wegen S H folgt G = SO 2 ′(H). 

Es ist O 2 ′(H) charakteristisch in H, und damit normal in G. Weiterhin ist G/O 2 ′(H) ∼ = 

S/S ∩ O 2 ′(H), also G/O 2 ′(H) eine 2-Gruppe. Es folgt O 2 ′(H) = O 2 ′(G), und der Satz 

ist bewiesen. 

□ 

36 Eingeführt von H. Bender. Zur Definition siehe etwa [34, § 6.5].


Hat also eine nicht abelsche Gruppe gerader Ordnung eine zyklische 2-Sylowuntergruppe, 

ist sie insbesondere nicht einfach. (Nach dem Satz von Feit–Thompson gilt sogar, dass sie 

auflösbar ist.) 

9.3. Nachschlag. Satz 9.29 gilt allgemeiner für p-separable Gruppen, und läßt sich auch 

für π-separable Gruppen formulieren. Ich gebe zunächst die notwendigen Definitionen. 

Zunächst erweitern wir in offensichtlicher Weise eine zuvor gegebene Definition. Es sei G 

eine Gruppe und π eine Menge von Primzahlen. Nach Lemma 4.9 ist das Erzeugnis zweier 

normaler π-Untergruppen von G ebenfalls eine normale π-Untergruppe. Es gibt daher eine 

größte normale π-Untergruppe in G, charakteristisch in G, die mit O π (G) bezeichnet wird. 

Man beachte, dass O π (G/O π (G)) = 1 gilt. 

Es bezeichne π ′ die zu π komplementäre Menge von Primzahlen. Die Gruppe G heißt 

π-separabel, falls es eine Reihe 

(9.1) 1 = A 0 ≤ . . . ≤ A i−1 ≤ A i ≤ . . . ≤ A n = G 

gibt mit normalen Untergruppen A 1 , . . . , A n von G, so dass jeder der Faktoren A i /A i−1 

eine π-Gruppe oder eine π ′ -Gruppe ist (i = 1, . . . , n). Eine auflösbare Gruppe G ist π- 

separabel nach Satz 9.26. 37 

Feststellung 9.31. Untergruppen und homomorphe Bilder π-separabler Gruppen sind π- 

separabel. 

Beweis. Für homomorphe Bilder ist die Aussage klar. Es sei U eine Untergruppe einer π- 

separablen Gruppe G. Dann gibt es eine Reihe (9.1) mit den für π-Separabilität geforderten 

Eigenschaften, und durch ‘Herunterschneiden’ erhält man eine Reihe 1 ≤ U ∩ A 1 ≤ 

. . . ≤ U ∩ A n = U, in der jedes Glied normal in U ist. Wegen U ∩ A i /U ∩ A i−1 

∼ = 

(U ∩ A i )A i−1 /A i−1 ≤ A i /A i−1 ist jeder Faktor eine π-Gruppe oder eine π ′ -Gruppe. 

Damit ist U ebenfalls π-separabel. 

□ 

Um fortfahren zu können, gebe ich noch einen Satz von Schur 38 [57], genauer gesagt 

sein berühmtes Summationsargument, welches eines der wichtigen Schlüsse in der Kohomologietheorie 

der endlichen Gruppen werden sollte. Der Satz von Schur–Zassenhaus 

(Satz 10.4) stellt davon eine Verallgemeinerung dar. Dabei läßt sich für einen abelschen 

Normalteiler ebenfalls Schurs Argument verwenden, siehe etwa [22, Theorem 6.2.1]. 

Ist H eine Untergruppe der Gruppe G, dann heißt eine Teilmenge R von G ein Rechtsvertretersystem 

39 von H in G, falls jede Rechtsnebenklasse von H in G genau ein Element 

aus R enthält, also jede Rechtsnebenklasse von H durch genau einen ‘Vertreter’ in R ‘repräsentiert’ 

wird. Entsprechend wird definiert, was ein Linksvertretersystem ist. Ist H 

Normalteiler von G, stimmen also Rechtsnebenklassen von H mit Linksnebenklassen von 

H überein (siehe § 4.4), sind Rechtsvertretersysteme von H in G Linksvertretersysteme 

und umgekehrt. Man spricht dann einfach von Vertretersystemen. 

Satz 9.32 (Schur (1902)). Die Gruppe G habe eine Untergruppe H mit H ≤ Z(G) und 

(|H|, |G : H|) = 1. Dann gibt es K ≤ G mit G = K × H. 

37 Wer ahnt, wie eine äquivalente Definition von π-Separabilität aussehen könnte, die für aufl ösbare Gruppen 

offenbar mit Definition9.22 übereinstimmen würde? (siehe [34, S. 119]). 

38 Zu Person und Schaffen siehe etwa [37], Chapter IV in [13], und auch Wikipedia-Eintrag [79]. 

39 Auch: System von Repräsentanten der Rechtsnebenklassen oder kurz Transversale.


Beweis. Es sei R ein Vertretersystem von H in G. Setze Ḡ = G/H. Für a ∈ Ḡ sei r a der 

Repräsentant von a in R, also a = Hr a . Für a, b ∈ G ist r a r b = γ(a, b)r ab mit einem 

γ(a, b) ∈ H. Für a, b, c ∈ Ḡ ist einerseits 

andererseits 

Es ist also 

(r a r b )r c = γ(a, b)r ab r c = γ(a, b)γ(ab, c)r abc , 

r a (r b r c ) = r a γ(b, c)r bc = γ(b, c)r a r bc = γ(b, c)γ(a, bc)r abc . 

γ(a, b)γ(ab, c) = γ(b, c)γ(a, bc). 40 

Bildet man auf beiden Seiten dieser Gleichung das Produkt über alle Elemente c aus Ḡ, 

erhält man, wenn noch n = |Ḡ| gesetzt wird, 

( ) ( )( ) 

∏ ∏ ∏ 

γ(a, b) n γ(ab, c) = γ(b, c) γ(a, bc) . 

c∈Ḡ c∈Ḡ 

c∈Ḡ 

Setze β(a) = ∏ c∈Ḡ γ(a, c). Es gilt ∏ c∈Ḡ γ(a, bc) = ∏ c∈Ḡ γ(a, c) = β(a), denn mit c 

durchläuft auch bc alle Elemente von Ḡ genau einmal. Also ist 

γ(a, b) n β(ab) = β(a)β(b). 41 

Wegen (|H|, n) = 1 gibt es m, l ∈ Z mit mn + l|H| = −1. Potenzieren beider Seiten der 

letzten Gleichung mit m ergibt 

γ(a, b) −1 β(ab) m = β(a) m β(b) m . 

Multipliziert man nun linke und rechte Seite dieser Gleichung mit jenen der Gleichung 

γ(a, b)r ab = r a r b , erhält man 

r ab β(ab) m = r a β(a) m r b β(b) m . 

Dies zeigt, dass K = {r a β(a) m 

G = K × H. 

| a ∈ 

Ḡ} eine Untergruppe von G ist, und es folgt 

□ 

Nun können wir den angekündigten Satz beweisen. 

Satz 9.33. Ist G eine π-separable Gruppe und O π ′(G) = 1, so gilt C G (O π (G)) ≤ O π (G). 

Beweis. Setze H = C G (O π (G)) und L = H∩O π (G). 42 Es ist H/L = 1 zu zeigen. Es sind 

H und L charakteristische Untergruppen von G, so dass das volle Urbild von O π (H/L) in 

H eine normale π-Untergruppe von G ist, also in O π (G) liegt. Es folgt O π (H/L) = 1. Es 

sei L ≤ M ≤ H mit O π ′(H/L) = M/L. Es gilt L ≤ Z(M) und (|L|, |M : L|) = 1. Nach 

Satz 9.32 gibt es also eine π ′ -Untergruppe K von M mit M = K ×L. Nun ist mit M auch 

K charakteristisch in G, so dass nach Voraussetzung K = 1 folgt, und O π ′(H/L) = 1. 

Nach Definition von π-Separabilität folgt H/L = 1. 

□ 

40 Dies besagt, dass γ ein 2-Kozykel von Ḡ mit Werten in dem (trivialen) Modul H ist. 

41 Dies besagt, dass γ(·, ·) n ein 2-Korand ist. 

42 Es ist L = Z(Oπ(G)), aber dies spielt hier keine Rolle.


10. TEILERFREMDE OPERATION 

Im Mittelpunkt dieses Abschnitts steht der Satz von Schur–Zassenhaus. Dieser besagt, dass 

ein Normalteiler N einer Gruppe G, dessen Ordnung teilerfremd zu der Ordnung der Faktorgruppe 

G/N ist, ein sogenanntes Komplement in G besitzt, und dass noch eine (wichtige) 

Konjugiertheitsaussage bezüglich solcher Komplemente gilt. Ein solches Komplement, 

welches eine Untergruppe von G ist, operiert dann per definitonem via Konjugation teilerfremd 

auf N. Weiterhin ist G dann das semidirekte Produkt von N mit einem Komplement. 

Daher führe ich in § 10.1 zuerst das semidirekte Produkt ein. In § 10.2 wird dann der Satz 

von Schur–Zassenhaus gegeben. Ist N abelsch, ist dies eigentlich ein Fall für (niedrigdimensionale) 

Kohomologietheorie von Gruppen, also salopp gesagt, eine Frage über H 2 

(Existenz von Komplementen) und H 1 (Konjugiertheit von Komplementen). Siehe dazu 

etwa [61, Chapter 2, §§ 7, 8] oder [54, Chapter 7], und auch [3, § 17] für eine gruppentheoretische 

Diskussion von 1-Kohomologie. Ich klemme und folge der ‘coolen’ Darstellung 

in [34, § 3.3], die Operation in den Vordergrund rückt. Für nicht abelsches N läßt sich der 

Satz von Schur–Zassenhaus mittels uns bereits bekannter Methoden auf den Fall N abelsch 

zurückspielen; lediglich die Konjugiertheitsaussage ist dabei zu relativieren. Diese bleibt 

jedoch bestehen, wenn man den Satz von Feit–Thompson zitiert. 

In § 10.3 geben wir Konsequenzen aus dem Satz von Schur–Zassenhaus, zunächst bei vorliegender 

teilerfremder Operation die Operation auf p-Untergruppen betreffend, dann elementarere 

Lemmas und schließlich das P × Q Lemma von Thompson. 

10.1. Das semidirekte Produkt. Wir beginnen damit, die Bedeutung einiger Sprechweisen 

in Bezug auf Gruppenoperationen festzuhalten. 

Operiert eine Gruppe A auf einer Menge, die weitere Struktur trägt, will man dem meist 

Rechnung tragen indem man verlangt, dass die Operation mit der Struktur verträglich ist. 

Etwa versteht man unter einer Operation von A auf einer Gruppe G nicht etwa einen 

Homomorphismus A → Sym(G), sondern einen Homomorphismus A → Aut(G). Die 

Operation von A auf einem k-Vektorraum V ist ein weiteres Beispiel. 43 Dabei handelt 

es sich nicht nur um die Operation auf einer Gruppe, also um einem Homomorphismus 

A → Aut(V ), unter diesem soll das Bild von A aus Automorphismen des Vektorraums V 

bestehen, also A → GL(V ). 

Falls A auf einer Gruppe G operiert, wollen wir sagen dass teilerfremde Operation vorliegt, 

falls die Ordnungen von A und G teilerfremd sind. 

Die Operation von Gruppen auf Gruppen führt zum Begriff des semidirekten Produkts, 

einer Gruppenkonstruktion, von der ich aber zunächst die interne Charakterisierung für 

eine Gruppe G gebe. Ist H ein Normalteiler von G und K eine Untergruppe von G mit 

G = KH und H ∩ K = 1, heißt G das (interne) semidirekte Produkt von H mit K. Die 

Untergruppe K heißt dann Komplement zu H in G. Man sagt auch, G ist eine zerfallende 

Erweiterung von H durch K (neudeutscher: die Erweiterung von H durch K ist split (aus 

dem Englischen)). 

Es sei G semidirektes Produkt von H mit K. Dann operiert K auf H durch Konjugation, 

dass heißt, wir haben einen Homomorphismus ϕ: K → Aut(H) mit h(xϕ) = h x für 

43 Unsere Vektorräume werden übrigens endlichdimensional, und über endlichen Körpern k sein. Zu jeder 

Primzahl p und einer natürlichen Zahl n gibt es genau einen Körper mit p n Elementen, den wir mit F q bezeichnen, 

wobei q = p n gesetzt ist. Damit sind auch schon alle endlichen Körper gegeben. Ohne Beweis werden 

wir benutzen, dass die multiplikative Gruppe von F q zyklisch ist. Für diese Tatsachen siehe etwa [69, § 43] 

oder [36, Chapter V, § 5].


x ∈ K und h ∈ H. Wir zeigen, dass dieser zur Beschreibung der Gruppe G genügt. 

Zunächst folgt aus G = KH und H ∩ K = 1, dass sich jedes Element aus G eindeutig in 

der Form xh mit x ∈ K und h ∈ H schreiben läßt. Sind zwei Gruppenelemente in dieser 

Form gegeben, läßt sich ihr Produkt sehr einfach in eine solche Form bringen; für x i ∈ K 

und h i ∈ H (i = 1, 2) ist (x 1 h 1 )(x 2 h 2 ) = (x 1 x 2 )(h x2 

1 h 2). Beachte, es ist h x2 

1 = h 1(x 2 ϕ). 

Damit ist G offenbar zu der Gruppe isomorph, die als Menge das direkte Produkt von K 

und H ist (nicht als Gruppe!), und in der die Verknüpfung definiert ist durch 

(10.1) (x 1 , h 1 )(x 2 , h 2 ) = (x 1 x 2 , (h 1 (x 2 ϕ))h 2 ) für x i ∈ K und h i ∈ H. 

Nun gehen wir umgekehrt davon aus, dass für Gruppen K und H ein Homomorphismus 

ϕ: K → Aut(H) gegeben ist. Wir haben also eine Operation von K auf H, die wir wie 

gewohnt exponentiell schreiben, h x = h(xϕ) für x ∈ K und h ∈ H. Wir schreiben G 

für das mengentheoretische direkte Produkt von K und H, führen auf G die durch (10.1) 

erklärte Verknüpfung ein, und zeigen, dass G damit zu einer Gruppe wird. Zunächst haben 

wir zu zeigen, dass die Verknüpfung assoziativ ist, dass also für x i ∈ K und h i ∈ H 

(i = 1, 2, 3) gilt 

((x 1 , h 1 )(x 2 , h 2 ))(x 3 , h 3 ) = (x 1 , h 1 )((x 2 , h 2 )(x 3 , h 3 )). 

Auf beiden Seiten ist der erste Eintrag x 1 x 2 x 3 (wegen der Assoziativität der Verknüpfung 

in K). Der zweite Eintrag ist auf der linken Seite (h x2 

1 h 2) x3 h 3 und auf der rechten Seite 

h x2x3 

1 (h x3 

2 h 3). Auch diese Ausdrücke stimmen überein (ϕ ist ein Homomorphismus und 

die Verknüpfung in H ist assoziativ). Weiterhin ist (1, 1) ein Einselement, und für x ∈ K 

und h ∈ H hat (x, h) das Inverse (x −1 , (h −1 ) x−1 ). Also ist G eine Gruppe, das (externe) 

semidirekte Produkt von H mit K (bezüglich ϕ) genannt. 44 Man schreibt dafür G = 

K ⋉ H oder auch kurz G = KH. Nur falls hervorgehoben werden muß, um welche 

Operation es sich handelt, schreibt man etwa G = K ⋉ ϕ H. 

Setze H ∗ = {(1, h) | h ∈ H} und K ∗ = {(x, 1) | x ∈ K}. Dann ist H ∗ bzw. 

K ∗ eine zu H bzw. K isomorphe Untergruppe von G, und für x ∈ K und h ∈ H 

gilt (x, 1) −1 (1, h)(x, 1) = (1, h x ). Es ist also H ∗ Normalteiler von G. Weiterhin gilt 

G = K ∗ H ∗ und K ∗ ∩ H ∗ = 1, so dass G das interne semidirekte Produkt von H ∗ und 

K ∗ ist. Es ist üblich, H ∗ mit H und K ∗ mit K zu identifizieren. Dann wird die Operation 

von K auf H zur Konjugationsoperation von K auf H innerhalb G. 

Wir bemerken noch, dass G genau dann das direkte Produkt von K und H ist, wenn K 

trivial auf H operiert. 

Kehren wir kurz zu einer Operation einer Gruppe A auf einer Gruppe G zurück. Dann 

kann man das semidirekte Produkt X = AG erklären, und hat damit die gruppentheoretischen 

Begriffe, die man für die Gruppe X zur Verfügung hat, auch für die Operation zur 

Verfügung. Beispielsweise ist [G, A] = 〈x −1 x a | x ∈ G, a ∈ A〉. Als kleine Übung geben 

wir noch N X (A) an. Es ist A ≤ N X (A), also nach Lemma 4.10 (modulare Eigenschaft von 

Gruppen) N X (A) = N X (A) ∩ AG = AN G (A). Weiterhin ist [A, N G (A)] ≤ A ∩ G = 1, 

also N G (A) = C G (A), und somit N X (A) = A × C G (A). 

Die Konstruktion des semidirekten Produkts kann häufig benutzt werden, um die Existenz 

von Gruppen einer bestimmten Form zu zeigen. Ich gebe nur zwei einfache, aber wichtige 

Beispiele. 

Beispiel 10.1 (Diedergruppen). Eine Involution in einer Gruppe ist ein Element der Ordnung 

2. Eine Diedergruppe ist eine Gruppe, die von zwei verschiedenen Involutionen 

44 Seltener auch ... von K mit H, wie zum Beispiel in [34, S. 31].


erzeugt wird. 45 Die kleinste Diedergruppe ist offenbar die elementarabelsche Gruppe der 

Ordnung 4, die auch Kleinsche Vierergruppe genannt wird. 

Ist H eine zyklische Gruppe, mit Ordnung > 2 und Erzeuger h, dann hat H einen Automorphismus 

der Ordnung 2, welcher h auf sein Inverses h −1 abbildet. Durch diesen 

Automorphismus operiert eine Gruppe K der Ordnung 2 auf H, und wir können das semidirekte 

Produkt G = K ⋉ H bilden. Ist x die Involution in K, ist also h x = h −1 . Damit ist 

(xh) 2 = x 2 h x h = 1, so dass auch xh eine Involution ist. Wegen G = 〈x, xh〉 ist G eine 

Diedergruppe. 

Alle Diedergruppen haben diese Form. Denn ist G eine Diedergruppe, erzeugt von zwei 

Involutionen s und t, dann gilt (st) s = ssts = ts = (st) −1 , also H = 〈st〉 G wegen 

G = 〈s, st〉. Mit K = 〈s〉 ist G = K ⋉ H. 

Eine Gruppe G ist also genau dann eine Diedergruppe, wenn sie einen zyklischen Normalteiler 

der Ordnung 2 besitzt, und eine Involution, die auf diesem durch Invertieren operiert. 

Zu jeder natürlichen Zahl n ≥ 2 gibt es genau eine Diedergruppe der Ordnung 2n (oft als 

D 2n bezeichnet). 

Untergruppen und Faktorgruppen von Diedergruppen sind entweder zyklisch oder Diedergruppen. 

Ich zeige dies nur für Faktorgruppen. (Untergruppen betreffend argumentiert man 

etwa wie in der Bemerkung am Ende des nächsten Beispiels.) Sei G = K⋉H = 〈x, y〉 wie 

oben eine Diedergruppe, N G und Ḡ = G/N gesetzt. Ist N ≤ H, ist Ḡ = K⋉ ¯H offenbar 

wieder eine Diedergruppe. Andernfalls enthält N ein Element der Form xh i mit i ∈ N. 

Es ist dann (xh i ) h = x h h i = xh 2 h i ∈ N und weiter (xh i ) −1 xh 2 h i = h 2 ∈ N. Nun 

ist 〈h 2 〉 ein Normalteiler von G, und G/〈h 2 〉 ist entweder isomorph zu C 2 oder C 2 × C 2 

(der Vierergruppe), je nachdem ob die Ordnung von H ungerade oder gerade ist. Da Ḡ 

Faktorgruppe einer dieser Gruppen ist, ist alles gezeigt. 

Beispiel 10.2 (Quaternionengruppen). Es sei H eine zyklische Gruppe der Ordnung 2 n , 

mit n ≥ 2. Es sei y ein Erzeuger von H und z = y 2n−1 gesetzt. Es ist also H = 〈y〉 und 

z das Element der Ordnung 2 in H. Es sei K eine zyklische Gruppe der Ordnung 4, mit 

Erzeuger x. Eine Operation von K auf H ist bestimmt durch die Vorschrift y x = y −1 . 

Es sei G = K ⋉ H. Es ist x 2 eine zentrale Involution in G und G/〈x 2 〉 eine Diedergruppe. 

Auch x 2 z ist eine zentrale Involution in G. Die Faktorgruppe G/〈x 2 z〉 heißt die 

(verallgemeinerte) Quaternionengruppe der Ordnung 2 n+1 (oft als Q 2 n+1 bezeichnet). 

Setzen wir Ḡ = G/〈x2 z〉. Dann wird Ḡ von den Elementen ¯x und ȳ erzeugt, und es gilt 

ȳ 2n = 1, ȳ ¯x = ȳ −1 und ¯x 2 = ȳ 2n−1 . Dies sind definierende Relationen 46 der Gruppe. Jedes 

Element von Ḡ läßt sich eindeutig in der Form ¯xi ȳ j mit i ∈ {0, 1} und j ∈ {0, 1, . . . , 2 n − 

1} schreiben. Es ist ¯z die einzige Involution in Ḡ, denn für 0 ≤ j ≤ 2n − 1 gilt (¯xȳ j ) 2 = 

¯x 2 = ¯z. 

Offenbar ist Ḡ/〈¯z〉 eine Diedergruppe der Ordnung 2n . 

Ich zeige noch, dass Untergruppen von Quaternionengruppen zyklisch oder wieder Quaternionengruppen 

sind. Es sei U eine Untergruppe von Ḡ, die nicht zyklisch ist. Dann ist leicht 

zu sehen, dass U = 〈x ′ , y ′ 〉, wobei x ′ = ¯xȳ i und y ′ = ȳ j mit geeigneten 0 ≤ i, j ≤ 2 n −1. 

Es ist 〈¯z〉 < 〈ȳ j 〉 da U nicht zyklisch. Also erfüllen x ′ und y ′ die definierenden Relationen 

für eine Quaternionengruppe. 

45 Dies ist eine praktische Definition, denn sie sagt gleich, wie man Untergruppen in Gruppen finden mag, die 

Diedergruppen sind. 

46 Ich erkläre diesen Begriff nicht näher, es sollte aber klar sein was gemeint ist: Diese Gleichungen bestimmen 

vollständig, wie in der Gruppe zu rechnen ist.


10.2. Der Satz von Schur–Zassenhaus. Wir leiten zunächst die ‘Vorstufe’ des Satzes 

von Schur–Zassenhaus her, die sich mit der Frage der Existenz von Komplementen zu 

abelschen Normalteilern beschäftigt. Wir folgen dabei [34, § 3.3]. 

Es sei N ein abelscher Normalteiler der Gruppe G. Wir schreiben R für die Menge aller 

Rechtsvertretersysteme 47 von N in G. 

Wir wollen zwei Vertretersysteme R und S aus R miteinander ‘vergleichen’. Beachte, zu 

r ∈ R gibt es genau ein s ∈ S mit Nr = Ns, und dann ist rs −1 ∈ N. Da N abelsch ist, 

können wir also ein Element R|S aus N definieren durch 

R|S = 

∏ 

rs −1 . 

r∈R,s∈S 

Nr=Ns 

Offenbar gilt R|R = 1, (R|S) −1 = S|R und (R|S)(S|T ) = (R|T ) für R, S, T ∈ R. Also 

wird auf R eine Äquivalenzrelation ∼ definiert durch die Festsetzung R ∼ S ⇔ R|S = 1. 

(Bislang wurde noch kein Gebrauch davon gemacht, dass N Normalteiler von G ist.) 

Wegen N G sind Rechtsvertretersysteme von N in G auch Linksvertretersysteme. Es 

folgt, dass G auf R (von rechts) durch Linksmultiplikation operiert, dass heißt, es ist R × 

G → R mit (R, x) ↦→ x −1 R eine Operation. Für x ∈ G ist dabei 

(xR)|(xS) = 

∏ 

(xr)(xs) −1 = 

∏ 

x(rs −1 )x −1 = (R|S) x−1 . 

r∈R,s∈S 

Nxr=Nxs 

r∈R,s∈S 

Nr=Ns 

Es gilt also insbesondere, dass aus R|S = 1 folgt (xR)|(xS) = 1. Damit operiert G auch 

auf den Äquivalenzklassen R/ ∼. 

Wir halten fest, dass für a ∈ N gilt 

(aR)|S = 

∏ 

ars −1 = a |G:N| (R|S). 

r∈R,s∈S 

Nar=Ns 

Nun wollen wir annehmen, dass |N| und |G : N| teilerfremd sind. Dann ist auf N Potenzieren 

mit |G : N| ein Automorphismus (N ist abelsch), so dass es a ∈ A gibt mit 

a |G:N| = (R|S) −1 , also mit (aR)|S = 1. Damit operiert N transitiv auf R/ ∼. Weiterhin, 

ist 1 ≠ a ∈ N, besagt (aR)|R = a |G:N| (R|R) = a |G:N| ≠ 1, dass aR ≁ R. Damit sind 

Punktstabilisatoren bezüglich der Operation von N auf R/ ∼ trivial. Es operiert N also 

regulär. 

Nun folgt unmittelbar der folgende Satz. Die Existenz eines Komplementes in der in dem 

Satz beschriebenen Situation wird von Zassenhaus 48 selbst in seinem Lehrbuch [91] 49 (auf 

S. 126, bzw. in der Auflage [92] auf S. 162) Schur 50 zugeschrieben, gerechtfertigterweise, 

wie wir in § 9.3 (Satz 9.32) gesehen haben. 

Satz 10.3 (Schur–Zassenhaus). Es sei N ein abelscher Normalteiler der Gruppe G mit 

(|N|, |G : N|) = 1. Dann besitzt N ein Komplement in G, und alle Komplemente von N 

in G sind zueinander konjugiert. 

47 Begriff definiert auf Seite40. 

48 Siehe die Verweise in Fußnote 26 auf Seite 29. 

49 Von Zassenhaus im Alter von 25 Jahren geschrieben, blieb es annähernd drei Jahrzehnte das Standardlehrbuch 

für kommende Generationen. 

50 Siehe die Verweise in Fußnote 38 auf Seite 40.


Beweis. Es sei S ein Vertretersystem von N in G, und [S] = {R ∈ R | R ∼ S} die 

Äquivalenzklasse von S. Wir setzen K = G [S] = C G ([S]) = {x ∈ G | (xS)|S = 1}, der 

Punktstabilisator von [S] in G. Da N transitiv auf R/ ∼ operiert und N [S] = 1 gilt, ist K 

nach Feststellung 6.5 ein Komplement zu N in G. 

Wegen der transitiven Operation von N sind je zwei Punktstabilisatoren in G zueinander 

konjugiert, siehe Feststellung 6.3. Es sei X ein weiteres Komplement zu N in G. Dann ist 

X ∈ R mit (xX)|X = X|X = 1 für alle x ∈ X, also X ≤ G [X] . Es ist |X| = |G [X] |, da 

auch G [X] ein Komplement zu N in G ist. Also gilt X = G [X] , und die Konjugiertheitsaussage 

des Satzes ist bewiesen. 

□ 

Dieser Satz läßt eine Verallgemeinerung zu, welche von Zassenhaus als wichtigstes neues 

Resultat in sein Lehrbuch [91] (auf S. 126) aufgenommen wurde. Huppert [27, Kapitel I, 

§ 18] bezeichnet ihn nur als Satz von Zassenhaus. 

Satz 10.4 (Schur–Zassenhaus). Es sei N G mit (|N|, |G : N|) = 1. Dann besitzt N ein 

Komplement in G. Ist zusätzlich N oder G/N auflösbar, so sind alle Komplemente von N 

in G zueinander konjugiert. 

Ich möchte den Leser ermutigen, sich zu dem Beweis passende Hasse-Diagramme zu 

zeichnen. 

Beweis. Wir überlegen uns zunächst, wie sich die Voraussetzungen des Satzes auf Untergruppen 

und Faktorgruppen vererben. 

Sei H ≤ G. Dann ist L = H ∩ N H, und wegen H/L = H/H ∩ N ∼ = HN/N gilt 

(|L|, |H : L|) = 1. 

Es sei M G. Dann ist NM/M G/M, und wegen NM/M ∼ = N/N ∩ M sowie 

(G/M)/(NM/M) ∼ = G/NM gilt (|NM/M|, |G/M : NM/M|) = 1. 

Wir werden den Beweis beider Aussagen durch Induktion nach |G| führen. Natürlich 

können wir beidesmal 1 ≠ N < G annehmen. 

Beweisen wir zunächst die Existenz von Komplementen. Es sei P eine Sylowuntergruppe 

von N mit P ≠ 1, und H = N G (P ) gesetzt. Falls H < G, hat H ∩ N nach Induktionsannahme 

ein Komplement K in H. Das Frattini-Argument (Lemma 6.17) gibt 

G = NH = N(H ∩N)K = NK, und es ist N ∩K = N ∩(H ∩K) = (N ∩H)∩K = 1. 

Also ist K ein Komplement zu N in G. Wir können also H = G annehmen. Dann ist 

P G, also auch M = Z(P ) G. Nach Folgerung 6.10 ist M ≠ 1. Setze Ḡ = G/M. 

Nach Induktionsannahme gibt es M ≤ K ≤ G so dass ¯K ein Komplement zu ¯N in Ḡ 

ist. Dann ist K ∩ N = M und G = KN. Beachte, es gilt (|K/M|, |N|) = 1. Angenommen, 

es gilt K < G. Dann besitzt nach Induktionsannahme M ein Komplement X in K. 

Es ist G = KN = XMN = XN. Wegen |X| = |K/M| ist (|X|, |N|) = 1, so dass 

X ∩ N = 1. Damit ist X ein Komplement zu N in G. Wir können also K = G annehmen. 

Dann ist N = M, und da M abelsch ist, folgt die Existenz eines Komplements zu N in G 

aus Satz 10.3. 

Nun sei zusätzlich N oder G/N auflösbar. Wir wollen die Konjugiertheit der Komplemente 

von N in G zeigen. Im folgenden beachte man bei der Anwendung der Induktionsannahme, 

dass Untergruppen und homomorphe Bilder auflösbarer Gruppen ebenfalls auflösbar sind 

(Feststellung 9.23). Es seien K 1 und K 2 Komplemente zu N in G. Weiter sei M ein 

minimaler, in N liegender Normalteiler von G. Setze Ḡ = G/M. Dann sind ¯K 1 und ¯K 2 

Komplemente zu ¯N in Ḡ. Nach Induktionsannahme gibt es also x ∈ G mit K 1M = 

(K 2 M) x = K2 x M. Damit sind K 1 und K2 x Komplemente zu M in K 1 M. Falls M < 

N ist K 1 M < G, also nach Induktionsannahme K 1 konjugiert zu K2 

x in K 1 M. Wir 

können also M = N annehmen. Ist nun N auflösbar, ist N abelsch nach Feststellung 9.25,


und die Konjugiertheit von K 1 und K 2 folgt aus Satz 10.3. Wir können also annehmen, 

dass Ḡ = G/N auflösbar ist. Nach Satz 9.26 gibt es N ≤ L ≤ G mit 1 ≠ ¯L Ḡ 

und ¯L eine p-Gruppe. Ist L = G, sind K 1 und K 2 p-Sylowuntergruppen von G, und 

die Konjugiertheitsaussage folgt aus dem Satz von Sylow. Sei also L < G. Nun sind die 

Gruppen K i ∩ L Komplemente zu N in L, denn es ist (K i ∩ L)N = K i N ∩ L = L nach 

der modularen Eigenschaft, und natürlich (K i ∩ L) ∩ N = 1. Nach Induktionsannahme 

sind die Gruppen K i ∩ L konjugiert in L, so dass wir, in dem wir K 1 nötigenfalls durch 

eine konjugierte Untergruppe ersetzen, K 1 ∩L = K 2 ∩L = D annehmen können. Beachte 

dazu, dass L G, woraus auch D K i folgt. Wir zeigen, dass die K i /D Komplemente 

zu (N G (D) ∩ N)D/D in N G (D)/D sind. Nach Induktionsannahme sind dann die K i /D 

in N G (D)/D konjugiert, und indem wir nötigenfalls K 1 durch eine geeignete konjugierte 

Untergruppe ersetzen, kann K 1 /D = K 2 /D angenommen werden. Dann ist aber K 1 = 

K 2 . Es verbleibt zu zeigen, dass die Untergruppe K i /D und der Normalteiler (N G (D) ∩ 

N)D/D die Gruppe N G (D)/D erzeugen, und dass ihr Schnitt trivial ist. Beides folgt aus 

der modularen Eigenschaft. Zunächst ist (N G (D) ∩ N)K i = N G (D) ∩ NK i = N G (D), 

und weiter (N G (D) ∩ N)D ∩ K i = (N G (D) ∩ N ∩ K i )D = D. 

□ 

Zu dem Zusatz ist eine Bemerkung angebracht. In der Situation des Satzes ist die Ordnung 

von N oder die Ordnung von G/N ungerade, so dass eine der beiden Gruppen auflösbar 

ist nach dem Satz von Feit–Thompson. Es sind also stets alle Komplemente zueinander 

konjugiert. Aber angesichts der Tiefe des sogenannten ‘Odd Order Theorems’ ist es richtig, 

dies getrennt zu vermerken. 

10.3. Erste Konsequenzen. Ich erinnere daran, dass eine teilerfremde Operation einer 

Gruppe A auf einer Gruppe G vorliegt, falls (|A|, |G|) = 1. 

Wir beginnen mit einer Verschärfung des Satzes von Sylow. 

Satz 10.5. Die Gruppe A operiere teilerfremd auf der Gruppe G, und entweder A oder G 

sei auflösbar. Sei p ein Primteiler von |G|. Dann gelten die folgenden Aussagen. 

(1) G besitzt A-invariante p-Sylowuntergruppen. 

(2) C G (A) operiert transitiv auf den A-invarianten p-Sylowuntergruppen von G. 

(3) Jede A-invariante p-Untergruppe von G liegt in einer A-invarianten p-Sylowuntergruppe 

von G. 

Beweis. Wir rechnen in dem semidirekten Produkt X = AG. Es sei P ∈ Syl p (G). Dann 

ist X = GN X (P ) nach dem Frattini-Argument (Satz 6.17). Beachte, es gilt A ∼ = X/G = 

GN X (P )/G ∼ = N X (P )/G ∩ N X (P ). Nach dem Satz von Schur–Zassenhaus (Satz 10.4) 

hat also G ∩ N X (P ) in N X (P ) ein Komplement B, und da dann A und B Komplemente 

zu G in X sind, gibt es x ∈ X mit A = B x . Damit ist Q = P x eine A-invariante p- 

Sylowuntergruppe von G, und (1) ist bewiesen. 

Es gilt N X (Q) = A(G ∩ N X (Q)). Die Menge M aller X-Konjugierten von A, welche 

in N X (Q) liegen, besteht also aus Komplementen zu dem Normalteiler G ∩ N X (Q) von 

N X (Q), welche alle in N X (Q) konjugiert sind nach dem Satz von Schur–Zassenhaus. 

Es sei R eine weitere A-invariante p-Sylowuntergruppe von G. Dann gibt es nach dem Satz 

von Sylow g ∈ G mit Q = R g . Es folgt A g ≤ N X (Q), also A g ∈ M. Nach eben gezeigtem 

gibt es x ∈ N X (Q) mit A x = A g . Dann ist gx −1 ∈ N X (A) und R gx−1 = Q x−1 = Q. 

Dies zeigt, dass N X (A) transitiv auf der Menge der A-invarianten p-Sylowuntergruppen 

von G operiert. Nun ist N X (A) = AC G (A) 51 und A ≤ N X (Q), also operiert auch C G (A) 

51 Siehe den Paragraphen im Anschluß an die Einführung des semidirekten Produkts.


transitiv auf der Menge der A-invarianten p-Sylowuntergruppen von G, und (2) ist bewiesen. 

Es sei T eine maximale A-invariante p-Untergruppe von G. Angenommen, es gilt T /∈ 

Syl p (G). Dann ist T /∈ Syl p (N G (T )), da T in einer p-Sylowuntergruppe von G liegt 

(siehe Definition 9.2). Aber N G (T ) ist A-invariant, so dass es nach (1) eine A-invariante 

p-Sylowuntergruppe von N G (T ) gibt, im Widerspruch zur Maximalität von T . Dies zeigt 

(3). □ 

Ich halte noch andere nützliche Konsequenzen fest. In (oft gebrauchten) Spezialfällen kann 

dabei in deren Beweise auf die Konjugiertheitsaussage des Satzes von Schur–Zassenhaus 

verzichtet werden. 

Lemma 10.6. Die Gruppe A operiere auf der Gruppe G, und es sei U eine A-invariante 

Untergruppe von G, auf der A teilerfremd operiert. Es sei U oder A auflösbar. Gilt dann 

(Ux) A = Ux für ein x ∈ G, gibt es y ∈ Ux mit y ∈ C G (A). 

Beweis. Wir rechnen im semidirekten Produkt AG. Für a ∈ A gilt nach Voraussetzung 

a −1 xa ∈ Ux, dass heißt, a x−1 ∈ aU. Somit ist A x−1 ≤ AU. Nun sind A und A x−1 

zwei Komplemente von U in AU. Nach der Konjugiertheitsaussage des Satzes von Schur– 

Zassenhaus (Satz 10.4) gibt es also u ∈ U mit A x−1 = A u . Setze y = ux ∈ Ux. Es ist 

y ∈ N AG (A) ∩ G. Es folgt [y, A] ≤ A ∩ G = 1, also y ∈ C G (A). 

□ 

Ist in diesem Lemma A eine p-Gruppe, folgt die Aussage wegen |Ux| ≢ 0 mod p aus 

Feststellung 6.7, da A auf Ux operiert. 

Lemma 10.7. Die Gruppe A operiere auf der Gruppe G. Ist N ein A-invarianter Normalteiler 

von G, auf dem A teilerfremd operiert, und ist N oder A auflösbar, gilt C G/N (A) = 

C G (A)N/N. 

Beweis. Dies folgt mit Lemma 10.6. 

□ 

Daraus ergibt sich folgendes Lemma, welches aber auch einen direkten Beweis zuläßt. 

Lemma 10.8. Die Gruppe A operiere auf der Gruppe G, und es sei N ein A-invarianter 

Normalteiler von G, auf dem A teilerfremd operiert. Operiert A trivial auf N und G/N, 

dann auch auf ganz G. 

Beweis. Es sei x ∈ G und a ∈ A. Dann ist x a = xy mit y ∈ N. Wegen y a = y folgt 

x am = xy m für m ∈ N. Ist m die Ordnung von a, so ist x = x am = xy m , also y m = 1, 

und y = 1 wegen (m, |N|) = 1. 

□ 

Lemma 10.9. Die Gruppe A operiere teilerfremd auf der Gruppe G, und es sei [G, A] 

oder A auflösbar. Dann gilt: 

(1) G = [G, A]C G (A). 

(2) [G, A] = [G, A, A]. 

Beweis. (1) folgt aus Lemma 10.7 mit N = [G, A], denn es gilt ja C G/[G,A] (A) = 

G/[G, A]. Mit Feststellung 8.6(4) folgt (2) aus (1). 

□ 

Ist in diesem Lemma G eine p-Gruppe, läßt sich dieses auch anders beweisen, siehe [3, 

§ 24]. 

Ich gebe noch eine Anwendung des Drei-Untergruppen-Lemmas.


Lemma 10.10 (P × Q Lemma von Thompson). Ein direktes Produkt P × Q operiere auf 

einer p-Gruppe G, und es sei P eine p-Gruppe und Q eine p ′ -Gruppe. Operiert dann Q 

trivial auf C G (P ), so operiert Q trivial auf G. 

Beweis. Es sei also C G (P ) ≤ C G (Q) vorausgesetzt. Ist H eine unter der Operation von 

P × Q invariante Untergruppe von G, gilt natürlich C H (P ) ≤ C H (Q). Ist weiter H < G, 

wollen wir daher per Induktion nach |G| annehmen, dass [H, Q] = 1 gilt. Nun sind [G, P ] 

und [G, Q] unter P × Q invariante Untergruppen von G. Es ist G GP , also [G, P ] < G 

nach Satz 9.11(3). Damit ist [G, P, Q] = 1. Falls auch [G, Q] < G, ist [G, Q, Q] = 1, 

und [G, Q] = 1 nach Lemma 10.9(2). Wir können also G = [G, Q] = [Q, G] annehmen. 

Wegen [P, Q] = 1 ist trivialerweise [P, Q, G] = 1. Mit dem Drei-Untergruppen-Lemma 

(Lemma 8.10) folgt [G, P ] = [Q, G, P ] = 1. Nach Voraussetzung ist also [G, Q] = 1, und 

das Lemma ist bewiesen. 

□ 

11. OPERATION AUF ABELSCHEN GRUPPEN 

Wir betrachten Gruppenoperationen auf abelschen Gruppen, und dabei im wesentlichen 

teilerfremde. Wir zeigen den Satz von Maschke und ein Lemma von Schur, und beweisen 

einen Erzeugungssatz. 

Der Leser mag sich daran erinnern (siehe Hinweis zu Beginn von § 5), dass die Homomorphismen 

von einer abelschen Gruppe V in sich selbst einen Ring bilden. Dies werden wir 

implizit verwenden. Zuerst beweisen wir mit Hilfe eines Mittelungsprozesses folgenden 

Satz. 

Satz 11.1. Die Gruppe G operiere teilerfremd auf der abelschen Gruppe V , und es sei U 

eine G-invariante Untergruppe von V . Gibt es dann ein Komplement zu U in V , so läßt 

sich dieses G-invariant wählen. 

Beweis. Sei W ein Komplement zu V in U, dass heißt es gelte U = V × W . Dann ist die 

Projektion π von U auf V bezüglich dieser Zerlegung ein Homomorphismus von V auf U. 

(Explizit ist (uw)π = u für u ∈ U und w ∈ W .) Wir setzen 

vϕ = ∏ x∈G((v x )π) x−1 für v ∈ V. 

Beachte dabei, dass die Reihenfolge der Faktoren in dem Produkt unerheblich ist, da V 

abelsch ist. Dies definiert einen Homomorphismus ϕ: V → V , genauer, wegen der G- 

Invarianz von U, einen Homomorphismus ϕ: V → U. Ebenfalls wegen der G-Invarianz 

von U, und da π| U die Identität ist, ist ϕ| U offenbar Potenzieren mit |G|, also ein Isomorphismus 

wegen der teilerfremden Operation. Bezeichnet ˜W den Kern von ϕ, ist daher 

U ∩ ˜W = 1. Es folgt V = U × ˜W , denn es ist |V | = |U|| ˜W | da ja |U| = |V/ ˜W |. 

Für v ∈ V und y ∈ G gilt 

(v y )ϕ = 

x∈G(v ∏ ( ) y ∏ yx )π x−1 = ((v yx )π) x−1 y −1 = (vϕ) y . 

x∈G 

Also ist ˜W sogar eine G-invariante Untergruppe von V . 

Die Gruppe G operiere auf einer abelschen Gruppe V . Die Operation (und auch V ) heißt 

irreduzibel, falls V ≠ 1 und 1 und V die einzigen G-invarianten Untergruppen von V sind. 

Dies bedeutet, dass V im semidirekten Produkt GV ein minimaler Normalteiler ist. Die 

Operation heißt halbeinfach, falls jede G-invariante Untergruppe von V ein G-invariantes 

Komplement besitzt. Es ist dann V direktes Produkt irreduzibler Untergruppen. 

□


Ist V eine elementarabelsche p-Gruppe, so besitzt jede Untergruppe von V ein Komplement 

in V . (Man fasse V etwa als Vektorraum über dem Primkörper mit p Elementen 

auf; dann folgt dies aus dem Basisergänzungssatz.) Es ergibt sich also folgender Satz von 

Maschke 52 [38]. 

Satz 11.2 (Maschke (1899)). Operiert die Gruppe G teilerfremd auf der elementarabelschen 

p-Gruppe V , ist diese Operation halbeinfach. 

Den folgenden Satz werden wir nicht verwenden, aber er gehört hierher. 

Satz 11.3. Die Gruppe G operiere teilerfremd auf der abelschen Gruppe V . Dann gilt 

V = C V (G) × [V, G]. 

Beweis. Nach Lemma 10.9(1) gilt V = [V, G]C V (G). Es bleibt, [V, G] ∩ C V (G) = 1 zu 

zeigen. Wir betrachten den Homomorphismus 

ϕ: V → C V (G), vϕ = ∏ x∈G 

(wohldefiniert, da V abelsch). Es gilt [V, G] ≤ Kern ϕ, denn für v ∈ V und x ∈ G 

gilt [v, x]ϕ = (v −1 ϕ)(v x ϕ) = (v −1 ϕ)(vϕ) = 1. Weiterhin ist vϕ = v |G| ≠ 1 für 

1 ≠ v ∈ C V (G) wegen teilerfremder Operation, also C V (G) ∩ Kern ϕ = 1. Damit ist der 

Satz bewiesen. (Es folgt noch Kern ϕ = [V, G], und dass ϕ surjektiv ist.) 

□ 

Man überlege sich genau, was dieser Satz besagt. Die Gruppe G operiert auf [V, G], und 

für v ∈ [V, G] und x ∈ G mit v ≠ 1 und x ≠ 1 gilt v x ≠ v. Die Gruppe G operiert also 

fixpunktfrei auf [V, G]. Auf fixpunktfreie Operation gehe ich aber nicht weiter ein. 

Lemma 11.4. Es seien p und q Primzahlen und V eine abelsche p-Gruppe, V ≠ 1. Operiert 

eine Gruppe A, isomorph zu C q × C q , auf V , dann gibt es 1 ≠ a ∈ A mit C V (a) ≠ 1. 

Beweis. Falls p = q, ist dies wegen 1 ∈ C V (A) nach Feststellung 6.7 unmittelbar einsichtig. 

Es sei also p ≠ q. Zwei verschiedene zyklische Untergruppen der Ordnung q von A schneiden 

sich trivial. Abzählen der von 1 verschiedenen Elemente von A nach Zugehörigkeit zu 

zyklischen Untergruppen zeigt wegen q 2 −1 = (q+1)(q−1), dass es genau q+1 paarweise 

verschiedene Untergruppen der Ordnung q in A gibt (sie bilden eine sogenannte Partition 

von A). Für v ∈ V folgt daher 

∏ ∏ 

v −q v c = v 

∏ 

v a ∈ C V (A). 

1≠C


Beweis. Für a ∈ Z(G) ist C V (a) eine G-invariante Untergruppe von V , also entweder trivial 

oder ganz V . Angenommen, Z(G) ist nicht zyklisch. Dann hat Z(G) eine Untergruppe 

A isomorph zu C q × C q , für eine Primzahl q. Nach Lemma 11.4 gibt es daher 1 ≠ a ∈ A 

mit C V (a) ≠ 1. Damit ist C V (a) = V , im Widerspruch zur treuen Operation von G. □ 

Wir geben als einfache, aber wichtige Folgerung einen Erzeugungssatz. 

Satz 11.6. Die abelsche Gruppe A operiere teilerfremd auf der Gruppe G. Dann gilt G = 

〈C G (B) | B ≤ A und A/B ist zyklisch〉. 

Beweis. Zunächst sei G eine elementarabelsche p-Gruppe. Dann ist G nach dem Satz von 

Maschke (Satz 11.2) direktes Produkt von Untergruppen, auf denen A irreduzibel operiert. 

Damit folgt die Aussage des Satzes aus Satz 11.5 (hier ist A = Z(A)). 

Ist G eine p-Gruppe, ist G/Φ(G) eine elementarabelsche p-Gruppe (siehe Satz 9.20), 

auf der A teilerfremd operiert. Nach dem gerade bewiesenen Fall ist dann G/Φ(G) = 

〈C G/Φ(G) (B) | B ≤ A und A/B ist zyklisch〉, und für B ≤ A gilt nach Lemma 10.7 

C G/Φ(G) (B) = C G (B)Φ(G)/Φ(G). Mit H = 〈C G (B) | B ≤ A und A/B ist zyklisch〉 

gesetzt ist also G = 〈H, Φ(G)〉. Es folgt G = H nach Satz 9.17. 

Nun sei G beliebig. Nach Satz 10.5(1) gibt es zu jedem Primteiler p von |G| eine A- 

invariante p-Sylowuntergruppe G p von G. Da G das Erzeugnis aller G p ist, folgt nun die 

Behauptung aus dem vorigen Fall (G nilpotent). 

□ 

Als weitere Folgerung geben wir noch ein fundamentales Lemma, welches in seinen verschiedenen 

Abwandlungen als Lemma von Schur 53 [58] bekannt ist. 

Lemma 11.7 (Schur (1906)). Es sei q eine natürliche Potenz einer Primzahl p. Operiert 

die Gruppe G treu und irreduzibel auf einem F q -Vektorraum V , dann ist Z(G) zyklisch. Ist 

weiter |Z(G)| = p e m mit nichtnegativen ganzen Zahlen e und m so dass (m, p) = 1, und 

ist m Teiler von q − 1, dann operiert ein Erzeuger von Z(G) auf V durch Multiplikation 

mit einem Skalar aus F q . 

Beweis. Wir stellen zunächst fest, dass e = 0, also |Z(G)| = m | q − 1. Denn für ein 

p-Element aus Z(G) ist C V (x) ein G-invarianter Unterraum von V , der wegen der irreduziblen 

Operation entweder 0 oder V ist. Der erste Fall kommt nicht in Frage, denn im 

semidirekten Produkt 〈x〉V ist C V (x) ≠ 0 nach Folgerung 6.10. Also ist C V (x) = V , und 

x = 1 wegen der treuen Operation. 

Mit einer zyklischen Gruppe C der Ordnung q−1 bilden wir das direkte Produkt G×C. Die 

Operation von G auf V läßt sich zu einer Operation von G × C fortsetzen, indem man verlangt, 

dass ein Erzeuger von C durch Multiplikation mit einem Erzeuger der (zyklischen) 

multiplikativen Gruppe von F q operiert. Es sei H der Kern dieser ebenfalls irreduziblen 

Operation. Nach Satz 11.5 ist Z(G × C/H) zyklisch. Die Ordnung eines jeden Elementes 

in Z(G × C) ist Teiler von q − 1. Also ist das Bild von Z(G × C) in G × C/H zyklisch, 

und seine Ordnung teilt q − 1. Da C treu auf V operiert, folgt Z(G × C) = CH. Damit 

folgt das Lemma. 

□ 

12. ZUM p a q b -SATZ. EIN LEMMA VON BENDER 

In diesem Abschnitt geben wir in § 12.3 ein Lemma von Bender über die Fittinguntergruppen 

der maximalen Untergruppen eines (hypothetischen) nach Ordnung minimalen Gegenbeispiels 

zum p a q b -Satz, wie von Goldschmidt [20] und Matsuyama [39] dargestellt. 



Zunächst ist es jedoch wirklich an der Zeit, p-Gruppen vom kleinsten Rang anzuschauen 

(§ 12.1). Dann benötigen wir noch eine interessante Folgerung aus dem P × Q Lemma 

(§ 12.2). 

12.1. Die p-Gruppen vom p-Rang 1. Für eine Primzahl p ist der p-Rang einer Gruppe G 

der größtmögliche Rang, 54 den eine ihrer elementarabelschen p-Untergruppen haben kann. 

Wir klassifizieren die p-Gruppen vom p-Rang 1, indem wir folgenden Satz beweisen. 

Satz 12.1. Es sei G eine p-Gruppe mit genau einer Untergruppe der Ordnung p. Dann ist 

entweder G zyklisch, oder es ist p = 2 und G eine Quaternionengruppe. 

Dabei erklärt sich die Voraussetzung des Satzes durch folgende Feststellung. 

Feststellung 12.2. Es sei G eine p-Gruppe, die keine zu C p × C p isomorphe Untergruppe 

besitzt. Dann hat G genau eine Untergruppe der Ordnung p. 

Beweis. Angenommen, G enthält zwei Untergruppen A und B der Ordnung p. Dann 

können nicht beide in Z(G) liegen, da wegen A∩B = 1 sonst 〈A, B〉 = A×B ∼ = C p ×C p 

gilt. Andererseits ist Z(G) ≠ 1 (Folgerung 6.10), so dass es eine Untergruppe C der Ordnung 

p von G gibt, die in Z(G) liegt. Liegt etwa A nicht in Z(G), ist 〈A, C〉 ∼ = C p × C p , 

im Widerspruch zur Voraussetzung. 

□ 

Der Übersichtlichkeit halber kündige ich den Beweis von Satz 12.1 durch zwei Lemmas 

an. 

Lemma 12.3. Es sei G eine nicht abelsche 2-Gruppe, die genau ein Element der Ordnung 

2 enthält und einen zyklischen Normalteiler vom Index 2 besitzt. Dann ist G eine 

Quaternionengruppe. 

Beweis. Es sei y ein Element aus G, welches einen zyklischen Normalteiler vom Index 2 

erzeugt, und x ein Element aus G, welches nicht in 〈y〉 liegt. Weiter sei z das Element der 

Ordnung 2 in G. Es ist 〈z〉 die Untergruppe der Ordnung 2 in 〈y〉. Es ist G = 〈x, y〉 und 

x 2 ∈ 〈y〉. Da G ≠ 〈x〉, ist x 2 kein Erzeuger von 〈y〉, also x 2 ≤ 〈y 2 〉. 

Falls y x = y −1 gilt, also Konjugation mit x jedes Element aus 〈y〉 invertiert, invertiert x 

sein Quadrat, woraus x 4 = 1 folgt. Da z einziges Element der Ordnung 2 in G ist, ist damit 

x 2 = z und G eine Quaternionengruppe. 

Damit können wir annehmen, dass y Ordnung ≥ 8 hat. Nach Satz 5.13(6) gibt es für 

die Operation von x auf 〈y〉 außer y x = y −1 noch zwei weitere Möglichkeiten, nämlich 

y x = y −1 z oder y x = yz. Damit gilt (y 2 ) x = y −2 oder (y 2 ) x = y 2 . Betrachten wir den 

ersten Fall. Wegen x 2 ∈ 〈y 2 〉 invertiert dann x sein Quadrat, so dass x 2 = z gilt. Aus 

y x = y −1 z würde daher (x −1 y) 2 = x −1 yx −1 y = y x x −2 y = (y −1 z)zy = 1 folgen, im 

Widerspruch dazu, dass z einziges Element der Ordnung 2 ist. Aus y x = yz würde durch 

quadrieren y −2 = (y 2 ) x = y 2 , also y 4 = 1 folgen, was wir bereits ausgeschlossen haben. 

Also gilt im ersten Fall wie gewünscht y x = y −1 . Angenommen, der zweite Fall tritt ein, 

(y 2 ) x = y 2 . Dann ist y x ≠ y −1 . Aus y x = y −1 z würde durch quadrieren y 2 = (y 2 ) x = 

y −2 , also der Widerspruch y 4 = 1 folgen. Bleibt nur die Möglichkeit y x = yz. Setze 

P = 〈x, y 2 〉. Dann ist P eine abelsche Gruppe. Da z einziges Element der Ordnung 2 ist, 

ist P zyklisch nach Satz 5.8. Ein Erzeuger von P läßt sich in der Form xy 2n mit n ≥ 0 

schreiben; es ist dann y 2 ∈ 〈x 2 y 4n 〉, woraus 〈x 2 〉 = 〈y 2 〉 folgt. Es haben also x und y 

dieselbe Ordnung, sagen wir, 2 m . Beachte, nach Voraussetzung ist m ≥ 3. Mit Lemma 4.9 

folgt weiter |G| = |〈x〉〈y〉| = 2 m+1 . Setze Ḡ = G/〈z〉. Dann ist |Ḡ| = 2m , und Ḡ wird 

54 Definiert auf Seite15.


von den zwei Elementen ¯x und ȳ erzeugt, die beide Ordnung 2 m−1 haben. Das Bild einer 

zyklischen Untergruppe von G in Ḡ kann nicht ganz Ḡ sein, da die zyklische Untergruppe 

ja 〈z〉 enthalten muß und G nicht zyklisch ist. Da Ḡ abelsch ist, folgt Ḡ ∼ = C 2 m−1 × C 2 

mit Satz 5.8. Es seien a, b ∈ G mit Ḡ = 〈ā〉 × 〈¯b〉, wobei ā Ordnung 2 m−1 und ¯b Ordnung 

2 habe. Da 〈z〉 in 〈a〉 und 〈b〉 liegt, hat a Ordnung 2 m und b Ordnung 4. Es ist a b ∈ a〈z〉, 

also (a 2 ) b = a 2 . Wegen m ≥ 3 vertauschen also die Elemente a 2m−2 und b, und beide 

ergeben quadriert z. Da das Bild von a 2m−2 b in Ḡ ungleich 1 ist, hat b also Ordnung 

a2m−2 

2 und ist von z verschieden, ein Widerspruch. Der zweite Fall tritt also nicht ein, und das 

Lemma ist bewiesen. 

□ 

Lemma 12.4. Es sei G eine nicht abelsche p-Gruppe, mit p > 2, die einen zyklischen 

Normalteiler N vom Index p besitzt. Dann gibt es ein a in G der Ordnung p mit G = 〈a〉N. 

Beweis. Es sei x ∈ G \ N. Dann ist G = 〈x〉N und x p ∈ N. Es sei y ein Erzeuger von 

N. Da G nicht abelsch ist, ist nach Satz 5.13(4) |N| ≥ p 2 und y x = yz mit einem Element 

z in N der Ordnung p. Insbesondere gilt [y p , x] = 1. Da G nicht zyklisch ist, ist x p kein 

Erzeuger von N, und es gibt n ∈ N mit x p = y np . Ist p Teiler von n, vertauscht x mit y n , 

und a = xy −n ist ein Element der Ordnung p mit G = 〈a〉N. Andernfalls können wir y 

durch y −n , ebenfalls Erzeuger von N, ersetzen, und z durch z −n , so dass gilt y x = yz und 

x p = y −p (das ist Kosmetik, damit folgende Rechnung schöner aussieht). Dann ist 

(xy) p = (xy) · · · (xy)(xy) = x p y xp−1 · · · y x y = x p y p z (p−1)+...+2+1 

= x p y p z (p 2) = x p y p = 1, 

wobei die vorletzte Gleichheit gilt, da p ungerade. Mit a = xy hat a also Ordnung p und 

es ist G = 〈a〉N. 

□ 

Beweis von Satz 12.1. Ist G abelsch, ist G zyklisch nach Satz 5.8. Nehmen wir also an, 

dass G nicht abelsch ist. Eine nichttriviale, echte Untergruppe von G hat ebenfalls genau 

eine Untergruppe der Ordnung p, so dass wir per Induktion nach |G| annehmen dürfen, 

dass echte Untergruppen von G zyklisch oder Quaternionengruppen (im Fall p = 2) sind. 

Es sei N ein maximaler abelscher Normalteiler von G. Dann ist N zyklisch, und es gilt 

C G (N) = N nach Lemma 9.21. Damit ist G/N via Konjugationsoperation isomorph 

zu einer Untergruppe von Aut(N) (siehe die Bemerkungen zu Beginn von § 10.1). Es sei 

x ∈ G \ N mit x p ∈ N. Dann ist 〈x, N〉 eine nicht abelsche p-Gruppe, in der N Index p 

hat. Nach Lemma 12.4 ist also p = 2. Weiterhin ist 〈x, N〉 eine Quaternionengruppe nach 

Lemma 12.3. Es operiert x also durch invertieren auf N. Wegen C G (N) = N gibt es also 

nur ein Element der Ordnung 2 in G/N, und dies ist xN. Weiterhin gilt nach Satz 5.13(6), 

dass γ 2 , für γ ∈ Aut(N), nicht durch invertieren auf N operiert. Also enthält G/N kein 

Element der Ordnung 4. Es folgt |G/N| = 2 und G = 〈x, N〉. Der Satz ist bewiesen. □ 

12.2. Eine Anwendung des P × Q Lemmas von Thompson. Wir brauchen für den 

nächsten Satz ein kleines Hilfslemma, welches von allgemeiner Natur und damit auch 

sonst zu gebrauchen ist. 

Lemma 12.5. Die Gruppe G habe eine p-Untergruppe P und einen p ′ -Normalteiler N. 

Mit Ḡ = G/N ist dann NḠ ( ¯P ) = N G (P ) und C Ḡ ( ¯P ) = C G (P ). 

Beweis. Es ist jeweils nur eine Inklusion zu zeigen. Sei x ∈ G mit ¯x ∈ N Ḡ ( ¯P ). Dann 

ist P x ∈ P N. Wegen |P N| = |P ||N| (Lemma 4.9) ist P, P x ∈ Syl p (P N), und nach 

dem Satz von Sylow gibt es y ∈ N mit P = P xy , dass heißt xy ∈ N G (P ) und ¯x = 

xy ∈ N G (P ). Damit ist eine der Inklusionen gezeigt. Es sei weiter ¯x ∈ C Ḡ ( ¯P ) ≤ N Ḡ ( ¯P ).


Für z ∈ P gilt dann also z x ∈ zN und z xy ∈ y −1 zyN = z[z, y]N = zN. Es folgt 

z xy ∈ P ∩ zN = {z}. Also ist xy ∈ C G (P ) und ¯x = xy ∈ C G (P ). Damit ist die zweite 

der Inklusionen gezeigt. 

□ 

Als wichtige Anwendung des P × Q Lemmas beweisen wir nun den folgenden Satz. 

Satz 12.6. Es sei G eine Gruppe, und für eine Primzahl p sei Ḡ = G/O p ′(G) gesetzt. Es 

gelte C Ḡ (O p (Ḡ)) ≤ Op(Ḡ). Für eine p-Untergruppe P von G gilt dann O p ′(N G(P )) ≤ 

O p ′(G). 

Beweis. Setze L = O p ′(N G (P )). Es sind L und P Normalteiler von N G (P ) von teilerfremder 

Ordnung, so dass [L, P ] ≤ L ∩ P = 1, also L ≤ C G (P ) ≤ N G (P ) gilt. Dies 

zeigt L = O p ′(C G (P )). Mit Lemma 12.5 folgt ¯L = O p ′(C G (P )) = O p ′(C Ḡ ( ¯P )), und es 

gilt O p ′(Ḡ) = 1. Wir nehmen daher O p ′(G) = 1 an und haben dann O p ′(C G(P )) = 1 

zu zeigen. Setze Q = O p ′(C G (P )) und H = O p (G). Es ist A = 〈P, Q〉 = P × Q und 

A operiert auf H. Weiter ist C H (P ) C G (P ), also C H (P ) ≤ O p (C G (P )), da H eine 

p-Gruppe ist. Damit ist [C H (P ), Q] = 1. Mit dem P × Q Lemma (Lemma 10.10) folgt 

Q ≤ C G (H). Nach Voraussetzung gilt C G (H) ≤ H. Es folgt Q = 1, wie gewünscht. □ 

Satz 12.7. Für eine p-Untergruppe P einer auflösbaren Gruppe G gilt O p ′(N G (P )) ≤ 

O p ′(G). 

Beweis. Die Voraussetzung von Satz 12.6 ist nach Satz 9.29 erfüllt. 

□ 

Man kann sagen, dass die in N G (P ) charakteristische Untergruppe O p ′(N G (P )) gewissermaßen 

von O p ′(G) ‘kontrolliert’ wird. Es hätte genügt, G als p-separabel vorauszusetzen, 

siehe Satz 9.33. 

12.3. Ein Lemma von Bender. Für ein (nach Ordnung) minimales Gegenbeispiel G zum 

p a q b -Satz seien zunächst ein paar seiner offenbaren Eigenschaften notiert, die im folgenden 

wiederholt verwendet werden. Es ist jede echte Untergruppe von G auflösbar. Es ist 

auch klar, dass G eine einfache, nicht abelsche Gruppe ist (nach Feststellung 9.24). Ist 

M eine maximale Untergruppe von G und H ein nichttrivialer Normalteiler von M, gilt 

M = N G (H). Weiterhin, ist P ∈ Syl p (G) und Q ∈ Syl q (G), dann ist G = P Q (nach 

Lemma 4.9 gilt |P Q| = |P ||Q| = |G|). 

Bezeichnet r eine der Primzahlen p und q, so soll r ′ die andere bezeichnen. 

Bevor ich endlich das Lemma von Bender gebe, halte ich noch eine einfache Beobachtung 

fest. 

Lemma 12.8. Es sei G ein minimales Gegenbeispiel zum p a q b -Satz, und r ∈ {p, q}. Dann 

normalisiert eine r-Sylowuntergruppe von G keine nichttriviale r ′ -Untergruppe von G. 

Beweis. Es sei R ∈ Syl r (G) mit R ≤ N G (T ) für eine r ′ -Untergruppe T von G. Da 

G = SR für eine r ′ -Sylowuntergruppe S von G, folgt aus dem Satz von Sylow, dass R 

durch Konjugation transitiv auf den r ′ -Sylowuntergruppen von G operiert, so dass in deren 

Durchschnitt T liegt. Wegen O r ′(G) = 1 folgt T = 1. 

□ 

Lemma 12.9 (Bender). Es sei G ein minimales Gegenbeispiel zum p a q b -Satz, und M 

eine maximale Untergruppe von G. Dann ist die Fittinguntergruppe F(M) von M eine 

r-Gruppe, mit r ∈ {p, q}.


Beweis. Setze F = F(M). Wir führen einen Widerspruchsbeweis, nehmen also an, dass 

|F | von p und von q geteilt wird. Setze Z = Z(F ). Es sei F p bzw. F q die p- bzw. q- 

Sylowuntergruppe von F , und ähnlich Z p bzw. Z q die p- bzw. q-Sylowuntergruppe von Z. 

Es ist also F = F p × F q und Z = Z p × Z q . Man beachte im folgenden, dass Z p ≠ 1 und 

Z q ≠ 1 ist, nach Folgerung 6.10. 

Wir zeigen zuerst, dass M die einzige maximale Untergruppe von G ist, die Z enthält. Es 

sei also L eine maximale Untergruppe von G, die Z enthält. Wir wollen L = M zeigen. Es 

gilt Z p M, und da M maximale Untergruppe von G ist, gilt also M = N G (Z p ). Ebenso 

M = N G (Z q ). Folglich gilt N L (Z q ) ≤ M und Z p ≤ O p (N L (Z q )) = O q ′(N L (Z q )). Nach 

Satz 12.7 ist O q ′(N L (Z q )) ≤ O q ′(L), womit Z p ≤ O p (L). Es folgt O q (L) ≤ N G (Z p ) = 

M, und wegen N M (O q (L)) ≤ L gilt O p (L) ≤ O q ′(N M (O q (L))). Nach Satz 12.7 ist 

O q ′(N M (O q (L))) ≤ O q ′(M) = O p (M). Also gilt O p (L) ≤ O p (M). Ebenso O q (L) ≤ 

O q (M), womit F(L) ⊆ F(M). Da auch die Ordnung von F(L) von pq geteilt wird, folgt 

aus Symmetriegründen F(L) = F(M). Damit ist L = N G (F(L)) = N G (F(M)) = M, wie 

gewünscht. 

Wir zeigen als nächstes, dass F r , für ein r ∈ {p, q}, zwei verschiedene Untergruppen 

der Ordnung r hat. Dabei werden wir folgende Vorbemerkung mehrfach benutzen. Falls 

R eine r-Sylowuntergruppe von M ist, mit r ∈ {p, q}, dann enthält R keine nichttriviale 

charakteristische Untergruppe, die normal in M ist. Denn wäre H eine solche, wäre 

N G (R) ≤ N G (H) = M, also R ∈ Syl r (G) nach Satz 6.16. Wegen R ≤ N G (O q (F )) 

widerspräche dies aber Lemma 12.8. 

Wir nehmen zunächst an, dass p = 2 und F q zyklisch ist. Wir zeigen, dass F 2 weder 

zyklisch noch eine Quaternionengruppe ist. Angenommen, F 2 ist zyklisch. Es sei 

Q ∈ Syl q (M). Da Q/C Q (F 2 ) als Untergruppe von Aut(F 2 ) aufgefasst werden kann, also 

nach Satz 5.13(1) eine 2-Gruppe ist, gilt Q = C Q (F 2 ). Damit ist Z(Q) ≤ C M (F ). Da 

C M (F ) ≤ M nach Satz 9.28, also Z(Q) ≤ F q . Damit ist, da F q zyklisch ist, Z(Q) M, 

im Widerspruch zur Vorbemerkung. Nun sei angenommen, dass F 2 eine Quaternionengruppe 

ist. Es sei P ∈ Syl 2 (M). Da P/C P (F q ) nach Satz 5.13(1) abelsch ist, gilt P ′ ≤ 

C P (F q ), und wie eben folgt 1 ≠ P ′ ∩ Z(P ) ≤ F 2 . Damit enthält P ′ ∩ Z(P ), genauso 

wie F 2 , genau eine Untergruppe H der Ordnung 2, und diese ist charakteristisch in P und 

normal in M, im Widerspruch zur Vorbemerkung. 

Nach Satz 12.1 gilt daher im Fall p = 2: Ist F q zyklisch, enthält F 2 zwei verschiedene 

Untergruppen der Ordnung 2. Ist F q nicht zyklisch, enthält (da q ungerade) F q zwei 

verschiedene Untergruppen der Ordnung q. 

Wir können also annehmen, dass p und q ungerade sind um zu zeigen, dass F r , für ein 

r ∈ {p, q}, zwei verschiedene Untergruppen der Ordnung r hat. Angenommen, dies gilt 

nicht. Dann ist F zyklisch nach Satz 12.1. Wir nehmen p < q an. Es sei Q ∈ Syl q (M). 

Dann ist [Q, F p ] = 1 nach Satz 5.13(1). Wegen C M (F ) ≤ M ist also C Q (F q ) = F q . 

Weiterhin ist Q/C Q (F q ) isomorph zu einer Untergruppe von Aut(F q ), also abelsch. Es sei 

H = Q falls Q = F q , und H = Q ′ ≤ F q falls Q < F q . Dann ist H eine nichttriviale 

charakteristische Untergruppe von Q, die normal in M ist. Dies widerspricht ein letztes 

Mal der Vorbemerkung. 

Nun gibt es also, siehe Feststellung 12.2, ein r ∈ {p, q}, so dass F r eine zu C r × C r 

isomorphe Untergruppe V besitzt. Für ein x in V \ {1} gilt Z ≤ C G (x), also C G (x) ≤ 

M, da M die einzige maximale Untergruppe von G ist, die Z enthält. Es sei R eine V 

enthaltende r-Sylowuntergruppe von M. Es sei H irgendeine r ′ -Untergruppe von G, die 

von R normalisiert wird. Dann gilt H = 〈C H (x) | x ∈ V \ {1}〉 nach Satz 11.6. Also ist 

H ≤ M. Wähle S ∈ Syl r ′(G) mit H ≤ S. Für x ∈ R gilt H = H x ≤ S x . Wegen


M = SR folgt H ≤ ⋂ x∈R Sx = ⋂ y∈M Sy = O r ′(M) = F r ′. Also ist F r ′ die einzige 

maximale r ′ -Untergruppe von G, die von R normalisiert wird. Ist nun x ∈ N G (R), wird 

(F r ′) x von R normalisiert, so dass (F r ′) x = F r ′ und x ∈ N G (F r ′) = M folgt. Es ist 

also N G (R) ≤ M. Es folgt R ∈ Syl r (G) nach Satz 6.16, was wegen R ≤ N G (F q ) aber 

Lemma 12.8 widerspricht. Das Lemma ist bewiesen. 

□ 

13. DER SATZ VON BAER–SUZUKI 

Ein Resultat von Baer [4] (wiedergegeben in [27, III.6.15]) hat die wichtige Folge, für 

ein p-Element einer Gruppe G notwendige und hinreichende Bedingungen zu geben um 

in O p (G) zu liegen. Dieses Kriterium wurde auch von Suzuki [60, S. 196] mit einem 

vollständig anderen Argument bewiesen. Sein Beweis ist in [22, Theorem 3.8.2] wiedergegeben. 

Die wichtigste Anwendung ist vielleicht die Folgerung, dass in einer einfachen 

Gruppe jede Involution ein nichtriviales Element ungerader Ordnung invertiert. Ich gebe 

zunächst den kurzen, von Alperin und Lyons [1] gegebenen Beweis wieder, der Elemente 

der Beweise von Baer und Suzuki miteinander verbindet. 

Satz 13.1 (Baer–Suzuki). Ein p-Element x einer Gruppe G liegt in O p (G) genau dann, 

wenn je zwei Konjugierte von x eine p-Untergruppe von G erzeugen. 

Beweis. In eine Richtung ist der Schluß offensichtlich. Wir können also annehmen, dass 

K eine Konjugiertenklasse von p-Elementen in G ist, dass je zwei Elemente von K eine 

p-Gruppe erzeugen, und K O p (G), und haben dann einen Widerspruch herzuleiten. 

Wir zeigen zunächst, dass es p-Sylowuntergruppen P und Q von G gibt mit K ∩ P ≠ K ∩ 

Q. Dazu sei P irgendeine p-Sylowuntergruppe von G. Da 〈K〉 normal in G und folglich 

keine p-Gruppe ist, gilt K O p (G). Nun wähle y ∈ K \ P und ein p-Sylowuntergruppe 

Q mit y ∈ Q. Dann ist sicher K ∩ P ≠ K ∩ Q. 

Unter allen Paaren P und Q von p-Sylowuntergruppen mit K ∩ P ≠ K ∩ Q wähle ein 

Paar mit |K ∩ P ∩ Q| maximal. Da P und Q konjugiert sind, gilt |K ∩ P | = |K ∩ Q|, 

womit K ∩ P Q und K ∩ Q P folgt. Setze D = 〈K ∩ P ∩ Q〉, und wähle eine 

Untergruppenreihe D = P 0 der Index |P j : P j−1 | gleich 

p ist. Da K ∩ P Q und D ≤ Q, gilt K ∩ P D. Es gibt also einen positiven Index 

i mit K ∩ P i D. Wir wählen den kleinsten, und x ∈ K ∩ P i mit x /∈ D. Wir zeigen 

x ∈ N G (D). Zunächst normalisiert x die Gruppe P i−1 , denn es ist P i−1 P i wegen 

|P i : P i−1 | = p. Damit normalisiert x die Menge K ∩ P i−1 , welche nach Wahl von i mit 

K ∩D übereinstimmt. Damit normalisiert x das Erzeugnis 〈K ∩ D〉 = D, wie gewünscht. 

Analog folgt, dass es y ∈ K ∩ Q mit y /∈ D und x ∈ N G (D) gibt. Nun ist, da x, y ∈ K, 

nach Voraussetzung 〈x, y〉 eine p-Gruppe. Da 〈x, y〉 ≤ N G (D), ist auch 〈x, y, D〉 eine 

p-Gruppe. Es sei R eine p-Sylowuntergruppe von G, welche 〈x, y, D〉 enthält. Dann gilt 

K ∩ P ∩ R ⊇ (K ∩ D) ∪ {x} und damit |K ∩ P ∩ R| > |K ∩ D| ≥ |K ∩ P ∩ Q|. Ebenso 

ergibt sich |K ∩ Q ∩ R| > |K ∩ P ∩ Q|. Nach der maximalen Wahl von |K ∩ P ∩ Q| folgt 

K ∩ P = K ∩ R = K ∩ Q, ein Widerspruch. 

□ 

Der Satz von Baer–Suzuki gilt tatsächlich in allgemeinerer Form. Wielandt hat in [71] 

Subnormalität in endlichen Gruppen untersucht und dabei den Satz als Korollar erhalten. 

Siehe dazu auch die Darstellung in [34, § 6.7]. 

Wir benutzen zum Beweis einer Verallgemeinerung das folgende Lemma, welches leicht 

abgewandelt Übung 4 aus Kapitel 11 in [3] ist. Als Vorläufer will ich [39, Lemma 2] 

bezeichnen. Wir werden wieder einmal Feststellung 6.7 auf die Operation einer p-Gruppe 

anwenden.


Lemma 13.2. Es sei P eine p-Gruppe und ∆ eine (unter Konjugation) P -invariante Kollektion 

von Untergruppen von P . Ist Γ ⊂ ∆ mit 〈Γ〉 ≤ N P (Γ), dann gibt es D ∈ ∆ \ Γ 

mit D ≤ N P (Γ). 

Beweis. Setze G = 〈Γ〉. Die p-Gruppe G operiert auf Ω = {Γ x | x ∈ P } durch Konjugation. 

Ist Ω einelementig, gilt P = N P (Γ), und die Aussage des Lemmas ist trivial. Sei 

also |Ω| > 1. Nach Voraussetzung ist Γ ∈ Ω ein Fixpunkt unter der Operation von G. Also 

gibt es zumindest noch einen weiteren, etwa Γ x , dass heißt, es ist G ≤ N P (Γ x ) und es gibt 

C ∈ Γ mit C /∈ Γ x . Es folgt D = C x−1 /∈ Γ und D = C x−1 ≤ G x−1 ≤ N P (Γ). □ 

Nun folgen wir im wesentlichen [3, (39.6)]. 

Satz 13.3 (Baer–Suzuki). Es sei X eine p-Untergruppe von G, so dass für jedes g ∈ G 

auch 〈X, X g 〉 eine p-Gruppe ist. Dann gilt X ≤ O p (G). 

Beweis. Wir nehmen an, dass G ein Gegenbeispiel ist, dass also X O p (G) gilt. Es 

sei S ∈ Syl p (G) und Ω = {X g ∩ S h | g, h ∈ G} gesetzt. Es operiert G auf Ω durch 

Konjugation. Da G Gegenbeispiel ist, ist der Normalteiler 〈Ω〉 von G keine p-Gruppe. 

Wähle nun P ∈ Syl p (G) so, dass für ∆ = {D ∈ Ω | D ≤ P } die in P enthaltene 

p-Gruppe 〈∆〉 möglichst große Ordnung hat. Es ist ∆ ⊂ Ω. Für jedes F ∈ Ω \ ∆ ist 

〈∆, F 〉 P , also |〈∆, F 〉| > |〈∆〉|, und somit ist nach Wahl von P die Gruppe 〈∆, F 〉 

keine p-Gruppe (andernfalls läge sie ja in einer p-Sylowuntergruppe). Es sei nun Γ ⊆ 

∆ maximal gewählt mit der Eigenschaft, dass 〈Γ, F 〉 eine p-Gruppe für ein F ∈ Ω \ 

∆ ist. Beachte, nach Voraussetzung ist Γ nicht leer, und es gilt Γ ⊂ ∆. Wir bemerken, 

dass 〈Γ〉 ≤ N G (Γ) gilt. Denn andernfalls gäbe es g ∈ 〈Γ〉 und D ∈ Γ mit D g /∈ Γ, 

was wegen 〈Γ, F 〉 = 〈Γ ∪ {D g }, F 〉 der Maximalität von Γ widersprechen würde. Nach 

Lemma 13.2, angewandt auf die Situation in P , gibt es also D 0 ∈ ∆ \ Γ mit D 0 ≤ N P (Γ). 

Nun betrachten wir die p-Gruppe Q = 〈Γ, F 〉. Setze ˜∆ = {D ∈ Ω | D ≤ Q}. Es ist 

Γ ⊂ ˜∆ wegen F ∈ ˜∆ \ Γ. Nach Lemma 13.2 gibt es also F 0 ∈ ˜∆ \ Γ mit F 0 ≤ N Q (Γ). 

Angenommen, es gilt F 0 ∈ ∆. Dann ist Γ ∪ {F 0 } ⊆ ∆ und Q = 〈Γ ∪ {F 0 }, F 〉, eine 

p-Gruppe, also Γ ∪ {F 0 } = Γ nach Maximalität von Γ, im Widerspruch zu F 0 /∈ Γ. 

Also gilt F 0 /∈ ∆. Nun sei Γ 0 = Γ ∪ {D 0 } gesetzt. Dann ist Γ ⊂ Γ 0 ⊆ ∆, und wegen der 

Maximalität von Γ ist R = 〈Γ 0 , F 〉 keine p-Gruppe. Es ist aber R ≤ N G (Γ), und 〈Γ〉 ist ein 

in P enthaltener nichttrivialer Normalteiler von N G (Γ). Wir können annehmen, dass G ein 

Gegenbeispiel minimaler Ordnung ist. Dann gilt N G (Γ) = G, denn R ist das Erzeugnis der 

Elemente aus Ω, die in R liegen, und je zwei Konjugierte davon erzeugen eine p-Gruppe, 

aber R ist keine p-Gruppe. Also ist O p (G) ≠ 1, und G/O p (G) kein Gegenbeispiel. Damit 

ist aber auch G kein Gegenbeispiel, ein Widerspruch. 

□ 

14. MATSUYAMAS BEWEIS DES 2 a q b -SATZES 

Ich gebe den Beweis von Matsuyama [39] für folgenden Satz. 

Satz 14.1. Gruppen der Ordnung 2 a q b sind auflösbar. 

Um eine etwas kürzere Sprechweise zur Verfügung zu haben, treffen wir die folgende Definition 

(wie in [6, S. 330]). Für eine Primzahl r heiße ein von 1 verschiedenes r-Element 

x einer Gruppe G zentral, falls x im Zentrum einer (geeigneten) r-Sylowuntergruppe von 

G liegt. 

Ist r ein Teiler der Ordnung von G, so besitzt G zentrale r-Elemente. Achtung: Wir verlangen 

nicht, dass x zentral in G ist, auch wenn dies der Sprechweise nach irrtümlicherweise


angenommen werden könnte. Ob ein r-Element zentral ist oder nicht, hängt von der Gruppe 

ab, in der es liegt; wir sagen x ist zentrales Element von G. 55 

Zum Beweis von Satz 14.1 halten wir zunächst eine unmittelbare Folgerung aus dem Satz 

von Baer–Suzuki fest. 

Lemma 14.2. Angenommen, es ist G eine Gruppe der Ordnung 2 a q b mit a, b ≥ 1 und 

mit sowohl O 2 (G) = 1 als auch O q (G) = 1. Dann hat G eine maximale Untergruppe M, 

welche sowohl zentrale 2-Elemente als auch zentrale q-Elemente von G enthält. 

Beweis. Sei x ein zentrales 2-Element von G. Wegen O 2 (G) = 1 gibt es nach Satz 13.1 

ein y in G, in G konjugiert zu x, so dass 〈x, y〉 keine 2-Gruppe ist. Da 〈x, y〉 eine Diedergruppe 

ist (siehe Beispiel 10.1), enthält 〈xy〉 eine eindeutig bestimmte Untergruppe 

A der Ordnung q. Es sei H = N G (A). Nach Voraussetzung ist H < G. Da A in einer 

q-Sylowuntergruppe von G liegt, enthält H zentrale q-Elemente von G, und da x durch 

invertieren auf A operiert, liegt auch das zentrale 2-Element x von G in H. Nun wähle 

man eine beliebige maximale Untergruppe M von G, welche H enthält, und sie hat die 

gewünschte Eigenschaft. 

□ 

Satz 14.1 folgt nun aus dem folgenden Lemma, denn ein minimales Gegenbeispiel zum 

p a q b -Satz ist einfach (hat also triviale Fittinguntergruppe). 

Lemma 14.3. Es sei G ein minimales Gegenbeispiel zum p a q b -Satz. Dann besitzt G keine 

maximale Untergruppe M, welche sowohl zentrale p-Elemente als auch zentrale q- 

Elemente von G enthält. 

Beweis. Wir nehmen das Gegenteil an. Es sei also M eine maximale Untergruppe von 

G, welche sowohl zentrale p-Elemente als auch zentrale q-Elemente von G enthält. Nach 

Lemma 12.9 ist F(M) eine r-Gruppe, mit r ∈ {p, q}. Es sei {r, r ′ } = {p, q}. Es sei 

R ∈ Syl r (G) mit F(M) ≤ R. Es ist also Z(R) ≤ C G (F(M)). Da M = N G (F(M)), folgt 

Z(R) ≤ M, und wegen Satz 9.28 sogar Z(R) ≤ F(M). Es sei x ein zentrales r ′ -Element 

von G mit x ∈ M, und S ∈ Syl r ′(G) mit x ∈ Z(S). 

Es sei A = 〈Z(R) 〈x〉〉, eine r-Gruppe, da in F(M) liegend, mit A x = A. Setze ∆ = 

{A y | y ∈ S}. Wegen x ∈ Z(S) gilt B x = B für B ∈ ∆. Beachte, für g ∈ G gibt es 

B ∈ ∆ mit Z(R) g ≤ B, denn wegen G = RS gibt es y ∈ S mit Z(R) g = Z(R) y , so dass 

Z(R) g ≤ 〈Z(R) y〈x〉〉 = 〈Z(R) 〈x〉〉 y = A y ∈ ∆. 

Es sei nun Γ ⊆ ∆ maximal gewählt mit der Eigenschaft, dass 〈Γ〉 eine r-Gruppe ist. Setze 

H = 〈Γ〉, und beachte H ≠ 1. Wähle T ∈ Syl r (G) mit H ≤ T . Es gilt H x = H. 

Angenommen, es gilt H T . Dann ist x G = x ST = x T ⊆ N G (H). Es ist aber G = 

〈x G 〉, da G einfach ist, und damit G = N G (H), im Widerspruch zur Einfachheit von G. 

Also ist H nicht normal in T , und die r-Gruppe H operiert auf der nichtleeren Menge 

Ω = {H z | z ∈ T } \ {H}. Es ist |Ω| ≡ 1 mod r, so dass es nach Feststellung 6.7 ein 

z ∈ T gibt mit H z ≠ H und H ≤ N G (H z ), also mit H z−1 ≠ H und H z−1 ≤ N G (H). Da 

H z−1 von Konjugierten von Z(R) erzeugt wird, gibt es daher g ∈ G mit Z(R) g H und 

Z(R) g ≤ N G (H). Wie bereits festgestellt, gibt es y ∈ S mit Z(R) g = Z(R) y , und wegen 

x ∈ N G (H) folgt A y = 〈Z(R) y〈x〉〉 ≤ N G (H). Wegen A y H ist A y ∈ ∆ \ Γ, aber 

〈Γ ∪ {A y }〉 ist gleich 〈H, A y 〉, also wegen A y ≤ N G (H) eine r-Gruppe, im Widerspruch 

zur Maximalität von Γ. Damit ist das Lemma bewiesen. 

□ 

55 Es sei bemerkt, dass diese Definition natürlich auch Sinn macht für nichttriviale r-Untergruppen von G 

anstelle von r-Elementen.


15. ZWEIDIMENSIONALE LINEARE GRUPPEN 

Ich gebe in § 15.1 elementare Eigenschaften der zweidimensionalen allgemeinen linearen 

Gruppen über endlichen Körpern, und beweise die Einfachheit der speziellen projektiven 

linearen Gruppen PSL(2, q), q > 3. Diese Gruppen spielen eine wichtige Rolle bei verschiedenen 

gruppentheoretischen Betrachtungen. 

In § 15.2 gebe ich einen Satz von Dickson über das Erzeugnis von zwei nicht vertauschenden 

Elementen der Ordnung p in der speziellen linearen Gruppe SL(2, q). Der Leser 

mag den längeren Beweis (zunächst) übergehen. Ich merke an, dass Dickson in seinem 

Buch [14] für die Gruppen SL(2, q) eine vollständige Liste ihrer Untergruppen gegeben 

hat, siehe dafür etwa Kapitel 3, § 6 in [61] oder Kapitel II, § 8 in [27]. Daraus läßt sich der 

genannte Satz von Dickson kurz ableiten, siehe [61, Theorem 6.21]. Ein weiterer Beweis 

ist in [28, Theorem IX.7.6] gegeben. Ich folge der Darstellung in [22]. 

15.1. Die speziellen linearen Gruppen SL 2 (q). Es sei p eine Primzahl, r eine natürliche 

Zahl, und q = p r gesetzt. Es sei GL(2, q) die Gruppe der invertierbaren 2 × 2 Matrizen 

mit Einträgen aus dem Körper F q mit q Elementen, also die Gruppe der Einheiten des 

Ringes der 2 × 2 Matrizen über F q . Diese wird als zweidimensionale allgemeine lineare 

Gruppe über F q bezeichnet. Dies ist eine statische Beschreibung der Gruppe, da wir 

hier gewissermaßen bereits eine Basiswahl vorgenommen haben. Für eine dynamische Beschreibung 

lasse man GL(2, q) auf dem zugrundeliegenden Vektorraum V = F q ⊕F q durch 

Rechtsmultiplikation operieren. Dann kann man nach einer Basiswahl die Matrizengruppe 

GL(2, q) mit der Gruppe GL(V ) der Automorphismen des Vektorraums V identifizieren. 

Die Operation von GL(2, q) auf V gibt in natürlicher Weise eine Operation von GL(2, q) 

auf der Menge Ω der eindimensionalen Unterräume von V . Explizit haben wir für 0 ≠ v ∈ 

V und x ∈ GL(2, q), dass (F q v) x = F q v x , wobei F q v den von v aufgespannten Unterraum 

bezeichnet. Sind v = (α, β) und w = (γ, δ) zwei linear unabhängige Vektoren aus V , so 

ist x = 

( 

α β 

γ δ 

) 

∈ GL(2, q), und es gilt (1, 0) x = v, (0, 1) x = w. Also operiert GL(2, q) 

zweifach transitiv auf V , und damit auch zweifach transitiv auf Ω. 

Wir sehen auch, dass die Ordnung von GL(2, q) die Anzahl der Paare (v, w) ist mit linear 

unabhängigen Vektoren v und w aus V . Um deren Anzahl zu bestimmen, mag man sich 

zunächst v beliebig gewählt denken; dazu hat man q 2 − 1 Möglichkeiten. Dann darf w 

nicht mehr aus F q v gewählt werden, man hat also nur noch q 2 − q Möglichkeiten, w zu 

wählen. Halten wir fest, 

|GL(2, q)| = (q 2 − 1)(q 2 − q). 

Wir setzen F × q = F q \ {0}, die multiplikative Gruppe des Körpers F q . Determinantenbildung 

gibt einen surjektiven Homomorphismus det: GL(2, q) → F × q . Sein Kern ist die 

spezielle lineare Gruppe SL(2, q). Wir bemerken, dass auch SL(2, q) zweifach transitiv 

auf Ω operiert, denn bei obiger Überlegung kann man ja w durch ein geignetes Vielfaches 

ersetzen. Es ist |F × q | = q − 1, also 

(15.1) |SL(2, q)| = (q + 1)q(q − 1). 

Da F × q eine p ′ -Gruppe ist, enthält SL(2, q) alle p-Elemente aus GL(2, q). 

Der Leser mag für q = 2, 3 den Isomorphietyp der Gruppen bestimmen. Es ist SL(2, 2) die 

symmetrische Gruppe S 3 der Ordnung 6. Es ist SL(2, 3) semidirektes Produkt der Quaternionengruppe 

Q 8 mit einer zyklischen Gruppe der Ordnung drei, welches nicht direkt 

ist (dies legt den Isomorphietyp fest). Schließlich ist GL(2, 3) semidirektes Produkt der 

Q 8 mit der S 3 (wobei S 3 als ‘volle äußere’ Automorphismengruppe der Q 8 operiert). Alle 

Gruppen sind auflösbar.

Von jetzt an sei G = SL(2, q) und 

λ, µ ∈ F q . Also ist 

(15.2) P = 


Ĝ = GL(2, q). Es ist ( 

1 λ 

0 1 ) ( 1 µ 

0 1 

{ ( ) ∣∣∣ } 

1 λ λ ∈ Fq 

0 1 

) ( 

= 

1 λ+µ 

) 

0 1 für 

eine Untergruppe von G, die isomorph zur additiven Gruppe von F q ist, also elementarabelsch 

vom Rang r ist (wir haben q = p r gesetzt). Aus Ordnungsgründen folgt P ∈ 

Syl p (G). Es ist 

{ ( ) ∣∣∣ } 

δ 0 

Â = 

δ, γ ∈ F 

× 

0 γ 

q 

eine Untergruppe von Ĝ. Wir setzen 

{ ( ) ∣∣∣ } 

δ 0 

(15.3) A = Â ∩ G = δ ∈ F 

0 δ −1 × 

q 

∼= F × q . 

Offenbar ist K = A ⋉ P die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen in G. Bezüglich der 

Operation von G auf Ω gilt K = C G (F q (0, 1)). 

Wir bemerken, dass 

〈 ( ) 〉 

−1 0 

Z = Z(G) = 

0 −1 

eine zyklische Gruppe der Ordnung 2 ist. Falls p ≠ 2, ist ( −1 0 

0 −1 

) 

die einzige Involution 

in G, denn dann kann ein Element aus G nicht Eigenwerte 1 und −1 haben, da es 

Determinante 1 hat. Vielleicht eine gute Gelegenheit für folgende Feststellung. 

Feststellung 15.1. Für p ≠ 2 sind die 2-Sylowuntergruppen von SL(2, q) (verallgemeinerte) 

Quaternionengruppen. 

Beweis. Wir betrachten zuerst den Fall q ≡ 1 mod 4. Es sei 2 a die größte Potenz von 

2, die q − 1 teilt. Da in diesem Fall q + 1 durch 2, nicht aber durch 4 teilbar ist, hat 

eine 2-Sylowuntergruppe von SL(2, q) Ordnung 2 a+1 nach (15.1). Es sei δ ein Element 

) 

und y = 

( δ 0 

0 δ −1 ) 

. Diese zwei Elemente 

von F × q der Ordnung 2 a . Setze x = ( 0 −1 

1 0 

aus SL(2, q) erfüllen die in Beispiel 10.2 angegebenen definierenden Relationen für die 

Quaternionengruppe der Ordnung 2 a+1 . Es ist also 〈x, y〉 eine Quaternionengruppe, und 

eine 2-Sylowuntergruppe von SL(2, q). Nun sei q ≡ −1 mod 4. Wegen F q ⊆ F q 2 ist 

SL(2, q) ≤ SL(2, q 2 ), und wir haben eben festgestellt, dass die 2-Sylowuntergruppen von 

SL(2, q 2 ) Quaternionengruppen sind. In Beispiel 10.2 haben wir festgestellt, dass Untergruppen 

von Quaternionengruppen zyklisch oder Quaternionengruppen sind. Also müssen 

wir noch ausschließen, dass die 2-Sylowuntergruppen von SL(2, q) zyklisch sind. Angenommen, 

SL(2, q) hat eine zyklische 2-Sylowuntergruppe S. Nach Satz 9.30 bilden dann 

die Elemente ungerader Ordnung in SL(2, q) einen Normalteiler von SL(2, q). Nun ist 

) ( 

ein Element der Ordnung 3 in SL(2, q), welches mit dem Element 

1 1 

) 

) 0 1 der 

1 0 der Ordnung 4 ergibt, ein Widerspruch. □ 

aber ( 0 −1 

1 −1 

Ordnung p multipliziert das Element ( 0 −1 

Zur späteren Verwendung bemerken wir, dass für µ ∈ F q und β ∈ F × q gilt 

( ) ( ) ( ) ( ) 

β 0 1 µ β 

−1 

0 1 µβ 

2 

(15.4) 

0 β −1 = 

. 

0 1 0 β 0 1 

(Es ist also K/Z eine sogenannte Frobeniusgruppe mit Frobeniuskern P/Z ∼ = P und 

Komplement A/Z.) Dies zeigt, dass jede p ′ -Untergruppe von K nach Konjugation mit 

einem geeigneten Element aus P in A zu liegen kommt.


Wir wollen den Normalisator von P bestimmen, und das Schnittverhalten von p-Untergruppen. 

Für λ, µ ∈ F q mit λ ≠ 0, und α, β, γ, δ ∈ F q gelte 

( ) ( ) ( ) ( ) 

1 λ α β α β 1 µ 

(15.5) 

= 

. 

0 1 γ δ γ δ 0 1 

Dann gibt beim Ausmultiplizieren der Vergleich der Einträge in erster Zeile, erste Spalte 

α + λγ = α, also γ = 0. Dies zeigt NĜ(P ) = ÂP und N G(P ) = K = AP . Mit 

dem Satz von Sylow folgt |Syl p (G)| = |G : N G (P )| = q + 1. Es zeigt auch, dass für 

1 ≠ U ≤ P und x ∈ N G (U) gilt x ∈ K = AP . Für eine p-Untergruppe V von G 

mit U = V ∩ P ≠ 1 ist V ≤ N G (U) da V abelsch ist, so dass V ≤ K = AP , also 

V ≤ P folgt. Insbesondere schneiden sich je zwei verschiedene p-Sylowuntergruppen von 

G trivial. Es sei Q ∈ Syl p (G) mit Q ≠ P . Für x ∈ P mit Q x = Q ist x ∈ 〈Q, x〉 = Q, 

also x = 1 wegen P ∩ Q = 1. Wir schreiben Q P = {Q x | x ∈ P }. Wir haben |Q P | = |P | 

gezeigt. Wegen |Syl p (G)| = q + 1 ist also Syl p (G) = {P } ∪ Q P . Wir zeigen nun 

(15.6) G = 〈P, Q〉. 

Dazu sei H = 〈P, Q〉 gesetzt. Es ist dann H = 〈P, Q P 〉 = 〈Syl p (G)〉 = 〈Syl (Ĝ)〉. p 

Also gilt H Ĝ. Das Frattini-Argument (Lemma 6.17) gibt Ĝ = N Ĝ 

(P )H = ÂP H = 

ÂH. Da Â abelsch ist, ist auch Ĝ/H abelsch, also Ĝ′ ≤ H. Für δ ∈ F × q berechnet man 

( δ 0 

) [ 

0 δ = ( 

δ 0 

−1 0 1 ) , ( 0 1 1 

0 ) ] ∈ Ĝ′ . Damit ist A ≤ H. Das Frattini-Argument gibt nun 

G = N G (P )H = AP H = H, und (15.6) ist gezeigt. 

Satz 15.2. Für q > 3 ist SL(2, q) perfekt. 

Beweis. Für δ ∈ F × q und λ ∈ F q berechnet man [ ( ) 

δ 0 

0 δ , ( 

1 λ 

−1 0 1 ) ] = ( ) 

1 λ(1−δ −2 ) 

0 1 . Ist 

q > 3, läßt sich δ mit 1 − δ −2 ≠ 0 wählen, und es folgt P ≤ G ′ . Ebenso Q ≤ G ′ , da Q zu 

P konjugiert ist. Also ist G = G ′ nach (15.6). 

□ 

Die Faktorgruppe PSL(2, q) = G/Z wird spezielle projektive lineare Gruppe genannt. 

Satz 15.3. Für q > 3 ist PSL(2, q) einfach. 

Beweis. Es sei Z < N G. Beachte, es ist Z der Kern der Operation von G auf Ω. Da 

G 2-transitiv auf Ω operiert, operiert N transitiv auf Ω (Feststellung 6.27 und Satz 6.24). 

Es ist K = C G (F q (0, 1)), und G = KN nach Feststellung 6.5. Folglich ist G/N = 

KN/N ∼ = K/K ∩ N. Da K auflösbar ist, ist also G/N auflösbar. Wegen Satz 15.2 hat G 

keine nichttrivialen abelschen Bilder. Also ist G/N = 1, dass heißt, N = G. □ 

15.2. Ein Satz von Dickson. Ich will hier den folgenden Satz von Dickson 56 beweisen. 

Dazu gebe ich Gorensteins Darstellung in [22], Theorem 2.8.4, wieder. Gorenstein 

schreibt, er folge im wesentlichen der Darstellung in Dicksons Buch über lineare Gruppen 

[14] (habe es nicht nachprüfen wollen). Vorsicht, der Beweis ist ziemlich lang und 

auch nicht gerade einfach. 

Satz 15.4 (Dickson). Es sei p eine ungerade Primzahl, r eine natürliche Zahl, und q = p r 

gesetzt. Es sei λ ∈ F q mit F q = F p (λ). Es sei L die von ( 

λ 1 1 0 ) und ( 1 0 1 

1 ) erzeugte Untergruppe 

von SL(2, q). Dann ist L = SL(2, q), ausgenommen den Fall q = 9, wenn 

|Z(L)| = 2 gilt, L/Z(L) isomorph zur alternierenden Gruppe A 5 ist, und L eine Untergruppe 

isomorph zu SL(2, 3) besitzt. 



Bemerkung. In der gegebenen Form ist der Satz sicher nicht richtig für p = 2, den je zwei 

Involutionen erzeugen eine Diedergruppe. 

In dem Ausnahmefall (q = 9) gilt genauer L ∼ = SL(2, 5). Da SL(2, p) ⊆ SL(2, p r ), enthält 

L in jedem Fall eine zu SL(2, p) isomorphe Untergruppe. 

Es ist PSL(2, 9) ∼ = A 6 (für Isomorphismen zwischen Gruppen PSL(n, q) und alternierenden 

oder symmetrischen Gruppen siehe [2] oder [27, II.6.14]). 

Wir stellen dem Beweis ein einfaches Lemma voran, welches wir öfters benötigen werden. 

Lemma 15.5. Für x = ( α β 

) 

γ δ ∈ G gilt folgendes. 

(1) Falls x Ordnung p hat, gilt α + δ = 2. 

(2) Falls x 2 = ( ) 

−1 0 

0 −1 , gilt entweder α + δ = 0 oder β = γ = 0. 

Beweis. Zu (1). Das ist klar, etwa weil ein Element der Ordnung p zu einem Element aus 

P konjugiert ist. 

( ) 

Zu (2). Folgt direkt aus x 2 = α 2 +βγ β(α+δ) 

. □ 

γ(α+δ) δ 2 +βγ 

Wir beginnen mit dem Beweis des Satzes von Dickson. Wir behalten obige Bezeichnungen 

bei. Insbesondere ist G = SL(2, q), und P ∈ Syl p (G) und A wie in (15.2) und (15.3), so 

dass K = N G (P ) = AP die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen in G ist. 

Setze Q = L ∩ P . Es gilt ( 1 0 1 

1 ) ∈ Q. Wir haben bereits gezeigt, dass sich je zwei verschiedene 

p-Sylowuntergruppen von G trivial schneiden. Folglich ist Q ∈ Syl p (L). 

Wie wir durch Betrachtung von (15.5) gesehen haben, gilt N L (Q) ⊆ K. Es sei B ein 

Komplement zu Q in N L (Q). Im Anschluß an (15.4) haben wir festgestellt, dass es x ∈ P 

gibt mit B x ⊆ A. Es ist dann N L (Q) = (L ∩ A x−1 )Q. Setzen wir M = L x , folgt unter 

Beachtung von [Q, x] = 1, dass Q ∈ Syl p (M), und 

(15.7) N M (Q) = (M ∩ A)Q. 

Diese Normalisierungsbedingung wird sich als geeignet herausstellen. 

Wir zeigen daher zunächst, dass es genügt, für ein solches Konjugiertes L x die Aussagen 

des Satzes zu beweisen. Genauer stellen wir fest, dass es genügt, für ein L x , mit x ∈ P , 

eine der folgenden Aussagen zu beweisen. 

(A) L x = SL(2, p m ) für ein m ≤ r. 

(B) p = 3, |Z(L x )| = 2, L x /Z(L x ) ist isomorph zu A 5 , und L x besitzt eine Untergruppe 

isomorph zu SL(2, 3). 

Es gelte (A). Mit x = ( ) ( 

1 γ 

0 1 ist dann 1−γλ −γ 

) ( 2 λ 

λ 1+γλ = 1 −γ 

)( 1 0 

)( 1 γ 

) 

0 1 λ 1 0 1 ∈ L x , und 

daher λ ∈ F p m. Wegen F q = F p (λ) folgt q ≤ p m . Also ist p m = q und L = L x = G. 

Es gelte (B). Dann ist nur noch q = 9 zu zeigen. Die Bilder von y = ( 

λ 1 1 0 ) und z = ( 1 0 1 

1 ) 

in A 5 sind Elemente der Ordnung 3, welche A 5 erzeugen. Wir können annehmen, dass y 

auf (123) abgebildet wird, und das Bild von z die Form (3st) hat; da A 5 = 〈(123), (3st)〉 

ist {s, t} = {4, 5}, und in dem wir nötigenfalls mit (45) konjugieren, können annehmen, 

dass y auf (345) abgebildet wird. Es ist (123)(345)(123) −1 (345) = (25)(34) und u = 

yzy −1 z = ( 1−λ 2−λ 

) ( 

−λ 2 1+λ−λ . Das Bild von u hat also Ordnung 2. Da −1 0 

) 2 0 −1 das einzige 

Element der Ordnung 2 in G ist, folgt u 2 = ( ) 

−1 0 

0 −1 . Damit hat u nach Lemma 15.5(2) 

Spur 0, also ist λ 2 = 2, und λ 2 = −1 wegen p = 3. Damit ist λ ∈ F 9 , also q = 9. 

Wir beginnen nun, entweder (A) oder (B) zu zeigen. Dazu werden wir eine lange Reihe 

von Behauptungen aufstellen und beweisen. Die folgenden Bezeichnungen werden 

durchgängig gelten. Mit M = L x wie zu Beginn des Beweises setzen wir 

H = M ∩ A, Q = M ∩ P, N = N M (P ), d = |H| und p m = |Q|.

Es hat also F × q 


eine (eindeutig bestimmte) Untergruppe D der Ordnung d, und es ist 

{ ( ) ∣∣∣ } 

β 0 

H = 

β ∈ D 

0 β −1 . 

Es gibt auch eine Untergruppe E der Ordnung p m der additiven Gruppe von F q mit 

{ ( ) ∣∣∣ } 

1 α 

Q = 

α ∈ E . 

0 1 

Behauptung 1. Für eine ganze Zahl f ≥ 1 gilt |M| = dp m (1 + fp m ). 

Beweis. Es seien Q 1 , Q 2 , . . . , Q s die von Q verschiedenen p-Sylowuntergruppen von M. 

Angenommen, für einen Index i und ein 1 ≠ x ∈ Q gilt Q x i = Q i . Dann ist x ∈ Q i . 

Da verschiedene p-Sylowuntergruppen von G trivialen Schnitt haben, folgt Q i ⊆ P , und 

Q i ⊆ M ∩ P = Q, ein Widerspruch. Also fixiert kein nichttriviales Element von Q 

irgendein Q i . Somit permutiert Q die Q i in Zykeln, die aus p m (=|Q|) Elementen bestehen. 

Folglich ist die Anzahl der p-Sylowuntergruppen von M von der Form 1 + fp m . Dabei ist 

f ≥ 1, da Q nicht die einzige p-Sylowuntergruppe von M ist. Mit dem Satz von Sylow 

folgt |M : N| = 1 + fp m . Da |N| = dp m , folgt die Behauptung. 

□ 

Behauptung 2. Es gilt d = ε(p m − 1) mit ε ∈ {1, 2}. 

Beweis. Wir stellen zwei Überlegungen über die Anzahl h der Elemente der Ordnung p in 

M an. Da es genau 1+fp m verschiedene p-Sylowuntergruppen in M gibt, die sich zudem 

paarweise trivial schneiden, gilt 

h = (p m − 1)(1 + fp m ). 

Andererseits können wir die Anzahl der Elemente der Ordnung p in jeder Nebenklasse Ny 

von N in M mit y ∈ M \ N abschätzen. Schreiben wir nämlich y = ( ) 

t u 

v w , ist 

( ) ( ) ( ) ( ) 

β 0 1 α t u βt + βαv βu + βαw 

(15.8) 

0 β −1 = 

0 1 v w β −1 v β −1 w 

für β ∈ D und α ∈ E, so dass 

{ ( ) ∣∣∣ } 

βt + βαv βu + βαw 

(15.9) Ny = 

β ∈ D, α ∈ E 

β −1 v β −1 . 

w 

Hat eine dieser Matrizen, die die Elemente aus Ny darstellen, Ordnung p, dann gilt nach 

Lemma 15.5(1) für die Einträge der Matrix 

(15.10) βt + βαv + β −1 w = 2. 

Weiterhin gilt v ≠ 0 wegen y /∈ N. Daher läßt sich dann Gleichung (15.10) nach α 

auflösen, so dass Ny höchstens d (= |D|) Elemente der Ordnung p enthält. Da die Anzahl 

der in Betracht stehenden Nebenklassen fp m ist, und N selbst genau p m − 1 Elemente der 

Ordnung p enthält, folgt 

(15.11) h ≤ p m − 1 + dfp m . 

Vergleichen wir nun diese Ungleichung mit obigem Ausdruck für h, ergibt sich 

(15.12) d ≥ p m − 1. 

Aber jedes Element aus H, welches nicht in Z = Z(G) liegt, induziert nach (15.4) einen 

regulären Automorphismus von Q, soll heißen, Q \ {1} zerfällt unter der Operation von 

H/H ∩ Z in Bahnen der Länge |H : H ∩ Z|. Also wird p m − 1 von d oder von d/2 geteilt, 

je nachdem ob |H ∩Z| = 1 oder = 2 ist. Zusammen mit (15.12) folgt die Behauptung. □


Also enthält D, da zyklisch, eine zyklische Untergruppe B der Ordnung p m − 1; es sei γ 

ein Erzeuger von B, also B = 〈γ〉. Es ist |D : B| ≤ 2. 

Behauptung 3. Es ist m Teiler von r, und B die multiplikative Gruppe, E die additive 

Gruppe von F p m. 

Beweis. Der Körper F p (γ) enthält p m verschiedene Wurzeln des Polynoms X pm − X, 

nämlich 0 und die Potenzen von γ. Damit ist F p (γ) Zerfällungskörper des Polynoms, also 

F p (γ) = F p m. Insbesondere ist B die multiplikative Gruppe von F p m. Wegen F p m ⊆ F p r 

gilt auch m | r. 

Die Gleichung (15.4) gilt mit µ = 1 für alle β ∈ D, und es ist β 2 ∈ B wegen |D : B| ≤ 2. 

Also liegen die d/2 Elemente ( ) 

1 β 2 

0 1 , β ∈ D, von M alle in SL(2, p m ). Gleichung (15.4) 

zeigt auch, dass die von diesen Elementen erzeugte Untergruppe Q 0 von Q invariant unter 

H ist, und dass Q 0 \ {1} unter der Operation von H in Bahnen der Länge d/2 zerfällt. 

Also ist |Q 0 | ≥ d/2 ≥ (p m + 1)/2. Da |Q 0 | die Ordnung von Q, also p m , teilt, erzwingt 

dies Q 0 = Q. Damit ist E ⊆ F p m. Wegen |E| = p m folgt, dass E die additive Gruppe von 

F p m ist. 

□ 

Wir beginnen mit der Untersuchung des Falles ε = 1. 

Behauptung 4. Falls ε = 1 und p m > 3, gilt M = SL(2, p m ). 

Beweis. Wir setzen B = D voraus, so dass H, Q und N = HQ in SL(2, p m ) liegen. 

Zudem gilt in Abschätzung (15.11) Gleichheit, und ihre Herleitung zeigt, dass jede Nebenklasse 

Ny von N in M mit y ∈ M \N genau d = p m −1 Elemente der Ordnung p enthält. 

Ist Ny eine solche Nebenklasse, können wir annehmen, dass das Element y = ( ) 

t u 

v w Ordnung 

p hat, und dann gilt t + w = 2 nach Lemma 15.5(1). Damit reduziert sich Gleichung 

(15.10), die für jedes der die Elemente aus Ny darstellenden Matrizen mit Ordnung p gilt, 

zu 

(15.13) (β − β −1 )t + βαv = 2 − 2β −1 . 

Im vorliegenden Fall zeigt die Diskussion im Anschluß an (15.10), dass es zu jedem β aus 

D genau ein α aus E gibt, welches (15.13) erfüllt. Für β = −1 erhalten wir −αv = 4. 

Es ist 4 ≠ 0 da p ungerade, also α ≠ 0 und folglich v ∈ F p m. Halten wir fest, dass der 

bisherige Teil der Argumentation für alle möglichen Werte von p m gilt, eingeschlossen 

p m = 3. 

Nun, da p m > 3 nach Voraussetzung gilt, ist d > 2, und wir können β aus D wählen mit 

β − β −1 ≠ 0, und dann zeigt (15.13), dass weiterhin auch t ∈ F p m gilt. Wegen w = 2 − t 

folgt w ∈ F p m. Es ist det y = tw − uv = 1, und v ≠ 0 wegen y /∈ N (wie bereits 

festgestellt). Also ist auch u ∈ F p m. Damit ist y ∈ SL(2, p m ) gezeigt. Da N ⊆ SL(2, p m ), 

und Ny als beliebige, von N verschiedene Nebenklasse gewählt wurde, haben wir M ⊆ 

SL(2, p m ). Ein Vergleich der Ordnungen (unter Verwendung von Behauptung 1) gibt nun 

M = SL(2, p m ), wie gewünscht. 

□ 

Behauptung 5. Falls ε = 1 und p m = 3, ist M durch ein Element aus Q zu SL(2, 3) 

konjugiert. 

Beweis. Wir nehmen die Argumentation aus dem vorigen Beweis wieder auf. Nun ist 

|E| = 3 und |D| = 2, also α, β ∈ F 3 , und auch v ∈ F 3 . Damit hat nach (15.9) jedes 

Element aus Ny in der ersten Spalte, zweiten Zeile einen Eintrag aus F 3 . Der entsrechende 

Eintrag für Elemente aus N ist 0, so dass also für jedes Element aus M diese Bedingung 

gilt.


Es ist det y = tw − uv = 1 und w = 2 − t = −1 − t, also −uv = 1 + t + t 2 . Wegen 

v ≠ 0 ist v = ±1, also weiter u = −v(1 + t + t 2 ). Somit ist y = ( ) 

t −v(1+t+t 2 ) 

v −1−t . 

Setzen wir z = ( ) 

v 1 

0 v y, so ist z ebenfalls ein Nebenklassenvertreter von Ny, und es ist 

z = ( ) 

vt+v 1+t−t 2 

1 −vt−v . Mit s = vt + v ∈ Fq läßt sich dies schreiben als z = ( ) 

s −1−s 2 

1 −s . 

Somit enthält jede von N verschiedene Nebenklasse von N ein solches, von einem s aus 

F q abhängiges, Element. Mit y = ( ) 

1 s 

0 1 ∈ P zeigt eine direkte Rechnung z y = ( ) 

0 −1 

1 0 . 

Wegen H = Z = Z(G) gilt N y = N, und (15.7) gilt mit M ersetzt durch M y . Alle 

bisherigen Überlegungen gelten also auch für M y anstelle von M. Fassen wir diese nochmals 

zusammen. Es ist N ⊆ SL(2, 3). Jedes Element aus M y hat in der ersten Spalte, 

zweiten Zeile einen Eintrag aus F 3 . Jede von N verschiedene Nebenklasse von N in M y 

enthält ein Element z der Form z = ( ) 

s −1−s 2 

1 −s mit s ∈ Fq . Schliesslich gilt noch nach 

Wahl von y, dass ( ) 

0 −1 

1 0 ∈ M x . Nun ist ( )( 

0 −1 s −1−s 

2 ) ( 

1 0 1 −s = −1 s 

) 

s −1−s für jedes s, 

2 

und aus dem gesagten folgt M y ⊆ SL(2, 3). Wie am Ende des vorigen Beweises folgt aus 

Ordnungsgründen M y ⊆ SL(2, 3), und die Behauptung ist bewiesen. 

□ 

Die beiden letzten Behauptungen zeigen, dass im Fall ε = 1 die Aussage (A) gilt. Daher 

werden wir uns ab jetzt dem Fall ε = 2 zuwenden. 

Es sei also d = 2(p m − 1). Da p ungerade ist, ist d durch 4 teilbar, so dass D ein Element 

δ der Ordnung 4 enthält. Es ist also a = ( ) 

δ 0 

0 δ ein Element der Ordnung 4 in H. Wir 

−1 

werden Elemente der Ordnung 4 in M zählen, in etwa derart, wie wir Elemente der Ordnung 

p im Fall ε = 1 gezählt haben. Man beachte, dass ( ) 

−1 0 

0 −1 das einzige Element der 

( Ordnung 2 in G ist, also ein Element von G genau dann Ordnung 4 hat, wenn sein Quadrat 

−1 0 

) 

0 −1 ist. 

Behauptung 6. Es gelten folgende Aussagen. 

(1) Die Konjugiertenklasse von a in M besteht aus p m (1 + fp m ) Elementen. 

(2) a ist in M zu seinem Inversen konjugiert. 

(3) f ist ungerade. 

Beweis. Es ist klar, dass C G (a) = A, die Menge der Diagonalmatrizen mit Determinante 

1. Es ist also C M (a) = H, womit (1) folgt. 

Es sei y = ( ) 

t u 

( v w ) ∈ M mit N ≠ Ny, und x ∈ Ny gewählt. Nach (15.9) ist x = 

βt+βαv βu+βαw 

mit β ∈ D und α ∈ E. Es ist β −1 v ≠ 0 wegen x /∈ N. Nach 

β −1 v β −1 w 

Lemma 15.5(2) kann x also nur dann Ordnung 4 haben, wenn gilt 

(15.14) βt + βαv + β −1 w = 0. 

Weiterhin gibt es zu jedem β ∈ D höchstens ein α ∈ E so dass (15.14) gilt, denn es ist 

ja v ≠ 0. Damit enthält die Nebenklasse Ny höchstens d Elemente der Ordnung 4. Unter 

Beachtung von (15.4) ist sofort nachzurechen, dass aQ∪a −1 Q die Menge der Elemente der 

Ordnung 4 in N ist. Also enthält N genau 2p m Elemente der Ordnung 4. Wir bezeichnen 

mit k die Anzahl der Elemente der Ordnung 4 in M. Wir erhalten die Abschätzung 

k ≤ 2p m + d(|M : N| − 1) 

= 2p m + 2(p m − 1)fp m 

< 2p m (1 + fp m ). 

Die Konjugiertenklasse von a −1 enthält wie die von a genau p m (1 + fp m ) Elemente. 

Deshalb zeigt die Abschätzung, dass diese Klassen nicht verschieden sein können, und (2) 

ist bewiesen.


Schliesslich bemerken wir, dass nun folgt, dass sich die Elemente der Konjugiertenklasse 

von a zu Paaren zusammenfassen lassen, wobei jedes Paar aus zueinander inversen Elementen 

besteht. Also ist p m (1 + fp m ) gerade. Da p ungerade ist, folgt daraus (3). □ 

Behauptung 7. Entweder ist f = 1, oder es gilt f = 3, p m = 3 und |G| = 120. 

Beweis. Wieder sei y ∈ M mit N ≠ Ny, und wir wollen annehmen, dass Ny ein Element 

der Ordnung 4 enthält. Dann können wir annehmen, dass y Ordnung 4 hat. Wir bemerken, 

dass dann auch y −1 Ordnung 4 hat, und y −1 ∈ Ny gilt. Also enthält eine von N verschiedene 

Nebenklasse von N entweder keine, 2, oder mehr als 2 Elemente der Ordnung 4. Es 

sei I die Menge der Nebenklassen, welche genau 2 Elemente der Ordnung 4 enthalten, und 

J die Menge der Nebenklassen, die mehr als 2 Elemente der Ordnung 4 enthalten. Wegen 

|M : N| = 1 + fp m gilt 

(15.15) |I| + |J| ≤ fp m . 

Wir schreiben y = ( ) 

t u 

v w . Es sei daran erinnert, dass v ≠ 0 da y /∈ N. Also gilt t + w = 0 

nach Lemma 15.5(2). 

Wir halten zur weiteren Verwendung folgende Tatsache fest: Ist Ny ′ eine zweite, von N 

verschiedene Nebenklasse von N, so dass y ′ = ( ) 

t ′ u ′ 

v ′ w Ordnung 4 hat, dann gilt t ′ /v ′ ≠ 

′ 

t/v. Es ist nämlich yy ′ = ( t u 

v −t 

)( t 

′ 

) ( 

u ′ 

v ′ −t = tt 

) ′ +uv ′ tu ′ −ut ′ 

′ vt ′ −tv ′ vu ′ −tt und es gilt yy 

′ 

′ 

/∈ N 

wegen y /∈ Ny ′ = Ny ′ −1 , so dass der Eintrag vt ′ − tv ′ in yy ′ von 0 verschieden ist, was 

t ′ /v ′ ≠ t/v zeigt, wie behauptet. 

Wie im Beweis der vorangegangenen Behauptung können wir ein Element x ∈ Ny in 

der Form (15.8) schreiben. Nehmen wir ebenfalls wie dort an, x habe Ordnung 4. Wegen 

t + w = −1 vereinfacht sich dann (15.14) zu 

(15.16) (β − β −1 )t + βαv = 0. 

Die Elemente y und y −1 entsprechen den Lösungen β = ±1, α = 0 dieser Gleichung. 

Falls Ny ∈ J, muss es daher eine Lösung von (15.16) geben mit β ≠ ±1. Für eine solche 

Lösung können wir schreiben t/v = −βα/(β −β −1 ) = −β 2 α/(β 2 −1). Nun ist β 2 ∈ B. 

Also liegen β 2 und α in F p m (Behauptung 3), und damit ist der Quotient t/v aus F p m. 

Nach dem vorangegangenen Paragraphen sind diese Quotienten aber für je zwei Elemente 

in verschiedenen Nebenklassen der Menge J unterschiedlich. Es folgt 

(15.17) |J| ≤ p m . 

Wir wissen bereits von dem Beweis der vorigen Behauptung, dass jede von N verschiedene 

Nebenklasse von N höchstens d Elemente der Ordnung 4 enthält, und dass N selbst 2p m 

Elemente der Ordnung 4 enthält. Unter Verwendung von allem gezeigten erhalten wir 

k ≤ 2p m + 2|I| + |J|d ≤ 2p m + 2fp m + |J|(d − 2) 

≤ 2p m + 2fp m + p m (2p m − 4). 

Nach Behauptung 6(1) gilt k ≥ p m (1 + fp m ). Beide Abschätzungen miteinander verbunden 

gibt 

(15.18) 2p m − 3 ≥ f(p m − 2), 

dass heißt, f ≤ 2 + 1/(p m − 2). Also kann f nur die Werte 1, 2 oder 3 annehmen, und in 

letzem Fall muss p m = 3 sein, womit d = 4 ist und |G| = 120 nach Behauptung 1. Da 

nach Behauptung 6(3) f ungerade ist, ist auch diese Behauptung bewiesen. 

□ 

Behauptung 8. Der Fall f = 1 tritt nicht auf.


Beweis. Angenommen, es ist f = 1. Wir werden zeigen, dass M eine normale Untergruppe 

M 0 vom Index 2 besitzt. Damit liegen dann alle p-Elemente von M in M 0 , im 

Widerspruch dazu, dass M von seinen p-Elementen erzeugt wird. 

Die Elemente aus G, die a = ( ) ( 

δ 0 

0 δ invertieren, bilden die Menge 0 −1 

) −1 1 0 CG (a). Nach 

Behauptung 6(2) gibt es also τ ∈ F × q mit b = ( ) 

0 −τ −1 

τ 0 ∈ M. Man beachte, dass b die 

Ordnung 4 hat. Für ein beliebiges Element x = ( ) 

1 α 

0 1 aus Q ist b x = ( ) 

−ατ −α 2 τ−τ −1 

τ ατ . 

Es ist b x /∈ N wegen τ ≠ 0. Wir zeigen, dass die b x in verschiedenen Nebenklassen von 

N liegen. Die Nebenklasse von Nb x besteht aus den Elementen 

( ) ( ) 

β βη −ατ −α 

(15.19) 

2 τ − τ −1 

0 β −1 τ ατ 

mit β ∈ D und η ∈ E. Angenommen, ein solches Element, sagen wir c, ist gleich b x′ für 

ein weiteres x ′ ∈ Q. Vergleich der Einträge in zweiter Zeile, erster Spalte gibt β −1 τ = τ, 

also β = 1. Das Element c = b x′ hat Ordnung 4 und Spur ητ. Nach Lemma 15.5(2) ist 

also η = 0. Damit ist b x′ = c = b x , wie gewünscht. 

Die p m Elemente b x , x ∈ Q, liegen, wie gezeigt, sämtlich in verschiedenen Nebenklassen. 

Andererseits ist die Anzahl der von N verschiedenen Nebenklassen gleich fp m , also p m 

nach unserer Annahme. Also können wir die b x als Vertreter der von N verschiedenen 

Nebenklassen nehmen. 

Es seien x 1 , x 2 ∈ Q mit x 1 ≠ x 2 . Dann ist b x1 /∈ Nb x2 = N(b x2 ) −1 , also b x1 b x2 /∈ N. 

Somit gibt es x 3 ∈ Q mit b x1 b x2 ∈ Nb x3 . Es sei x i = ( ) 

1 α i 

0 1 , i 

( = 1, 2, so dass insbesondere 

α 1 ≠ α 2 . Es gibt β ∈ D und η ∈ E mit b x1 b x2 = β βη 

)b 

0 β −1 x3 . Berechnet 

man auf beiden Seiten den Eintrag in der zweiten Zeile, erste Spalte, so erhält man 

−α 2 τ 2 + α 1 τ 2 = β −1 τ. Dies gibt τ = β −1 /(α 1 − α 2 ). Folglich gilt τ 2 ∈ F p m, so dass 

die Ordnung von τ Teiler von d ist, also τ ∈ D gilt. 

Betrachten wir nun ein durch (15.19) gegebenes Element aus der Nebenklasse Nb x , so 

sehen wir, dass es genau dann in SL(2, p m ) liegt, wenn βτ ∈ B gilt. Wegen τ ∈ D und 

|D : B| = 2 liegen also genau die Hälfte der Elemente aus Nb x in SL(2, p m ). Ebenso 

liegt genau die Hälfte der Elemente aus N in SL(2, p m ). Also hat die Untergruppe M 0 = 

M ∩ SL(2, p m ) von M Index 2. Damit stellt M \ M 0 sowohl eine Linksnebenklasse wie 

auch eine Rechtsnebenklasse dar, womit diese identisch sind, und M 0 M folgt. □ 

Behauptung 9. Es ist p m = 3 und |Z(M)| = 2. Die Faktorgruppe M/Z(M) ist isomorph 

zu A 5 , und M besitzt eine Untergruppe isomorph zu SL(2, 3). 

Beweis. Nach den letzten beiden Behauptungen ist f = p m = 3 und |M| = 120, und wir 

halten noch d = 2(p m − 1) = 4 fest. In diesem Fall gilt in (15.18) tatsächlich Gleichheit, 

und das trifft dann auch auf (15.17) und (15.15) zu. Also ist |J| = 3 und |I| = 6. Weiterhin 

muß aus dem gleichen Grund jedes Element aus J die größtmögliche Anzahl an Elementen 

der Ordnung 4 enthalten, also 4 (= d). Da N selbst 2p m = 6 Elemente der Ordnung 4 

enthält, enthält M genau 6 + 2 · 6 + 4 · 3 = 30 Elemente der Ordnung 4. Wegen |C M (a)| = 

d = 4 und |M| = 120 liegen diese alle in der Konjugiertenklasse von a. 

Wir setzen ¯M = M/Z(G). Da ein Element der Ordnung 4 aus M und sein Inverses das 

gleiche Bild in ¯M haben, folgt, dass ¯M genau 15 Elemente der Ordnung 2 enthält, die 

alle konjugiert sind. Es sei S eine 2-Sylowuntergruppe von M mit a ∈ S. Es ist |S| = 8 

wegen |M| = 120. Es sei b ∈ S mit S = 〈a, b〉. Es ist 〈a〉 S, und a b = a −1 wegen 

|C M (a)| = 4. Also ist S eine Quaternionengruppe, und ¯S ∼ = C 2 × C 2 . Weiterhin ist 

S wegen |C M (a)| = 4 die einzige 2-Sylowuntergruppe von M, welche a enthält. Also 

schneiden sich zwei verschiedene 2-Sylowuntergruppen von ¯M trivial. Da ¯M genau 15


Elemente der Ordnung 2 enthält, und jede 2-Sylowuntergruppe von ¯M genau 3 solche 

Elemente enthält, folgt | ¯M : N ¯M ( ¯S)| = |Syl 2 ( ¯M)| = 5. Wegen | ¯M| = 60 folgt, dass 

¯R = N ¯M ( ¯S) Ordnung 12 hat. 

Wir betrachten nun die Permutationsdarstellung π von ¯M auf den Nebenklassen von ¯R, 

welche ¯M homomorph in die S 5 abbildet. Es sei Ū der Kern von π. Wenn wir zeigen, 

dass Ū = 1 gilt, ist ¯M zu einer Untergruppe von S5 der Ordnung 60 isomorph; A 5 ist 

aber die einzige Untergruppe dieser Ordnung. Also ist dann ¯M ∼ = A 5 , was unmittelbar 

Z(M) = Z(G) nach sich zieht. Nun ist Ū ≤ ¯R. Da ¯S normale 2-Sylowuntergruppe von ¯R 

ist, ist ¯S ∩ Ū normale 2-Sylowuntergruppe von Ū, also insbesondere eine charakteristische 

Untergruppe. Da Ū ¯M, folgt ¯S ∩ Ū ¯M. Falls also ¯S ∩ Ū ein Element der Ordnung 2 

enthalten sollte, dann auch alle 15 Konjugierte, was aus Ordnungsgründen nicht möglich 

ist. Es ist also ¯S ∩ Ū = 1. Wegen Ū ≤ ¯R folgt |Ū| = 1 oder = 3. Für die Betrachtung 

letzteren Falls beachte man, dass a das Element ( ) 

1 1 

0 1 invertiert, siehe (15.4). Es gibt also 

nur eine Konjugiertenklasse von Elementen der Ordnung 3 in M, und diese erzeugen M. 

Also ist |Ū| = 3 nicht möglich. 

Es verbleibt zu bemerken, dass das Urbild von ¯R in M ein semidirektes Produkt einer 

zyklischen Gruppe der Ordnung drei mit der Quaternionengruppe Q 8 ist, welches nicht 

direkt ist, also zu SL(2, 3) isomorph ist. 

□ 

Damit ist Satz von Dickson bewiesen. 

16. QUADRATISCHE OPERATION 

Ich führe die Begriffe der quadratischen und der p-stabilen Operation ein. Diese Begriffe 

sind nur für ungerade Primzahlen p bedeutungsvoll. Wir zeigen mit Hilfe des Satzes 

von Dickson, dass für ungerades p eine Gruppe, die treu und nicht p-stabil operiert, einen 

Subquotienten isomorph zu SL(2, p) hat. 

Ich gebe Literaturhinweise. Das Konzept der p-Stabilität wird behandelt in dem Buch von 

Gorenstein [22] (Chapter 3, § 8 und Chapter 8, §§ 1, 2), dem Buch von Suzuki [62] (Chapter 

5, § 4), den Büchern von Huppert und Blackburn [28] (Chapter IX, § 7); [29] (Chapter 

X, § 3), dem zweiten Band in einer Reihe von Monographien von Gorenstein, Lyons 

und Solomon [24] (§ 25), und schließlich in dem Buch von Kurzweil und Stellmacher [34] 

(Kapitel 9), dem ich in einigen Teilen folge. 

Für Gruppen ungerader Ordnung wird p-Stabilität wohl in [7, Appendix A] kürzestmöglich 

dargestellt. 

Beginnen wir mit den Definitionen. Es sei p eine Primzahl und G eine Gruppe, die auf 

einer elementarabelschen p-Gruppe V operiert. Ein Element x aus G operiert quadratisch 

auf V , falls [V, x, x] = 1 gilt. Die Gruppe G selbst operiert quadratisch auf V , 

falls [V, G, G] = 1 gilt. Die Operation von G auf V heißt p-stabil, falls xC G (V ) ∈ 

O p (G/C G (V )) für jedes auf V quadratisch operierendes x aus G gilt. 

Ich erinnere daran, dass V mit einem Vektorraum über dem Primkörper F p identifiziert 

werden kann. Die Operation von G ist also durch einen Homomorphismus ϕ: G → GL(V ) 

gegeben. Ist d die Dimension von V , also |V | = p d , dann kann GL(V ) nach einer Basiswahl 

von V mit GL(d, p) identifiziert werden. 

Ein Element x aus G operiert quadratisch auf V , falls (xϕ − 1) 2 = 0 in dem Endomorphismenring 

57 von V gilt. (Für x ∈ G und v ∈ V ist [v, x] = v −1 v x = v(xϕ − 1).) 

57 Erklärt auf Seite 11.


Operiert x also nichttrivial auf V , dann hat xϕ ein quadratisches Minimalpolynom. Daher 

der Name der Operation. 

Ist p = 2 und x ein Element der Ordnung 2 in G, ist (xϕ − 1) 2 = (xϕ) 2 − 1 = 0. Dies 

zeigt, dass quadratische Operation nur für ungerades p bedeutungsvoll ist. 

Natürlich ist [V, G] ein G-invarianter Teilraum von V , und G operiert trivial auf dem Quotienten 

V/[V, G]. Operiert G quadratisch auf V , dann operiert G auch auf [V, G] trivial, 

so dass G/C G (V ) eine p-Gruppe ist nach Lemma 10.8. Operiert x aus G quadratisch 

auf V , gilt ähnlich, dass x trivial auf [V, x] und auf V/[V, x] operiert. Dies zeigt, dass 

x genau dann quadratisch operiert, wenn 〈x〉 quadratisch operiert. Insbesondere ist dann 

〈x〉/〈x〉 ∩ C G (V ) eine p-Gruppe. 

Es gilt sogar noch mehr, was wir uns folgendermaßen klar machen (es geht auch anders). 

Es operiere G treu und quadratisch auf V . Wir können eine Basis von V durch [V, G] legen. 

Bezüglich einer solchen Basis können wir die Operation als Homomorphismus ϕ: G → 

GL(d, p) auffassen, wobei das Bild von ϕ aus Matrizen der Gestalt 

( ) 

1m×m A m×n 

0 1 n×n 

steht, wobei n die Dimension von [V, G] ist und d = n + m, ferner A m×n aus Fp 

m×n , der 

additiven Gruppe der m × n Matrizen mit Einträgen aus F p ist, 1 m×m und 1 n×n Einheitsmatrizen 

vom Rang n und m sind und 0 eine Nullmatrix ist. Sind nun A, B ∈ Fp 

m×n , so 

( )( ) ( ) 

gilt 

1m×m A 1m×m B 

0 1 n×n 0 1 n×n 

= 

1m×m A+B 

0 1 n×n 

. Mit F m×n 

p ist also auch G eine elementarabelsche 

p-Gruppe. (Umgekehrt zeigt die Überlegung, wie quadratisch operierende 

Gruppen zu konstruieren wären.) Halten wir dies fest. 

Feststellung 16.1. Operiert die Gruppe G quadratisch auf V , dann ist G/C G (V ) eine 

elementarabelsche p-Gruppe. 

Ist q eine natürliche Potenz von p, und V der zweidimensionale F q -Vektorraum auf dem 

SL(2, q) natürlich operiert, dann operiert eine p-Sylowuntergruppe von SL(2, q) quadratisch 

auf V (als elementarabelsche p-Gruppe betrachtet). Dies deutet an, dass man hier 

allgemeiner Operationen auf F q -Vektorräumen (und nicht nur auf elementarabelschen p- 

Gruppen) berücksichtigen sollte. Eine Schlüsselrolle spielt folgender Satz. 

Satz 16.2. Es sei q eine natürliche Potenz einer Primzahl p. Die Gruppe G operiere treu 

auf einem F q -Vektorraum V , und es sei G = 〈x, y〉 mit auf V quadratisch operierenden 

Elementen x und y von G. Ferner sei die Ordnung des p ′ -Anteils 58 von xy −1 Teiler von 

q − 1. Ist dann G keine p-Gruppe, gibt es einen G-invarianten zweidimensionalen Unterraum 

W von V , so dass mit einem λ ∈ F × q die Operation von G auf W bezüglich einer 

geeigneten Basis von W beschrieben wird durch den Homomorphismus ϕ: G → SL(2, q) 

mit 

(16.1) xϕ = 

( ) 1 0 

, yϕ = 

λ 1 

( ) 1 1 

. 

0 1 

Beweis. Dies soll durch Induktion nach der Dimension von V bewiesen werden. Es sei G 

keine p-Gruppe. Dann ist V ≠ 0. Es sei U ein unter der auf 〈xy −1 〉 eingeschränkten Operation 

irreduzibler Teilraum von V . Nach dem Lemma von Schur (Lemma 11.7) operiert 

dann xy −1 auf U durch Multiplikation mit einem Skalar, dass heißt U ist eindimensional, 

und ist u ∈ U mit u ≠ 0 gewählt, gibt ein µ ∈ F × q mit u y = µu x . Setze v = u x − u 

und w = u y − u. Dann gilt v = v x und w = w y , da x und y quadratisch operieren. Es 

sei A der von v und w erzeugte Teilraum von V . Es gilt u x − u = v = v x = u x2 − u x , 

58 Begriff erklärt auf Seite 14. 

be-


also u x2 = 2u x − u. Damit folgt w x = u yx − u x = µu x2 − u x = (2µ − 1)u x − µu = 

(µu x −u)+(µ−1)(u x −u) = w +(µ−1)v. Aus Symmetriegründen (es ist u x = µ −1 u y ) 

gilt also 

w x = w + (µ − 1)v und v y = v + (µ −1 − 1)w. 

Dies zeigt, dass A ein G-invarianter Teilraum ist. 

Angenommen, A ist zweidimensional und µ ≠ 1. Setzen wir dann W = A und λ = 

(µ − 1)(µ −1 − 1), ist die Matrixdarstellung ϕ von G auf W bezüglich der Basiselemente 

b 1 = v und b 2 = (µ −1 − 1)w gerade durch (16.1) gegeben. 

Nehmen wir also an, dass A nicht zweidimensional ist oder µ = 1 gilt. Wir zeigen, dass 

V einen eindimensionalen Teilraum B besitzt, auf dem G trivial operiert. Falls A = 0, 

können wir für B den von u erzeugten Teilraum nehmen. Ist A eindimensional, operiert 

G trivial auf A, denn x und y sind p-Elemente nach Feststellung 16.1, und F × q enthält nur 

p ′ -Elemente. Dann wählen wir B = A. Ist µ = 1 und A ≠ 0, operiert G trivial auf A, und 

B sei ein eindimensionaler Teilraum von A. 

Betrachten wir die Operation von G auf V/B. Setze K = C G (V/B), der Kern der Operation, 

und Ḡ = G/K. Es ist Ḡ = 〈¯x, ȳ〉. Natürlich operieren ¯x und ȳ quadratisch auf V/B. 

Weiterhin ist Ḡ keine p-Gruppe, denn K ist eine p-Gruppe nach Lemma 10.8. Per Induktion 

nach der Dimension von V können wir also annehmen, dass es linear unabhängige 

Vektoren b 1 und b 2 in V gibt, so dass mit einem b 3 ∈ B, b 3 ≠ 0, der Span dieser drei Vektoren 

ein dreidimensionaler G-invarianter Teilraum von V ist, auf dem x bzw. y bezüglich 

der Basis {b 1 , b 2 , b 3 } durch die Matrix 

⎛ ⎞ 

⎛ ⎞ 

1 0 α 

1 1 γ 

M x = ⎝λ 1 β⎠ bzw. M y = ⎝0 1 δ⎠ 

0 0 1 

0 0 1 

operiert, wobei λ ∈ F × q und α, β, γ, δ ∈ F q . Es gilt (M x − 1) 2 = 0 und (M y − 1) 2 = 0, 

also α = 0 und δ = 0. Ein Basiswechsel ist gegeben durch b ′ 1 = b 1 + βλ −1 b 3 , b ′ 2 = 

b 2 + γb 3 und b ′ 3 = b 3 . Eine kurze Rechnung zeigt, dass bezüglich der Basis {b ′ 1, b ′ 2, b ′ 3} 

des dreidimensionalen Raums nun x bzw. y durch die Matrix 

⎛ 

1 0 

⎞ 

0 

⎛ 

1 1 

⎞ 

0 

M x = ⎝λ 1 0⎠ bzw. M y = ⎝0 1 0⎠ 

0 0 1 

0 0 1 

operiert. Wir können für W also den Span von b ′ 1 und b ′ 2 wählen, und der Satz ist bewiesen. 

□ 

Ist in diesem Satz p ≠ 2, enthält das Bild von ϕ nach dem Satz von Dickson (Satz 15.4) 

eine Untergruppe isomorph zu SL(2, p). 

Durch Koeffizientenerweiterung erhält man unmittelbar den folgenden Satz. 

Satz 16.3. Es sei p eine Primzahl. Die Gruppe G operiere treu auf einer elementarabelschen 

Gruppe V , und es sei G = 〈x, y〉 mit auf V quadratisch operierenden Elementen 

x und y von G. Ist dann G keine p-Gruppe, gibt es eine natürliche Potenz q von p, und 

einen Homomorphismus ϕ: G → SL(2, q), unter dem die Bilder von x und y durch (16.1) 

gegeben sind. 

Beweis. Es sei m die Ordnung des p ′ -Anteils von xy −1 . Dann ist p + mZ eine Einheit 

in dem endlichen Restklassenring Z/mZ. Es gibt also n ∈ N mit p n + mZ = 1 + mZ. 

Es sei q = p n . Dann ist m Teiler von q − 1. Wir fassen V als Vektorraum über F p auf.


Es sei v 1 , . . . , v d eine Basis von V . Wegen F p ⊆ F q können wir uns V in einen F q - 

Vektorraum ˆV eingebettet denken, der v 1 , . . . , v d als F q -Basis hat. Die Operation von G 

auf V läßt sich in eindeutiger Weise zu einer Operation auf dem Vektorraum ˆV erweitern, 

und dabei operieren x und y quadratisch auf ˆV . Denn die Operation auf V ist ja durch einen 

Homomorphismus G → GL(V ) gegeben, und es ist GL(V ) ∼ = GL(d, p) ⊆ GL(d, q) ∼ = 

GL( ˆV ). Nun folgt die Existenz des Homomorphismus ϕ: G → SL(2, q) aus Satz 16.2. 

□ 

Mit dem Satz von Dickson erhalten wir nun unter Anwendung des Satzes von Baer–Suzuki 

den Satz, auf den es uns ankommt. Eine Gruppe K heißt Subquotient der Gruppe G, falls 

K isomorph zu einem homomorphem Bild einer Untergruppe von G ist (K heißt dann 

auch Abschnitt oder Sektion von G). 

Satz 16.4. Es sei p eine Primzahl, p ≠ 2. Die Gruppe G operiere treu und nicht p-stabil 

auf einer elementarabelschen Gruppe V . Dann hat G einen Subquotienten isomorph zu 

SL(2, p). 

Beweis. Da G nicht p-stabil operiert, gibt es ein x aus G mit x ∉ O p (G), welches quadratisch 

auf V operiert. Jedes Konjugierte von x in G operiert ebenfalls quadratisch auf 

V . Nach dem Satz von Baer–Suzuki (Satz 13.1) gibt es ein Konjugiertes y von x, so dass 

〈x, y〉 keine p-Untergruppe ist. Nach Satz 16.3 und dem Satz von Dickson (Satz 15.4) hat 

also 〈x, y〉 eine Untergruppe, die SL(2, p) als homomorphes Bild besitzt. 

□ 

Als Korollar erhalten wir folgendes grundlegende Resultat. 

Satz 16.5. Es sei p eine ungerade Primzahl, und die Gruppe G erfülle eine der folgenden 

Bedingungen. 

(1) G hat ungerade Ordnung. 

(2) Eine 2-Sylowuntergruppe von G ist abelsch. 

(3) Eine 2-Sylowuntergruppe von G ist eine Diedergruppe. 

(4) G ist auflösbar, und es ist entweder p ≥ 5 oder SL(2, 3) ist kein Subquotient von 

G. 

Operiert G dann auf einer elementarabelschen p-Gruppe, ist die Operation p-stabil. 

Beweis. Angenommen, G operiert nicht p-stabil auf einer elementarabelschen p-Gruppe. 

Es sei S eine 2-Sylowuntergruppe von G. Dann folgt aus Satz 16.4 und Feststellung 15.1, 

dass S einen Subquotienten hat, der eine (verallgemeinerte) Quaternionengruppe ist. Damit 

ist S nicht abelsch, und weder (1) noch (2) gilt. Nach der Schlußbemerkung in Beispiel 10.1 

gilt auch (3) nicht. Nach Feststellung 9.23 sind Subquotienten auflösbarer Gruppen ebenfalls 

auflösbar. Da G nach Satz 16.4 einen Subquotienten isomorph zu SL(2, p) hat, gilt 

also nach Satz 15.2 auch (4) nicht. 

□ 

17. DIE THOMPSON-UNTERGRUPPE UND REPLACEMENT 

Im nächsten Abschnitt werden wir ein Beispiel für einen sogenannten Faktorisierungssatz 

sehen (Satz 18.4). Bei solchen Faktorisierungssätzen (siehe etwa Chapter 8 in [22] 

und §§ 25, 26 in [24]) spielt quadratische Operation eine wichtige Rolle. Die Verbindung 

ist dabei durch sogenannte ‘Replacement-Sätze’ gegeben (das primäre Beispiel davon ist 

Thompson Replacement [65] (Theorem 8.2.5 in [22])). In diesem Abschnitt gebe ich einen 

solchen Replacement-Satz.


Zunächst stelle ich eine in diesem Zusammenhang wichtige Untergruppe vor, die von John 

Thompson 59 [65] eingeführt wurde und seinen Namen trägt. 

Definition 17.1 (Die Thompson-Untergruppe J(G)). Es sei p eine Primzahl und E(G) 

die Menge aller elementarabelschen p-Untergruppen der Gruppe G. Mit der Abkürzung 

m = max{|A| | A ∈ E(G)} sei A(G) = {A ∈ E(G) | |A| = m} gesetzt und 

J(G) = 〈A | A ∈ A(G)〉. 

Aus dem Zusammenhang wird stets hervorgehen, welches p bei der Definition von J(G) 

gemeint ist. Wir halten ein paar unmittelbar einsichtige Eigenschaften der Thompson- 

Untergruppe fest. Es sei daran erinnert, dass wir für eine p-Gruppe Ω(G) = {x ∈ G | 

x p = 1} gesetzt hatten. Ist G abelsch, ist Ω(G) die größte elementarabelsche Untergruppe 

von G. 

Feststellung 17.2. Falls p ∈ π(G), ist J(G) eine nichttriviale charakteristische Untergruppe 

von G. 

Offenbar ist J(G) = 〈J(S) | S ∈ Syl p (G)〉. 

Sei S ∈ Syl p (G). Für A ∈ A(S) gilt dann Ω(Z(S)) ≤ A. Also ist Ω(Z(S)) ≤ J(G). 

Aus J(G) ≤ U ≤ G folgt J(G) = J(U). Denn besteht A(G) aus Untergruppen von U, 

gibt es elementarabelsche p-Untergruppen von U von der gleichen Ordnung wie die der 

Elemente von A(G) (aber keine größeren), so dass A(G) = A(U) gilt. 

Es sei V ein elementarabelscher p-Normalteiler der Gruppe G. Die Gruppe G operiert 

auf V durch Konjugation. Ist V Z(J(G)), so gibt es A ∈ A(G) mit [V, A] ≠ 1, 

wie Definition von J(G) zeigt. Es sei A ≤ G, und A ∗ = C A ([V, A]) gesetzt. Dann gilt 

[V, A ∗ , A ∗ ] ≤ [[V, A], A ∗ ] = 1, dass heißt A ∗ operiert quadratisch auf V . Diese Operation 

kann jedoch trivial sein (und wird es in den meisten Fällen auch sein). Wir beschäftigen 

uns im folgenden mit der Frage, wie man Untergruppen von G finden kann, die quadratisch 

und nichttrivial auf V operieren. Dazu stellen wir an den Anfang unserer Untersuchungen 

eine einfache Beobachtung. 

Lemma 17.3. Es sei V ein elementarabelscher p-Normalteiler von G. Dann hat eine Untergruppe 

A von G aus A(G) die folgende Eigenschaft. 

(Q 1 ) |A||C V (A)| ≥ |B||C V (B)| für alle B ≤ A. 

Beweis. Sei B ≤ A. Da A abelsch ist, gilt B ∩ C V (B) = B ∩ V ≤ C V (A). Weiterhin ist 

BC V (B) ∈ E(G), wegen A ∈ A(G) also 

Damit gilt (Q 1 ) für A. 

|A| ≥ |BC V (B)| = |B||C V (B)| 

|B ∩ V | 

≥ |B||C V (B)| 

. 

|C V (A)| 

Im Hinblick auf den folgenden Satz ist (Q 1 ) eine gute Voraussetzung für quadratische 

Operation einer Untergruppe A auf V . Er beruht auf einer Beobachtung von Thompson 

[65]. 

Satz 17.4. Eine Gruppe A operiere auf einer elementarabelschen p-Gruppe V mit abelschem 

A/C A (V ). Für A gelte (Q 1 ), also |A||C V (A)| ≥ |B||C V (B)| für alle B ≤ A. Es 

sei U ≤ V , und A ∗ = C A ([U, A]) gesetzt. Dann gilt 

C V (A ∗ ) = [U, A]C V (A) und |A||C V (A)| = |A ∗ ||C V (A ∗ )|. 

□ 



Bevor wir zum Beweis schreiten, halten wir ausdrücklich den wichtigen Spezialfall U = V 

in der vor dem Lemma beschriebenen Situation fest. 

Satz 17.5. Es sei V ein elementarabelscher p-Normalteiler von G. Es sei A ≤ G mit 

A/C A (V ) abelsch, und A erfülle (Q 1 ). Mit A ∗ = C A ([V, A]) gilt dann 

|A/A ∗ | = |C V (A ∗ )/C V (A)| und C V (A ∗ ) = [V, A]C V (A). 

Beweis von Satz 17.4. Wir überzeugen uns zunächst davon, dass es genügt 

(17.1) |A||C V (A)| ≤ |C A ([U, A])||[U, A]C V (A)| 

zu zeigen. Denn dann folgt nach Voraussetzung 

|A ∗ ||C V (A ∗ )| ≤ |A||C V (A)| ≤ |A ∗ ||[U, A]C V (A)| ≤ |A ∗ ||C V (A ∗ )|, 

wobei die letzte Abschätzung wegen [U, A]C V (A) ≤ C V (A ∗ ) gilt. Also gilt in der Ungleichungskette 

überall Gleichheit, womit die Aussage des Satzes folgt. Wir werden (17.1) 

zeigen. 

Nach Wahl von A ∗ gilt [U, A, A ∗ ] = 1, und es ist [A, A ∗ , U] = 1, da A auf V als abelsche 

Gruppe operiert. Damit ist [U, A ∗ , A] = 1 nach dem Drei-Untergruppen-Lemma 

(Satz 8.10), dass heißt, es ist [U, A ∗ ] ≤ C V (A). Es sei u ∈ U. Für a ∈ A und c ∈ A ∗ folgt 

dann [u, ca] = [u, a][u, c] a ∈ [u, a]C V (A). Dies zeigt, dass die Abbildung 

φ u : A/A ∗ → [U, A]C V (A)/C V (A), 

aA ∗ ↦→ [u, a]C V (A) 

wohldefiniert ist. Falls sich also u ∈ U finden läßt mit φ u injektiv, ist (17.1) bewiesen. 

Wir zeigen zunächst, dass φ u injektiv ist, falls U = 〈u〉 gilt. Seien a, b ∈ A. Es ist 

[u, ab −1 ] = u −1 u ab−1 = (u −b u a ) b−1 = ([u, b] −1 [u, a]) b−1 , 

so dass [u, ab −1 ] ∈ C V (A) genau dann gilt, wenn [u, a]C V (A) = [u, b]C V (A) gilt. 

Die Hall–Witt Identität (Lemma 8.9) gibt 

[u, a, b] a−1 [a −1 , b −1 , u] b [b, u −1 , a −1 ] u = 1. 

Dabei ist auf der linken Seite der Kommutator in der Mitte gleich 1, da A als abelsche 

Gruppe auf V operiert, und es ist [b, u −1 ] = (b −1 ub)u −1 = u −1 (b −1 ub) = [u, b]. Aus der 

Annahme [u, a] ∈ C V (A) folgt also a ∈ C A ([u, b]), und da b ∈ A beliebig gewählt wurde, 

sogar a ∈ C A ([〈u〉, A]). 

Nun gelte [u, a]C V (A) = [u, b]C V (A). Dann ist, wie gesehen, [u, ab −1 ] ∈ C V (A) und 

ab −1 ∈ C V ([〈u〉, A]). Im Falle U = 〈u〉 ist φ u also injektiv und (17.1) bewiesen. 

Nun beweisen wir (17.1) durch Induktion nach |U|. Nach dem, was wir bereits wissen, 

können wir U = U 1 U 2 mit echten Untergruppen U 1 und U 2 von U annehmen. Wir setzen 

W i = [U i , A] und A i = C A (W i ) für i = 1, 2. Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann 

|A||C V (A)| ≤ |A i ||W i C V (A)| für i = 1, 2. Es ist A 1 A 2 eine Untergruppe von A, da nach 

Voraussetzung [A, A] ≤ A i gilt. Wegen W 1 W 2 = [U, A] ist A 1 ∩ A 2 = C A (W 1 W 2 ) = 

A ∗ . Weiterhin ist offenbar W i C V (A) ≤ C V (A i ), so dass W 1 C V (A) ∩ W 2 C V (A) ≤ 

C V (A 1 A 2 ) gilt. Damit folgt (die erste Ungleichung gilt nach Voraussetzung (Q 1 ) an A): 

|A||C V (A)| ≥ |A 1 A 2 ||C V (A 1 A 2 )| 

≥ |A 1 A 2 ||W 1 C V (A) ∩ W 2 C V (A)| 

= |A 1||A 2 | |W 1 C V (A)||W 2 C V (A)| 

|A 1 ∩ A 2 | |W 1 C V (A)W 2 C V (A)| 

≥ |A|2 |C V (A)| 2 

|A ∗ ||[U, A]C V (A)| ,


nach kurzer Umformung also (17.1). Der Satz ist bewiesen. 

Ab jetzt sei V ein elementarabelscher p-Normalteiler der Gruppe G. Wir führen folgende 

Bezeichnung ein. 

Definition 17.6. Es sei A V (G) die Menge der Untergruppen A von G, für die gilt 

(Q 1 ) |A||C V (A)| ≥ |B||C V (B)| für alle B ≤ A. 

(Q 2 ) A/C A (V ) ist eine abelsche p-Gruppe. 

Man beachte, nach Feststellung 16.1 ist Bedingung (Q 2 ) keine Einschränkung bei der Suche 

nach quadratischer Operation. Nach Lemma 17.3 gilt A(G) ⊆ A V (G). 

Satz 17.7 (Timmesfeld Replacement [67]). Sei A ∈ A V (G) und U ≤ V . Dann gilt 

C A ([U, A]) ∈ A V (G) und C V (C A ([U, A])) = [U, A]C V (A). 

Überdies ist [V, C A ([U, A])] ≠ 1, falls [V, A] ≠ 1. 

Beweis. Setze A ∗ = C A ([U, A]). Nach Satz 17.4 gilt |A||C V (A)| = |A ∗ ||C V (A ∗ )|, und 

da (Q 1 ) für A gilt, folgt dass (Q 1 ) auch für A ∗ gilt. Wegen A ∗ ≤ A gilt (Q 2 ) für A ∗ . Also 

ist A ∗ ∈ A V (G). Ebenfalls nach Satz 17.4 gilt C V (A ∗ ) = [U, A]C V (A). 

Angenommen, es gilt [V, A ∗ ] = 1, also C V (A ∗ ) = V . Bedingung (Q 1 ) für A mit B = 

A ∗ gibt dann |A/A ∗ | ≥ |V/C V (A)|. Weiter ist |A/A ∗ | = |[V, A]C V (A)/C V (A)| nach 

Satz 17.5. Es folgt V = [V, A]C V (A), und damit [V, A] = [V, A, A]. Da A nach Voraussetzung 

als p-Gruppe auf der p-Gruppe [V, A] operiert, folgt [V, A] = 1. 

□ 

Die vorigen Ergebnisse auf Elemente von A(G) angewandt ergibt den folgenden Satz. 

Satz 17.8. Sei A ∈ A(G) und A 0 = [V, A]C A ([V, A]) gesetzt. Dann gilt 

(1) A 0 liegt in A(G) und operiert quadratisch auf V . 

(2) Es ist [V, A 0 ] ≠ 1, falls [V, A] ≠ 1. 

Beweis. Zu (1). Setze A ∗ = C A ([V, A]). Dann ist A 0 = [V, A]A ∗ , und mit A ∗ ist auch A 0 

eine elementarabelsche p-Gruppe. Wir hatten bereits vor Lemma 17.3 die offensichtliche 

Feststellung gemacht, dass A 0 quadratisch auf V operiert. Es verbleibt, |A 0 | = |A| zu 

zeigen. Nach Satz 17.5 gilt 

|A| 

|A ∗ | = |[V, A]C V (A)| |[V, A]| 

= 

|C V (A)| |[V, A] ∩ C V (A)| . 

Es ist A maximal unter den Elementen von E(G), und C V (A)A ist elementarabelsch. Also 

gilt C V (A) ≤ A, und es folgt [V, A] ∩ C V (A) = [V, A] ∩ A = [V, A] ∩ A ∗ . Damit ist wie 

gewünscht 

|A| = |[V, A]||A∗ | 

|[V, A] ∩ A ∗ | = |[V, A]A∗ | = |A 0 |. 

Zu (2). Nun, da A 0 ∈ A(G) gezeigt ist, folgt A 0 ∈ A V (G) nach Lemma 17.3, und 

Satz 17.7 kann angewendet werden, mit U = V . 

□ 

18. EIN ANALOGON ZU GLAUBERMANS ZJ-SATZ 

Glaubermans ZJ-Satz [18] ist von grundlegender Bedeutung für die Untersuchung endlicher 

Gruppen, insbesondere was Klassifikationsprobleme einfacher Gruppen betrifft. Der 

ZJ-Satz beschreibt eine hinreichende Bedingung für eine Gruppe G mit einer p-Sylowuntergruppe 

S, welche gewissse p-stabile Operationen voraussetzt, damit eine gewisse charakteristische 

Untergruppe von S, nämlich Z(J(S)), charakteristisch in G ist. 

□


Wir geben ein von Stellmacher [59] bewiesenes Analogon zu dem ZJ-Satz, in dem die 

Gruppe Z(J(S)) durch eine ebenfalls in S charakteristische Gruppe W(S) ersetzt wird. 

Dabei folgen wir im wesentlichen [34, § 9.4]. 

In den Anwendungen des ZJ-Satzes kann Z(J(S)) durch fast jede andere charakteristische 

Untergruppe von S ersetzt werden, solange die Schlußfolgerung des Satzes gültig ist. 

Im folgenden sei S eine nichttriviale p-Gruppe. Es sei H(S) die Klasse der Gruppen H, 

für die folgende vier Aussagen gelten: 

(H1) C H (O p (H)) ≤ O p (H). 

(H2) S ∈ Syl p (H). 

(H3) J(S) H. 

(S 1 ) H operiert p-stabil auf jedem in Ω(Z(J(S))) liegenden Normalteiler von H. 

Natürlich ist die Klasse H(S) nicht leer, denn S ist Mitglied. 

Definition 18.1 (Die Gruppe W(S)). Die Gruppe W(S) ist die kleinste Untergruppe U 

von S, welche charakteristisch in S ist, für die Ω(Z(S)) ≤ U ≤ Ω(Z(J(S))) gilt, und die 

die Eigenschaft hat, normal in jeder Gruppe H zu sein welche zu der Klasse H(S) gehört. 

Wir stellen fest, dass die Definition Sinn ergibt. Dazu sei U die Menge aller Untergruppen 

U von S wie in der Definition beschrieben. Es gilt Ω(Z(S)) ≤ Ω(Z(J(S))), und wegen 

(H3) ist Ω(Z(J(S))) H für alle H aus H(S). Also liegt Ω(Z(J(S))) in U, so dass 

U nicht leer ist. Natürlich genügt auch die Untergruppe ⋂ U∈U 

U den in der Definition 

beschriebenen Bedingungen. Diese ist also die verlangte Untergruppe W(S). Mit S ist 

Ω(Z(S)), also auch W(S) nichttrivial. 

Ich will festhalten, obgleich für das weitere ohne Belang, dass es sich hierbei um eine ‘endliche’ 

Konstruktion handelt, soll heißen, es müssen nur endliche viele Gruppen aus H(S), 

genauer nur Vertreter der Isomorphieklassen, bei der Definition von W(S) berücksichtigt 

werden. 

Bemerkung 18.2. Aufgrund von (H1) und (H2) fallen die Gruppen der Klasse H(S) 

nur in endlich viele Isomorphieklassen. Denn gehört H zu H(S), ist O p (H) eine Untergruppe 

von S, und H/Z(O p (H)) kann auf natürliche Weise mit einer Untergruppe von 

Aut(O p (H)) identifiziert werden. Also ist die Ordnung von H durch eine von S bestimmte 

Schranke beschränkt. Die Feststellung folgt mit der einfachen Beobachtung, dass auf 

endlich vielen Mengen nur endlich viele Verknüpfungen eingeführt werden können. 

Die Einteilung in Isomorphieklassen erscheint für unsere Zwecke zunächst zu grob, denn 

wir wollen ja die Einbettung von S in die Gruppen aus H(S) berücksichtigen. Dass heißt, 

für isomorphe Gruppen H und K aus H(S) wollen wir Isomorphismen ϕ: H → K ‘über 

S’ berücksichtigen, also solche Isomorphismen, die S in sich selbst überführen: 

H 

✻ 

ϕ 

✲ K 

ϕ| S 

✲ S 

✻ 

S 

Dazu beachte man, dass ein Isomorphismus ϕ: H → K stets so gewählt werden kann, 

dass S als ganzes festbleibt, da S eine Sylowuntergruppe der beiden Gruppen ist (man kann 

notfalls mit einem inneren Automorphismus von K ‘korrigieren’). Dann gilt aber für eine 

charakteristische Untergruppe U von S, dass aus U H folgt U = Uϕ| S Hϕ = K. 

Nun seien H 1 , . . . , H n Vertreter der Isomorphieklassen der Gruppen aus H(S). Bezeichnet 

Ũ die Menge der Untergruppen U von S, welche charakteristisch in S sind, für die


Ω(Z(S)) ≤ U ≤ Ω(Z(J(S))) gilt, und die normal in den Gruppen H 1 , . . . , H n sind, dann 

gilt also W(S) = ⋂ U∈Ũ U. 

Wir zeigen zunächst, dass Elemente aus S, die quadratisch auf W(S) operieren, trivial auf 

W(S) operieren, wofür (S 1 ) entscheidend ist. 

Lemma 18.3. Für x ∈ S sei [W(S), x, x] = 1. Dann ist [W(S), x] = 1. 

Beweis. Sei U eine Untergruppe von S mit Ω(Z(S)) ≤ U ≤ W(S) und der Eigenschaft 

(18.1) x ∈ S und [U, x, x] = 1 impliziert [U, x] = 1. 

Beachte zunächst, U = Ω(Z(S)) erfüllt diese Voraussetzung. Weiterhin erfüllt für σ ∈ 

Aut(S) mit U auch die Untergruppe U σ diese Eigenschaften, so dass wir U durch die 

eventuell größere Untergruppe 〈U σ | σ ∈ Aut(S)〉 ersetzen dürfen. Wir wollen daher annehmen, 

dass U charakteristisch in S ist. 

Angenommen, es gilt U < W(S). Dann gibt es, aufgrund der Minimalität von W(S), 

eine Gruppe H aus H(S) in der U nicht normal ist. Setzen wir V = 〈U H 〉, dann gilt 

U < V ≤ W(S). Sei C = C H (V ) und C ≤ L H mit L/C = O p (H/C). Dann ist 

P = S ∩ L ∈ Syl p (L) und L = P C. Das Frattini-Argument gibt also H = N H (P )L = 

N H (P )C. Damit ist V = 〈U NH(P ) 〉. Nun sei x ∈ S mit [V, x, x] = 1. Nach (S 1 ) ist dann 

x ∈ S ∩ L = P . Sei h ∈ N H (P ). Dann ist x h−1 ∈ S und [U, x h−1 , x h−1 ] h = [U h , x, x] ≤ 

[V, x, x] = 1, also [U, x h−1 , x h−1 ] = 1 und [U, x h−1 ] = 1 nach Voraussetzung an U. Also 

gilt [U h , x] = 1. Dies zeigt [V, x] = 1. 

Somit kann man, ausgehend von Ω(Z(S)), eine aufsteigende Kette von Untergruppen U 

von W(S), welche sämtlich der Bedingung (18.1) genügen, finden die erst bei W(S) endet. 

□ 

Nun können wir den folgenden Satz beweisen. Im Beweis geht an entscheidender Stelle 

Satz 17.8 ein. 

Satz 18.4. Es sei G eine Gruppe mit C G (O p (G)) ≤ O p (G) und S ∈ Syl p (G), die folgender 

Bedingung genügt. 

(S 2 ) G operiert p-stabil auf jedem elementarabelschen p-Normalteiler von G und auf 

O p (G)/Φ(O p (G)). 

Weiter gelte für H = N G (J(S)) die Bedingung (S 1 ). Dann gilt W(S) G. 

Beweis. Setze V = O p (G)/Φ(O p (G)). Nach Voraussetzung operieren p ′ -Untergruppen 

von G treu auf O p (G), und damit auch treu auf V (teilerfremde Operation). Also ist C G (V ) 

eine p-Gruppe, und da sie normal in G ist, folgt C G (V ) = O p (G). 

Setze W = W(S). Aus O p (G) ≤ S und W(S) S folgt [O p (G), W ] ≤ W ∩ O p (G), 

und da W abelsch ist, also [O p (G), W, W ] = 1. Mit (S 2 ) folgt W C G (V )/C G (V ) ≤ 

O p (G/C G (V )) = O p (G/O p (G)) = 1, dass heißt, W ≤ C G (V ) = O p (G). Wegen 

W S bedeutet dies sogar W O p (G), und damit W x O p (G) für alle x ∈ G. Sei 

x ∈ G. Da W x abelsch ist, folgt [W, W x , W x ] = 1, und [W, W x ] = 1 mit Lemma 18.3. 

Damit ist ˜W = 〈W G 〉 elementarabelscher Normalteiler von G. 

Angenommen, es gilt [ ˜W , J(S)] = 1. Dann gilt auch [ ˜W , J(S) x ] = 1 für alle x ∈ G. Also 

[ ˜W , J(G)] = 1, dass heißt, J(G) ≤ C G ( ˜W ). Es ist J(S) ≤ T = S ∩ J(G) ∈ Syl p (J(G)), 

also J(S) = J(T ) (siehe Feststellung 17.2). Damit gilt, da J(T ) charakteristisch in T ist, 

N G (T ) ≤ N G (J(T )) = N G (J(S)). Das Frattini-Argument liefert G = J(G)N G (T ). Es 

folgt G = J(G)N G (J(S)). Wir haben bereits J(G) ≤ C G ( ˜W ) gezeigt. Also ist G = 

C G ( ˜W )N G (J(S)). Nun folgt ˜W = 〈W G 〉 = 〈W NG(J(S)) 〉. Für die Gruppe H = N G (J(S))


gilt nach Voraussetzung (S 1 ). Offenbar gelten (H 2 ) und (H 3 ) für H. Da O p (G) ≤ S, ist 

O p (G) ≤ H, also O p (G) ≤ O p (H). Somit gilt auch (H 1 ) für H, da C G (O p (G)) ≤ O p (G) 

vorausgesetzt ist. Also gehört H zu der Klasse H(S). Nach Definition von W(S) gilt also 

W H, und es folgt W = 〈W H 〉 = ˜W G. 

Die Annahme [ ˜W , J(S)] ≠ 1 werden wir nun zu einem Widerspruch führen, wonach der 

Satz bewiesen ist. Es gebe also A ∈ A(S) mit [ ˜W , A] ≠ 1. Nach Satz 17.8 gibt es A 0 ∈ 

A(S) mit [ ˜W , A 0 ] ≠ 1 und A 0 operiert quadratisch auf ˜W . Sei C G ( ˜W ) ≤ L G mit 

L/C G ( ˜W ) = O p (G/C G ( ˜W )). Setze P = S ∩ L ∈ Syl p (L). Dann ist L = C G ( ˜W )P . 

Bedingung (S 2 ) gibt A 0 ≤ L, also A 0 ≤ P ≤ S. Es folgt A 0 ∈ A(P ) und damit J(P ) ≤ 

J(S). Da W ≤ Z(J(S)), gilt also [W, J(P )] = 1, und damit [W x , J(P )] = 1 für alle 

x ∈ N G (P ). Das Frattini-Argument liefert G = LN G (P ), also G = C G ( ˜W )N G (P ). 

Damit ist ˜W = 〈W G 〉 = 〈W NG(P ) 〉. Es folgt [ ˜W , J(P )] = 1. Wegen A 0 ≤ J(P ) und 

[ ˜W , A 0 ] ≠ 1 ist dies der gewünschte Widerspruch. □ 

Dies nehmen wir zum Anlaß, die folgende Definition zu treffen (es gibt abweichende Definitionen 

von p-Stabilität in der Literatur). 

Definition 18.5. Eine Gruppe G mit S ∈ Syl p (G) heiße p-stabil, falls mit H = N G (J(S)) 

die zwei folgenden Bedingungen gelten. 

(S 1 ) H operiert p-stabil auf jedem in Ω(Z(J(S))) liegenden Normalteiler von H. 

(S 2 ) G operiert p-stabil auf jedem elementarabelschen p-Normalteiler von G und auf 

O p (G)/Φ(O p (G)). 

Damit liest sich der vorangegangene Satz wiefolgt. 

Satz 18.4 (Stellmacher). Es sei G eine p-stabile Gruppe mit C G (O p (G)) ≤ O p (G). Ist S 

eine p-Sylowuntergruppe von G, dann gilt W(S) G. 

Das wesentliche an diesem Satz ist, dass die (charakteristische) Untergruppe W(S) nur 

von S abhängt, und nicht von der Gruppe G. Beispielsweise liegen in einer Gruppe G mit 

S ∈ Syl p (G) alle p-stabilen Untergruppen M mit S ≤ M und C M (O p (M)) ≤ O p (M) in 

der Untergruppe N G (W(S)). 

Gilt für eine Gruppe G eine der vier Bedingungen aus Satz 16.5, trifft dies auch für jede 

Untergruppe von G zu. Aus der Definition ergibt sich aus Satz 16.5 also unmittelbar 

folgender Satz. 

Satz 18.6. Es sei p eine ungerade Primzahl. Erfüllt die Gruppe G eine der folgenden 

Bedingungen, ist sie p-stabil. 

(1) G hat ungerade Ordnung. 

(2) Eine 2-Sylowuntergruppe von G ist abelsch. 

(3) Eine 2-Sylowuntergruppe von G ist eine Diedergruppe. 

(4) G ist auflösbar, und es ist entweder p ≥ 5 oder SL(2, 3) ist kein Subquotient von 

G. 

19. GOLDSCHMIDTS BEWEIS DES p a q b -SATZES, p ≠ 2 ≠ q 

Wir geben den Beweis von Goldschmidt [20] für folgenden Satz (mit dem unwesentlichen 

Unterschied, dass wir an entscheidender Stelle Satz 18.4 zitieren anstelle des ZJ-Satzes 

von Glauberman). 

Satz 19.1. Gruppen der Ordnung p a q b sind auflösbar, für p ≠ 2 ≠ q.


Für den Beweis sei G ein minimales Gegenbeispiel zum p a q b -Satz, mit ungeraden Primzahlen 

p und q. 

Lemma 19.2. Jede Sylowuntergruppe von G liegt in genau einer maximalen Untergruppe 

von G. Jede maximale Untergruppe von G enthält eine Sylowuntergruppe von G. 

Beweis. Es sei r ∈ {p, q}. Es sei R ∈ Syl r (G) und M eine R enthaltende maximale 

Untergruppe von G. Dann gilt O r ′(M) = 1 nach Lemma 12.8. Damit ist C M (O p (M)) ≤ 

O p (M) nach Satz 9.29. Es folgt M = N M (W(R)) nach Satz 18.4 und Satz 18.6. Damit 

ist M = N G (W(R)), was die Eindeutigkeit von M zeigt. 

Nun sei M irgendeine maximale Untergruppe von G. Nach der Beobachtung von Bender 

(Lemma 12.9) gibt es r ∈ {p, q} mit O r ′(M) = 1. Es sei R ∈ Syl r (M). Wieder gilt 

M = N G (W(R)) nach Satz 18.4. Da W(R) eine charakteristische Untergruppe von R ist, 

folgt N G (R) ≤ N G (W(R)) = M, und dies zeigt R ∈ Syl r (G) nach Satz 6.16. □ 

Lemma 19.3. Es sei r ∈ {p, q} und R ∈ Syl r (G). Dann liegt Z(R) in genau einer 

maximalen Untergruppe von G. 

Beweis. Es sei M die eindeutig bestimmte maximale Untergruppe von G, die R enthält 

(Lemma 19.2). Angenommen, es gilt Z(R) ⊆ L für eine von M verschiedene maximale 

Untergruppe L von G. Dann wählen wir L so, dass der Schnitt L ∩ M von einer 

möglichst großen Potenz von r geteilt wird. Es gibt S ∈ Syl r (L ∩ M) mit Z(R) ≤ S. 

Es ist S ∉ Syl r (G), denn andernfalls wäre ja L = M nach Lemma 19.2. Damit ist auch 

S ∉ Syl r (M), und es gibt eine r-Untergruppe T von M mit S < T ≤ N M (S). Es ist 

T ≤ M und T ≤ N G (S). Nach Wahl von L folgt N G (S) ≤ M. Es folgt S ∈ Syl r (L), 

denn andernfalls gäbe es ja eine r-Untergruppe U von L mit S 

S der Wahl von S. Somit enthält L keine r-Sylowuntergruppe von 

G, aber dafür eine r ′ -Sylowuntergruppe von G, nach Lemma 19.2. Folglich ist G = LR. 

Dies gibt aber den Widerspruch Z(R) ≤ ⋂ y∈R Ly = ⋂ x∈G Lx G. 

□ 

Lemma 19.4. Für r ∈ {p, q} gibt es R, S ∈ Syl r (G) mit R ∩ S = 1. 

Beweis. Es sei R ∈ Syl r (G) und M die eindeutig bestimmte maximale Untergruppe von 

G, die Z(R) enthält (Lemma 19.3). Da G einfach ist, können wir S ∈ Syl r (G) mit S M 

wählen. Wir zeigen M ∩ S = 1 durch einen Widerspruchsbeweis. Dann gilt erst recht 

R ∩ S = 1, und das Lemma ist bewiesen. Nehmen wir also an, das M ∩ S ≠ 1 gilt. Dann 

denken wir uns S so gewählt, dass |M ∩S| möglichst groß ist. Setze T = M ∩S. Indem wir 

R innerhalb M durch ein geeignetes Konjugiertes ersetzen, können wir T ≤ R annehmen. 

Dann ist Z(R) ≤ N G (T ), also N G (T ) ≤ M (Lemma 19.3). Aber T < S wegen S M, 

also weiter T < N S (T ) ≤ M ∩ S, ein Widerspruch. 

□ 

Nun bringen wir den Beweis des Satzes dieses Abschnitts zu einem Ende. Wir können 

p a < q b annehmen. Nehmen wir dann R, S ∈ Syl q (G) mit R∩S = 1 (Lemma 19.4), folgt 

der Widerspruch |G| ≥ |RS| = |R||S| = q 2b > p a q b = |G|. Satz 19.1 ist bewiesen.


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Theorie der endlichen Gruppen, Stuttgart SS 2008 - UniversitÃ¤t ...

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