2x2 - IGT

Prof. Dr. Michael Eisermann • Höhere Mathematik 3 • WiSe 2012/13
Inhalt dieses Kapitels
S.1290
Kapitel R
Konvergenz von Fourier–Reihen
L’analyse mathématique est aussi étendue
que la nature elle-même (. . . ).
Son attribut principal est sa clarté; elle n’a
point de signes pour exprimer les notions confuses.
Elle rapproche les phénomènes les plus divers,
et découvre les analogies secrètes qui les unissent.
(Joseph Fourier, 1768–1830, Théorie analytique de la chaleur)
1 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz
Punktweise Konvergenz
Berechnung von Reihen
Gleichmäßige Konvergenz
2 Skalarprodukt periodischer Funktionen
Vektorräume mit Skalarprodukt
Orthonormalisierung
Bestapproximation
3 Konvergenz im quadratischen Mittel
Der mittlere quadratische Fehler und Bestapproximation
Die Fourier–Isometrie zwischen Funktion und Spektrum
Lösung des isoperimetrischen Problems
4 Fazit: Fourier–Analyse und Synthese
www.igt.uni-stuttgart.de/eiserm • Stand 10. Februar 2013, 14:37
Motivation und Zielsetzung
S.1291
Historische Einordnung
S.1292
Erläuterung
Die Funktion f : R → C sei T –periodisch und auf [0, T ] integrierbar.
Wir zerlegen f in Harmonische zur Grundfrequenz ω = 2π/T :
f(t) ∼
∞∑
k=−∞
c k e ikωt mit c k = 1 T
ˆ T
t=0
e −ikωt f(t) dt
In dieser Zerlegung ist c k die Amplitude der Teilschwingung e ikωt .
Aus der Funktion f : R → C entsteht die Folge ˆf : Z → C mit ˆf(k) = c k .
Fourier–Analyse: Aus dem Signal f berechnet man das Spektrum ˆf.
Fourier–Synthese: Zu gegebenen Amplituden (c k ) k∈Z betrachten wir
die Teilschwingungen c k e ikωt und ihre Überlagerung ∑ ∞
k=−∞ c ke ikωt .
Konvergiert diese Reihe? Für welche t? Gegen welchen Grenzwert?
Wie im vorigen Kapitel gesehen entsprechen komplexe Amplituden c k = 1 2 (a k − ib k ) einer
Cosinusschwingung a k cos(kωt) und einer Sinusschwingung b k sin(kωt). Die komplexe
Schreibweise ist hier bequemer und wird in diesem Kapitel stellvertretend benutzt.
Wir betrachten im Folgenden den bequemsten Fall T = 2π und ω = 1.
Alle Formeln lassen sich leicht umrechnen, siehe das Fazit am Ende.
Die Frage nach der Konvergenz von Fourier–Reihen ist eines
der interessantesten aber auch schwierigsten Themen der Analysis.
Sie ist von grundlegender Bedeutung in Theorie und Anwendung,
und wird daher seit Erfindung der Fourier–Analysis untersucht.
Fourier selbst nutzte die Begriffe „Funktion“, „Integral“, „Konvergenz“
noch intuitiv und vage. Das war und ist für die Anschauung nützlich,
doch schnell verwickelt man sich mit vagen Begriffen in Widersprüche.
Insbesondere in der Fourier–Theorie kommt man so nicht weiter.
Erst zu Beginn des 20. Jahrhunderts wurden die Grundbegriffe zur
Beherrschung der Fourier–Reihen geklärt. Hierzu wurde ein guter Teil
der mathematischen Grundlagen und Methoden entwickelt, die wir
heute in Naturwissenschaft und Technik mit großem Erfolg nutzen.
So entstand aus der Praxis der Fourier–Reihen die nötige Theorie,
und mit der Theorie die sichere und heute so erfolgreiche Anwendung.
Die Mathematik, die Sie heute sehen, ist ein Ergebnis dieser Mühen.
Die Grundlagen wurden für Sie so konzipiert, dass sie hier tragen.
Langfristiger Erfolg rechtfertigt langfristige Investitionen!

Punktweise Konvergenz
§R1.1, S.1293
Punktweise Konvergenz
§R1.1, S.1294
4
2
0
−2
−4
−2 0 2 4 6 8 10 12 14
Beispiel: Sei f : R → R die 2π–periodische Sägezahnfunktion
mit f(x) = x − π für 0 ≤ x < 2π. Man beachte die Sprungstellen!
Die Funktion f haben wir bereits in ihre Fourier–Reihe entwickelt:
∞∑
[
−2
f(x) ∼
k sin(kx) = −2 sin x + 1 2 sin 2x + 1 ]
3 sin 3x + . . .
k=1
Das n–te Fourier–Polynom ist die endliche Summe
n∑
[
−2
f n (x) =
k sin(kx) = −2 sin x + 1 2 sin 2x + · · · + 1 ]
n sin nx .
k=1
In die Funktion f n können wir nun Werte x ∈ R einsetzen.
Im Punkt x = π gilt f n (π) = 0 → 0 und f(π) = 0.
Im Punkt x = 0 gilt f n (0) = 0 → 0 aber f(0) = −π.
Im Punkt x = π/2 finden wir die Leibniz–Reihe [S.133]
−2
[1 − 1 3 + 1 5 − 1 ]
7 + . . . = −2 π 4
Die Fourier–Reihe muss im Punkt x keineswegs gegen den Funktionswert f(x) konvergieren!
Dieses Problem kann man immer provozieren, indem man f im betrachteten Punkt x beliebig
abändert. Die Integrale und Fourier–Koeffizienten bleiben hiervon unberührt.
Punktweise Konvergenz
§R1.1, S.1295
Punktweise Konvergenz
§R1.1, S.1296
Beispiel: f(x) = ln ∣ ∣2 sin(x/2) ∣ ∣ ist 2π–periodisch und hat Pole in 2πZ.
2
0
−2
−4
−6
−2 0 2 4 6 8 10 12 14
Trotz Polstellen ist f integrierbar, also existieren ihre Fourier–Koeffizienten.
Man findet die Fourier–Reihe dank der Potenzreihe ln(1 − z) = − ∑ ∞
k=1 zk /k,
indem man z = e ix einsetzt und Konvergenz für alle Punkte x /∈ 2πZ nachweist.
Zu f(x) = ln ∣ ∣2 sin(x/2) ∣ ∣ ist die Fourier–Reihe [S.1283]
f(x) ∼
∞∑
k=1
−1
k cos(kx) = − cos x − 1 2 cos 2x − 1 cos 3x − . . .
3
Wenn wir x = π einsetzen, so finden wir die Leibniz–Reihe [S.133]
1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + . . . → ln(2).
Im Punkt x = 0 finden wir die harmonische Reihe [S.126]
−1 − 1 2 − 1 3 − 1 4 − . . . → −∞.
Hier divergiert also die Fourier–Reihe, auch das ist möglich.

Punktweise Konvergenz
§R1.1, S.1297
Erläuterung
Punktweise Konvergenz
§R1.1, S.1298
Die Funktion f : R → C sei 2π–periodisch und auf [0, 2π] integrierbar.
Wir können dann ihre Fourier–Koeffizienten c k = 〈 e k | f 〉 definieren,
Die Fourier–Koeffizienten fassen wir zur Fourier–Reihe zusammen:
∞∑
f(x) ∼ c k e ikx
k=−∞
Das n–te Fourier–Polynom hierzu ist die (endliche!) Summe
n∑
f n (x) = c k e ikx .
k=−n
Definition R1A (punktweise Konvergenz)
Wir sagen, die Fourier–Reihe von f konvergiert im Punkt x ∈ R,
wenn die Zahlenfolge f n (x) ∈ C für n → ∞ konvergiert.
Sie konvergiert im Punkt x gegen f(x), wenn f n (x) → f(x) gilt.
In diesem Falle (und nur dann) schreiben wir
f(x) = lim
n∑
n→∞
k=−n
c k e ikx kurz f(x) =
∞∑
k=−∞
c k e ikx .
Zu festem x ∈ R betrachten wir nun den Grenzübergang n → ∞.
Dirichlet–Kriterium zur punktweisen Konvergenz
§R1.1, S.1299
Dirichlet–Kriterium zur punktweisen Konvergenz
§R1.1, S.1300
Bei einer vorgelegten Funktion stellt sich die konkrete Frage:
In welchen Punkten konvergiert die Fourier–Reihe? und wogegen?
f(x)
Angenommen, im Punkt x ∈ R existieren die einseitigen Grenzwerte
f(x+) := lim
t↘0
f(x + t),
f(x−) := lim
t↘0
f(x − t).
Stetigkeit in x ist dann äquivalent zu f(x+) = f(x−) = f(x).
Das folgende Kriterium von Dirichlet möchte ich vorab in dieser
Graphik illustrieren. Ist f im Punkt x differenzierbar, so konvergiert die
Fourier–Reihe gegen f(x). Das gilt auch noch, wenn f in x stetig ist
und beide einseitigen Ableitungen existieren. Auch für Sprungstellen
können wir noch etwas aussagen: Die Fourier–Reihe konvergiert
gegen den Mittelwert! Um all diese Fälle präzise formulieren zu
können, schauen wir uns die nötigen einseitigen Grenzwerte an.
x
Im Falle f(x+) ≠ f(x−) hat f in x eine Sprungstelle.
Der Wert f(x) an der Sprungstelle x ist dabei völlig beliebig.
Wir nennen f sprungnormiert, wenn f(x) = 1 2[
f(x+) + f(x−)
]
gilt.
Die einseitigen Ableitungen sind, sofern existent, die Grenzwerte
f ′ f(x + t) − f(x+)
(x+) := lim
, f ′ f(x − t) − f(x−)
(x−) := lim
.
t↘0 t
t↘0 t
Stetigkeit f(x+) = f(x−) = f(x) und f ′ (x+) = f ′ (x−)
sind dann äquivalent zur Differenzierbarkeit im Punkt x.

Dirichlet–Kriterium zur punktweisen Konvergenz
§R1.1, S.1301
Dirichlet–Kriterium zur punktweisen Konvergenz
§R1.1, S.1302
2
0
−4 −2 0 2 4 6 8 10
Beispiel: Die Rechteckfunktion f : R → R sei 2π–periodisch
mit f(x) = 1 für 0 ≤ x < π und f(x) = −1 mit π ≤ x < 2π.
Die Dreieckfunktion ist dann F (x) = ´ x
0
f(t) dt.
Die Funktion f ist auf ]0, π[ und ]π, 2π[ stetig differenzierbar mit f ′ = 0. In x ∈ πZ ist f
unstetig, aber es existieren f(x±) und die einseitigen Ableitungen f ′ (x±). Die Funktion F ist
auf ganz R stetig und auf ]0, π[ und ]π, 2π[ stetig differenzierbar mit F ′ = f. In den Punkten
x ∈ πZ ist F nicht differenzierbar, aber es existieren die einseitigen Ableitungen F ′ (x±).
Satz R1B (Dirichlet–Kriterium zur Konvergenz in einem Punkt)
Angenommen, in x ∈ R existieren die einseitigen Grenzwerte f(x±).
Wenn die Fourier–Reihe in x konvergiert, dann gegen den Mittelwert:
f n (x) → 1 2
[
]
f(x+) + f(x−)
für n → ∞.
Angenommen, es existieren die einseitigen Grenzwerte f(x±) und
zudem die einseitigen Ableitungen f ′ (x±). Dann konvergiert die
Fourier–Reihe von f im Punkt x, und zwar gegen obigen Mittelwert.
Der Funktionswert von f im Punkt x spielt dabei keine Rolle!
Korollar R1C
Ist f in x differenzierbar (und somit stetig), dann folgt f n (x) → f(x).
In diesem Fall gilt nämlich f(x+) = f(x−) = f(x) dank Stetigkeit und
es existieren f ′ (x+) = f ′ (x−) = f ′ (x) dank Differenzierbarkeit in x.
Anwendung auf die Sägezahnfunktion
§R1.2, S.1303
Anwendung auf die Sägezahnfunktion
§R1.2, S.1304
Nochmal die Sägezahnfunktion, aber diesmal sprungnormiert:
4
2
0
−2
−4
−2 0 2 4 6 8 10 12 14
Wir setzen f(x) = x − π für 0 < x < 2π aber f(0) = f(2π) = 0.
Die Fourier–Koeffizienten bleiben bei dieser Korrektur unverändert.
Die einseitigen Ableitungen existieren, auch in den Sprungstellen.
Dank Dirichlet–Kriterium gilt hier Konvergenz in allen Punkten x ∈ R:
f(x) = −2
∞∑
k=1
sin(kx)
k
Dank Konvergenz erhalten wir die bemerkenswerte Formel
⎧
∞∑ sin(kx)
⎨0 für x ∈ 2πZ,
= π − x
k ⎩ für x /∈ 2πZ.
k=1
2
Anwendungsbeispiele:
x = π 2 : 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − 1 11 + . . . = π 4
x = π √
3
[1
3 : + 1 2 2 − 1 4 − 1 5 + 1 7 + 1 ]
8 − . . . = π 3
(In der ersten Gleichung erkennen wir die Leibniz–Reihe [S.133].)

Anwendungsbeispiel
§R1.2, S.1305
Anwendungsbeispiel
§R1.2, S.1306
Aufgabe: (nach einer Klausuraufgabe vom September 2012)
Die Funktion g : R → R sei 2π–periodisch mit g(x) = e x für 0 ≤ x < 2π.
(A) Skizzieren Sie g auf dem Intervall [−4π, 4π].
(B) Bestimmen Sie die Fourier–Koeffizienten von g.
(C) Erklären Sie, dank welcher Kriterien die Fourier–Reihe im Punkt
x = 0 konvergiert und bestimmen Sie so den Grenzwert der Reihe
∞∑ 1
k 2 + 1 = 1 1 + 1 2 + 1 5 + 1 10 + 1
17 + 1 26 + . . . .
k=0
600
500
400
300
200
100
0
−12 −8 −4 0 4 8 12
Anwendungsbeispiel
Alternativ und etwas einfacher geht es komplex:
ˆ 2π
x=0
e −ikx e x dx =
ˆ 2π
x=0
[ e
e (1−ik)x (1−ik)x
dx =
1 − ik
] 2π
Damit erhalten wir die komplexen Fourier–Koeffizienten:
c k = 1
2π
ˆ 2π
0
e −ikx e x dx = e 2π − 1
2π(1 − ik)
Zum Vergleich erhalten wir so auch die reellen Integrale:
x=0 = e 2π − 1
1 − ik
c k = e 2π − 1
2π(1 − ik) = (e 2π − 1)(1 + ik)
2π(1 + k 2 = e 2π − 1
) 2π(1 + k 2 ) − i k(1 − e 2π )
2π(1 + k 2 ) .
Damit erhalten wir erneut die reellen Fourier–Koeffizienten:
a k = c k + c −k = e 2π − 1
π(k 2 + 1) , b k = i(c k − c −k ) = k(1 − e 2π )
π(k 2 + 1)
§R1.2, S.1307
Beide Rechenwege sind ähnlich lang, die Wahl ist Geschmackssache.
(B) Wir rechnen zunächst reell. Partielle Integration liefert
ˆ 2π
cos(kx) e x dx =
[cos(kx) e x] ˆ
2π 2π
+ k sin(kx) e x dx,
0
0 0
ˆ 2π
sin(kx) e x dx =
[sin(kx) e x] ˆ
2π 2π
− k cos(kx) e x dx.
0
0
Das sieht zirkulär aus, aber einsetzen ergibt
ˆ 2π
0
ˆ 2π
0
ˆ 2π
cos(kx) e x dx = (e 2π − 1) − k 2 cos(kx) e x dx,
ˆ 2π
sin(kx) e x dx = k(1 − e 2π ) − k 2 sin(kx) e x dx.
Das können wir nun nach den gesuchten Integralen auflösen:
ˆ 2π
0
ˆ 2π
0
cos(kx) e x dx = e 2π − 1
1 + k 2 , also a k = e 2π − 1
π(k 2 + 1) ,
Anwendungsbeispiel
sin(kx) e x dx = k(1 − e 2π )
1 + k 2 , also b k = k(1 − e 2π )
π(k 2 + 1) .
(C) In x = 0 existieren die einseitigen Grenzwerte
g(0+) = lim
x↘0
e x = 1,
0
0
g(0−) = g(2π−) = lim
x↗2π e x = e 2π .
Ebenso existieren die einseitigen Ableitungen g ′ (0+) und g ′ (0−).
Das Dirichlet–Kriterium garantiert Konvergenz in x = 0, also gilt
k=0
a 0
∞
2 + ∑
a k cos(kx) + b k sin(kx) =
k=1
e 2π − 1
2π
+
∞∑
k=1
∞∑
k=0
0
g(x+) + g(x−)
2
e 2π − 1
π(k 2 + 1) = 1 + e 2π
2
e 2π − 1
π(k 2 + 1) = e 2π − 1
+ e 2π + 1
2π 2
Auflösen und vereinfachen liefert schließlich:
∞∑ 1
k 2 + 1 = 1 2 + π e π + e −π 1 + π coth(π)
2 e π = ≈ 2.07667
− e −π 2
§R1.2, S.1308

Gleichmäßige Konvergenz
§R1.3, S.1309
Ergänzung
Gleichmäßige Konvergenz
§R1.3, S.1310
Ergänzung
3
2
1
0
−4 −2 0 2 4 6 8 10
Beispiel: Die Dreieckfunktion f : R → R ist 2π–periodisch mit
f
f 5
Den maximalen Abstand zwischen f, g : Ω → R bezeichnen wir mit
∣
|f − g| Ω := sup∣f(x) − g(x) ∣ ∣.
x∈Ω
Eine Funktionenfolge f 0 , f 1 , f 2 , . . . : Ω → R konvergiert gleichmäßig
gegen f : Ω → R, wenn |f − f n | Ω → 0 für n → ∞ gilt.
ε
ε
g
f
f(x) = |x| für − π ≤ x ≤ π.
Sie ist stetig und stückweise stetig differenzierbar, und wird
gleichmäßig von ihren Fourier–Polynomen f n approximiert.
Diese Beobachtung wollen wir präzisieren und allgemein formulieren.
Anschaulich gesagt: Wenn wir um f einen Schlauch der Breite ε > 0
legen, so liegen darin alle f n für ausreichend großes n.
Gleichmäßige Konvergenz
§R1.3, S.1311
Ergänzung
Gleichmäßige Konvergenz
§R1.3, S.1312
Ergänzung
Satz R1D (Abklingen und gleichmäßige Konvergenz)
Gilt |c k | ≤ c/|k| 1+α für alle k ≠ 0 und Konstanten c, α > 0, dann
konvergiert die Reihe ∑ c k e k gleichmäßig gegen eine stetige Funktion.
Satz R1E (Dirichlet–Kriterium zur gleichmäßigen Konvergenz)
Sei a ′ < a < b < b ′ . Sei f auf ]a ′ , b ′ [ stetig und stückweise stetig
differenzierbar. Dann konvergiert die Fourier–Reihe auf [a, b]
gleichmäßig gegen f, das heißt |f − f n | [a,b] → 0 für n → ∞.
Beispiel: Für die Dreieckfunktion gilt gleichmäßige Konvergenz
auf jedem Intervall. Für die Sägezahnfunktion gilt gleichmäßige
Konvergenz auf jedem kompakten Intervall [a, b] ohne Sprungstelle.
! Gleichmäßige Konvergenz gilt nicht bei Sprungstellen! Wegen des
Gibbs–Phänomens überschwingt die Fourier–Reihe um ca. 9% der
Sprunghöhe, und der Abstand |f − f n | [0,2π] wird nicht beliebig klein.
Hier gilt höchstens punktweise aber nicht gleichmäßige Konvergenz.
Gleichmäßige Konvergenz impliziert punktweise Konvergenz, denn
|f(x) − f n (x)| ≤ |f − f n | K → 0,
also f n (x) → f(x).
Die Umkehrung gilt nicht! Im obigen Beispiel der sprungnormierten
Sägezahnfunktion gilt |f n (x) − f(x)| → 0 in jedem Punkt x ∈ R,
aber nicht gleichmäßige Konvergenz |f n − f| [0,2π] → 0.
2
0
−2
−2 0 2 4 6 8 10 12 14

Vollständigkeit der trigonometrischen Basis
§R1.3, S.1313
Ergänzung
Eindeutigkeit der Funktion
§R1.3, S.1314
Ergänzung
Die trigonometrischen Basisfunktionen 1, e it , e −it , e 2it , e −2it , . . .
sind vollständig: Sie lassen sich durch keine hierzu orthogonale
Funktion f erweitern. Ausführlich bedeutet das folgendes:
Satz R1F (Vollständigkeit der trigonometrischen Basis)
Die Funktion f : R → C sei 2π–periodisch und auf [0, 2π] integrierbar.
Gilt
ˆ 2π
t=0
e −ikt f(t) dt = 0
für alle k ∈ Z, so folgt f(x) = 0 für fast alle x ∈ R.
Anders gesagt: Für f ≠ 0 können nicht alle Fourier–Koeffizienten
verschwinden. (Wie in der Integrationstheorie üblich identifizieren wir
Funktionen, die fast überall gleich sind.) Dieser Satz ist die Grundlage
für die L 2 –Konvergenztheorie der Fourier–Reihen. Ein vereinfachter
Beweis findet sich in Meyberg–Vachenauer, Kapitel 10 §3.
Haben zwei Funktionen dieselben Fourier–Koeffizienten,
so sind sie gleich (überall bis auf eine Menge vom Maß Null):
Korollar R1G (Eindeutigkeit der Funktion)
Die Funktionen g, h: R → C seien periodisch und integrierbar.
Gilt
ˆ 2π
t=0
e −ikt g(t) dt =
ˆ 2π
t=0
e −ikt h(t) dt
für alle k ∈ Z, so folgt g(x) = h(x) für fast alle x ∈ R.
Beweis: Der Satz angewendet auf f = g − h liefert f = 0.
Nochmal anders gesagt: Die Fourier–Analyse f ↦→ ˆf ist injektiv.
Haben zwei Funktionen dasselbe Spektrum, so sind sie gleich.
Der folgende Satz sagt, dass auch die Fourier–Synthese injektiv ist.
Eindeutigkeit der Koeffizienten
§R1.3, S.1315
Ergänzung
Punktweise Konvergenz
§R1.3, S.1316
Ergänzung
Wenn wir eine 2π–periodische, integrierbare Funktion f : R → C als
eine überall konvergente trigonometrische Reihe darstellen können,
dann nur auf eine Weise, nämlich durch ihre Fourier–Koeffizienten.
Satz R1H (Eindeutigkeit der Koeffizienten)
Die Funktion f : R → C sei 2π–periodisch und auf [0, 2π] integrierbar.
Sei (c k ) k∈Z eine Folge von Koeffizienten c k ∈ C mit c k → 0 für k → ±∞.
Gilt
f(x) = lim
n∑
n→∞
k=−n
c k e ikx , d.h. kurz f(x) =
∞∑
k=−∞
c k e ikx ,
für alle x ∈ R (mit höchstens abzählbar vielen Ausnahmen), so folgt
c k = 1 ˆ 2π
e −ikt f(t) dt.
2π t=0
! Punktweise Konvergenz ist keineswegs selbstverständlich:
Satz R1I (Kolmogorov 1924)
Es gibt integrierbare Funktionen, also ´ 2π
0
|f(x)| dx < ∞,
deren Fourier–Reihe in keinem Punkt x ∈ R konvergiert.
Ein klein wenig mehr als Integrierbarkeit reicht fast überall:
Satz R1J (Carleson 1966, Hunt 1968)
Gilt ´ 2π
0 |f(x)|p dx < ∞ für ein p > 1, so konvergiert die Fourier–Reihe
fast überall gegen f, d.h. in allen x ∈ R N außer einer Nullmenge N.
! Konvergenz in allen Punkten hingegen wäre zu viel verlangt:
Satz R1K (Kahane & Katznelson 1966)
Zu jeder Nullmenge N ⊂ R existiert eine stetige Funktion,
deren Fourier–Reihe in den Punkten x ∈ N nicht konvergiert.
Diese Sätze sind extrem schwierig und dienen hier nur zur Illustration.

Skalarprodukt, Norm, Abstand im R n §R2.1, S.1317
Erinnerung
Zur Wiederholung siehe Kimmerle–Stroppel, Lineare Algebra, §2.5
Für u, v ∈ R n ist das euklidische Skalarprodukt definiert durch
〈 u | v 〉 = u 1 v 1 + · · · + u n v n .
Für jeden Vektor u ∈ R n gilt somit 〈 u | u 〉 = u 2 1 + · · · + u2 n ≥ 0
Die euklidische Norm ist definiert durch |u| = √ 〈 u | u 〉, also
|u| =
√
u 2 1 + · · · + u2 n.
Übliche Schreibweisen: |u| = |u| 2 = ‖u‖ = ‖u‖ 2 = . . .
Der euklidische Abstand zwischen u und v ist definiert durch
√
|u − v| = (u 1 − v 1 ) 2 + · · · + (u n − v n ) 2 .
Skalarprodukt, Norm, Abstand im C n §R2.1, S.1319
Erinnerung
Norm einer komplexen Zahl
Zur Wiederholung siehe Kimmerle–Stroppel, Lineare Algebra, §1.7
Jede komplexe Zahl z ∈ C schreibt sich eindeutig als
z = x + iy mit x, y ∈ R.
Die Konjugation : C → C ist definiert durch
z = x + iy ↦→ z = x − iy.
Für das Produkt von z und z gilt
z z = (x + iy)(x − iy) = x 2 + y 2 ≥ 0.
Hieraus gewinnt man die Norm von z ∈ C mittels
|z| = √ z z = √ x 2 + y 2
Dies entspricht der euklidischen Norm auf R 2 .
Eigenschaften des Skalarprodukts
§R2.1, S.1318
Erinnerung
§R2.1, S.1320
Erinnerung
Für u, v ∈ C n ist das hermitesche Skalarprodukt definiert durch
〈 u | v 〉 = u 1 v 1 + · · · + u n v n .
Für jeden Vektor u ∈ C n gilt somit 〈 u | u 〉 = |u 1 | 2 + · · · + |u n | 2 ≥ 0
Die hermitesche Norm ist definiert durch |u| = √ 〈 u | u 〉, also
√
|u| = |u 1 | 2 + · · · + |u n | 2 .
Übliche Schreibweisen: |u| = |u| 2 = ‖u‖ = ‖u‖ 2 = . . .
Der hermitesche Abstand zwischen u und v ist definiert durch
√
|u − v| = |u 1 − v 1 | 2 + · · · + |u n − v n | 2 .
Im komplexen Skalarprodukt muss einer der beiden Faktoren konjugiert werden; ob der erste
oder der zweite ist dabei eine Frage der Konvention. In der Literatur bervorzugen manche
Autoren die Konjugation im ersten Faktor, andere wiederum die Konjugation im zweiten
Faktor. Beide Schreibweisen gehen durch Vertauschen ineinander über.
Zur Wiederholung siehe Kimmerle–Stroppel, Lineare Algebra, §2.6
Soweit möglich behandeln wir den reellen und komplexen Fall parallel:
Im Folgenden steht K entweder für den Körper R oder den Körper C.
Das Skalarprodukt auf K n erfreut sich folgender Eigenschaften:
Symmetrie: Für alle u, v ∈ K n gilt 〈 v | u 〉 = 〈 u | v 〉.
Linearität im zweiten Faktor: Für alle α ∈ K gilt
〈 u | v 1 + v 2 〉 = 〈 u | v 1 〉 + 〈 u | v 2 〉, 〈 u | α v 〉 = α 〈 u | v 〉,
Dank Symmetrie folgt konjugierte Linearität im ersten Faktor:
〈 u 1 + u 2 | v 〉 = 〈 u 1 | v 〉 + 〈 u 2 | v 〉, 〈 α u | v 〉 = α 〈 u | v 〉.
Aus Linearität folgt insbesondere 〈 u | 0 〉 = 〈 0 | v 〉 = 0 für alle u, v.
Positivität: Für alle v ≠ 0 gilt 〈 v | v 〉 > 0.
Diese drei einfachen Eigenschaften sind alles, was wir brauchen!

Vektorräume mit Skalarprodukt
§R2.1, S.1321
Erinnerung
Vektorräume mit Skalarprodukt
§R2.1, S.1322
Erinnerung
Definition R2A (Skalarprodukt)
Ein Skalarprodukt auf einem K–Vektorraum V ist eine Abbildung
〈 − | − 〉: V × V → K, (u, v) ↦→ 〈 u | v 〉,
die (konjugiert) symmetrisch, bilinear und positiv ist.
Ein Skalarprodukt ermöglicht, Winkel und Längen zu messen.
Damit gewinnen wir auf V die üblichen geometrischen Begriffe:
Orthogonalität: u, v ∈ V stehen senkrecht, wenn 〈 u | v 〉 = 0.
Norm: Die Länge eines Vektors v ∈ V ist ‖v‖ = √ 〈 v | v 〉.
Cauchy–Schwarz–Ungleichung: |〈 u | v 〉| ≤ ‖u‖ · ‖v‖.
Dreiecks-Ungleichung: ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖.
Metrik: Der Abstand zweier Vektoren u, v ist ‖u − v‖.
Konvergenz v n → v ist definiert durch ‖v n − v‖ → 0.
Diese Begriffe kennen Sie bereits gut aus dem R n . Erstaunlicherweise
nützen Sie ebenso als Grundlage der Fourier–Theorie für Funktionen!
Zur Wiederholung siehe Kimmerle–Stroppel, Lineare Algebra, §2.6
Satz R2B (Cauchy–Schwarz– und Dreiecks-Ungleichung)
Sei V ein K–Vektorraum mit Skalarprodukt 〈 − | − 〉.
Für alle u, v ∈ V gilt die Cauchy–Schwarz–Ungleichung:
|〈 u | v 〉| 2 ≤ 〈 u | u 〉 〈 v | v 〉.
Gleichheit gilt genau dann, wenn u, v linear abhängig sind.
Für die Norm ‖u‖ = √ 〈 u | u 〉 besagt diese Ungleichung:
|〈 u | v 〉| ≤ ‖u‖ · ‖v‖
Für alle u, v ∈ V folgt hieraus die Dreiecksungleichung
‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖.
Vektorräume mit Skalarprodukt
§R2.1, S.1323
Erinnerung
Vektorräume mit Skalarprodukt
§R2.1, S.1324
Erinnerung
Beweis: Für v = 0 sind die Ungleichungen offenbar richtig.
Wir dürfen also v ≠ 0 und dank Positivität 〈 v | v 〉 > 0 annehmen.
Wir setzen z = au − bv mit a, b ∈ C und berechnen das Normquadrat:
0 ≤ 〈 z | z 〉 = 〈 au − bv ∣ ∣ au − bv 〉
= |a| 2 〈 u | u 〉 − ab〈 u | v 〉 − ab〈 v | u 〉 + |b| 2 〈 v | v 〉
Wir wählen nun geschickt a = 〈 v | v 〉 und b = 〈 v | u 〉:
0 ≤ 〈 v | v 〉
[〈 u | u 〉〈 v | v 〉 − 2|〈 u | v 〉| 2 + |〈 u | v 〉| 2]
= 〈 v | v 〉
[〈 u | u 〉〈 v | v 〉 − |〈 u | v 〉| 2]
Wegen 〈 v | v 〉 > 0 erhalten wir die gewünschte Ungleichung:
〈 u | u 〉〈 v | v 〉 − |〈 u | v 〉| 2 ≥ 0.
Bei Gleichheit gilt 〈 z | z 〉 = 0, also z = au + bv = 0, somit u = (b/a)v.
Umgekehrt folgt aus linearer Abhängigkeit u = λv die Gleichheit, denn
|〈 u | v 〉| 2 = |〈 λv | v 〉| 2 = |λ| 2 〈 v | v 〉 2 ,
〈 u | u 〉 〈 v | v 〉 = 〈 λv | λv 〉 〈 v | v 〉 = |λ| 2 〈 v | v 〉 2 .
Als nächstes zeigen wir die Dreiecksungleichung, die dem Abstand
zugrundeliegt. Sie besagt geometrisch: Die Länge von 0 nach u + v
ist kleiner gleich der Länge des Umweges von 0 über u nach u + v.
Die Rechnung beruht auf der Cauchy–Schwarz–Ungleichung:
‖u + v‖ 2 = 〈 u + v | u + v 〉 = 〈 u | u 〉 + 〈 u | v 〉 + 〈 v | u 〉 + 〈 v | v 〉
= ‖u‖ 2 + 2Re(〈 u | v 〉) + ‖v‖ 2
≤ ‖u‖ 2 + 2|〈 u | v 〉| + ‖v‖ 2
≤ ‖u‖ 2 + 2 ‖u‖ ‖v‖ + ‖v‖ 2
= (‖u‖ + ‖v‖) 2 .
Die Behauptung folgt dank Monotonie der Wurzelfunktion x ↦→ √ x.
Man beachte, dass wir über das Skalarprodukt nur voraussetzen,
dass es (konjugiert) symmetrisch, bilinear und positiv ist. Genau diese
und keine weiteren Eigenschaften haben wir in der Rechnung benötigt.

Cauchy–Schwarz–Ungleichung für Reihen
§R2.1, S.1325
Erläuterung
Quadratisch summierbare Folgen
§R2.1, S.1326
Erläuterung
Als weiteres wichtiges Beispiel nennen wir:
Satz R2C
Für je zwei Folgen f, g : Z → C gilt
( ∑ ∣
∣f(k)g(k) ∣ 2 ( ∑ ∣
∣)
≤ ∣f(k) ∣ )( ∑ 2 ∣
∣g(k) ∣ ).
2
k∈Z
k∈Z
k∈Z
Ist dieser Wert endlich, so ist fg über Z absolut summierbar.
Dank Monotonie der Wurzelfunktion x ↦→ √ x erhalten wir dann
∑
∣ f(k)g(k)
∣ ≤ ∑ ∣
∣f(k)g(k) ∣ √ ∑ ∣
≤ ∣f(k) ∣ √ ∑ 2 ∣
· ∣g(k) ∣ 2 .
k∈Z
k∈Z
k∈Z
k∈Z
Beweisidee: Für endliche Summen beweist man dies wie im C n .
Für unendliche Reihen folgt die Ungleichung durch Grenzübergang.
Korollar R2D
Für jede Folge f : Z → C definieren wir die Quadrat-Norm
√ ∑ ∣
‖f‖ := ∣f(k) ∣ 2 .
k∈Z
Ist diese Summe endlich, so heißt f quadrat-summierbar.
Die Menge l 2 (Z) aller quadrat-summierbaren Folgen
ist demnach ein Vektorraum mit Skalarprodukt
〈 f | g 〉 := ∑ k∈Z
f(k)g(k).
Beweis: Aus Cauchy–Schwarz folgt die Dreiecks-Ungleichung, und l 2 (Z) ist ein Vektorraum:
Sind f, g quadrat–summierbar, dann auch f + g, denn ‖f + g‖ ≤ ‖f‖ + ‖g‖ < ∞, und auch
αf, denn ‖αf‖ = |α| · ‖f‖ < ∞. Konjugierte Symmetrie und Linearität des Skalarprodukts
sind klar. Ist f ≠ 0, so gilt f(a) ≠ 0 für ein a ∈ Z, also 〈 f | f 〉 = |f(k)| 2 ≥ |f(a)| 2 > 0.
Cauchy–Schwarz–Ungleichung für Integrale
§R2.1, S.1327
Erläuterung
Quadratisch integrierbare Funktionen
§R2.1, S.1328
Erläuterung
Diese Konstruktion überträgt sich ebenso auf Integrale:
Satz R2E
Sei Ω ⊂ R n . Für messbare Funktionen f, g : Ω → C gilt
(ˆ
∣
∣fg ∣ 2 (ˆ )(ˆ
∣)
≤ |f| 2 |g|
).
2
Ω
Ω
Ω
Ist dieser Wert endlich, so ist fg über Ω absolut integrierbar.
Dank Monotonie der Wurzelfunktion x ↦→ √ x erhalten wir
ˆ
∣
Ω
(ˆ
fg
∣ ≤
Ω
) (ˆ ) 1 (ˆΩ
) 1
|fg| ≤ |f| 2 2
|g| 2 2
.
Ω
Beweisidee: Für Treppenfunktionen beweist man dies wie im C n .
Für messbare Funktionen folgt die Ungleichung durch Grenzübergang.
Korollar R2F
Für messbare Funktionen f : Ω → C definieren wir die Quadrat-Norm
‖f‖ :=
√ˆ
Ω
∣
∣f(x) ∣ ∣ 2 dx.
Ist dieses Integral endlich, so heißt f quadrat-integrierbar.
Die Menge L 2 (Ω) aller quadrat-integrierbaren Funktionen
ist demnach ein Vektorraum mit Skalarprodukt
ˆ
〈 f | g 〉 := f(x)g(x) dx.
Ω
Der Beweis verläuft für Integrale wie zuvor für Reihen. Nur die Positivität des Skalarprodukts
bedarf der Erläuterung: Es gilt 〈 f | f 〉 = ´Ω |f(x)|2 dx ≥ 0. Gilt hier = 0, so ist |f| 2 und
somit f fast überall gleich 0. In der Integrationstheorie betrachten wir zwei Funktionen als
gleich, wenn sie fast überall übereinstimmen, d.h. es gibt eine Nullmenge N ⊂ Ω sodass
f(x) = g(x) für alle x ∈ [a, b] N gilt. Aus ´Ω |f(x)|2 dx = 0 folgt dann f = 0 fast überall.

Orthonormalität: Fundamentalbeispiel
§R2.1, S.1329
Erläuterung
Orthonormalität: Satz des Pythagoras
§R2.1, S.1330
Erläuterung
Wir definieren die Basisfunktion e k : R → C mit k ∈ Z durch
e k (x) := e ikx = cos(kx) + i sin(kx).
Die hierzu konjugierte Funktion ist e k (x) = cos(kx) − i sin(kx) = e −k (x).
Satz R2G (Orthonormalität)
Bezüglich des Skalarprodukts
〈 f | g 〉 := 1 ˆ 2π
f(x) g(x) dx
2π 0
gelten die Orthonormalitätsrelationen
{
1 für k = l (Normierung auf Länge 1),
〈 e k | e l 〉 =
0 für k ≠ l (paarweise Orthogonalität).
Das haben wir im vorigen Kapitel nachgerechnet und dann ausgiebig
für Fourier–Reihen genutzt. Man wiederhole den Beweis als Übung.
Satz R2H (Pythagoras)
Sei V ein K–Vektorraum mit Skalarprodukt 〈 − | − 〉.
Sind u 1 , . . . , u n orthogonal, also 〈 u k | u l 〉 = 0 für k ≠ l, so gilt
‖u 1 + · · · + u n ‖ 2 = ‖u 1 ‖ 2 + · · · + ‖u n ‖ 2 .
Sind e 1 , . . . , e n orthonormal und c 1 , . . . , c n ∈ K, so gilt demnach
‖c 1 e 1 + · · · + c n e n ‖ 2 = |c 1 | 2 + · · · + |c n | 2 .
Für jede Linearkombination f = ∑ c k e k gilt c k = 〈 e k | f 〉.
Nachrechnen: Die Norm erhalten wir aus dem Skalarprodukt:
∥ ∑ ∥
‖u k ‖ 2 ∥∥
2 〈 ∑ ∣ ∣∣
∑ 〉
= u k u l = ∑ ∑
〈 u k | u l 〉 = ∑ ‖u k ‖ 2
k
k l
k l
k
Speziell für u k = c k e k gilt dann ‖u k ‖ 2 = |c k | 2 ‖e k ‖ 2 = |c k | 2 .
Die Koeffizientenformel haben wir auf [S.1239] nachgerechnet.
Orthonormalisierung
§R2.2, S.1331
Erinnerung
Orthonormalisierung
§R2.2, S.1332
Erinnerung
Satz R2I (Laplace 1816, Gram 1883, Schmidt 1907)
Sei b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n eine Basis des Vektorraums U. Wir setzen
b ∗ 1 := b 1 ,
b ∗ 2 := b 2 − 〈 e 1 | b 2 〉e 1 ,
b ∗ 3 := b 3 − 〈 e 1 | b 3 〉e 1 − 〈 e 2 | b 3 〉e 2 ,
e 1 := b ∗ 1/‖b ∗ 1‖,
e 2 := b ∗ 2/‖b ∗ 2‖,
e 3 := b ∗ 3/‖b ∗ 3‖,
.
n−1
∑
b ∗ n := b n − 〈 e k | b n 〉e k , e n := b ∗ n/‖b ∗ n‖.
k=1
Auf diese Weise erhalten wir eine Orthogonalbasis b ∗ 1 , b∗ 2 , b∗ 3 , . . . , b∗ n
und eine Orthonormalbasis e 1 , e 2 , e 3 , . . . , e n von U. Es gilt also
{
{
〈 b ∗ k | b∗ l 〉 = 0 falls k ≠ l,
0 falls k ≠ l,
‖b ∗ und 〈 e k | e l 〉 =
k ‖2 falls k = l,
1 falls k = l.
Zur Wiederholung siehe Kimmerle–Stroppel, Lineare Algebra, §4.5.10.
Per Induktion über n zeigen wir: Ist b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n eine Basis des Vektorraumes U n ,
dann ist e 1 , e 2 , e 3 , . . . , e n eine Orthonormalbasis desselben Vektorraumes U n .
Für n = 1 ist die Aussage leicht nachzuprüfen: Der Vektor b ∗ 1 = b 1 ≠ 0 ist eine Basis des von
ihm aufgespannten eindimensionalen Vektorraumes U 1 . Wegen b ∗ 1 ≠ 0 gilt ‖b ∗ 1‖ ̸= 0, und
somit können wir e 1 = b ∗ 1/‖b ∗ 1‖ normieren. Damit ist e 1 eine Orthonormalbasis von U 1 .
Wir nehmen an, die Aussage gilt für n − 1, das heißt e 1 , e 2 , e 3 , . . . , e n−1 ist eine
Orthonormalbasis von U n−1 . Dann ist e 1 , e 2 , e 3 , . . . , e n−1 , b n eine Basis von U n .
Darüber hinaus ist e 1 , e 2 , e 3 , . . . , e n−1 , b ∗ n eine Orthogonalbasis von U n , denn nach Definition
b ∗ n = b n − ∑ n−1
k=1 〈 e k | b n 〉e k erzeugt e 1 , e 2 , e 3 , . . . , e n−1 , b ∗ n ebenso U n und zudem gilt
n−1
∑
〈 e l | b ∗ n 〉 = 〈 e l | b n 〉 − 〈 e k | b n 〉〈 e l | e k 〉 = 〈 e l | b n 〉 − 〈 e l | b n 〉 = 0.
k=1
Nach Voraussetzung ist dim U n = n, also muss b ∗ n ≠ 0 gelten, und wir können e n = b ∗ n/‖b ∗ n‖
normieren. Daraus folgt, dass e 1 , e 2 , e 3 , . . . , e n−1 , e n eine Orthonormalbasis von U n ist.
Dieses Verfahren funktioniert auch dann noch, wenn b 1 , . . . , b n nur ein Erzeugendensystem
von U ist aber nicht notwendig linear unabhängig. Wenn bei der Orthonormalisierung b ∗ n = 0
auftritt, dann ist b n eine Linearkombination von b 1 , . . . , b n−1 wird einfach weggelassen.

Hermitesche Matrizen
§R2.2, S.1333
Erinnerung
Hermitesche Matrizen
§R2.2, S.1334
Erinnerung
Zur Wiederholung siehe Kimmerle–Stroppel, Lineare Algebra, §5.4. Reelle Matrizen mit
A = A ⊤ nennt man symmetrisch. Im Komplexen muss man transponieren und konjugieren.
Zu jeder Matrix A ∈ C n×n ist die hermitesch-konjugierte Matrix
A ∗ := A ⊤ .
Damit können wir Matrizen in einem Skalarprodukt umwälzen:
〈 u | Av 〉 = 〈 A ∗ u | v 〉
Für Spaltenvektoren u, v ∈ C n gilt nämlich 〈 u | v 〉 = u ⊤ v, und daher
〈 u | Av 〉 = u ⊤ Av = A ⊤ ⊤
u v = 〈 A ∗ u | v 〉.
Die Matrix A heißt hermitesch, wenn A ∗ = A gilt, also
〈 u | Av 〉 = 〈 Au | v 〉 für alle u, v ∈ C n .
Slogan: Hermitesche Matrizen verhalten sich wie reelle Zahlen.
Orthogonalität von Eigenfunktionen
Die Orthogonalität von e k = e ikx für k ∈ Z haben wir ausgerechnet.
Es gibt darüberhinaus einen tieferen und allgemeineren Grund:
d
1 d
i dx e ikx = k e ikx
Für den Operator 1 i dx ist e k Eigenfunktion zum Eigenwert k. Zudem
〈 1 d
∣ 〉 〈
∣∣
i dx f g = f ∣ 1 d
〉
i dx g .
Für stetig diff’bare 2π–periodische Funktionen f, g : R → C gilt:
〈
f ∣ 1 d
〉
i dx g = 1 ˆ 2π
f g ′ = 1 [ ] 2π
fg
i
i
− 1 ˆ 2π 〈 1
f
0 i
′ d
∣ 〉 ∣∣
g =
i dx f g
Also ist 1 i
0
d
dx
hermitesch und die Eigenfunktionen sind orthogonal!
§R2.2, S.1335
Ergänzung
Die Entwicklung nach Eigenfunktionen ist ein wichtiges Prinzip und erscheint überall, wo
Differentialgleichungen auftreten. Die ominösen „Orbitale“ des Atommodells zum Beispiel
sind nichts anderes als Eigenfunktionen des Schrödinger–Operators, der die physikalische
Situation beschreibt. In diesem Kapitel nun begegnet uns der Ableitungsoperator 1 i
Entwicklung nach den Eigenfunktionen e ikx ist die Fourier–Reihe!
0
d
dx
, und die
Hermitesche Matrizen haben reelle Eigenwerte und orthogonale Eigenvektoren:
Lemma R2J
Sei A ∈ C n×n eine hermitesche Matrix, also A ∗ = A. Sei v ∈ C n ein
Eigenvektor, also Av = λv mit Eigenwert λ ∈ C. Dann gilt λ ∈ R.
Beweis durch Umwälzen:
λ〈 v | v 〉 = 〈 v | λv 〉 = 〈 v | Av 〉 = 〈 Av | v 〉 = 〈 λv | v 〉 = λ〈 v | v 〉
Wegen v ≠ 0 und Positivität gilt 〈 v | v 〉 > 0. Also λ = λ.
Lemma R2K
Sei A ∈ C n×n eine hermitesche Matrix, also A ∗ = A. Seien u, v ∈ C n
Eigenvektoren, also Au = λu und Av = µv mit Eigenwerten λ, µ ∈ R.
Wenn λ ≠ µ gilt, dann sind u und v orthogonal, also 〈 u | v 〉 = 0.
Beweis durch Umwälzen:
λ〈 u | v 〉 = 〈 λu | v 〉 = 〈 Au | v 〉 = 〈 u | Av 〉 = 〈 u | µv 〉 = µ〈 u | v 〉
Also (λ − µ)〈 u | v 〉 = 0. Aus λ − µ ≠ 0 folgt 〈 u | v 〉 = 0.
Hermitesche Matrizen sind diagonalisierbar
Satz R2L
§R2.2, S.1336
Erinnerung
Jede hermitesche Matrix A ∈ C n×n ist orthognal diagonalisierbar.
Das heißt, es gibt eine orthogonale Basis v 1 , . . . , v n aus Eigenvektoren.
Beweis: Induktion über n: Für n = 1 ist alles klar. Sei n ≥ 2.
Sei λ ∈ R ein Eigenwert und v ∈ C n ein zugehöriger Eigenvektor.
Der hierzu orthogonale Unterraum ist W = { w ∈ C n ∣ ∣ 〈 v | w 〉 = 0 } .
Es gilt A(W ) ⊂ W , das heißt, für alle w ∈ W gilt Aw ∈ W , denn
〈 v | Aw 〉 = 〈 Av | w 〉 = 〈 λv | w 〉 = λ〈 v | w 〉 = 0.
Es gilt dim W = n − 1. Nach Induktionsvoraussetzung existiert
eine orthogonale Basis v 1 , . . . , v n−1 von W aus Eigenvektoren.
Somit ist v 1 , . . . , v n−1 , v eine orthogonale Basis von V .
Ein ähnliches Prinzip gilt für den Ableitungsoperator 1 d
und die Entwicklung nach den
i dx
Eigenfunktionen e ikx in eine Fourier–Reihe. Der Vektorraum aller (quadrat–integrierbaren)
periodischen Funktionen ist allerdings unendlich–dimensional. Aber in einem geeigneten
Sinne bildet die Familie (e ikx ) k∈Z eine Hilbert–Basis.

Bestapproximation durch Orthogonalprojektion
§R2.3, S.1337
Bestapproximation durch Orthogonalprojektion
§R2.3, S.1338
V
v
v*
U
V
v
v*
U
Satz R2M (Gauß 1795, Bessel 1818)
Zu jedem Vektor v ∈ V existiert genau eine Bestapproximation in U,
also ein Vektor v ∗ ∈ U, der ‖v − v ∗ ‖ ≤ ‖v − u‖ für alle u ∈ U erfüllt.
Sei e 1 , . . . , e n eine Orthonormalbasis des Unterraumes U.
Dann ist v ∗ gegeben durch die Orthogonalprojektion von v auf U:
Sei V ein K–Vektorraum mit Skalarprodukt 〈 − | − 〉
und hierin U ⊂ V ein Untervektorraum mit dim U = n < ∞.
Approximation: Zu v ∈ V finde v ∗ ∈ U, der v am nächsten liegt.
Lösungsweg: Sei U gegeben durch ein Erzeugendensystem.
Orthonormalbasis e 1 , . . . , e n von U. Orthogonalprojektion auf U.
Schon der Fall V = R 2 und n = 1 (oder V = R 3 und n = 2) ist interessant und Ihnen
vielleicht noch aus der Schule vertraut. Die obige Skizze und die folgenden Argumente gelten
aber ganz allgemein: Der Raum V darf beliebig groß sein, zum Beispiel ein Funktionenraum;
lediglich der Unterraum U sollte zur Vereinfachung endlich-dimensional bleiben, zum Beispiel
der Unterraum der trigonometrischen Polynome vom Grad ≤ k. (Dann wäre dim U = 1 + 2k.)
v ∗ =
n∑
v k e k mit Fourier–Koeffizienten v k = 〈 e k | v 〉.
k=1
Zudem ist v ∗ der einzige Vektor in U, für den v − v ∗ senkrecht steht
auf allen u ∈ U. Dank Pythagoras gilt daher die Bessel–Gleichung:
‖v ∗ ‖ 2 + ‖v − v ∗ ‖ 2
} {{ } } {{ }
Längenquadrat von v ∗
Approximationsfehler
= ‖v‖ 2
}{{}
Längenquadrat von v
Es folgt die Bessel–Ungleichung |v 1 | 2 + · · · + |v n | 2 = ‖v ∗ ‖ 2 ≤ ‖v‖ 2 .
Bestapproximation durch Orthogonalprojektion
Beweis durch Nachrechnen: Wir betrachten den genannten Vektor
v ∗ :=
§R2.3, S.1339
Bestapproximation durch Orthogonalprojektion
Speziell für u = v ∗ gilt somit:
‖v − v ∗ ‖ 2 = ‖v‖ 2 − ‖v ∗ ‖ 2 .
Dieser Abstand ist minimal, denn im Vergleich gilt:
n∑
n∑
n∑
‖v − u‖ 2 − ‖v − v ∗ ‖ 2 = |u k | 2 − u k v k − u k v k +
k=1 k=1 k=1
n∑
n∑
〈 n∑ ∣ ∣∣
n∑ 〉
= (u k − v k )(u k − v k ) =
u k e k u l e l k=1
k=1
k=1 l=1
n∑ n∑
u k u l 〈 e k | e l 〉 Schließlich gilt die behauptete Orthogonalität:
k=1 l=1
〈 n∑ ∣
|u k | 2 = ‖v‖ 2 − 2Re〈 u | v ∗ 〉 + ‖u‖ 2 〈 v − v ∗ ∣∣
n∑ 〉 n∑
n∑
| u 〉 = v − v k e k u k e k = u k v k −
n∑
v k e k mit Koeffizienten v k = 〈 e k | v 〉.
k=1
Für jeden Vektor u ∈ U gilt u = ∑ n
k=1 u ke k mit Koeffizienten u k ∈ K.
Den Abstand zwischen v und u berechnen wir dann wie folgt:
‖v − u‖ 2 = 〈 v − u | v − u 〉 = 〈 v | v 〉 − 〈 v | u 〉 − 〈 u | v 〉 + 〈 u | u 〉
〈
n∑ 〉 〈 n∑ ∣ 〉 ∣∣
= 〈 v | v 〉 − v ∣ u k e k − u k e k v +
= 〈 v | v 〉 −
= 〈 v | v 〉 −
k=1
n∑
u k 〈 v | e k 〉 −
k=1
n∑
u k v k −
k=1
k=1
n∑
u k 〈 e k | v 〉 +
k=1
n∑
u k v k +
k=1
n∑
k=1
n∑
|v k | 2
k=1
|u k − v k | 2 ≥ 0
Gleichheit gilt hierbei nur für u = v ∗ , andernfalls ‖v − u‖ > ‖v − v ∗ ‖.
k=1
l=1
k=1
k=1
§R2.3, S.1340
u k v k = 0

Der mittlere quadratische Fehler
Für quadrat-integrierbare f, g : [0, 2π] → C ist das Skalarprodukt
〈 f | g 〉 := 1 ˆ 2π
f(x)g(x) dx.
2π 0
Die zugehörige Norm ist definiert durch ‖f‖ = √ 〈 f | f 〉, also
‖f‖ :=
[ 1
2π
ˆ 2π
0
] 1
|f(x)| 2 2
dx .
§R3.1, S.1341
Der mittlere quadratische Abstand zwischen f, g ist definiert durch
‖f − g‖ :=
[ 1
2π
ˆ 2π
0
] 1
|f(x) − g(x)| 2 2
dx .
Bestapproximation und Bessel–Ungleichung
§R3.1, S.1342
Sei f : [0, 2π] → C quadrat-integrierbar, das heißt ´ 2π
0 |f(x)|2 dx < ∞.
Sei f n = ∑ n
k=−n c ke ikx eine Approximation mit Koeffizienten c k ∈ C.
Wie minimieren wir den mittleren quadratischen Fehler ‖f − f n ‖?
Korollar R3A (Bestapproximation durch Fourier–Polynome)
Der mittlere quadratische Fehler ‖f − f n ‖ wird genau dann minimal,
wenn f n das Fourier–Polynom zu f ist, also für die Koeffizienten
c k = 1 ˆ 2π
e −ikx f(x) dx.
2π 0
Der mittlere quadratische Fehler ist dann ‖f − f n ‖ 2 = ‖f‖ 2 − ‖f n ‖ 2 .
Hieraus folgt die Bessel–Ungleichung ‖f n ‖ 2 ≤ ‖f‖ 2 , ausgeschrieben
Der punktweise Abstand |f(x) − g(x)| 2 wird hier also über [0, 2π] integriert. Das Quadrat
sorgt dafür, dass große Abweichungen stärker bestraft werden als kleine. Der Faktor 1/2π dient
nur zur Normierung und macht die Fourier–Formeln einfacher. Die abschließende Wurzel sorgt
dafür, dass die Norm tatsächlich homogen ist, also ‖α · f‖ = |α| · ‖f‖ für alle α ∈ C erfüllt.
n∑
|c k | 2 ≤
k=−n
1
2π
ˆ 2π
0
|f(x)| 2 dx.
Konvergenz im quadratischen Mittel
§R3.1, S.1343
Bessel–Ungleichung und Parseval–Gleichung
§R3.1, S.1344
Es stellt sich die Frage, wann ‖f − f n ‖ → 0 gilt.
Satz R3B (Konvergenz im quadratischen Mittel)
Sei f : [0, 2π] → C integrierbar, mit n–tem Fourier–Polynom
f n (x) =
n∑
k=−n
c k e ikx , c k := 1 ˆ 2π
e −ikx f(x) dx.
2π 0
Genau dann ist f quadrat-integrierbar, also ´ 2π
0 |f(x)|2 dx < ∞,
wenn die Koeffizienten quadrat–summierbar sind, also ∑ |c k | 2 < ∞.
In diesem Fall konvergieren die Fourier–Polynome im quadratischen
Mittel gegen die Funktion f, es gilt also ‖f − f n ‖ → 0 für n → ∞.
Die Bessel–Ungleichung wird dann zur Parseval–Gleichung:
∞∑
k=−∞
|c k | 2 =
1
2π
ˆ 2π
0
|f(x)| 2 dx.
Zum Vergleich betrachten wir auch die reelle Fourier–Reihe:
f(x) ∼ a 0
∞
2 + ∑
a k cos(kx) + b k sin(kx) =
k=1
∞∑
c k e ikx
k=−∞
Hierbei sei a k , b k ∈ R. Wegen c ±k = 1 2 (a k ∓ ib k ) mit b 0 = 0 erhalten wir
n∑
|c k | 2 = a2 0
4 + 1 2
k=−n
n∑
a 2 k + b2 k .
k=1
Die Bessel–Ungleichung ‖f n ‖ 2 ≤ ‖f‖ 2 bedeutet demnach
a 2 0
n∑
2 + a 2 k + b2 k ≤ 1 π
k=1
ˆ 2π
0
|f(x)| 2 dx.
Die Parseval–Gleichung ‖f n ‖ 2 → ‖f‖ 2 bedeutet Gleichheit für n → ∞.

Anwendung auf die Sägezahnfunktion
§R3.1, S.1345
Anwendung auf die Sägezahnfunktion
§R3.1, S.1346
Sei f : R → R ungerade, 2π periodisch, f(x) = x − π für 0 < x < 2π.
2
0
−2
−2 0 2 4 6 8 10 12 14
Die Sägezahnfunktion f ist beschränkt, also quadrat-integrierbar.
Ihre Fourier–Reihe konvergiert im quadratischen Mittel, ‖f − f n ‖ → 0.
Aufgabe: Man bestimme die Fourier–Reihe von f und gewinne aus
der Parseval–Gleichung den Grenzwert der Reihe ∑ ∞
k=1 1/k2 .
Anwendung auf die Rechteckfunktion
Sei f : R → R ungerade, 2π–periodisch, f(x) = 1 für 0 < x < π.
1
0
−1
−4 −2 0 2 4 6 8 10
§R3.1, S.1347
Die Rechteckfunktion f ist beschränkt, also quadrat-integrierbar.
Ihre Fourier–Reihe konvergiert im quadratischen Mittel, ‖f − f n ‖ → 0.
Aufgabe: Man bestimme die Fourier–Reihe von f und gewinne aus
der Parseval–Gleichung den Grenzwert der Reihe ∑ ∞
j=0 1/(2j + 1)2 .
Lösung: Die Fourier–Reihe von f kennen wir bereits [S.1265]:
f(x) ∼
∞∑
k=1
−2
k sin(kx)
Konvergenz im quadratischen Mittel und Parseval–Gleichung besagen:
∞∑
k=1
4
k 2 = 1 π
ˆ 2π
0
(x − π) 2 dx = 1 π
Hieraus folgt die bemerkenswerte Gleichung
∞∑
k=1
1
k 2 = π2
6 .
[ (x − π)
3
3
] 2π
0
= 2π2
3 .
Dass diese Reihe konvergiert, ist leicht zu beweisen. (Vielleicht wissen Sie noch, wie man es
mit den Mitteln der HM1/2 zeigen kann). Nun können wir endlichen den Grenzwert berechnen!
Mit den starken Werkzeugen der Fourier–Theorie fällt uns das Ergebnis geradezu in den Schoß.
Anwendung auf die Rechteckfunktion
Lösung: Die Fourier–Reihe von f kennen wir bereits [S.1257]:
f(x) ∼
∞∑
j=0
4
π(2j + 1) sin( (2j + 1)x ) .
§R3.1, S.1348
Konvergenz im quadratischen Mittel und Parseval–Gleichung besagen:
∞∑
j=0
Hieraus folgt die Gleichung
16
π 2 (2j + 1) 2 = 1 ˆ 2π
f(x) 2 dx = 2
π 0
∞∑
j=0
1
(2j + 1) 2 = π2
8 .
Diesen Wert kann man alternativ auch aus ∑ ∞
k=1 1/k2 = π 2 /6 ableiten. Sehen Sie wie?
Hinweis:
∑
Man kann die ungeraden und die geraden Terme getrennt summieren und erhält
∞
k=1 1/k2 = ∑ ∞
j=0 1/(2j + 1)2 + ∑ ∞
j=1 1/(2j)2 , die zweite Reihe ist 4 ∑ ∞
k=1 1/k2 .

Wozu dient punktweise Konvergenz?
§R3.1, S.1349
Erläuterung
Wozu dient Konvergenz im quadratischen Mittel?
§R3.1, S.1350
Erläuterung
Will man eine Fourier–Reihe in einem einzelnen Punkt auswerten,
so muss man sich die Frage der punktweisen Konvergenz stellen!
Das Dirichlet–Kriterium liefert uns hierzu ein einfaches und doch recht
starkes Werkzeug. Es erlaubt insbesondere die Berechnung von
einigen Reihengrenzwerten, wie in obigen Beispielen illustriert, die
sonst nur schwer zu bekommen sind.
Fourier–Reihen basieren auf dem Skalarprodukt periodischer
Funktionen. Es liegt daher nahe, die Güte der Approximation durch die
zugehörige Norm des mittleren quadratischen Abstands zu messen!
Es stellt sich schnell heraus, dass dieser Abstandsbegriff für die
Konvergenz von Fourier–Reihen der natürlichste ist: Bezüglich des
mittleren quadratischen Abstands sind die Formeln am einfachsten.
Quadratisches Mittel ⇏ punktweise Konvergenz
§R3.1, S.1351
Erläuterung
Punktweise Konvergenz ⇏ quadratisches Mittel
§R3.1, S.1352
Erläuterung
! Aus Konvergenz im quadratischen Mittel, also ‖f − f n ‖ → 0,
folgt nicht punktweise Konvergenz. Es kann sogar sein,
dass die Folge f n (x) in keinem Punkt x konvergiert!
! Aus punktweiser Konvergenz f n → f, also f n (x) → f(x) für alle x,
folgt nicht die Konvergenz im quadratischen Mittel! Gegenbeispiel:
Gegenbeispiel der „wandernden Blöcke“: Wir zerlegen das Intervall
I 1 = [0, 2π] in zwei Hälften I 2 = [0, π] und I 3 = [π, 2π], und diese
wiederum in I 4 = [0, π/2] und I 5 = [π/2, π] sowie I 6 = [π, 3π/2] und
I 7 = [3π/2, 2π], usw. Hierzu betrachten wir die Indikatorfunktionen
{
1 für x ∈ I n ,
f n (x) =
0 für x /∈ I n .
Die Quadrat-Norm ‖f n ‖ = Länge von I n konvergiert gegen 0.
Jedoch konvergiert f n (x) für n → ∞ in keinem Punkt x: Die Folge
f n (x) besteht nämlich aus vielen Nullen und immer mal wieder einer 1.
k
0
1/k 2/k 1
Für n ≥ 2 sei f n : [0, 1] → R definiert durch
⎧
⎪⎨ n 2 x für 0 ≤ x ≤ 1 n ,
f n (x) = 2n − n
⎪⎩
2 x für 1 n ≤ x ≤ 2 n ,
0 für 2 n ≤ x ≤ 1.
Für jeden Punkt x ∈ [0, 1] gilt f n (x) → 0.
Hingegen gilt ´ 1
0 f n(x) dx = 1 sowie
´ 1
0 f n(x) 2 dx = 2 3n → ∞ für n → ∞.

Quadrat-integrierbare Funktionen
§R3.2, S.1353
Fourier–Analyse und Fourier–Synthese
§R3.2, S.1354
Die quadrat-integrierbaren Funktionen bilden den C–Vektorraum
{
ˆ
L 2 = L 2 T
}
([0, T ], C) := f : [0, T ] → C
∣ |f(x)| 2 dx < ∞ .
Hierauf haben wir als Skalarprodukt das Integral
〈 f | g 〉 := 1 T
ˆ T
0
0
f(x) g(x) dx.
Die quadrat-summierbaren Folgen bilden den C–Vektorraum
{
l 2 = l 2 ∞∑
}
(Z, C) := ˆf : Z → C
∣ | ˆf(k)| 2 < ∞ .
k=−∞
Hierauf haben wir als Skalarprodukt die Summe
〈 ˆf
∞∑
| ĝ 〉 := ˆf(k) ĝ(k).
k=−∞
Beide Vektorräume scheinen zunächst gänzlich verschieden. . .
Die Fourier–Entwicklung enthüllt jedoch: Sie gleichen sich!
Jeder Funktion f ∈ L 2 ordnen wir ihre Fourier–Koeffizienten ˆf ∈ l 2 zu:
F : L 2 → l 2 , f ↦→ ˆf mit ˆf(k) =
1
T
ˆ T
0
e −ikωx f(x) dx
Umgekehrt ordnen wir Koeffizienten ˆf ∈ l 2 die Funktion f ∈ L 2 zu:
F −1 : l 2 → L 2 , ˆf ↦→ f mit f(x) = ∞ ∑
k=−∞
ˆf(k)e ikωx
Diese Abbildungen sind C–linear und zueinander inverse Isometrien.
Die (verallgemeinerte) Parseval–Gleichung besagt nämlich:
‖f‖ = ‖ ˆf‖,
〈 f | g 〉 = 〈 ˆf | ĝ 〉, also
also
1
T
1
T
ˆ T
0
ˆ T
0
|f(t)| 2 dt =
f(t) g(t) dt =
∞∑
k=−∞
∞∑
k=−∞
| ˆf(k)| 2 .
ˆf(k) ĝ(k).
Fourier–Analyse und Fourier–Synthese
§R3.2, S.1355
Erläuterung
Die Fourier–Isometrie
§R3.2, S.1356
Erläuterung
Man spricht von Fourier–Analyse und Fourier–Synthese.
Wir können uns f zum Beispiel als akustisches Signal vorstellen.
Die Fourier–Analyse f ↦→ ˆf zerlegt das Signal f in sein Spektrum ˆf.
Die Fourier–Synthese bildet aus dem Spektrum die ursprüngliche
Aufnahme. Dabei geht keine Information verloren!
Wir können aus dem Spektrum jedoch auch gewisse Frequenzen
ausfiltern (abschwächen oder verstärken). Beispiel: Sie erinnern sich
vielleicht an die Fußball-Weltmeisterschaft 2010 und das Brummen
der Vuvuzela. Ihre typische Frequenz liegt bei ca. 230Hz und kann
ausgefiltert werden durch (digitale) Fourier–Analyse–Synthese.
Die Fourier–Isometrie ist höchst bemerkenswert und praktisch: Aus dem Signal f gewinnt man
das Spektrum ˆf und umgekehrt rekonstruiert man aus dem Spektrum ˆf das Signal f.
Die Aussage F −1 ◦ F = id L 2 und F ◦ F −1 = id l 2 bedeutet, dass F und F −1 zueinander
inverse Bijektionen sind. Sie sind zudem C–linear, also sogar Vektorraum-Isomorphismen.
Die Parseval–Gleichung besagt, dass F und F −1 die Norm erhalten: Für Funktionen f ist
dies das obige Integral, für Folgen ˆf die obige Reihe. Geometrisch bedeutet dies, dass die
Länge erhalten bleibt. Hieraus folgt bereits, dass auch Winkel und somit das Skalarprodukt
erhalten bleiben: Das ist die verallgemeinerte Parseval–Gleichung.
Wir sagen daher kurz, dass F und F −1 zueinander inverse Isometrien sind.
Eine Isometrie R 2 → R 2 können Sie sich leicht vorstellen: Sie erhält alle Längen und Winkel
und ist somit eine Drehung oder Spiegelung. Gleiches gilt auch für Isometrien des R 3 oder
allgemein des R n . Die Fourier–Analyse f ↦→ ˆf ist eine Isometrie der unendlich-dimensionalen
Räume L 2 ([0, 2π], C) und l 2 (Z, C). Diese Räume scheinen zunächst sehr verschieden: Folgen
sind noch recht übersichtlich, während es viel mehr Funktionen zu geben scheint.
Die Fourier–Isometrie L 2 ∼ = l 2 zeigt jedoch, dass sich beide Räume gleichen!
Die Kraft der Fourier–Isometrie beruht darauf, dass man Probleme transformieren und hernach
oft leichter lösen kann. Dies wollen wir an einem Anwendungsbeispiel illustrieren.

Lösung des isoperimetrischen Problems
§R3.3, S.1357
Lösung des isoperimetrischen Problems
§R3.3, S.1358
Wieviel Fläche kann man mit einem Zaun der Länge L abstecken?
a
a
a
a
Beispiele:
Quadrat: Seitenlänge a = L/4, Fläche F = a 2 = L 2 /16. . . gut.
Kreis: Radius r = L/2π, Fläche F = πr 2 = L 2 /4π. . . besser!
Geht noch mehr? Wie sieht eine optimale Kurve γ : [0, L] → R 2 aus? Dies ist ein klassisches
Optimierungsproblem. Die Mythologie schreibt es Dido von Karthago (8. Jh. v Chr.) zu.
Mathematisch wurde es 1902 von Hurwitz gelöst, und seine Berechnung ist ein Juwel!
Satz R3C (Hurwitz 1902)
Sei γ : [0, L] → R 2 stetig, stückweise stetig diff’bar, γ(0) = γ(L).
Für den umschlossenen Flächinhalt F gilt dann immer F ≤ L 2 /4π.
Gleichheit gilt nur, wenn γ einen Kreis vom Umfang L beschreibt.
r
Wir können L = 2π annehmen. Sei γ = γ 1 + iγ 2 mit γ 1 , γ 2 : R → R.
Wir parametrisieren γ nach Bogenlänge, also |γ ′ | = 1 (stückweise).
Hurwitz genialer Trick: Wir entwickeln γ und γ ′ in ihre Fourier–Reihen
γ(t) = ∑ c k e ikt , γ ′ (t) ∼ ∑ ik c k e ikt .
Dank Parseval–Gleichung wissen wir
∞∑
k 2 |c k | 2 = 1
2π
k=−∞
ˆ 2π
0
|γ ′ (t)| 2 dt = 1
Die umschlossene Fläche berechnen wir mit dem Satz von Green (1)
und der verallgemeinerten Parseval–Gleichung (2) wie folgt:
F (1)
= 1 ˆ 2π
γ 1 γ 2 ′ − γ 2 γ 1 ′ dt = 1 ˆ 2π [
]
Im (γ 1 − iγ 2 )(γ 1 ′ + iγ ′
2 0
2
2) dt
0
[ ˆ 1 2π
] [
= π Im γγ ′ (2)
∑ ∞ ] ∞∑
dt = π Im c k · ikc k = π k|c k | 2 .
2π
0
k=−∞
k=−∞
Lösung des isoperimetrischen Problems
§R3.3, S.1359
Lösung des isoperimetrischen Problems
§R3.3, S.1360
Wir vergleichen nun die Fläche F mit der Kreisfläche π, hier
|F | ≤ π
∞∑
k=−∞
|k| · |c k | 2 und π = π
∞∑
k=−∞
Die erste Reihe ist termweise kleiner-gleich der zweiten:
|F | − π ≤ π
∞∑
k=−∞
(|k| − k 2 ) |c k | 2
} {{ }
≤ 0.
≤0
k 2 · |c k | 2 .
Also gilt |F | ≤ π: Die Kreisfläche kann nicht übertroffen werden!
Gleichheit gilt nur, wenn c k = 0 für alle k /∈ {−1, 0, 1}, also
γ(t) = c −1 e −it + c 0 + c 1 e it .
Wir wissen |c 1 | 2 + |c −1 | 2 = 1. Aus F = π folgt zudem |c 1 | 2 − |c −1 | 2 = 1.
Also gilt |c 1 | = 1 und c −1 = 0. Das heißt, γ(t) = c 0 + c 1 e it beschreibt
einen Kreis mit Mittelpunkt c 0 und Radius 1. Nur Kreise sind optimal!
Dieses schöne Ergebnis bildet einen würdigen Schlusspunkt zu diesem Kapitel. Die Rechnung
grenzt an Zauberei. Was passiert hier? Wir wollen periodische Funktionen R → R 2
untersuchen, und bei gegebenem Umfang L die größtmögliche Fläche F finden. Der Raum
aller Funktionen ist jedoch unübersichtlich. Die Fourier–Isometrie übersetzt dies in ein
Problem über Reihen. Dieses ist wesentlich übersichtlicher und kann dann leicht gelöst werden.
Kurz: Die Fourier–Analyse übersetzt ein schwieriges Problem in ein leichtes.
Man beachte, dass wir wirklich die Isometrie–Eigenschaft benutzt haben: Sowohl die
Parseval–Gleichung als auch ihre verallgemeinerte Fassung spielen eine wesentliche Rolle: Die
Übersetzung erhält alle wesentlichen Informationen!
Aufgabe: (nach einer Klausuraufgabe vom Februar 2012)
Kann man mit 12m Zaun eine Fläche von 12m 2 umschließen?
Kann man mit 13m Zaun eine Fläche von 13m 2 umschließen?
Lösung: Nach der isoperimetrischen Ungleichung kann man mit einem Weg der Länge L
maximal den Flächeninhalt L 2 /4π umschließen, und die Kreise erreichen dieses Optimum.
Es gilt 12 < 4π < 13. Mit 12m Zaun kann man also höchstens (12m) 2 /4π < 12m 2
umschließen. Mit 13m Zaun hingegen erhält man bei Kreisform (13m) 2 /4π > 13m 2 .

Fazit: Fourier–Analyse
S.1361
Erläuterung
Fazit: Differenzieren und Integrieren
S.1362
Erinnerung
Die Funktion f : R → C sei T –periodisch und auf [0, T ] integrierbar.
Wir zerlegen f in Harmonische zur Grundfrequenz ω = 2π/T :
f(t) ∼
∞∑
k=−∞
ˆf(k) e ikωt mit ˆf(k) =
1
T
ˆ T
t=0
e −ikωt f(t) dt
Diese Analyse zerlegt das Signal f in sein Spektrum ˆf : Z → C.
Linearität: Aus f = αg + βh mit α, β ∈ C folgt ˆf = αĝ + βĥ.
Konjugation: Aus f = g folgt ˆf(k) = ĝ(−k).
Ist f = f reell, so folgt ˆf(−k) = ˆf(k).
Ist f gerade bzw. ungerade, so gilt ˆf(−k) = ± ˆf(k).
Zur Vereinfachung betrachten wir meist den Fall T = 2π und ω = 1.
Fourier–Reihen können wir formal integrieren und ableiten:
Ist f integrierbar und F (t) = ´ t
0
f(τ) dτ eine Integralfunktion, so gilt
f(t) ∼
∞∑
k=−∞
k≠0
ˆf(k) e ikωt ⇐⇒ F (t) ∼ c 0 +
∞∑
k=−∞
k≠0
ˆf(k)
ikω e ikωt
Der Koeffizient c 0 spielt hierbei die Rolle der Integrationskonstanten.
Man kann c 0 berechnen durch Integration oder Punktprobe F (0) = 0.
Glattheit von f entspricht schnellem Abklingen von ˆf:
Für jede integrierbare Funktion f gilt ˆf(k) → 0 für |k| → ∞.
Ist f sogar n–mal stetig differenzierbar, so folgt k n ˆf(k) → 0.
Umgekehrt: Gilt ˆf(k) ≤ c/|k| 1+α für alle k ≠ 0 und Konstanten c, α > 0,
dann konvergiert ∑ ˆf(k)ek gleichmäßig gegen eine stetige Funktion f.
Gilt sogar ˆf(k) ≤ c/|k| n+1+α , so ist f mindestens n–mal stetig diff’bar.
Fazit: reelle Schreibweise
S.1363
Erläuterung
Fazit: Dirichlet–Kriterium
S.1364
Erläuterung
Für die reelle Schreibweise erinnern wir an das vorige Kapitel:
f(t) ∼ a 0
∞
2 + ∑
a k cos(kωt) + b k sin(kωt) =
k=1
∞∑
ˆf(k)e ikωt .
k=−∞
Aufgrund der Euler–Formel e ikωt = cos(kωt) + i sin(kωt) gilt
Zu f wie oben betrachten wir das n–te Fourier–Polynom
f n (t) ∼
n∑
k=−n
ˆf(k)e ikωt
Wir sagen, die Fourier–Reihe von f konvergiert im Punkt x ∈ R,
wenn die Zahlenfolge f n (x) ∈ C für n → ∞ konvergiert.
a k = ˆf(k) + ˆf(−k), b k = i [ ˆf(k) − ˆf(−k)
]
,
ˆf(k) = a k − ib k
2
a k + ib k
, ˆf(−k) = .
2
Im Falle a 0 = 0 können wir dies formal integrieren zu
F (t) ∼ const +
∞∑
k=1
−b k
kω cos(kωt) + a k
kω sin(kωt).
Angenommen, in x ∈ R existieren die einseitigen Grenzwerte f(x±).
Wenn die Fourier–Reihe in x konvergiert, dann gegen den Mittelwert:
f n (x) → 1 2
[
]
f(x+) + f(x−)
für n → ∞.
Angenommen, es existieren die einseitigen Grenzwerte f(x±) und
zudem die einseitigen Ableitungen f ′ (x±). Dann konvergiert die
Fourier–Reihe von f im Punkt x, und zwar gegen obigen Mittelwert.
Spezialfall: Ist f in x differenzierbar, so folgt f n (x) → f(x).

Fazit: Bestapproximation
S.1365
Erläuterung
Fazit: Konvergenz im quadratischen Mittel
S.1366
Erläuterung
Sei f : [0, T ] → C quadrat-integrierbar, das heißt ´ T
0 |f(t)|2 dt < ∞.
Sei f n (t) = ∑ n
k=−n c ke ikωt eine Approximation mit beliebigen c k ∈ C.
Der mittlere quadratische Fehler ‖f − f n ‖ wird genau dann minimal,
wenn f n das Fourier–Polynom ist, also c k die Fourier–Koeffizienten.
Hieraus folgt die Bessel–Ungleichung ‖f n ‖ 2 ≤ ‖f‖ 2 , ausgeschrieben
n∑
| ˆf(k)| 2 ≤ 1 T
k=−n
ˆ T
0
|f(t)| 2 dt.
Für f(t) ∼ a 0
2
+ ∑ ∞
k=1 a k cos(kωt) + b k sin(kωt) bedeutet das
a 2 0
n∑
2 + a 2 k + b2 k ≤ 2 T
k=1
ˆ T
0
|f(t)| 2 dt.
Sei f : [0, T ] → C integrierbar mit Spektrum ˆf : Z → C.
Genau dann ist f quadrat-integrierbar, also ´ T
0 |f(t)|2 dt < ∞,
wenn die Koeffizienten quadrat–summierbar sind, also ∑ | ˆf(k)| 2 < ∞.
In diesem Fall konvergieren die Fourier–Polynome f n im quadratischen
Mittel gegen die Funktion f, es gilt also ‖f − f n ‖ → 0 für n → ∞.
Die Bessel–Ungleichung wird dann zur Parseval–Gleichung:
∞∑
k=−∞
| ˆf(k)| 2 = 1 T
ˆ T
0
|f(t)| 2 dt.
Für f(t) ∼ a 0
2
+ ∑ ∞
k=1 a k cos(kωt) + b k sin(kωt) bedeutet das
a 2 0
n∑
2 + a 2 k + b2 k = 2 T
k=1
ˆ T
0
|f(t)| 2 dt.
Fazit: Fourier–Isometrie
S.1367
Erläuterung
Fazit: Fourier–Isometrie
S.1368
Erläuterung
Die Fourier–Isometrie ist diese Analyse / Synthese:
L 2 ([0, T ], C) ∼ = l 2 (Z, C),
Norm und Skalarprodukt bleiben dabei erhalten:
Die Parseval–Gleichung besagt nämlich
‖f‖ = ‖ ˆf‖,
also
1
T
ˆ T
0
|f(t)| 2 dt =
f ↔ ˆf
∞∑
k=−∞
| ˆf(k)| 2 .
Besser noch, es gilt die verallgemeinerte Parseval–Gleichung
Zusammenfassung: Aus dem Signal f gewinnt man das Spektrum ˆf
und umgekehrt rekonstruiert man aus dem Spektrum ˆf das Signal f.
Dieses Kapitel behandelt ausschließlich periodische Funktionen
f : R → C, also f(t + T ) = f(t) für eine Periode T > 0 und alle t ∈ R.
Im nächsten Kapitel übertragen wir die Ergebnisse soweit möglich auf
nicht-periodische Funktionen mittels Fourier–Transformation.
〈 f | g 〉 = 〈 ˆf | ĝ 〉, also
1
T
ˆ T
0
f(t)g(t) dt =
∞∑
k=−∞
ˆf(k)ĝ(k).