Grundlagen der theoretischen Informatik, SS 2011 — 1. ¨Ubungsblatt

Grundlagen der theoretischen Informatik, SS 2011 — Klausur
Jede Aufgabe hat 12 Punkte.
Abgabe bis Donnerstag, 13. Oktober 2011, 15:45 Uhr
1. Wahr oder falsch? Begründen Sie Ihre Antworten.
(a) Es ist unentscheidbar, ob für die von einer gegebenen Turingmaschine akzeptierte
Sprache die leere Sprache ist.
(b) Jede entscheidbare Sprache ist eine Typ-2-Sprache.
(c) Wenn L 1 und L 2 entscheidbar sind, dann ist auch L 1 L 2 entscheidbar.
(d) Jede kontextfreie Sprache ist regulär.
(e) Es gibt Typ-2-Sprachen, die unentscheidbar sind.
(f) Es gibt eine Sprache A, die nicht regulär ist, die aber in einer regulären
Sprache B als Teilmenge enthalten ist.
2. Beweisen Sie, dass die Sprache
L = {0 m 1 n 2 k | m+k = n}
über dem Alphabet {0,1,2}, nicht regulär, aber kontextfrei ist. Sie dürfen Sätze
aus der Vorlesung oder von den Übungsblättern (zum Beispiel das Pumping-
Lemma oder Abschlusseigenschaften) verwenden, aber Eigenschaften von bestimmten
Sprachen müssen Sie beweisen.
3. Beweisen Sie, dass für eine reguläre Sprache L ⊆ Σ ∗ die Menge der Präfixe ihrer
Wörter, {x ∈ Σ ∗ | es gibt ein y ∈ Σ ∗ mit xy ∈ L}, wieder eine reguläre Sprache
ist.
Hinweis: Es genügt, in einem endlichen Automaten, der L akzeptiert, die akzeptierenden
Zustände neu zu definieren.
4. Bestimmen Sie für die Sprache
L = { w ∈ {a,b} ∗ | neben jedem a steht mindestens ein weiteres a }
(a) einen deterministischen endlichen Automaten mit möglichst wenigen Zuständen,
(b) die Äquivalenzklassen der Nerode-Relation.
5. Geben Sie für die Grammatik
S → QC | AR Q → aQb | ε C → cC | ε
R → bRc | ε
A → aA | ε
Ableitungsbäume für die Wörter w 1 = abbcc, w 2 = abccc, und w 3 = abc an.
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