Grundlagen der theoretischen Informatik, SS 2011 — 1. ¨Ubungsblatt

Grundlagen der theoretischen Informatik, SS 2011 — 1. Übungsblatt
freiwillige Vorübungen
1. Wörter
Für ein Alphabet Σ mit k Elementen ist Σ ∗ ist die Menge der Wörter (Folgen), die man
aus den Buchstaben von Σ bilden kann.
(a) Wieviele Wörter in Σ ∗ haben die Länge n (bestehen aus n Buchstaben)?
(b) Wieviele Palindrome in Σ ∗ haben die Länge n? (Ein Palindrom ist ein Wort, das
von vorne und von hinten gelesen gleich ist.)
(c) Wieviele Wörter der Länge n = 2,3,4,5,6,7,8 über dem Alphabet Σ = {(,)} sind
“gültige” Klammerausdrücke wie zum Beispiel (()(()(()))() und ((()))? (Ungültig
sind etwa (((()) — mehr offene als geschlossene Klammern, und ())(()
— die zweite schließende Klammer hat keine öffnende Partnerklammer.) Finden
Sie eine (Rekursions-)Formel für die Anzahl der gültigen Klammerausdrücke der
Länge n.
2. Homomorphismen
Durch wiederholte Anwendung des Homomorphismus
0 → 01, 1 → 0
auf das Ausgangswort 0 erhält man die Folge der Wörter
w 0 = 0, w 1 = 01, w 2 = 010, w 3 = 01001, w 4 = 01001010, w 5 = 0100101001001, ...
(a) Beschreiben Sie, was ein Homomorphismus ist, und was die Anwendunge eines
Homomorphismus auf ein Wort (über einem gegebenen Alphabet) bedeutet. (Lassen
Sie sich dabei von diesem Beispiel und dem Beispiel in der nächsten Aufgabe
leiten, anstatt gleich im Lehrbuch (oder womöglich im Netz) nachzuschlagen.)
(b) Welche Länge hat das Wort w n ?
(c) Jedes Wort ist ein Anfangsstück (Präfix) des darauffolgenden Wortes, sodass
die Folge gegen ein unendliches Wort w ∞ “konvergiert”. Wieviele verschiedene
Teilwörter(zusammenhängendeTeilfolgen)derLängenn = 1,2,3,4,5enthältw ∞ ?
(d) (*)GegenwelchenWertkonvergiertderAnteilderEinseninw n anderGesamtzahl
der Symbole?
3. Durch wiederholte Anwendung des Homomorphismus
0 → 100, 1 → 001
auf das Ausgangswort 0 erhält man die Folge der Wörter
w 0 = 0, w 1 = 100, w 2 = 001100100, w 3 = 100001001001100100001100100, ...
(a) Welche Länge hat das n-te Wort?
(b) Gegen welchen Wert konvergiert der Anteil der Einsen?
(c) DieWörter,diemit0beginnen, konvergierengegeneinunendlichesWort. Wieviele
verschiedene Teilwörter der Längen n = 1,2,3,4,5 enthält dieses Wort?
1

(d) Im Gegensatz zur vorigen Aufgabe ist hier nicht jedes Wort ist eine Verlängerung
des vorhergehenden Wortes. An welcher Eigenschaft des Homomorphismus mag
das liegen?
4. Codes
(a) Codieren Sie das Alphabet {a,b,...,z} durch Binärworte, so dass jedes codierte
Wortwiedereindeutigdecodierbarist!(EineungeeigneteCodierungwärez.B. a ↦→
0,b ↦→ 01,c ↦→ 100, etc. In diesem Fall könnte nämlich 0100 von ac oder von baa
herstammen.) Zeigen Sie, dass Ihre Codierung die gewünschte Eigenschaft hat.
(b) Das Alphabet Σ = {a,b} sei durch a ↦→ 0 und b ↦→ 010 codiert. Zeigen Sie, dass
diese Codierung eindeutig decodierbar ist!
5. Die Programmiersprache Schleife hat die folgenden einfachen Regeln:
• Es gibt einen unendlichen Vorrat an Variablen X0, X1, X2, X3, ..., die beliebige
natürliche Zahlen (≥ 0) speichern können.
• Es gibt die einfachen Anweisungen Xi = 0 (Inititalisierung), Xi = Xj (Kopieren),
Xi = Xi + 1(Hinaufzählen)undXi = Xi - 1(Herunterzählen).BeimHerunterzählen
wird Xi unverändert gelassen, wenn es den Wert 0 hat, weil die Variablen keine
negativen Werte enthalten können.
• Außerdem gibt es eine Schleifenanweisung:
WIEDERHOLE Xi MAL
Anweisungsfolge
SCHLEIFENENDE
Wenn die Variable Xi zu Beginn der Ausführung den Wert n hat, wird die Schleife
n-mal wiederholt, auch wenn Xi zwischendurch geändert wird. Schleifen können
auch geschachtelt sein.
Es gibt keine Ein- und Ausgabeanweisungen. Die Eingabeparameter eines Programms
stehen zu Beginn in den ersten Variablen X0, X1, .... Alle übrigen Variablen sind zu
Beginn auf 0 gesetzt. Das Ergebnis des Programms ist der Wert, der am Ende in X0
steht.
Das folgende Programm berechnet zum Beispiel die Summe von X0 und X1:
WIEDERHOLE X1 MAL
X0 = X0 + 1
SCHLEIFENENDE
(a) Schreiben Sie ein Programm zur Berechnung des Produktes von X0 und X1.
(b) Schreiben Sie ein Programm, das den Rest der Division vonX1 durchX0 berechnet.
(Wenn X0 = 0 ist soll das Ergebnis X1 sein.)
(c) Schreiben Sie ein Programm zur Berechnung von 2 X0 .
(d) Schreiben Sie ein Programm, das mit allen Variablen auf Null beginnt, aus höchstens
n = 2,3,4,5,6,7 Anweisungen besteht, und am Ende einen möglichst großen
Wert in X0 hat. (Dabei gilt das WIEDERHOLE-SCHLEIFENENDE-Paar als eine einzige
Anweisung.)
(e) Die Programmiersprache Schleife++ hat zusätzlich bedingte Anweisungen:
IF Xi>Xj THEN
Anweisungsfolge
ENDIF
Wie kann mein ein solches Programm durch Eliminieren aller bedingten Anweisungen
in ein Schleife-Programm übersetzen?
2

Grundlagen der theoretischen Informatik, SS 2011 — 2. Übungsblatt
Abgabe Mittwoch, 27. April 2009, 10:15 Uhr
(Aufgaben ohne Punkte sind freiwillige Vor- oder Zusatzübungen.)
6. (10 Punkte) Welche der folgenden Gleichungen gelten für alle Sprachen?
(a) (A∪B)∩C = A∪(B ∩C)
(c) (A∪B) ∗ = A ∗ ∪B ∗
(b) (A ∗ ) ∗ = A ∗
(d) A ∗ ∩B ∗ = (A∩B) ∗
Beweisen Sie Ihre Antworten. Wenn eine Beziehung nicht als Gleichung gilt, in welchen
Fällen gilt dann eine Inklusionsbeziehung (⊆ oder ⊇)?
7. (10 Punkte) Kommutierende Wörter
Σ sei ein Alphabet mit 2 Symbolen. Wieviele Paare von Wörtern a ∈ Σ 3 und b ∈ Σ 2
mit der Eigenschaft ab = ba gibt es? Wieviele Paare von Wörtern a ∈ Σ 6 und b ∈ Σ 9
mit der Eigenschaft ab = ba gibt es? Wie ist es allgemein für a ∈ Σ m und b ∈ Σ n ?
Wodurch kann man solche Wortpaare charakterisieren?
8. (10 Punkte) Beschreiben Sie in Worten die folgenden Sprachen über {0,1,#}:
(a) (0#) ∗ ∪(#1) ∗
(b) (01#) ∗ ∩{01,1#,#0} ∗ (c) ({0,1}00) ∗ ∩(0 ∗ ∪1 ∗ )
(d) (1{01,0101} ∗ 0) ∗
Finden Sie, wenn möglich, einfachere ”
Formeln“ für diese Sprachen. (Hier steht ein
einzelnesWortfüreineeinelementigeSprache,wieetwa(#1) ∗ statt{#1} ∗ ,1 ∗ statt{1} ∗ .)
9. (a) Schreiben Sie einen regulären Ausdruck für die positiven Binärzahlen, die durch 4
teilbar sind. Die Zahlen dürfen keine führenden Nullen (keine überflüssigen Nullen
am Anfang) haben.
(b) Konstruieren Sie einen deterministischen endlichen Automaten (DEA), der diese
Sprache akzeptiert.
10. Geben Sie für jede der folgenden Sprachen über Σ = {a,b,c} zwei Wörter an, die in
der Sprache enthalten sind sowie zwei Wörter, die nicht darin enthalten sind.
(a) {a,b} ∗ (b) ab ∗ (c) (ab) ∗ (d) {a,ε}b ∗ (e) (a ∗ ∪{ab,bc,ca})·{ε,b}
11. Finden Sie eine Sprache L über dem Alphabet {0,1}, die die Gleichung
erfüllt. Ist die Lösung eindeutig?
L = {0}∪L·{11}
12. Konstruieren Sie einen deterministischen endlichen Automaten (DEA) mit dem Eingabealphabet
{0,1}, der die Wörter akzeptiert, die mindestens ein Paar nebeneinanderstehender
Nullen enthalten.
13. KonstruierenSieeinenDEAmitdemEingabealphabet{0,1},derdieWörterakzeptiert,
die kein Paar nebeneinanderstehender Einsen enthalten.
14. Geben Sie reguläre Ausdrücke für folgende Sprachen an:
(a) L 1 = {w ∈ {a,b,c} ∗ | w hat gerade Länge}
(b) L 2 = {w ∈ {a,b,c} ∗ | w enthält mindestens ein a und höchstens ein c}
(c) L 3 = {w ∈ {a,b} ∗ | w besteht aus k ≥ 0 Wiederholungen eines Wortes der Länge 2}
(d) L 4 = {a,b} ∗ \L 2 (das Komplement der Sprache L 2 )
(e) L 5 = {a,b} ∗ \L 3
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Grundlagen der theoretischen Informatik, SS 2011 — 3. Übungsblatt
Abgabe Mittwoch, 4. Mai 2011, 10:15 Uhr
15. Endliche Automaten und reguläre Sprachen (12 Punkte)
Konstruieren Sie für den DEA M = (Σ = {0,1},Q = {a,b,c},δ,a,{b})
einen regulären Ausdruck, der die von M akzeptierte Sprache beschreibt.
Die Übergangsfunktion δ ist in der nebenstehenden Tabelle angegeben.
δ 0 1
a a b
b c b
c b a
Wenden Sieden inder VorlesungvorgestelltenAlgorithmus von Kleenean
und betrachten Sie die Zustände in der Reihenfolge q 1 = a, q 2 = b, q 3 = c. Vereinfachen
Sie dabei die Zwischenergebnisse, so gut es geht.
16. (0 Punkte) Wenden Sie den Algorithmus von Kleene auf das vorige Beispiel an und
betrachten Sie dabei die Zustände in der Reihenfolge c,a,b.
Versuchen Sie auch, ”
direkt“ durch Betrachten des Zustandsdiagramms und Nachdenken
einen möglichst einfachen regulären Ausdruck zu finden.
17. (12 Punkte) Welche der folgenden Gleichungen gelten für alle Sprachen?
(a) A·{ε} = A
(b) A·∅ = A
(c) A·∅ = ∅
(d) A∪{ε} = A
(e) A∪∅ = A
(f) A∪∅ = ∅
Beweisen Sie Ihre Antworten. Wenn eine Beziehung nicht als Gleichung gilt, in welchen
Fällen gilt dann eine Inklusionsbeziehung (⊆ oder ⊇)?
18. (7 Punkte) Zeigen Sie, dass folgende Sprache regulär ist: (Begründen Sie Ihre Antwort.)
L = {w ∈ {a,b} ∗ | zweites und letztes Zeichen von w sind gleich, |w| ≥ 3}.
19. (0Punkte)SchreibenSieeinenregulärenAusdruckfürdieSprache{ε},ohnedasSymbol
ε zu verwenden.
20. Reguläre Ausdrücke (0 Punkte)
(a) Geben Sie einen regulären Ausdruck an, der genau die Worte w über Σ mit der
folgenden Eigenschaft beschreibt: ”
w enthält keine zwei unmittelbar aufeinanderfolgenden
gleichen Symbole,“ und zwar für Σ 2 = {a,b}, Σ 3 = {a,b,c}, und für
Σ 4 = {a,b,c,d}. Begründen Sie, dass Ihr Ausdruck wirklich diese Sprache beschreibt!
(b) Lösen Sie dieselbe Aufgabe für die folgende Eigenschaft: ”
Jedes Symbol in w steht
neben einem gleichen Symbol.“ (Zum Beispiel hat das Wort aaabbcccaa diese Eigenschaft.)
(c) (schwierig) Wieviele Wörter der Länge n enthält die Sprache aus Aufgabe (b), für
Σ 2 und Σ 3 ?
21. (0 Punkte) Welche der folgenden Gleichungen gelten für alle Sprachen?
(a) (AB) ∗ = (A∪B) ∗
(b) (A ∗ ∪B ∗ ) ∗ = (A ∗ B ∗ ) ∗
(c) (A ∗ ∪B ∗ ) ∗ = A ∗ ∪B ∗
(d) A ∗ ∩B ∗ = (A ∗ ∩B ∗ ) ∗
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Grundlagen der theoretischen Informatik, SS 2011 — 4. Übungsblatt
Abgabe Mittwoch, 11. Mai 2011, 10:15 Uhr
22. Verständnisfragen (0 Punkte) Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
(a) Jede endliche Teilmenge von Σ ∗ wird von einem endlichen Automaten akzeptiert.
(b) Ein endlicher Automat kann nur endlich viele Wörter akzeptieren.
(c) Jede Teilmenge von Σ ∗ wird von einem endlichen Automaten akzeptiert.
(d) Zu jedem deterministischen endlichen Automaten A gibt es einen äquivalenten
nichtdeterministischen endlichen Automaten, der nicht mehr Zustände als A hat.
(Zwei Automaten sind äquivalent, wenn sie die gleich Sprache akzeptieren.)
(e) Die leere Sprache wird von jedem endlichen Automaten akzeptiert.
23. (10Punkte)BeweisenSie,dassdievoneinemDEAakzeptiertenSprachen(dieregulären
Sprachen) unter Präfixbildung abgeschlossen sind: Wenn L eine solche Sprache ist, dann
gibt es auch einen DEA, der die folgende Sprache L ′ akzeptiert:
L ′ = {x | es gibt ein y mit xy ∈ L}
24. (10 Punkte, eine alte Klausuraufgabe) Konstruieren Sie einen endlichen Automaten
ohne ε-Übergänge für die Sprache
(a|ba) + (b|ab) ∗ | (bb) ∗ a + (bb) ∗ .
25. Für einen Zustand q ∈ Q des DEA M = (Σ,Q,δ,q 0 ,F) sei die Sprache L q (M) so
definiert:
L q (M) = {w ∈ Σ ∗ | δ(q 0 ,w) = q}
Beweisen Sie: Wenn w 1 ,w 2 ∈ L q (M) sind, dann gilt für alle x ∈ Σ ∗ :
w 1 x ∈ L(M) ⇐⇒ w 2 x ∈ L(M)
26. Kongruenzrelationen (10 Punkte)
Eine Kongruenzrelation ∼ auf einer Menge Σ ∗ von Wörtern ist eine Äquivalenzrelation
mit folgender zusätzlicher Eigenschaft:
a ∼ b ∧ c ∼ d =⇒ ac ∼ bd.
Welche der folgenden Relationen sind Kongruenzrelationen auf {0,1} ∗ ? (Beweisen Sie
Ihre Antworten.) Die Beziehung a ∼ b soll jeweils genau dann gelten, wenn folgende
Bedingung erfüllt ist:
(a) a und b haben die gleiche Anzahl von Nullen und die gleiche Anzahl von Einsen.
(b) a = b = ε, oder a ≠ ε ≠ b und a und b haben denselben Anfangsbuchstaben.
(c) a = ε,oderb = ε,odera ≠ ε ≠ bundaundbhabendenselbenAnfangsbuchstaben.
(d) das Teilwort 100 kommt in a und b gleich häufig vor.
27. Welche Sprache erkennt dieser endliche Automat? Begründen Sie Ihre Antwort.
q 0
a
a,b
a,b
q 1
a q 2
q 3
a
a,b
q 4
a q 5
5

Grundlagen der theoretischen Informatik, SS 2011 — 5. Übungsblatt
Abgabe Mittwoch, 18. Mai 2011, 10:15 Uhr
28. (10 Punkte) Potenzmengenkonstruktion
Konstruieren Sie einen äquivalenten deterministischen Automaten für den nichtdeterministischen
endlichen Automaten mit Σ = {0,1}, Q = {a,b,c}, Q 0 = F = {a} und
δ(a,0) = {a,b}, δ(b,1) = {b,c}, δ(c,0) = {a,c}, δ(a,1) = δ(b,0) = δ(c,1) = ∅.
29. (0 Punkte) Minimalautomat
Konstruieren Sie den Minimalautomaten zu dem Automaten aus der vorigen Aufgabe.
30. (10 Punkte, Teile von alten Klausuraufgaben)
Gegeben ist ein NEA M. Wie kann man entscheiden,
(a) ob L(M) endlich ist?
(b) ob L(M) = ∅ ist?
Skizzieren Sie Ihren Lösungsweg in einigen Sätzen.
31. (10 Punkte) Schreiben Sie einen regulären Ausdruck für eine gültige Dezimalzahl:
Eine Dezimalzahl besteht aus einer nichtleeren Folge von Ziffern 0–9, oder sie enthält
ein Komma, wobei vor und nach dem Komma eine nichtleere Folge von Ziffern steht.
Wahlweise kann ein Vorzeichen (+ oder -) vorangestellt sein. Außerdem darf die Zahl
keine überflüssigen führenden Nullen enthalten (Nullen zu Beginn, die man auch weglassen
kann). Nach dem Komma dürfen jedoch am Ende beliebig viele Nullen stehen.
32. (0 Punkte) Der Algorithmus von Kleene zur Umwandlung eines endlichen Automaten
in einen regulären Ausdruck kann auch auf NEAs angewendet werden. Überlegen Sie,
an welchen Stellen man den Algorithmus modifizieren muss, damit er für NEAs statt
für DEAs funktioniert.
33. (0 Punkte) Konstruieren Sie DEAs und NEAs für folgende Sprachen über {0,1}:
(a) die Wörter, deren vierter Buchstabe eine 1 ist;
(b) die Wörter, deren viertletzter Buchstabe eine 1 ist.
34. (0 Punkte, eine alte Klausuraufgabe)
Konstruieren Sie einen endlichen Automaten (wahlweise einen DEA oder einen NEA)
für die durch 3 teilbaren Binärzahlen. Die Zahlen sollen dabei
(a) von links nach rechts, (mit dem niederwertigsten Bit zuletzt)
(b) von rechts nach links eingelesen werden.
35. (0 Punkte) Konstuieren Sie einen nichtdeterministischen endlichen Automaten (ohne
ε-Übergänge) für die reguläre Sprache
36. Das Produkt von Automaten (0 Punkte)
(ε|0|00)(0|10 ∗ 1) ∗ 0 ∗ .
(a) KonstruierenSiezuzweiDEAsM 1 = (Q 1 ,Σ,δ 1 ,q 1 0 ,F1 )undM 2 = (Q 2 ,Σ,δ 2 ,q 2 0 ,F2 )
einen DEA mit Zustandsmenge Q 1 ×Q 2 für die Sprache L(M 1 )∩L(M 2 ).
(Hinweis: Der neue Automat simuliert beide Automaten M 1 und M 2 gleichzeitig.)
(b) Konstruieren Sie auf analoge Art einen DEA für die Sprache L(M 1 )∪L(M 2 ).
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Grundlagen der theoretischen Informatik, SS 2011 — Unverbindliche
Probeklausur
freiwillige Abgabe: Mittwoch, 25. Mai 2011, 11:30 Uhr
Bearbeitungszeit: 75 Minuten
51. (12 Punkte) Gegeben ist ein DEA M. Skizzieren Sie die Schritte, die notwendig sind,
um einen DEA für
(a) die komplementäre Sprache Σ ∗ \L(M)
(b) die gespiegelte Sprache (L(M)) R = {x R | x ∈ L(M)}
zu konstruieren. (Sieb brauchen nicht die Details in allen Einzelheiten anzugeben.)
52. (12Punkte) BestimmenSieeinen DEAfür die Wörter über dem Alphabet {a,b,c,r,s},
die das Teilwort barbara enthalten. Begründen Sie, warum Ihr Automat korrekt ist.
53. Pumping-Lemma (12 Punkte)
Beweisen Sie, dass die Sprache
nicht regulär ist.
54. (8 Punkte)
L = {0 n2 | n ≥ 1}
Wahr oder falsch? Begründen Sie Ihre Antworten.
(a) Bei der Potenzmengenkonstruktion zur Konstruktion eines DEA aus einem NEA
kann sich die Zustandsmenge mehr als verdoppeln.
(b) BeiderEliminationvon ε-ÜbergängenineinemNEAkannsichdieZustandsmenge
mehr als verdoppeln.
(c) Wenn es einen DEA für eine Sprache L gibt, dann gibt es auch für jede Teilmenge
L ′ von L einen DEA, der L ′ akzeptiert.
(d) Zu jedem DEA gibt es einen äquivalenten NEA mit der kleinstmöglichen Anzahl
von Zuständen.
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Grundlagen der theoretischen Informatik, SS 2011 — 6. Übungsblatt
Abgabe Mittwoch, 1. Juni 2011, 10:15 Uhr
41. Das Pumping-Lemma (9 Punkte)
Zeigen Sie mit dem Pumping-Lemma, dass die folgenden Sprachen nicht regulär sind.
(a) DieMengeallerZeichenreihenüberdemAlphabet{(,)}mitkorrektgeschachtelten
Klammern.
(b) {0 n 10 n | n ≥ 0}
(c) {xx | x ∈ {0,1} ∗ }
42. Das Pumping-Lemma (6 freiwillige Zusatzpunkte)
Zeigen Sie mit dem Pumping-Lemma, dass die folgenden Sprachen nicht regulär sind.
(a) {x1 n | n ≥ 0, x ∈ {0,1} ∗ , |x| = n}
(b) {xx R | x ∈ {0,1} ∗ }, (die Menge aller Palindrome gerader Länge)
43. Das Pumping-Lemma
Zeigen Sie (mit dem Pumping-Lemma, oder auf andere Art), dass die Sprachen L 1 =
{a m b n | m ≠ n} und L 2 = {0 n | n ist eine Primzahl} nicht regulär sind.
44. Abschlusseigenschaften (9 Punkte)
(a) BeweisenSie:WennLregulärist,dannistauchdiegespiegelteSpracheL R regulär.
(b) Beweisen Sie: Wenn L ⊆ Σ ∗ 1 regulär ist und h: Σ∗ 1 → Σ∗ 2 ein Homomorphismums
ist, dann ist auch die Bildsprache h(L) = {h(x) | x ∈ L} regulär.
(c) Kann h(L) auch regulär sein, wenn L nicht regulär ist? Finden Sie ein Beispiel,
oder beweisen Sie, dass es nicht möglich ist.
45. Abschlusseigenschaften
Beweisen Sie auf direktem Weg, indem Sie eine der Charakterisierungen regulärer Sprachen
verwenden, dass die regulären Sprachen abgeschlossen bezüglich inversem Homomorphismus
sind: Wenn L ⊆ Σ ∗ 2 regulär ist und h: Σ∗ 1 → Σ∗ 2 ein Homomorphismus ist,
dann ist auch die Urbildsprache h −1 (L) = {x | g(x) ∈ L} regulär.
46. Abschlusseigenschaften (8 Punkte)
Wie kann man für zwei gegebene DEAs M 1 und M 2 entscheiden, ob L(M 1 ) = L(M 2 )
ist? (Siehe auch Aufgabe 30.)
Skizzieren Sie Ihren Lösungsweg in einigen Sätzen.
47. Multiplikation auf einer Turing-Maschine (7 Punkte)
Konstruieren Sie eine Turingmaschine, die zwei ”
unäre“ Zahlen multipliziert. Bei Eingabe
von 0 m #0 n soll die Ausgabe 0 mn berechnet werden.
48. WelchecharakteristischeEigenschafthabendieWörterderSpracheL = (ε|0|00)(0|10 ∗ 1) ∗ 0 ∗ ?
Beweisen Sie Ihre Behauptung! Gibt es einen einfacheren regulären Ausdruck für L?
49. Die Nerode-Relation
Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen der Nerode-Relation für die Sprachen
8

(a) L 1 = {0,1} 4
(b) L 2 = {a m b n | m ≠ n}
(c) L 3 = {0,1} 2 10 ∗
50. Binäre Multiplikation. Unterprogramme.
In der Vorlesung wurde eine Turingmaschine vorgestellt, die die Summe zweier positiver
Zahlen in Binärdarstellung berechnet. 1 Bei Eingabe von bin(x)#bin(y)$ und Start im
Zustand q 1 hält die Maschine im Zustand q F mit der Ausgabe bin(x + y)#bin(y)$
und dem Kopf auf dem ersten Eingabesymbol. (Die Notation bin(x) ∈ {0,1} ∗ ist eine
Darstellungvonx ∈ NinBinärdarstellung.)DerBandinhaltrechtsvom$-Zeichenbleibt
dabei unverändert stehen. Erweitern Sie diese Maschine zu einer Maschine, die zwei
positive Binärzahlen multipliziert: Bei Eingabe von bin(x)$bin(y) soll die Maschine die
Ausgabe bin(x·y) berechnen. Ihre Maschine soll die Addiermaschine aus der Vorlesung
als ”
Unterprogramm“ benutzen, indem Sie an geeigneten Stellen in den Zustand q 1
übergeht. Der Zustand q F ist dann kein Haltezustand mehr, sondern die Rechnung
wird danach fortgesetzt. Beschreiben Sie Ihren Algorithmus zunächst in Worten.
51. Einseitig unendliches Band
Wie kann man jede Turingmaschine ohne Zeitverlust durch eine Turingmaschine simulieren,
die sich nie über das erste Eingabezeichen nach links hinausbewegt?
52. Fleißige Biber (siehe auch Aufgabe 5d)
Entwerfen Sie eine Turingmaschine mit 2 Zuständen (zusätzlich zu einem Haltezustand)
und dem Bandalphabet Γ = {1,B}, die mit dem leeren Band beginnt, nach endlich
vielen Schritten anhält, und dabei eine möglichst lange fortlaufende Folge von Einsen
auf das Band schreibt.
53. Definieren Sie formal die Nachfolgerrelation xqy ⊢ x ′ q ′ y ′ für Konfigurationen einer
Turingmaschine mit gegebener Überführungsfunktion δ. (q,q ′ ∈ Q, x,x ′ ∈ {ε} ∪ (Γ −
{B})Γ ∗ , y,y ′ ∈ {ε}∪Γ ∗ (Γ−{B}).) Zum Beispiel gilt qay ⊢ q ′ y für q ∈ Q,a ∈ Γ,y ∈ Γ ∗ ,
und δ(q,a) = (q ′ ,B,+1); qay ⊢ q ′ Bby für q ∈ Q,a ∈ Γ,y ∈ Γ ∗ , δ(q,a) = (q ′ ,b,−1), und
y ≠ ε oder b ≠ B. Beschreiben Sie auch alle übrigen Fälle.
54. Schleife-Berechenbarkeit und ”
Diagonalisierung“
(a) Die Funktion u: N → N gibt den größten Wert u(n) an, den ein Schleife-
Programm mit n Anweisungen und allen Eingaben auf 0 am Ende in X0 berechnen
kann (vgl. Aufgabe 5d). Ist u berechenbar (auf einer Turingmaschine)?
(b) Beweisen Sie: Wenn f 1 ,f 2 : N → N zwei Schleife-berechenbare Funktionen sind
(im Sinne von Aufgabe 1), dann ist auch ihre Verknüpfung g mit g(n) = f 2 (f 1 (n))
Schleife-berechenbar. Beweisen Sie eine obere Schranke für die Länge des kürzesten
Programmes für g, wenn f 1 und f 2 mit n 1 bzw. n 2 Anweisungen berechnet
werden können.
(c) Konstruieren Sie eine Funktion f: N → N, die nicht Schleife-berechenbar ist
(zum Beispiel eine Variante der Funktion u aus Teil a).
55. Wenn die Taste - auf der Tastatur kaputt ist, kann man den Befehl Xi = Xi - 1 zum
Herunterzählen in der Programmiersprache Schleife (Aufgabe 5) nicht verwenden.
Wie kann man diesen Befehl durch die übrigen Befehle simulieren?
1 http://www.inf.fu-berlin.de/lehre/SS11/GTI/tm-Beispiel.pdf ist eine Variante davon.
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Grundlagen der theoretischen Informatik, SS 2011 — 7. Übungsblatt
Abgabe Mittwoch, 8. Juni 2011, 10:15 Uhr
56. Gödelnummerierung (10 Punkte)
Die folgende Funktion f ist eine Bijektion zwischen {0,1} ∗ und Z + = {1,2,3,...}:
f(w) = 1w, als Binärzahl interpretiert.
Schreiben Sie ein Programm für eine Turing-Maschine oder eine Programmiersprache
Ihrer Wahl, das die Wörter u#v mit u,v ∈ {0,1} ∗ und f(u) < f(v) akzeptiert.
57. (0Punkte)TabellenzugriffüberAdressen,SimulationeinesDirektzugriff-Speichersdurch
eine Turingmaschine.
Bei Eingabe eines Wortes x von der Form
x 1 #y 1 ##x 2 #y 2 ##...##x n #y n ##x 0
mit n ≥ 0, x k ,y k ∈ {0,1} ∗ soll eine Turingmaschine die Ausgabe x#y berechnen. Dabei
ist y = y i für den größten Index i ≤ n mit x i = x 0 , und y = 0, falls kein solches i
existiert.
58. Minimierung des Bandalphabets (0 Punkte)
Entwerfen Sie eine Turingmaschine die die Sprache {0 n 1 n | n ≥ 0} entscheidet und die
mit dem Bandalphabet Γ = {0,1,B} auskommt.
59. Varianten der Diagonalsprache (10 Punkte)
D = {w i | M i akzeptiert w i nicht} sei die Diagonalsprache und ¯D ihr Komplement.
(a) Ist die Sprache ¯D rekursiv aufzählbar?
(b) Ist die Sprache 0D ∪1¯D rekursiv aufzählbar?
(c) Ist U ′ := {〈M〉w | M akzeptiert das Wort 〈M〉w nicht} entscheidbar?
60. Welche der folgenden Sprachen sind entscheidbar, welche sind rekursiv aufzählbar?
(a) L 1 = {0 k 〈M〉w | M akzeptiert w nach höchstens k Schritten.}
(b) L 2 = {0 k 〈M〉w | M hat w nach k Schritten noch nicht akzeptiert.}
61. Aufzählung rekursiv aufzählbarer Sprachen (10 Punkte)
(a) (10 Punkte) Beweisen Sie: Eine Sprache L ist genau dann rekursiv aufzählbar,
wenn es eine Turingmaschine M gibt, die alle Wörter von L (in beliebiger Reihenfolge)
durch Leerzeichen getrennt auf ein Ausgabeband, auf das nur geschrieben
werden kann, ausgibt. (Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 60.)
(b) (0 Punkte) Die Sprache L ist genau dann entscheidbar, wenn es eineTuringmaschine
gibt, die die Wörter von L nach Länge sortiert auf ein Ausgabeband schreibt.
62. Beweisen Sie, dass die Sprache L = {0 i | i ≥ 0, das Teilwort 0 i 123 kommt in der
Dezimaldarstellung von π unendlich oft vor} entscheidbar ist. (Sie müssen dazu nichts
über π wissen, nur logisch überlegen. Wie kann L aussehen?)
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Grundlagen der theoretischen Informatik, SS 2011 — 8. Übungsblatt
Abgabe Mittwoch, 16. Juni 2011, 10:15 Uhr
63. (10 Punkte) Welche dieser Aussagen sind wahr? Geben Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel
an. (Teil (a–c) ist eine alte Klausuraufgabe.)
(a) Wenn L entscheidbar ist, dann ist auch L ∗ entscheidbar.
(b) Wenn L unentscheidbar ist, dann ist auch L ∗ unentscheidbar.
(c) Wenn L rekursiv aufzählbar ist, dann ist auch L ∗ rekursiv aufzählbar.
(d) Wenn L 1 und L 2 entscheidbar sind, dann ist auch L 1 L 2 entscheidbar.
64. (0 Punkte) Entscheidbarkeit
Welche der folgenden Aussagen sind wahr, und welche sind falsch? (Beweise!)
Welche Aussagen sind trivial, und welche sind absurd?
(a) Jede Teilmenge einer entscheidbaren Sprache ist entscheidbar.
(b) Die Vereinigung zweier entscheidbarer Sprachen ist entscheidbar.
(c) Die Vereinigung zweier rekursiv aufzählbarer Sprachen ist rekursiv aufzählbar.
(d) Die Schnittmenge zweier entscheidbarer Sprachen ist entscheidbar.
(e) Die Schnittmenge zweier rekursiv aufzählbarer Sprachen ist rekursiv aufzählbar.
(f) Jede entscheidbare Sprache ist rekursiv aufzählbar.
(g) Die Schnittmenge einer rekursiv aufzählbaren Sprache und einer entscheidbaren
Sprache ist rekursiv aufzählbar.
65. (10 Punkte) Reduktion zwischen Sprachen/Problemen
(a) (5 Punkte) Beweisen Sie, dass die Relation ≤ transitiv ist.
(b) (5 Punkte) Beweisen Sie: Wenn A entscheidbar ist und B eine beliebige Sprache
mit B ≠ ∅, B ≠ Σ ∗ ist, dann ist A ≤ B.
(c) (0 Punkte) Ist die folgende Aussage wahr oder falsch: Wenn B unentscheidbar ist
und A eine beliebige Sprache mit A ≠ ∅, A ≠ Σ ∗ ist, dann ist A ≤ B.
66. (0 Punkte) Reduktion vom der unversellen Sprache U auf das Halteproblem H.
Zeigen Sie U ≤ H mit Hilfe der folgenden Reduktionsfunktion f: Die Eingabe von f ist
〈M〉w (als Eingabe für U). Der Algorithmus f transformiert M in eine Turingmaschine
M ′ , bei der alle Möglichkeiten, dass M in einem nichtakzeptierenden Zustand hält,
durch einen Sprung in eine unendliche Schleife ersetzt sind. Die Ausgabe von f (als
Eingabe für H) ist dann 〈M U 〉〈M ′ 〉w, wobei M U eine universelle Turingmaschine ist.
67. (10 Punkte) Lösen Sie das Post’sche Korrespondenzproblem für folgende Eingaben:
(a) (5 Punkte) x 1 ,...,x 5 = abb,a,bab,baba,aba; y 1 ,...,y 5 = bbab,aa,ab,aa,a.
(b) (5 Punkte) x 1 ,...,x 5 = a,baa,abab,aabb,abb; y 1 ,...,y 5 = ab,ba,bbaa,bbba,bba.
(c) (0Punkte)x 1 ,...,x 10 = d,de,deh,deh,deh,deha,deha,wa,wa,wah;y 1 ,...,y 10 =
add,e,de,d,deha,eh,d,w,wah,wa; Welches sind die zwei kürzesten Lösungen?
68. NachdemSatzvonRiceistdieSprache{〈M〉 | L(M) enthält mindestens zwei Wörter}
unentscheidbar. Ist sie rekursiv aufzählbar? (0 Punkte)
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Grundlagen der theoretischen Informatik, SS 2011 — 9. Übungsblatt
Abgabe Mittwoch, 22. Juni 2011, 10:15 Uhr
69. (10 Punkte) Entwerfen Sie kontextsensitive Grammatiken für folgende Sprachen:
(a) (5 Punkte) {ww | w ∈ {0,1} ∗ , w ≠ ε}
(b) (5 Punkte) {0 n 1 n 2 n | n ≥ 1}
(c) (0 Punkte) {0 n2 | n ≥ 1}
(d) (0 Punkte) {0 n | n > 1 und n ist keine Primzahl}
(e) (0 Punkte) {0 2n | n ≥ 0}
70. (0 Punkte) Der erste Satz dieser Aufgabe ist ein Beispiel eines grammatikalisch korrekten
Satzes. Analysieren Sie diesen Satz gemäß der nachstehenden rudimentären kontextfreien
Grammatik:
S → NG VG, NG → NG Att, NG → Art NG ′ , NG → NG ′ , NG ′ → Adj NG ′ ,
NG ′ → N, NG → Pro, Att → NG, Att → Präp NG, VG → V, VG → V Obj,
VG → V Pr, VG → VG Erg, Obj → NG, Erg → Präp NG, Pr → Adj, Pr →
NG, Adj → Adv Adj.
(S = Satz, NG = Nominalgruppe, NG ′ = Nominalgruppe ohne Artikel, VG = Verbgruppe,
Att = Attribut, Art = Artikel, Adj = Adjektiv, Adv = Adverb, N = Hauptwort
(Nomen), Pro = Pronomen, Obj = Objekt, Erg = Modalobjekt, Pr = Prädikat.)
Warum passt der zweite Satz dieser Aufgabe nicht zu dieser Grammatik?
71. (10 Punkte, aus einer alten Probeklausur) Die kontextfreie Grammatik
S → S +S ∣ ∣ S ∗S ∣ ∣ (S) ∣ ∣ Z
Z → 0 ∣ ∣ 1 ∣ ∣ 2 ∣ ∣ 3 ∣ ∣ 4 ∣ ∣ 5 ∣ ∣ 6 ∣ ∣ 7 ∣ ∣ 8 ∣ ∣ 9
für einfache arithmetische Ausdrücke mit einzelnen Ziffern als Operanden ist mehrdeutig,
weil zum Beispiel für den Ausdruck 3+4∗5 aus der Grammatik nicht hervorgeht,
ob 3+4 oder 4∗5 zuerst berechnet werden soll. Geben Sie alle möglichen Syntaxbäume
und mindestens drei verschiedene Linksableitungen für das Wort 3+4∗5+(6) an.
72. (0 Punkte) Konstruieren Sie eine kontextfreie Grammatik für die Sprache der Wörter
über {0,1}, die kein Palindrom sind: L = {w | w ≠ w R }
73. (10 Punkte) Beweisen Sie, dass die Grammatik G mit den Regeln S → aS ∣ ∣ SS ∣ ∣
aSbS ∣ ∣ ε genau die Wörter über {a,b} erzeugt, in denen jeder Präfix mindestens so
viele a’s wie b’s enthält.
74. (0 Punkte) Chomsky-Normalform (CNF)
WandelnSiediefolgendeGrammatiküberdemTerminalalphabetΣ = {a}inChomsky-
Normalform um: S → AAB ∣ ∣ ABA, A → BS ∣ ∣ SB ∣ ∣ a, B → AS ∣ ∣ ε
75. (0 Punkte) Algorithmus von Cocke, Younger, und Kasami
Prüfen Sie mit dem CYK-Algorithmus nach, dass das Wort a−a∗a∗a von der folgenden
Grammatik erzeugt wird. Geben Sie einen Syntaxbaum und eine Linksableitung (für
die umgewandelte Grammatik) an. Ist der Syntaxbaum eindeutig?
S → S ∗A ∣ ∣ A−A,
A → A∗A ∣ ∣ a
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Grundlagen der theoretischen Informatik, SS 2011 — 10. Übungsblatt
Abgabe Mittwoch, 29. Juni 2011, 10:15 Uhr
76. (0 Punkte) Übersetzen Sie den folgenden vereinfachten Ausschnitt aus der Syntax der
ProgrammierspracheJavaausderEBNF(extendedBackus-Naur-Form)inentsprechende
kontextfreie Regeln:
TryBlock ::= try Block Catches ∣ try Block [ Catches ] finally Block
Catches ::= CatchClause { CatchClause }
CatchClause ::= catch ( Exception Identifier ) Block
Exception ::= Identifier
Die Terminalsymbole sind hier fett gedruckt. Sie können die Variablen durch passende
einbuchstabige Namen abkürzen. (Wozu dient eigentlich die Variable ”
Exception“, die
man doch genausogut zusammen mit der Regel ”
Exception ::= Identifier“ eliminieren
könnte?)
77. Chomsky-Normalform (CNF) (10 Punkte)
WandelnSiediefolgendeGrammatiküberdemTerminalalphabetT = {0,1}inChomsky-
Normalform um.
S → 0A0 ∣ 1B1 ∣ BB
A → C
B → S ∣ A
C → S ∣ ε
78. Algorithmus von Cocke, Younger, und Kasami (10 Punkte)
Prüfen Sie mit dem CYK-Algorithmus nach, dass das Wort 001100 von der Grammatik
dervorigenAufgabeerzeugtwird.GebenSieeinenSyntaxbaumund eineLinksableitung
(für die umgewandelte Grammatik) an. Ist der Syntaxbaum eindeutig?
79. Reguläre Ausdrücke (0 Punkte)
(a) Schreiben Sie eine kontextfreie Grammatik für die durch den regulären Ausdruck
(0|1 ∗ )·(0|01|ε)
über dem Alphabet {0,1} definierte Sprache.
(b) Wie kann man allgemein für einen regulären Ausdruck eine entsprechende kontextfreie
Grammatik erzeugen?
80. Kontextfreie Sprachen, Pumping-Lemma (10 Punkte)
Welche der folgenden Sprachen sind kontextfrei? Beweisen Sie Ihre Antworten.
(a) (0 Punkte) L 1 = {w¯w | w ∈ {0,1} ∗ }, wobei ¯w das Wort bezeichnet, das aus w
durch Vertauschen von Nullen und Einsen entsteht.
(b) (0 Punkte) L 2 = {0 5 1 n−5 0 n | n ≥ 5}
(c) (5 Punkte) L 3 = {bin(x)#bin(y)#bin(x + y) | x ≥ 1} ⊂ {0,1,#} ∗ . Hier steht
bin(x) für die Binärdarstellung der Zahl x ohne führende Nullen.
(d) (5 Punkte) Im Lande Lalapak gibt es Münzen zu 5 und zu 7 Lewonzen.
L 4 = {0 n | der Betrag von n Lewonzen kann mit diesen Münzen ohne Herausgeben
bezahlt werden}.
81. (0 Punkte) Welche der Sprachen in Aufgabe 80 sind regulär? Welche sind kontextsensitiv?
Welche sind entscheidbar, und welche sind Typ-0-Sprachen?
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Grundlagen der theoretischen Informatik, SS 2011 — 11. Übungsblatt
Freiwillige Zusatzaufgaben. Sie können maximal drei Aufgaben abgeben, um zusätzliche
Punkte zu bekommen. Abgabe Mittwoch, 29. Juni 2011, 10:15 Uhr
82. Entscheidbarkeit (5 Punkte). Wahr oder falsch? Begründung?
(a) Jede entscheidbare Sprache ist eine Typ-0-Sprache.
(b) Keine Typ-0-Sprache ist entscheidbar.
(c) Jede Typ-1-Sprache ist entscheidbar.
(d) Jede entscheidbare Sprache ist eine Typ-2-Sprache.
(e) Keine Typ-0-Sprache ist eine reguläre Sprache.
83. Welche der folgenden Sprachen sind kontextfrei? Welche sind regulär? (5 Punkte)
(a) (2 Punkte) L 1 = {0 m 1 n | m = n oder m = 2n}
(b) (0 Punkte) L 2 = {0 m 1 n | m = n 2 }
(c) (0 Punkte) Das Komplement der Sprache {0 m 1 m 0 m | m ≥ 0}
(d) (3 Punkte) L 4 = {0 m 1 n 0 k | m = n+k}
84. (5 Punkte) Wie kann man entscheiden, ob eine kontextfreie Grammatik eine endliche
Sprache erzeugt?
85. (5 Punkte) Geben Sie für die Grammatik S → QC | AR, Q → aQb | ε, C → cC | ε,
R → bRc | ε, A → aA | ε, Ableitungsbäume für die Wörter w 1 = abbcc, w 2 = abccc,
und w 3 = abc an.
86. Das Post’sche Korrespondenzproblem und kontextfreie Sprachen (5 Punkte)
(a) Zeigen Sie: Für gegebene x 1 ,...,x k ∈ Σ ∗ ist die Sprache {a in a in−1 ...a i1 x i1 x i2 ...
x in | n ≥ 1, 1 ≤ i j ≤ k}kontextfrei,wobeia 1 ,a 2 ,...,a k neueBuchstabensind,die
nicht zu Σ gehören. (Versuchen Sie, mit möglichst wenigen Regeln auszukommen.)
(b) BeweisenSie:ZujedemPost’schenKorrespondenzproblemkannmanzweikontextfreieGrammatiken
G 1 und G 2 konstruieren, sodass das Post’schen Korrespondenzproblem
genau dann eine Lösung hat, wenn L(G 1 )∩L(G 2 ) ≠ ∅.
Was folgt daraus für das entsprechende Entscheidungsproblem für kontextfreie
Grammatiken?
87. Zeigen Sie, dass die Chomsky-Hierarchie echt ist: Geben Sie eine Typ-0-Sprache an,
die keine Typ-1-Sprache ist. Geben Sie eine Typ-1-Sprache an, die keine Typ-2-Sprache
ist. Geben Sie eine Typ-2-Sprache an, die keine Typ-3-Sprache ist. (Und geben Sie eine
Sprache an, die keine Typ-0-Sprache ist.)
88. (a) Geben Sie eine kontextfreie Grammatik für die Sprache L 1 an:
L 1 = {w ∈ {a,b} ∗ | w enthält gleich viele a’s wie b’s}
(b) Geben Sie eine kontextfreie Grammatik für die Sprache
L 2 = {w | w enthält doppelt so viele a’s wie b’s}
über dem Alphabet T = {a,b} an.
(c) Lösen Sie dieselbe Aufgabe über dem Alphabet {a,b,c}.
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Grundlagen der theoretischen Informatik, SS 2011 — Klausur
Jede Aufgabe hat 12 Punkte.
Abgabe bis Montag, 4. Juli 2011, 11:45 Uhr
1. Wahr oder falsch? Begründen Sie Ihre Antworten.
(a) Wenn A in einer regulären Sprache B enthalten ist, dann ist A entscheidbar.
(b) Es gibt einen nichtdeterministischen endlichen Automaten A, der weniger
Zustände enthält als jeder deterministische endlichen Automat, der die gleiche
Sprache akzeptiert.
(c) Die Schnittmenge zweier entscheidbarer Sprachen ist entscheidbar.
(d) Jede reguläre Sprache ist kontextfrei.
(e) Es gibt Typ-0-Sprachen, die unentscheidbar sind.
(f) Jede endliche Sprache ist regulär.
2. Beweisen Sie, dass die Dyck-Sprache, die von der Grammatik
S → (S) | SS | ε
über dem Alphabet {(,)} erzeugt wird, nicht regulär ist. Sie dürfen Sätze aus der
Vorlesung oder von den Übungsblättern (zum Beispiel das Pumping-Lemma oder
Abschlusseigenschaften) verwenden, aber Eigenschaften von bestimmten Sprachen
müssen Sie beweisen.
3. Wie kann man für zwei gegebene DEAs M 1 und M 2 entscheiden, ob L(M 1 ) ⊆
L(M 2 ) ist?
Skizzieren Sie Ihren Lösungsweg in einigen Sätzen.
4. Konstruieren Sie einen regulären Ausdruck für die Wörter über dem Alphabet
{a,b}, die aaa nicht als Teilwort enthalten. Begründen Sie, warum Ihre Konstruktion
korrekt ist.
5. Wandeln Sie die folgende Grammatik über dem Terminalalphabet T = {0,1} in
Chomsky-Normalform um:
S → BAA ∣ ∣ ABB
A → BS ∣ ∣ SB ∣ ∣ B1 ∣ ∣ A0
B → SA ∣ ∣ ε
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Grundlagen der theoretischen Informatik, SS 2011 — Klausur
Jede Aufgabe hat 12 Punkte.
Abgabe bis Donnerstag, 13. Oktober 2011, 15:45 Uhr
1. Wahr oder falsch? Begründen Sie Ihre Antworten.
(a) Es ist unentscheidbar, ob für die von einer gegebenen Turingmaschine akzeptierte
Sprache die leere Sprache ist.
(b) Jede entscheidbare Sprache ist eine Typ-2-Sprache.
(c) Wenn L 1 und L 2 entscheidbar sind, dann ist auch L 1 L 2 entscheidbar.
(d) Jede kontextfreie Sprache ist regulär.
(e) Es gibt Typ-2-Sprachen, die unentscheidbar sind.
(f) Es gibt eine Sprache A, die nicht regulär ist, die aber in einer regulären
Sprache B als Teilmenge enthalten ist.
2. Beweisen Sie, dass die Sprache
L = {0 m 1 n 2 k | m+k = n}
über dem Alphabet {0,1,2}, nicht regulär, aber kontextfrei ist. Sie dürfen Sätze
aus der Vorlesung oder von den Übungsblättern (zum Beispiel das Pumping-
Lemma oder Abschlusseigenschaften) verwenden, aber Eigenschaften von bestimmten
Sprachen müssen Sie beweisen.
3. Beweisen Sie, dass für eine reguläre Sprache L ⊆ Σ ∗ die Menge der Präfixe ihrer
Wörter, {x ∈ Σ ∗ | es gibt ein y ∈ Σ ∗ mit xy ∈ L}, wieder eine reguläre Sprache
ist.
Hinweis: Es genügt, in einem endlichen Automaten, der L akzeptiert, die akzeptierenden
Zustände neu zu definieren.
4. Bestimmen Sie für die Sprache
L = { w ∈ {a,b} ∗ | neben jedem a steht mindestens ein weiteres a }
(a) einen deterministischen endlichen Automaten mit möglichst wenigen Zuständen,
(b) die Äquivalenzklassen der Nerode-Relation.
5. Geben Sie für die Grammatik
S → QC | AR Q → aQb | ε C → cC | ε
R → bRc | ε
A → aA | ε
Ableitungsbäume für die Wörter w 1 = abbcc, w 2 = abccc, und w 3 = abc an.
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