Grundlagen der theoretischen Informatik, SS 2011 â 1. Â¨Ubungsblatt

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Grundlagen der theoretischen Informatik, SS 2011 — 6. Übungsblatt Abgabe Mittwoch, 1. Juni 2011, 10:15 Uhr 41. Das Pumping-Lemma (9 Punkte) Zeigen Sie mit dem Pumping-Lemma, dass die folgenden Sprachen nicht regulär sind. (a) DieMengeallerZeichenreihenüberdemAlphabet{(,)}mitkorrektgeschachtelten Klammern. (b) {0 n 10 n | n ≥ 0} (c) {xx | x ∈ {0,1} ∗ } 42. Das Pumping-Lemma (6 freiwillige Zusatzpunkte) Zeigen Sie mit dem Pumping-Lemma, dass die folgenden Sprachen nicht regulär sind. (a) {x1 n | n ≥ 0, x ∈ {0,1} ∗ , |x| = n} (b) {xx R | x ∈ {0,1} ∗ }, (die Menge aller Palindrome gerader Länge) 43. Das Pumping-Lemma Zeigen Sie (mit dem Pumping-Lemma, oder auf andere Art), dass die Sprachen L 1 = {a m b n | m ≠ n} und L 2 = {0 n | n ist eine Primzahl} nicht regulär sind. 44. Abschlusseigenschaften (9 Punkte) (a) BeweisenSie:WennLregulärist,dannistauchdiegespiegelteSpracheL R regulär. (b) Beweisen Sie: Wenn L ⊆ Σ ∗ 1 regulär ist und h: Σ∗ 1 → Σ∗ 2 ein Homomorphismums ist, dann ist auch die Bildsprache h(L) = {h(x) | x ∈ L} regulär. (c) Kann h(L) auch regulär sein, wenn L nicht regulär ist? Finden Sie ein Beispiel, oder beweisen Sie, dass es nicht möglich ist. 45. Abschlusseigenschaften Beweisen Sie auf direktem Weg, indem Sie eine der Charakterisierungen regulärer Sprachen verwenden, dass die regulären Sprachen abgeschlossen bezüglich inversem Homomorphismus sind: Wenn L ⊆ Σ ∗ 2 regulär ist und h: Σ∗ 1 → Σ∗ 2 ein Homomorphismus ist, dann ist auch die Urbildsprache h −1 (L) = {x | g(x) ∈ L} regulär. 46. Abschlusseigenschaften (8 Punkte) Wie kann man für zwei gegebene DEAs M 1 und M 2 entscheiden, ob L(M 1 ) = L(M 2 ) ist? (Siehe auch Aufgabe 30.) Skizzieren Sie Ihren Lösungsweg in einigen Sätzen. 47. Multiplikation auf einer Turing-Maschine (7 Punkte) Konstruieren Sie eine Turingmaschine, die zwei ” unäre“ Zahlen multipliziert. Bei Eingabe von 0 m #0 n soll die Ausgabe 0 mn berechnet werden. 48. WelchecharakteristischeEigenschafthabendieWörterderSpracheL = (ε|0|00)(0|10 ∗ 1) ∗ 0 ∗ ? Beweisen Sie Ihre Behauptung! Gibt es einen einfacheren regulären Ausdruck für L? 49. Die Nerode-Relation Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen der Nerode-Relation für die Sprachen 8
(a) L 1 = {0,1} 4 (b) L 2 = {a m b n | m ≠ n} (c) L 3 = {0,1} 2 10 ∗ 50. Binäre Multiplikation. Unterprogramme. In der Vorlesung wurde eine Turingmaschine vorgestellt, die die Summe zweier positiver Zahlen in Binärdarstellung berechnet. 1 Bei Eingabe von bin(x)#bin(y)$ und Start im Zustand q 1 hält die Maschine im Zustand q F mit der Ausgabe bin(x + y)#bin(y)$ und dem Kopf auf dem ersten Eingabesymbol. (Die Notation bin(x) ∈ {0,1} ∗ ist eine Darstellungvonx ∈ NinBinärdarstellung.)DerBandinhaltrechtsvom$-Zeichenbleibt dabei unverändert stehen. Erweitern Sie diese Maschine zu einer Maschine, die zwei positive Binärzahlen multipliziert: Bei Eingabe von bin(x)$bin(y) soll die Maschine die Ausgabe bin(x·y) berechnen. Ihre Maschine soll die Addiermaschine aus der Vorlesung als ” Unterprogramm“ benutzen, indem Sie an geeigneten Stellen in den Zustand q 1 übergeht. Der Zustand q F ist dann kein Haltezustand mehr, sondern die Rechnung wird danach fortgesetzt. Beschreiben Sie Ihren Algorithmus zunächst in Worten. 51. Einseitig unendliches Band Wie kann man jede Turingmaschine ohne Zeitverlust durch eine Turingmaschine simulieren, die sich nie über das erste Eingabezeichen nach links hinausbewegt? 52. Fleißige Biber (siehe auch Aufgabe 5d) Entwerfen Sie eine Turingmaschine mit 2 Zuständen (zusätzlich zu einem Haltezustand) und dem Bandalphabet Γ = {1,B}, die mit dem leeren Band beginnt, nach endlich vielen Schritten anhält, und dabei eine möglichst lange fortlaufende Folge von Einsen auf das Band schreibt. 53. Definieren Sie formal die Nachfolgerrelation xqy ⊢ x ′ q ′ y ′ für Konfigurationen einer Turingmaschine mit gegebener Überführungsfunktion δ. (q,q ′ ∈ Q, x,x ′ ∈ {ε} ∪ (Γ − {B})Γ ∗ , y,y ′ ∈ {ε}∪Γ ∗ (Γ−{B}).) Zum Beispiel gilt qay ⊢ q ′ y für q ∈ Q,a ∈ Γ,y ∈ Γ ∗ , und δ(q,a) = (q ′ ,B,+1); qay ⊢ q ′ Bby für q ∈ Q,a ∈ Γ,y ∈ Γ ∗ , δ(q,a) = (q ′ ,b,−1), und y ≠ ε oder b ≠ B. Beschreiben Sie auch alle übrigen Fälle. 54. Schleife-Berechenbarkeit und ” Diagonalisierung“ (a) Die Funktion u: N → N gibt den größten Wert u(n) an, den ein Schleife- Programm mit n Anweisungen und allen Eingaben auf 0 am Ende in X0 berechnen kann (vgl. Aufgabe 5d). Ist u berechenbar (auf einer Turingmaschine)? (b) Beweisen Sie: Wenn f 1 ,f 2 : N → N zwei Schleife-berechenbare Funktionen sind (im Sinne von Aufgabe 1), dann ist auch ihre Verknüpfung g mit g(n) = f 2 (f 1 (n)) Schleife-berechenbar. Beweisen Sie eine obere Schranke für die Länge des kürzesten Programmes für g, wenn f 1 und f 2 mit n 1 bzw. n 2 Anweisungen berechnet werden können. (c) Konstruieren Sie eine Funktion f: N → N, die nicht Schleife-berechenbar ist (zum Beispiel eine Variante der Funktion u aus Teil a). 55. Wenn die Taste - auf der Tastatur kaputt ist, kann man den Befehl Xi = Xi - 1 zum Herunterzählen in der Programmiersprache Schleife (Aufgabe 5) nicht verwenden. Wie kann man diesen Befehl durch die übrigen Befehle simulieren? 1 http://www.inf.fu-berlin.de/lehre/SS11/GTI/tm-Beispiel.pdf ist eine Variante davon. 9
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