Petri-Netz System Simulation Analyse Modellierung Vergleich ...

4 Anwendung der Petri-Netze für die Modellierung
4.1 Methodisches Vorgehen bei der Modellierung mit Petri-Netzen
Die Erstellung eines Petri-Netzes als Modell für ein parallel arbeitendes System, das
bereits existiert oder noch zu konstruieren ist, ist meist ein iterativer Prozeß. Mit Hilfe der
Simulation und insbesondere der Analyse werden die Eigenschaften des Petri-Netz-
Modells ermittelt und mit den gewünschten Systemeigenschaften verglichen.
Abweichungen können ihre Ursache in einer fehlerhaften bzw. unvollständigen
Modellierung haben oder einen Hinweis auf ein nicht korrekt arbeitendes bzw. nicht korrekt
konzipiertes System geben. Modifikationen des Petri-Netzes sind die Konsequenz. Dieses
Vorgehen ist in Abbildung 4.1.1 skizziert.
System
Vergleich
Modellierung
Modifikationen
Eigenschaften
des Modells
Petri-Netz
Simulation
Analyse
Abb. 4.1.1: Iteratives Vorgehen bei der Modellierung mit Petri-Netzen
Der erstmalige Prozeß der Modellierung eines Petri-Netzes verlangt
ein stufenweises Vorgehen:
1.Stufe: a) Interpretation für Plätze bzw. Transitionen,
d.h. welche Elemente des realen Systems entsprechen
den passiven Elemente und welche den aktiven Elemente?
(mögliche Interpretationen sind in Tabelle 4.1 zu finden),
b) lokalen kausalen Platz-Transitions-Zusammenhang formulieren,
d.h. Vor- und Nachplätze einer Transition bzw.
Vor- und Nachtransitionen eines Platzes festlegen,
2.Stufe:
Entwurf eines zusammenhängenden Prozeßnetzes aus Teilnetzen,
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3.Stufe:
Festlegung einer Anfangsmarkierung und einer Schaltregel,
um das dynamische Systemverhalten zu untersuchen.
Plätze
(passive Elemente)
Zustände
Aussagen
Reagenzien
Sprachen
Materialien
Speicher
Transitionen
(aktive Elemente)
Übergänge
Beweise
chemische Reaktionen
Übersetzer
Produktionsaktivitäten
Prozessoren
Tabelle 4.1: Interpretationen für Plätze und Transitionen
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4.2 Beispiele für die Modellierung mit Petri-Netzen
Das im vorhergehenden Kapitel skizzierte Vorgehen soll nun an einigen Beispielen gezeigt
werden.
4.2.1 Sender-Empfänger-Modell
Als Modifikation des Erzeuger-Verbraucher-Systems wird jetzt ein Nachrichtensystem
bestehend aus einem Sender, einem Empfänger und einem Übertragungskanal betrachtet
(ein reales Beispiel hierfür ist ein Rohrpostsystem):
1. Variante
1) Ein Sender gelangt aus einem Wartezustand in einen Bereitzustand und umgekehrt.
2) Im Bereitzustand kann der Sender entweder eine Nachricht senden oder in seinen
Endzustand übergehen.
3) Die gesendeten Nachrichten werden vom Sender in einem Kanal abgelegt
(, der maximal zwei Nachrichten aufnehmen kann).
4) Ein Empfänger gelangt von einem Wartezustand in einen Bereitzustand und
umgekehrt.
5) Im Bereitzustand kann der Empfänger entweder eine Nachricht aus dem Kanal
entnehmen oder in seinen Endzustand übergehen.
6) Im Anfangszustand befinden sich der Sender und der Empfänger im Bereitzustand,
und der Kanal sei leer.
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Abb. 4.2.1: Sender-Empfänger-Modell - 1. Variante
Abbildung 4.2.1 zeigt die Realisierung der 1. Variante als Platz-Transitions-Netz. Sie ist
jedoch unbefriedigend, da der Empfänger auch dann in seinen Endzustand übergehen
kann, wenn
(i) der Sender sich noch nicht in seinem Endzustand befindet,
(d.h. er könnte eventuell später noch senden) bzw.
(ii) der Kanal noch nicht leer ist.
Um diese Übergänge auszuschließen, wird unser Modell wie folgt erweitert:
2. Variante
1) bis 6) nach Variante 1,
7) Es wird ein komplementärer Kanal zwischen Empfänger und Sender eingerichtet. In
ihm wird die freie Kapazität des Übertragungskanals gezählt (z.B. Anzahl der leeren
Rohrpostbehälter). Der Sender reduziert beim Senden einer Nachricht die freien
Kapazitäten um eins, während der Empfänger beim Empfangen die freien
Kapazitäten um eins erhöht. Andererseits soll der Empfänger nur dann abschalten,
wenn alle Kapazitäten frei sind, d.h. der Übertragungskanal demzufolge keine
Nachricht enthält. Zum Systemstart sei die maximale Anzahl von zwei freien
Kapazitäten verfügbar.
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Bemerkung:
Der Test eines Platzes auf Null Marken wird als Nulltest eines Platzes bezeichnet.
Das hier beschriebene Vorgehen der Einführung eines Coplatzes für den Nulltest
funktioniert jedoch nur, wenn die Kapazität des zu testenden Platzes beschränkt ist,
da der Coplatz die um die Anfangsmarkierung des zu testenden Platzes reduzierte
Kapazität des zu testenden Platzes als Anfangsmarkierung erhält. Eine derartige
Beschränkung der Kapazität ist für die meisten Praxisanwendungen gegeben.
8) Wir führen einen weiteren Kanal ein, über den der Empfänger die
Fertigmeldung des Senders erhält. Der Empfänger soll nur dann in seinen
Endzustand übergehen können, wenn er bereit und der Sender fertig ist.
Abbildung 4.2.2 beinhaltet das Sender-Empfänger-Modell mit den beiden zusätzlichen
Plätzen Kanlfrei und S_fertig und den erforderlichen Bögen.
Abb. 4.2.2: Sender-Empfänger-Modells - 2. Variante
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Dieses Sender-Empfänger-Modell wird nun in eine Umgebung eingebettet, die seinen
Wiederanlauf steuert.
3. Variante:
9) Wenn Sender und Empfänger in ihren Endzustand übergehen, geben
sie ein entsprechendes Ausschaltsignal an die Umgebung ab.
10) Der Wiederanlauf von Sender und Empfänger erfolgt synchron, d.h.
erst wenn beide Ausschaltsignale vorhanden sind, dürfen beide
mit dem Wiederanlauf beginnen.
11) Bei den weiteren Vorbereitungen auf den Betrieb gehen Sender und
Empfänger in den Bereitzustand über und der Kanal wird auf die volle
freie Kapazität gebracht.
Das so vervollständigte Modell ist in Abbildung 4.2.3 dargestellt.
Abb. 4.2.3: Sender-Empfänger-Modell - 3. Variante
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Wenn das Sender-Empfänger-Modell korrekt modelliert ist, so besitzt es folgende
Eigenschaften:
(E1) Sender und Empfänger befinden sich in jedem Fall in genau
einem Zustand aus Menge {S_wartet, S_bereit, S_Ende} bzw.
{E_wartet, E_bereit, E_Ende}.
(E2) Der Platz Kanal enthält niemals mehr als 2 Marken.
(E3) Der Sender (bzw. Empfänger) ruht genau dann, wenn er ein entsprechendes Signal
an die Umgebung gegeben hat. Den Ruhezustand kann er nur durch ein Signal aus
der Umgebung wieder verlassen.
(E4) Wenn der Sender in seinen Ruhezustand übergegangen ist, so kann er ihn erst
dann wieder verlassen, wenn vorher auch der Empfänger seinen Ruhezustand
eingenommen hat.
(E5) Der Empfänger ist in seiner Entscheidung zu empfangen oder in seinen
Ruhezustand überzugehen, völlig abhängig vom Sender. In der Situation E_bereit
tritt niemals ein Konflikt auf, d.h. niemals sind E_empfgt und E_aussch zugleich
aktiviert.
(E6) Der Empfänger kann nur dann in seinen Ruhezustand übergehen,
wenn der Kanal leer und der Sender in seinem Ruhezustand ist.
Diese Eigenschaften lassen sich mit Hilfe von Invarianten (siehe Kapitel 5.9) nachweisen.
Um ein Sender-Empfänger-Modell mit unbegrenzter Kanalkapazität korrekt zu
modellieren, ist die Klasse der Platz-Transitions-Netze nicht geeignet. Hierfür sind Höhere
Petri-Netz-Klassen erforderlich (siehe Kapitel 7).
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4.2.2 Fünf-Philosophen-Problem
Ein weiteres, sehr bekanntes Problem ist das auf Dijkstra zurückgehende
Fünf-Philosophen-Problem (Five Philosophers Dining Problem):
Fünf Philosophen leben gemeinsam in einem Haus. Ihr Leben besteht abwechselnd aus
Denken, Essen und Schlafen. Während die Resultate ihres Denkens und auch ihre
Schlafgewohnheiten von geringem Interesse sind, entsteht beim Essen ein echtes
Problem: Die Philosophen nehmen ihre Mahlzeiten an einem gemeinsamen runden Tisch
ein, an dem jeder seinen festen Platz mit eigenem Teller hat. Es wird eine Fischart
gegessen, die nur mit zwei Gabeln verzehrt werden kann. Zwischen zwei Tellern liegt
jedoch nur eine Gabel (siehe Abbildung 4.2.4):
Abb. 4.2.4: Fünf Philosophen beim Essen von Fisch
Aufgabe: Es ist ein optimaler Algorithmus zu entwickeln, der ohne Vorschrift individueller
Essenszeiten die Gabelverteilung so regelt, daß kein Philosoph verhungert.
Selbstverständlich ist vorausgesetzt, daß ein essender Philosoph gelegentlich satt wird,
seine Gabeln säubert und sie zurücklegt.
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Variante 1 a):
Ein hungriger Philosoph greife zunächst nach der linken Gabel. Hat er diese, so greife er
nach der rechten Gabel. Erhält er diese ebenfalls, so darf er essen. In den beiden anderen
Fällen muß er warten.
Abb. 4.2.5: Lebenszyklus des Philosophen 1 für Variante 1 a)
Die Gesamtlösung für Variante 1 erhält man, indem die einzelnen Lebenszyklen der
Philosophen gemäß Abbildung 4.2.5 übereinandergelegt werden, wobei die gleich
bezeichneten Bedingungen fork1 bis fork5 verschmolzen werden (siehe die gestrichelten
Linien). Daraus ergibt sich, daß zwei benachbarte Philosophen nicht gleichzeitig essen
können.
Analyse:
Wenn alle Philosophen gleichzeitig hungrig sind und alle ihre linke Gabel nehmen, dann
erhält kein Philosoph seine rechte Gabel. ==> Alle Philosophen verhungern.
Das stellt eine (totale) Systemverklemmung (Deadlock) dar.
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Variante 1 b):
Wie die Variante 1 a) aber mit einer Zusatzregel:
Falls ein Philosoph, der die linke Gabel hat, die rechte Gabel nicht erhält, so kann er die
linke Gabel zurücklegen. Diese Lösung zeigt Abbildung 4.2.6.
Abb. 4.2.6: Lebenszyklus des Philosophen 1 für Variante 1 b)
Analyse:
Jetzt gibt es kein Deadlock. Falls jedoch alle Philosophen im "Takt" die linke Gabel
nehmen und dann wieder hinlegen, dann verhungern ebenfalls alle Philosophen. Das
System ist mit sich selbst beschäftigt und die schaltfähigen Transitionen "eatsi" sind daran
nicht beteiligt. Man spricht hier von einem Livelock.
Variante 2:
Wie Variante 1a) mit der Zusatzregel, daß der Gabelzugriff exklusiv nur einem
Philosophen gestattet ist, d.h. wenn ein Philosoph beide Gabeln erhalten hat, gibt er das
Exklusivrecht zurück und ein anderer Philosoph kann auf die Gabeln zugreifen.
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Diese Variante ist für Philosoph 1 in Abbildung 4.2.7 skizziert.
Abb. 4.2.7: Lebenszyklus des Philosophen 1 für Variante 2
Analyse:
Die Exklusivität des Zugriffes sichert, daß kein Deadlock entsteht. Der Algorithmus ist
allerdings nicht optimal:
Es kann nämlich ein Philosoph am Essen gehindert werden, auch wenn dessen beide
Gabeln frei sind. Nehmen wir an Philosoph 1 esse gerade. Dann sind die Gabeln 1 und 2
belegt. Nun möge Philosoph 5 hungrig werden und seine linke Gabel 5 nehmen, die rechte
Gabel 1 erhält er allerdings nicht, da diese ja Philosoph 1 hat. Wenn nun Philosoph 3 an
den Tisch kommt, muß er warten, obwohl doch seine beiden Gabeln 3 und 4 frei sind, da
Philosoph 5 bereits das Exklusivrecht besitzt. Neben dem Philosophen 3 hat Philosoph 5
auch Philosoph 4 am Essen gehindert, da er ihm die Gabel 5 weggenommen hat, obwohl
ihm diese nichts nützt.
Schlußfolgerung:
Ein Philosoph sollte eine Gabel nur erhalten, wenn er auch die andere Gabel erhalten
kann.
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