13. Übung

Fakultät Informatik • Institut für Theoretische Informatik • Lehrstuhl Grundlagen der Programmierung
Prof. Dr. H. Vogler / Dr. T. Stüber
http://www.orchid.inf.tu-dresden.de
Algorithmen und Datenstrukturen
13. Übungsblatt
Zeitraum: 21. – 25. Januar 2013
Aufgabe 1 (AGS 9.53)
Der kantenbewertete Graph G sei durch folgende graphische Darstellung gegeben:
2
13
5
6
1
3
3
4
1
2 3 7
6
8
7
4
2
2
11
4
1
7
(a) Berechnen Sie mit Hilfe des Dijkstra-Algorithmus die minimalen Entfernungen vom Knoten
mit der Nummer 1 zu allen erreichbaren Knoten. Protokollieren Sie schrittweise die aktuelle
Randknotenmenge und den zugehörigen Auswahlknoten. Geben Sie abschließend für alle berechneten
kürzesten Wege die jeweils zu durchlaufende Knotenfolge (Pfadtabelle) an.
(b) Geben Sie die Pfadtabelle für eine weitere Lösung an, die die gleichen minimalen Entfernungen
wie Teilaufgabe (a) besitzt. An welcher Stelle des Algorithmus im Protokoll von Teilaufgabe
(a) ist diese weitere Lösung erkennbar?
Aufgabe 2 (AGS 9.25)
Gegeben ist der Graph G für ein kürzeste-Wege-Problem:
.
1
5
6
4
5
3
6
3
1
2
4
5
3
6
.
(a) Geben Sie für G die Adjanzenz- und die modifizierte Adjazenzmatrix an.
(b) Für welche i gilt: D (i)
G
= D(i−1) G
? Geben Sie jeweils eine Begründung an!
(c) Berechnen Sie mit Hilfe des Aho-Algorithmus die Distanzmatrix D G . Zwischenschritte brauchen
Sie nicht anzugeben.
1/3

Aufgabe 3 (AGS 9.42)
Für eine Fertigungsanlage gilt das im Graphen G dargestellte Prozessdiagramm, wobei die Symbole
a, b, c, d verschiedene Teilschritte des Fertigungsablaufs kennzeichnen.
{a}
2
{d}
{b}
1 3
{c}
(a) Geben Sie den entsprechenden Semiring an. Sie dürfen die Abkürzung Σ = {a, b, c, d} verwenden.
(b) Geben Sie die modifizierte Adjazenzmatrix an.
(c) Berechnen Sie mit dem Aho-Algorithmus die Matrix D (1)
G .
(d) Ermitteln Sie die Werte D (2) (1, 2) sowie D(2) (1, 3).
G
G
Aufgabe 4 (AGS 11.12)
Im Schach darf der Springer in einem Zug immer zwei Felder geradeaus und dann ein Feld links
oder rechts davon gesetzt werden. Je nach Position des Springers ergeben sich somit bis zu acht
verschiedene Zugmöglichkeiten. Diese seien mit a bis h bezeichnet und in Abbildung 1 dargestellt
(wobei der Springer hier in der Mitte steht).
Betrachten Sie nun Abbildung 2. Finden Sie mit Hilfe des Backtracking-Verfahrens einen Weg
(Zugfolge), um mit einem Springer von Feld 1 zum Feld 7 zu gelangen. Hierbei ist zu beachten,
dass:
• schraffierte Felder nicht benutzt werden dürfen,
• kein Feld auf einem Weg mehrfach betreten werden darf.
Zeichnen Sie dazu den optimierten Berechnungsbaum bis zur ersten Lösung. Gehen Sie bei der
Wegeerweiterung immer in der Reihenfolge a bis h vor, wenn es in einer Situation mehrere Zugmöglichkeiten
gibt.
g
h
a
b
21
15
11
16
12
17
18
19
13
22
20
14
f
e
d
c
9
6
1
10
7
2
8
3
4
5
Abbildung 1
Abbildung 2
2/3

Zusatzaufgabe 1 (AGS 9.8)
Der gerichtete Graph G = (V, E) sei durch folgende Darstellung gegeben:
2 3
1
5
7
4
6
(a) Wenden Sie auf den Graphen G den DFS-Algorithmus mit dem Startknoten 1 an, und bestimmen
Sie auf diese Weise einen depth-first-forest. Geben Sie mindestens drei unterschiedliche
Lösungen an. Zwischenschritte zu den Lösungen brauchen Sie nicht anzugeben.
(b) Transformieren Sie G in den ungerichteten Graphen G ′ = (V ′ , E ′ ), indem Sie V ′ = V setzen
und E ′ nach der Vorschrift E ′ = E ∪ {(j, i) | (i, j) ∈ E} erzeugen.
Wenden Sie nun auf G ′ den BFS-Algorithmus mit dem Startknoten 1 an, und bestimmen Sie
einen breadth-first-tree. Geben Sie auch hier mindestens drei unterschiedliche Lösungen an. Zwischenschritte
zu den Lösungen brauchen Sie nicht anzugeben.
Achtung! Ausschließliches Vertauschen von Ästen der Lösungsbäume wird hier nicht als weitere
Lösung gezählt!
Zusatzaufgabe 2 (AGS 9.39)
Es soll das durch den unten abgebildeten gewichteten Graphen G gegebene Prozessproblem untersucht
werden.
{a}
G:
1
{b}
2
{c}
3
(a) Geben Sie den entsprechenden Semiring an.
(b) Geben Sie zwei Pfade von Knoten 1 zu Knoten 3 jeweils mitsamt dem Gewicht an.
(c) Geben Sie die modifizierte Adjazenzmatrix an.
(d) Ermitteln Sie D (3) (1, 3) sowie D(3)
G
G (2, 2). Zwischenschritte brauchen Sie nicht anzugeben. 3/3