Formale Systeme WS 2011/2012 Skript zur Vorlesung - Faculty of ...

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Eine Grammatik besteht aus einer Menge von Variablen, auch Nichtterminale genannt, die repräsentativ für herleitbare Wörter stehen. Weiter gibt es eine Menge von Terminalsymbolen. Dies sind die Zeichen des Alphabets Σ, über dem wir eine Sprache definieren möchten. Die Regeln (auch Produktionen genannt) sind Paare (x,y), üblicherweise in Pfeilnotation x → y geschrieben, wobei x und y Wörter gebildet aus Terminalzeichen und Variablen sind. Die einzige Forderung ist, dass das Wort x auf der linken Seite mindestens ein Nichtterminal enthält. Definition 1.2 (Grammatik). Eine Grammatik ist ein Tupel G =(V,Σ,P,S) bestehend aus • einer endlichen Menge V von Variablen (auch Nichtterminale genannt), • einem Alphabet Σ mit V ∩ Σ = ∅, • einem Startsymbol S ∈ V, • einer endlichen Menge P bestehend aus Paaren (x,y) von Wörtern x,y ∈ (V ∪ Σ) ∗ mit x/∈ Σ ∗ , d.h., x enthält wenigstens eine Variable. Σ wird auch Terminalalphabet genannt. Die Elemente von Σ werden als Terminalsymbole oder Terminalzeichen, oder auch Terminale, bezeichnet. Die Elemente von P werden Produktionen oder Regeln genannt. Man nennt P daher auch Produktionssystem oder Regelsystem. Das Produktionssystem wird üblicherweise nicht als Menge von Wortpaaren angegeben. Stattdessen wird eine Pfeilnotation verwendet. Üblich ist die Schreibweise x → y anstelle von (x,y) ∈ P. Entsprechend schreibt man x ↛ y, falls (x,y) /∈ P. Regeln der Form x → ε werden ε-Regeln genannt. Regeln der Form A → B, wobei A und B Nichtterminale sind, werden auch Kettenregeln genannt. Terminalregeln sind Regeln der Form A → a, wobei A ein Nichtterminal und a ein Terminalzeichen ist. Ferner ist x → y 1 ∣ ∣y2 ∣ ∣ ... ∣ ∣ yn eine Kurzschreibweise für die Regeln x → y 1 , x → y 2 , ..., x → y n . 1 Wir werden im Folgenden häufig auf die explizite Angabe der Komponenten V, Σ und S einer Grammatik verzichten, sondern nur das zugehörige Produktionssystem angeben. Wir verwenden Großbuchstaben S,A,B,... für die Nichtterminale und Kleinbuchstaben a,b,c,... am Anfang des (gewöhnlichen) Alphabets für die Terminalzeichen. Werden keine weiteren Angaben gemacht, dann ist S das Startsymbol. Für Wörter über V ∪ Σ verwenden wir meist Kleinbuchstaben wie u,v,w,x,y,z am Ende des Alphabets. 1 Die Backus-Naur-Form, kurz BNF, ist eine weit verbreitete syntaktische Notation, um Produktionssysteme für Grammatiken anzugeben. Neben der oben erläuterten Notation x → y 1 ∣ ∣y2 ∣ ∣ ... ∣ ∣ yn stellt die BNF noch weitere Kurzschreibweisen <strong>zur</strong> Verfügung. Eckige Klammern stehen für Optionen, geschweifte Klammern stehen für beliebig viele Wiederholungen, d.h., x → u[v]w steht für x → uw ∣ ∣ uvw x → u{v}w steht für x → uBw, B → ε ∣ ∣ v ∣ ∣ vB, wobei B eine neue Variable ist. Ferner ist in der BNF-Notation die Verwendung des Symbols “::=” anstelle des Pfeils “→” gebräuchlich. 9
G Idf Beispiel 1.3 (Die Grammatik G Idf ). Zunächst machen wir uns die formale Definition einer Grammatik am Beispiel der Regeln für Identifier klar, siehe Abbildung 4 auf Seite 8. Die Variablenmenge ist V = {S,A,B,Z}, wobei S = Idf . Das Startsymbol ist S = Idf . Das Terminalalphabet ist die Menge der (Klein-)Buchstaben und Ziffern, also Σ = { a,b,...,z,0,1,...,9 } . Die oben angegebenen Regeln stehen für das Produktionssystem P = { (S,BA), (A,ε), (A,BA), (A,ZA) (B,a), (B,b), ..., (B,z) (Z,0), (Z,1), ..., (Z,9) } In Pfeilnotation entspricht dies den Regeln S → BA, A → ε ∣ ∣ BA ∣ ∣ZA und B → a ∣ ∣b ∣ ∣ ... ∣ ∣z sowie Z → 0 ∣ ∣ 1 ∣ ∣ ... ∣ ∣9. Das Anwenden einer Regel bedeutet, dass man in einem bereits hergeleiteten Wort das Teilwort x auf der linken Seite einer Regel x → y durch das Wort y auf der rechten Seite ersetzt. Dies wird durch eine Relation ⇒ bestehend aus Wortpaaren über dem Alphabet V ∪ Σ formalisiert. Üblich ist die Schreibweise u ⇒ v anstelle von (u,v) ∈⇒. Definition 1.4 (Her-/Ableitungsrelationen ⇒ und ⇒ ∗ ). Sei G =(V,Σ,P,S) eine Grammatik. Die Relation ⇒ ist wie folgt definiert. Seien u und v zwei Wörter über dem Alphabet V ∪ Σ. Dann gilt u ⇒ v genau dann, wenn es Wörter x, y, w, z ∈ (V ∪ Σ) ∗ gibt, so dass ⇒ ∗ u = wxz, v = wyz, x → y. Die Herleitungsrelation von G (auch Ableitungsrelation genannt) ⇒ ∗ bezeichnet die reflexive, transitive Hülle von ⇒. Diese ist wie folgt definiert. Sind u,v ∈ (V ∪ Σ) ∗ , so gilt u ⇒ ∗ v genau dann, wenn es eine Folge u 0 ,u 1 ,...,u n von Wörtern u i ∈ (V ∪ Σ) ∗ gibt, so dass u = u 0 ⇒ u 1 ⇒ u 2 ⇒ ... ⇒ u n−1 ⇒ u n = v. Man spricht auch von einer Herleitung (oder Ableitung) von v aus u. Die Länge einer Herleitung ist durch die Anzahl an Regelanwendungen gegeben. Obige Herleitung hat also die Länge n. Der Spezialfall n = 0 ist zugelassen. Es gilt also u ⇒ ∗ u für alle Wörter u ∈ (V ∪ Σ) ∗ . Falls S ⇒ ∗ v (wobei S das Startsymbol ist), so sagen wir, dass v in G herleitbar ist. Es gilt also u ⇒ v genau dann, wenn v aus u durch Anwendung genau einer Regel hervorgeht, d.h., wenn es eine Regel x → y gibt, so dass v aus u entsteht, indem ein Vorkommen von x in u durch das Wort y ersetzt wird. Weiter gilt u ⇒ ∗ v genau dann, wenn sich v aus u durch Anwenden von beliebig vielen (null oder mehreren) Regeln aus u ergeben kann. Das Symbol ⇒ bezeichnet also die “Ein-Schritt-Herleitungsrelation”, während ⇒ ∗ für die “Mehrschritt- Herleitungsrelation” steht. Zur Verdeutlichung, welche Grammatik zugrundeliegt, indizieren wir manchmal die Symbole ⇒ und ⇒ ∗ mit der betreffenden Grammatik, d.h., wir schreiben an manchen Stellen auch ⇒ G statt ⇒ und ⇒ ∗ G statt ⇒∗ . Vereinzelt verwenden wir auch die Schreibweise x → G y statt x → y, um zu verdeutlichen, dass es sich hierbei um eine Regel der Grammatik G handelt. 10
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ist nicht regulär (siehe Seite 44)
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(1) Aus x ∼ L y folgt xa ∼ L ya
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Dann ist K q eine Äquivalenzklasse
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q ≡ p gdw { für alle Wörter z
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Der Minimierungsalgorithmus startet
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Satz 2.50 (Charakterisierung regul
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ε-Freiheit. In Kapitel 1 wurde der
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Da man jeder Ableitung einen Ableit
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Länge 1 in CNF-Grammatiken nur aus
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B 1 B 2 ...B k in G 3 mit k 3 füg
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Größe der konstruierten CNF-Gramm
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Algorithmus 4 Der CYK-Algorithmus (
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Sei z ∈ L mit |z| n. Zu zeigen i
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V G durch. (Siehe Seite 74.) Hierf
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Corollar 3.13. Die Klasse der konte
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3.5.2 Nichtdeterministische Kellera
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Das Symbol ⊢ ∗ K (oder kurz ⊢
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und δ(·)=∅ in allen verbleibend
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(2) Aus (q + ,x,#) ⊢ ∗ (q − ,
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Die formale Definition von K ε ist
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Satz 3.26 (Von NKA zu CFG). Zu jede
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Diese Konfigurationswechsel in K k
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Eine Sprache L heißt deterministis
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für einen Zustand q ∈ Q.DaK dete
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Normalform für den Nachweis des Pu
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2. Teil: Aussagenlogik Die Logik is
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Semantik der Aussagenlogik. Bis hie
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Die Formel γ = x ∨¬(x ∧ y) is
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α ≡ β gdw für alle Belegungen
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Darüber hinaus verwendet man häuf
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Z.B. gilt x ∧ y ⊩ y da für jed
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Lemma 4.10 (Folgerungsrelation und
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Formeln. Wir setzen ∣ ∣ true
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Beispielsweise ist z ∧ (¬x ∨ (
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Konjunktive Normalform (KNF). Eine
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Verknüpft man die Maxterme konjunk
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Wir zeigen nun, dass jede zu α n
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Die KNF-Formeln (x∨¬y)∧¬z, (
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m 1. Sei z ein Stoff, der mittels
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Da alle Klauseln von κ unter I den
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4.3 SAT-Beweiser Neben dem Spezialf
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1. Sonderfall: Keine Klausel. Ist
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Lemma 4.25. Sei α eine KNF-Formel
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Im Folgenden verwenden wir häufig
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Wir sagen, dass das Atom x in α nu
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Lemma 4.31 (Subsumierungsregel). Se
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α n x n /0 x n /1 α n−1 ∧ y n
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Satz 4.35 (Linearzeit-Transformatio
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von α PNF ist durch |α PNF | nach
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β v0 = ((¬x ∨ y) ∧ z) ∨ (x
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Beweis. Falls ⊔∈Res ∗ (α), s
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Definition 4.51 ((Resolutions-)Wide
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{ ⊔,{¬x} } ∩ Res ∗ (α) ≠
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Resolutionsalgorithmus für logisch
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Andere Begriffe und Bezeichnungen,
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κ 1 κ 2 κ 3 κ 4 κ 5 KNF-Formel
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Resolutionsstrategien für Hornform
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