Formale Systeme WS 2011/2012 Skript zur Vorlesung - Faculty of ...

Für den Inklusionstest können wir folgende Beobachtung ausnutzen:
L(M 1 ) ⊆ L(M 2 ) gdw L(M 1 ) ∩ L(M 2 )=∅
gdw
L ( M 1 ⊗ M 2
)
= ∅
Zur Beantwortung der Frage “gilt L(M 1 ) ⊆ L(M 2 )?” können wir also wie folgt verfahren.
Wir bilden den Produktautomaten aus M 1 und dem Komplementautomaten von M 2 und führen
für diesen den Leerheitstest durch. Die Laufzeit für den Inklusions- und Äquivalenztest für
gegebene DFA M 1 , M 2 ist linear in der Größe der Produkt-DFA M 1 ⊗ M 2 bzw. M 1 ⊗ M 2 ,
und kann daher durch Θ(size(M 1 ) · size(M 2 )) angebenen werden. Hierbei steht size(M) für
die Anzahl an Zuständen und Transitionen in M. Für gegebene NFA kann der Inklusions- und
Äquivalenztest mit der beschriebenen Methode und vorangegangener Determinisierung gelöst
werden. Die Kosten werden dann jedoch durch die Determinisierung dominiert und sind im
schlimmsten Fall exponentiell.
Endlichkeitstest. Das Endlichkeitsproblem für endliche Automaten fragt, ob die akzeptierte
Sprache endlich ist. Das Endlichkeitsproblem kann für NFA dank folgender Beobachtung gelöst
werden. Die durch einen NFA M akzeptierte Sprache ist genau dann unendlich, wenn es einen
Anfangszustand q 0 , einen Endzustand p und einen Zustand r gibt, so dass r von q 0 und p von
r erreichbar ist und r auf einem Zyklus liegt. Diese Bedingung kann durch den Einsatz von
Graphalgorithmen, welche hier nicht erläutert werden, in linearer Zeit gelöst werden.
2.3 Reguläre Ausdrücke
In Satz 2.23 auf Seite 42 haben wir gesehen, dass die Klasse der regulären Sprachen unter
allen gängigen Verknüpfungsoperatoren (Vereinigung, Durchschnitt, Komplement, Konkatenation
und Kleeneabschluss) abgeschlossen ist. Satz 2.23 kann dahingehend verschärft werden,
dass die Klasse der regulären Sprachen über Σ die kleinste Klasse ist, die unter den Operationen
Vereinigung, Konkatenation und Kleeneabschluss abgeschlossen ist und welche die Sprachen
∅, {ε} und {a}, a ∈ Σ enthält. Um diese Aussage zu belegen, betrachten wir einen weiteren
Formalismus, der sehr intuitive Schreibweisen für reguläre Sprachen ermöglicht.
Definition 2.25 (Syntax regulärer Ausdrücke). Sei Σ ein Alphabet. Die Menge der regulären
Ausdrücke über Σ ist durch folgende induktive Definition gegeben.
1. ∅ und ε sind reguläre Ausdrücke.
2. Für jedes a ∈ Σ ist a ein regulärer Ausdruck.
3. Mit α und β sind auch (αβ), (α + β) und (α ∗ ) reguläre Ausdrücke.
4. Nichts sonst ist ein regulärer Ausdruck.
Die Klammern werden oftmals weggelassen, wobei der Verknüpfungsoperator + die schwächste
Priorität hat und der Sternoperator am stärksten bindet. Z.B. steht aε + bc ∗ für ((aε)+
(b(c ∗ ))). 5
5 Ähnlich wie in Beispiel 1.10 auf Seite 13 kann anstelle der induktiven Definition eine kontextfreie Grammatik
für die Syntax vollständig oder sparsam geklammerter regulärer Ausdrücke angegeben werden.
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