Klausuren

B AUFGABEN
In diesem Teil des Anhangs sind Klausuraufgaben zusammengestellt von den Prüfungsterminen:
Herbst 1997 In Teil I und II waren jeweils 55 Punkte zu erreichen. Die Bearbeitungszeit von Teil I betrug
60 Minuten und von Teil II 105 Minuten. Nur in Teil II waren Hilfsmittel zugelassen.
Herbst 1998 In Teil I und II waren jeweils 50 Punkte zu erreichen. Die Bearbeitungszeit von Teil I und
II betrug jeweils 60 Minuten. Nur in Teil II waren Hilfsmittel zugelassen.
Frühjahr 1999 In Teil I waren 50 und in Teil II 40 Punkte zu erreichen. Die Bearbeitungszeit von Teil I
und II betrug jeweils 60 Minuten. Nur in Teil II waren Hilfsmittel zugelassen.
Herbst 2001 In Teil I waren 64 und in Teil II 36 Punkte zu erreichen. Die Bearbeitungszeit von Teil I
betrug 45 Minuten und von Teil II 60 Minuten. Nur in Teil II waren Hilfsmittel zugelassen.
Herbst 2003 In Teil I waren 60 und in Teil II 30 Punkte zu erreichen. Die Bearbeitungszeit von Teil I
betrug 45 Minuten und von Teil II 45 Minuten. Nur in Teil II waren Hilfsmittel zugelassen.
107

108 B Aufgaben
Herbst 1997: Fragenteil
Aufgabe 1: Interpolation
18 Punkte
1.1 Sie haben mit der Lagrange- und der Newton-Interpolation die gleichen Werte (21 Paare
(x i ,y i ), i = 0,1,...,20) interpoliert:
i.) Erhalten Sie die gleichen Polynome?
ii.) Nennen Sie einen Vorteil der Newton- gegenüber der Lagrange-Interpolation.
iii.) Welchen Polynomgrad haben die Polynome?
1.2 Für eine Newton-Interpolation haben Sie ein Schema der dividierten Differenzen
0 1 2 3
0 0
1
1 1 x 1
3 4
3
2
−
9
1
−
2
1
x 2
6 1
berechnet. Leider sind 2 Werte verlorengegangen:
i.) Berechnen Sie die fehlenden Werte x 1 und x 2 .
ii.) Stellen Sie das entsprechende Interpolationspolynom auf.
1.3 Wovon hängt bei der Polynominterpolation der Fehler im wesentlichen ab?
1.4 Mit welcher einfachen Maßnahme kann der Fehler einer Polynominterpolation reduziert
werden?
1.5 Formulieren Sie die Bedingungen zur Bestimmung von periodischen kubischen Splines.
1.6 B-Splines mit dem Trägervektor X = (x 0 ,x 1 ,...,x n ) sollen die Interpolationsbedingung
n ( )
∑ c i B i,k ξ j = y j an den Stützstellen ξ j erfüllen:
i=0
i.) Welchen Zusammenhang müssen x i und ξ i erfüllen?
ii.) Wieviel Koeffizienten c i werden bei einem B-Spline der Ordnung k = 5 zur Bestimmung
eines Wertes der zu interpolierenden Kurve benötigt?

109
Aufgabe 2: Gewöhnliche Differentialgleichungen
15 Punkte
2.1 Formulieren Sie ein Anfangswertproblem 1. Ordnung.
2.2 Welche Bedingungen muß dieses Anfangswertproblem erfüllen, wenn es genau eine Lösung
hat?
2.3 Ein Einschrittverfahren ist konsistent mit der Ordnung p:
i.) Was bedeutet dies für den Fehler?
ii.) Ist solch ein Verfahren auch konvergent?
2.4 Es sei das 4-Schrittverfahren
gegeben.
y m+4 − y m+2 = h 3 (8 f m+3 − 5 f m+2 + 4 f m+1 − f m )
i.) Ist dies ein explizites oder implizites Verfahren?
ii.) Geben Sie die charakteristischen Polynome an?
iii.) Ist dieses Verfahren nullstabil?
2.5 Implizite Mehrschrittverfahren erreichen bei gleicher Schrittzahl oft eine höhere Konvergenzordnung
als explizite Verfahren:
i.) Welche Probleme ergeben sich beim impliziten Verfahren im Gegensatz zu den expliziten
Verfahren, und wie können diese Probleme beseitigt werden?
ii.) Welches Einsatzgebiet haben implizite Verfahren?
Aufgabe 3: Integration und Differentiation
10 Punkte
3.1 Was bedeutet die Aussage: Eine Quadraturformel ist von der Ordnung m?
3.2 Häufig werden sogenannte summierte Quadraturformeln benutzt:
i.) Was bedeutet summierte Quadraturformel?
ii.) Warum werden diese bevorzugt?
3.3 Gegeben sind für eine Gaußsche Quadraturformel folgende 5 Stützstellen x i mit den Gewichten
w i :
x i −0.906179 −0.538469 0 1.538469 0.906179
w i 0.236926 0.478628 0.568888 0.478628 0.236926

110 B Aufgaben
i.) Welche Stützstelle ist falsch?
ii.) Welche Ordnung kann diese Quadraturformel maximal erreichen?
iii.) Wie kann sehr einfach getestet werden ob die Integrationgewichte richtig sind?
Aufgabe 4: Lineare Gleichungssysteme
12 Punkte
4.1 Welche der folgenden Matrizen sind positiv definit?
⎛
1 1
⎞
1
⎛
1 0
⎞
5
(a) ⎝1 2 1⎠
(b) ⎝0 2 0⎠
1 1 3
5 0 1
(c)
⎛
1 0
⎞
0
⎝0 1 0 ⎠
0 0 −1
4.2 Für eine gegebene Matrix A berechnen zwei Personen unabhängig voneinander unterschiedliche
Konditionszahlen cond(A):
i.) Wie ist die Kondition einer Matrix definiert?
ii.) Ist es möglich, daß beide Personen jeweils die Konditionszahl korrekt bestimmt
haben?
4.3 Bei sehr großen Gleichungssystemen werden gerne iterative Gleichungslöser benutzt:
i.) Wann können iterative Gleichungslöser eingesetzt werden?
ii.) Welche Vorteile haben iterative Gleichungslöser gegenüber z.B. dem Gaußschen
Algorithmus?
iii.) Zeigen Sie die Arbeitsweise des Jacobi-Verfahrens am Beispiel eines 2x2 Systemes
auf.
Lösung zu Aufgabe 1: Interpolation
18 Punkte
1.1 i.) ja, da die Polynominterpolation eindeutig ist. ➀
ii.) Es können mühelos weitere Stützstellen hinzugefügt werden, ohne nochmal alles
neu berechnen zu müssen.
iii.) Grad 20 (einen weniger als Stützstellen)
1.2 i.) x 1 =
3
2 − 1
3 − 0 = 1 6 , x 2 = 1 − 4
6 − 3 = −1 ➁
ii.) P 3 (x) = 0 + x { 1 + (x − 1) [ 1
6
− 1 9 (x − 3)]} = − 1 9 x3 + 11
18 x2 + 1 2 x ➂
➀
➀

111
1.3 • von der Wahl der Stützstellen – äquidistant oder nicht – ➀
• von der (n + 1)ten Ableitung der Funktion an einer unbekannten Stelle x 0 < ξ < x n
➀
1.4 Unterteilung des Interpolationsintervalls in mehrere Teilintervalle, in denen dann jeweils
eine Interpolation durchgeführt wird.
➀
1.5
oder (gleichwertige Antwort) Verwendung von Stützstellen, die zum Intervallende hin
verdichtet sind.
d 4 s
= 0 Polynom 3. Grades ➀
dx4 s ′′ (x i ) + = s ′′ (x i ) − Stetigkeit der 2. Ableitung ➀
s(x i ) = y i Interpolationsbed. ➀
s ′′ (x 0 ) = s ′′ (x n )
s(x 0 ) = s(x n )
1.6 i.) x i < ξ i < x i+k ➀
ii.) Es werden 5 Koeffizienten benötigt (Lokalität der B-Splines).
➀
➀
➀
Lösung zu Aufgabe 2: Gewöhnliche Differentialgleichungen
15 Punkte
2.1 y ′ (x) = f (x,y) ➁, y(x = x 0 ) = y 0 ➀
2.2 f (x,y) muß Lipschitz-stetig sein. ➀
2.3 i.) Der lokale Fehler geht mit h p gegen Null, d.h. halbieren der Schrittweite ergibt
1
2 p
kleineren Fehler.
ii.) Nur wenn die Verfahrensfunktion Lipschitz-stetig ist.
2.4 i.) explizit, da β 4 = 0 gilt. ➀
ii.) ρ(ξ) = ξ 4 − ξ 2 , σ(ξ) = 8 3 ξ3 − 5 3 ξ2 + 4 3 ξ − 1 3
➁
iii.) ja, da ρ(ξ) = ξ 2 ( ξ 2 − 1 ) die Wurzeln ξ 1 = 0 und ξ 2,3 = ±1 besitzt, und die Wurzeln
ξ 2,3 einfach sind.
2.5 i.) Zur Lösung der Aufgabe müssen implizite Gleichungen gelöst werden, wenn die
DGL nichtlinear ist. Dies wird umgangen durch den Einsatz eines Prädiktor-Korrektor-
Verfahrens.
ii.) steife DGL’s
➀
➀
➂
➁
➀

112 B Aufgaben
Lösung zu Aufgabe 3: Integration und Differentiation
10 Punkte
3.1 Ordnung m bedeutet, daß mindestens Polynome vom Grade (m − 1) exakt berechnet werden.
➀
3.2 i.) Es wird das Integrationsintervall unterteilt, und dann in jedem Teilintervall eine
Quadraturformel angewandt. Das Endergebnis ist die Summe aller Integrationen
über die Teilintervalle.
➀
ii.) Fehler ist kleiner, da dieser direkt von der Intervalllänge abhängt. Weiterhin müssen
bei großen Intervallen viele Stützstellen durch ein Polynom mit hohem Grad
approximiert werden, die zu Oszillationen neigen.
➁
3.3 i.) x 3 = 1.5384690 muß heißen x 3 = 0.5384690, da die Stützstellen immer paarweise
symmetrisch und innerhalb des Intervalls [−1,1] liegen.
ii.) Maximal m = 2n, d.h. m max = 10
iii.) Das Integral R 1
−1 dx über die konstante Funktion f (x) = 1 hat den Wert Zwei. Die
numerische Formel ist dann nur die Summe über die Gewichte ∑ n i=0 w i (x i ) = 2. ➁
➁
➁
Lösung zu Aufgabe 4: Lineare Gleichungssysteme
12 Punkte
4.1 (a) Alle Hauptminoren sind positiv, daher ist die Matrix positiv definit. ➀
(b) Die dritte Hauptminore ist negativ, daher ist die Matrix nicht positiv definit.
(c) Diese Matrix hat eine negative Zahl auf der Hauptdiagonalen und ist damit nicht positiv
definit.
➀
4.2 i.) cond(A) = ‖A‖‖A −1 ‖ ➀
ii.) Ja, wenn unterschiedliche Normen benutzt wurden.
4.3 i.) Wenn gilt ρ(M) < 1, mit dem Spektralradius ρ der Matrix M, die von der Systemmatrix
A abhängt. Dies ist z.B. bei diagonal dominanten Matrizen A der Fall die mit
dem Gauß-Seidel-Verfahren gelöst werden.
➁
ii.) Sie lösen mit weniger Aufwand und haben manchmal weniger Rundungsfehler. ➁
)
iii.)
} (k)
a 11 x 1 +a 12 x 2 = r 1 x
a 21 x 1 +a 22 x 2 = r 2
(
1
=
a 1
11
x (k)
2
= 1
a 22
(
➁
➀
r 1 − a 12 x (k−1)
2
) ➁
r 2 − a 21 x (k−1)
1

113
Herbst 1997: Rechenteil
Aufgabe 1: Gewöhnliche Differentialgleichungen
15 Punkte
Gegeben sei die Differentialgleichung
y ′′ + xy = 0 y(0) = 1, y ′ (0) = 0 .
Berechnen Sie mit dem 2-stufigem Runge-Kutta-Verfahren (Methode von Heun)
y m+1 = y m + h 2 (k 1 (x m ,y m ,h) + k 2 (x m ,y m ,h))
k 1 (x m ,y m ,h) = f(x m ,y m ), k 2 (x m ,y m ,h) = f(x m + h,y m + hk 1 )
eine Lösung im Punkt x = 0.4 mit der Schrittweite h = 0.2.
Aufgabe 2: Interpolation
15 Punkte
Interpolieren Sie die Paare
x i 0 π 3
π
2
2π
3
π
mit einem natürlichen kubischen Spline.
y i 1 1 2
0 − 1 2
−1
Hinweis:
⎛
a b
⎞
0
⎛
bc − d e be −b 2 ⎞
A = ⎝c d b⎠ A −1 =
det
1 ⎝ ce −ae ab ⎠
0 c e
−c 2 ac bc − ad
Aufgabe 3: Integration und Differentiation
det = abc − ad e + cbe
15 Punkte
Gegeben sei das Integral
Z 3
0
x 2
1 + x dx
3.1 Wieviel Teilintervalle N sind nötig, damit der Betrag des Fehlers der Quadraturformeln
i) summierte Trapez-Regel
ii) summierte Simpson-Regel
kleiner als 4.5 · 10 −3 ist?

114 B Aufgaben
3.2 Berechnen Sie das Integral mit der Simpson-Regel für N = 3.
Aufgabe 4: Lineare Gleichungssysteme
10 Punkte
Gegeben ist die Matrix A und ihre Inverse A −1
⎛
⎞
2 1 2 0
⎛
⎞
91 −20 29 38
6 6 3 3
A = ⎜−1 1 3 6 ⎟ A −1 = 1
⎜−101 28 −34 −40
⎟
⎝
0 0 − 11 ⎠
33 ⎝ −24 6 −12 −18⎠
−3
44 −11 22 22
2
4.1 Ist die Matrix A positiv definit?
4.2 Führen Sie die LU-Zerlegung von A mit einer Spaltenpivotisierung durch.
4.3 Berechnen Sie detA
4.4 Berechnen Sie die Konditionszahl cond(A) in der
i.) l 1 -Norm (Spaltensummennorm)
ii.) l ∞ -Norm (Zeilensummennorm).
Lösung zu Aufgabe 1: Gewöhnliche Differentialgleichungen
15 Punkte
Überführen der DGL 2. Ordnung mit y ′ = z 2 und y = z 1 ergibt ein DGL-System 1. Ordnung. ➀
z ′ } ( ) ′ ( ) ( ) ( )
1 = z 2
z ′ 2 + xz 1 = 0 ➀
z1 z2
=
z 2 −xz ➀
z1 (0) 1
=
1 z 2 (0) 0 ➀
Berechnung der Steigungen des 1. Schrittes
( ) (
( ( ) 0
k 1 (x 0 ,z 0 ) =
−0 · 1 ➀ 0 0
k2 (x 0 ,z 0 ) = f x 0 + h,z 0 + h =
0))
−h ➁
z 1 = z 0 + h ( 1
2 [k 1 (x 0 ,z 0 ) + k 2 (x 0 ,z 0 )] = +
0)
h ( ( ) 0 1
=
2 −h)
−0.02 ➀
Berechnung der Steigungen des 2. Schrittes
( ) ( ) −0.02 0.02
k 1 (x 1 ,z 1 ) = = −
−h · 1 0.2 ➀
(
( )) 0.02
k 2 (x 1 ,z 1 ) = f x 1 + h,z 1 − h
0.2
[ ( ) ( 0.02 0.06
− −
0.2 0.3984
z 2 = z 1 + h 2
( 0.06
= −
0.3984
)]
=
)
➁
)
➁
( 0.992
−0.07984
➀

115
Damit erhält man den Wert y(0.4) = 0.992 als Endergebnis.
Lösung zu Aufgabe 2: Interpolation
➀
15 Punkte
Der natürlich kubischen Spline hat die Form:
s i (x) = a i (x − x i ) 3 + b i (x − x i ) 2 + c i (x − x i ) + d i , i = 0,1,2,3, mit y ′′
0 = y′′ 4 = 0 ➀
Die Intervallabstände sind: h 0 = h 3 = π 3 ,h 1 = h 2 = π 6
Berechnung der inneren zweiten Ableitungen:
⎛
π
⎞⎛
π 6
0 y ′′ ⎞ ⎛ ⎞
⎝ π 2
6 3
π π 1
⎠⎝
6
y ′′ ⎠
2 = 1 −9
⎝ 0 ⎠
π π
0 6
π
9
y ′′
3
Die Invertierung ergibt y ′′
1 = − 9 ,y ′′
π 2 2 = 0 und y′′ 3 = 9 , womit die b
π 2 i gegeben sind. ➁
Damit berechnen sich die restlichen Koeffizienten zu:
a 0 = − 9
2π 3 a 1 = 9 π 3 a 2 = 9 π 3 a 3 = − 9
2π 3
c 0 = − 1 c 1 = − 5 c 2 = − 13 c 3 = − 5
π
2π 4π 2π
Abschließend erhält man die Splines
s 0 (x) = − 9
2π 3 x3 − 1 π x + 1
s 1 (x) = 9 (
π 3 x − π ) 3 9 −
(x
3 2π 2 − π ) 2 5 −
3 2π
s 2 (x) = 9 (
π 3 x − π ) 3 13
(
− x − π )
2 4π 2
s 3 (x) = − 9
2π 3 (x − 2π 3
) 3
+ 9
2π 2 (x − 2π 3
Gesamt wurden noch zwei Rechenpunkte vergeben.
➂
(
x − π )
+ 1 3 2
) 2
− 5 (
x − 2π )
− 1 2π 3 2
Lösung zu Aufgabe 3: Integration und Differentiation
➁
➁
➁
➀
➁
15 Punkte
3.1 i) Der allgemeine Fehler der summierten Trapez-Regel ist E 1S [ f ] = − h2
4 f ′′ (ξ) mit h =
b−a
N . Dies ergibt einen Fehler zu E 1S[ f ] = − 9 f ′′ (ξ).
➁
4N 2
Die zweite Ableitung von f ist f ′′ (ξ) = 2 mit dem Maximum max( f ′′ (ξ)) = 2.
(1+ξ) 3
➁

116 B Aufgaben
Damit ist der Betrag des Fehlers |E 1S [ f ]| = | − 9 |. Dies führt für die geforderte
2N 2
Genauigkeit auf N = 32.
ii) Der Fehler der summierten Simpson-Regel ist E 2S [ f ] = − h4 (b−a)
180
f (4) (ξ) mit h =
b−a
2N .
( )
Die vierte Ableitung von f ist f (4) (ξ) = 24 mit dem Maximum max f (4) ξ =
(1+ξ) 5
24. ➀
Damit ist der Betrag des Fehlers |E 2S [ f ]| = | − 34 |. Dies führt für die geforderte
20N 4
Genauigkeit auf N = 5.
3.2 Mit h = 1 2 und x 1 = 0.5,x 2 = 1,x 3 = 1.5,x 4 = 2,x 5 = 2.5 erhält man für das Integral
Q 2S = 2.8877.
➁
➀
➂
➃
Lösung zu Aufgabe 4: Lineare Gleichungssysteme
10 Punkte
4.1 nein, da ein Hauptdiagonalenelement negativ ist. ➀
4.2 Zuerst wird die erste mit der zweiten Zeile getauscht, und nachfolgend die erste Spalte
bis auf das Pivot auf Null gezwungen:
➀
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
6 6 3 3 6 6 3 3
1 0 0 0
⎜ 2 1 2 0
⎟
⎝−1 1 3 6 ⎠ → ⎜
0 −1 1 −1
⎟
⎝
7 13
0 2 ⎠ L = 1
⎜ 3
1 0 0
⎟
⎝
2 2
− 1
0 0 − 11
2
−3 0 0 − 11
6
0 1 0⎠
2
−3
0 0 0 1
Zeilentausch dritte und zweite Zeile, und nachfolgend wird die zweite Spalte unterhalb
des Pivot auf Null gezwungen:
➀
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
6 6 3 3 6 6 3 3
1 0 0 0
7 13
⎜0 2 2 2 ⎟
⎝0 −1 1 −1⎠ → 7 13
⎜0 2 2 2 ⎟
⎝ 11 9
0 0 ⎠ L = ⎜− 6 1 1 0 0
⎟
⎝ 1
4 4
3
− 1
0 0 − 11
2
−3 0 0 − 11
2
1 0⎠
2
−3
0 0 0 1
Zeilentausch vierte und dritte Zeile, und nachfolgend wird die dritte Spalte unterhalb des
Pivot auf Null gezwungen:
➁
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
6 6 3 3 6 6 3 3
1 0 0 0
7 13
⎜0 2 2 2
⎝0 0 − 11 ⎟
2
−3⎠ → 7 13
⎜0 2 2 2
⎝0 0 − 11 ⎟
2
−3⎠
L = ⎜− 6 1 1 0 0
⎟
⎝ 0 0 1 0⎠
11 9 3 1
0 0 4 4
0 0 0 4 3
− 1 2
− 1 2
0
⎛ ⎞
0 1 0 0
Die Permutationsmatrix hat damit die Form: P = ⎜0 0 1 0
⎟
⎝0 0 0 1⎠
➀
1 0 0 0

117
4.3 detPdetA = det(PA) = det(LU) = spurU = 6 · 2 · − 11
2
detA = 49.5.
· 34
= −49.5 mit detP = −1 folgt
4.4 i.) cond(A) 1 = 106.3636 (Spaltensummennorm) ➀
ii.) cond(A) ∞ = 110.7272 (Zeilensummennorm).
➁
➀

118 B Aufgaben
Herbst 1998: Fragenteil
Aufgabe 1: Interpolation
10 Punkte
1.1 Sie möchten einen Funktionsverlauf mit einer nicht differenzierbaren Stelle, einem Peak,
interpolieren. Setzen Sie voraus, daß Sie alle nötigen Informationen über die Funktion für
die jeweilige Interpolation besitzen.
i.) Welche Interpolation würden Sie wählen?
ii.) Welche Interpolation ist dafür ungeeignet?
1.2 Für eine Newton-Interpolation haben Sie ein Schema der dividierten Differenzen
0 1 2 3
−1 1
x 1
0 0 9
2 0
2 −2 1
3
3 0
berechnet. Leider ist 1 Wert verlorengegangen:
i.) Berechnen Sie den fehlenden Wert x 1 .
ii.) Welchen Grad hat das Polynom (Begründung ohne Teil c)?
iii.) Stellen Sie das entsprechende Interpolationspolynom auf.
1.3 Warum werden bei der Lagrange-Interpolation Stützkoeffizienten eingeführt?
Aufgabe 2: Lineare Gleichungssysteme
9 Punkte
2.1 i.) Geben Sie die Definition für eine diagonal dominante Matrix an.
ii.) Geben Sie dazu ein Beispiel (3x3 Matrix) an.
2.2 Wie kann bei bekannter LU-Zerlegung einer Matrix A sehr schnell unter Ausnützung der
LU-Zerlegung die Determinante der Matrix A berechnet werden?
2.3 Geben Sie 2 Gründe für den Einsatz von Pivotstrategien an.
2.4 Nennen Sie 2 Matrixeigenschaften der Matrix A, die eine Pivotstrategie beim Lösen des
Gleichungssystems Ax = b unnötig machen.

119
Aufgabe 3: Nichtlineare Gleichungssysteme
11 Punkte
3.1 Was sagt der Banachsche Fixpunktsatz sinngemäß aus (keine Formel erforderlich)?
3.2 Beschreiben Sie das Bisektions-Verfahren?
3.3 Wann und mit welcher Ordnung konvergiert das Newton-Verfahren?
Aufgabe 4: Integration und Differentiation
10 Punkte
4.1 Geben Sie die Definition für die Ordnung m eines Quadraturverfahrens an.
4.2 Die numerische Differentiation soll aus Stabilitätsgründen vermieden werden. Begründen
Sie warum dies so ist am Beispiel einer Differentiation erster Ordnung (keine Rechnung).
4.3 Nennen Sie je einen Vorteil und einen Nachteil der
i.) Newton-Cotes Formeln, und
ii.) der Gauß Quadratur.
Aufgabe 5: Gewöhnliche Differentialgleichungen
10 Punkte
5.1 Was bedeutet der Ausdruck: das Verfahren hat eine Fehlerordnung O ( h 3) ?
5.2 Wie ist die Lipschitzstetigkeit einer Funktion f (x,y) definiert, und geben Sie ein hinreichendes
Kriterium dafür an.
5.3 i.) Welche Bedingung erfüllt ein nullstabiles Mehrschrittverfahren?
ii.) Warum muß die Nullstabilität von Einschrittverfahren nicht nachgewiesen werden.
Lösung zu Aufgabe 1: Interpolation
10 Punkte
1.1 i.) Hermite-Interpolation mit Intervallteilung an der unstetigen Stelle. Hermite deshalb,
da damit der starke Anstieg bei einem Peak durch Benutzung der Ableitungen gut
approximiert werden kann.
➁
ii.) Spline-Interpolation mit Ordnung > 1, da diese eine Stetigkeit an dieser Stelle erzwingen
würden, die nicht gegeben ist.
➁

120 B Aufgaben
1.2 i.) x 1 = 0 − 1
0 + 1 = −1 ➀
ii.) Grad 2, da 4 Stützstellen ein Polynom 3. Grades ergeben, aber hier der höchste
Koeffizient c 4 = 0 ist, damit nur 2. Grades.
iii.) P 3 (x) = 1 + (−1)(x − (−1)) + 9(x + 1)(x − 0) = 9x 2 + 8x
1.3 i.) Damit bei einer neuerlichen Rechnung mit den gleichen Stützstellen, aber z.B. anderen
Funktionswerten, die Stützkoeffizienten λ i nicht noch einmal berechnet werden
müssen. Die Stützkoeffizienten hängen nicht von den Funktionswerten y i ab. ➀
➂
➀
Lösung zu Aufgabe 2: Lineare Gleichungssysteme
9 Punkte
2.1 i.) |a ii | > n ∑
ii.)
j=1
j≠i
⎛
5 0
⎞
1
⎝2 5 0⎠
0 0 1
|a i j | ➀
2.2 detL = 1 und detU = ∏
n u ii und detA = detLU = detU. Es wird nur das Produkt der
i=1
Hauptdiagonalelemente von U gebildet.
➂
2.3 • Vermeidung von „Null-Pivots“, da diese ein Lösen unmöglich machen würden. ➀
• Vermeidung von Addition oder Subtraktion sehr großen von sehr kleinen Werten.
Dies würde nötig sein, wenn das Pivotelement eine andere Größenordnung besitzt
als die restlichen Elemente. Damit verringert eine Pivotstrategie den Rundungsfehler.
➀
2.4 • A positiv definit. ➀
• A diagonal dominant.
➀
➀
Lösung zu Aufgabe 3: Nichtlineare Gleichungssysteme
11 Punkte
(
3.1 • Wenn die Abbildung T x (k)) kontrahierend ist, dann besitzt die nichtlineare Gleichung
einen Fixpunkt x ∗ .
• Eine Fixpunktiteration ( konvergiert gegen diesen Fixpunkt für jeden beliebigen Startwert
x (0) , falls T x (k)) kontrahierend ist.
➁
➁

121
• Der Fehler ist durch die Lipschitzkonstante beschränkt und abschätzbar.
3.2 Bedingung f (a) f (b) < 0 mit x ∈ [a,b], danach Intervallhalbierung. Neue Intervallgrenze
f ( ) (
a+b
2 für f (a), falls f (a) gleiches Vorzeichen hat wie f a+b
)
2 , sonst wird f (b) durch
f ( )
a+b
2 ersetzt. Diese Intervallhalbierung wird solange durchgeführt, bis die Intervalllänge
eine gewisse vorgegebene Größe unterschreitet. Der Mittelpunkt davon ist dann der
gesuchte Fixpunkt.
➂
3.3 Für einen Startwert der „nahe genug“ bei der gesuchten Lösung liegt. Falls Konvergenz
vorliegt, dann quadratische Ordnung.
➁
➁
Lösung zu Aufgabe 4: Integration und Differentiation
10 Punkte
4.1 Bezeichnet E [ f ] den Fehler zwischen der exakten und der numerischen Lösung, so gilt
für die Ordnung m: E [x m ] ≠ 0 und E [ x m−1] = 0, d.h. ein Polynom vom Grade (m − 1)
wird exakt integriert.
4.2 Der Rechenfehler geht mit der Ordnung O (h) und der Verfahrensfehler mit O ( h −1) gegen
Null. Daher wird bei kleiner werdender Schrittweite der Gesamtfehler zuerst kleiner,
und dann wieder größer.
➂
4.3 i.) Vorteil: Bei nächst höherer Stützstellenanzahl können die Ergebnisse aus den vorherigen
Schritten mit benutzt werden.
Nachteil: Nicht so hohe Genauigkeit.
ii.) Vorteil: Sehr hohe Genauigkeit (m = 2n).
Nachteil: Falls Kontrolle der Ergebnisse mit nächst höherer Stützstellenanzahl erfolgen
soll, können die vorher berechneten Ergebnisse nicht mit benutzt werden.
➀
➂
➀
➀
➀
Lösung zu Aufgabe 5: Gewöhnliche Differentialgleichungen
10 Punkte
5.1 Wenn die Schrittweite halbiert wird, dann wird der Fehler 1 2 3 , also 8-mal kleiner. ➀
5.2 Definition Lipschitzstetigkeit: ‖ f (x,y 1 ) − f (x,y 2 )‖ ≤ L‖y 1 − y 2 ‖ für beliebige y 1 und y 2
aus dem Wertebereich und L existiert.
➂
Ein hinreichendes Kriterium ist die Existenz der partiellen Ableitung ∂ f
∂y . ➀
5.3 i.) Die Wurzeln des charakteristischen Polynoms ρ(ξ) = k ∑
i=0
α i ξ i liegen im Einheitskreis,
oder auf dem Einheitskreis, sind dann aber einfach.
➂

122 B Aufgaben
ii.) Da alle Einschrittverfahren die Bedingung ρ(ξ) = −1+ξ erfüllen, haben diese Verfahren
nur eine einfache Wurzel auf dem Einheitskreis, und sind damit nullstabil.
➁

123
Aufgabe 1: Interpolation
Herbst 1998: Rechenteil
12 Punkte
Gegeben ist eine B-Spline Kurve der Ordnung k = 3, die Koeffizienten c i und der Trägervektor
X = (0,0,0,1,2,3,5,7,9,10,10,10)
1.1 Berechnen Sie den Kurvenpunkt mit Hilfe des DeBoor Algorithmus an der Stelle x = 3.2
in Abhängigkeit von den Koeffizienten c i .
1.2 Berechnen Sie die Ableitung an der Stelle x = 3.2 in Abhängigkeit von den Koeffizienten
c i .
Aufgabe 2: Integration und Differentiation
5 Punkte
Das Integral
Z 5
[ (x 2 − 1 ) 2
− x
5 ] dx
soll mit den Gaußschen Quadraturformeln berechnet werden.
0
2.1 Wieviel Integrationsstützstellen sind nötig, um das Integral exakt (unter Vernachlässigung
von Rundungsfehler) zu integrieren (Begründung)?
2.2 Berechnen Sie das Integral exakt mit der Gaußschen Quadraturformel. Gewichte und
Stützstellen sind der nachfolgenden Tabelle zu entnehmen (Rechnen Sie mit 4 Stellen
Genauigkeit).
n = 2 x 1 = 0.577350269189626 w 1 = 1
n = 3 x 1 = 0.774596669241483 w 1 = 0.555555555555556
x 2 = 0 w 2 = 0.888888888888889
n = 4 x 1 = 0.861136311594053 w 1 = 0.347854845137454
x 2 = 0.339981043584856 w 2 = 0.652145154862546
n = 5 x 1 = 0.906179845938664 w 1 = 0.236926885056189
x 2 = 0.538469310105683 w 2 = 0.478628670499366
x 3 = 0 w 3 = 0.568888888888889
Hinweis: Sollten Sie Teil a.) nicht gelöst haben, so nehmen Sie n = 3 Stützstellen zur Berechnung
in Teil b.) an.

124 B Aufgaben
Aufgabe 3: Gewöhnliche Differentialgleichungen
9 Punkte
Gegeben ist das 2-Schrittverfahren
y m+2 = 3y m+1 − 2y m + h[−3 f m+2 + 3 f m+1 − f m ]
3.1 Berechnen Sie die Konsistenzordnung p und die Fehlerkonstante C ∗ p.
3.2 Ist das Verfahren konvergent? (Begründung!)
Aufgabe 4: Gewöhnliche Differentialgleichungen
7 Punkte
Zeigen Sie, daß das Trapez-Verfahren
eine Konsistenzordnung von p = 2 besitzt.
y m+1 = y m + h 2 [ f (x m,y(x m )) + f (x m+1 ,y m+1 )]
Hinweis: Gehen Sie davon aus, daß y m = y(x m ) exakt vorliegt.
Aufgabe 5: Nichtlineare Gleichungssysteme
17 Punkte
Gegeben ist die nichtlineare Gleichung
in der Standardform.
5x 2 − x − 1 = 0 x ∈ [0.2;1]
5.1 Geben Sie zwei Fixpunktformen an, und untersuchen Sie deren Kontraktion.
5.2 Schätzen Sie für eine konvergente Fixpunktform die Anzahl der nötigen Iterationsschritte
für eine Fixpunktiteration ab, wenn ein ε = 10 −5 erreicht werden soll.
5.3 Berechnen Sie mit dem Startwert x (0) = 0.5 die Iterationswerte x (1) ,x (2) und x (3) mit dem
Newton-Verfahren.
Lösung zu Aufgabe 1: Interpolation
12 Punkte
1.1 Der gesuchte Wert liegt zwischen x 5 = 3 und x 6 = 5, daher ist i = 5. Bei einem B-Spline
der Ordnung k = 3 werden daher die Koeffizienten c 3 ,c 4 und c 5 benötigt. Für den DeBoor-

125
Algorithmus wird benötigt:
c 2 5 = ( 1 − α 2 )
5 c
1
4 + α 2 5 c1 5 mit α 2 5 = 3.2 − 3
5 − 3 = 0.1 ➀
c 1 4 = ( 1 − α 1 )
4 c3 + α 1 4c 4 mit α 1 4 = 3.2 − 2
5 − 2 = 0.4 ➀
c 1 5 = ( 1 − α 1 )
5 c4 + α 1 5 c 5 mit α 1 5 = 3.2 − 3
7 − 3 = 0.05 ➀
Damit erhält man s(x = 3.2) = c 2 5 = 0.54c 3 + 0.455c 4 + 0.005c 5 .
1.2 Die Ableitung eines B-Splines der Ordnung k = 3 ist allgemein
d
dx B i,3 (x) =
2
x i+2 − x i
B i,2 −
Dies wird eingesetzt und mit einem Indexshift erhält man
n
n
[
d
2
c i B i,3 = c i B i,2 −
dx
x i+2 − x i
∑
i=0
∑
i=0
2
x i+3 − x i+1
B i+1,2 ➀
]
n+1
2
B i+1,2 =
x i+3 − x i+1
∑
i=0
Mit der Definition von B-Splines ergibt sich die Formel
d
dx
n
∑
i=0
c i B i,3 =
n+1
∑
i=0
2(c i − c i−1 )
x i+2 − x i
= (c 5 − c 4 )(x − 3)
4
x − x i
B i,1 +
x i+1 − x i
n+1
∑
i=0
+ (c 4 − c 3 )(5 − x)
3
2(c i − c i−1 )
x i+2 − x i
➁
2(c i − c i−1 )
B i,2 ➁
x i+2 − x i
x i+2 − x
B i+1,1
x i+2 − x i+1
Einsetzen des Wertes führt auf das Endergebnis d
dx s(x = 3.2) = 0.05c 5 + 0.55c 4 − 0.6c 3 .
➀
➁
➀
Lösung zu Aufgabe 2: Integration und Differentiation
5 Punkte
2.1 Ein Polynom 5. Grades wird mit 3 Stützstellen exakt integriert, da die Gauß-Quadratur
von der Ordnung m = 2n ist. Die Ordnung wiederum ist definiert als Grad eines exakt zu
integrierenden Polynoms +1.
➂
2.2
Q 3 = 5 2
= 5 2
3
∑
k=1
( 5
w k f
2 x k + 5 )
2 ➀
[
0.5556 f
= −2057.6731 ➀
( 5
2 (−0.7746) + 5 ( ( 5 5
+ 0.8889 f + 0.5556 f
2)
2)
2 2)]
(0.7746) + 5

126 B Aufgaben
Lösung zu Aufgabe 3: Gewöhnliche Differentialgleichungen
9 Punkte
3.1 Das Verfahren hat die Parameter α 2 = 1,α 1 = −3,α 0 = 2,β 2 = −3,β 1 = 3 und β 0 = −1.
Damit berechnet sich die Konsistenzordnung zu:
➀
p = 0 :
1 − 3 + 2 = 0 ➀
p = 1 : 1 − 3 − 3 + 2 · 1 + 3 = 0 ➀
p = 2 :
− 3 2 − 3 + 2 · 1 − 2 · (−3) = 7 2 ➀
Dies bedeutet eine Konsistenzordnung p max = 1. Die Fehlerkonstante ist
C p = 7 2 , σ(1) = −3 + 3 − 1 = −1 ⇒ C∗ p = − 7 2 ➁
3.2 Die Wurzeln des charakteristischen Polynoms sind:
ρ(ξ) = ξ 2 − 3ξ + 2 = 0 ⇒ ξ 1,2 = 3 2 ± 1 2
√
9 − 8 =
3
2 ± 1 2 ➁
Aufgrund der Wurzel ξ 2 = 2 ist das Verfahren nicht nullstabil, und damit nicht konvergent.
➀
Lösung zu Aufgabe 4: Gewöhnliche Differentialgleichungen
7 Punkte
Der lokale Diskretisierungsfehler ist
le = y(x m+1) − y(x m )
h
− f (x m,y(x m ))
2
− f (x m+1,y m+1 )
2
Es werden eine Taylor-Reihenentwicklung für y(x m+1 ) und für f (x m+1 ,y m+1 ) benötigt. Diese
lauten:
y(x m+1 ) = y(x m ) + h f (x m ,y(x m )) + h2
2 f ′ (x m ,y(x m )) + O ( h 3) ➀
f (x m+1 ,y m+1 ) = f (x m ,y(x m )) + h f ′ (x m ,y(x m )) + O ( h 2) ➁
Setz man diese Entwicklungen in den lokalen Fehler le ein, so erkennt man le = O ( h 2) . Damit
ist gezeigt, daß das Trapez-Verfahren die Ordnung p = 2 besitzt.
Lösung zu Aufgabe 5: Nichtlineare Gleichungssysteme
➁.
➁
17 Punkte
5.1 i.) Die Umformung nach x ergibt die einfachste Fixpunktform x = 5x 2 − 1. Die Ableitung
der Iterationsvorschrift ist |T ′ (x)| = 10|x|. Diese ist nur für x < 0.1 kleiner 1.
Da der Wertebereich beschränkt ist 0.2 < x < 1, ist diese Fixpunktform nicht kontrahierend,
und damit ist für eine Fixpunktiteration keine Konvergenz zu erwarten.
➃

127
√
x + 1
ii.) Die Umformung nach x 2 mit anschließenden Wurzelziehen ergibt x =
5 . Es
wird willkürlich die positive Wurzel betrachtet. Die Kontraktion wird folgendermaßen
untersucht:
➀
|T ′ (x)| =
1
∣
2 √ 5 √ x + 1
∣ < 1 ➁ für alle x ∈ [0.2;1] ➀
Damit ist diese Fixpunktform kontrahierend.
5.2 Die Lipschitzkonstante wird nach oben durch deren Maximalwert L = |T ′ (x = 0.2)| =
0.2041 abgeschätzt. ➀
Damit gilt für den a-priori Fehlerschätzer
➀
5.3
ε ≤ 0.20k
0.8 · ‖x(1) − x (0) ‖
} {{ }
max=0.8
➁ ⇒
Damit muß man mit 8 Iterationen rechnen.
log
ε0.8
0.8
log0.20 ≥ k ➀ ⇒ 7.15 ≥ k
➀
x (k+1) = x (k) − 5x(k)2 − x (k) − 1
10x (k) − 1
x (1) = 0.5625 ➀
x (2) = 0.5625 − 50.56252 − 0.5625 − 1
100.5625 − 1
x (3) = 0.5583 ➀
= 0.5583 ➀

128 B Aufgaben
Frühjahr 1999: Fragenteil
Aufgabe 1: Interpolation
10 Punkte
1.1 Begründen Sie, warum bei der Newton- und der Lagrange-Interpolation das gleiche Polynom
berechnet wird.
1.2 Sie haben für eine Hermite-Interpolation folgende Werte
gegeben
f (x) f ′ (x) f ′′ (x)
0 1
1
2
0
1 2 1 −
i.) Stellen Sie das Schema der dividierten Differenzen auf.
ii.) Stellen Sie das entsprechende Interpolationspolynom auf.
1.3 Welche Eigenschaften (Stetigkeit, Differenzierbarkeit) hat ein kubischer B-Spline an einem
3-fachen Knoten?
Aufgabe 2: Lineare Gleichungssysteme
9 Punkte
2.1 Geben Sie
i.) ein notwendiges und hinreichendes
ii.) und ein hinreichendes
Konvergenzkriterium für ein Iterationsverfahren x (k+1) = Mx (k) + s zur Lösung eines linearen
Gleichungssystems an.
2.2 Stellen Sie die Idee von iterativen Gleichungslösern am Beispiel eines 2x2 Systems und
des Gauß-Seidel-Verfahrens (Einzelschrittverfahren) dar.
Aufgabe 3: Nichtlineare Gleichungssysteme
11 Punkte
3.1 Geben Sie die Fixpunkt- und Standardform einer nichtlinearen Gleichung an.
3.2 Geben Sie die drei zentralen Aussagen des Banachschen Fixpunktsatzes sinngemäß wieder
(keine Formel erforderlich).
3.3 Was bedeutet quadratische Konvergenz eines iterativen Verfahrens?

129
Aufgabe 4: Integration und Differentiation
7 Punkte
4.1 Geben Sie die Definition für die Ordnung m eines Quadraturverfahrens an.
4.2 Von welchen zwei Faktoren hängt der Fehler einer Newton-Cotes Quadraturformel im
wesentlichen ab?
4.3 Begründen Sie, warum die Summe über die Gewichte einer Gaußschen Integrationsformel
immer 2 ergeben muß.
Aufgabe 5: Gewöhnliche Differentialgleichungen
13 Punkte
5.1 Es sei das 3-Schrittverfahren
gegeben.
y m+3 − 5y m+1 = h 2 (2 f m+2 + 4 f m+1 − f m )
i.) Ist dies ein explizites oder implizites Verfahren?
ii.) Geben Sie die charakteristischen Polynome an.
iii.) Ist dieses Verfahren nullstabil?
5.2 Bei Mehrschrittverfahren gibt es sogenannte Startwerte:
i.) Wozu werden diese benötigt?
ii.) Wieviele sind bei einem 3-Schritt-Verfahren notwendig?
5.3 Häufig werden Runge-Kutta-Verfahren benutzt:
i.) Sind dies Ein- oder Mehrschrittverfahren?
ii.) Was bedeutet s-stufiges Runge-Kutta-Verfahren?
iii.) Geben Sie einen Nachteil und einen Vorteil von impliziten Runge-Kutta-Verfahren
an.
Lösung zu Aufgabe 1: Interpolation
10 Punkte
1.1 Polynominterpolationen sind nach dem Satz von Peano eindeutig. Damit muß jede Berechnungsvorschrift
auf das gleiche Polynom führen.
➁

130 B Aufgaben
1.2 i.)
0 1 2 3 4
0 1
0 1
1
2
0
1
2
0 1
1
2
−1
1 − 1 2
1 2 0
1
1 2
1
2
➃
ii.)
P(x) = 1 + 1 2 (x − 0) + 0 · (x − 0)2 + 1 2 (x − 0)3 − 1 · (x − 0) 3 (x − 1)
= 1 + 1 2 x + 3 2 x3 − x 4 ➁
1.3 Es ist stetig, aber nicht differenzierbar. ➁
Lösung zu Aufgabe 2: Lineare Gleichungssysteme
9 Punkte
2.1 i.) Für den Spektralradius muß gelten: ρ(M) < 1 ➁
ii.) starkes Zeilensummenkriterium: Für die Systemmatrix A von Ax = b muß gelten:
|a i j | < |a ii | 1 ≤ i ≤ n ➂
∑ n j=1
j≠i
2.2 Ausgehend von zwei beliebigen Startwerten x (0)
1(
und x (0)
2 )
➀ wird nach der Vorschrift
➀ a } (k+1)
11x 1 +a 12 x 2 = r 1 x
1
=
a 1
11
r 1 − a 12 x (k)
2
(
)
a 21 x 1 +a 22 x 2 = r 2 x (k+1)
2
=
a 1
22
r 2 − a 21 x (k+1) iteriert. ➁
1
Lösung zu Aufgabe 3: Nichtlineare Gleichungssysteme
11 Punkte
3.1 Fixpunktform: x = T (x), Standardform: f (x) = 0. ➁
(
3.2 • Wenn die Abbildung T x (k)) kontrahierend ist, dann besitzt die nichtlineare Gleichung
einen Fixpunkt x ∗ .
➁

131
• Eine Fixpunktiteration ( konvergiert gegen diesen Fixpunkt für jeden beliebigen Startwert
x (0) , falls T x (k)) kontrahierend ist.
• Der Fehler ist durch die Lipschitzkonstante beschränkt und abschätzbar.
3.3 Quadratische Konvergenz bedeutet, daß sich die Norm des Fehlers pro Iterationsschritt
für k → ∞ quadratisch, also „hoch zwei“ verbessert. In Formeln lim k→∞
‖e k+1 ‖
‖e k ‖ p = K. ➂
➁
➁
Lösung zu Aufgabe 4: Integration und Differentiation
7 Punkte
4.1 Bezeichnet E [ f ] den Fehler zwischen der exakten und der numerischen Lösung, so gilt
für die Ordnung m: E [x m ] ≠ 0 und E [ x m−1] = 0, d.h. ein Polynom vom Grade (m − 1)
wird exakt integriert.
4.2 Bei einer Newton-Cotes Formel für n + 1 Stützstellen von der n + 1-ten Ableitung der zu
integrierenden Funktion und von der Intervallänge.
➁
4.3 Die Summe über die Gewichte entspricht einer Integration über die konstante Funktion
f (x) = 1 im Intervall I = [−1;1]. Dies ergibt zwingend den Wert 2.
➁
➂
Lösung zu Aufgabe 5: Gewöhnliche Differentialgleichungen
13 Punkte
5.1 i.) Es ist ein explizites Verfahren. ➀
ii.) ρ(ξ) = ξ 3 − 5ξ und σ(ξ) = ξ 2 + 2ξ − 1 2
iii.) Die Wurzeln des charakteristischen Polynoms ρ(ξ) = ξ ( ξ 2 − 5 ) sind ξ 1 = 0 und
ξ 2,3 = ± √ 5. Da ξ 2,3 außerhalb des Einheitskreises liegen, ist dieses Verfahren nicht
nullstabil.
➁
5.2 i.) Für den ersten Rechenschritt benötigt ein k-Schrittverfahren alle Werte y 0 ,y 1 ,...,y k−1 .
Diese müssen bekannt sein, damit der erste Rechenschritt durchgeführt werden kann,
da all diese Werte in der entsprechenden Vorschrift auftreten.
ii.) Es sind 3 Werte notwendig.
5.3 i.) Es sind Einschrittverfahren. ➀
ii.) Es werden s Werte von f (x,y) zwischen (x m ,y m ) und (x m+1 ,y m+1 ) zur Auswertung
für einen Schritt herangezogen.
iii.) Nachteil: Es müssen nichtlineare Gleichungssysteme gelöst werden.
Vorteil: Es können sehr hohe Konsistenz/Konvergenzordnungen erreicht werden. ➀
➁
➁
➀
➁
➀

132 B Aufgaben
Frühjahr 1999: Rechenteil
Aufgabe 1: Interpolation
13 Punkte
Interpolieren Sie die Funktion f (x) = x 3 im Intervall I = [−1;1] mit den Stützstellen x 0 =
−1, x 1 = −0.5, x 2 = 0, x 3 = 0.5 und x 4 = 1 mit kubischen Splines. Sie können die Annahme
treffen, daß die zweiten Ableitungen am Rand von I sich wie die Hälfte der zweiten Ableitungen
der benachbarten Stützstellen verhalten.
Hinweis:
⎛ ⎞
⎛
a b 0
bc − d e be −b 2 ⎞
• A = ⎝c d b⎠ A −1 =
det
1 ⎝ ce −ae ab ⎠
0 c e
−c 2 ac bc − ad
det = abc−ad e+cbe
• Setzen Sie nur die Koeffizienten in die Splines ein, aber multiplizieren Sie diese nicht
mehr aus.
Aufgabe 2: Integration und Differentiation
7 Punkte
Sie haben die Funktion f (x) = cosx + x 2 mit der summierten Trapezregel im Intervall I = [0;5]
mit 5 Teilintervallen integriert. Schätzen Sie den Betrag des Integrationsfehlers nach oben und
unten ab.
Aufgabe 3: Gewöhnliche Differentialgleichungen
9 Punkte
Berechnen Sie die Koeffizienten des Mehrschrittverfahrens
α 2 y m+2 + α 1 y m+1 + α 0 y m = h f m+2 ,
sodaß die größtmögliche Konvergenzordnung erreicht wird, und geben Sie diese an.
Aufgabe 4: Nichtlineare Gleichungssysteme
11 Punkte
Gegeben ist die nichtlineare Gleichung
in der Standardform.
2x 2 − 5x + 1 = 0 x ∈ R +
4.1 Geben Sie zwei Fixpunktformen an.
4.2 Bestimmen Sie den Wertebereich von x ∈ R + der beiden in Teil a) bestimmten Fixpunktformen
für eine konvergente Fixpunktiteration.

133
Lösung zu Aufgabe 1: Interpolation
13 Punkte
Die äquidistante Intervallunterteilung ergibt ein h i = 1 2➀, sowie die Annahme über die Ableitungen
y ′′
0 = 1 2 y′′ 1 und y′′ 4 = 1 2 y′′ 3➁. Damit bestimmen sich die restlichen Ableitungen durch
⎛
2 1 ⎞⎛
2
0 y ′′ ⎞ ⎛
⎝ 1
2
2
2
1 1
⎠⎝y ′′ ⎠
0 1 2 = 1 −36 − y ′′ ⎞
1
⎝ 0 ⎠ ➁
4
2
2
36 − y ′′
3
zu y ′′
0 = −2, y′′ 1 = −4, y′′ 2
die Koeffizienten
y ′′
3
= 0, y′′ 3 = 4 und y′′ 4 = 2 ➁, womit die b i gegeben sind. Das führt auf
a 0 = − 2 3
a 1 = 4 3
a 2 = 4 3
a 3 = − 2 3
c 0 = 2.42 c 1 = 0.92 c 2 = −0.083 c 3 = 0.92 ➀
Abschließend erhält man die Splines
s 0 (x) = − 2 3 (x + 1)3 − (x + 1) 2 + 2.42(x + 1) − 1
s 1 (x) = 4 (
x + 1 3 (
− 2 x +
3 2) 1 2 (
+ 0.92 x +
2) 1 )
− 1 2 8
s 2 (x) = 4 3 x3 − 0.083x
s 3 (x) = − 2 (
x − 1 3 (
+ 2 x −
3 2) 1 2 (
+ 0.92 x −
2) 1 )
+ 1 2 8
➀
➁
Es wurden noch zwei Rechenpunkte vergeben.
Lösung zu Aufgabe 2: Integration und Differentiation
➁
7 Punkte
Der Fehler der summierten Trapezregel ist E 1S [ f ] = − h2 (b−a)
12
f ′′ (ξ). Hier sind h = 1, b −
a = 5 ➁und f ′′ (x) = 2 − cosx➀. Die zweite Ableitung kann also durch 1 ≤ | f ′′ (x)| ≤ 3
➁abgeschätzt werden. Damit wird der Fehler durch 5
12 ≤ |E 1S[ f ]| ≤ 5 4
➁abgeschätzt.
Lösung zu Aufgabe 3: Gewöhnliche Differentialgleichungen
9 Punkte
Mit den freien 4 Konstanten können maximal die folgenden 4 Gleichungen erfüllt werden.
p = 0 : α 0 + α 1 + α 2 = 0
p = 1 : α 1 + 2α 2 = 1 ➁
p = 2 :
1
2 α 1 + 2α 2 = 2

134 B Aufgaben
Die Lösung dieses Gleichungssystems führt auf α 0 = 1 2 , α 1 = −2 und α 2 = 3 2
➀. Dies ergibt
eine Konsistenzordnung von p = 2 ➀. Es muß nun überprüft werden, ob auch p = 3 erfüllt
wird.
p = 3 :
1
6 (−2) + 4 3
3 2 = −1 3
Dies ist nicht der Fall. Da nach der Konvergenz und nicht nur Konsistenz gefragt ist, müssen
noch die Wurzeln des charakteristischen Polynoms ρ(ξ) = 3 2 ξ2 − 2ξ + 1 2
➀untersucht werden.
Diese sind ξ 1 = 1 und ξ 2 = 1 3
➁. Damit ist das Verfahren nullstabil und konvergent mit der
Ordnung p = 2 ➀.
➀
Lösung zu Aufgabe 4: Nichtlineare Gleichungssysteme
11 Punkte
4.1 Die Umformung nach x ergibt die zwei Fixpunktformen
√
5
• x =
2 x − 1 2 mit x ∈ [ 1 5 ,∞[ ➁
• x =
5 2x2 + 1 5
mit x ∈ R+
➁
4.2 Die Ableitung dieser Fixpunktformen muß kleiner Eins sein ➀. Damit gilt:
• |T ′ 5
(x)| = |
2 √ 33
| < 1 für x ∈]
10x−2 40 ;∞[ ➂
• |T ′ (x)| = | 4 5 x| < 1 für x ∈ [0; 5 4 [
➂

135
Herbst 2001: Fragenteil
Aufgabe 1: Interpolation
14 Punkte
1.1 Wovon hängt bei der Polynominterpolation der Fehler im wesentlichen ab? (zwei Abhängigkeiten)
1.2 Sie haben für eine Hermite-Interpolation folgende Werte
gegeben
f (x) f ′ (x) f ′′ (x)
0 1
1
2
0
1 2 1 −
i.) Stellen Sie das Schema der dividierten Differenzen auf.
ii.) Stellen Sie das entsprechende Interpolationspolynom auf.
1.3 Formulieren Sie die Bedingungen zur Bestimmung von natürlichen kubischen Splines.
Aufgabe 2: Lineare Gleichungssysteme
11 Punkte
2.1 Geben Sie zwei Gründe für den Einsatz von Pivotstrategien an.
2.2 Nennen Sie zwei Matrixeigenschaften der Matrix A, die eine Pivotstrategie beim Lösen
des Gleichungssystems Ax = b unnötig machen.
2.3 Bei sehr großen Gleichungssystemen werden gerne iterative Gleichungslöser benutzt:
i.) Welche Vorteile haben iterative Gleichungslöser gegenüber z.B. dem Gaußschen
Algorithmus? (zwei Vorteile)
ii.) Stellen Sie die Idee von iterativen Gleichungslösern am Beispiel eines 2x2 Systems
und des Gauß-Seidel-Verfahrens (Einzelschrittverfahren) dar.
Aufgabe 3: Nichtlineare Gleichungssysteme
13 Punkte
3.1 Beschreiben Sie das Bisektions-Verfahren.
3.2 Geben Sie die drei zentralen Aussagen des Banachschen Fixpunktsatzes sinngemäß wieder
(keine Formel erforderlich).

136 B Aufgaben
3.3 Geben Sie den Vorteil und zwei Nachteile des Newton-Verfahrens an.
Aufgabe 4: Integration und Differentiation
10 Punkte
4.1 Geben Sie die Definition für die Ordnung m eines Quadraturverfahrens an.
4.2 Gegeben sind für eine Gaußsche Quadraturformel folgende 5 Stützstellen x i mit den Gewichten
w i :
x i −1.906179 −0.538469 0 0.538469 0.906179
w i 0.236926 0.478628 0.568888 0.478628 0.236926
i.) Welche Stützstelle ist falsch? (Begründung!)
ii.) Welche Ordnung kann diese Quadraturformel maximal erreichen?
iii.) Wie kann sehr einfach getestet werden ob die Integrationgewichte richtig sind?
Aufgabe 5: Gewöhnliche Differentialgleichungen
16 Punkte
5.1 Es sei das 4-Schrittverfahren
gegeben.
y m+4 − y m+2 = h 3 (8 f m+3 − 5 f m+2 + 4 f m+1 − f m )
i.) Ist dies ein explizites oder implizites Verfahren?
ii.) Geben Sie die charakteristischen Polynome an!
iii.) Ist dieses Verfahren nullstabil?
5.2 Implizite Mehrschrittverfahren erreichen bei gleicher Schrittzahl oft eine höhere Konvergenzordnung
als explizite Verfahren:
i.) Welche Probleme ergeben sich beim impliziten Verfahren im Gegensatz zu den expliziten
Verfahren, und wie können diese Probleme beseitigt werden?
ii.) Welches Einsatzgebiet haben implizite Verfahren?
5.3 Häufig werden Runge-Kutta-Verfahren benutzt:
i.) Sind dies Ein- oder Mehrschrittverfahren?
ii.) Was bedeutet s-stufiges Runge-Kutta-Verfahren?
iii.) Geben Sie einen Nachteil und einen Vorteil von impliziten Runge-Kutta-Verfahren
an.

137
Lösung zu Aufgabe 1: Interpolation
14 Punkte
1.1 • von der Wahl der Stützstellen – äquidistant oder nicht – ➀
1.2 i.)
• von der (n + 1)ten Ableitung der Funktion an einer unbekannten Stelle x 0 < ξ < x n
➁
0 1 2 3 4
0 1
0 1
1
2
0
1
2
0 1
1
2
−1
1 − 1 2
1 2 0
1
1 2
1
2
➃
ii.)
P(x) = 1 + 1 2 (x − 0) + 0 · (x − 0)2 + 1 2 (x − 0)3 − 1 · (x − 0) 3 (x − 1)
= 1 + 1 2 x + 3 2 x3 − x 4 ➁
1.3
d 4 s
= 0 Polynom 3. Grades ➀
dx4 s ′′ (x i ) + = s ′′ (x i ) − Stetigkeit der 2. Ableitung ➀
s(x i ) = y i Interpolationsbed. ➀
s ′′ (x 0 ) = s ′′ (x n ) = 0
➁
Lösung zu Aufgabe 2: Lineare Gleichungssysteme
11 Punkte
2.1 • Vermeidung von „Null-Pivots“, da diese ein Lösen unmöglich machen würden. ➀
• Vermeidung von Addition oder Subtraktion sehr großen von sehr kleinen Werten.
Dies würde nötig sein, wenn das Pivotelement eine andere Größenordnung besitzt
als die restlichen Elemente. Damit verringert eine Pivotstrategie den Rundungsfehler.
➁

138 B Aufgaben
2.2 • A positiv definit. ➀
• A diagonal dominant.
2.3 i.) Sie lösen mit weniger Aufwand und haben manchmal weniger Rundungsfehler. ➁
ii.) Ausgehend von zwei beliebigen Startwerten x (0)
1(
und x (0)
2
➀wird
)
nach der Vorschrift
➀ a } (k+1)
11x 1 +a 12 x 2 = r 1 x
1
=
a 1
11
r 1 − a 12 x (k)
2
(
)
a 21 x 1 +a 22 x 2 = r 2 x (k+1)
2
=
a 1
22
r 2 − a 21 x (k+1) iteriert. ➁
1
➀
Lösung zu Aufgabe 3: Nichtlineare Gleichungssysteme
13 Punkte
3.1 Bedingung f (a) f (b) < 0 mit x ∈ [a,b], danach Intervallhalbierung. Neue Intervallgrenze
f ( ) (
a+b
2 für f (a), falls f (a) gleiches Vorzeichen hat wie f a+b
)
2 , sonst wird f (b) durch
f ( )
a+b
2 ersetzt. Diese Intervallhalbierung wird solange durchgeführt, bis die Intervalllänge
eine gewisse vorgegebene Größe unterschreitet. Der Mittelpunkt davon ist dann der
gesuchte Fixpunkt.
➃
(
3.2 • Wenn die Abbildung T x (k)) kontrahierend ist, dann besitzt die nichtlineare Gleichung
einen Fixpunkt x ∗ .
• Eine Fixpunktiteration ( konvergiert gegen diesen Fixpunkt für jeden beliebigen Startwert
x (0) , falls T x (k)) kontrahierend ist.
• Der Fehler ist durch die Lipschitzkonstante beschränkt und abschätzbar.
3.3 Vorteil: Quadratische Konvergenz. ➀
Nachteil: (1) Konvergenz nur, wenn Startwert ‘nahe genug’ an der Lösung liegt.
(2) Die Ableitung der zu lösenden Funktion muß vorliegen oder aufwendig berechnet
werden.
➀
➁
➁
➁
➀
Lösung zu Aufgabe 4: Integration und Differentiation
10 Punkte
4.1 Bezeichnet E [ f ] den Fehler zwischen der exakten und der numerischen Lösung, so gilt
für die Ordnung m: E [x m ] ≠ 0 und E [ x m−1] = 0, d.h. ein Polynom vom Grade (m − 1)
wird exakt integriert.
4.2 i.) x 0 = −1.906179 muß heißen x 0 = −0.906179, da die Stützstellen immer paarweise
symmetrisch und innerhalb des Intervalls [−1,1] liegen.
ii.) Maximal m = 2n, d.h. m max = 10
➂
➁
➁

139
iii.) Das Integral R 1
−1 dx über die konstante Funktion f (x) = 1 hat den Wert Zwei. Die
numerische Formel ist dann nur die Summe über die Gewichte ∑ n i=0 w i (x i ) = 2. ➂
Lösung zu Aufgabe 5: Gewöhnliche Differentialgleichungen
16 Punkte
5.1 i.) explizit, da β 4 = 0 gilt. ➀
ii.) ρ(ξ) = ξ 4 − ξ 2 , σ(ξ) = 8 3 ξ3 − 5 3 ξ2 + 4 3 ξ − 1 3
➁
iii.) ja, da ρ(ξ) = ξ 2 ( ξ 2 − 1 ) die Wurzeln ξ 1 = 0 und ξ 2,3 = ±1 besitzt, und die Wurzeln
ξ 2,3 einfach sind.
5.2 i.) Zur Lösung der Aufgabe müssen implizite Gleichungen gelöst werden, wenn die
DGL nichtlinear ist. Dies wird umgangen durch den Einsatz eines Prädiktor-Korrektor-
Verfahrens.
ii.) steife DGL’s
5.3 i.) Es sind Einschrittverfahren. ➀
ii.) Es werden s Werte von f (x,y) zwischen (x m ,y m ) und (x m+1 ,y m+1 ) zur Auswertung
für einen Schritt herangezogen.
iii.) Nachteil: Es müssen nichtlineare Gleichungssysteme gelöst werden.
Vorteil: Es können sehr hohe Konsistenz/Konvergenzordnungen erreicht werden. ➀
➃
➂
➀
➁
➀

140 B Aufgaben
Aufgabe 1: Interpolation
Herbst 2001: Rechenteil
12 Punkte
Gegeben ist die periodische Funktion f (x). Diese soll mit fünf äquidistanten Stützstellen x 0 =
0,x 1 = 0.2,x 2 = 0.4,x 3 = 0.6,x 4 = 0.8,x 5 = 1 im Intervall I = [0;1] mit kubischen periodischen
Splines interpoliert werden.
1.1 Wie lauten in diesem Fall die Bestimmungsgleichungen der periodischen Splines?
1.2 Stellen Sie das Gleichungssystem zur Berechnung der zweiten Ableitungen soweit auf,
daß es gelöst werden könnte.
Hinweis: Das Gleichungssytem soll nicht gelöst, sondern nur lösungsbereit aufgestellt werden.
Aufgabe 2: Nichtlineare Gleichungssysteme
14 Punkte
Gegeben ist die nichtlineare Gleichung
1
2 sinx + x = 1 x ∈ R .
2.1 Geben Sie eine kontrahierende Fixpunktform und deren Wertebereich an (Nachweis erforderlich).
2.2 Finden Sie einen geeigneten Startwert, um ein Newton-Verfahren zur Lösung benutzen
zu können (Raten ist nicht zulässig).
2.3 Berechnen Sie die ersten drei Schritte des Newton-Verfahrens mit einem Startwert von
x 0 = 0.7.
Aufgabe 3: Gewöhnliche Differentialgleichungen
10 Punkte
Gegeben ist die Differentialgleichung zweiter Ordnung
y ′′ − 2y = 1 mit y ′ (x = 0) = 0 , y(x = 0) = 1 .
Diese soll mit dem expliziten 3-Schritt-Verfahren
gelöst werden.
y m+1 = y m + h
12 [23 f m − 16 f m−1 + 5 f m−2 ] mit h = 1 = const.
3.1 Führen Sie eine Startrechnung mit dem expliziten Euler-Verfahren durch.

141
3.2 Berechnen Sie die ersten zwei Schritte des obigen Mehrschrittverfahrens.
Lösung zu Aufgabe 1
12 Punkte
a.) Die Bedingungen lauten:
d 4 s
dx 4 = 0 s′′ (x i ) + = s ′′ (x i ) − s(x i ) = y i ➁
s ′′ (x 0 ) = s ′′ (x 5 ) s(x 0 ) = s(x 5 ) s ′ (x 0 ) = s ′ (x 5 ) ➂
b.) Die äquidistante Intervallunterteilung ergibt ein h i = h = 0.2➀. Damit bestimmen sich
die zweiten Ableitungen durch
⎛ ⎞⎛
4 1 y ′′ ⎞ ⎛
1 6(y 2 − y 1 ) − 6(y 1 − y 0 ) − h 2 y ′′ ⎞
h 2 ⎜1 4 1
⎟⎜y ′′
0
2
⎝ 1 4 1⎠⎝y ′′ ⎟
⎠ = ⎜ 6(y 3 − y 2 ) − 6(y 2 − y 1 )
⎟
⎝
3 6(y 4 − y 3 ) − 6(y 3 − y 2 ) ⎠ ➀
1 4 y ′′
4 6(y 5 − y 4 ) − 6(y 4 − y 3 ) − h 2 y ′′
0
Die fehlende Gleichung erhält man durch s ′ (x 0 ) = s ′ (x 5 )
s ′ 4 (x 5 ) = y 5 − y 4
4
h = s ′ 0 (x 0 ) = y 1 − y 0
0
h
h 6
h 6
6(y 1 − y 0 ) − 6(y 5 − y 4 ) = h 2 ( 2y ′′
5 + y′′ 4 + y ′′
1 + 2y ′′ )
0
+ 2y′′ 5 + y′′
Damit ist das zu lösende Gleichungssystem
⎛
⎞⎛
4 1 1 y ′′ ⎞ ⎛
0
h 2 1 4 1
y ′′
1
⎜ 1 4 1
⎟⎜y ′′
2
⎝ 1 4 1⎠⎝y ′′ ⎟
⎠ = ⎜
⎝
3
1 1 4
y ′′
4
− y′′ 1 + 2y′′
6(y 1 − y 0 ) − 6(y 5 − y 4 )
6(y 2 − y 1 ) − 6(y 1 − y 0 )
6(y 3 − y 2 ) − 6(y 2 − y 1 )
6(y 4 − y 3 ) − 6(y 3 − y 2 )
6(y 5 − y 4 ) − 6(y 4 − y 3 )
⎞
⎟
⎠
➁
➀
➁
Lösung zu Aufgabe 2
14 Punkte
a.) Eine kontrahierende Fixpunktform ist x = 1 − 1 2
sinx, da die hinreichende Bedingung
|T ′ (x)| =
2 1 cosx < 1 für alle x ∈ R erfüllt ist. ➂

142 B Aufgaben
b.) Bisektionsverfahren für die Standardform f (x) = 1 2
sinx +x−1 = 0 wird benutzt um den
Startwert einzugrenzen.
c.)
Startintervall wird gewählt zu [0;1], da f (x = 0) < 0 , f (x = 1) > 0.
1. Schritt f (x = 0.5) = −0.26 ⇒ neues Intervall [0.5;1] ➀
2. Schritt f (x = 0.75) = 0.090 ⇒ neues Intervall [0.5;0.75] ➀
Das genügt um Startwert auf x = 0.7 zu setzen, da | f (x = 0.75)| < | f (x = 0.5)|.
Newtonverfahren x (k+1) = x (k) 1
− 2
sinx (k) + x (k) − 1
➁
1
2 cosx(k) + 1
x (1) = 0.6840071567 x (2) = 0.6840366565 x (2) = 0.6840366566 ➂
➀
➀
➁
Lösung zu Aufgabe 3
10 Punkte
a.) Zuerst muß die DGL 2.Ordnung in ein System von 2 DGLs 1. Ordnung umgeformt werden.
Substitution z 1 = y , z 2 = y ′ ⇒ z′ 1 = z 2
z ′ 2 = 1 + 2z 1
➁
AB z 1 (x = 0) = 1 , z 2 (x = 0) = 0 ➁
Startrechnung mit explizitem Euler
( ) ( )
z2m
z m+1 = z m + h
1 + 2z ➀ 1
z1 =
1m 3
( ) 4
z 2 =
6 ➁
b.) Rechnung mit Mehrschrittverfahren
z m+3 = z m+2 + h ( )
23z2m+2 − 16z 2m+1 + 5z 2m
12 12 + 46z 1m+2 − 32z 1m+1 + 10z ➀
1m
( ) ( ) 11.5 44.04
z 3 = z
20.5 4 =
55.75 ➁

143
Herbst 2003: Fragenteil
Aufgabe 1: Interpolation
13 Punkte
1.1 Die Interpolation soll mit periodischen kubschen Splines erfolgen:
i.) Welche Bedingungen müssen diese Splines erfüllen?
ii.) Für welche Funktionen eignet sich diese Interpolation besonders?
iii.) Welchen Vorteil hat diese Spline-Interpolation gegenüber einer Newton-Interpolation
in Teilintervallen?
1.2 Sie haben mit der Lagrange- und der Newton-Interpolation die gleichen Werte (21 Paare
(x i ,y i ), i = 0,1,...,20) interpoliert:
i.) Erhalten Sie die gleichen Polynome?
ii.) Nennen Sie einen Vorteil der Newton- gegenüber der Lagrange-Interpolation.
iii.) Welchen Polynomgrad haben die Polynome?
1.3 B-Splines mit dem Trägervektor X = (x 0 ,x 1 ,...,x n ) sollen die Interpolationsbedingung
n ( )
∑ c i B i,k ξ j = y j an den Stützstellen ξ j erfüllen:
i=0
i.) Welchen Zusammenhang müssen x i und ξ i erfüllen?
ii.) Wieviel Koeffizienten c i werden bei einem B-Spline der Ordnung k = 5 zur Bestimmung
eines Wertes der zu interpolierenden Kurve benötigt?
Aufgabe 2: Lineare Gleichungssysteme
10 Punkte
2.1 i.) Geben Sie die Definition für eine diagonal dominante Matrix an.
ii.) Geben Sie dazu ein Beispiel (3x3 Matrix) an.
2.2 Für eine gegebene Matrix A berechnen zwei Personen unabhängig voneinander unterschiedliche
Konditionszahlen cond(A):
i.) Wie ist die Kondition einer Matrix definiert?
ii.) Ist es möglich, daß beide Personen jeweils die Konditionszahl korrekt bestimmt
haben?
2.3 Bei sehr großen Gleichungssystemen werden gerne iterative Gleichungslöser benutzt:

144 B Aufgaben
i.) Welche Vorteile haben iterative Gleichungslöser gegenüber z.B. dem Gaußschen
Algorithmus? (zwei Vorteile)
ii.) Stellen Sie die Idee von iterativen Gleichungslösern am Beispiel eines 2x2 Systems
und des Gauß-Seidel-Verfahrens (Einzelschrittverfahren) dar.
Aufgabe 3: Nichtlineare Gleichungssysteme
10 Punkte
3.1 Geben Sie die Fixpunkt- und Standardform einer nichtlinearen Gleichung an.
3.2 Geben Sie eine kontrahierende Fixpunktform der Gleichung x − sinx = 0, x ∈ [−1;1] an.
Schränken Sie notfalls den Wertebereich von x ein.
3.3 Beschreiben Sie das Bisektions-Verfahren.
3.4 Wann und mit welcher Ordnung konvergiert das Newton-Verfahren?
Aufgabe 4: Integration und Differentiation
12 Punkte
4.1 Gegeben sind für eine Gaußsche Quadraturformel folgende 5 Stützstellen x i mit den Gewichten
w i :
x i −1.906179 −0.538469 0 0.538469 0.906179
w i 0.236926 0.478628 0.568888 0.478628 0.236926
i.) Welche Stützstelle ist falsch? (Begründung!)
ii.) Welche Ordnung kann diese Quadraturformel maximal erreichen?
iii.) Wie kann sehr einfach getestet werden ob die Integrationgewichte richtig sind?
4.2 Von welchen zwei Faktoren hängt der Fehler einer Newton-Cotes Quadraturformel im
wesentlichen ab?
4.3 Die numerische Differentiation soll aus Stabilitätsgründen vermieden werden. Begründen
Sie warum dies so ist am Beispiel einer Differentiation erster Ordnung (keine Rechnung).

145
Aufgabe 5: Gewöhnliche Differentialgleichungen
15 Punkte
5.1 Formulieren Sie ein Anfangswertproblem 1. Ordnung.
5.2 Welche Bedingungen muß dieses Anfangswertproblem erfüllen, wenn es genau eine Lösung
hat?
5.3 Ein Einschrittverfahren ist konsistent mit der Ordnung p:
i.) Was bedeutet dies für den Fehler?
ii.) Ist solch ein Verfahren auch konvergent?
5.4 Es sei das 4-Schrittverfahren
gegeben.
y m+4 − y m+2 = h 3 (8 f m+3 − 5 f m+2 + 4 f m+1 − f m )
i.) Ist dies ein explizites oder implizites Verfahren?
ii.) Geben Sie die charakteristischen Polynome an?
iii.) Ist dieses Verfahren nullstabil?
5.5 Implizite Mehrschrittverfahren erreichen bei gleicher Schrittzahl oft eine höhere Konvergenzordnung
als explizite Verfahren:
i.) Welche Probleme ergeben sich beim impliziten Verfahren im Gegensatz zu den expliziten
Verfahren, und wie können diese Probleme beseitigt werden?
ii.) Welches Einsatzgebiet haben implizite Verfahren?
Lösung zu Aufgabe 1: Interpolation
13 Punkte
1.1 i.)
d 4 s
= 0 Polynom 3. Grades ➀
dx4 s ′′ (x i ) + = s ′′ (x i ) − Stetigkeit der 2. Ableitung ➀
s(x i ) = y i Interpolationsbed. ➀
s ′′ (x 0 ) = s ′′ (x n )
s(x 0 ) = s(x n )
➀
➀

146 B Aufgaben
ii.) Periodische Funktionen, z.B. sinx
iii.) Es werden glatte Funktionen erzeugt, d.h. die Krümmung ist stetig. Bei Newton
könnten Knicke an den Intervallgrenzen auftreten.
➁
1.2 i.) ja, da die Polynominterpolation eindeutig ist. ➀
ii.) Es können mühelos weitere Stützstellen hinzugefügt werden, ohne nochmal alles
neu berechnen zu müssen.
iii.) Grad 20 (einen weniger als Stützstellen)
1.3 i.) x i < ξ i < x i+k ➀
ii.) Es werden 5 Koeffizienten benötigt (Lokalität der B-Splines).
➀
➀
➀
➀
Lösung zu Aufgabe 2: Lineare Gleichungssysteme
10 Punkte
2.1 i.) |a ii | > n ∑
ii.)
j=1
j≠i
⎛
5 0
⎞
1
⎝2 5 0⎠
0 0 1
|a i j | ➀
2.2 i.) cond(A) = ‖A‖‖A −1 ‖ ➀
ii.) Ja, wenn unterschiedliche Normen benutzt wurden.
2.3 i.) Sie lösen mit weniger Aufwand und haben manchmal weniger Rundungsfehler. ➁
ii.) Ausgehend von zwei beliebigen Startwerten x (0)
1(
und x (0)
2
➀wird
)
nach der Vorschrift
➀ a } (k+1)
11x 1 +a 12 x 2 = r 1 x
1
=
a 1
11
r 1 − a 12 x (k)
2
(
)
a 21 x 1 +a 22 x 2 = r 2 x (k+1)
2
=
a 1
22
r 2 − a 21 x (k+1) iteriert. ➁
1
➀
➀
Lösung zu Aufgabe 3: Nichtlineare Gleichungssysteme
10 Punkte
3.1 Fixpunktform: x = T (x), Standardform: f (x) = 0. ➁
3.2 Eine kontrahierende Fixpunktform ist x = sinx, da T ′ (x) = cosx < 1 gilt für alle x ∈
[−1;1],x ≠ 0. Es muß also der Definitionsbereich eingeschränkt werden. ➂

147
3.3 Bedingung f (a) f (b) < 0 mit x ∈ [a,b], danach Intervallhalbierung. Neue Intervallgrenze
f ( ) (
a+b
2 für f (a), falls f (a) gleiches Vorzeichen hat wie f a+b
)
2 , sonst wird f (b) durch
f ( )
a+b
2 ersetzt. Diese Intervallhalbierung wird solange durchgeführt, bis die Intervalllänge
eine gewisse vorgegebene Größe unterschreitet. Der Mittelpunkt davon ist dann der
gesuchte Fixpunkt.
➂
3.4 Für einen Startwert der „nahe genug“ bei der gesuchten Lösung liegt. Falls Konvergenz
vorliegt, dann quadratische Ordnung.
➁
Lösung zu Aufgabe 4: Integration und Differentiation
12 Punkte
4.1 i.) x 0 = −1.906179 muß heißen x 0 = −0.906179, da die Stützstellen immer paarweise
symmetrisch und innerhalb des Intervalls [−1,1] liegen.
ii.) Maximal m = 2n, d.h. m max = 10
iii.) Das Integral R 1
−1 dx über die konstante Funktion f (x) = 1 hat den Wert Zwei. Die
numerische Formel ist dann nur die Summe über die Gewichte ∑ n i=0 w i (x i ) = 2. ➂
4.2 Bei einer Newton-Cotes Formel für n + 1 Stützstellen von der n + 1-ten Ableitung der zu
integrierenden Funktion und von der Intervallänge.
➁
4.3 Der Rechenfehler geht mit der Ordnung O (h) und der Verfahrensfehler mit O ( h −1) gegen
Null. Daher wird bei kleiner werdender Schrittweite der Gesamtfehler zuerst kleiner,
und dann wieder größer.
➂
➁
➁
Lösung zu Aufgabe 5: Gewöhnliche Differentialgleichungen
15 Punkte
5.1 y ′ (x) = f (x,y) ➁, y(x = x 0 ) = y 0 ➀
5.2 f (x,y) muß Lipschitz-stetig sein. ➀
5.3 i.) Der lokale Fehler geht mit h p gegen Null, d.h. halbieren der Schrittweite ergibt
1
2 p
kleineren Fehler.
ii.) Nur wenn die Verfahrensfunktion Lipschitz-stetig ist.
5.4 i.) explizit, da β 4 = 0 gilt. ➀
ii.) ρ(ξ) = ξ 4 − ξ 2 , σ(ξ) = 8 3 ξ3 − 5 3 ξ2 + 4 3 ξ − 1 3
➁
iii.) ja, da ρ(ξ) = ξ 2 ( ξ 2 − 1 ) die Wurzeln ξ 1 = 0 und ξ 2,3 = ±1 besitzt, und die Wurzeln
ξ 2,3 einfach sind.
➀
➀
➂

148 B Aufgaben
5.5 i.) Zur Lösung der Aufgabe müssen implizite Gleichungen gelöst werden, wenn die
DGL nichtlinear ist. Dies wird umgangen durch den Einsatz eines Prädiktor-Korrektor-
Verfahrens.
ii.) steife DGL’s
➁
➀

149
Herbst 2003: Rechenteil
Aufgabe 1
8 Punkte
Gegeben sei das implizite Eulerverfahren
y m+1 = y m + h f (x m+1 ,y m+1 ) .
a.) Zeigen Sie, daß es die Konsitenzordnung p max = 1 besitzt!
b.) Wie groß ist die Fehlerkonstante C ∗ p?
Hinweis: Die Berechnung der Konsistenzordnung mit den Formeln für Mehrschrittverfahren ist
kein Nachweis. Gehen Sie davon aus, daß y m = y(x m ) exakt vorliegt.
Aufgabe 2
10 Punkte
Gegeben ist die nichtlineare Gleichung
a.) Geben Sie zwei Fixpunktformen an.
1
2 sinx + x2 − x = 1 x ∈ R .
b.) Zeigen Sie für eine dieser zwei Fixpunktformen das sie kontrahierend ist und in welchem
Wertebereich dies gilt?
c.) Berechnen Sie die ersten zwei Schritte des Sekanten-Verfahrens mit den Startwerten x 0 =
0.7 und x 1 = 0.8.
Aufgabe 3
12 Punkte
Gegeben ist das Zwei-Schrittverfahren
y m+2 + α 1 y m+1 = h[β 0 f m + β 1 f m+1 + β 2 f m+2 ] .

150 B Aufgaben
Bestimmen Sie die freien Koeffizienten α 1 ,β 0 ,β 1 und β 2 so, daß ein Verfahren entsteht das eine
maximale Konsistenzordnung erreicht aber noch nullstabil ist.
Hinweis: Die Koeffizienten müssen berechnet werden!
Lösung zu Aufgabe 1
8 Punkte
Der lokale Diskretisierungsfehler ist
le = y(x m+1) − y(x m )
h
− f (x m+1 ,y m+1 ) ➁.
Es werden eine Taylor-Reihenentwicklung für y(x m+1 ) und für f (x m+1 ,y m+1 ) benötigt. Diese
lauten:
y(x m+1 ) = y(x m ) + h f (x m ,y(x m )) + h2
2 f ′ (x m ,y(x m )) + O ( h 3) ➁
f (x m+1 ,y m+1 ) = f (x m ,y(x m )) + h f ′ (x m ,y(x m )) + O ( h 2) ➁
Setz man diese Entwicklungen in den lokalen Fehler le ein, so erkennt man le = h 2 f ′ + O ( h 2) .
Damit ist gezeigt, daß das implizite Euler-Verfahren die Ordnung p = 1 und die Fehlerkonstante
C ∗ p = 1 2 besitzt.
➁
Lösung zu Aufgabe 2
10 Punkte
a.) Die zwei Fixpunktformen lauten:
x = 1 2 sinx + x2 − 1 ➀ x =
Die erste ist kontrahierend, da gilt
|T ′ (x)| = | 1 2 cosx + 2x| ≤ |1 2
√
1 + x − 1 2 sinx ➀
cosx| + 2|x| < 1 ➁ für − 0.5 < x < 0.5 ➁
b.) Die Formel für das Sekanten-Verfahren lautet in diesem Fall
(
12
sinx (k) − x (k) + x (k)2 − 1)(x (k−1) − x (k))
x (k+1) = x (k) − ( ➁
1
2 sinx (k−1) − sinx (k)) − x (k−1) + x (k) + x (k−1)2 − x (k)2
Damit können die Werte x 2 = 1.725643229 und x 3 = 1.279301234 berechnet werden ➁.

151
Lösung zu Aufgabe 3
12 Punkte
Das Verfahren hat die Parameter α 2 = 1 und α 0 = 0 gegeben. Damit berechnet sich die Konsistenzordnung
zu:
p = 0 :
p = 1 :
p = 2 :
p = 3 :
α 1 = −α 2 = −1 ➀
β 0 + β 1 + β 2 = 1 ➀
β 1 + 2β 2 = 3 ➀ 2
1
2 β 1 + 4 2 β 2 = 7 6 ➀
Die letzten drei Gleichungen sind ein lösbares Gleichungssystem für die β’s. Diese lauten β 0 =
−
12 1 ,β 1 =
12 8 und β 2 =
12 5 ➂. Auf Grund der ersten Dahlquist-Schranke weis man, daß die
Konsistenzordnung p = 3 die maximal mögliche ist ➂.
Die Wurzel des charakteristischen Polynoms ist:
ρ(ξ) = 1 − ξ = 0 ⇒ ξ 1 = 1
welche einfach ist. Damit ist auch die Nullstabilität gezeigt ➁.