Seminar: Galois-Theorie SS 2007 Resultanten

Seminar: Galois-Theorie
SS 2007
Resultanten
Sabrina Haase
13.09.2007

Zusammenfassung
Dies ist die schriftliche Ausarbeitung des Seminarvortrags, den ich am 23.05.07
innerhalb des Vorlesung ”
Galois-Theorie“ gehalten habe. Es werden Resultanten
definiert, ihre Anwendungsmöglichkeiten dargestellt und einige Eigenschaften
bewiesen. Hauptsächlich wurde als Quelle das Buch ”
Algebra“ von
S. Lang benutzt.

Inhaltsverzeichnis
1 Definition 1
2 Eigenschaften 3
2.1 Nullstellen der Resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Resultante und Diskriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Beispiele 10
Literaturverzeichnis 12

1 Definition
Definition 1.1 (Resultante). Sei A ein kommutativer Ring und seien v 0 , . . . , v n , w 0 , . . . , w m
algebraisch unabhängig über A.
Wir betrachten folgende zwei Polynome:
f v (X) = v 0 X n + . . . + v n
g w (X) = w 0 X m + . . . + w m
Die Resultante wird nun definiert als Determinante der Sylvesterschen Matrix
von f v und g w :
⎛
⎞
v 0 v 1 · · · v n
v 0 v 1 · · · v n
. .. . ..
v 0 · · · v n
Sylv(f v , g w ) =
w 0 w 1 · · · w m
w 0 w 1 · · · w m
. .. . ..
⎜
⎟
⎝
w 0 · · · w m
⎠
Die Sylvestersche Matrix ist eine (m + n) × (m + n)-Matrix. In den ersten m
Zeilen stehen die Koeffizienten von f v , in jeder Zeile jeweils um eine Stelle
nach rechts versetzt; analog sind die letzten n Zeilen gebildet. Alle übrigen
Stellen werden mit Nullen aufgefüllt. Also können wir als Definition der Resultante
notieren:
R(f v , g w ) = R(v, w) = det(Sylv(f v , g w ))
Beispiel 1.2. Als Beispiel wählen wir jetzt n = 2 und m = 3. Die Sylvestersche
Matrix lautet dann:
⎛
⎞
v 0 v 1 v 2 0 0
0 v 0 v 1 v 2 0
Sylv(f v , g w ) =
⎜ 0 0 v 0 v 1 v 2
⎟
⎝w 0 w 1 w 2 w 3 0 ⎠
0 w 0 w 1 w 2 w 3
Bemerkung 1.3. Wenn wir Elemente (a) = (a 0 , . . . , a n ) und (b) = (b 0 , . . . , b m )
in A für (v,w) bzw. die Koeffizienten von f v und g w einsetzen, erhalten wir
Polynome f a und g b mit Koeffizienten in A, und wir definieren die Resultante
als die durch Ersetzen von (a) für (v) und (b) für (w) erhaltene Determinante.
1

Bemerkung 1.4. Zu beachten ist: Die spezialisierten Polynome haben nicht
notwendigerweise die Grade n bzw. m, denn auch v 0 = 0 oder w 0 = 0 ist
zugelassen. Bei v 0 = 0 und w 0 = 0 erhält man R(f v , g w ) = 0.
Bemerkung 1.5. Die Resultante ist ein Polynom mit ganzen Koeffizienten
in den Unbestimmten v i und w j ; wir dürfen also zum Beispiel A = Z wählen.
Für ein beliebig gewähltes z gilt:
R(zv, w) = z m R(v, w) und R(v, zw) = z n R(v, w) Dieses gilt aufgrund der
Rechenregeln für Determinanten.
Also gilt ebenfalls
R(λf v , µg w ) = λ m µ n R(f v , g w )
Bemerkung 1.6. Weiterhin sieht man anhand der Diagonalen der Sylvesterschen
Matrix, dass R(v,w) das Monom v m 0 w n m mit Koeffizient 1 enthält.
2

2 Eigenschaften
Proposition 2.1. Wir arbeiten über Z. Dann ist f v ∈ Z[v][X], g w ∈ Z[w][X]
und R(v, w) ∈ Z[v, w].Es gibt Polynome ϕ v,w und ψ v,w in Z[v, w][X], so dass
sich die Resultante als Linearkombination darstellen lässt, d.h.
R(f v , g w ) = ϕ v,w f v + ψ v,w g w
Zu beachten ist hier, dass auf der linken Seite ein Polynom in den v, w steht
und auf der rechten Seite noch zusätzlich X auftaucht.
Beweis. Wir betrachten folgendes lineares Gleichungssystem
X m−1 f v (X) = v 0 X n+m−1 + v 1 X n+m−2 + . . . + v n X m−1
X m−2 f v (X) = v 0 X n+m−2 + . . . + v n X m−2
.
f v (X) =
v 0 X n + . . . + v n
X n−1 g w (X) = w 0 X n+m−1 + w 1 X n+m−2 + . . . + w m X n−1
X n−2 g w (X) = w 0 X n+m−2 + . . . + w m X n−2
.
g w (X) =
w 0 X m + . . . + w m
Sei C der Spaltenvektor auf der linken Seite des Gleichungssystems und seien
C 0 , . . . , C n+m−1 die Spaltenvektoren der Koeffizienten. Also können unsere
Gleichungen geschrieben werden als
C = X n+m−1 C 0 + . . . + 1 · C n+m−1
Man hat Sylv(f v , g w ) = (C 0 , . . . , C n+m−1 ). Ersetzt man hier die letzte Spalte
durch C, so folgt durch multilineares Rechnen:
det(C 0 , . . . , C n+m−2 , C) = det(C 0 , . . . , C n+m−2 , C n+m−1 +
n+m−1
∑
j=1
= det(C 0 , . . . , C n+m−2 , C n+m−1 ) = R(v, w)
X n+m−j C j−1 )
Den linken Term kann man jetzt mit Hilfe der Additionsregel von Determinanten
anders darstellen:
3

⎛
⎞
. . . . X m−1 f v
. . . . X m−2 f v
C 0 C 1 . . . C m+n−1 .
det(C 0 , . . . , C n+m−1 , C) = det
. . . . f v
. . . . 0
⎜
⎟
⎝ . . . . . ⎠
0
⎛
⎞
. . . . 0
. . . . 0
C 0 C 1 . . . C m+n−1 .
+ det
. . . . 0
. . . . X n−1 g w
⎜
⎟
⎝ . . . . . ⎠
g w
⇒ es existieren ϕ v,w und ψ v,w in Z[v, w][X], so dass
R(f v , g w ) = ϕ v,w f v + ψ v,w g w
Beispiel 2.2. . Seien
f v = X 2 + X + 1
g w X = 5X 2 + X
g w = 5X + 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 1 1
C 0 = ⎝5⎠ , C 1 = ⎝1⎠ , C 2 = ⎝0⎠
0 5 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
f v 1 1 1
⇒ ⎝g w X⎠ = ⎝5⎠ X 2 + ⎝1⎠ X + ⎝0⎠
g w 0 5 1
4

R(f v , g w ) = det(C 0 , . . . , C n+m−1 , C)
⎛ ⎞
1 1 f v
= det ⎝5 1 g w X⎠
0 5 g w
= g w + 25f v − 5g w − 5g w X
= (−4 − 5X) g
} {{ } w + }{{} 25
ψ
ϕ v,w
v,w
Die Resultante hat in diesem Beispiel den Wert 21.
Bemerkung 2.3. Falls λ : Z[v, w] → A ein Homomorphismus in einen kommutativen
Ring A ist und λ(v) = (a), λ(w) = (b), dann gilt
f v
ϕ a,b f a + ψ a,b g b = R(a, b) = R(f a , g b )
2.1 Nullstellen der Resultante
Jetzt möchte ich auf den Verwendungszweck von Resultanten näher eingehen.
Proposition 2.4. Sei L ein Teilkörper eines Körpers K. Seien weiterhin f a ,
g b zwei Polynome in K[X] mit gemeinsamer Nullstelle ξ ∈ L. Dann gilt
R(a, b) = 0.
Beweis. Dass f a und g b eine gemeinsame Nullstelle ξ haben, bedeutet gerad,
dass
f a (ξ) = g b (ξ) = 0.
Wird in der Formel von Prop. 2.1 ξ für X eingesetzt, folgt sofort, dass
R(a, b) = 0.
Als nächstes soll der Zusammenhang zwischen der Resultante und den
Nullstellen unserer Polynome f v und g w untersucht werden. Hierzu benötigen
wir ein Lemma.
Lemma 2.5. Sei h(X 1 , . . . X n ) ein Polynom in n Variablen über Z. Falls h
den Wert 0 annimmt, wenn wir X 1 durch X 2 ersetzen und die anderen X i
festhalten, dann wird h(X 1 , . . . , X n ) von X 1 − X 2 in Z[X 1 , . . . , X n ] geteilt.
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Beweis. Zur Vereinfachung der Schreibweise betrachten wir nur den Fall
n = 2, d.h. Polynome in Z[X, Y ], die durch X − Y teilbar sind.
Der durch X ↦→ X, Y ↦→ X − Y gegebene Isomorphismus
α : Z[X, Y ] → Z[X, Y ] liefert, dass die α(X i Y i ) = X i (X − Y ) j eine Z-Basis
von Z[X, Y ] bilden, d.h. für alle h ∈ Z[X, Y ]:
h(X, Y ) = ∑ a ij X i (X − Y ) j eindeutig
(mit nur endlich vielen Koeffizienten a ij ≠ 0)
Also: h(X, X) = ∑ i a i0X i , so dass
h(X, X) = 0 ⇔ alle a i0 = 0
⇔ h(X, Y ) = ∑ i∈N a ijX i (X − Y ) j = (X − Y )( ∑ j>0 a ijX i (X − Y ) j−1 )
⇒ X − Y teilt h(X, Y )
Bemerkung 2.6. Seien v 0 , t 1 , . . . , t n , w 0 , u 1 , . . . , u m algebraisch unabhängig
über Z und f v , g w gegeben als
f v = v 0 (X − t 1 ) · · · (X − t n ) = v 0 X n + · · · + v n
g w = w 0 (X − u 1 ) · · · (X − u m ) = w 0 X m + · · · + w m
Die Koeffizienten berechnen sich mit
n∏
(X−t i ) = X n −(t 1 + . . . + t n ) X n−1 +( ∑ t
} {{ }
i t j ) X n−2 −. . . =
i≠j
s 1 (t)
} {{ }
s 2 (t)
i=1
n∑
(−1) i s i (t)X n−i
i=0
zu v i = (−1) i v 0 s i (t) mit den elementarsymmetrischen Funktionen
s 0 = 1
s 1 = t 1 + . . . + t n
s 2 = t 1 t 2 + t 1 t 3 + . . . + t n−1 t n
.
s n = t 1 · · · t n
Analog findet man w j = (−1) j w 0 s j (u).
Da s 1 , . . . , s n algebraisch unabhängig sind und diese auch algebraisch unabhängig
von v 0 und w 0 sind, folgt:
v 0 , . . . , v n , w 0 , . . . , w m algebraisch unabhängig über Z.
Proposition 2.7. Mit obiger Notation gilt:
R(f v , g w ) = v m 0 w n 0
n∏ m∏
(t i − u j )
i=1 j=1
6

Beweis. Sei S := v m 0 w n 0
∏ n
i=1
∏ m
j=1 (t i − u j ).
Da R(v, w) homogen vom Grad m in den ersten Variablen ist und homogen
vom Grad n in den zweiten Variablen, folgt, dass
R = v m 0 w n 0 h(t, u)
mit h(t, u) ∈ Z[t, u].
Benutzt man jetzt Prop. 2.4, so verschwindet die Resultante, wenn man u j
durch t i , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m ersetzt.
Sieht man R als Element von Z[t, u] an, so folgt mit Lemma 2.5:
R ist teilbar durch jedes t i − u j
Somit wird R in Z[t, u] von S geteilt, denn die t i −u j sind paarweise verschiedene
Primelemente.
Aus
S = v m 0 w n 0
n∏
i=1 j=1
m∏
(t i − u j ) (1)
erhalten wir
∏
g(ti ) = w n 0
n∏ m∏
(t i − u j )
i=1 j=1
⇒ S = v m 0
n∏
g(t i ) (2)
i=1
Und mit Hilfe von
R(f, g) = (−1) mn R(g, f)
S = (−1) mn w n 0
m∏
f(u j ) (3)
j=1
Bei (2) sieht man, dass S homogen vom Grad n in (w) ist und bei (3) sehen
wir, dass S homogen ist vom Grad m in (v).
Da R die gleichen Eigenschaften hat und da R teilbar durch S ist, folgt, dass
R = cS für eine Zahl c.
Da sowohl R und S das Monom v m 0 w n m enthalten, welches jeweils mit Koeffizient
1 auftritt, folgt, dass c = 1 ist. Das gibt in der Tat R = S.
Aus diesem Satz haben wir jetzt verschiedene Darstellungen für S gefunden.
Diese sind eine Faktorisierung von R.
7

Korollar 2.8. f a und g b seien Polynome in K[X]. Hat man a 0 b 0 ≠ 0 und
zerfallen f a und g b über K vollständig in Linearfaktoren, so gilt:
R(f a , g b ) = 0 ⇔ f a und g b haben eine gemeinsame Nullstelle.
Beweis. “ ⇒ “ Wir nehmen an, dass R(f a , g b ) = 0 ist. Seien
f a = a 0 (X − α 1 ) · · · (X − α n )
g b = b 0 (X − β 1 ) · · · (X − β n )
die Faktorisierungen von f a und g b , so benutzen wir den Homomorphismus
Z[v 0 , t, w 0 , u] → K
mit v 0 ↦→ a 0 , w 0 ↦→ b 0 , t i ↦→ α i und u j ↦→ β j . Dann ist
∏ ∏
0 = R(f a , g b ) = a m 0 b n 0 (α i − β j )
Dieses ist aber genau Null, wenn f a und g b eine gemeinsame Nullstelle haben.
“ ⇐ “ Die Aussage wurde schon in Proposition 2.4 bewiesen.
2.2 Resultante und Diskriminante
Jetzt folgern wie eine weitere Beziehung für die Resultante in einem
Spezialfall. Sei f v wieder gegeben durch
Aus (2) wissen wir:
f v (X) = v 0 X n + . . . + v n = v 0 (X − t 1 ) · · · (X − t n )
wobei f ′ v die Ableitung zu f v ist.
Mit Hilfe der Produktregel folgt:
R(f v , f ′ v) = v n−1
0
i
j
∏
f ′ (t i ),
i
f ′ v(X) = ∑ i
v 0 (X − t 1 ) · · · (X −ˆ
t i ) · · · (X − t n )
f v(t ′ i ) = v 0 (t i − t 1 ) · · · (t i −ˆ
t i ) · · · (t i − t n ),
wobei das Dach die Auslassung des betreffenden Faktors bedeutet.
Die Diskriminante sei hier definiert als
∏
D(f v ) = D(v) = v0
2n−2 (t i − t j )
8
i≠j

Dieses unterscheidet sich von der üblichen Definition um ein Vorzeichen:
∏
∏
(t i − t j ) 2 = (−1) n(n−1)
2 t i − t j
i

3 Beispiele
Beispiel 3.1.
f(X) = aX 2 + bX + c
Zu bestimmen ist die Diskriminante mit Hilfe der Resultante.
Beispiel 3.2.
f ′ (X) = 2aX + b
aD(f) = −R(f, f ′ )
⎛ ⎞
a b c
= − det ⎝2a b 0⎠
0 2a b
= −(ab 2 + 4a 2 c − 2ab 2 )
= ab 2 − 4a 2 c
⇒ D(f) = b 2 − 4ac
f(X) = x 3 + bX + c
Zu bestimmen ist die Diskriminante mit Hilfe der Resultante.
f ′ (X) = 3X 2 + b
D(f) = −R(f, f ′ )
⎛
⎞
1 0 b c 0
0 1 0 b c
= − det
⎜3 0 b 0 0
⎟
⎝0 3 0 b 0⎠
0 0 3 0 b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 0 b c
0 b c 0
= −(det ⎜0 b 0 0
⎟
⎝3 0 b 0⎠ + 3 det ⎜1 0 b c
⎟
⎝3 0 b 0⎠ )
0 3 0 b
0 3 0 b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
b 0 0
0 b c
b c 0
b c 0
= −(det ⎝0 b 0⎠ + 3 det ⎝b 0 0⎠ + 3 · (− det ⎝0 b 0⎠ + 3 · det ⎝0 b c⎠))
3 0 b
3 0 b
3 0 b
3 0 b
= −(b 3 + 3 · (−b 3 ) + 3 · (−b 3 ) + 3 · (b 3 + 3c 2 ))
= −b 3 + 3b 3 + 3b 3 − 9b 3 − 27c 2
= −4b 3 − 27c 2
⇒ D(f) = −4b 3 − 27c 2 10

Beispiel 3.3.
f(X) = a 0 X 3 + a 1 X 2 + a 2 X + a 3
Zu bestimmen ist die Diskriminante mit Hilfe der Resultante.
f ′ (X) = 3a 0 X 2 + 2a 1 X + a 2
a 0 D(f) = −R(f, f ′ )
⎛
⎞
a 0 a 1 a 2 a 3 0
0 a 0 a 1 a 2 a 3
= − det
⎜3a 0 2a 1 a 2 0 0
⎟
⎝ 0 3a 0 2a 1 a 2 0 ⎠
0 0 3a 0 2a 1 a 2
⎛
⎞ ⎛
⎞
a 0 a 1 a 2 a 3
a 1 a 2 a 3 0
= −(a 0 · det ⎜2a 1 a 2 0 0
⎟
⎝3a 0 2a 1 a 2
⎠ + 3a 0 · det ⎜ a 0 a 1 a 2 a 3
⎟
⎝3a 0 2a 1 a 2 0 ⎠ )
0 3a 0 2a 1 a 2 0 3a 0 2a 1 a 2
⎛
⎞
⎛
⎞
2a 1 a 2 0
a 0 a 1 a 2
= −(−a 0 a 3 · det ⎝3a 0 2a 1 a 2
⎠ + a 0 a 2 · det ⎝2a 1 a 2 0 ⎠
0 3a 0 2a 1 3a 0 2a 1 a 2
⎛
⎞
⎛
⎞
a 1 a 2 a 3
a 1 a 2 a 3
+ 3a 0 a 3 · det ⎝3a 0 2a 1 a 2
⎠ + 3a 0 a 2 · det ⎝ a 0 a 1 a 2
⎠)
0 3a 0 2a 1 3a 0 62a 1 a 2
= −(−a 0 a 3 · (8a 3 1 − 6a 0 a 1 a 2 − 6a 0 a 1 a 2 ) + a 0 a 2 (a 0 a 2 2 + 4a 2 1a 2 − 3a 0 a 2 2 − 2a 2 1a 2 )
+ 3a 0 a 2 (a 2 1a 2 + 3a 0 a 2 2 + 2a 0 a 1 a 3 − 3a 0 a 1 a 3 − a 0 a 2 2 − 2a 2 1a 2 ))
= −(12a 2 0a 1 a 2 a 3 − 8a 0 a 3 1a 3 − 2a 2 0a 3 2 + 2a 0 a 2 1a 2 2 + 12a 0 a 3 1a 3 + 27a 3 0a 2 3 − 18a 2 0a 1 a 2 a 3
− 9a 2 0a 1 a 2 a 3 − 3a 0 a 2 1a 2 2 + 6a 2 0a 3 2 − 3a 2 0a 1 a 2 a 3 )
= −(4a 0 a 3 1a 3 + 27a 3 0a 2 3 + 4a 2 0a 3 2 − a 0 a 2 1a 2 2 − 18a 2 0a 1 a 2 a 3 )
= a 0 a 2 1a 2 2 − 4a 2 0a 3 2 − 4a 0 a 3 1a 3 − 27a 3 0a 2 3 + 18a 2 0a 1 a 2 a 3
⇒ D(f) = a 2 1a 2 2 − 4a 0 a 3 2 − 4a 3 1a 3 − 27a 2 0a 2 3 + 18a 0 a 1 a 2 a 3
11

Literatur
[1] Lang: Algebra (New York: Springer, 2002)
[2] Wüstholz: Algebra (Wiesbaden: Vieweg, 2004)
12