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) Bestimmen Sie die Periodizität ∆h in der Höhendifferenz h, nach der sich das am Punkt D ergebende Interferenzmuster proportional zu cos(ϕ ABD − ϕ ACD ) wiederholt. Wie groß ist ∆h für Neutronen mit Wellenlänge λ = 1.4Å und l = 5cm? (Verwenden Sie (2φh)/m n ≈ 4 · 10 −3 cm 2 /sec.) Hinweis: Da die Gesamtenergie E und das Potential auf den Abschnitten AB und CD identisch sind, fallen die Änderungen der Phase auf diesen Abschnitten in der gesamten Phasendifferenz ϕ ABD − ϕ ACD der beiden Wege heraus. Bemerkung: Die Rechnung ist die Grundlage für das berühmte sogenannte ’COW’-Experiment von Colella, Overhauser und Werner, Phys. Rev. Lett. 34., 1472 (1975) Lösung: Da der Cosinus 2π-periodisch ist, wiederholt sich das Interferenzmuster, wenn ∆ϕ = ϕ ABD − ϕ ACD ∈ 2πZ ein ganzzahliges Vielfaches von 2π ist. (0,5 Punkte) Aus der Phasendifferenz ∆ϕ = (ϕ AB + ϕ BD ) − (ϕ AC + ϕ CD ) (27) hebt sich gemäß der Angabe ϕ AB = ϕ CD heraus, und man erhält die Bedingung für die Höhendifferenz ∆h bzw. (1 Punkt) Für Neutronen mit Masse m = m n ist dann (0.5 Punkte) ∆h = ∆ϕ = ϕ BD − ϕ AC = − m2 gl(∆h)λ 2π ¯h 2 ! = −2π (28) ∆h = 1 2π ¯h ( ) 2 (29) glλ m n (4 · 10 −7 m 2 s −1 ) 2 (9.81ms −2 )(0.05m)(1.4 · 10 −10 ≈ 2mm. (30) m) 4 Variationsprinzip (10 Punkte) Wir betrachten ein Teilchen der Masse m in einem eindimensionalen Potential V (x) = λx 4 . (31) a) Schreiben Sie den Hamiltonoperator Ĥ in Ortsdarstellung. Lösung: (1 Punkt) b) Berechnen Sie mit der Variationsmethode und folgender Testfunktion d 2 Ĥ = = − ¯h2 2m dx 2 + λx4 (32) u(x) = ( 2α π ) 1/4 e −αx2 (33) einen genäherten Wert für den Grundzustand des Systems. Hinweis: ∫ ∞ 0 x 2n e −bx2 dx = (2n)! 2 2n+1 n!b n √ π b (34) Lösung: Variationsverfahren: E (α) = 〈 u ∣ ∣Ĥ ∣ ∣ u 〉〈u|u〉 (35) 4
(1 Punkt) Nenner: 〈u|u〉 = = ( 2α π ) 1/2 ∫+∞ e −2αx2 dx (36) −∞ ( ) 2α 1/2 ∫+∞ 2 e −2αx2 dx (37) π 0 = ( ) 2α 1/2 2 1 ( π ) 1/2 π 2 2α (38) = 1 (39) (1 Punkt) 5
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