Lösung zur Probeklausur

(1 Punkt)
erste Ordnung:
(1 Punkt)
zweite Ordnung:
E n (1) = 〈n 0 |W |n 0 〉 = W nn (73)
⇒ E (1)
1
= W 11 = 0 (74)
E (1)
2
= W 22 = 0 (75)
E (1)
3
= W 33 = c (76)
〈 ∣ ∣ 〉〈 ∣ ∣ 〉
n (0) ∣∣W ∣∣m (0)
m (0) ∣∣W ∣∣n (0)
E n (2) = ∑ ( ) (77)
m≠n E n (0) − E m
(0)
⇒ E (2)
1
=
W 12 W
( 21
) + (
W 13W 31
) (78)
E (0)
1
− E (0)
2
E (0)
1
− E (0)
3
E (2)
2
=
E (2)
3
=
= c2
= c2
2
−2 + 0 3
W 21 W
( 12
E (0)
2
− E (0)
1
W 31 W
( 13
E (0)
3
− E (0)
1
= c2
−2
) + (
W 23W 32
E (0)
2
− E (0)
3
) + (
W 32W 23
E (0)
3
− E (0)
2
(79)
) (80)
(81)
) (82)
= 0 (83)
(1 Punkt)
Für die Energieeigenwerte haben wir damit in zweiter Ordnung Störungstheorie
(1 Punkt)
E1 ST = 1 − c2
+ ··· (84)
2
E2 ST = 3 + c2
+ ···
2
(85)
E3 ST = −2 + c + ··· (86)
c) Vergleichen Sie das störungstheoretische Ergebnis mit einer Binomialentwicklung (Taylorentwicklung um
c = 0) der exakten Eigenwerte.
Lösung:
E Bi
1 = −2 + c (exakt) (87)
√
E2,3 Bi = 2 ± 1 + c 2 = 2 ±
(1 + 1 )
2 c2 + ··· (88)
Die Binomialentwicklung liefert also die gleichen Ergebnisse wie die Störungstheorie (Die Indices kann
man natürlich umdeklarieren). (2 Punkte)
Gesamtpunktzahl 36
8