Lösung zur Probeklausur

Die Funktion u ist also schon normiert, also
E (α) = 〈 u ∣ ∣Ĥ ∣ ∣u 〉 (40)
=
( ) 2α 1/2 ∫+∞
(
e −αx2 − ¯h2 d 2 )
π
2m dx 2 + λx4 e −αx2 dx (41)
= − ¯h2
2m
( 2α
π
+ ¯h2
2m
( 2α
π
( 2α
+ λ
π
−∞
) 1/2 ∫+∞
4α 2 e −2αx2 x 2 dx (42)
) 1/2
2α
∫+∞
−∞
−∞
e −2αx2 dx (43)
) 1/2 ∫+∞
e −2αx2 x 4 dx (44)
−∞
≡ I 1 + I 2 + I 3 (45)
( )
I 1 = − ¯h2 2α 1/2 ∫+∞
4α 2 2 e −2αx2 x 2 dx (46)
2m π
(
= − ¯h2 2α
2m π
= − ¯hα
2m
I 2 = ¯h2
2m
( 2α
π
= − ¯h2
2m
( 2α
π
) 1/2
4α 2 2
0
0
2!
2 3 1!2α)
( π
) 1/2
(47)
2α
(48)
) 1/2 ∫+∞
2α2 e −2αx2 dx (49)
) 1/2
4α 0!
2 1 0!
( π
) 1/2
(50)
2α
= ¯hα m
(51)
(3 Punkte)
Jetzt wird E (α) minimiert:
(1.5 Punkte)
( 2α
I 3 = λ
π
) 1/2 ∫+∞
2 e −2αx2 x 4 dx (52)
0
=
( ) 2α 1/2
4!
( π
) 1/2
λ 2
π 2 5 2!(2α) 2 2α
(53)
=
3λ
16α 2 (54)
⇒ E (α) = ¯hα
2m + 3λ
16α 2 (55)
dE (α)
dα
∣ = ¯h
α0
2m − 3λ
⇒ α 0 =
=
8α 3 0
(56)
( ) 3mλ 1/3
4¯h 2 (57)
( ) 3 1/3
k 1/3 , k = 2mλ
8
¯h 2 (58)
6