Mathcad - Biegelinien_10-11-04.xmcd - IngenieurbÃ¼ro Dr. KnÃ¶del

Tragwerksplanung 

Balkenbiegetheorie 

Biegelinien 

F10xx 

Anhang x 

Seite 1/13 

Biegelinien von Balken 

(Formular Biegelinien_10-02-18.mcd) 

Stützweite L := 10.0m 

E-Modul: 

E 2.1⋅10 5 N 

:= 

mm 2 

Trägheitsmoment I 700cm 4 := 

Streckenlast q := 3.0 kN m 

Erzeugen eines Vektors mit X-Werten für die grafische Darstellung 

start 

:= 0m end := L Npts := 101 i := 1.. 

Npts 

end − start 

x i 

step := x i := start + step⋅( i − 1) 

ξ i := 

Npts − 1 

L 

Ingenieurbüro Dr. Knödel 

Vordersteig 52 

D-76275 Ettlingen 

www.peterknoedel.de 

Bearbeiter: P. Knödel 

Tel. +49(0) 7243 - 32 40 913; Fax 76 54 16 

04.11.2010 - 06:36 

Biegelinien_10-11-04.xmcd





Anhang x 

Seite 2/13 

Biegelinie des EFT unter Gleichstreckenlast 

⎡ 

( ) 3 

( ) 4 

qL ⋅ 

4 ξ i ξ i ξ i 

y i := ⋅⎢ 

− + ⎥ y max := max( y) 

y max = 266mm 

EI ⋅ 24 12 24 

0 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

( − y) i 

mm 

100 

200 

300 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ξ i ⋅L 

m 

Steigung des EFT unter Gleichstreckenlast 

⎡ 

( ) 2 

( ) 3 

qL ⋅ 

3 1 ξ i ξ i 

ys i := ⋅⎢ 

− + ⎥ ys max := max( ys) 

ys max = 8.5% 

EI ⋅ 24 4 6 

10 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

5 

( − ys) i 

% 

0 

5 


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ξ i ⋅L 

m 






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Anhang x 

Seite 3/13 

Krümmung des EFT unter Gleichstreckenlast 

⎡ 

−( ) 

( ) 2 

qL ⋅ 

2 ξ i ξ i 

% 

yss i := ⋅⎢ 

+ ⎥ 

yss max := min( yss) 

yss max = −2.55 

EI ⋅ 2 2 

m 

⎣ 

⎤ 

⎦ 

M max 

0 

:= − ⋅E⋅I 

M max = 37.5kNm 

yss max 

0.01 

yss i 

0.02 

0.03 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ξ i ⋅L 

m 

Biegemomente des EFT unter Gleichstreckenlast 

0 


yss i ⋅E⋅I 

kNm 

20 

30 

40 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ξ i ⋅L 

m 






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Anhang x 

Seite 4/13 

Biegelinie des Zweifeldträgers unter Gleichstreckenlast 

qL ⋅ 

4 

y i := ⋅⎡3⋅( ξ i ) 2 − 5⋅( ξ i ) 3 + 2⋅( ξ i ) 4 ⎤ 

48⋅E⋅I 

⎣ 

⎦ y max := max( y) 

y max = 111mm 

0 

( − y) i 

mm 

50 


150 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ξ i ⋅L 

m 

Steigung des Zweifeldträgers unter Gleichstreckenlast 

qL ⋅ 

3 

ys i := ⋅⎡6⋅ξ i − 15( ξ i ) 2 + 8( ξ i ) 3 ⎤ 

48E⋅I 

⎣ 

⎦ ys max := max( −ys) 

ys max = 4.25% 

6 

4 

( − ys) i 

% 

2 

0 

2 

4 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ξ i ⋅L 

m 






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Anhang x 

Seite 5/13 

Krümmung des Zweifeldträgers unter Gleichstreckenlast 

qL ⋅ 

2 

yss i := ⋅⎡1 − 5ξ i + 4( ξ i ) 2 ⎤ 

8E⋅I 

⎣ 

⎦ 

yss max := max( yss) 

yss max = 2.55 % m 

M max 

0.03 

:= − ⋅E⋅I 

M max = −37.5kNm 

yss max 

0.02 

yss i 

0.01 

0 

0.01 

0.02 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ξ i ⋅L 

m 

Biegemomente des Zweifeldträgers unter Gleichstreckenlast 

40 

20 


kNm 

0 

20 

40 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ξ i ⋅L 

m 






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Anhang x 

Seite 6/13 

Biegelinie des Kragträgers unter Gleichstreckenlast 

⎡ 

( ) 2 

( ) 3 

( ) 4 

qL ⋅ 


y i := ⋅⎢ 

− + 

y max := max( y) 

y max = 2551mm 

EI ⋅ 4 6 24 

⎣ 

0 

⎤ 

⎥⎦ 

( − y) i 

mm 


2000 

3000 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ξ i ⋅L 

m 

Steigung des Kragträgers unter Gleichstreckenlast 

⎡ 

( ) 2 

( ) 3 

qL ⋅ 


ys i := ⋅⎢ 

− + ⎥ ys max := max( ys) 

ys max = 34.01% 

EI ⋅ 2 2 6 

0 

⎣ 

⎤ 

⎦ 


( − ys) i 

% 

20 

30 

40 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ξ i ⋅L 

m 






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Anhang x 

Seite 7/13 

Krümmung des Kragträgers unter Gleichstreckenlast 

⎡ 

( ) 2 

qL ⋅ 

2 1 ξ i 

yss i := ⋅⎢ 

− ξ i + 

yss max := max( yss) 

yss max = 10.20 % 

EI ⋅ 2 2 

m 

⎣ 

M max 

0.12 

⎤ 

⎥⎦ 

:= − ⋅E⋅I 

M max = −150.0kNm 

yss max 

0.1 

0.08 

yss i 

0.06 

0.04 

0.02 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ξ i ⋅L 

m 

Biegemomente des Kragträgers unter Gleichstreckenlast 

150 



kNm 

50 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ξ i ⋅L 

m 






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Anhang x 

Seite 8/13 

Biegelinie des EFT unter Endmoment 

M := 100kNm 

ML ⋅ 

2 

y i := ⋅⎡−( ξ i ) 3 + ξ i 

⎤ 

6E⋅I 

⎣ ⎦ 


y max = 436mm 

0 


( − y) i 

mm 

200 

300 

400 

500 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ξ i ⋅L 

m 

Steigung des EFT unter Endmoment 

ML ⋅ 

ys i := ⋅⎡−3 

( ξ i ) 2 + 1⎤ 

6E⋅I 

⎣ ⎦ 

ys max := max( −ys) 

ys max = 22.68% 

30 

20 

( − ys) i 

% 


0 


20 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ξ i ⋅L 

m 






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Anhang x 

Seite 9/13 

Krümmung des EFT unter Endmoment 

M 

yss i := ⋅( −6ξ i ) 

yss max := max( −yss) 

yss max = 6.80 % 

6E⋅I 

m 

M max 

0 

:= − ⋅E⋅I 

M max = −100.0kNm 

yss max 

0.02 

yss i 

0.04 

0.06 

0.08 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ξ i ⋅L 

m 

Biegemomente des EFT unter Endmoment 

0 

20 


kNm 

40 

60 

80 


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ξ i ⋅L 

m 






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Anhang x 

Seite 10/13 

Biegelinie des einseitig eingespannten EFT unter Endmoment 

M := 100kNm 

ML ⋅ 

2 

y i := ⋅⎡−( ξ i ) 3 + ( ξ i ) 2 ⎤ 

4E ⋅ ⋅I 

⎣ ⎦ 


y max = 252mm 

0 

( − y) i 

mm 


200 

300 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ξ i ⋅L 

m 

Steigung des einseitig eingespannten EFT unter Endmoment 

ML ⋅ 

ys i := ⋅⎡−3 

( ξ i ) 2 + 2⋅ξ i 

⎤ 

4E⋅I 

⎣ ⎦ 


ys max = 17.01% 

20 

( − ys) i 

% 


0 


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ξ i ⋅L 

m 






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Anhang x 

Seite 11/13 

Krümmung des einseitig eingespannten EFT unter Endmoment 

M 

yss i := ⋅( −6ξ i + 2) 


yss max = 6.80 % 

4E⋅I 

m 

M max 

0.04 

:= − ⋅E⋅I 

M max = −100.0kNm 

yss max 

0.02 

0 

yss i 

0.02 

0.04 

0.06 

0.08 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ξ i ⋅L 

m 

Biegemomente des einseitig eingespannten EFT unter Endmoment 

50 

0 


kNm 

50 


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ξ i ⋅L 

m 






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Anhang x 

Seite 12/13 

Biegelinie des symmetrischen EFT unter Einzellast - nur linke Hälfte ! 

F := 100kN 

FL ⋅ 

3 

y i := ⋅⎡−4 

( ξ i ) 3 + ( 3ξ) ⎤ 

48⋅E⋅I 

⎣ 

i ⎦ 


y max = 1417mm 

2000 


( − y) i 

mm 

0 


2000 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ξ i ⋅L 

m 

Steigung des symmetrischen EFT unter Einzellast - nur linke Hälfte ! 

FL ⋅ 

2 

ys i := ⋅⎡−4 

( ξ i ) 2 + 1⎤ 

16E⋅I 

⎣ ⎦ 


ys max = 127.55% 

150 


( − ys) i 

% 

50 

0 

50 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ξ i ⋅L 

m 






Tel. +49(0) 7243 - 32 40 913; Fax 76 54 16 







Anhang x 

Seite 13/13 

Krümmung des symmetrischen EFT unter Einzellast - nur linke Hälfte ! 

FL ⋅ 

yss i := ⋅( −8ξ i ) 


yss max = 34.01 % 

16E⋅I 

m 

M max 

0 

:= − ⋅E⋅I 

M max = −500.0kNm 

yss max 

0.1 

yss i 

0.2 

0.3 

0.4 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ξ i ⋅L 

m 

Biegemomente des symmetrischen EFT unter Einzellast - nur linke Hälfte ! 

0 



kNm 

200 

300 

400 

500 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ξ i ⋅L 

m 






Tel. +49(0) 7243 - 32 40 913; Fax 76 54 16

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