Pr ¨ufung:

Prüfung:
Mathematik I & II: Teil Systemanalyse
20. August 2010
Studiengang:
Name, Vorname:
Legi-Nummer:
Bitte beachten Sie die folgenden Punkte:
(a) Tragen Sie auf diesem Blatt Ihre Daten ein (Studiengang, Namen, Legi-Nummer).
(b) Schreiben Sie auf jedes Ihrer Lösungsblätter Ihren Namen.
(c) Legen Sie am Ende der Prüfung alle Blätter, inclusive der Aufgabenblätter in das beschriftete
Couvert.
(d) Die Verwendung von Taschenrechnern ist nicht erlaubt. Einige Funktionswerte für den natürlichen
Logarithmus (ln) und die Exponentialfunktion, welche eventuell von Hilfe sein könnten,
finden Sie am Ende dieser Seite angegeben.
(e) Die 3 Aufgaben dieser Teilprüfung sind auf eine Prüfungszeit von 60 Minuten ausgelegt.
Die maximale Punktzahl dieser Teilprüfung ist 25.
(f) Der Teil Systemanalyse zählt 1/3 zur Gesamtprüfung.
Viel Erfolg !
Funktionswerte für ln x und e x :
x 0.01 0.05 0.1 0.2 0.5 1.1 2 5 10 20
ln(x) ≃ -4.6 -3 -2.3 -1.6 -0.69 0.1 0.69 1.6 2.3 3.0
x 1 2 3 4 5 6 7
e −x ≃ 0.37 0.14 0.050 0.018 0.0067 0.0025 0.00091
e −x 1 1 1 1 1 1
1
≃
3 7 20 50 150 400 1000
Nicht ausfüllen!
# 1a 1b 1c 1 2a 2b 2c 2 3a 3b 3c 3d 3e 3 alles
A
B
Max 2 1 4 7 4 2 1 7 4 2 2 1 2 11 25
1

Aufgabe 1 : Gleichgewichtsverteilung: Luft - Wasser - Eis
(7 Punkte)
A ( )
B ( )
Messungen haben ergeben, dass Gewitterwolken besonders effizient sind beim Auswaschen des
flüchtigen organischen Lösungsmittels LIQUID T M . Eine Hypothese besagt, dass das effiziente Auswaschen
durch Eiskörner (Hagel) geschieht. Zu diesem Zwecke untersuchen wir die Gleichgewichtsverteilung
von LIQUID T M im System Luft, Wasser, und Eis.
(a) Bestimmen Sie aus den untenstehenden Daten den Verteilungskoeffizient K L/W = C L /C W
(Henrykoeffizient) von LIQUID T M zwischen Luft und Wasser. Zeichnen Sie zuerst die Datenpunkte
in die untenstehende Grafik hinein. Beschriften Sie auch die Achsen. Danach bestimmen
Sie den Verteilungskoeffizienten mit Einheiten.
(C W : Konzentration von LIQUID T M im Wasser; C L : Konzentration von LIQUID T M in Luft)
(2 Punkte)
A
B
C L [mol m −3 ] 0.03 0.06 0.21 0.3
C W [mol m −3 ] 0.001 0.002 0.007 0.010
Luftkonzentration C L
(mol m -3 )
Wasserkonzentration C W
(mol m -3 )
2 von 9 (Bitte wenden!)

(b) Berechnen Sie den Verteilungskoeffizienten (mit Einheiten) (K L/E = C L /C E ) von LIQUID T M
zwischen Luft und Eis mit Hilfe der folgenden Daten (C E : Konzentration von LIQUID T M im
Eis). Beachten Sie die Einheiten.
(1 Punkt)
A
B
C L [mol m −3 ] 0 0.02
C E [mol g −1 ] 0 0.20
(c) Eine Wolke bestehe aus 1 m 3 Luft, 0.01 m 3 Wassertropfen und 1000 g Eis. Die Gesamtmenge
von LIQUID T M ist 1 mol. Berechnen Sie unter der Berücksichtigung der Resultate von 1a und
1b welcher prozentuale Anteil von LIQUID T M in der Eisphase ist. Approximieren Sie wo notwendig.
(Falls Sie 1a und 1b nicht lösen konnten, verwenden sie für K L/W und K L/E Werte von 1 und
1 g m −3 ).
(4 Punkte)
A
B
3 von 9 (Bitte wenden!)

Aufgabe 2 : Temperatur in einem Bergsee
(7 Punkte)
A ( )
B ( )
Uns interessiert, wann ein Bergsee seine maximale Temperatur erreicht. Um das zu berechnen, nehmen
wir an, dass der Bergsee als ein Würfel mit 100 m Seitenlänge beschrieben werden kann. Der
Wärmeeintrag durch die Sonne folgt einer Sinus-Funktion mit einer Periode von einem Jahr, wobei
der maximale Wärmeeintrag 250 W m −2 und der minimale 50 W m −2 ist. Der See verliert Wärme
mit einer Rate k = 0.2 W K −1 m −2 proportional zu seiner Temperatur (nur über die Oberfläche). Jede
andere Form von Energieaustausch wird vernachlässigt. Verwenden Sie für π = 22/7, 1 Jahr = 3·10 7 s
und für die Dichte ρ = 1000 kg m −3 .
J(t) (W m -2 )
250
Wärmeeintrag J(t)
Wärmeabstrahlung
50
k · T
T = 1 Jahr
Zeit
h = 100 m
L = 100 m
L = 100 m
(a) Stellen Sie die Wärmeerhaltungsgleichung für das System auf. Bezeichnen Sie alle vorkommenden
Terme und geben Sie (falls bekannt) die numerischen Werte mit Einheiten an.
Beachten Sie: Die Wärmemenge eines Systems wird durch das Produkt von Masse, Temperatur,
und der spezifischen Wärmekapazität C p = 4000 J kg −1 K −1 bestimmt. Die letztere beschreibt,
wieviel Wärme einem kg Wasser zugefügt werden muss, damit sich dieses um ein
Grad Kelvin erwärmt.
(4 Punkte)
A
B
4 von 9 (Bitte wenden!)

(b) Handelt es sich hier im Vergleich zur Anpassungszeit des Systemes um eine langsam oder
schnell schwankende Störung? Begründen Sie Ihre Antwort.
(2 Punkte)
A
B
5 von 9 (Bitte wenden!)

(c) Berechnen Sie (approximativ) die Phasenverschiebung zwischen der Störung und der zeitlichen
Entwicklung des Systems. Wenn der maximale Strahlungseintrag im Juni ist, wann wird das
Temperaturmaximum erreicht?
(1 Punkt)
A
B
6 von 9 (Bitte wenden!)

Aufgabe 3 : Ölkatastrophe im Golf von Mexiko
(11 Punkte)
A ( )
B ( )
Die Explosion der Ölbohrplattform Deepwater Horizon im April dieses Jahres führte im Golf von
Mexiko zur Freisetzung von riesigen Ölmengen. In dieser Aufgabe wird ein Teil des Golfes mit einem
2-Boxmodell approximiert, um die Ölverteilung zu modellieren. Insbesondere interessiert es uns, wie
lange es dauert bis das Öl verschwunden sein wird.
Dazu sind folgende Grössen bekannt (beachten Sie auch die Figur):
• Volumen Oberflächenwasser: V O = 10 12 m 3
• Volumen Tiefenwasser: V T = 2 · 10 14 m 3
• Öleintrag durch Bohrleck ins Tiefenwasser: R = 15000 mol d −1
• Entnahmerate an der Oberfläche: k A = 0.01 d −1
• Wasseraustauschrate zw. Oberflächen- und Tiefenwasser: Q ex =10 6 m 3 d −1
• Bakterielle Abbaurate im Oberflächen- und Tiefenwasser: k B = 0.05 d −1
Entnahme
k A
· M O
Oberflächenwasser
C O
k B
· M o
Q ex
· C T
Austausch
Q ex
· C O
Bakterieller Abbau
Eintrag
R
Tiefenwasser
C T
k B
· M T
(a) Stellen Sie die Systemgleichungen für das Öl in den zwei Boxen auf, d.h. für C O und C T . Beachten
Sie die Dimensionen.
(4 Punkte)
A
B
7 von 9 (Bitte wenden!)

(b) Bestimmen Sie aus dem linearen Gleichungssystem die Koeffizientenmatrize P.
(2 Punkte)
A
B
(c) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrize P (Tipp: Eine diagonal dominante Matrize kann sehr
gut durch eine diagonale Matrize approximiert werden.).
(2 Punkte)
A
B
8 von 9 (Bitte wenden!)

(d) Charakterisieren Sie die Lösung des Modells anhand der Eigenwerte.
(1 Punkt)
A
B
(e) Wie schnell verschwindet das Öl nachdem das Leck gestoppt wurde? D.h. berechnen Sie die
Zeit, die es braucht, damit die Konzentration auf 5% des heutigen Wertes gefallen ist. Welcher
Prozess bestimmt diese Zeitskala?
(2 Punkte)
A
B
9 von 9 (Beendet!)