Kapitel 3

26 3 ABSTAND UND ÄHNLICHKEIT
Wenn wir also einfache Edit-Operationen zugrunde legen und die elementare Distanzfunktion
w eine Metrik ist, können wir mit Hilfe des Wagner-Fischer-Algorithmus eine
optimale Edit-Sequenz zur Transformation von x in y bestimmen.
Mit einer relativ kleinen Modifikation am Verfahren kann man auch optimale Edit-Sequenzen
für den Fall berechnen, dass zu den einfachen Edit-Operationen zusätzlich Transpositionen
aufgenommen werden.
3.3 Allgemeine Edit-Operationen und Lückenkosten
Will man allgemeine Edit-Operationen (r, s) ∈ Σ ∗ × Σ ∗ zulassen, so kann man unter
gewissen Voraussetzungen Rekursionsformeln zur Berechnung eines entsprechenden Distanzbegriffs
herleiten.
3.3.1 Allgemeine Edit-Operationen
Definition 3.13
Sei ω ⊆ Σ ∗ × Σ ∗ eine vorgegebene endliche Menge von Edit-Operationen. Für jedes
(r, s) ∈ ω seien Kosten w(r, s) ∈ R mit w(r, s) ≥ 0 festgelegt. Weiterhin gelte
w(r, s) = 0 genau dann, wenn r = s.
Seien x, y ∈ Σ ∗ . Dann sei E ω (x, y) die Menge aller Edit-Sequenzen σ = (r 1 →
s 1 , · · · ,r n → s n ) mit r i → s i aus ω, die x in y überführen. Die leere Edit-Sequenz
σ 0 = () überführt x in x.
Dann definiert man die allgemeine Edit-Distanz bezüglich ω zu
wobei
D S (x, y) = max{ϱ(x, y),ϱ(y, x)}
ϱ(x, y) = ∞, falls E ω (x, y) =∅ und x ≠ y
|σ|
∑
ϱ(x, y) = min
σ∈E ω(x,y)
w(r i ,s i ) sonst.
Durch x ∼ y genau dann wenn D S (x, y) < ∞ wird eine Äquivalenzrelation auf Σ ∗ definiert.
i=1
Satz 3.14
Sei A Äquivalenzklasse bzgl. ∼. Dann ist D S Metrik auf A.
Beweis:
D S ist symmetrisch und D S (x, y) ≥ 0.
Weiterhin gilt D S (x, x) = 0, da die leere Edit-Sequenz aus E ω (x, x) ist.
Für x, y und z ∈ A gilt
D S (x, z)+D S (z, y) ≥ ϱ(x, z)+ϱ(z, y) ≥ ϱ(x, y)

3.3 Allgemeine Edit-Operationen und Lückenkosten 27
(man führe einfach beide Edit-Sequenzen nacheinander aus) und entsprechend
D S (x, z)+D S (z, y) ≥ ϱ(y, x),
also gilt
D S (x, z)+D S (z, y) ≥ D S (x, y).
Dieser Abstandsbegriff ist zu allgemein (Stichwort: Term-Ersetzungs-Systeme) und daher
im allgemeinen Fall nicht berechenbar, also müssen Einschränkungen bei den Edit-Folgen
gemacht werden.
Idee: Es sollen nur solche Edit-Folgen betrachtet werden, die bei einer Überführung von
x nach y jedes Zeichen in x höchstens einmal verändern.
Wir definieren daher Edit-Sequenzen mit der Eigenschaft (∗):
Definition 3.15
Sei σ =(r 1 → s 1 , · · · ,r k → s k ) ∈E ω (x, y) eine Folge von Edit-Operationen, die x nach
y überführt. σ hat die Eigenschaft ∗, wenn es eine Zerlegung x = u 0 r 1 u 1 r 2 · · · r k u k und
y = u 0 s 1 u 1 s 2 · · · s k u k gibt mit u i ∈ Σ ∗ , 0 ≤ i ≤ k.
Jede Edit-Operation einer Edit-Sequenz mit Eigenschaft ∗ kann also unabhängig von jeder
anderen angewendet werden (parallele Transformation). Die Menge aller (∗) erfüllenden
Edit-Sequenzen, die x nach y überführen sei E ∗ ω(x, y).
Also könnte man einen neuen Ansatz zur Definition der Distanzfunktion DS ∗ bei allgemeinen
Edit-Operationen machen:
Definition 3.16
Seien x, y ∈ Σ ∗ , E ∗ ω(x, y) die Menge der Edit-Sequenzen mit Eigenschaft ∗, die x nach
y überführen. Für jedes (r, s) ∈ ω seien Kosten w(r, s) ∈ R mit w(r, s) ≥ 0 festgelegt.
Weiterhin gelte w(r, s) = 0 genau dann, wenn r = s..
Dann sei
D ∗ S(x, y) :=
|σ|
∑
min
σ∈Eω(x,y)
∗ i=1
w(r i ,s i ), wobei σ =(r 1 → s 1 , · · · ,r k → s k ) und k = |σ|
der Abstand zwischen x und y bezüglich der Menge ω von Edit-Operationen.
Eine
∑
Edit-Sequenz σ = (r 1 → s 1 , . . . , r k → s k ) heißt optimal, falls DS ∗ (x, y) =
k
1 w(r i,s i ).
Offensichtlich gilt
D ∗ S(x, y) ≥ ϱ(x, y), da E ∗ ω(x, y) ⊆E ω (x, y)
Bemerkung:
Betrachtet man die einfachen Edit-Operationen und ist w eine Metrik, so folgt sofort
DS ∗ = ϱ, da w(a, b) ≤ w(a, c)+w(c, b) und w(a, b) ≥ 0 ist.

28 3 ABSTAND UND ÄHNLICHKEIT
Satz 3.17
Seien x, y ∈ Σ ∗ mit |x| = n und |y| = m. Sei ω eine endliche Menge von Edit-
Operationen und für jedes (r, s) ∈ ω seien Kosten w(r, s) ∈ R mit w(r, s) ≥ 0 festgelegt.
Weiterhin gelte w(r, s) = 0 genau dann, wenn r = s. Dann gilt für alle 0 ≤ i ≤ n
und 0 ≤ j ≤ m
DS(x[1..i],y[1..j]) ∗ = min{p i,j ,q i,j } mit
p i,j =
{
DS ∗ (x[1..i − 1],y[1..j − 1]) falls x[i] =y[j], i, j > 0
∞
sonst
und
q i,j = min
(r, s) ∈ ω
r Suffix von x[1..i]
s Suffix von y[1..j]
{D ∗ S(x[1..i −|r|],y[1..j −|s|]) + w(r, s)} , i, j ≥ 0
Beweis:
Es ist D ∗ S (ε, ε) = 0. Für i = 0 gilt D∗ S (ε, y[1..j]) = q 0,j, für j = 0 gilt entsprechend
D ∗ S (x[1..i],ε) =q i,0 .
Seien jetzt 1 ≤ i ≤ n und 1 ≤ j ≤ m beliebig aber fest gewählt.
Es sei D ∗ S (x[1..i],y[1..j]) =
k ∑
i=1
w(r i ,s i )für eine Edit-Sequenz σ =(r 1 → s 1 ,r 2 →
s k , · · · ,r k → s k ), die Bedingung (∗) erfüllt und x[1..i] in y[1..j] überführt.
Also gilt wegen (∗) x[1..i] =u 0 r 1 u 1 . . . r k u k und y[1..j] =u 0 s 1 u 1 . . . s k u k mit u l ∈ Σ ∗
für 0 ≤ l ≤ k.
Es sind drei Fälle zu unterscheiden:
1) x[i] wird durch eine Edit-Operation transformiert. Es ist u k = ε und σ ′ =(r 1 →
s 1 , · · · ,r k−1 → s k−1 ) ist eine optimale Edit-Sequenz, um x[1..i −|r k |] in y[1..j −
|s k |] zu transformieren. Also gilt
D ∗ S(x[1..i −|r k |],y[1..j −|s k |)+w(r k ,s k )=q i,j
2) y[j] wird durch eine Edit-Operation eingesetzt. Dieser Fall wird wie Fall 1 behandelt.
3) x[i] und y[j] werden nicht verändert.
Dann ist x[i] =y[j] und D ∗ S (x[1..i − 1],y[1..j − 1]) = D∗ S (x[1..i],y[1..j]).
Damit hat man eine rekursive Berechnungsvorschrift für das Abstandsmaß DS ∗ . Der Algorithmus
benötigt O(n · m · l) Zeiteinheiten mit n = |x|, m = |y| und
l = ∑
(r,s)∈ω
|r| + |s|.

3.3 Allgemeine Edit-Operationen und Lückenkosten 29
Bemerkung:
Eine geschicktere Lösung erhält man, wenn man zwei Aho-Corasick-Automaten für
die linken bzw. rechten Seiten der Edit-Operationen in ω konstruiert. Dann kann man
für jedes Paar von Zeichenketten (z 1 ,z 2 ) die Menge der in dieser Situation anwendbaren
Edit-Operationen vorher berechnen. Damit reduziert sich der Zeitbedarf (ohne
die Vorverarbeitung zur Konstruktion der Automaten) auf O(n · m · c) wobei c die
maximale Anzahl gleichzeitig anwendbarer Edit-Operationen ist.
3.3.2 Lückenkosten
Betrachtet man den Spezialfall von Edit-Operationen, bei denen nur einfache Substitutionen,
aber beliebige Einsetz- und Löschoperationen erlaubt sind, so erhält man:
ω l = {r → s | r, s ∈ Σ oder r = ε und s ≠ ε oder r ≠ ε und s = ε}
Fordert man nun weiter, dass die Kosten der Einsetz- und Löschoperationen nur von
der Länge der eingesetzten bzw. gelöschten Zeichenkette abhängen, erhält man folgende
elementare Distanzfunktion w.
Definition 3.18
Die elementare Distanzfunktion w : ˜Σ × ˜Σ → R sei festgelegt durch
1. w(a, a) = 0 für a ∈ Σ,
2. w(a, b) =w 0 > 0für a, b ∈ Σ,a≠ b,
3. w(−,u)=w k und w(u, −) =w −k für u ∈ Σ + , |u| = k.
Weiterhin gelte 0 h, k>0, so nennt man die w k affine Lückenkosten.
Bemerkung:
Lückenkosten der Form w k = w −k = k · w 0 nennt man lineare Lückenkosten. Sie
entsprechen einer allg. Levenshtein-Metrik mit w(x, x) = 0 und w(x, y) = w 0 für
x ≠ y als elementare Distanzfunktion.
Bemerkung:
Lückenkosten sind biologisch motiviert - viele kleinere Lücken sind biologisch gesehen
teurer“ als eine große.
”

30 3 ABSTAND UND ÄHNLICHKEIT
Lemma 3.19
Für eine optimale Edit-Sequenz, deren Edit-Operationen aus der oben definierten Menge
ω l kommen, gilt die Bedingung (∗). Also ist hier D L (x, y) =D ∗ S (x, y) =ϱ(x 1,y 1 ).
Beweis:
Man überlegt sich leicht, daß wenn in einer Folge von Edit-Operationen minimalen
Gewichts zwei Operationen ”
nacheinander“ dieselben Zeichen verändern, diese Folge
durch eine Folge mit kleinerem Gewicht ersetzt werden kann.
Meist wählt man w k = w −k für k ∈ N, damit wird w Metrik auf Σ ∗ .
Man kann die Werte von D L analog zum Satz 3.17 berechnen:
Satz 3.20
Sei ω l die Menge erlaubter Edit-Operationen und sei w eine elementare Distanzfunktion
mit Lückenkosten, so gilt für alle x, y ∈ Σ ∗ mit |x| = n und |y| = m
1. D L (ε, ε) = 0
2. D L (x[1..i],ε) =D i,0 für 1 ≤ i ≤ n
3. D L (ε, y[1..j]) = I 0,j für 1 ≤ j ≤ m
4. D L (x[1..i],y[1..j]) = min{I i,j ,D i,j ,s} für i, j ≥ 1
wobei
und
s = D L (x[1..i − 1],y[1..j − 1]) + w(x[i],y[j])
I i,0 = ∞
I i,j = min
1≤k≤j {D L(x[1..i],y[1..j − k]) + w k } für 0 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m
und
Beweis:
D 0,j = ∞
D i,j = min
1≤k≤i {D L(x[1..i − k],y[1..j]) + w −k } für 1 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ m
(analog zum Satz 3.17)
Die Zeitkomplexität des Verfahrens ist O(nm(n + m)).
Beispiel 3.21
Sei x = ywcqpgk und y = lawyqqkpgka. Es sei D L (x[1..i],y[1..j]) = d i,j .
{
0 für a = b
Weiterhin gelte w(a, b) =
für a, b ∈ Σ
3 sonst

3.3 Allgemeine Edit-Operationen und Lückenkosten 31
Die Lückenkosten seien:
k = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
w k = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
w −k = 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Die Werte I i,j und D i,j müssen eigentlich nicht tabelliert werden. Um das Verfahren
an diesem Beispiel zu erläutern, werden die entsprechenden Werte in Form zweier
Matrizen I und D dargestellt.
Man erhält die Matrix I:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ε l a w y q q k p g k a
0 ε ∞ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 y ∞ 6 5 6 7 6 7 8 9 10 11 12
2 w ∞ 8 9 8 7 8 9 10 11 12 13 14
3 c ∞ 10 11 12 11 10 11 12 13 14 15 16
4 q ∞ 12 13 14 13 14 10 11 12 13 14 15
5 p ∞ 14 15 16 15 16 14 13 13 14 14 15
6 g ∞ 16 17 18 17 18 16 17 16 17 13 14
7 k ∞ 18 19 20 19 20 18 19 17 18 17 13
wobei sich zum Beispiel I 5,6 wie folgt ergibt:
I 5,6 = min
1≤k≤6 {d 5,6−k + w k }
= min{12 + 2, 14 + 3, 13 + 4, 14 + 5, 13 + 6, 12 + 7}
= 14
Die Matrix D ergibt sich zu:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ε l a w y q q k p g k a
0 ε ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
1 y 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2 w 6 7 9 10 8 10 11 12 13 14 15 16
3 c 8 9 10 9 10 11 13 14 15 16 17 18
4 q 10 11 12 11 12 13 14 16 17 18 19 20
5 p 12 13 14 13 14 12 14 15 16 17 18 19
6 g 14 15 16 15 16 14 15 17 15 17 18 19
7 k 16 17 18 17 18 16 17 18 17 15 17 18
Dabei ist zum Beispiel.:
D 5,6 = min
1≤k≤5 {d 5−k,6 + w −k }
= min{10 + 4, 10 + 6, 9+8, 7 + 10, 7 + 12}
= 14

32 3 ABSTAND UND ÄHNLICHKEIT
Mit d i,0 = min
1≤k≤i {d i−k,0 + w −k } = D i,0
d 0,j = min {d 0,j−k +w k } = I 0,j
1≤k≤j
Aussehen:
(= 4 + 2(i − 1) im Beispiel),
(= 2+(i−1) im Beispiel) hat die d-Matrix folgendes
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ε l a w y q q k p g k a
0 ε 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 y 4 3 5 6 4 6 7 8 9 10 11 12
2 w 6 7 6 5 7 7 9 10 11 12 13 14
3 c 8 9 10 9 8 10 10 12 13 14 15 16
4 q 10 11 12 11 12 8 10 11 12 13 14 15
5 p 12 13 14 13 14 12 11 13 11 13 14 15
6 g 14 15 16 15 16 14 15 14 15 11 13 14
7 k 16 17 18 17 18 16 17 15 17 15 11 13
Dabei ist etwa
d 5,6 = D L (ywcqp, lawyqq) = min{I 5,6 ,D 5,6 ,s} mit s = d 4,5 + w(p, q) = 11
Der Abstand von x und y beträgt also unter dieser Distanzfunktion D L (x, y) = 13.
Eine optimale Ausrichtung wäre:
[ ]
− y w c q − − p g k −
l a w y q q k p g k a
Will man das Problem für affine Lückenkosten lösen, so vereinfacht sich der Algorithmus
und auch die Laufzeit wird verbessert.
Satz 3.22
Sei ω l die Menge erlaubter Edit-Operationen und sei w eine elementare Distanzfunktion
mit affinen Lückenkosten, d.h. es ist w −k = w k = g + h · (k − 1) für g > h ≥ 0, so gilt
für alle x, y ∈ Σ ∗ mit |x| = n und |y| = m:
1) D L (ε, ε) = 0
2) D L (x[1..i],ε) =D i,0 = w −i für 1 ≤ i ≤ n
3) D L (ε, y[1..j]) = I 0,j = w j für 1 ≤ j ≤ m
4) D L (x[1..i],y[1..j]) = min{I i,j ,D i,j ,s}
wobei
s = D L (x[1..i − 1],y[1..j − 1]) + w(x[i],y[j])
sowie
und
I i,0 = ∞,
I i,j = min{D L (x[1..i],y[1..j − 1]) + g, I i,j−1 + h}, 0 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m
D 0,j = ∞
D i,j = min{D L (x[1..i − 1],y[1..j]) + g, D i−1,j + h}, 1 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ m.

3.3 Allgemeine Edit-Operationen und Lückenkosten 33
Beweis:
1. Zu zeigen: D L (ε, y[1..j]) = I 0,j = w j für j>0.
Nach Satz 3.20 gilt: I 0,j = min
1≤k≤j {D L(ε, y[1..j − k]) + w k }.
Es ist I 0,1 = w 1 = g. Weiter folgt mit vollständiger Induktion über j:
I 0,j = min{D L (ε, y[1..j − 1]) + w 1 }∪{ D L (ε, y[1..j − k]+w k | 2 ≤ k ≤ j}
= min{I 0,j−1 + w 1 }∪{ D L (ε, y[1..j − 1 − k]+w k + h | 1 ≤ k ≤ j − 1}
= min{I 0,j−1 + h, w j−1 + h}
= min{w j−1 + g, w j−1 + h} = w j−1 + h = w j , da g ≥ h.
2. Analog zeigt man D i,0 = w −i .
3. Laut Satz 3.20 ist I i,j = min
1≤k≤j {D L(x[1..i],y[1..j − k]) + w k }.
Also folgt
I i,j = min{D L (x[1..i],y[1..j − 1]) + w 1 }∪
{D L (x[1..i],y[1..j − k]) + w k | 2 ≤ k ≤ j}
= min{D L (x[1..i],y[1..j − 1]) + g}∪
{D L (x[1..i],y[1..j − 1 − k]+g +(k − 1)h
} {{ }
w k
} + h | 1 ≤ k ≤ j − 1}
= min{D L (x[1..i],y[1..j − 1] + g, I i,j−1 + h} für j>0
Entsprechend zeigt man die Aussage für D i,j .
Der Algorithmus benötigt also O(nm) Zeiteinheiten und O(min{n, m}) Speicher.
Beispiel 3.23
Sei x = ywcqpgk und y = lawyqqkpgka. Es sei D L (x[1..i],y[1..j]) = d i,j .
{
0 für a = b
Die elementare Distanzfunktion sei wie vorher w(a, b) =
für a, b ∈ Σ,
3 sonst
aber wir nehmen affine Lückenkosten mit w k = w −k = 3 + 1 · (|k|− 1) an.
Auch hier werden die Werte I i,j und D i,j in Form zweier Matrizen I und D notiert.
Dann erhält man für die Matrix I:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ε l a w y q q k p g k a
0 ε ∞ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 y ∞ 6 6 7 8 8 9 10 11 12 13 14
2 w ∞ 7 8 9 9 10 11 12 13 14 15 16
3 c ∞ 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
4 q ∞ 9 10 11 12 13 12 13 14 15 16 17
5 p ∞ 10 11 12 13 14 15 15 16 16 17 18
6 g ∞ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16 17
7 k ∞ 12 13 14 15 16 17 18 18 19 19 16

34 3 ABSTAND UND ÄHNLICHKEIT
wobei sich z.B. I 4,6 wie folgt ergibt:
I 4,6 = min{d 4,5 + g, I 4,5 + h}
= min{9+3, 13 + 1}
= 12
Und für die Matrix D ergibt sich zu:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ε l a w y q q k p g k a
0 ε ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
1 y 3 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2 w 4 6 8 9 8 11 12 13 14 15 16 17
3 c 5 7 9 9 9 11 13 14 15 16 17 18
4 q 6 8 10 10 10 12 14 15 16 17 18 19
5 p 7 9 11 11 11 12 14 16 17 18 19 20
6 g 8 10 12 12 12 13 15 17 16 19 20 21
7 k 9 11 13 13 13 14 16 18 17 16 19 20
Dabei ist z.B.:
D 4,6 = min{d 3,6 + g, D 3,6 + h}
= min{11 + 3, 13 + 1}
= 14
Insgesamt hat die d-Matrix damit folgendes Aussehen, wobei
d i,j = min{I i,j ,D i,j ,s} mit s = d i−1,j−1 + w(x[i],y[j])
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ε l a w y q q k p g k a
0 ε 0 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 y 3 3 6 7 5 8 9 10 11 12 13 14
2 w 4 6 6 6 8 8 11 12 13 14 15 16
3 c 5 7 9 9 9 11 11 14 15 16 17 18
4 q 6 8 10 10 10 9 11 13 14 15 16 17
5 p 7 9 11 11 11 12 12 14 13 16 17 18
6 g 8 10 12 12 12 13 15 15 16 13 16 17
7 k 9 11 13 13 13 14 16 15 17 16 13 16
Der Abstand von x und y beträgt also 16. Optimale Ausrichtungen wären etwa:
[ − y w c q − − p g k −
l a w y q q k p g k a
]
oder [ y − w c q − − p g k −
l a w y q q k p g k a
]

3.4 Ausrichtungsprobleme 35
oder [ − − − y w c q − − p g k −
l a w y − − q q k p g k a
]
Bemerkung:
Bei diesen Lückenkosten reicht es nicht aus, ausschließlich in der d-Matrix die Minima
zurück zu verfolgen, sondern man benötigt auch die Informationen in der I- und D-
Matrix.
3.4 Ausrichtungsprobleme
In vielen Anwendungsgebieten ist man daran interessiert, statt der Distanz eine optimale
Ausrichtung zu bestimmen. Das bisher betrachtete Problem wird unter diesem Gesichtspunkt
als globales Ausrichtungsproblem (global alignment problem) bezeichnet. Es
geht also darum, eine optimale Ausrichtung für x und y bezüglich einer vorgegebenen
Distanzfunktion D zu finden. Im folgenden sollen zwei weitere bekannte Varianten des
Ausrichtungsproblems betrachtet werden.
3.4.1 Das semi-globale Ausrichtungsproblem
Das semi-globale Ausrichtungsproblem für zwei Worte x, y ∈ Σ ∗ besteht darin, eine bezüglich
einer Distanzfunktion D optimale Ausrichtung (oder Korrespondenz) zu finden,
wobei bei der Berechnung der Distanz Präfixe bzw. Suffixe von x und y, die mit dem
neutralen Zeichen ”
-“ ausgerichtet sind, ignoriert werden. Sei D sg (x, y) dieser Wert.
Es dürfte klar sein, dass in diesem Fall eine der üblichen Abstandsfunktionen nicht verwendbar
ist, denn zum Beispiel die Ausrichtung, bei der jedem Zeichen von x und y das
neutrale Zeichen gegenübersteht, hätte einen Abstand von 0.
Man wählt also eine elementare abstrakte Abstandsfunktion, die die Ähnlichkeit zweier
Zeichenketten positiv, Abweichungen dagegen negativ bewertet. Man erreicht dies zum
Beispiel durch eine elementare Distanzfunktionen w mit w(a, a) ≥ 0 und w(a, b) ≤ 0für
a ≠ b und man führt die Berechnung über dem Halbring H =(R, max, +, 0) aus.
Definition 3.24
Seien x, y ∈ Σ ∗ . Dann sei
D sg (x, y) =
max
(x ′ ,y ′ )∈A(x,y)
r∑
w(x ′ [i],y ′ [i])
wobei x ′ [1..l] oder y ′ [1..l], und x ′ [r+1..|x ′ |] oder y ′ [r+1..|y ′ |] nur aus neutralen Zeichen
bestehen und l maximal und r minimal ist. Eine bezüglich D sg optimale Ausrichtung
ist eine Lösung des semi-globalen Ausrichtungsproblems.
i=l
Beispiel 3.25
Sei x = pqraxabcstvq und y = deaxbacsll und die elementare Abstandsfunktion w sei
definiert durch w(a, a) = 2, w(a, b) =−2 für a ≠ b und w(a, −) =w(−,a)=−1.

36 3 ABSTAND UND ÄHNLICHKEIT
Dann ist [ p q r − − a x a b − c s − t v q
− − − d e a x − b a c s l l − −
eine Ausrichtung der beiden Zeichenketten bezüglich der gegebenen elementaren Distanzfunktion
und des Halbrings H mit D(x, y) =−2. Werden die Enden der Zeichenketten,
die mit dem neutralem Symbol ausgerichtet sind, nicht mitgezählt, so erhält
man D sg (x, y) ≥ 3. Es gibt aber eine für das semi-globale Ausrichtungsproblem noch
bessere Ausrichtung, denn es gilt D sg (x, y) = 4.
Es stellt sich nun die Frage, wie man dieses Problem lösen kann. Es zeigt sich, dass auch
in diesem Fall eine Variante des Wagner-Fischer Algorithmus die Antwort liefert.
Satz 3.26
Sei |x| = n und |y| = m und sei (d i,j ) die Distanzmatrix, die man ausgehend von der
Initialisierung d i,0 = d 0,j = 0 für 0 ≤ i ≤ n und 0 ≤ j ≤ m mit Hilfe der üblichen
Rekursion berechnet. Dann ist:
D sg (x, y) = max{d i,m ,d n,j |i ∈ [0..n],j ∈ [0..m]}.
Sei (r, s) eine Stelle in der Distanzmatrix, an der das Maximum auftritt, also d rs =
D sg (x, y). Man erhält eine optimale Ausrichtung, wenn man zunächst von d n,m horizontal
oder vertikal direkt zum Eintrag d r,s geht und dann von dieser Position aus
durch ”
Rückverfolgen“ der Maxima die gesuchte Ausrichtung bestimmt.
Zunächst wird gezeigt:
Lemma 3.27
Sei |x| = n und |y| = m und (d i,j ) die mit der elementaren Distanzfunktion w bestimmte
Distanzmatrix. Dann ist d i,j = D ′ sg(x[1..i],y[1..j]), wobei bei der Distanzfunktion
D ′ sg nur die Präfixe von x oder y, die neutralen Zeichen gegenüber stehen, nicht mitgezählt
werden.
Beweis:
Die Aussage gilt für i = j =0
Sei nun i + j>0
Dann sind die folgenden drei Fälle zu unterscheiden:
1. i =0, j > 0: Dann gilt d 0,j = 0 = D ′ sg(ε, y[1..j]).
2. i>0,j = 0: Dann gilt d i,0 = 0 = D ′ sg(x[1..i],ε).
3. i>0, j > 0: Es ist
D sg(x[1..i],y[1..j]) ′ = d i,j
= max{D sg(x[1..i ′ − 1],y[1..j − 1]) + w(x[i],y[j]),
D ′ sg(x[1..i − 1],y[1..j]) + w(x[i], −),
D ′ sg(x[1..i],y[1..j − 1]) + w(−,y[j])}
]
Damit lässt sich nun der Beweis zum Satz 3.26 führen

3.4 Ausrichtungsprobleme 37
Beweis:
Nach Lemma 3.27 folgt
D sg (x, y) = max{D ′ sg(x[1 . . . i],y),D ′ sg(x, y[1 . . . j]) | 0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ m}.
Will man jetzt zusätzlich Suffixe von x nicht berücksichtigen, so findet man den entsprechenden
Wert in der letzten Spalte der Distanzmatrix d. Will man dagegen Suffixe
von y nicht berücksichtigen, findet man den Wert in der letzten Zeile von d. Da die
elementare Distanzfunktion für das neutrale Zeichen einen Wert ≤ 0 hat, muss man
den maximalen Wert in der letzten Zeile oder Spalte von d suchen. Also folgt die
Behauptung.
Beispiel 3.28
Sei x = pqraxabcstvq und y = deaxbacsll und die elementare Abstandsfunktion w sei
definiert durch w(a, a) = 2, w(a, b) =−2 für a ≠ b und w(a, −) =w(−,a)=−1
Die Initialisierung sei wie in Satz 3.26 Die d-Matrix hat damit folgendes Aussehen:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ε d e a x b a c s l l
0 ε 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 p 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
2 q 0 -1 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2
3 r 0 -1 -2 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3
4 a 0 -1 -2 0 -1 -2 -1 -2 -3 -4 -4
5 x 0 -1 -2 -1 2 1 0 -1 -2 -3 -4
6 a 0 -1 -2 0 1 0 3 2 1 0 -1
7 b 0 -1 -2 -1 0 3 2 1 0 -1 -2
8 c 0 -1 -2 -2 -1 2 1 4 3 2 1
9 s 0 -1 -2 -3 -2 1 0 3 6 5 4
10 t 0 -1 -2 -3 -3 0 -1 2 5 4 3
11 v 0 -1 -2 -3 -4 -1 -2 1 4 3 2
12 q 0 -1 -2 -3 -4 -2 -3 0 3 2 1
Der Abstand von x und y bezüglich des Abstandsmaßes D sg beträgt also 4. Optimale
Ausrichtungen wären etwa:
oder
[ p q r − − a x − a b c s − − t v q
− − − d e a x b a − c s l l − − −
[ p q r − − a x a b − c s − − t v q
− − − d e a x − b a c s l l − − −
]
]

38 3 ABSTAND UND ÄHNLICHKEIT
3.4.2 Das lokale Ausrichtungsproblem
Das lokale Ausrichtungsproblem (lokal alignment problem) ist aus biologischer Sicht besonders
wichtig. Die Aufgabe besteht darin, in den gegebenen zwei Zeichenketten x und
y Teilzeichenketten ˜x und ỹ zu suchen, die bezüglich eines gegebenen Abstandsmaßes
möglichst ähnlich sind.
Mit den ansonsten üblichen Abstandsbegriffen wie etwa der Levenshtein-Metrik kann man
in dieser Situation nicht arbeiten, denn wählt man etwa jeweils die leere Zeichenkette als
Teilzeichenkette, so erhält man bereits den für die Levenstein-Metrik optimalen Abstand.
Sinnvoller ist es, die elementare Gewichtsfunktion so zu wählen, daß w(a, a) ≥ 0 und
w(a, b) ≤ 0für a ≠ b ist. Man arbeitet in diesem Fall mit einer Distanzfunktion D über
dem Halbring ˜H =(R, ˜max, +, 0), wobei gilt:
{
max(M) für max(M) ≥ 0
˜max(M) =
0 sonst
Formal kann man dann das Problem wie folgt beschreiben:
Definition 3.29
Es seien x, y ∈ Σ ∗ mit |x| = n und |y| = m. Ferner sei w : ˜Σ × ˜Σ → R eine elementare
Gewichtsfunktion, die ein Abstandsmaß D festlegt, das über dem Halbring ˜H berechnet
wird. Gesucht sind Teilwörter ˜x und ỹ, für die der Abstand D(˜x, ỹ) maximal ist.
D la (x, y) sei dieser maximale Wert.
Beispiel 3.30
Sei x = pqraxabcstvq und y = deaxbacsll und sei w(a, a) = 2,w(a, b) =−2 für a ≠ b
und w(a, −) =w(−,a)=−1. Dann ist
[ ]
a x − a b c s
a x b a − c s
eine Ausrichtung der Teilzeichenketten ˜x = axabcs von x und ỹ = axbacs von y mit
D(˜x, ỹ) = 8. Also ist D la (x, y) ≥ 8.
Auch hier zeigt sich, dass man dieses Problem mit Hilfe des Wagner-Fischer Algorithmus
lösen kann.
Satz 3.31
Sei |x| = n und |y| = m und sei (d i,j ) die Distanzmatrix, die man ausgehend von der
Initialisierung d i,0 = d 0,j = 0 für 0 ≤ i ≤ n und 0 ≤ j ≤ m mit Hilfe der üblichen
Rekursion bezüglich des Halbrings ˜H berechnet. Dann ist:
D la (x, y) = max{d i,j | 0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ m}.
Sei (r, s) eine Stelle in der Distanzmatrix, an der das Maximum auftritt, also d rs =
D la (x, y). Von dieser Position aus kann man dann durch das ”
Rückverfolgen“ der
Maxima bis zu einem Wert 0 die gesuchte Ausrichtung und die beiden Teilzeichenketten
˜x und ỹ bestimmen.

3.4 Ausrichtungsprobleme 39
Lemma 3.32
Sei |x| = n und |y| = m, w eine elementare Distanzfunktion und ˜H der Halbring, über
den die Berechnung der Distanzmatrix (d i,j )für die dadurch definierte Distanzfunktion
D durchgeführt wird. Dann ist
d i,j = max{D(α, β) | α Suffix von x[1..i], β Suffix von y[1..j]}
Beweis:
Es gilt offensichtlich d i,j ≥ 0, da α = β = ε möglich ist.
Die Aussage gilt für i = j =0
Sei nun i + j>0
Dann sind die folgenden drei Fälle zu unterscheiden:
1. i =0, j > 0: D(ε, y[1..j]) = 0 = d 0,j .
2. i>0,j = 0: D(x[1..i],ε) = 0 = d i,0 .
3. i>0, j > 0: Es ist
D(x[1..i],y[1..j]) = max{0,D(x[1..i − 1],y[1..j − 1]) + w(x[i],y[j]),
D(x[1..i − 1],y[1..j]) + w(x[i], −),
D(x[1..i],y[1..j − 1]) + w(−,y[j])}
= d i,j
Beweis:
(zum Satz 3.31)
Offensichtlich gilt D la (x, y) ≥ max{d i,j , 0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ m}.
Sei nun x = x 1˜xx 2 und y = y 1 ỹy 2 mit D(˜x, ỹ) =D la (x, y) und es gelte r = |x 1˜x|,s =
|y 1 ỹ|. Es ist D(˜x, ỹ) =D la (x, y) ≤ d r,s ≤ max{d i,j , 0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ m} und es folgt
die Aussage.
Beispiel 3.33
Sei x = pqraxabcstvq und y = deaxbacsll und die elementare Abstandsfunktion w sei
definiert durch w(a, a) = 2, w(a, b) =−2 für a ≠ b und w(a, −) =w(−,a)=−1
Die Initialisierung sei wie in Satz 3.31. Die d-Matrix hat dann folgendes Aussehen:

40 3 ABSTAND UND ÄHNLICHKEIT
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ε d e a x b a c s l l
0 ε 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 p 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 a 0 0 0 2 1 0 2 1 0 0 0
5 x 0 0 0 1 4 3 2 1 0 0 0
6 a 0 0 0 2 3 2 5 4 3 2 1
7 b 0 0 0 1 2 5 4 3 2 1 0
8 c 0 0 0 0 1 4 3 6 5 4 3
9 s 0 0 0 0 0 3 2 5 8 7 6
10 t 0 0 0 0 0 2 1 4 7 6 5
11 v 0 0 0 0 0 1 0 3 6 5 4
12 q 0 0 0 0 0 0 0 2 5 4 3
Die zwei Teilzeichenketten ˜x = axabcs und ỹ = axbacs maximaler Ähnlichkeit erhält
man durch Rückverfolgung der Maxima ausgehend vom maximalen Wert 8 in der
d-Matrix.
Die zugehörigen Ausrichtungen sind
oder
[ a x − a b c s
a x b a − c s
[ a x a b − c s
a x − b a c s
]
]