Algorithmus von Wagner-Fischer zur Bestimmung des minimalen ...

Algorithmus von Wagner-Fischer zur Bestimmung
des minimalen Abstands zweier Zeichenketten und
einer optimalen Ausrichtung
/* x[1..n] ist die Ausgangszeichenkette */
/* y[1..m] ist die Zielzeichenkette */
/* d[0..n,0..m] ist die Distanzmatrix */
/* w ist die elementare Abstandsfunktion */
/* Initialisierung */
d[0,0] := 0;
for i := 1 to n do
d[i,0] = d[i-1,0] + w(x[i],-);
for j := 1 to m do
d[0,j] = d[0,j-1] + w(-,y[j]);
/* Berechnung der Abstandsmatrix */
for i := 1 to n do
for j := 1 to m do
d[i,j] := min{ d[i-1,j] + w(x[i],-),
d[i,j-1] + w(-,y[j]),
d[i-1,j-1] + w(x[i],y[j]) };
print "Minimaler Abstand ist d[n,m]"
/* Berechnung einer optimalen Ausrichtung durch */
/* "Rückverfolgen" der Minima von d[n,m] bis d[0,0] */
printAlignment(n,m)

* printAlignment berechnet durch Rückverfolgung */
/* eine optimale Ausrichtung für x und y */
/* Damit die Ausrichtung in der richtigen Reihenfolge */
/* ausgegeben werden kann, wird printAlignment rekursiv */
/* verwendet */
procedure printAlignment(i,j)
if
i = 0 and j = 0 return;
if j = 0 then /* i ≠ 0 */
begin
printAlignment(i-1,0);
print (x[i], -);
end;
else if i = 0 then /* j ≠ 0 */
begin
printAlignment(0,j-1);
print (-, y[j]);
end
else /* i ≠ 0 and j ≠ 0 */
begin
if
d[i,j] = d[i-1,j-1] + w(x[i],y[j]) then
begin
printAlignment(i-1,j-1);
print (x[i],y[j]);
end
else if d[i,j] = d[i-1,j] + w(x[i],0) then
begin
printAlignment(i-1,j);
print (x[i],-);
end
else begin
printAlignment(i,j-1);
print (-, y[j]);
end;
end;
end

Beispiel für das Wagner-Fischer Verfahren
Es sei x = abcabba und y = cbabac.
Die Distanzmatrix ∆ für die Levenshtein–Metrik d L berechnet sich zu:
y c b a b a c
x 0 1 2 3 4 5 6
0 0 1 2 3 4 5 6
a 1 1 1 2 2 3 4 5
b 2 2 2 1 2 2 3 4
c 3 3 2 2 2 3 3 3
a 4 4 3 3 2 3 3 4
b 5 5 4 3 3 2 3 4
b 6 6 5 4 4 3 3 4
a 7 7 6 5 4 4 3 4
Also gilt d L (x, y) = 4.
Die markierten Einträge in der Distanzmatrix zeigen den Verlauf der Rückverfolgung
der Minimumbildung. So ist der Wert d 7,6 entstanden durch d 6,5 + w(a, c) (eine andere
Möglichkeit wäre auch durch d 7,5 + w(−, c)), aber nicht durch d 6,6 + w(a, −). Wie man
an diesem Beispiel sieht muss die Rückverfolgung nicht eindeutig [ sein!
]
a b c a b b a
Eine optimale Ausrichtung wäre in diesem Fall etwa A =
.
c b − a b a c
Die Distanzmatrix ∆ für die Edit–Metrik d E wäre:
y c b a b a c
x 0 1 2 3 4 5 6
0 0 1 2 3 4 5 6
a 1 1 2 3 2 3 4 5
b 2 2 3 2 3 2 3 4
c 3 3 2 3 4 3 4 3
a 4 4 3 4 3 4 3 4
b 5 5 4 3 4 3 4 5
b 6 6 5 4 5 4 5 6
a 7 7 6 5 4 5 4 5
und es gilt d E (x, y) = 5.
Durch die Rückverfolgung erhält man eine optimale Ausrichtung
A =
[
− a b c a b b a −
c − b − a − b a c
]
.