Grundlagen der Elektrodynamik - Theoretische Physik IV

Aufgabe 10:
Übungen zur Theoretischen Physik II:
Grundlagen der Elektrodynamik
(SS 2005)
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4. Hausaufgabenblatt: Abgabe bis zum 25.5.2005
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Untersuchen Sie die abgebildeten Anordnungen zur Erzeugung von Quadrupolfeldern. Dabei
bezeichnet ⃗p ein Dipolmoment, q eine positive, −q eine negative Ladung, und es sei |⃗a| = | ⃗ d|.
(I) (II) (III) (IV)
(a) Zeigen Sie zunächst, dass für die Potentiale Φ(⃗r) der Ladungsverteilungen I und II in
kartesischer Darstellung (r 2 = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3).
Φ(⃗r) ≈ ∑ i,j
q ij
( )
3xi x
r 5 j − r 2 δ ij
im Bereich r ≫ |⃗a|, | d| ⃗ gilt. Dabei sei im Falle I q ij = d i p j und im Falle II q ij = a i d j q.
Hinweise:
( ) 1 1
Φ ⃗p = −⃗p · ∇ ;
r |⃗r − ⃗a| ≈ 1 r − (⃗a · ∇) 1 r + 1 2 (⃗a · 1 ∇)2 r ; a r ≪ 1
(b) Was ergibt sich entsprechend für die Anordnungen III und IV?
[3P]
[2P]
(c) Berechnen Sie das elektrische Feld für Anordnung III, und skizzieren Sie sowohl Äquipotentialflächen
als auch Feldlinien.
[2P]
Aufgabe 11:
In der Vorlesung habe Sie bereits die Separation von Variablen anhand der Laplace-Gleichung
mit vorgegebenen Randbedingungen kennengelernt. Diese kann allgemein auch auf sphärische
Geometrien angewandt werden. In dieser Aufgabe soll nun die Separation der Variablen für
azimuthale Symmetrie durchgeführt werden.

Eine Umrechnung der Differentialoperatoren in Polarkoordinaten liefert
für die Darstellung der Laplace-Gleichung:
∆φ = 1 (
∂
r 2 ∂φ )
+ 1 (
∂
sin θ ∂φ )
1 ∂ 2 φ
+
r 2 ∂r ∂r r 2 sin θ ∂θ ∂θ r 2 sin 2 θ ∂ϕ = 0 2
Analog zur Vorlesung macht man für φ den Produktansatz:
φ = U(r) P (θ)Q(ϕ)
r
(a) Zeigen Sie, daß die für Q folgende Differentialgleichung die Lösung
Q(ϕ) = e ±ımϕ
hat, wobei −m 2 die Konstante aus dem Produktansatz ist.
[1P]
Adrien-Marie Legendre
(1752 - 1833) hat
sich in einem 1806 publizierten
Buch auch
mit der Bahnbestimmung
von Kometen
befasst.
(b) Zeigen Sie weiter, daß der radiale Anteil über:
U(r) = Ar l+1 + Br −l
gelöst wird, wenn man bei der Zerlegung die Konstante l(l + 1) benutzt.
[1P]
(c) Für P (θ) ergibt sich schließlich die Legendresche-Differentialgleichung. Zeigen Sie, daß
sich diese mit der Substitution µ = cos θ zu
(
d
(1 − µ 2 ) dP )
+ l(l + 1)P = 0
dµ dµ
ergibt, wenn m = 0 (azimuthale Symmetrie) angenommen wird.
[1P]
(d) Machen Sie für die Lösung dieser Gleichung nun den Ansatz:
P (µ) =
∞∑
a i µ i
und zeigen Sie, daß allgemein folgender Zusammenhang gilt:
( )
i(i + 1) − l(l + 1)
a i+2 =
a i
(i + 1)(i + 2)
i=0
[1P]
(e) Die Legendre-Polynome ergeben sich schließlich aus der Überlegung, daß die Reihe bei einem
maximalen i abbrechen muß, da sie sonst bei µ = ±1 divergent ist. Welche Bedingung
muß also von l erfüllt werden, damit die Reihe abbricht, und wie müssen dann die Koeffizienten
a 0 und a i gewählt werden?
[1P]
Bonusfrage: Zeigen Sie, daß aus dieser Rekursionsformel die Darstellung:
[l/2]
∑
P l (µ) = (−1) i (2l − 2i)!
2 l i!(l − i)!(l − 2i)! µl−2i mit [l/2] =
i=0
{ l/2 ; l gerade
(l − 1)/2 ; l ungerade
folgt, wenn der führende Koeffizient zu (2l)!
2 l (l!) 2 normiert ist. [2P]

Im zweiten Teil dieser Aufgabe soll darauf eingegangen werden, daß es sich bei den Legendre-
Polynomen wie schon in der Vorlesung besprochen um ein vollständiges Funktionensystem
handelt. Dafür sei hier inbesondere die Orthogonalität behandelt.
(e) Als eine notwendige Zutat zu dieser Diskussion sei hier die Rekursionsformel von Rodrigues
vorgestellt:
P l (µ) = 1 d l
2 l l! dµ l (µ2 − 1) l
Zeigen Sie, daß sich diese aus der Reihendarstellung der Legendre-Polynome ableiten läßt. [1P]
(f) Zeigen Sie schließlich mit (e) die Gültigkeit der Orthogonalitätsrelation
∫ 1
−1
P l (µ)P l ′(µ) d µ = 2
2l + 1 δ l,l ′
[2P]
Aufgabe 12:
Seitdem Sie vor einer Woche den überaus erfolgreichen Teststart durchgeführt haben, haben
die Ingenieure unentwegt mit schweren Problemen mit den auf der Oberfläche des Schiffes
angebrachten Meßgeräten zu kämpfen. Immer wieder kommt es zu Ausfällen, die als Spannungsüberschläge
gedeutet werden müssen.
Schließlich fällt Ihrem Testpiloten Portnoy
ein, daß das Schiff sich bei Maximalschub
leicht vom Boden abgehoben hat. Sofort lassen
Sie prüfen, ob die Erdungskontakte noch
angebracht sind. Diese sollten dafür sorgen,
daß sich auf der Oberfläche der Kugel eine
beliebige Ladungsverteilung einstellen konnte,
so daß das Schiff mit Hilfe der Methode
der Bildladung am Boden gehalten werden
konnte. Wie befürchtet sind diese bei dem von
Portnoy beschriebenen Vorfall gerissen, so daß
sich die von der Punktladung unterhalb des
Schiffes auf dessen Oberfläche induzierte Ladung
nicht abfließen konnte und sich nun in
unbekannter Weise über die Oberfläche verteilt
hat.
Ihre Aufforderung an die Mechaniker, das Schiff einfach zu entladen wird damit jedoch abgelehnt,
daß aus Sicherheitsgründen erst eine Abschätzung für das Feld an der Oberfläche
vorliegen muß. Somit müssen Sie schnellstmöglich eine solche Abschätzung vorlegen.
Nach einer Anfrage an das Team, das die Oberfläche der Kugel beschichtet hat, folgt, daß die
Verteilung der Ladung aufgrund der Hitzeschutzkacheln um den Triebwerksring vermutlich eine
Ladungsverteilung der Form σ(ϑ) = a cos(2ϑ) mit a = const. aufweist.
(a) Da Sie es hier offenbar mit den Legendre-Polynomen zu tun haben, bestimmen Sie zuerst
die genaue Form der ersten drei Polynome P 0 (µ), P 1 (µ) und P 2 (µ)
[1P].
(b) Wie lautet das elektrische Potential im Außenraum der Kugel, wenn man die gegebene

Ladungsverteilung berücksichtigt?
[2P]
Hinweis: Aufgrund der Achsensymmetrie gilt für das elektrische Potential die Entwicklung
Φ(r, ϑ) =
∞∑ (
Al r l + B l r −(l+1)) P l (cos ϑ)
l=0
(c) Durch welche Multipolmomente ist das Potential also charakterisiert?
[1P]