Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

2.2 Nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme 59
für jedes x 0 ∈ [a, b] eine Folge {x k } mit der Eigenschaft, dass 13 {x k } k∈N monoton
fallend und von mindestens zweiter Ordnung gegen die einzige Nullstelle x ∗ von f in
[a, b] konvergiert, wobei natürlich x k = x ∗ für alle k angenommen wird.
Beweis: Die Folge {x k } wird durch die Iterationsfunktion
F (x) :=x − f(x)
f (x)
erzeugt, d. h. es ist x k+1 = F (x k ), k =0,...,.Dannist
F (x) = f(x)f (x) ≤ 0, x ∈ [a, x ∗ ],
f (x) 2 ≥ 0, x ∈ [x ∗ ,b].
Sei x 0 ∈ [a, b] beliebig. Wir zeigen, dass b ≥ x k ≥ x k+1 ≥ x ∗ , k = 1,....Nach
spätestens einem Schritt sind also alle Iterierten des Newton-Verfahrens rechts der
einzigen Nullstelle x ∗ von f in [a, b], ferneristdieFolge{x k } k∈N monoton fallend.
Denn ist a ≤ x 0 ≤ x ∗ ,soist
x ∗ = F (x ∗ ) ≤ F (x 0 )=x 1 ≤ F (a) ≤ b,
d. h. nach einem Schritt ist man rechts von x ∗ ,aberimmernochlinksvonb. Istaber
x k ∈ [x ∗ ,b], soist
x ∗ = F (x ∗ ) ≤ F (x k )=x k+1 ≤ x k ≤ b.
Als monoton fallende, nach unten durch x ∗ beschränkte Folge ist {x k } k∈N konvergent.
Der Limes ist notwendigerweise eine Nullstelle von f, stimmtalsomitx ∗ überein. Die
quadratische Konvergenz folgt aus dem lokalen Konvergenzsatz.
✷
Beispiel: Sei f(x) :=x − cos x. Die Voraussetzungen von Satz 2.2 sind offenbar mit
[a, b] :=[0, 1] erfüllt, so dass für jeden Startwert aus diesem Intervall Konvergenz des
Newton-Verfahrens vorliegt.
✷
Wir geben nun eine MATLAB-Funktion an, durch die das Newton-Verfahren implementiert
wird. Hierbei wird mit einer aktuellen Näherung x k abgebrochen, wenn |f(x k )|
kleiner einer vorgegebenen Toleranz ist oder k größer einer maximalen Anzahl von Iterationsschritten
ist.
function [x,iter]=Newton(fun,x_0,tol,max_iter);
%********************************************************************
%Input-Parameter:
% fname Name einer Funktion fun. [f,f_strich]=fun(x)
% ergibt Funktionswert und Ableitung der Funktion in x
% x_0 Startwert
% tol positiver Wert, abbruch wenn |f|