Kapitel 2 Lineare und nichtlineare Gleichungen - Institut für ...

2.1 Lineare Gleichungssysteme 25
so ist q(x) := n
j=0 β jv j (x) ein Polynom aus P n mit den n +1paarweise verschiedenen
Nullstellen x 0 ,...,x n ,alsonotwendigerweisedasNullpolynom.Daheristdasoben
angegebene Interpolationsproblem stets eindeutig lösbar.
Bei der praktischen Anwendung nutzt man aus, dass man die Wahl einer Basis von
P n in der Hand hat. Wählt man die Monombasis, so erhält man als Koeffizientenmatrix
eine sogenannte Vandermondesche Matrix
⎛
⎞
1 x 0 x 2 0 ··· x n 0
1 x 1 x 2 1 ··· x n 1
V :=
1 x 2 x 2 2 ··· x n 2
,
⎜
⎝
.
. . . ..
⎟
. ⎠
1 x n x 2 n ··· x n n
also eine voll besetzte Matrix, die i. Allg. auch noch ungünstige Stabilitätseigenschaften
hat (was hier nicht näher erläutert werden soll). Das andere Extrem besteht darin, dass
man eine sogenannte Lagrange-Basis wählt. Hier ist das j-te Basiselement gegeben
durch
L j (x) :=
n
k=0
k=j
x − x k
x j − x k
,
j =0,...,n.
Wegen L j (x i )=δ ij (Kronecker-Symbol), 0 ≤ i, j ≤ n, isthierdieKoeffizientenmatrix
im linearen Gleichungssystem die Identität und
p(x) =
n
f j L j (x)
j=0
die sogenannte Lagrange-Darstellung des Interpolationspolynoms. Bei der Newton-
Darstellung ist das j-te Basiselement durch
j−1
N j (x) := (x − x k ), j =0,...,n
k=0
gegeben (wobei natürlich N 0 (x) =1). Wegen N j (x i )=0, i =0,...,j − 1, istnun
die Koeffizientenmatrix im linearen Gleichungssystem eine untere Dreiecksmatrix (mit
nichtverschwindenden Diagonalelementen). Dies erlaubt das sukzessive Lösen des linearen
Gleichungssystems durch sogenannte Vorwärtssubstitution. Der Newton-Ansatz hat
gegenüber dem von Lagrange den Vorteil, dass die Hinzunahme einer neuen Stützstelle
nicht die gesamte bisherige Arbeit überflüssig macht. Anmerkungen zur Interpolation
von Polynomen auf relativ elementarem Niveau findet man auch bei T. Sonar (2001,
S. 59 ff.) 2 .
Eine Interpolation mit Polynomen hohen Grades ist nicht sinnvoll, weil die entstehenden
Polynome zu starken Oszillationen neigen. Dies wollen wir durch ein berühmtes
2 T. Sonar (2001) Angewandte Mathematik, Modellbildung und Informatik. Eine Einführung für
Lehamtsstudenten, Lehrer und Schüler. Viewg, Braunschweig-Wiesbaden.